Analisi Matematica 2

Derivabilita parziale per funzioni di due variabili

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 1 / 16

Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D. Consideriamo ilpunto (x0, y0) ∈ D e un suo intorno Bδ(x0, y0) ⊂ D. Consideriamo il punto(x0 + h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h.

Definizione di Derivata parziale rispetto a x.

Se esiste finito il

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h= fx(x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x0, y0).

Una funzione e derivabile rispetto a x in D se e derivabile rispetto a x intutti i punti di D.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 2 / 16

Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D. Consideriamo ilpunto (x0, y0) ∈ D e un suo intorno Bδ(x0, y0) ⊂ D. Consideriamo il punto(x0 + h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h.

Definizione di Derivata parziale rispetto a x.

Se esiste finito il

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h= fx(x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x0, y0).

Una funzione e derivabile rispetto a x in D se e derivabile rispetto a x intutti i punti di D.

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Definizione di derivata parziale prima

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D. Consideriamo ilpunto (x0, y0) ∈ D e un suo intorno Bδ(x0, y0) ⊂ D. Consideriamo il punto(x0 + h, y0) ∈ D, h ∈ R. Costruiamo il rapporto incrementale

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h.

Definizione di Derivata parziale rispetto a x.

Se esiste finito il

limh→0

f (x0 + h, y0)− f (x0, y0)

h= fx(x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a x in (x0, y0).

Una funzione e derivabile rispetto a x in D se e derivabile rispetto a x intutti i punti di D.

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Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x0, y0 + k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapportoincrementale

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k.

Definizione di Derivata parziale rispetto a y.

Se esiste finito il

limk→0

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k= fy (x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0).

Si usano anche i simboli∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per lefunzioni elementari e composte.

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Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x0, y0 + k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapportoincrementale

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k.

Definizione di Derivata parziale rispetto a y.

Se esiste finito il

limk→0

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k= fy (x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0).

Si usano anche i simboli∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per lefunzioni elementari e composte.

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Definizione di derivata parziale prima

Consideriamo ora il punto (x0, y0 + k) ∈ D, k ∈ R. Costruiamo il rapportoincrementale

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k.

Definizione di Derivata parziale rispetto a y.

Se esiste finito il

limk→0

f (x0, y0 + k)− f (x0, y0)

k= fy (x0, y0),

definiamo la funzione derivabile rispetto a y in (x0, y0).

Si usano anche i simboli∂f

∂x(x0, y0),

∂f

∂y(x0, y0).

Si estendono le regole di derivazione sia per le operazioni che per lefunzioni elementari e composte.

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EsercizioCalcolare fx(4, 1) con f (x , y) = log(x − y 2)

fx(4, 1) = limh→0

ln(3 + h)− ln3

h= lim

h→0

ln(1 + h3 )

h=

1

3

(si e utilizzato il limite notevole: limt→0

ln(1 + t)

t= 1, (?) )

Oppure:

fx(4, 1) = limx→4

ln(x − 1)− log(3)

x − 4= lim

x→4

1

3

ln x−13

x−43

=

limx→4

1

3

ln(1 + x−43 )

x−43

=1

3,

dove e’ stato utilizzato il limite notevole (?)

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Significato geometrico della derivata parziale prima

∂f∂x (x0, y0) e il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico dif nel punto P = (x0, y0, f (x0, y0))che giace sul piano y = y0,

analogamente

∂f∂y (x0, y0) e il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico dif nel punto P = (x0, y0, f (x0, y0))che giace sul piano x = x0

Indichiamo con ∇f = (fx , fy ),che chiamiamo gradiente di f ,il vettore di componenti le derivateparziali prime (rispetto alledirezioni degli assi x e y).

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Significato geometrico della derivata parziale prima

∂f∂x (x0, y0) e il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico dif nel punto P = (x0, y0, f (x0, y0))che giace sul piano y = y0,

analogamente

∂f∂y (x0, y0) e il coefficiente angolaredella retta tangente al grafico dif nel punto P = (x0, y0, f (x0, y0))che giace sul piano x = x0

Indichiamo con ∇f = (fx , fy ),che chiamiamo gradiente di f ,il vettore di componenti le derivateparziali prime (rispetto alledirezioni degli assi x e y).

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Si dimostrache se non e nullo, il vettoregradiente ∇f = (fx , fy ), (conf differenziabile) indica la direzionedi masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y) = x + 2y , (x , y) ∈ R2

si ha:fx = 1, fy = 2, costanti su R2

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui convienemuoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parita dipercorso nel piano x , y).

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Si dimostrache se non e nullo, il vettoregradiente ∇f = (fx , fy ), (conf differenziabile) indica la direzionedi masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y) = x + 2y , (x , y) ∈ R2

si ha:fx = 1, fy = 2, costanti su R2

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui convienemuoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parita dipercorso nel piano x , y).

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Si dimostrache se non e nullo, il vettoregradiente ∇f = (fx , fy ), (conf differenziabile) indica la direzionedi masssima pendenza di f .

Esempio

Si consideri la funzione:

f (x , y) = x + 2y , (x , y) ∈ R2

si ha:fx = 1, fy = 2, costanti su R2

∇f = (1, 2),

ed esprime la direzione e il verso nel piano di base x ,y in cui convienemuoversi per ottenere il massimo incremento della funzione f (a parita dipercorso nel piano x , y).

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Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y) = x3y 2 + x2 + y 2,

2) g(x , y) = sin(x2y).

Svolgimento

1) fx = 3x2y 2 + 2x , fy = 2x3y + 2y ,

2) gx = 2xy cos(x2y), gy = x2cos(x2y).

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Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y) = x3y 2 + x2 + y 2,

2) g(x , y) = sin(x2y).

Svolgimento

1) fx = 3x2y 2 + 2x , fy = 2x3y + 2y ,

2) gx = 2xy cos(x2y), gy = x2cos(x2y).

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Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y) = x3y 2 + x2 + y 2,

2) g(x , y) = sin(x2y).

Svolgimento

1) fx = 3x2y 2 + 2x , fy = 2x3y + 2y ,

2) gx = 2xy cos(x2y), gy = x2cos(x2y).

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Esercizi

Calcolare le derivate parziali prime delle funzioni:

1) f (x , y) = x3y 2 + x2 + y 2,

2) g(x , y) = sin(x2y).

Svolgimento

1) fx = 3x2y 2 + 2x , fy = 2x3y + 2y ,

2) gx = 2xy cos(x2y), gy = x2cos(x2y).

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).

Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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La derivabilita di una funzione f (x , y) in un punto, non implica lacontinuita di f in tale punto.

EsempioVerificare che f (x , y) = xy

x2+y2 , (x , y) ∈ R2, f (0, 0) = 0

a)non e continua in (0, 0),b) e derivabile in (0, 0).Si ha

a) : lim(x ,y)→(0,0)

xy

x2 + y 2= lim

ρ→0

ρ2 cos θ sin θ

ρ2= cos θ sin θ =6 ∃ (dipende da θ)

b) : fx(0, 0) = limh→0

0

h= 0,

analogamente si ottiene fy (0, 0) = 0.

f e derivabile in (0, 0)con fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0, ma non e continua intale punto.

si poteva ottenere lo stesso risultato osservando chef (x , 0) = 0, f (0, y) = 0 cioe f e costante lungo gli assi coordinati, si haallora fx(0, 0) = fy (0, 0) = 0.

La generalizzazione della condizione sufficiente per la continuita di unafunzione in una variabile f (x), in R2 e data dalla differenziabilita dellaf (x , y).

f (x , y) differenziabile in (x0, y0) ⇒ f (x , y) continua in (x0, y0)

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

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Esercizi

Stabilire se le funzioni ammettono derivate parziali nei punti (0, 0), (0, 1),(1, 0), (1, 1)

1) f (x , y) =√

x2 + y 2,2) g(x , y) = |xy |,3) u(x , y) = |x − y |(x + y).

Svolgimento

Si ha

1) fx(0, 0) = limh→0

f (h, 0)− f (0, 0)

h= lim

h→0

|h|h

=6 ∃, fy (0, 0) =6 ∃

fx(0, 1) = limh→0

√h2 + 1− 1

h= 0

fy (0, 1) = limk→0

√(k + 1)2 − 1

k= lim

k→0

|1 + k | − 1

k= lim

k→0

k

k= 1

fx(1, 0) = 1, fy (1, 0) = 0.

fx(1, 1) = limh→0

√(1 + h)2 + 1−

√2

h= · · · =

1√2, fy (1, 1) =

1√2

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 9 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

2) gx(0, 0) = limh→0

0

h= 0, gy (0, 0) = 0

gx(0, 1) = limh→0

|h|h

= @, gy (0, 1) = limk→0

0

k= 0

gx(1, 0) = limh→0

0

h= @, gy (1, 0) = lim

k→0

|k |k

= @

gx(1, 1) = limh→0

|1 + h| − 1

h= 1, gy (1, 1) = 1

3) ux(0, 0) = limh→0

|h|hh

= 0, uy (0, 0) = 0

ux(0, 1) = limh→0|h−1|(h+1)−1

h = 0, uy (0, 1) = 0

ux(1, 0) = 2, uy (1, 0) = 0

ux(1, 1) = limh→0|h|(2+h)

h = @, uy (1, 1) = @

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 10 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D e ivi dotata diderivate parziale prime fx(x , y), fy (x , y). Se a loro volta le funzioni fx , fyammettono derivate parziali

∂

∂xfx ,

∂

∂yfx ,

∂

∂xfy ,

∂

∂yfy ,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto ay in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con isimboli brevi

fxx , fxy , fyx , fyy

oppure con i simboli

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y∂x,

∂2f

∂y 2.

In particolare fxy , fyx sono dette derivate seconde miste, mentre fxx , fyyderivate seconde pure.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D e ivi dotata diderivate parziale prime fx(x , y), fy (x , y). Se a loro volta le funzioni fx , fyammettono derivate parziali

∂

∂xfx ,

∂

∂yfx ,

∂

∂xfy ,

∂

∂yfy ,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto ay in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con isimboli brevi

fxx , fxy , fyx , fyy

oppure con i simboli

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y∂x,

∂2f

∂y 2.

In particolare fxy , fyx sono dette derivate seconde miste, mentre fxx , fyyderivate seconde pure.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D e ivi dotata diderivate parziale prime fx(x , y), fy (x , y). Se a loro volta le funzioni fx , fyammettono derivate parziali

∂

∂xfx ,

∂

∂yfx ,

∂

∂xfy ,

∂

∂yfy ,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto ay in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con isimboli brevi

fxx , fxy , fyx , fyy

oppure con i simboli

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y∂x,

∂2f

∂y 2.

In particolare fxy , fyx sono dette derivate seconde miste, mentre fxx , fyyderivate seconde pure.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D e ivi dotata diderivate parziale prime fx(x , y), fy (x , y). Se a loro volta le funzioni fx , fyammettono derivate parziali

∂

∂xfx ,

∂

∂yfx ,

∂

∂xfy ,

∂

∂yfy ,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto ay in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con isimboli brevi

fxx , fxy , fyx , fyy

oppure con i simboli

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y∂x,

∂2f

∂y 2.

In particolare fxy , fyx sono dette derivate seconde miste, mentre fxx , fyyderivate seconde pure.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Definizione di derivata parziale seconda

Sia D un insieme aperto di R2 e f (x , y) definita in D e ivi dotata diderivate parziale prime fx(x , y), fy (x , y). Se a loro volta le funzioni fx , fyammettono derivate parziali

∂

∂xfx ,

∂

∂yfx ,

∂

∂xfy ,

∂

∂yfy ,

allora definiamo la funzione f derivabile due volte rispetto a x o rispetto ay in (x0, y0) e indicheremo (tralasciando l’indicazione del punto) con isimboli brevi

fxx , fxy , fyx , fyy

oppure con i simboli

∂2f

∂x2,

∂2f

∂x∂y,

∂2f

∂y∂x,

∂2f

∂y 2.

In particolare fxy , fyx sono dette derivate seconde miste, mentre fxx , fyyderivate seconde pure.

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 11 / 16

Esempio

Calcolare le derivate parziali seconde delle funzioni1) f (x , y) = cos(x2 + y 2), in R2

2) g(x , y) = xy in D = {(x , y) ∈ R2 : x > 0}

Svolgimento1) fx = −2x sin(x2 + y 2), fy = −2y sin(x2 + y 2), percio

fxx = −2 sin(x2 + y 2)− 4x2 cos(x2 + y 2), fxy = −4xy cos(x2 + y 2),

fyy = −2 sin(x2 + y 2)− 4y 2 cos(x2 + y 2), fyx = −4xy sin(x2 + y 2).

2) gx = yxy−1, gy = xy lnx , percio

gxx = y(y − 1)xy−2, gxy = xy−1 + yxy−1lnx ,

gyy = xy ln2x , gyx = yxy−1lnx + xy−1

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 12 / 16

Esempio

Calcolare le derivate parziali seconde delle funzioni1) f (x , y) = cos(x2 + y 2), in R2

2) g(x , y) = xy in D = {(x , y) ∈ R2 : x > 0}Svolgimento1) fx = −2x sin(x2 + y 2), fy = −2y sin(x2 + y 2), percio

fxx = −2 sin(x2 + y 2)− 4x2 cos(x2 + y 2), fxy = −4xy cos(x2 + y 2),

fyy = −2 sin(x2 + y 2)− 4y 2 cos(x2 + y 2), fyx = −4xy sin(x2 + y 2).

2) gx = yxy−1, gy = xy lnx , percio

gxx = y(y − 1)xy−2, gxy = xy−1 + yxy−1lnx ,

gyy = xy ln2x , gyx = yxy−1lnx + xy−1

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Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Seesistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allorafxy (x0, y0) = fyx(x0, y0).

Dimostrazione

Sia (x , y) il genericopunto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano(x , y0), (x0, y) gli altri due punti che con(x0, y0) formano un rettangolo dentro D.Introduciamo le due funzioni:

F (x) = f (x , y)− f (x , y0), fissato y

G (y) = f (x , y)− f (x0, y), fissato x .

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 13 / 16

Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Seesistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allorafxy (x0, y0) = fyx(x0, y0).

Dimostrazione

Sia (x , y) il genericopunto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano(x , y0), (x0, y) gli altri due punti che con(x0, y0) formano un rettangolo dentro D.

Introduciamo le due funzioni:

F (x) = f (x , y)− f (x , y0), fissato y

G (y) = f (x , y)− f (x0, y), fissato x .

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 13 / 16

Teorema di Schwarz

Teorema di Scwarz Sia f (x , y) definita nell’aperto D e (x0, y0) ∈ D. Seesistono continue in (x0, y0) le derivate seconde di f , allorafxy (x0, y0) = fyx(x0, y0).

Dimostrazione

Sia (x , y) il genericopunto di D con x 6= x0, y 6= y0 e siano(x , y0), (x0, y) gli altri due punti che con(x0, y0) formano un rettangolo dentro D.Introduciamo le due funzioni:

F (x) = f (x , y)− f (x , y0), fissato y

G (y) = f (x , y)− f (x0, y), fissato x .

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 13 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x) e G (y) il Teorema di Lagrange per funzioni di unavariabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x0, x) esistera un punto x1 tale che

(1) F (x)− F (x0) = F ′(x1)(x − x0) = [fx(x1, y) − fx(x1, y0)](x − x0).

Per la G , nell’intervallo (y0, y) esistera un punto y1 tale che

(2) G (y)− G (y0) = G ′(y1)(y − y0) = [fy (x , y1) − fy (x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla fxnella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y2 ∈ (y0, y) tale che

F (x)− F (x0) = fxy (x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x2 ∈ (x , x0):G (y)− G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x) e G (y) il Teorema di Lagrange per funzioni di unavariabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x0, x) esistera un punto x1 tale che

(1) F (x)− F (x0) = F ′(x1)(x − x0) = [fx(x1, y) − fx(x1, y0)](x − x0).

Per la G , nell’intervallo (y0, y) esistera un punto y1 tale che

(2) G (y)− G (y0) = G ′(y1)(y − y0) = [fy (x , y1) − fy (x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla fxnella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y2 ∈ (y0, y) tale che

F (x)− F (x0) = fxy (x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x2 ∈ (x , x0):G (y)− G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x) e G (y) il Teorema di Lagrange per funzioni di unavariabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x0, x) esistera un punto x1 tale che

(1) F (x)− F (x0) = F ′(x1)(x − x0) = [fx(x1, y) − fx(x1, y0)](x − x0).

Per la G , nell’intervallo (y0, y) esistera un punto y1 tale che

(2) G (y)− G (y0) = G ′(y1)(y − y0) = [fy (x , y1) − fy (x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla fxnella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y2 ∈ (y0, y) tale che

F (x)− F (x0) = fxy (x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x2 ∈ (x , x0):G (y)− G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x) e G (y) il Teorema di Lagrange per funzioni di unavariabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x0, x) esistera un punto x1 tale che

(1) F (x)− F (x0) = F ′(x1)(x − x0) = [fx(x1, y) − fx(x1, y0)](x − x0).

Per la G , nell’intervallo (y0, y) esistera un punto y1 tale che

(2) G (y)− G (y0) = G ′(y1)(y − y0) = [fy (x , y1) − fy (x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla fxnella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y2 ∈ (y0, y) tale che

F (x)− F (x0) = fxy (x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x2 ∈ (x , x0):G (y)− G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Dimostrazione del Teorema di Scwarz

Applichiamo ad F (x) e G (y) il Teorema di Lagrange per funzioni di unavariabile.

In particolare per la F , nell’intervallo (x0, x) esistera un punto x1 tale che

(1) F (x)− F (x0) = F ′(x1)(x − x0) = [fx(x1, y) − fx(x1, y0)](x − x0).

Per la G , nell’intervallo (y0, y) esistera un punto y1 tale che

(2) G (y)− G (y0) = G ′(y1)(y − y0) = [fy (x , y1) − fy (x0, y1)](y − y0).

Riapplichiamo ora il Teorema di Lagrange nelle relazioni ottenute ( alla fxnella relazione (1); alla fy nella relazione (2))

Nella (1) si ha che esiste un y2 ∈ (y0, y) tale che

F (x)− F (x0) = fxy (x1, y2) (x − x0) (y − y0).

Analogamente nella (2) si ha che esiste un x2 ∈ (x , x0):G (y)− G (y0) = fyx(x2, y1) (x − x0) (y − y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 14 / 16

Da un calcolo diretto si ottiene

F (x)− F (x0) = G (y)− G (y0)

e quindi fxy (x1, y2) = fyx(x2, y1).

Tenuto conto della continuita delle derivate seconde, se facciamo tendere(x , y)→ (x0, y0) si ha fxy (x0, y0) = fyx(x0, y0).

NOTA: Essendo x0 < x1, x2 < x , y0 < y1, y2 < y , al tendere di (x , y) a(x0, x0), anche (x1, y2) e (x2, y1) tendono a (x0, y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 15 / 16

Da un calcolo diretto si ottiene

F (x)− F (x0) = G (y)− G (y0) e quindi fxy (x1, y2) = fyx(x2, y1).

Tenuto conto della continuita delle derivate seconde, se facciamo tendere(x , y)→ (x0, y0) si ha fxy (x0, y0) = fyx(x0, y0).

NOTA: Essendo x0 < x1, x2 < x , y0 < y1, y2 < y , al tendere di (x , y) a(x0, x0), anche (x1, y2) e (x2, y1) tendono a (x0, y0).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 15 / 16

Derivate parziali successive

Consideriamo la funzione fxx(x , y), e sia D ′ il suo dominio.

Se essa risulta derivabile rispetto a x o rispetto a y in (x0, y0), diremo chela f ammette derivate terze fxxx(x0, y0) e fxxy (x0, y0).

Analogamente a partire dalle altre derivate seconde, si definiscono lederivate parziali terze (es. fyyx , fyyy , etc).

Derivabilita parziale per funzioni di due variabiliCCS Ingegneria Meccanica e Ingegneria Chimica 16 / 16