Le derivate (sintesi)

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  • 1. 1. Il rapporto incrementale2. La derivata di una funzione3. Il significato geometrico della derivata1

2. Consideriamo la funzioneIl rapporto y = x2+1 e un punto del suoincrementale grafico A(3; 10) f(3)= 32+1 = 10 Incrementando lascisse di 0,1 si ottiene il punto B di coordinate: xB=3+0,1=3,1 yB= f(xB) = 3,12+1=10,61 Chiamiamo xB - xA= 0,1 lincremento di x e yB - yA=10,61-10 = 0,61 lincremento di y.y B y A 10,61 10 = = 6,1 Il rapporto tra questi duexB x A3,1 3valori sar chiamato 2 3. Coefficiente angolare Consideriamo la rettadella retta passante perpassante per AB e calcoliamoABla sua equazione.La retta ottenuta hacoefficiente angolare ugualeal rapporto incrementaleRicordiamo che lequazione esplicita dellaretta y = mx + qm chiamato coefficienteangolare della retta yB y Am= xB x Ay y A = m( x x A ) y 10 = 6,1( x 3) y = 6,1x 18,3 + 10 y = 6,1x 8,33 4. Definizione di rapporto Data una funzione y=f(x),incrementaledefinita in un intervallo [a; b],e due numeri reali c e c + hinterni allintervallo, si chiamarapporto incrementale di f(relativo a c), il numero f ( c + h ) f (c )h Infatti se consideriamo A(c; f(c)) B(c+h; f(c+h)) xB = c + hyB = f(xB)= f(c + h) Si ottieney B y A f ( c + h ) f (c ) f ( c + h ) f (c ) = =xB x A c+hch4 5. Esempio. Calcoliamo il rapportoincrementale della funzioney = 2x2 - 3x relativo al suo puntoA di ascissa 1.Applichiamo la formula etroviamo f ( c + h ) f (c) f ( 1 + h ) f (1) =h h f (1 + h) = 2(1 + h) 2 3 1 + h) = 2(1 + 2h + h 2) 3 3h = ( = 2 + 4h + 2h 2 3 3h = 2h 2 + h 1 f (1 = 2 12 3 1 = 1) f (1 + h) f (1 = 2h 2 + h 1 + 1 = 2h 2 + h)f ( c + h ) f (c) f ( 1 + h ) f (1 ) 2h 2 + h h(2h + 1 )==== 2h + 1 h h hhIn generale, il valore del rapporto incrementale dipende dal valore di h.Nellesempio, se h=0,2 il rapporto incrementale vale 2(0,2)+1=1,4 5 conh=0,1 allora il rapporto vale 1,2 6. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzionenel punto c = -1 e con h = 0,252x +1f ( x) = x f ( c + h ) f (c) c = 1 h = 0,25 c + h = 0,75h 2( 0,75) + 1 1,50 + 1 0,50 50 2 f ( 0,75) == === 0,75 0,75 0,75 75 3 2( 1) + 1 2 + 1 f ( 1) = = =1 11 211 3 =3 = 1 4 = 4 0,251 33 4 6 7. 2x + 1 f ( x) =x 2A( 1; 1) B 0,75; 34c = 1 h = 0,25 c + h = 0,75 m=3 4y 1 = ( x + 1) 3 7 8. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzionenel punto c = -3 e con h generico.f ( x) = x 2 4 x + 8f ( c + h ) f (c ) c = 3 h generico c + h = 3 + h hf ( 3 + h) = ( 3 + h) 2 4( 3 + h) + 8 = 9 6h + h 2 + 12 4h + 8 = h 2 10h + 29f ( 3) = ( 3) 2 4( 3) + 8 = 9 + 12 + 8 = 29f ( c + h ) f (c) h 2 10h + 29 29 h(h 10) = == h 10 h hh 8 9. Esercizio. Calcola il rapporto incrementale della funzione inun punto generico c e un incremento generico h. f ( x) = x 2 2 xf ( c + h ) f (c )c e h generici hf (c + h) = (c + h) 2 2(c + h) = c 2 + 2ch + h 2 2c 2hf (c) = c 2 2cf ( c + h ) f (c) c 2 + 2ch + h 2 2c 2h c 2 + 2c== hhh 2 + 2hc 2h h(h + 2c 2)== h + 2c 2hh 9 10. Il rapporto incrementale Il rapporto incrementale si indica in generale con i simboliy f (c + h) f (c) =x h10 11. La derivata di una funzione f (c + h) f (c)f (c) = lim h0 h 11 12. Significato geometrico della derivataLa derivata di f in un punto crappresenta il coefficienteangolare della retta tangenteal grafico di f nel suo punto diascissa c. 12 13. Significato geometrico delladerivataQuando h 0la retta secante stende allatangente t 13 14. Il calcolo della derivata in un punto particolaref ( c + h ) f (c )f (c) = lim con f ( x) = x 2 1 e c = 3h 0 h f ( 3 + h ) f (3) f (3) = lim = h 0 hlim ( 3 + h ) 2 1 (9 1) =h 0h 9 + 6h + h 2 1 8lim=h 0 h h 2 + 6hh(h + 6)lim= lim =6h 0h h 0h 18 15. f ( x) = x 2 1 A(3 ; 8) x A = 3 y A = 8 f(3) = 6fascio di rette y y A = m( x x A ) m = f(3) = 6retta tangente y 8 = 6( x 3) 19 16. Il calcolo della derivata in un puntogenerico f ( c + h ) f (c ) f (c) = limcon f ( x) = 3 x 2 4 xh 0hf ( c + h ) f (c )f(c) = lim = h 0h lim 3 ( c + h ) 2 4(c + h) (3c 2 4c) = h 0h 3c 2 + 6ch + 3h 2 4c 4h 3c 2 + 4c lim = h 0h 3h 2 + 6ch 4hh(3h + 6c 4) lim= lim= h 0h h 0h lim(3h + 6c 4) = 6c 4 h 0 20 17. F (c) = 6c - 4 la derivatadella funzione f(x) = 3x2 - 4x .Al variare di c si ottengono icoefficienti angolari dellerette tangenti nel punto c.f ( x ) = 3 x 2 4 x f( c ) = 6c 4 f( x ) = 6 x 4Se x = 2 y = f (2) = 12 8 = 4 f(2) = 6(2) 4 = 8La retta tangente in (2; 4) y - 4 = 8(x - 2)Se x = 1 y = f (1) = 7 f(1) = 6(1) 4 = 10La retta tangente in (-1;7) y - 7 = -10(x + 1) 21 18. 222 2 2 4 2 4 8 4 Se x =y = f = 3 4 = 3 4 = = 33 3 3 9 3 3 3 322 f = 6 4 = 0332 44 24 La retta tangente in ; y + = 0 x y + = 03 33 33La retta tangentecalcolato in questultimoesempio parallelaallasse delle x eindividua un puntoparticolare della funzione: 22un punto di minimo 19. Negli esempi rappresentati la retta tangente al grafico orizzontaleed ha come equazione y = k, ossia il suo coefficiente angolare uguale a 0.Quindi la derivata in quei punti uguale a 0. m = f (x) = 0 minimomassimo punti di flessoI PUNTI STAZIONARIData una funzione y = f(x) e un punto x = c,se f (c) = 0, allora x = c si dice punto stazionarioo punto a tangenza orizzontale.23 20. La derivata destra e la derivata sinistra f ( c + h ) f (c )la derivata f (c) = limh 0hf ( c + h ) f (c ) la derivata destra f + (c) = limh0 +hf ( c + h ) f (c )la derivata sin istra f (c) = limh 0hUna funzione derivabile in un intervallo [ a ; b ] :- derivabile in tutti i punti interni dellintervallo;- le derivate sono valori finiti;- la derivata destra uguale alla derivata sinistra.Inoltre se una funzione derivabile in un punto essa anche continua in quel punto24 21. Esempio in cui la derivata destra non uguale alla derivata sinistraLa funzione valore assoluto non derivabile nel punto x=025 22. Le derivate fondamentali 3Dk = 0 esempi D3 = 0; D = 0 4Dx n = nx n 1esempi Dx 4 = 4 x 3 ; Dx 7 = 7 x 6 ; Dx 2 = 2 x; Dx = 1 11 1 1 1 111D x = Dx = x 2 = x 2 = 1 = 2 con x > 02 2 2 x 2x 21 1D = Dx 1 = 1x 11 = x 2 = 2x x12 11 3 1 1 31 1Dn x = con x > 0, n N esempio D 3 x = D x = x = 2 = n n x n 1 3333 x 2 3x 3 2 2 32 5 1 2 522D x = Dx = x = x = 3 =52 55 5 55 x 35x5 26 23. Le derivate fondamentaliLe f . esponenziali e logaritmicheDa x = a x ln a esempi D3 x = 3 x ln 3; De x = e x ln e = e x (ln e = 1 )1111D log a x = log a e esempio D log 2 x =log 2 e;D ln x = log e e=xxxxle f . trigonometricheD senx = cos xD cos x = senx 1sen 2 x + cos 2 xsen 2 x cos 2xD tg x = ==+= 1 + tg 2 x cos 2 xcos 2 x cos 2 x cos2x 1D cotg x = = (1 + cotg 2 x)sen 2 xle f . inverse11D arctg x =D arccotg x = 1 + x2 1 + x211D arcsen x = D arccosen x = 27 1 x2 1 + x2 24. Le regole di derivazioneLa derivata del prodotto di una costante per unafunzione uguale al prodotto della costante perla derivata della funzione[ ]D[ k f ( x ) ] = k f( x ) esempio D 3x 4 = 3 4 x 3 3 3 D x 6 = 6 x5 = 9 x5 2 2La derivata della somma di due funzioni ugualealla somma delle derivate delle singole funzioniD[ f ( x ) + g ( x)] = f( x ) + g( x ) []D x 5 x 2 = Dx 5 Dx 2 = 5 x 4 2 xD[ 2 x 3 x 64] 5 x + 4 = 2 Dx 6 3Dx 4 5Dx + D 4 = 12 x 5 12 x 3 5 28 25. Le regole di derivazioneLa derivata del prodotto di due funzioni ugualealla somma della derivata della prima funzioneper la seconda funzione non derivata con la primafunzione non derivata per la seconda derivataD[ f ( x ) g ( x)] = f( x ) g ( x ) + f ( x ) g( x ) [ ]D x x = Dx x + x D x = 1 x + x 2 x= x+x 3 = 2 2x 1D[ x sen x ] = Dx sen x + x Dsen x = sen x + x cos x 29 26. Le regole di derivazioneLa derivata del quoziente di due funzioni uguale a una frazione cheha: Per numeratore la differenza fra la derivata della funzione alnumeratore per la funzione al denominatore e la funzione alnumeratore per la derivata della funzione al denominatore Per denominatore il quadrato della funzione al denominatore f ( x) f( x) g ( x) f ( x) g( x)D= g ( x) [ g ( x) ] 2 ( x 2 4) 2 x ( 2 x + 5) ( x 2 4) 2 4 x 2 + 10 x 2 x 2 + 8 2 x 2 + 10 x + 8D= == ( 2 x + 5) ( 2 x + 5)( 2 x + 5) ( 2 x + 5)2 22 30 27. 31 28. 32 29. [ ]D[ k f ( x ) ] = k f( x ) esempio D 3x 4 = 3 4 x 3 [ ]D[ f ( x ) + g ( x)] = f( x ) + g( x ) esempio D x 5 x 2 = Dx 5 Dx 2 = 5 x 4 2 x D[ f ( x ) g ( x ) ] = f( x ) g ( x ) + f ( x ) g( x )[ ] esempio D x x = Dx x + x D x = 1 x + x 2 x 1 = x+ x 3=2 2 xD[ f ( x ) ] = n [ f ( x ) ] f( x) n n 1[2 ] esempio D[ ( x + 2) ] = 3 ( x + 2) D( x + 2) = 3 ( x + 2) 1 = 3( x + 2) 3 2 2 1 f( x) 1 2D = 2 esempio D = f ( x) f ( x) ( 2 x + 5) ( 2x + ) 2 g ( x) f( x) g ( x) f ( x) g( x)D= 33 f ( x) g 2 ( x) 30. [ ]D[ k f ( x ) ] = k f( x ) esempio D 3x 4 = 3 4 x 3 [ ]D[ f ( x ) + g ( x)] = f( x ) + g( x ) esempio D x 5 x 2 = Dx 5 Dx 2 = 5 x 4 2 x D[ f ( x ) g ( x ) ] = f( x ) g ( x ) + f ( x ) g( x )[ ] esempio D x x = Dx x + x D x = 1 x + x 2 x 1 = x+ x 3=2 2 xD[ f ( x ) ] = n [ f ( x ) ] f( x) n n 1[2 ] esempio D[ ( x + 2) ] = 3 ( x + 2) D( x + 2) = 3 ( x + 2) 1 = 3( x + 2) 3 2 2 1 f( x) 1 2D = 2 esempio D = f ( x) f ( x) ( 2 x + 5) ( 2x + ) 2 g ( x) f( x) g ( x) f ( x) g( x)D= 34 f ( x) g 2 ( x) 31. 35