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Retta tangente ederivata

Algebra dellederivate

Derivate dellefunzionielementari

Esempi dicalcolo diderivate

Corso di Laurea in Ingegneria Edile

Corso di Analisi Matematica

DERIVATE

Lucio DemeioDipartimento di Ingegneria Industriale

e delle Scienze Matematiche

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Retta tangente e derivata

Algebra delle derivate

Derivate delle funzioni elementari

Esempi di calcolo di derivate

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Secanti e tangenti

Sia f : D → R, sia I = [a, b] oppure I = (a, b), con a < b, unintervallo contenuto nel dominio quindi I ⊂ D, e sia x0 ∈ I.Consideriamo un secondo punto x1 ∈ I (x1 > x0) e tracciamola retta passante per i punti di ascissa x0 e x1 sul grafico dellafunzione, x0, f(x0) e x1, f(x1) (retta secante).

0.6 0.8 1

1

1.5

2

x

(x , f(x ))0 0

x 0

x 1

(x , f(x ))1 1

L’equazione e

y(x) = f(x0) +f(x1) − f(x0)

x1 − x0(x − x0)

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Secanti e tangenti

Avviciniamo ora x1 a x0 e consideriamo via via la posizionedella retta secante. Al limite per x1 → x0 la secante si disponelungo la direzione della tangente geometrica al grafico dellafunzione nel punto di ascissa x0. Affinche questo succeda, pero,deve esistere il limite

m+ = limx1→x+

0

f(x1) − f(x0)

x1 − x0

Ragionando in maniera analoga con x1 < x0 si perviene allimite

m− = limx1→x−

0

f(x1) − f(x0)

x1 − x0

Se e solo se m+ ed m− esistono e sono uguali,m+ = m− = m, il grafico della funzione ammette retta

tangente non verticale nel punto (x0, f(x0)).

Se uno sei due limiti non esiste, o se esistono ma non sonouguali, il grafico della funzione non ammette rettatangente in quel punto.

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Secanti e tangenti

Da notare che, se esiste il limite (indicando ora x1

semplicemente con x)

m = limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

allora abbiamo

limx→x0

f(x) − f(x0) − m(x − x0)

x − x0= 0

Infatti:

limx→x0

f(x) − f(x0) − m(x − x0)

x − x0

=

limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

− m = m − m = 0

Ovvero:

f(x) = f(x0) + m (x − x0) + o(x − x0), x → x0

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Definizione di derivata

Se esiste il limite

m = limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

la funzione f(x) si dice derivabile nel punto x0 ed il valore dellimite, m, si dice derivata della funzione nel punto x0 e siindica con f ′(x0);

In tal caso, il grafico della funzione f(x) ammette retta tangentenon verticale nel punto di ascissa x0 e la retta di equazione

y = f(x0) + f ′(x0) (x − x0)

si dice retta tangente non verticale al grafico della funzionef(x) nel punto x0 e la derivata f ′(x0) e il valore delcoefficiente angolare della retta tangente.

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Rapporto incrementale

Il rapportof(x) − f(x0)

x − x0

si chiama rapporto incrementale.

Introducendo la variabile h = x − x0, il limite del rapportoincrementale si puo anche scrivere nella forma usatissima

limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0= lim

h→0

f(x0 + h) − f(x0)

h

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Definizione alternativa di derivata

La definizione di derivata si puo anche formulareequivalentemente nel seguente modo: se esiste un m ∈ R taleche

f(x) = f(x0) + m (x − x0) + o(x − x0), x → x0

la funzione ammette retta tangente (non verticale) in x0 e sidice differenziabile nel punto x0; e allora facile vedere che

m = limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

che si dice derivata della funzione nel punto x0.

La retta di equazione

y = f(x0) + m(x − x0)

e la retta tangente (non verticale) al grafico della funzione f(x)nel punto x0.

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Ricapitolando

una funzione f : I → R si dice derivabile nel punto di ascissax0 ∈ I se esiste finito il limite

f ′(x0) = limx→x0

f(x) − f(x0)

x − x0

,

ed il valore di tale limite si dice derivata della funzione in x0.

una funzione f : I → R si dice differenziabile nel punto diascissa x0 ∈ I se il suo grafico ammette retta tangente nelpunto di ascissa x0;

per una funzione reale di una variabile reale differenziabilita ederivabilita sono equivalenti ed il coefficiente angolare dellaretta tangente coincide con il valore della derivata; non e cosıper le funzioni di piu variabili, dove la differenziabilita implicala derivabilita ma non viceversa.

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Derivata sinistra e derivata destra

Abbiamo iniziato il discorso sulle derivate introducendo idue limiti, destro e sinistro,

m± = limx→x±

0

f(x) − f(x0)

x − x0

di una funzione f : I → R, con x0 ∈ I.

Considerando separatamente i limiti destro e sinistro,possiamo allora introdurre la nozione di derivata destra ederivata sinistra di una funzione nel punto x0 ∈ I.Diremo che la funzione f(x) ammette derivata destra, o ederivabile a destra, nel punto x0 ∈ I se esiste finito il limite

m+ = limx→x+

0

f(x) − f(x0)

x − x0;

tale limite si chiama derivata destra della funzione in x0 esi indica con f ′

+(x0).

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Derivata sinistra e derivata destra

Analogamente, chiameremo derivata sinistra dellafunzione f(x) nel punto x0 ∈ I il limite

m− = limx→x−

0

f(x) − f(x0)

x − x0

se questo esiste finito;

possiamo allora dire che una funzione f : I → R ederivabile in x0 se ammette derivata destra e derivatasinistra in x0 e queste sono uguali, f ′

+(x0) = f ′−(x0) ed il

loro valore comune e la derivata di f(x) in x0, cioe

f ′

+(x0) = f ′

−(x0) = f ′(x0).

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Derivabilita in un intervallo e nel

dominio

Sia f : I → R derivabile in ogni punto di I. Allora diremoche la funzione f(x) e derivabile su tutto l’intervallo I.

Sia ora I = [a, b]; ovviamente, negli estremi dell’intervalloa e b puo esistere soltanto la derivata destra o la derivatasinistra, rispettivamente. Diremo allora che la funzione ederivabile negli estremi a e b se esistono f ′

+(a) ed f ′−(b),

rispettivamente, ed in tal caso parleremo semplicemente dif ′(a) ed f ′(b).

La funzione f : D → R si dice derivabile nel dominio D se:1 D e un’unione di intervalli del tipo [a, b] o (a, b) con a < b e2 se f(x) e derivabile in ogni punto x ∈ D.

La scelta di restringere la definizione di derivata a funzionidefinite su intervalli (o unioni di intervalli) ha lo scopo diescludere punti isolati del dominio, per i quali ladefinizione di derivata e priva di significato.

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Funzione derivata

Se f : D → R e derivabile in ogni punto del dominio,l’operazione di derivazione definisce una nuova funzione,f ′(x), detta appunto funzione derivata. In questo caso,f ′ : D → R e la funzione derivata e definita sullo stessodominio della funzione.

Se la funzione f non e derivabile su tutto in dominio,possiamo ancora definire la funzione derivata, f ′(x), chepero e definita su un dominio piu piccolo del dominio di f .

In generale, possiamo dire che il dominio della funzionederivata f ′ e un sottoinsieme del dominio della funzione f .

Notazioni alternative e molto usate per indicare la derivatasono

df

dxDf(x) fx

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Funzione derivata

Esempio illustrativo - I

Sia f(x) = x, D = R. Per qualunque x ∈ R abbiamo:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

x + h − x

h= lim

h→0

h

h= 1

La funzione derivata e 1 ed e definita sullo stesso dominio dellaf . Il risultato non sorprende: y = x e l’equazione della rettabisettrice del I e III quadrante ed e tangente a se stessa, concoefficiente angolare 1. E allora facile capire come la derivata diuna generica funzione lineare f(x) = m x + q sia f ′(x) = m;infatti f(x) rappresenta una retta di coefficiente angolare m ede tangente a se stessa.

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Funzione derivata

Esempio illustrativo - II

Sia f(x) = x2, D = R. Per qualunque x ∈ R abbiamo:

f ′(x) = limh→0

f(x + h) − f(x)

h= lim

h→0

(x + h)2 − x2

h= 2 x

La funzione derivata e 2 x ed e definita sullo stesso dominiodella f .

-2 -1 0 1 2

0

2

4

x

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Funzione derivata

Esempio illustrativo - III

-3 -2 -1 0 1 2 3

0

1

x

Sia f(x) = | sin x|, D = R. Per qualunque x ∈ (−π, π)\{0}possiamo tracciare la retta tangente al grafico della funzione.

In x = 0, esistono la derivata sinistra e la derivata destra, manon sono uguali: la funzione non e derivabile in x = 0.

La funzione derivata e definita su un dominio piu piccolo diquello della f ;

ovviamente il discorso si ripete ad ogni multiplo di π.

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Derivabilita e continuita

TeoremaSia f : I → R derivabile in x0 ∈ I. Allora f(x) e continua in x0.

Dimostrazione

Dobbiamo dimostrare che limx→x0 f(x) = f(x0). Infatti:

limx→x0

f(x) = limx→x0

[f(x) − f(x0) + f(x0)] =

= limx→x0

»

f(x) − f(x0)

x − x0

(x − x0) + f(x0)

–

=

limx→x0

ˆ

f ′(x0) (x − x0)˜

+ f(x0) = f(x0)

Attenzione !!Il viceversa non vale: una funzione continua puo non esserederivabile. Quindi (derivabilita) ⇒ (continuita); ma(continuita) ; (derivabilita).

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Punti di non derivabilita

Classificazione

Sia f : D → R una funzione e sia x0 ∈ D dove la funzione econtinua ma non derivabile. Si possono avere tre casi:

f ′+(x0) ed f ′

−(x0) esistono ma f ′+(x0) 6= f ′

−(x0), oppureuno solo dei due esiste: il punto (x0, f(x0)) si dice punto

angoloso del grafico di f ;

f ′+(x0) = +∞ e f ′

−(x0) = −∞ (o viceversa): il punto(x0, f(x0)) si dice cuspide del grafico di f ;

f ′+(x0) = f ′

−(x0) = +∞ (o −∞, ma comunque concordi):il punto (x0, f(x0)) si dice flesso a tangente verticale

del grafico di f .

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Funzioni prototipo - Punto angoloso

L’esempio elementare piu usato per il punto angoloso e lafunzione valore assoluto: f : R → R data da f(x) = |x|.

-2 -1 0 1 2

0

1

2

x

La funzione non e derivabile in x = 0, dove esistonoderivata destra e derivata sinistra, rispettivamente uguali af ′+(0) = 1 e f ′

−(0) = −1

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Funzioni prototipo - Cuspide

Il prototipo e la funzione : f : R → R data da f(x) =√

|x|.

-2 -1 0 1 20

1

2

x

La funzione non e derivabile in x = 0, dove derivata destrae derivata sinistra vanno rispettivamente a f ′

+(0) → +∞ ef ′−(0) → −∞

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Funzioni prototipo - Flesso verticale

Il prototipo e la funzione : f : R → R data da f(x) = x1/3.

-1 0 1

0

1

x

La funzione non e derivabile in x = 0, dove derivata destrae derivata sinistra vanno entrambe a +∞.

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TeoremaSiano f, g : I → R e sia x0 ∈ I. Se f e g sono derivabili in x0,anche le funzioni α f , f ± g, f g ed f/g (con g(x0) 6= 0) sonoderivabili in x0 e si ha:

(i) (αf)′(x0) = αf ′(x0)

(ii) (f ± g)′(x0) = f ′(x0) ± g′(x0)

(iii) (f g)′(x0) = f ′(x0) g(x0) + f(x0) g′(x0)

(iv)(

fg

)′

(x0) = f ′(x0)g(x0)−f(x0)g′(x0)

[g(x0)]2, g(x0) 6= 0

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Dimostrazione - (iii)

Le proposizioni (i) e (ii) sono elementari e le lasciamo allo studente.Per la (iii), trasformiamo il rapporto incrementale al modo seguente:

f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0)g(x0)

h=

=f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0)g(x0 + h) + f(x0)g(x0 + h) − f(x0)g(x0)

h

=f(x0 + h) − f(x0)

hg(x0 + h) +

g(x0 + h) − g(x0)

hf(x0)

E dunque

(f g)′(x0) = lim

h→0

f(x0 + h)g(x0 + h) − f(x0)g(x0)

h=

= limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

hg(x0 + h) + lim

h→0

g(x0 + h) − g(x0)

hf(x0) =

= f′(x0) g(x0) + g

′(x0) f(x0)

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Dimostrazione - (iv)

Per dimostrare la (iv), si procede in modo analogo:

1

h

"

f(x0 + h)

g(x0 + h)−

f(x0)

g(x0)

#

=f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0 + h)

h g(x0) g(x0 + h)

=f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0) + f(x0)g(x0) − f(x0)g(x0 + h)

h g(x0) g(x0 + h)=

=f(x0 + h)g(x0) − f(x0)g(x0)

h g(x0) g(x0 + h)+

f(x0)g(x0) − f(x0)g(x0 + h)

h g(x0) g(x0 + h)

E dunque

f

g

!

′

(x0) = limh→0

1

h

"

f(x0 + h)

g(x0 + h)−

f(x0)

g(x0)

#

=

= limh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h g(x0) g(x0 + h)g(x0) − lim

h→0

g(x0 + h) − g(x0)

h g(x0) g(x0 + h)f(x0) =

=f′(x0) g(x0) − g′(x0) f(x0)

[g(x0)]2

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Derivata della funzione composta

TeoremaSiano f : I → J e g : J → R, sia f(I) ⊂ J ed indichiamo con ula funzione composta u = g ◦ f , vale a dire u(x) = g(f(x)). Siax0 ∈ I. Se f e derivabile in x0 e g e derivabile in f(x0), anchela funzione u e derivabile in x0 e si ha:

u′(x0) = g′(f(x0))f′(x0)

Questa regola di derivazione va comunemente sotto il nome diregola della catena.

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Derivata della funzione composta

Dimostrazione

u′(x0) = limh→0

u(x0 + h) − u(x0)

h= lim

h→0

g(f(x0 + h)) − g(f(x0))

h

= limh→0

g(f(x0) + hf ′(x0) + o(h)) − g(f(x0))

h

= limh→0

g(f(x0) + y) − g(f(x0))

y

y

h= g′(f(x0))f

′(x0)

dove abbiamo posto y = hf ′(x0) + o(h) ed abbiamo sfruttato il fattoche y → 0 quando h → 0 e che y/h → f ′(x0) quando h → 0.

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Derivata della funzione inversa

TeoremaSia f : I → R strettamente monotona e continua su I . Sia x0 ∈ I . Sef e derivabile in x0 e f ′(x0) 6= 0 la funzione inversa e derivabile iny0 = f(x0) e si ha:

(f−1)′(y0) =1

f ′(x0)

con y0 = f(x0).

DimostrazionePer le proprieta della funzione inversa, abbiamo che f−1 ◦ f = I,dove I e la funzione identita, cioe f−1(f(x)) = x, ∀x ∈ I . Derivandoda entrambe le parti ed utilizzando la regola della catena abbiamo

[f−1(f(x))]′ = 1

(f−1)′(f(x))f ′(x) = 1

(f−1)′(f(x)) =1

f ′(x),

da cui la tesi.

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Funzioni potenza

d

dxxα = α xα−1, ∀α ∈ R

Dimostriamolo per α > 0:

d

dxxα = lim

h→0

(x + h)α − xα

h= lim

h→0

xα(1 + h/x)α − xα

h

= limh→0

xα (1 + h/x)α − 1

h= lim

h→0xα−1 (1 + h/x)α − 1

h/x

= xα−1 limy→0

(1 + y)α − 1

y= α xα−1

dove l’ultimo limite e stato ottenuto ponendo y = h/x edusando il limite notevole

limx→0

(1 + x)α − 1

x= 0

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Esponenziali

d

dxex = ex d

dxax = ax ln a

Infatti:

d

dxex = lim

h→0

ex+h − ex

h= lim

h→0

ex(eh − 1)

h= ex

d

dxax = lim

h→0

ax+h − ax

h= lim

h→0

ax(ah − 1)

h= ax ln a

dove l’ultimo limite ad ogni passaggio e stato ottenuto usando ilimiti notevoli

limx→0

ex − 1

x= 1 lim

x→0

ax − 1

x= ln a

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Funzioni iperboliche

Le derivate delle funzioni iperboliche si ottengono applicandol’algebra delle derivate:

d

dxcoshx =

d

dx

ex + e−x

2=

ex − e−x

2= sinhx

d

dxsinhx =

d

dx

ex − e−x

2=

ex + e−x

2= coshx

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Logaritmi

d

dxln |x| =

1

x

d

dxloga x =

1

x

1

ln a

Infatti, per x > 0:

d

dxln x = lim

h→0

ln(x + h) − ln x

h= lim

h→0

ln[x(1 + h/x)] − lnx

h

= limh→0

ln(1 + h/x)

h= lim

h→0

1

x

ln(1 + h/x)

h/x

=1

xlimy→0

ln(1 + y)

y=

1

x

dove l’ultimo limite ad ogni passaggio e stato ottenuto ponendoy = h/x ed usando il limite notevole

limx→0

ln(1 + x)

x= 1

Il risultato per x < 0 si ottiene scrivendo ln(1/|x|) = ln(−1/x)ela seconda uguaglianza si ottiene ricordando cheloga x = ln x/ ln a.

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Funzioni trigonometriche

d

dxsin x = cosx

d

dxcosx = − sinx

Basta dimostrare la prima, in quanto

d

dxcos x =

d

dxsin(π/2 − x) = − d

dxsin(x − π/2)

= − cos(x − π/2) = − sin x

Ora:

d

dxsin x = lim

h→0

sin(x + h) − sin x

h

= limh→0

sin x cos h + cos x sin h − sin x

h

= limh→0

(cos h − 1) sin x + cos x sin h

h

= sin x limh→0

cos h − 1

h+ cos x lim

h→0

sin h

h= cos x

in quanto limh→0 sin h/h = 1 e limh→0(cos h − 1)/h = 0

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Funzioni trigonometriche

Le derivate delle funzioni tanx e cotx si ottengono applicandol’algebra delle derivate:

d

dxtan x =

d

dx

sin x

cos x=

cos2 x + sin2 x

cos2 x=

1

cos2 x= 1 + tan2 x

d

dxcot x =

d

dx

cos x

sin x=

− sin2 x − cos2 x

sin2 x= − 1

sin2 x= −1 − cot2 x

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Funzioni trigonometriche inverse

d

dxarcsinx = ± 1√

1 − x2

d

dxarccosx = ∓ 1√

1 − x2

dove la determinazione del segno va scelta a seconda delquadrante.

Sia x = sin y, y = arcsin x nel primo caso e x = cos y,y = arccos x nel secondo.

d

dxarcsin x =

1

(sin y)′=

1

cos y=

1

±p

1 − sin2 y= ± 1√

1 − x2

d

dxarccos x =

1

(cos y)′=

1

− sin y=

1

∓p

1 − cos2 y= ∓ 1√

1 − x2

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Funzioni trigonometriche inverse

d

dxarctanx =

1

1 + x2

Sia x = tan y, y = arctan x.

d

dxarctan x =

1

(tan y)′=

1

1 + tan2 y=

1

1 + x2

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Polinomi

f(x) = 2x4 − x3

3+ 2x2 − x

4+ 1

f(x) = 8x3 − x2 + 4x − 1

4

Funzioni razionali

f(x) =2x4 − x3/3 + 2x2 − x/4 + 1

x3 + 1

f(x) =8x3 − x2 + 4x − 1/4

5x2 + x − 1

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Funzioni irrazionali

f(x) =√

x, x3/2,p

x2 + 1

f(x) = (√

x + 1)√

x,1√x

, (√

x + 1)2

Combinazioni varie con funzioni irrazionali

f(x) =1 + x√

x,

√x

1 +√

x

f(x) =

r

1 − x

1 + x,

„

1 − x

1 + x

«1/3

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Funzioni trigonometriche e combinazioni varie

f(x) = sin2 x, sec x, csc x

f(x) = sin1

x, x sin x,

sin x

x

Funzioni esponenziali e combinazioni varie

f(x) = e2x, ex2

,ex + 1

e2x − 1

f(x) = x ex,ex

x, ex sin x

f(x) = e√

x,ex

√x

, ex √x

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Funzioni iperboliche e combinazioni varie

f(x) = cosh 2x, sinh x2,cosh x + 1

sinh 2x − 1

f(x) = x sinh x,cosh x

x, cosh x sin x

f(x) = cosh(√

x),sinh x√

x, cosh x

√x

Logaritmi e combinazioni varie

f(x) = ln x, x ln x,ln x

x

f(x) = ln2 xln2 x + 2 ln x − 1

ln x − 1

f(x) = sin x ln x,ln x

sin xex ln x

f(x) = ln(x + 1), ln(√

x + 1),√

ln x

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