Dispense di Analisi Matematica Iweb.math.unifi.it/users/zecca/Sci-Forma/Funzioni-1.pdfCapitolo 1...

Dispense di Analisi Matematica I

Pietro ZECCA

25 agosto 2003

Indice

0.1 Prefazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70.1.1 Presunzioni (dell’Autore) su Culture e loro Trasmissione. 70.1.2 Suggerimenti per gli Studenti . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1 Funzioni da R in R 11.1 Vocabolario: Traduzione dal Mondo Reale . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Costruire Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 I Grafici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.1 Grafici di Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.2 Traslazioni e Dilatazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.3 I Grafici ed il Software . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.3.1 La Finestra del Grafico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.2 Grafici di Software in Analisi . . . . . . . . . . . . . . . . 311.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.4 Cosa è una Funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.4.1 Funzioni Pari e Dispari: Simmetria del Grafico. . . . . . . 411.4.2 Funzioni Periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421.4.3 Linguaggio delle Funzioni. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 441.4.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

2 Funzioni Elementari 532.1 Funzioni Algebriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.1.1 Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.1.2 Funzioni razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

2.2 Funzioni Esponenziali e Logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Funzioni Esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Funzioni Logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2.3 Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.3.1 Proprietà Fondamentali delle Funzioni Seno e Coseno . . 642.3.2 Altre Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . . 65

2.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.5 Come Costruire Nuove Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

2.5.1 Operazioni Algebriche tra Funzioni . . . . . . . . . . . . . 722.5.2 Composizione di Funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 732.5.3 Funzioni Inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3

4 INDICE

2.5.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.6 Modelli Matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

2.6.1 Traiettorie Paraboliche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 852.6.2 Funzione Esponenziale. Crescita ed Interesse . . . . . . . 88

3 Le Derivate 913.1 La Derivata come Variazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

3.1.1 Quantità, Variazioni ed Automobili: Un Primo Esempio . 923.1.2 Un Primo Approccio alla Stima della Derivata . . . . . . 1023.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

3.2 La Geometria delle Derivate. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1153.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1233.2.2 La Geometria delle Derivate di Ordine Superiore . . . . . 1273.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

3.3 Definizione di Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.3.1 Il Problema della Variazione. . . . . . . . . . . . . . . . . 1373.3.2 Derivata: Definizione Formale. . . . . . . . . . . . . . . . 1433.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

3.4 Limiti e Continuità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1493.4.1 L’Idea Base: Alcuni Esempi Semplici. . . . . . . . . . . . 1493.4.2 Definizione di Limite - Informale e Preciso. . . . . . . . . 1533.4.3 Continuità. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1563.4.4 Esercizi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1603.4.5 Limiti che Coinvolgono l’Infinito. . . . . . . . . . . . . . . 1643.4.6 Algebra dei Limiti. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.4.7 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

4 Le Derivate delle Funzioni Elementari 1794.1 Derivate delle Potenze e dei Polinomi . . . . . . . . . . . . . . . . 180

4.1.1 Derivata di una Potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1804.1.2 Combinazione di Potenze: La Regola della Somma e della

Costante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1834.1.3 Il Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1884.1.4 Esercizi di Derivazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1904.1.5 Esercizi su Massimi e Minimi . . . . . . . . . . . . . . . . 194

4.2 Derivata dell’Esponenziale e del Logaritmo . . . . . . . . . . . . 1964.2.1 Derivata delle funzioni Esponenziali . . . . . . . . . . . . 1964.2.2 Derivata delle funzioni Logaritmo . . . . . . . . . . . . . . 1974.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200

4.3 Derivate delle Funzioni Trigonometriche . . . . . . . . . . . . . . 2034.3.1 Derivazione della Funzione Seno . . . . . . . . . . . . . . 2034.3.2 Derivazione della Funzione Coseno . . . . . . . . . . . . . 2044.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

4.4 La Derivazione del Prodotto e del Quoziente . . . . . . . . . . . . 2104.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.5 La Derivazione delle Funzioni Composte . . . . . . . . . . . . . . 220

INDICE 5

4.5.1 Derivata delle Funzioni Inverse e Derivazione della Com-posizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

4.5.2 Funzioni Trigonometriche Inverse e Loro Derivate . . . . . 2244.5.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

4.6 Differenziazione Implicita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2384.6.1 Funzioni Definite Implicitamente . . . . . . . . . . . . . . 2384.6.2 Funzioni Implicite, Derivate Implicite . . . . . . . . . . . 239

5 Applicazioni delle Derivate 1 2455.1 La Regola dell’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

5.1.1 Come Funziona la Regola. Primi Esempi Semplici . . . . 2475.1.2 Perché Funziona. Una Idea di Dimostrazione . . . . . . . 2495.1.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250

5.2 Equazioni Differenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.1 Problemi al Valore Iniziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2525.2.2 Equazioni Differenziali: Modellare la Crescita . . . . . . . 2555.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264

5.3 Polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2665.3.1 Retta Tangente e Approssimazione Lineare . . . . . . . . 2665.3.2 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2685.3.3 Polinomi di Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2705.3.4 Definizione Formale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2715.3.5 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

5.4 Ottimizzazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.4.1 Ottimizzazione e Derivate . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2795.4.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

5.5 Il Calcolo ed i Soldi: Derivate in Economia . . . . . . . . . . . . . 2875.5.1 Fenomeni Discreti e Fenomeni Continui . . . . . . . . . . 2875.5.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2925.5.3 Variazioni Correlate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

6 Applicazioni delle Derivate 2 3016.1 Curve nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

6.1.1 Curve Piane ed Equazioni Parametriche. . . . . . . . . . . 3016.1.2 Equazioni Parametriche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3026.1.3 Derivate delle Curve Parametriche: Velocità e Pendenza . 3116.1.4 Il Vettore Velocità e la Lunghezza di una Curva. . . . . . 311

6.2 Proprietà della Continuità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3176.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

6.3 Il Teorema del Valor Medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3236.3.1 Le Funzioni Differenziabili Sono Continue . . . . . . . . . 3236.3.2 IL Teorema del Valor Medio (TVM) . . . . . . . . . . . . 3246.3.3 Dimostrazione del Teorema del Valor Medio . . . . . . . . 3266.3.4 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

6 INDICE

7 Il Calcolo delle Aree e l’Integrale 3317.1 Il Problema del Calcolo dell’Area e l’Integrale . . . . . . . . . . . 331

7.1.1 L’Integrale come Area . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3327.1.2 Caso di Funzioni Non Necessariamente Positive . . . . . . 3387.1.3 Valor Medio ed Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340

7.2 Il TFCI. Sviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3437.2.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348

7.3 Somme Approssimanti: L’Integrale come Limite . . . . . . . . . . 3577.3.1 Stima degli Integrali con le Somme Approssimanti . . . . 3577.3.2 Somme di Riemann e Definizione dell’Integrale come Limite3617.3.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365

7.4 Aree nel Piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3687.4.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372

8 Ricerca delle Primitive 3738.1 Integrali, Derivate e il TFCI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373

8.1.1 Derivate e Primitive: Strategie Basilari . . . . . . . . . . 3748.1.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377

8.2 Integrazione per Sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3798.2.1 L’Idea della Sostituzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3808.2.2 Sostituzione negli Integrali Definiti . . . . . . . . . . . . . 3828.2.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

8.3 Integrale per Parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3908.3.1 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393

8.4 Aiuto al Calcolo degli Integrali: Tavole e Software . . . . . . . . 3958.4.1 Tavole di Integrazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3958.4.2 Completare il Quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3968.4.3 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 399

A I numeri reali 401A.1 La retta reale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401

A.1.1 Sottoinsiemi dei reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402A.1.2 Il simbolo ∞ : non è un numero . . . . . . . . . . . . . . . 403A.1.3 Valore assoluto, distanza e disequazioni . . . . . . . . . . 404A.1.4 Coordinate nel piano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407A.1.5 Sistemi di coordinate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 408

A.2 Esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412A.2.1 Una Dimostrazione con ε e δ. . . . . . . . . . . . . . . . . 414

0.1. PREFAZIONE 7

0.1 Prefazione

0.1.1 Presunzioni (dell’Autore) su Culture e loro Trasmissione.

Il modo classico, ritenuto più ortodosso, con cui si intende lo studio è spessoil seguente: si prende un libro, si legge, si studia e, alla fine, con più o menofatica, si impara. Un libro è un testo scritto, un’estensione del linguaggio fissatouna volte per tutte su carta. Il linguaggio è fatto di simboli e di parole (altrisimboli). Quando percepiamo questi simboli, se ne conosciamo il significato, seconosciamo la lingua cui appartengono (la matematica, nel nostro caso), la nos-tra mente ricostruisce, dentro di sé, le cose cui si riferiscono. Leggere significaquindi decodificare e ricostruire, lavoro che può essere anche molto complica-to. Non basta, infatti, recuperare il significato di singoli simboli e parole. Essivanno poi assemblati per dare loro un senso logico corretto.Il lavoro avviene totalmente nell’interno della mente, senza alcun scambio conl’esterno che non sia l’input dei simboli dal libro o l’eventuale aiuto di un quader-no. E’ un lavoro che richiede una completa concentrazione, se ci si distrae, se siassume consapevolezza di altro, si perde il filo. Per questo, studiare è faticoso,perché richiede attenzione e concentrazione costante. Si è rinchiusi dentro unmeccanismo “simbolico-ricostruttivo”: si decodificano simboli e si ricostruiscenella mente ciò cui si riferiscono.

Questo è anche il modo in cui la matematica ha formalizzato il suo saperein questo secolo.

E’ questo l’unico modo con cui si può apprendere? Non c’è modo di uscireda questo schema?

In realtà, come tutti sanno sin dall’infanzia, c’è un altro modo di imparare;quello che si usa giocando. Esso si basa sull’idea di coordinazione senso-motoria.Si percepisce una situazione e la si modifica con la propria azione, si individuala nuova situazione e si interviene di nuovo alterando l’azione in base ai risul-tati, e così via. Così facendo non si impara solo a fare, ma anche come sonofatte le cose, come funziona il mondo. Usiamo, come si usa dire, il meccan-ismo percettivo-motorio, un meccanismo che prevede una interazione forte tramondo reale che fornisce l’input (percezione) e la mente che analizzato l’inputdetermina l’output (l’azione) da fare all’esterno.

I passaggi insiti in questo approccio sono spesso inconsci e quindi si imparasenza averne quasi consapevolezza. Contemporaneamente, dal suo operare siricava una sensazione di piacevolezza, a volte di frustrazione quando non siottiene l’output sperato, ma difficilmente di stanchezza.

Gli apprendimenti di origine senso-motoria sono accessibili quando servonorealmente, quando si presenta una situazione in cui vanno utilizzati. Non sonoinvece accessibili in astratto, al di fuori del contesto.

Le differenze tra i due approcci sono tipiche anche nelle risposte che si dannoalle stesse domande. In un caso si risponde te lo dico nell’altro te lo faccio. In uncaso si è in grado di spiegare, per esempio, il funzionamento di un meccanismoma non necessariamente di farlo funzionare; nell’altro si sa far funzionare unmeccanismo, ma non è detto che riesca a spiegarne il perché.

La diversa origine e forma comunicativa dei due sistemi, uno basato sulla

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percezione, l’altro sull’azione, ci spiega perché i due sistemi di apprendimentotendano a non comunicare tra loro: o si usa l’uno o si usa l’altro. Si perdonocosì tutti i vantaggi che una interazione tra i due sistemi potrebbe portare.

Il professore, colui che dalla cattedra “dispensa” conoscenze tutte formularenel linguaggio totalizzante (?) “simbolico-ricostruttivo”, non riesce ad essere“maestro”, persona che guida ed orienta l’esperienza. Spesso il professore non ècolui che dovrebbe essere: un accompagnatore che aiuta a compiere un percorso,che sollecita e corregge, che agisce insieme allo studente.

Sarebbe presuntuoso da parte dell’autore pensare di riuscire a riempire dasolo e con queste dispense il “gap” tra le due culture, i due approcci allaconoscenza e all’Analisi Matematica, in particolare. Tenteremo solo di scri-vere un testo che non vuole essere chiuso in sé, che chiede di essere verificatocontinuamente con l’uso dell’intuizione e l’aiuto di strumenti tecnologici perillustrare e confrontare i punti di vista grafico, numerico e simbolico, questo an-che perché, come ormai riconosciuto, la concezione interattiva dei programmipermette di recuperare, almeno parzialmente, il meccanismo “senso-motorio”.

0.1.2 Suggerimenti per gli Studenti

In queste dispense si intende presentare l’analisi delle proprietà delle funzionidi una variabile sotto l’aspetto simbolico, numerico ed anche, quando possibile,grafico. Si assume che gli studenti abbiano una preparazione che contemplii rudimenti dell’algebra, della geometria, della trigonometria e conoscenza dialcune delle funzioni elementari come i logaritmi e gli esponenziali. L’ideache muove la scrittura di queste dispense è quella di fornire agli studenti unostrumento che permetta loro di avvicinarsi ai concetti principali e ai metodidell’analisi delle funzioni di una variabile in modo semplice ed intuitivo.

Per questo facciamo uso e riferimento, tutte le volte che può rivelarsi utile aMaple, o ad altri programmi come Mathematica, Derive, etc. che permettonouna manipolazione formale, numerica e grafica.

Ogni capitolo delle dispense è pensato per essere letto da cima a fondo. Gliesempi, in particolare tendono ad illustrare idee, a renderle concrete, a fornireelementi per nuove idee piuttosto che come esemplificazione degli esercizi.

Così, anche i grafici non sono decorazioni del testo, ma parte importantenella crescita dell’intuizione geometrica. La capacità di visualizzare i problemiè altrettanto importante quanto quella di saperli impostare teoricamente.

Infine, la matematica non è un linguaggio naturale, ma ha un suo vo-cabolario, una sua grammatica ed una sua sintassi. Imparare ad usare corret-tamente questo linguaggio è fondamentale per capire, impostare e risolvere iproblemi che l’Analisi offre allo studente.

Capitolo 1

Funzioni da R in R

Ci vogliamo occupare di studiare le funzioni reali di variabile reale.Per funzione intendiamo una procedura ingresso uscita (input - output)

R Ä i −→ funzione → u ∈ Rcon la proprietà di assegnare un’ unica uscita ad ogni ingresso accettabile.

Le funzioni più familiari sono espresse da formule algebriche esplicite cheesprimono il modo in cui l’ingresso viene trasformato nell’uscita, come adesempio:

f (x) = x3 − 3x+ 2 ; g (x) =x2 − 4x+ 5

Funzioni come f e g sono facili da scrivere, facili da calcolare, facili da descrivere.Non tutte le funzioni hanno queste semplici proprietà e sono facili da descriverealgebricamente. Cercheremo di imparare a lavorare con funzioni descritte da ungrafico, da tavole, descritte a parole. Cercheremo infine di imparare ad usarei primi elementi di software matematici, che il mercato informatico offre, perverificare le nostre intuizioni, i nostri calcoli, i nostri grafici.

Esempio 1 Consideriamo la seguente tabella che rappresenta la crescita dellapopolazione umana nei secoli

Popolazione umanaAnno 0 1000 1500 1750 1800 1850 1900

Popolazione(in milioni)

300 310 500 790 980 1260 1650

Popolazione umanaAnno 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990

Popolazione(in milioni)

2070 2300 2520 3020 3700 4450 5300

La tavola mostra quello che ci si aspetta. La popolazione cresce sempre piùvelocemente nel tempo. Mettendo i dati su di un grafico si ha

1

2 CAPITOLO 1. FUNZIONI DA R IN R

1000

2000

3000

4000

5000

0 200 400 600 800 1200 1600 2000

Popolazione umana

La popolazione mondiale è certamente una funzione del tempo; incorrispondenza ad ogni valore del tempo si ha un valore della popo-lazione.Ci possiamo porre la domanda se esiste una formulazione algebricache descrive la funzione popolazione. Più avanti nel corso descriver-emo i metodi che permettono di trovare formule matematiche cheinterpolino dati. Per ora ci limitiamo ad affermare che la funzione

p (t) = 906 e0.008(t−1800)

rappresenta una “buona” interpolazione dei dati.

0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

200 400 600 8001000 1400 1800

Popolazione umana e grafico

Esempio 2 Indichiamo con T (t) la temperatura all’aeroporto di Peretola, ingradi Celsius, a partire dalla mezzanotte del 1◦ gennaio 1998.Questa regola definisce una funzione: per ogni ingresso t (tempo) la funzioneT assegna come uscita il valore della temperatura. Ci aspettiamo che la tem-peratura vari con continuità nel tempo, ma non pensiamo di poter trovare unaLa definizione

di continuità diuna funzioneverrà data piùardi.

semplice formula algebrica che descriva il fenomeno.

3

Osservazione. Funzioni come T (t) , che non hanno una formulazionematematica esplicita, possono sembrare artificiali. In un certo senso la verità èopposta. La maggior parte delle funzioni del mondo reale, come possono esserela temperatura, le condizioni atmosferiche, la variazione della popolazione, sonoimprevedibili, complicate e note in modo imperfetto. Le funzioni semplici, es-primibili algebricamente, che usiamo per modellare i fenomeni fisici, sono inveceartificiali. Ciò che è sorprendente è come queste funzioni semplici modellino inmodo qualitativamente buono i fenomeni del mondo reale.

Esempio 3 La tabella seguente dà alcune informazioni sulla funzione n (x)

x −3 −2 −1 0 1 2 3 4

n (x) −4 −9 −1 0 1 8 3 2

La nostra conoscenza di n (x) è chiaramente incompleta. Quanto vale n (10)?Per quali valori dell’ingresso è definita la funzione? Il grafico di n (x) è unacurva spigolosa o liscia?.

La tabella da sola non è in grado di dare risposta alle nostre domande(d’altra parte avere informazioni incomplete è piuttosto normale, sia nella vitareale che nei dati sperimentali). Se consideriamo, per esempio, il polinomio

p (x) = −152105

x+5

72x2 +

683

240x3 − 11

144x4 − 33

80x5 +

1

144x6 +

1

70x7

potremmo vedere che esso soddisfa i valori di n (x) nei punti assegnati. Questotuttavia non significa assolutamente che p (x) rappresenti correttamente la fun-zione n (x) .

Esempio 4 Sia m la funzione definita graficamente come segue

-1

0

1

3

-4 -3 -2 -1 1 2 3x

grafico di m (x)

Alcuni valori della funzione sono chiari anche dal disegno, per esempiom (0) = −1, m (1) = 0. La funzione può, comunque, essere rappresentataalgebricamente, con una formula che la definisce pezzo per pezzo, nel seguentemodo

m (x) =

− (x+ 1) per x < −1−√1− x2 per −1 ≤ x ≤ 1x− 1 per 1 < x ≤ 3


Funzioni come questa, definite a tratti, possono sembrare strane, ma essesono molti utili nella pratica. I disegni fatti dai computer, per esempio, sono diquesto genere, fatti di minuscoli segmenti o archi ognuno dei quali può esseredescritto algebricamente. Il processo di splining (unire correttamente curve osegmenti per formare una unica curva “liscia”), tipico dell’analisi numerica, èbasato proprio su queste idee. Le splines sono usate in disegno computerizzato,ingegneria ed altre applicazioni.

Esempio 5 Supponiamo di aver seguito il volo di un deltaplano a motore per 5minuti, e di aver determinato la curva disegnata sotto, dove in ascisse è l’assedei tempi (in minuti, per esempio) e sulle ordinate l’altezza in decine di metri.Il grafico ci mostra come varia l’altezza A (t) del deltaplano con il tempo, quandosale e quando scende.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

1 2 3 4 5x

Altezza del deltaplano

Ci potremmo porre anche un’altra domanda interessante: con quale rapiditàsale o scende il deltaplano ?In altre parole, come varia la velocità verticale V (t) col tempo? Il graficodell’altezza è in grado di dirci qualcosa sulla velocità verticale ?Osserviamo meglio il grafico e cerchiamo di vedere i seguenti fatti

Su o giù ? Il segno della velocità ci dice se il deltaplano sale o scende.L’altezza sale quando il deltaplano sale, in tal caso è V (t) > 0, (per esempionell’intervallo 0 < t < 1) e V (t) < 0 quando il deltaplano scende (per esempioper 1 < t < 2).

Quanto rapidamente ? Per t = 4 l’altezza cresce molto rapidamenteal variare del tempo, il che significa che il deltaplano sta salendo molto ve-locemente. Mentre invece nell’intervallo 1 < t < 2 il deltaplano diminuiscela propria altezza lentamente, il che vuole dire V (t) pur essendo negativa (ildeltaplano scende) non varia molto.

Come stimare la velocità ? La velocità verticale V (t) dipende dallavariazione di altezza col tempo. All’istante t = 2 il deltaplano sta scendendo,ma quanto? In altre parole, come stimare il valore di V (2) ? Una possibilitàè quella di fermare l’attenzione su di un intervallo contenente t = 2, come adesempio 1.5 < t < 2.5. Il grafico ci dice che

A (1.5) ≈ 4.75 mentre A (2.5) ≈ 3.75

1.1. VOCABOLARIO: TRADUZIONE DAL MONDO REALE 5

Ne segue che nell’intervallo di tempo di un minuto 1.5 ≤ t ≤ 2.5 il deltaplanoscende di circa 1 unità di misura del grafico o 100 metri; quindi la velocitàmedia in questo intervallo di tempo è dato da −10 metri al minuto. Possiamoallora dire che:

all’istante t = 1.5 la velocità è circa di −10 metri al minuto.In simboli: V (2) ≈ −10 m/min. o V (2) ≈ −1 unità/min

Il significato di pendenza La velocità verticale V (t) ha un importantesignificato grafico. Ad ogni istante t, la velocità V (t) è la pendenza del graficoA (t) al tempo t. Abbiamo già valutato che V (2) ≈ −1 . La versione graficadella stessa strategia è la seguente: su un piccolo intervallo di tempo intornoall’istante t = 2 il grafico può essere considerato rettilineo. Per valutare lapendenza è allora sufficiente considerare due punti sul grafico vicini a (2, 4)come (1.5, 4.75) e (2.5, 3.75) e calcolare la pendenza come

2.75− 3.751.5− 2.5 = −1

1.1 Vocabolario: Traduzione dal Mondo Reale

La matematica è un linguaggio. Poiché i problemi del mondo reale vengonoespressi nel linguaggio “naturale” (italiano nel nostro caso), la soluzione diquesti problemi inizia con la loro traduzione nel vocabolario e grammatica dellamatematica. La traduzione non è e non può essere parola per parola. I lin-guaggi naturali sono costruiti per esprimere sfumature, impressioni, emozioni equant’altro. La matematica è molto più diretta. Enfatizza semplicità e preci-sione anche in questioni profonde e sottili; allo stesso tempo individua l’essenzae non solo la forma del problema. Individuare l’essenza del problema ed es-primerlo matematicamente è il primo passo, e spesso il più importante, versola soluzione.

Fenomeni diversi possono trovare la loro formalizzazione corretta in campidiversi della matematica. I fenomeni che esprimono cambiamento vengono benespressi dall’analisi matematica. L’analisi offre sia il linguaggio nel quale descri-vere la variazione delle quantità “fisiche”, che le regole con le quali “predire” illoro comportamento. Le funzioni sono l’oggetto fondamentale dell’Analisi, cosìtradurre nel linguaggio analitico significa tradurre nel linguaggio delle funzioni.

Esempio 6 Per fare una scatola da un foglio di cartone di dimensione 20× 30si ritagliano dei quadrati uguali dagli angoli e poi si piega. Quale dimensionedevono avere i quadrati perché la scatola abbia il massimo volume possibile?

Soluzione.


Costruzione della scatola

Indichiamo con x il lato dei quadrati che vengono tagliati. I tre lati dellascatola hanno le seguenti dimensioni: x, 20−2x, 30−2x . Il volume della scatolaè

V (x) = x (20− 2x) (30− 2x)

Come è ovvio, il volume della scatola dipende dalla dimensione dei quadratiche si ritagliano, cioè il volume è una funzione di x. Ricordiamo ancora che ilproblema ha senso se i lati della scatola positivi, deve allora essere

x > 0 e 20− 2x > 0 e 30− 2x > 0

Queste disuguaglianze implicano

0 < x < 10 .

Nel linguaggio funzionale il problema è quello di trovare, fra tutti i possibiliingressi, quello che rende massimo il valore V (x) dell’uscita.Il grafico seguente ci mostra come varia V (x) al variare di x ∈ [0, 10]

0

200

400

600

800

1000

2 4 6 8 10x

Grafico di x (20− 2x) (30− 2x) :Come varia il volume


Il massimo volume possibile, guardando al grafico sembra essere quello rel-ativo al valore di x = 4 per il quale si ha il valore V (4) = 4 (20− 8) (30− 8) =1056. Per essere più precisi, usando il software, possiamo concentrare l’atten-zione nell’intorno del punto x = 4

1053

1054

1055

1056

3.8 3.9 4 4.1 4.2x

Grafico di x (20− 2x) (30− 2x)nell’intorno di x = 4

Il punto di vista più ravvicinato ci permette di vedere che in realtà il massimosembra essere per 3.9 < x < 4 , x ≈ 3.93 da cui si ricava V (3.93) ≈ 1056.3 cheè maggiore di V (4) = 1056.Si pone una domanda: è possibile avere un metodo che determina “esattamente”il punto di massimo ?

1.1.1 Costruire Funzioni

Costruire nuove funzioni, usando quelle che sono già note, è un metodo comune-mente usato in Analisi.

Esempio 7 Partiamo avendo a disposizione la funzione l (x) = x+ 2. Defini-amo, a partire da l una nuova funzione D definita come segue:Sia D (x) la distanza del punto (x, l (x)) che appartiene alla retta, dall’origine(0, 0) .

Soluzione. I punti della retta hanno la forma (x, x+ 2) . Usando la formuladella distanza nel piano si ha

D (x) =

q(x− 0)2 + (x+ 2− 0)2 =

p2x2 + 4x+ 4

Il grafico della funzione y = D (x) è dato da


2

3

4

5

6

-2 -1 0 1 2 3x

Grafico di y = D (x)

Notare la parte inferiore del grafico di D. Il minimo sembra cadere vicino alpunto x = −1. Questo minimo corrisponde al punto su l più vicino all’origine.¥

Approssimare Funzioni con Altre Funzioni

A volte è utile approssimare funzioni con altre funzioni

Esempio 8 (Approssimazione polinomiale della radice quadrata) Lafunzione polinomiale

p (x) =5

16+5

16x− 5

16x2 +

1

16x3

approssima bene la funzione√x nell’intorno del punto x = 1.

Il disegno mostra cosa intendiamo:

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1 2 3 4x

Approssimare√x con un polinomio

Nell’intorno del punto x = 1 i grafici sono praticamente indistinguibili.Altrove invece divergono l’uno dall’altro.Per esempio,

f (1.5) =√1.5 ≈ 1.22474 e p (1.5) ≈ 1.22656


ma

f (3) =√3 ≈ 1.73205 e p (3) = 2

In che modo abbiamo scelto il polinomio p per approssimare f è per ora mis-terioso. Più avanti nel corso impareremo come costruire polinomi che approssi-mano una grande varietà di funzioni non polinomiali.

Problema 9 Non tantissimi anni fa (fino ai primi anni ’70) a scuola si in-segnava la tecnica per calcolare a mano le radici quadrate. L’avvento dellecalcolatrici portatili prima e dei calcolatori poi ha fatto dimenticare questa tec-nica. Rimane comunque una questione: come fa una calcolatrice a calcolare leradici quadrate? E con quale accuratezza? Come esercizio, provare a trovareun modo sistematico di calcolare le radici quadrate con la calcolatrice senzausare il tasto della radice quadrata.


1.1.2 Esercizi

1. Considerate la funzione che descrive in modo approssimato la crescita dipopolazione

(a) Quale popolazione prevede per l’anno 2000 ?

(b) Cosa predice per l’anno 1000?

(c) Cosa predice per il 1000 A.C.

(d) Queste previsioni sono sensate?

2. Usare l’espressione algebrica di m data nell’esempio (4) per calcolare

(a) m (−4) , m (0)(b) m (2.3) , m (π)

3. Trovare una formula definita a tratti per la funzione il cui grafico è

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 2 4x

4. Sia l (x) = 2x+ 1

(a) Tracciare il grafico di l (x) nell’intervallo [0, 5]

(b) Sia D (x) la distanza del punto (x, l (x)) dall’origine. Trovare laformula per D (x)

(c) Disegnare il grafico di D (x) nell’intervallo 0 ≤ x ≤ 5

5. Per ogni t ≥ 0 sia A (t) l’area del rettangolo limitato superiormente dallaretta y = 3, inferiormente dall’asse x , a sinistra dall’asse delle y e a destradalla retta x = t.

(a) Scrivere l’equazione di A (t)

(b) Tracciare il grafico di A (t) per 0 ≤ t ≤ 4

6. Sia f la funzione definita da f (x) = x2. Definire la funzione m comesegue. Per x 6= 0 m (x) è la pendenza della retta che unisce l’origine (0, 0)con il punto (x, f (x)) .


(a) Trovare m (−1) , m (1) , m (2) , m (500)(b) Scrivere la formula di m (x) in funzione di x

(c) Tracciare il grafico di m (x) nell’intervallo −5 ≤ x ≤ 5

7. Supponete di noleggiare una macchina e che compagnia noleggiatrice vifaccia pagare f (x) migliaia di lire al giorno al chilometro, dove f è datodalla seguente formula

f (x) =

½60 se 0 ≤ x ≤ 10060 + 0.09 (x− 100) se x > 100

Descrivere in linguaggio corrente qual’è il costo della macchina

8. Trovare una formula (definita a tratti) per le due funzioni definite daiseguenti grafici

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-4 -2 2 4x-2

-1

0

1

2

-4 -2 2 4x

9. Per t > 0 sia A (t) l’area del triangolo limitato superiormente dalla rettay = x, inferiormente dall’asse delle x e a destra dalla retta x = t.

(a) Scrivere una formula per A (t)

(b) Tracciare il grafico di A (t) nell’intervallo 0 ≤ t ≤ 5

10. Sia l (t) = 2x+1 e sia A (t) l’area del trapezio limitato dall’asse x, dall’assey, da l e dalla retta x = t

11. Sia f la funzione definita da f (x) = x2. Per x 6= 0 definire la funzione knel seguente modo

k (x) =f (2 + x)− f (2− x)

2x

(a) Trovare k (−1) , k (−0.1) , k (1) , k (100)(b) Scrivere la formula esplicita per k (x)

(c) Tracciare il grafico di k (x) per 0 ≤ x ≤ 5

12. Sia f la funzione f (x) = x2 + 3x− 4 ed l la retta che interseca il graficodi f nei punti x = 2 e x = 2 + h


(a) Trovare l’equazione della retta che interseca f nei punti x = −1 ex = 2

(b) Trovare un’espressione algebrica della pendenza della retta l[NOTA: la risposta dipende da h]

(c) Usare la risposta di (b) per trovare l’equazione della retta l

(d) Usare (c) per trovare l’equazione della retta che interseca f in x = 2e x = 2.003

(e) Usare la risposta di (c) per trovare l’equazione della retta che inter-seca il grafico di f per x = 2 e x = −1

13. La produzione di un bicchiere costa ad un’azienda 600 lire.L’azienda stima che se il prezzo di vendita fosse 1000 lire potrebbe vender-ne 1000 pezzi.Diminuendo il prezzo di 10 lire potrebbe venderne 50 di più. Sia Nil numero di bicchieri prodotti (e venduti) e sia x la riduzione di costounitario

(a) Spiegare perché N (x) = 1000 + 50x

(b) Spiegare che il guadagno per ogni bicchiere venduto è: (1000− 10x)−600

(c) Trovare una formula che mette in relazione profitto totale e x

(d) Qual’è il prezzo ottimale?[Suggerimento: fare il grafico della funzione di (c)]

1.2. I GRAFICI 13

1.2 I Grafici

Ogni equazione nelle variabili x ed y ha un grafico - l’insieme delle coppieordinate (x, y) di numeri reali che soddisfano l’equazione -. Per esempio, ilgrafico di ogni equazione della forma

(x− a)2 + (y − b)2 = r2

è una circonferenza di centro (a, b) e raggio r.Associare un’equazione (un oggetto algebrico) ad un grafico (un oggetto geo-metrico) è una operazione importante per comprenderle entrambe.I grafici possono essere semplici, complicati e a volte anche bizzarri. Quelli dicui ci interesseremo saranno quasi sempre della forma y = f (x) e quasi ognipagina di questo libro si occuperà di studiare le proprietà di oggetti del tipoy = f (x) , cioè i grafici di funzioni.Comunque, per iniziare consideriamo tre grafici “strani”

Esempio 10 Disegnare i grafici delle tre equazioni seguenti: x2+y2 = −1 , x2+y2 = 0 , x2 + y2 = 1

Soluzione. I grafici sono i seguenti:

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

0

0.20.40.60.8

1

y

-1 -0.8 -0.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

-2

-1

1

2

-2 -1 1 2

-2

-1

1

2

y

-2 -1 1 2x

Essi ci dicono che nessuna coppia (x, y) soddisfa l’equazione data, quindi ilgrafico è vuoto; che solo l’origine (0, 0) soddisfa la seconda equazione e quindiche il grafico è formato da un solo punto, il terzo è la circonferenza di raggio 1.¥

Fatto 11 I grafici sono stati costruiti usando il seguente comando di Maple>implicitplot(expr(x,y),x=a..b,y=c..d)Per esempio, il terzo grafico è dato da:>implicitplot(x^2+y^2=1,x=0..1,y=0..1)Il comando si chiama implicitplot perché l’espressione nelle variabili (x, y)definisce “implicitamente” una o più funzioni (spiegheremo più avanti il signi-ficato di ciò).

1.2.1 Grafici di Funzioni

Alla funzione f (x) = x2 corrisponde, in modo ovvio, l’equazione y = x2 equindi la ben nota curva parabolica. Nello stesso modo, ad ogni funzione fcorrisponde l’equazione y = f (x) e quindi un grafico.


Definizione 12 Il grafico di una funzione f è l’insieme dei punti (x, y) chesoddisfa l’equazione y = f (x) . Cioè l’insieme dei punti della forma (x, f (x)) .

Il grafico di una funzione mostra geometricamente come varia la funzione alvariare degli ingressi nell’insieme in cui la funzione è definita. Poiché una dellequestioni fondamentali di questo corso è imparare a capire come le quantitàvarino una rispetto all’altra, i grafici giocano un ruolo essenziale nel darci lavisione geometrica del problema.Tracciare il grafico di una funzione espressa esplicitamente da una formula,come ad esempio p (x) = x3 − 2x2 + x− 2 è un problema antico, standard, maancora estremamente importante.Si potrebbe obiettare che ormai ci sono programmi che tracciano i grafici conmolta accuratezza; ciò è vero, ma rimane fondamentale capire con chiarezzacosa ci dicono i grafici e come ce lo dicono e, per fare questo c’è ancora bisognodella nostra capacità di analisi e di sintesi.Tracciare i grafici è utile (lo abbiamo già detto), ma ancora più interessanteè la connessione tra le proprietà analitiche di una funzione (per.es. quando edove cresce o decresce) e le proprietà geometriche del grafico (se e dove sale oscende).

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

y

-1 1 2 3 x

Grafico di y = p (x)

Osservazione:(a) intersezione con l’asse delle y. Il grafico interseca l’asse y all’altezza−2. In simboli p (0) = −2.(b) il grafico non presenta “salti” né “interruzioni”; potrebbe essere diseg-nato a mano senza staccare la penna dal foglio. In linguaggio matematico,si dice che la funzione è continua nel dominio mostrato.(c) il grafico interseca l’asse delle x nel punto x = 2, cioè p (2) = 0 comesi vede fattorizzando la formula di p (x)

p (x) = x3 − 2x2 + x− 2 = (x− 2) ¡x2 + 1¢La fattorizzazione ci dice qualcosa di più,: p (x) = 0 solo se x = 2.(d) il grafico di p sale da x = 1 a x = 3. Nel linguaggio dell’Analisi diremo

1.2. I GRAFICI 15

che p cresce per 1 < x < 3. Il grafico è disegnato nell’intervallo [−1, 3],così non possiamo dire cosa accade per valori maggiori della variabile x.Osservando, però l’espressione fattorizzata di p (x) , possiamo vedere chep cresce per tutti i valori di x > 1 (più avanti vedremo metodi che cipermetteranno di mostrare la stessa proprietà in modo più semplice).

Esempio 13 Consideriamo il seguente grafico di una funzione f

-2

-1.5

-0.5

0

0.5

1

-2 -1 1 2 3x

Grafico di y = f (x)

Cosa ci dice il grafico sulla funzione f ?

Soluzione.

• Poiché il punto (0, 0) appare nel grafico è f (0, 0) = 0.• Osservando il grafico potremmo dire che f (−1) ≈ 0.6, per poter affermareche f (−1) = 0.6 avremmo bisogno di maggiori informazioni.

• Il grafico non ci dice quanto vale f (4) o f (−3) . Possiamo cercare diipotizzarlo osservando l’andamento decrescente a sinistra di x = −2 o adestra di x = 3. In realtà dal solo grafico non siamo neanche in grado disapere se f (−3) o f (4) esistono.

• I punti sul grafico, corrispondenti ai due cerchi, sono quelli che chiamer-emo punti di massimo locale e minimo locale della funzione f. Lecoordinate del massimo sono circa (−1, 0.6) il che implica f (−1) ≈ 0.6,quelle del minimo (2,−1.7) il che implica f (2) ≈ −1.7. Mettendo insiemequesti dati possiamo dire (con l’approssimazione dovuta al disegno delgrafico) che f cresce a sinistra di x = −1, decresce nell’intervallo (−1, 2) ,cresce a destra di x = 2.

• Per quali valori di x si ha f (x) < −1 ? Un possibile approccio è quello ditracciare una retta orizzontale per y = −1. Questa retta taglia il graficoin tre punti diversi che sono all’incirca x ≈ −2.5, x ≈ 1, x ≈ 3 per cuipossiamo stimare che f (x) < −1 se x < −2.5 o se 1 < x < 3.Due precauzioni sono necessarie nei nostri ragionamenti: primo, ogni nu-mero è solo approssimato; secondo, non abbiamo alcuna idea del compor-tamento della funzione f (x) per valori della variabile x esterni all’inter-vallo mostrato nel grafico.


• Più avanti studieremo meglio il significato di convessità e concavità. Laconvessità è una proprietà geometrica: un cucchiaio (nella sua posizioneusuale) è convesso, un ombrello è concavo. Partendo da questi esempipossiamo dire che il grafico della funzione è concavo nell’intorno del puntomassimo e convesso relativamente a quello di minimo.

• Il punto in cui il grafico passa dall’essere concavo all’essere convesso (oviceversa) è detto punto di flesso. Quanti sono i punti di flesso delgrafico mostrato?Un’occhiata attenta mostra che si ha un punto di flesso per un valore dix tra 0 ed 1. E’ difficile essere più precisi osservando il grafico. Vedremocome l’Analisi ci permette di dare una risposta precisa.

1.2.2 Traslazioni e Dilatazioni

In questo paragrafo vogliamo capire come le costanti modificano le funzioni edi loro grafici.Data una funzione f ed una costante a possiamo creare nuove funzioni neiseguenti modi

f (x) + a , f (x+ a) , f (ax) , af (x)

Come le nuove funzioni si differenziano da f ? Quale ruolo ha la costante a ?

Traslazione orizzontale e verticale

Cominciamo a considerare le due funzioni

g (x) = f (x) + a , h (x) = f (x+ a)

dove a si comporta come una costante additiva.Si ottiene g da f sommando la costante a all’uscita di f, mentre h è ottenutasommando a all’ingresso x.Disegniamo il grafico di g per vari valori di a

-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Traslazione verticale: y = f (x) + a

1.2. I GRAFICI 17

Il grafico di f (x) + a si ottiene da quello di f (x) traslandolo verticalmentedella quantità a.La costante a causa una traslazione verticale.

La relazione tra f ed h è differente. Confrontate i grafici

-6

-4

-2

0

2

4

6

-4 -2 0 2 4 6x

Traslazione orizzontale: y = f (x+ a)

Il grafico di f (x+ a) si ottiene dal grafico di f traslandolo orizzontalmentedi a unità verso sinistra.Questa volta la costante a causa una traslazione orizzontale.

Sinistra? Non destra? Può sembrare sorprendente che a > 0 trasli ilgrafico di f (x+ a) verso sinistra e non verso destra. Per vederlo geometrica-mente, pensiamo alla funzione f (x+ 2) . Allora è h (−2) = f (0) , h (−1) =f (1) , h (0) = f (2) e così via. Come si vede h è di due unità in anticiporispetto ad f . Qualunque cosa faccia h , f la fa due unità più tardi.

Costanti Moltiplicative: Allungamento, Compressione e Riflessione

Come prima, partiamo da una funzione f (x) e costruiamo le due nuove funzioni

g (x) = a f (x) , h (x) = f (ax)

Notate che g si ottiene da f moltiplicando l’uscita per a, mentre h si ottienemoltiplicando l’ingresso per a.


-6

-4

-2

0

2

4

6

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

Dilatazione verticale : y = af (x)con : a = 1/2, 1, −1, 3, −3

I grafici mostrano l’effetto del fattore a. Moltiplicare f (x) per a causa unadilatazione verticale di valore |a| , e se a < 0 una riflessione rispetto all’assex.

Prima di continuare, vogliamo puntualizzare l’uso che facciamo dei terminidilatare, comprimere e riflettere.

• Se a > 1 cosa significa dilatare è semplice. Il grafico di y = 3f (x) siottiene dal grafico di f triplicando i valori della coordinata y in ognipunto del grafico di f .

• se 0 < a < 1 (individua nel grafico il caso a = 1/2) ciò che si ottiene è undecremento del valore rispetto a quello di f (x) con il grafico che tende adappiattirsi. In questa situazione parleremo anche di compressione delgrafico.

• Un fattore moltiplicativo negativo aggiunge agli effetti di cui sopra ancheuna riflessione rispetto all’asse delle x (vedere sopra i casi a = −1 e a =−3). Nel caso a = −1 si ha che i grafici di f e −f sono immagini specularil’uno dell’altro. Per a = −3 si hanno sia riflessione che dilatazioneverticale.

Dilatazione orizzontale e riflessione. Consideriamo adesso la funzioneh (x) = f (ax) . Come abbiamo appena detto moltiplicare l’uscita di una fun-zione implica una dilatazione verticale. Analogamente, la moltiplicazione del-l’ingresso per una costante da luogo ad una dilatazione o compressione orizzon-tale. I seguenti grafici mostrano h per diversi valori di a

1.2. I GRAFICI 19

0

0.20.4

0.6

0.8

11.2

1.4

1.61.8

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y = f (x) ; a = 1

0

0.20.4

0.6

0.8

11.2

1.4

1.61.8

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y = f (1/2x) ; a = 1/2

0

0.20.4

0.6

0.81

1.2

1.41.6

1.8

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y = f (2x) ; a = 2

0

0.20.4

0.6

0.81

1.2

1.41.6

1.8

2

-3 -2 -1 0 1 2 3 4x

y = f (−x) ; a = −1Cercate di notare le similarità, ma anche le differenze con la dilatazione

verticale:

• Il grafico di f (x) , f (1/2x) , f (2x) mostrano che se a > 0 il grafico dif (ax) è il risultato della dilatazione del grafico di f di un fattore pari ad1/a oppure compressione di fattore a.

• Un valore negativo di a causa, questa volta, una riflessione intorno all’assey. Il grafico di f (−2x), per esempio, si ottiene sia comprimendo il graficodi f di un fattore 2 che riflettendolo intorno all’asse y.


1.2.3 Esercizi

1. E’ data una funzione f il cui grafico è

-1

-0.5

0

0.5

1

2

2.5

-3 -2 -1 1 2 3x

Grafico di f

Usare il grafico per completare la seguente tabellax f (x)

(a) 2

(b) −1(c) 0

(d) 1

(e) 1

2. Indicare con i numeri da 1 a 5 i punti evidenziati sul grafico.

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

0 1 2 3 4 5 6 7x

Grafico di f

(a) Tra quali dei cinque punti, la funzione è crescente?

(b) Tra quali dei cinque punti, la funzione è decrescente?

(c) In quale punto ha un punto di flesso?

(d) Tra quali punti adiacenti è convessa?

(e) Tra quali punti adiacenti è concava?

(f) Tra quali punti ha massimo?

3. Sia g (x) la funzione il cui grafico è dato da

1.2. I GRAFICI 21

-1

0

1

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5x

Grafico di g

Tracciare il grafico delle seguenti funzioni

(a) f (x) = g (x) + 1

(b) f (x) = g (x+ 1)

(c) f (x) = g (2x)

(d) f (x) = 2g (x)

(e) f (x) = −g (x)(f) f (x) = g (−x)(g) f (x) = −2g (−x)(h) f (x) = 3g (x− 2) + 1

4. Siano (x1, y1) e (x2, y2) punti della retta y = −2 (x− 1) + 3. Se x1 < x2cosa possiamo dire di y1 e y2 ? Perché?

5. Siano (x1, y1) e (x2, y2) punti della retta y = 3 (x+ 1)−2. Se y1 < y2 cosapossiamo dire di x1 e x2 ? Perché?

6. Sia L1 la retta passante per (0, 0) e (2, 1) e L2 la retta per (0, 0) e (3, 7) .Per quali valori di m la retta y = mx giace tra le due rette date?

7. Supponiamo che f sia una funzione tale che −5 < f (x) < 11 quando−3 < x < 8. Dire quale delle seguenti affermazioni è sicuramente vera,può essere vera, è falsa. Giustificare le risposte con un ragionamento e/oun grafico

(a) f (x) > −6 se −3 < x ≤ 8(b) f (x) ≤ 100 se −3 < x ≤ 8(c) |f (x)| ≤ 53 se |x| < 2(d) f (2) = 11

(e) f (−3) = 11(f) |f (0)| = 5(g) f (13) = 6

(h) −4 < f (x) ≤ 9 se −3 < x ≤ 8


8. Sia data una semisfera di raggio 10. Supponendo di usarla come conteni-tore d’acqua, quale pensate sia, fra i tre proposti, il grafico del volumein funzione dell’altezza di riempimento? Spiegare il ragionamento che haportato alla risposta.

x

Grafico A

x

Grafico B

x

Grafico C

9. Disegnare il grafico di una funzione che ha le seguenti proprietà

(a) i. f è continua nell’intervallo [−5, 5]ii. è convessa in [−5,−1]iii. ha un minimo locale in x = −2iv. ha un massimo locale in x = 3

10. Sia data la retta y = mx+ b disegnata in figura

x

Disegnare le seguenti rette:

(a) y = mx− b(b) y = −mx+ b(c) y = −mx− b

11. Sia g (x) = |3x− 2|. Spiegare come è possibili ottenere il grafico dig da quello di f (x) = |x| per dilatazione, compressione, traslazione equant’altro serve.

12. Sia f (x) = x2. Per ognuno degli esercizi proposti scrivere la formulaesplicita di g (x) e spiegare come si può ottenere il grafico di g da quellodi f usando traslazione, compressione, etc.

(a) g (x) = f (x) + 2

(b) g (x) = f (x+ 2)

(c) g (x) = 2f (x)

1.2. I GRAFICI 23

(d) g (x) = f (2x)

(e) g (x) = f (−2x)(f) g (x) = −2f (x)

13. Sia f (x) = x2 e g (x) = x2 + 4x+ 3

(a) Completare il quadrato per mostrare che g (x) = f (x+ 2)− 1(b) Spiegare come ottenere il grafico di g da quello di f

14. Supponiamo che il minimo della funzione f abbia valore −7 ed il massimo3.

(a) Quanto vale il massimo di g (x) = f (x) + 2?

(b) Quanto vale il minimo di g (x) = 2f (x) + 3?

(c) Quanto vale il massimo di g (x) = −3f (x+ 2) + 5?(d) Quanto vale il massimo di g (x) = |f (x)|

15. Supponiamo che la funzione f assuma il valore minimo in x = 4 ed ilmassimo in x = −3; inoltre sia −5 < f (x) < 2 quando 0 ≤ x ≤ 6

(a) In quale punto ha minimo la funzione g (x) = 3f (x− 1) + 2? Ed ilmassimo?

(b) Sia g la funzione definita in (a). Trovare due numeri a e b tali che−13 < g (x) < 8 per a ≤ x ≤ b

16. Supponiamo che la funzione f abbia minimo nel punto x = 4, massimonel punto x = −5 ed inoltre sia −1 < f (x) < 3 per −3 ≤ x ≤ 6.

(a) In quale punto ha minimo ed in quale ha massimo la funzione g (x) =−2f (4− 3x) + 1 ?

(b) Sia g (x) la funzione definita in (a). Trovare a e b tali che −5 <g (x) < 3 se a ≤ x ≤ b.

17. Sia f una funzione crescente nell’intervallo (1, 10) . Indicare quale, tra leseguenti affermazioni è, vera, possibile, falsa. Giustificare le risposte

(a) f (8) < f (3)

(b) f (5) > 0

(c) f è concava nell’intervallo (1, 10)

(d) g (x) = f (x)− 25 è crescente in (2, 7)(e) g (x) = f (2x) è crescente in (1, 4)

(f) g (x) = 5f (x) è decrescente in (1, 3)

(g) g (x) = −3f (x) è decrescente in (1, 2)(h) g (x) = f (x+ 4) è crescente nell’intervallo (−2, 2)


(i) g (x) = −f (x) è crescente in (−10,−1)(j) g (x) = |f (x)| è crescente in (1, 10)(k) g (x) = f (−x) è decrescente in (1, 10)(l) g (x) = f (−x) è crescente in (−10,−1)(m) g (x) = f (|x|) è decrescente in (−10,−1)

18. Sia f una funzione concava nell’intervallo (1, 10) . Indicare quale, tra leseguenti affermazioni è, vera, possibile, falsa. Giustificare le risposte

(a) f (8) < f (3)

(b) f (5) > 0

(c) f è crescente nell’intervallo (1, 10)

(d) g (x) = f (x)− 25 è concava in (2, 7)(e) g (x) = f (2x) è convessa in (1, 4)

(f) g (x) = 5f (x) è concava in (1, 3)

(g) g (x) = −3f (x) è convessa in (1, 2)(h) g (x) = f (x+ 4) è concava nell’intervallo (−2, 2)(i) g (x) = −f (x) è convessa in (−10,−1)(j) g (x) = |f (x)| è convessa in (1, 10)(k) g (x) = f (−x) è convessa in (1, 10)(l) g (x) = f (−x) è convessa in (−10,−1)(m) g (x) = f (|x|) è convessa in (−10,−1)

19. Se una funzione f è convessa nell’intervallo [a, b] allora il segmento cheunisce il punto (a, f (a)) con il punto (b, f (b)) giace sopra il grafico di f .

(a) Supposto f convessa in [a, b] spiegare perché

f (a) +f (b)− f (a)

b− a (x− a) > f (x)

per tutti i valori di x tali che a < x < b

(b) Mostrare che se f è convessa in [a, b] allora

f (x)− f (a)b− a <

f (b)− f (a)b− a

per tutti i valori di x tali che a < x < b. [Suggerimento: usare laparte (a)]

(c) Supponiamo che la funzione g sia concava sull’intervallo [a, b]. Cherelazione c’è tra il segmento che unisce il punto (a, f (a)) con il pun-to (b, f (b)) ed il grafico di g ? [Suggerimento: se g è concavasull’intervallo, −g è convessa]

1.2. I GRAFICI 25

20. Supponiamo che f sia convessa nell’intervallo [a, b]. Mostrare che se 0 <t < 1 si ha

f ((1− t) a+ t b) < (1− t) f (a) + t f (b)

[Suggerimento: usare la parte (a) dell’esercizio precedente ponendo t =(x− a) / (b− a) ]


1.3 I Grafici ed il Software

I grafici, l’abilità nel rappresentare oggetti matematici geometricamente, sonouno dei più importanti vantaggi che la matematica computazionale ci offre.Senza l’aiuto di programmi computerizzati sarebbe spesso complicato e noioso,a volte impossibile, disegnare grafici di funzioni. I programmi ci permettonodi fare grafici, di osservarli da vari punti di vista, aiutandoci a sviluppare l’in-tuizione matematica. In questo paragrafo vogliamo cominciare con l’illustrarealcune delle capacità, ed anche dei limiti, che offre la grafica computerizzata.La grafica computerizzata ci viene offerta da molti e diversi strumenti che vannodalle calcolatrici tascabili ai supercomputer. I programmi variano anch’essi dasemplici programmi di disegno ad ambienti grafici di tipo sofisticato. I coman-di per il disegno possono essere dati per mezzo di istruzioni scritte, attraversotasti predisposti nel calcolatore, attraverso l’uso del mouse, o quant’altro possavenire a mente nella fantasia dei programmatori.

Noi useremo sostanzialmente un programma di “valenza universitaria” comeil Maple. Questo non è l’unico programma usabile, dello stesso livello o co-munque con la stessa versatilità ci sono anche Mathematica, Derive o altroancora. Dovendo noi operare una scelta, visto che era comunque poco sen-sato pensare di usarli tutti, abbiamo optato per quello che ci è parso unissesemplicità e versatilità.

Vediamo alcuni semplici grafici tracciati con l’ausilio dei programmi.Il comando Maple

plot( sin(x), x=-5..5);

produce un grafico del tipo

-1

-0.8

-0.6-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.60.8

1

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5x

Se avessimo usato Mathematica il comando sarebbe stato

Plot[ Sin[x], {x, -5,5} ]

ottenendo un risultato del tutto simile (da notare che in entrambi casi lavariabile x indica radianti e non gradi).

Al di là delle differenze, molte idee ed intuizioni ci possono essere fornite daquesti programmi, vediamone qui di seguito alcuni pregi e difetti.

1.3. I GRAFICI ED IL SOFTWARE 27

1.3.1 La Finestra del Grafico

Il grafico della funzione y = sinx che abbiamo mostrato è incompleto. Mostrasolo quello che accade nell’intervallo −5 ≤ x ≤ 5, mentre la funzione sinxè definita per tutti i valori della variabile indipendente x . In realtà ciò chenoi vediamo è quindi solo una parte del grafico della funzione e non il tutto.Questo fatto non dà fastidio più di tanto, in effetti quando diciamo grafico spessointendiamo “un pezzo di grafico”, ciò non toglie che si debba tenere presenteche quello che vediamo è solo un pezzo di grafico. L’intero grafico della funzionepotrebbe essere infinitamente lungo, nessun disegno potrebbe mostrarlo nellasua interezza.

Con il termine finestra intendiamo ciò che si vede del grafico. Nell’esempioprecedente la finestra era il rettangolo

{(x, y) : −5 ≤ x ≤ 5, −1 ≤ y ≤ 1} ,

usando la notazione prodotto indicheremmo lo stesso rettangolo nella forma[−5, 5]× [−1, 1] . La parentesi

quadra [−5, 5]indica un inter-vallo chiuso -uno che contienei suoi estremi.Vedere l’ap-pendice A permaggiori infor-mazioni sugliintervalli e laloro notazione.

La forma del grafico dipende fortemente dalla finestra attraverso cui guardiamoal grafico. Per capirlo meglio vediamo sei grafici diversi della stessa funzione:

-4

-2

0

2

4

-20 -10 0 10 20 30x

Grafico 1 : y = sinxFinestra [−30, 30]× [−5, 5]

-1

-0.8

-0.6-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.60.8

1

-20 -10 0 10 20 30x


-1

-0.8-0.6

-0.4

-0.20

0.2

0.40.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x


-0.1

-0.08-0.06

-0.04

-0.020

0.02

0.040.06

0.08

0.1

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1x

Grafico 4 : y = sinxFinestra [−0.1, 0.1]× [−0.1, 0.1]


-0.1

-0.08

-0.06-0.04

-0.02

00.02

0.04

0.060.08

0.1

3.13 3.134 3.136 3.138 3.14 3.142 3.144 3.146 3.148 3.15x

Grafico 5 : y = sinxFinestra [3.13, 3.15]× [−0.1, 0.1]

-0.01

-0.008

-0.006-0.004

-0.002

00.002

0.004

0.0060.008

0.01

3.13 3.134 3.136 3.138 3.14 3.142 3.144 3.146 3.148 3.15x

Grafico 6 : y = sinxFinestra [3.13, 3.15]× [−0.01, 0.01]

Come si vede la forma del grafico dipende in modo consistente dalla finestraattraverso cui la guardiamo, quindi qualunque sia lo strumento per tracciaregrafici I è colui che lo usa che deve scegliere la finestra. Come decidere?Calcolatrice,

computer,matita, etc.

In molti casi è lo strumento che tenta di interpretare la volontà dell’utente. Peresempio, nel caso dei comandi di Maple o di Mathematica

plot( sin(x), x=-5..5);

Plot[Sin[x], {x, -5,5}]

l’intervallo della variabile indipendente è fissato, −5 ≤ x ≤ 5, ma non quellodella variabile dipendente y; in qualche modo è il programma che sceglie l’inter-vallo delle y. Lasciare la scelta alla macchina può essere una scelta appropriata,specialmente per funzioni complicate, per le quali è difficile individuare a pri-ori il comportamento. Se la macchina non sceglie correttamente l’utente puòintervenire e cambiare la scelta.

Nel foglio tutte e sei le finestre hanno la stessa dimensione di 6 centimetriper 4. Le differenze riflettono le varie scelte e aspetti del rapporto tra le duedimensioni. Alcune parole tecniche ci aiuteranno a descrivere le differenze

Scala: misura le dimensioni della lunghezza orizzontale e quella verticalesul grafico. Le scala del grafico 4, per esempio è dieci volte quella del grafico 3.

Ingrandimento: il risultato di ingrandire la scala di un fattore di in-grandimento in una o entrambe le direzioni. Il grafico 4 si ottiene dal 3per un fattore di ingrandimento di 10 in entrambe le direzioni (i fattori diingrandimento sulle due direzioni potrebbero essere diversi).

Compressione: il risultato di comprimere la scala in una o entrambe ledirezioni. Il grafico 3 si ottiene dal 4 con una compressione di scala 10 inentrambe le direzioni.

Rapporto di scala: misura il rapporto tra scale orizzontali e verticali. Unafinestra del tipo [−1, 1]×[−3, 3] ha un rapporto di scala 3 : 1 ; le unità orizzontalisono tre volte quelle verticali. L’aspetto del rapporto di scala è importantespecialmente quando si disegnano oggetti quali ad esempio circonferenze, per lequali il rapporto di scala conta molto.


Una curva è formata da infiniti punti, ma gli strumenti di disegno possonotrattare solo un numero finito di punti. Quindi, ogni grafico può solo approssi-umero di pix-

mita l’accu-zza del grafi-

mare il “vero” grafico di una funzione. Questa limitazione può dar luogo a“patologie” nel disegno; fortunatamente questo non avviene per i grafici dellefunzioni più comuni. Per la maggior parte delle funzioni 100 punti produconoun grafico più che passabile. Per funzioni molto semplici (rette, per esempio)anche un numero minore di punti

AttenzioneI grafici fatti dalle macchine devono sempre essere guardati con attenzione.

Non sempre è colpa delle macchine. Ecco alcune cose da evitareTroppi pochi dati: disegnare grafici di funzioni irregolari può richiedere

molti punti. Usare finestre più piccole (ingrandire il grafico) può aiutare.Finestre errate: sia f (x) = x10 − x. E’ chiaro che f (0) = 0 e f (1) = 0,

quindi il grafico interseca l’asse x nei punti x = 0 e x = 1. Vediamo cosa disegnala macchina in modo automatico.x10 − x

0

2e+06

4e+06

6e+06

8e+06

-4 -2 0 2 4x

Grafico di y = x10 − xfinestra= [−5, 5]× £−106, 107¤

Il grafico sembra piatto intorno allo zero. E’ x10 il termine che provoca ilproblema. Anche per modesti valori della variabile x esso assume valori moltograndi, che nel grafico “schiacciano” tutti gli altri. Vediamo cosa accade arestringere il dominio

-10

-8

-6-4

-2

02

4

68

10

-1 0 1 2x

Grafico di y = x10 − xfinestra= [−2, 2]× [−10, 10]

Il grafico è adesso decisamente meglio, anche se ancora c’è sproporzione trafinestra e grafico, ma questo dipende dalla funzione; in questo caso non c’è unascelta veramente buona per la finestra.


Effetto di scala: scale diverse possono dar luogo a disegni molto diversidello stesso grafico. Qui di seguito due diverse scale per il grafico della funzioney = x+ sin (200x) /200. Il secondo ha un ingrandimento dieci volte più grandedel primo

-1

-0.8-0.6

-0.4

-0.2

00.2

0.4

0.60.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y = x+ sin (200x) /200

-0.1

-0.08-0.06

-0.04

-0.02

00.02

0.04

0.060.08

0.1

-0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1x

y = x+ sin (200x) /200

Notate la differenza: Il primo grafico sembra quasi la retta y = x . Il sec-ondo grafico, con un intervallo minore della variabile indipendente, mostra conchiarezza la rapida oscillazione creata dal termine sin (200x) /200x .Quindi, vedere i grafici con scale diverse può mostrare aspetti diversi del com-portamento della funzione.

Attenzione alle pendenze: il grafico della retta y = 10x dovrebbe ap-parire molto più pendente della retta y = x. Eppure i due grafici seguentisembrano uguali

-10

-8

-6

-4-2

0

24

6

8

10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y = 10x

-1

-0.8

-0.6

-0.4-0.2

0

0.20.4

0.6

0.8

1

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y = x

L’apparente anomalia discende dalla differente scelta dell’intervallo delle y.Disegnando entrambi i grafici nella stessa finestra si ha l’idea della differenza:

-10

-8

-6-4

-2

02

4

68

10

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

y = x e y = 10x


La lezione in questo caso è: guardare sempre la scala orizzontale e quellaverticale. Cambiare una delle due può cambiare moltissimo l’aspetto del grafico.

1.3.2 Grafici di Software in Analisi

I grafici verranno usati come un importante mezzo di interpretazione e com-prensione lungo tutto il volume. A volte verrà chiesto allo studente di disegnarlia mano per impratichirsi e capire, ma nella maggior parte dei casi (specialmenteper grafici complessi) lasceremo che li tracci il computer. Più importante chedisegnare i grafici è imparare a leggerli e capire cosa essi ci dicono sulle funzioni.

Esempio 14 Trovare il massimo valore ed il punto di massimo della funzionef (x) = x sinx nell’intervallo [0, 4] .

Soluzione. Più avanti nel corso useremo il concetto di derivata per risolverequesto problema, per ora ci limitiamo a vedere cosa ci dice il grafico.Il comando Maple per tracciare il grafico è

>plot(x*sin(x), x=0..4);

-3

-2

-1

0

1

2

1 2 3 4x

x sinx, x ∈ [0, 4]

Il massimo sembra essere nell’intorno di x = 2. Tracciamo di nuovo il graficorestringendo l’attenzione, per esempio, nell’intervallo [1.8, 2.2]

1.75

1.76

1.77

1.78

1.79

1.8

1.81

1.82

1.83

1.8 1.85 1.9 1.95 2 2.05 2.1 2.15 2.2x

x sinx, x ∈ [1.8, 2.2]

e restringendo ancora l’attenzione


1.819

1.8191

1.8192

1.8193

1.8194

1.8195

1.8196

1.8197

1.8198

2.015 2.02 2.025 2.03 2.035 2.04 2.045 2.05x

x sinx, x ∈ [1.8, 2.2]

Il massimo valore è circa 1.8198 ed è raggiunto per un valore di x ≈ 2.03.¥

Esempio 15 Per valori di x vicino a zero la funzione p (x) = x − x3/6 èuna buona approssimazione della funzione sinx. Qual’è la bontà dell’approssi-mazione nell’intervallo [−1, 1] ? E sull’intervallo [−2, 2] ?

Soluzione. Cominciamo col tracciare i grafici di sinx e p (x) per x nell’in-tervallo [−2, 2] .Il comando Maple è

>plot([sin(x),x-x^3/6], x=-2..2);

-1-0.8-0.6-0.4-0.2

00.20.40.60.8

1

-1 0 1 2x

I grafici di y = sinx e p (x) = x− x3/6

Si vede che per x ∈ [−1, 1] l’approssimazione è buona, i due grafici prati-camente non si distinguono. Le cosa peggiorano quando |x| > 1, per x = ±2i grafici sono molto distanti. Per vedere meglio la differenza tra le due fun-zioni, conviene tracciare il grafico di quella che potremmo chiamare la funzioneerrore p (x)− sinx : nell’intervallo [−1, 1] ; si ha

>plot(x-x^3/6-sin(x), x=-2..2);


-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

0

0.002

0.004

0.006

0.008

-0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x

Grafico di p (x)− sinx

Il grafico mostra che nell’intervallo [−1, 1] la differenza tra le due funzioninon supera (in valore assoluto) il valore di 0.008. In altre parole:

Nell’intervallo [−1, 1] p (x) approssima sinx con un errore minore di 0.008.

Davvero una ottima approssimazione. Rimane da rispondere alla domanda:per quali valori di x si ha: |p (x)− sinx| < 0.001 ?Ancora una volta è il grafico che ci da la risposta restringendo il dominio

0.0015

-0.001

0.0005

0

0.0005

0.001

0.0015

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6x

Grafico di p (x)− sinxTracciando le rette orizzontali y = ±0.001 si vede che l’errore è minore di

0.001 se |x| < 0.65. ¥


1.3.3 Esercizi

Nota: Gli esercizi richiedono una qualche forma di tecnologia per tracciare igrafici. Qualsiasi tipo di macchina va bene, la sola richiesta è la capacità discegliere le finestre opportune.

1. Abbiamo da poco discusso il fatto che il polinomio x− x3/6 approssimasinx vicino a x = 0. Consideriamo nell’intorno di x = 0 un’approssi-mazione più semplice considerando la funzione l (x) = x.

(a) Dire in quali intervalli la differenza |x− sinx| è minore di 0.5, 0.1, 0.01(b) Qual’è l’errore massimo di x− sinx nell’intervallo [−1, 1]?(c) Trovare in quale intervallo l (x) approssima sinx a meno di 0.001

2. Dire quali rette, nel grafico seguente, hanno coefficiente angolare maggioredi 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

-10 -5 0 5 10 15x


-15

-10

-5

0

5

10

15

-1 -0.5 0 0.5 1 1.5x


5. In ognuna delle parti seguenti, trovare una finestra nella quale la funzionesinx ha (approssimativamente) la forma richiesta. Dare la risposta nellaforma [a, b]× [c, d] .

(a) Retta orizzontale.

(b) Retta diagonale dall’angolo inferiore sinistro al superiore destro.

(c) Retta diagonale dall’angolo superiore sinistro all’inferiore destro.

(d) Una retta verticale.

(e) Una lettera V arrotondata.

6. Ripetere l’esercizio 5 usando il grafico della funzione y = cosx.

7. Ripetere l’esercizio 5 usando il grafico della funzione y = x2.

8. Un numero r si chiama radice per una funzione f se f (r) = 0. Tracciareil grafico per trovare le radici (con un errore inferiore al centesimo) delleseguenti funzioni nell’intervallo [−5, 5] .

(a) f (x) = x2 − x(b) f (x) = x− sinx(c) f (x) = x− cosx(d) f (x) = 2x − x2

9. Per x nell’intorno di zero la funzione q (x) = 1 − x2/2 è una buonaapprossimazione della funzione cosx.

(a) Quale approssimazione si ha usando q invece di cosx nell’intervallo[−1, 1] ?

(b) Trovare un intervallo (−a, a) nel quale q (x) approssima cosx con unerrore minore di 0.001.

10. Trovare una finestra, centrata nel punto dato, nella quale il grafico dellafunzione data appare come una retta

(a) y = x2 nel punto (2, 4) .

(b) y = −x3 + 3x2 + 2 nel punto (1, 0) .(c) y = cosx nel punto (0, 1) .

(d) y = cosx2 nel punto (0, 1) .

(e) y = cosx2 nel punto (5, cos 25) .

(f) y = cosx2 nel punto (10, cos 100) .

11. Per ognuna delle funzioni sotto, usare la grafica per stimare il punto dimassimo, di minimo e i valori massimi e minimi di f (x) nell’intervallo−10 ≤ x ≤ 10. Arrotondare le risposte alla terza cifra decimale).


(a) f (x) = sinx

(b) f (x) = x+ sinx

(c) f (x) =x

x+ 11

(d) f (x) = x2

(e) f (x) = 2x

(f) f (x) = 2x − x2

1.4. COSA È UNA FUNZIONE 37

1.4 Cosa è una Funzione

Che cosa è esattamente una funzione? Abbiamo visto alcuni esempi, dati attra-verso formule, parole, grafici e tavole. Si tratta adesso di capire come ricavareun’idea generale ed una definizione di funzione.Cominciamo con alcuni esempi che riepilogano le situazioni incontrate:

f f (x) = x+3

xg g (t) = la popolazione umana t anni D.C.

h h (u) =

1− u se u ≤ 0u2 se 0 < u < 242 se u ≥ 30

j La funzione data dal grafico

-20

-15

-10

-5

0

5

10

1 2 3 4x

k La funzione data dalla tabella

n −3 −2 −1 0 1 2 3 4

k(n) −4 1 −1 0 2 5 3 −2

Tutte queste “trasformazioni” hanno in comune la proprietà di essere fun-zioni, cioè

Definizione 16 Una funzione è una regola che associa ad ogni elemento diun insieme, chiamato dominio, un solo elemento di un altro insieme, chiamatorango (o codominio).

La definizione contiene tre parole chiave: “regola”, “dominio” e “rango”.Le discuteremo separatamente.

RegolaUna funzione accetta un ingresso e fornisce un’uscita. La regola descrive

come avviene questa trasformazione. Nelle funzioni degli esempi precedenti:

f la regola è semplice, esplicita e sempre la stessa; una “ricetta” algebrica.Dato un numero reale x calcolare x2 + 3/x. Al numero x = 2 la funzione fassegna il numero f (2) = 22 + 3/2 = 11/2.


g ad ogni numero t, prendiamo per esempio t = 1962, 34 la funzioneg assegna la popolazione mondiale a quell’istante. Quindi potrebbe essereg (1962, 34) = 4, 567, 890 persone.

E’ vero, è difficile contare la popolazione mondiale esattamente, ma non èquesto il punto. g è una funzione,ammette cioè un insieme come dominio, leggedi trasformazione univoca ed un codominio. Ad ogni istante di tempo t c’è unoed un sol valore della popolazione g (t) , che si sappia o meno calcolare.

Notare infine che mentre la regola per f ci dice come calcolare l’uscita, laregola di g descrive l’uscita.

h la regola per h coinvolge “casi” diversi. Differenti ingressi vengonotrattati differentemente, per esempio

h (−5) = 1− (−5) = 6

perché l’ingresso −5 soddisfa il primo caso della definizione, mentre

h (175) = 42

poiché l’ingresso 175 soddisfa il terzo caso.Funzioni definite usando casi diversi verranno chiamate definite a tratti.

Esse appaiono naturalmente nelle applicazioni di computer grafica dove pezzidi curve sono unite per formare le forme desiderate.

j la regola che definisce j è di tipo grafico, i valori di j si possono trovare inmodo solo approssimato, j (x) è l’altezza del grafico relativamente alla posizioneorizzontale x. Allora j (1) ≈ 0 e j (3) ≈ −10. Nonostante la loro inesattezza,si può imparare molto dai grafici. L’idea di approssimazione è connaturata almondo reale.

k possiamo usare solo la tavola che abbiamo a disposizione. La regoladi k ci dice che per ogni valore di n nella prima riga corrisponde il valore k (n)nella riga sottostante. Allora è k (−2) = 1, k (2) = 5 e k (34) non è definito.La regola non ci dice come si calcolano le uscite; esse ci vengono fornite in-sieme agli ingressi. Non ci sono formule che definiscono la funzione k. Al piùpotremmo cercare di trovare una formula o curva che passa per i punti dati.

Nota 17 Alle nostre funzioni si danno dei nomi - x, t, u, n - agli ingressi ef, g, h, j, k alle uscite. Questo è solo per pura convenienza espressiva, ma inomi in se non contano. Per esempio le trasformazioni

f (x) = x2 + 3/x , g (z) = z2 + 3/z , h (andrea) = andrea2 + 3/andrea

definiscono esattamente la stessa funzione.

DominioIl dominio di una funzione, che indicheremo con D è l’insieme degli ingressi

accettabili. Nel caso delle funzioni degli esempi precedenti si ha:


f La formula algebrica f (x) = x2 + 3/x ha senso purché sia x 6= 0.Il dominio di f è allora l’insieme D = {x : x 6= 0} . A parole: D è l’insieme deinumeri x tali che x 6= 0.g La regola “la popolazione umana t anni D.C.” ha senso per

ogni numero reale positivo. Quindi il dominio di g è l’insieme [0,+∞)h Osservando la sua definizione, si nota che h accetta come ingres-

so ogni numero reale u eccetto quelli che appartengono all’intervallo 2 ≤ u < 30.Quindi il dominio di h è l’insiemeD = {u : u < 2 o u ≥ 30} che, con la notazionedegli intervalli, si scrive nella forma (−∞, 2) ∪ [30,+∞) Il simbolo ∪ sig-

nifica “unione”.Vedere l’Ap-pendice A perulteriori dettaglisulle operazionitra insiemi.

j Gli ingressi accettabili sono quelli appartenenti all’intervallo [0, 4] .

k Ogni funzione descritta da una tabella ha un dominio finito. Ildominio di k è l’insieme D = {−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 4} .

Il caso più co-mune nei corsi diAnalisi al nostrolivello.

Nella pratica, i domini delle funzioni sono raramente dati in modo es-plicito. In questi casi il dominio naturale è dato dall’insieme degli ingressi,per i quali le regole che definiscono la funzione, hanno senso. Per una funzionecome f , data da una formula algebrica in x, il dominio naturale è l’insieme deivalori di x per i quali la formula algebrica ha senso.

CodominioIl dominio di una funzione è l’insieme degli ingressi ammissibili. Il codo-

minio (o rango) è il corrispondente insieme delle uscite. Usando il linguaggiosimbolico si ha

Se f ha dominio D, allora il codominio di f, indicato con R, èl’insieme R = {f (x) : x ∈ D} La notazione

x ∈ D significa“x appartiene aD”

Leggere il codominio di una funzione dal suo grafico. Definireil codominio di una funzione è facile, difficile è calcolarlo, special-mente se si prova a farlo a mano. I grafici possono aiutarci se lefinestre sono state scelte opportunamente.

Per esempio, il numero 42 appartiene al codominio di una funzioneF , se e solo se la retta orizzontale y = 42 incontra il grafico di F ,qualunque sia la funzione F. Possiamo allora dire che: il codominiodi F è l’insieme dei valori y ai quali la retta orizzontale incontra ilgrafico di F.

Come trovare i codomini delle funzioni degli esempi. Useremo sia ilmetodo grafico che quello algebrico per calcolare i codomini delle funzioni degliesempi dati.

f Il dominio di f è D = {x : x 6= 0} , così il codominio di f èR = ©x2 + 3/x : x ∈ Dª. E’ facile scrivere la formula formale, più complicato ècapire cosa contiene esattamente R. Per esempio, R contiene il numero −2345 ?

Vediamo una finestra di grafico della funzione


-60

-40

-20

0

20

40

60

80

-4 -2 0 2 4x

Grafico di f (x) = x2 + 3/x

Il grafico suggerisce che il codominio contenga tutti i numeri reali: f sembraassumere ogni valore reale almeno una volta. In particolare “sembra” che ilnumero −2345 venga assunto per qualche valore negativo degli ingressi. Perstimare quale valore di x da come risultato f (x) = −2345 osserviamo il graficoda un’altra finestra

-3000

-2000

-1000

0

1000

2000

3000

-0.003 -0.002 -0.001 0 0.001 0.002 0.003 0.004x

Grafico di f (x) = x2 + 3/x

Il grafico suggerisce che f (x) = −2345 per x ≈ −0.0015g Per definizione, il codominio di g è l’insieme di tutta la popo-

lazione mondiale. Questo è chiaramente un qualche insieme dei numeri interipositivi; dire di più è impossibile.

h Il dominio di h è composto di tre parti. Per trovare il codo-minio dovremo decidere in che modo ogni singolo pezzo del dominio contribuisceseparatamente, e poi assemblare le risposte

1. la formula per l’uscita 1−u vale per u ≤ 0. Mentre u varia nell’intervallo(−∞, 0], 1−u copre l’intervallo [1,+∞) . Quindi il codominio di h contienel’intervallo [1,+∞) .


2. Per 0 < u < 2, h (u) = u2. Quindi quando u varia tra 0 e 2, u2 varia tra0 e 4. Allora il codominio di h contiene l’intervallo (0, 4) .

3. Per u ≥ 30 è h (u) = 42. Allora il terzo pezzo della formula contribuisceal codominio per l’insieme numerico, formato da un solo elemento, {42} .

Mettendo insiemi tutti i pezzi, si ottiene che il codominio di h è

R = [1,+∞) ∪ (0, 4) ∪ {42} = (0,+∞)Notate che i primi due intervalli si sovrappongono in parte ed il terzo, con-

tenuto nel primo, non aggiunge nulla all’unione dei primi due. La sovrappo-sizione ci dice anche che alcuni valori del codominio sono ottenuti per più di unvalore del dominio.

j Il grafico di j mostra chiaramente che l’insieme dei valori assuntida j è l’intervallo [−15, 5] .

k L’insieme delle uscite della funzione k è la seconda riga dellatavola che la definisce

{−4,−2,−1, 0, 1, 2, 3, 5} .Il codominio di k, come il suo dominio, è un insieme finito.

Ancora sulla definizione di funzione.Una funzione è un pacchetto che contiene tre parti principali: legge di

trasformazione, dominio e codominio.La legge di trasformazione può essere data in vari modi - con una formula al-gebrica, come grafico, come tabella, come espressione verbale in Italiano, e cosìvia -. Tuttavia, qualunque sia il modo in cui è data, la legge deve essere nonambigua. Ad ogni elemento del dominio la legge deve associare esattamente unelemento del codominio.Il dominio ed il codominio di una funzione f sono, rispettivamente l’insiemedegli ingressi e delle uscite. Il dominio naturale di una funzione f è l’in-sieme degli ingressi per i quali la legge che definisce f ha senso. Nell’Analisimatematica sia il dominio che il codominio sono usualmente insiemi di numerireali.

1.4.1 Funzioni Pari e Dispari: Simmetria del Grafico.

Alcune funzioni, come i numeri, vengono chiamate pari o dispari Queste pro-prietà, che definiamo simbolicamente, sono chiaramente individuabili grafica-mente. Cominciamo con la definizione.

Definizione 18 Una funzione f è pari se f (−x) = f (x) per tutti gli x delsuo dominio; f è detta dispari se f (−x) = −f (x) .


Esempio 19 Sia f (x) = x2, allora si ha

f (−x) = (−x)2 = x2 = f (x)

quindi f è pari.Se g (x) = x3 si ha

g (−x) = (−x)3 = −x3 = −g (x)

quindi g è dispari.La funzione h (x) = x+ x2 non è né pari né dispari, infatti

h (−x) = −x+ (−x)2 = −x+ x2 6= ±h (x) .

Grafici e Simmetria

Guardiamo adesso i grafici delle funzioni f (x) = x2 e g (x) = x3 e cerchiamo dicapire che proprietà hanno i loro grafici.

0

1

2

3

-2 -1 1 2x

Il grafico di f (x) = x2

-8

-6

-4

-20

2

4

6

8

-2 -1 1 2x

Il grafico di g (x) = x3

Come si nota, il grafico di x2 è simmetrico rispetto all’asse delle y,mentre quello di x3 è simmetrico rispetto all’origine, o che è lo stesso, laparte del grafico per valori negativi di x si ottiene rotando il grafico per le xpositive dapprima rispetto all’asse y e poi rispetto all’asse x.

1.4.2 Funzioni Periodiche

La funzione sinx è detta 2π-periodica perché ripete se stessa su ogni intervallodi ampiezza 2π. Lo stesso comportamento hanno le funzioni trigonometrichefondamentali (che ricorderemo quanto prima). Qualunque funzione che ripetase stessa su intervalli di lunghezza prefissata è detta periodica.


-4

-2

2

4

-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10x

I grafici di tre funzioni periodiche

Il grafico di ogni funzione ripete una forma base. Quanto spesso una funzioneperiodica si ripete in un dato intervallo dipende dal suo periodo, cioè dallalunghezza della forma che si ripete. Si vede dal grafico che le funzioni disegnatehanno periodo 1, 8, 4 (dall’alto in basso).

La proprietà di periodicità può essere definita simbolicamente nel seguentemodo

Definizione 20 Una funzione f è periodica se l’equazione

f (x+ P ) = f (x)

vale per tutti gli x nel dominio di f e per un numero positivo P. Il più piccolonumero P per cui l’equazione è vera è il periodo di f .

• Se per esempio, P = 3, allora l’equazione funzionale ci dice che f (x+ 3) =f (x) . Questo significa che f (1) = f (4) , f (1.5) = f (4.5) , f (2) =f (5) , f (2.5) = f (5.5) e così via. Quindi, per ogni valore di x l’altezzadel grafico in x è la stessa che nel punto x+ 3, x+ 6, x+ 9, · · · .

• Data una funzione f il grafico di f (x+ P ) si ottiene da quello di f (x)con una traslazione verso sinistra di una quantità uguale a P . Da questopunto di vista, l’equazione di periodicità f (x+ P ) = f (x) implica che ilgrafico di f non cambia se si trasla di P unità verso sinistra

• Poiché il grafico di una funzione periodica si ripete su intervalli di lunghez-za P , esso si ripete anche su intervalli di lunghezza 2P, 3P, 4P, · · · .Ricordate che il periodo è la lunghezza dell’intervallo più corto sul qualela funzione si ripete.

Esempio 21 Consideriamo i grafici delle due funzioni

f (x) =sinx

3+ 3 e g (x) = sin2 x+ sinx


Individuare qual’è il grafico di ogni singola funzione. Perché le due funzionisono di periodo 2π?

-1

0

1

2

4

-6 -4 -2 2 4 6x

Soluzione. Il grafico superiore è quello di f . Lo si ottiene comprimendoil grafico di della curva seno e traslandolo di 3 unità verso l’alto. Il graficoinferiore è quindi quello di g.Verifichiamo che le funzioni sono 2π periodiche.

f (x+ 2π) =sin (x+ 2π)

3+ 3 =

sinx

3+ 3 = f (x)

g (x+ 2π) = sin2 (x+ 2π) + sin (x+ 2π) = sin2 x+ sinx = g (x)

¥

1.4.3 Linguaggio delle Funzioni.

Il parlare quotidiano è un misto di linguaggio formale ed informale, nomi esoprannomi, affermazioni nette e dettagliate così come vaghe allusioni. Glioggetti del parlare - gli amici, i luoghi, i corsi che si seguono, la musica ed altroancora - vengono spesso citati attraverso diminuitivi, soprannomi, abbreviazioniverbali ed alias.

Nel linguaggio dell’ analisi matematica sono le funzioni gli oggetti più comu-ni. Il linguaggio matematico, per quanto formalmente preciso, usa modi diversinel parlare delle funzioni, alcuni più chiari e più precisi, altri meno.Ecco qualche suggerimento linguistico.

Funzione e valore di una funzione.E’ a volte importante distinguere tra una funzione e i valori assunti dalla

funzione. L’affermazioneConsideriamo la funzione f (x) = x2

può sembrare chiara, ma rende confusa la distinzione tra f - una funzione -e f (x) - un valore di f -.E’ tecnicamente più corretto (anche se lessicamente meno semplice) affermare:

Consideriamo la funzione f definita da f (x) = x2.Espressioni composteSe f è definita da f (x) = x2 è chiaro cosa si intende con l’espressione

f (3) , f (z) , f

µ−172

¶. Espressioni composte come

f (x+ 2) , f (−x) , f (f (x))


hanno bisogno di maggior attenzione. Per dare loro un senso, può aiutarepensare f come un operatore o una procedura: f prende qualsiasi cosa levenga fornita e la trasforma nel suo quadrato. Si ha quindi

f (x+ 3) = (x+ 3)2 = x2 + 6x+ 9

f (−x) = (−x)2 = x2f (f (x)) =

¡x2¢2= x4

Funzioni ed espressioni.L’affermazione: il codominio di x2 − 6x è [−9,+∞) è comprensibile, ma

l’espressione x2−6x è usata in modo non completamente corretto per descrivereuna funzione. Una versione corretta dell’affermazione precedente chiarisce ladistinzione:

Sia f la funzione definita da f (x) = x2 − 6x. Il codominio di fè [−9,+∞)

Le differenze tra espressioni e funzioni sono sottili ma importanti. Eccone tre

• Non tutte le funzioni sono definite da espressioni simboliche. Delle cinquefunzioni che abbiamo definito all’inizio del paragrafo, solo due sono defi-nite simbolicamente.

• Diverse espressioni simboliche possono definire le stessa funzione. Le treespressioni seguenti sono equivalenti

x2 − 6x , x2 − 6xsin2 x+ cos2 x

,x4 − 6x3 + x2 − 6x

x2 + 1

Ognuna di loro potrebbe definire f.

• Le funzioni non si preoccupano dei nomi delle variabili, le espressioni si.Per esempio:

x2 − 6x , t2 − 6t , P 2 − 6P

sono espressioni diverse, ma definiscono la stessa funzione.

I computer valutano la differenza. I programmi dei computer insistono nelladistinzione tra funzioni ed espressioni. In Maple, per esempio, il comando

f:=x^2-6*x ;definisce f come un’espressione. Per definire f come una funzione, bisogna scrivere

f:= x-> x^2-6*x ;Quest’ultima espressione è esplicita. f è definita come l’operatore che associa ad ogniingresso x l’uscita x^2-6*x .


1.4.4 Esercizi

1. Sia f (x) =

0 se 0 ≤ x < 1−2 se 1 ≤ x < 2x se 2 ≤ x

(a) Tracciare il grafico di f.

(b) Qual’è il dominio di f ?

(c) Qual’è il rango (o codominio) di f ?

2. Trovare dominio e codominio delle seguenti funzioni

(a) g (x) = x2 + x− 1 ;(b) h (x) =

x+ 3

x− 1 ;

(c) l (x) =1

(x+ 3) (x− 1) ;

(d) m (x) =√x− 2 .

3. Dire quale delle seguenti funzioni è pari o dispari

(a)

(b)

(c)

(d)

4. Sia f una funzione pari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse x ?Giustificare la risposta.

5. Il test della linea verticale afferma: una curva è il grafico di una funzionesolo se ogni retta verticale y = k interseca il grafico al più una volta.Spiegare perché il test funziona.


(a) Disegnare la curva soluzione di y2 = x+ 4.

(b) La curva disegnata in (a) è il grafico di una funzione? Giustificarela risposta.

(a) Può il grafico di una funzione intersecare l’asse delle x più di unavolta?

(b) Può il grafico di una funzione intersecare l’asse delle y più di unavolta?

6. Tracciare il grafico delle seguenti funzioni; trovare anche dominio e codo-minio.

(a) f (x) =

0 se x ≤ −13x− 2 se 1 < x < 1.5

x2 se 1.5 ≤ x < 2

(b) f (x) =

1

2− x se x < 0

√1 + 4x2 se x > 1

(c) f (x) =√x2 − 4

(d) g (x) =1p

(x+ 2) (x− 1)(e) h (x) =

1p(x+ 2) (1− x)

(f) l (x) =

r1− xx+ 2

(g) m (x) = (x− 2) (x+ 3)(h) n (x) =

√4− x2

(i) p (x) = (2x+ 5)1/3

(j) q (x) = (4− 5x)2/3

7. Sia f (x) =√x4 + x2 =

px2 (1 + x2) e g (x) = x

p(1 + x2)

(a) Trovare dominio e codominio di f.

(b) Trovare dominio e codominio di g.

(c) Spiegare perché f 6= g.

8. Per ognuno degli insiemi che seguono, trovare una funzione definita da unasingola espressione algebrica che ha l’insieme come suo dominio naturale[Esempio: la funzione

p(x+ 3) (x− 1) ha l’insieme (−∞,−3] ∪ [1,+∞)

come suo dominio ]

(a) {x : x 6= −1 e x 6= 3}


(b) [−1, 3](c) [−1,+∞)(d) (−1, 3)(e) (−∞,−1) ∪ (3,+∞)(f) [−1, 3)

9. Supponiamo che l’acqua fluisca in un serbatoio di forma cubica di altezza10m.

(a) Scrivere la formula del volume V dell’ acqua contenuta nel serbatoiocome funzione della profondità d dell’acqua.

(b) Quali sono il dominio e codominio della funzione V ?

(c) Scrivere una formula per d come funzione di V.

10. Sia f (x) = |x| e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del grafico dif in x”.


(b) Spiegare perché 0 non fa parte del dominio di g.

(c) Trovare dominio e rango di g.

(d) Trovare un’espressione simbolica per g [Sugg.: usare una funzionedefinita a tratti.].

11. Sia f (x) = x+ |x| e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del graficodi f in x”.


(b) Scrivere f come funzione definita a tratti.


(d) Trovare un’espressione simbolica per g.

12. Sia f (x) =x

|x| e g definita dalla regola “g (x) è la pendenza del graficodi f in x”.


(b) Scrivere f come funzione definita a tratti.


(d) Trovare un’espressione simbolica per g.

13. Dire quale delle seguenti funzioni è pari o dispari. Cominciare disegnandoi grafici e giustificare poi le risposte con l’algebra.

(a) f (x) = 3x4 − 5x2 + 13


(b) f (x) = 12x7 + 6x3 − 2x(c) f (x) = |x|(d) f (x) = |x+ 4|(e) f (x) = x4 +

¯̄x3¯̄

(f) f (x) = 4x3 + 3

14. Sia f una funzione dispari il cui dominio include lo 0. Spiegare perchédeve essere f (0) = 0.

15. Esistono funzioni che sono sia pari che dispari ?

16. Le funzioni pari sono caratterizzate dall’avere il grafico simmetrico rispet-to all’asse delle y. Ci sono funzioni con il grafico simmetrico rispettoall’asse delle x ?

17. Sia q (x) = ax2 + bx+ c, con a, b, c costanti.

(a) Supponiamo che q sia una funzione pari. Mostrare che b = 0.

(b) Supponiamo che q sia dispari. Cosa si può dire di a, b e c ?

18. Supponiamo che il grafico di una funzione f sia simmetrico rispetto all’assedelle y e che f (3) = 1. Calcolare f (−3) .

19. Sia f una funzione pari. Supponiamo che il punto (−3, 5) faccia parte delgrafico di f . Trovare un altro punto del grafico.

20. Supponiamo che f una funzione dispari e che −12 ≤ f (x) ≤ 9 quandox ≥ 0.

(a) Può essere f (−5) = 10 ? Spiegare.(b) Può essere f (−5) = −10 ? Spiegare.

21. Sia f una funzione pari.

(a) Come sono correlati i grafici di f e di g definita come g (x) = f (|x|)?(b) h (x) = |f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare la

risposta.

(c) k (x) = f (x)+|f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificarela risposta.

22. Sia f una funzione dispari

(a) g (x) = −f (x) è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare larisposta.

(b) h (x) = |f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare larisposta.


(c) k (x) = f (|x|) è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificare larisposta.

(d) k (x) = f (x)+|f (x)| è pari, dispari o niente di tutto ciò? Giustificarela risposta.

23. Sia f una funzione con dominio R. Mostrare che g (x) = f (|x|) è unafunzione pari.

24. Sia f una funzione dispari decrescente nell’intervallo (a, b) .

(a) f è crescente o decrescente nell’intervallo (−b,−a) ? Spiegare(b) Può essere a < 0 < b ? Spiegare.

25. Sia f una funzione periodica di periodo 1/2 tale che f (2) = 5, f (9/4) =2, f (11/8) = 3. Calcolare:

(a) f (0) ;

(b) f (1/4) ;

(c) f (3/8) ;

(d) f (−3) ;(e) f (1000) ;

(f) f (x+ 5)− f (x) ;

26. Sia f una funzione periodica di periodo P e g una funzione definita dallaregola “g (x) è la pendenza della retta passante per i punti (x, f (x)) e(x+ 1, f (x+ 1))”. Mostrare che g (x) è una funzione periodica di periodoP.

27. Supponiamo che f sia periodica di periodo 2 e che sia crescente e concavanell’intervallo [0, 1] .

(a) f è crescente nell’intervallo [6, 7] ? Giustificare la risposta.

(b) Può essere f concava nell’intervallo [−3,−2] ?Giustificare la risposta.(c) Supponiamo che f abbia un massimo locale per x = 13.5 . In quale

punto dell’intervallo [0, 2] f ha un massimo locale?

(d) Supponiamo che sia −2 ≤ f (x) ≤ 5 per −4 ≤ x ≤ 3. Spiegare perché−2 ≤ f (x) ≤ 5 per tutti i valori di x.

28. Sia f periodica di periodo P.

(a) Mostrare che f (x+ 2P ) = f (x) .

(b) Cosa significa (a) graficamente?

29. Sia f una funzione periodica.

(a) Può essere f pari? Se sì disegna un grafico, se no spiega il perché.


(b) Può essere f dispari? Se sì disegna un grafico, se no spiega il perché.

(c) Può essere f né pari né dispari? Se sì disegna un grafico, se no spiegail perché.

30. Sia f una funzione periodica di periodo P e sia A 6= 0 una costante.Mostrare che le funzioni seguenti sono periodiche e trovarne il periodo.

(a) g (x) = f (x) +A ;

(b) h (x) = f (x+A) ;

(c) l (x) = Af (x) ;

(d) m (x) = f (Ax) .

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