Lamberti - Le Derivate

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Lamberti - Le derivate

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  • VLe derivate1. Introduzione 12. Definizione di derivata e suo significato

    geometrico 4Rapporto incrementale, 4Derivata in un punto, 5Derivata destra e derivata sinistra, 8Punto angoloso, 8Rapporti incrementali divergenti, 10Derivabilit in un intervallo, 12

    3. Continuit delle funzioni derivabili 124. Derivate di alcune funzioni elementari 13

    Derivata di una costante, 13Derivata della funzione identica, 14Derivata della funzione sen x, 14Derivata della funzione cos x, 14Derivata della funzione logaritmica, 15Derivata della funzione esponenziale, 15

    5. Regole di derivazione 16Derivata della somma, 16Derivata del prodotto, 17Derivata della potenza con esponente naturale, 18Derivata della funzione reciproca, 19Derivata della potenza con esponente intero, 19Derivata del quoziente, 20

    6. Derivata della funzione composta 20Derivata di [ f(x)]g(x), 22Derivata della potenza a esponente reale, 23

    7. Funzione derivata prima e funzioni derivate successive 24

    8. Derivate di funzioni pari e dispari 259. Derivata della funzione inversa 26

    Derivate delle funzioni inverse delle funzioni circolari, 28

    10. Primitive di una funzione 29Ricerca di una primitiva che soddisfa una con-dizione iniziale, 30

    11. Differenziale di una funzione 32Significato geometrico del differenziale, 33Approssimazione lineare di una funzione, 34 Differenziali e calcoli approssimati, 35

    12. Significato fisico della derivata 36Velocit e accelerazione in un moto rettilineo, 36Intensit di corrente, 38

    Forza elettromotrice indotta, 38Derivate fondamentali e regole di derivazione 40

    Lettura Applicazioni economiche: lanalisi marginale 41La palla di neve 41Quesiti di verifica 43Laboratorio di informatica 441. Il rapporto incrementale, 44 2. La retta tangen-te, 44 3. Il limite del rapporto incrementale, 45 4. Sperimentare con la Random, 45 5. Le derivateprime, seconde, 46 6. Le regole di derivazione,46 7. Esercizi, 47 8. Programmi, 47

    Esercizi 48Rapporto incrementale, 48 Definizione di deriva-ta, 50 Re gole di deri vazione, 51 Deri vata dellafunzione composta, 59 Derivata della funzione in-versa, 64 Derivate succesive, 65 Significato geo-metrico di deri vata, 67 Deri vata destra e deri vatasinistra, 74 Studio della continuit e della deri va-bilit, 75 Differenziale. Calcolo approssimato, 80 Significato fisico di derivata, 83 VERSO LA MATURIT, 88

    I teoremi del calcolodifferenziale

    1. Massimi e minimi 932. Teoremi di Rolle, di Cauchy,

    di Lagrange 98Significato geometrico del teorema di Rolle, 98Unapplicazione del teorema di Rolle, 100Significato geometrico del teorema di Lagrange, 104Interpretazione cinematica del teorema di Lagrange, 106Funzioni crescenti, 106

    3. Forme indeterminate. Teorema di de LHpital 109

    Forma indeterminata , 109

    Forma indeterminata , 111

    4. Limiti notevoli 114

    00

    capitolo 2

    capitolo 1

    Indice

    0040.indice_V3.qxd 14-01-2009 8:51 Pagina V

  • Indice

    VI

    5. Punti a tangente orizzontale 1156. Uso delle derivate successive 1177. Osservazioni sui massimi

    e minimi locali 1238. Concavit, convessit, flessi 1249. Una propriet delle funzioni convesse 128

    10. Studio dei punti di non derivabilit 130Punti angolosi. Cuspidi. Flessi a tangente verticale, 130

    Lettura Un problema di minimo 134Quesiti di verifica 135Laboratorio di informatica 1371. I punti di Lagrange, 137 2. I punti di Cauchy ,138 3. Esercizi, 139 4. Programmi, 139

    Esercizi 140Massimi e minimi, 140 Teoremi di Rolle, diCauchy, di Lagrange, 140 Teorema di Rolle, 140 Teorema di Cauc hy, 142 Teorema di La grange,144 Interpretazione cinematica del teorema diLagrange, 146 Studio dei punti di non derivabilit,146 Funzioni crescenti e decrescenti, 147 Invertibilit, 150 F orme indeterminate. Teoremadi de L Hpital, 152 Massimi e minimi relati vi,159 Esercizi con parametri, 161 Concavit, con-vessit, flessi, 164VERSO LA MATURIT, 170

    Grafici di funzioni1. Studio del grafico di una funzione 173

    Polinomi, 173Funzioni razionali, 177Funzioni algebriche irrazionali, 181Funzioni goniometriche, 186Funzioni esponenziali, 188Funzioni logaritmiche, 189Funzioni oscillanti, 191

    2. Dal grafico di f al grafico di f 1953. Discussione grafica di unequazione 1964. Numero delle radici reali

    di unequazione 198Unicit della soluzione, 199

    5. Studio di un moto rettilineo 2006. Studio di curve in forma parametrica 203

    Interpretazione cinematica, 203Retta tangente, 207Uninterpretazione del teorema di Cauchy, 210

    7. Curve in coordinate polari 211Equazioni polari delle coniche, 214Angolo tra retta tangente e raggio vettore, 215Angolo tra due curve, 215

    8. Curvatura 217

    9. Raggio di curvatura. Centro di curvatura 220

    10. Evoluta 221

    Lettura La quantit ottimale 223Quesiti di verifica 224Laboratorio di informatica 2271. I grafici con GEOGEBRA, 227 2. Propriet di ungrafico, 227 3. I graf ici con D ERIVE, 228 4.Curve parametriche, 229 5. Visualizzare f ile nu-merici con EXCEL, 229 6. Visualizzare la curvatu-ra, 230 7. Esercizi, 231 8. Programmi, 231

    Esercizi 232Studio del grafico di una funzione, 232 Grafici dipolinomi, 232 Grafici di funzioni r azionali fratte,233 Grafici di funzioni con modulo, 235 Graficidi funzioni irrazionali, 236 Grafici di funzioni go-niometriche, 239 Grafici di funzioni esponenziali,241 Grafici di funzioni logaritmiche, 244 Graficidi funzioni in verse delle funzioni cir colari, 247 Discussione graf ica di unequazione parametrica,250 Numero delle radici reali di unequazione,252 Studio di un moto rettilineo, 253 Curv e informa parametrica, 256 Curve in un riferimento dicoordinate polari, 264 Curvatura, 268 Raggio ecentro di curv atura, 269 Problemi di riepilogo,271 Problemi geometrici con studio di funzioni,279 GRAFICI SOLUZIONE, 285VERSO LA MATURIT, 290

    Massimi e minimi assoluti

    1. Massimi e minimi assoluti 295A. Funzione continua in un intervallo chiuso e limitato, 295B. Funzione continua in un intervallo limitato e aperto e dotata di limiti (f initi o infiniti) agli estremi di tale intervallo, 297C. Funzione continua in un intervallo illimitato e dotata di limite (finito o infinito) per x , 297

    2. Massimi e minimi di alcune funzioni composte 299

    3. Problemi di massimo e minimo assoluto 301

    4. Massimi e minimi per via elementare di funzioni in due o pi v ariabili 306

    5. Programmazione lineare 311Utilizzazione di modelli geometrici per la programmazione, 315

    Lettura Il volume della botte 317Quesiti di verifica 319

    capitolo 4

    capitolo 3

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  • VII

    Indice

    Laboratorio di informatica 3201. Il massimo e il minimo, 320 2. Massimo e mini-mo. Derivata, 321 3. Un problema di minimo: la ri-flessione, 323 4. Esercizi, 323 5. Programmi, 323

    Esercizi 324Massimi e minimi assoluti,324 In un intervallo chiu-so e limitato, 324 In un intervallo aperto limitato oillimitato, 327 Nel dominio della funzione , 329 Massimi e minimi assoluti per via elementare, 331 Problemi di massimo e minimo assoluti, 332 Problemi di massimo e minimo assoluti applicato allageometria piana, 332 Problemi di massimo e minimoassoluti applicati alla g eometria solida, 337 Problemi di massimo e minimo assoluti applicati allageometria analitica, 342 Problemi di riepilogo, 347 Programmazione lineare, 349VERSO LA MATURIT, 352

    Lintegrale indefinito

    1. Funzioni primitive di una funzione data 355Significato geometrico dellintegrale indefinito, 357Propriet dellintegrale indefinito, 358

    2. Integrali indefiniti immediati 3593. Integrazione delle funzioni razionali 3654. Integrazione di funzioni con moduli 3695. Integrazione per sostituzione 373

    Sostituzioni con funzioni goniometriche, 375Sostituzioni con funzioni iperboliche, 376

    6. Integrazione per parti 377

    Quesiti di verifica 380Laboratorio di informatica 3821. La tendina Calcola in DERIVE, 382 2. Le primiti-ve con G EOGEBRA, 383 3. Dalla funzione alla pri-mitiva, 384 4. Esercizi, 385 5. Programmi, 385

    Esercizi 386Integrali indefiniti immediati, 386 Funzioni iperbo-liche, 395 Integrazione delle funzioni razionali, 395 Inte grazione di funzioni con moduli, 399 Integrazione di funzioni def inite in pi modi, 401 Integrazione per sostituzione, 402 Integrazione perparti, 404 Esercizi di riepilogo,407 Problemi, 411VERSO LA MATURIT, 413

    Lintegrale definito

    1. Introduzione 4172. Misura di un insieme del piano 4183. Area del trapezoide 420

    Somme integrali per difetto e per eccesso, 420

    Il caso del trapezio, 422Il caso della parabola, 424Il caso dellesponenziale, 425

    4. Integrale definito 427Approssimazione di un inte grale def inito.Somme integrali generalizzate, 428Propriet dellintegrale definito, 429Significato geometrico, 429

    5. Il teorema della media 430Significato geometrico, 430

    6. La funzione integrale:il teorema di Torricelli-Barrow 431Integrazione delle funzioni a scala, 434Derivata di una funzione integrale composta, 435

    7. Integrazione per sostituzione 4358. Grafico della funzione integrale 4379. Calcolo di aree di domini piani 440

    Area del segmento parabolico, 441Area della regione delimitata dallellisse, 441

    10. Volumi dei solidi:metodo delle sezioni normali 443Volume della piramide e del cono, 444

    11. Volumi dei solidi di rotazione 44412. Lunghezza di un arco di curva 448

    Forma cartesiana, 448Forma parametrica, 450Forma polare, 451

    13. Il teorema di Guldino 451Superficie di rivoluzione, 451Il baricentro, 453Volumi di rivoluzione, 454

    14. Significato fisico dellintegrale definito 455Moto rettilineo, 455Quantit di carica, 456Lavoro di una forza, 456Lavoro della forza gravitazionale, 458Lavoro della forz