Equazioni Alle Derivate Parziali

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  • 7/28/2019 Equazioni Alle Derivate Parziali

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    Parte 4

    Equazioni differenziali alle

    derivate parziali

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    Indice

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    CAPITOLO 1

    Classificazione e metodi risolutivi

    Per semplicita di notazioni, ci occuperemo di equazioni alle

    derivate parziali (nel seguito P.D.E., che sta per Partial Differ-

    ential Equations) in due variabili. E facile rendersi conto che

    non ce, in linea di principio, alcun problema nel considerare

    P.D.E. in piu variabili.Intendiamo cioe dire che fissiamo un dominio R2, ed indichi-amo con u(x1, x2) una qualunque funzione u : R. Di talefunzione possiamo calcolare le derivate parziali (o direzionali) di

    primo ordine

    ux1 =u

    x1u, ux2 =

    u

    x2,

    le derivate parziali di secondo ordine

    ux1x1 =2

    x12 , ux2x2 =

    2u

    x22u, ux1x2 =

    2u

    x1x2

    , ux2x1 =2u

    x2x1

    ,

    e, perche no, quelle di ordine superiore; ad esempio, le derivate

    di ordine n saranno tutte e sole quelle che scriviamo come

    nu

    xp1xq2

    , con p + q = n.

    Definizione 1.1. Diciamo equazione alle derivate parzialiuna

    qualunque scrittura del tipo

    (1.1) Fx1, x2,u ,ux1 , ux2, ux1x1 , ,nu

    xp1xq2 = 0,

    3

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    4 1. CLASSIFICAZIONE E METODI RISOLUTIVI

    per ogni (x1, x2) , dove F e una funzione a valori reali.Lordine dellequazione alle derivate parziali e lordine piu alto

    delle derivate di u che compaiono nelluguaglianza (??).

    Ad esempio,

    ux1 ux2 + (ux1)4 = 0e unequazione di ordine 1, mentre

    ux1x2 ux2 ux1 + ux1x1x2 = 0e unequazione di ordine 3 e

    ux1x2

    |ux1

    |

    sin x = 0

    e unequazione di ordine 2.

    Una soluzione (classica) di (??) e una funzione u : R diclasseCn (sen e lordine dellequazione) che soddisfa luguaglian-za

    (1.2)

    F

    x1, x2, u(x1, x2), ux1(x1, x2), ,

    nu

    xp1xq2

    (x1, x2)

    = 0

    in ogni punto (x1, x2) di .

    Vedremo negli esempi successivi che spesso pretendere che

    u sia derivabile n volte (e con derivate continue) e eccessivo, e

    chiariremo di volta in volta cosa intendiamo per soluzione non

    regolare. Grossolanamente, possiamo pensare che u sia deriv-

    abile quasi dappertutto, e che luguaglianza(??) valga in ogni

    punto in cui esistono le derivate che vi compaiono.

    Una classe particolare di equazioni alle derivate parziali e cos-

    tituita dalle cosiddette equazioni lineari, che possiamo scrivere

    come

    (1.3) a1 ux1 + a2 ux2 + bu + c = 0,

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    1. CLASSIFICAZIONE E METODI RISOLUTIVI 5

    nel caso di ordine 1, o

    (1.4) a11 ux1x1 + a12 ux1x2 + a21 ux2x1 + a22 ux2x2+b1 ux1 + b2 ux2 + cu + d = 0,

    nel caso di ordine 2, e cos via. Chiaramente, i coefficienti a, b,

    c, d potranno essere a loro volta funzioni di x1, x2 (coefficienti

    variabili), ma non dovranno dipendere dalla funzione u ne dalle

    sue derivate. Per chiarirci, lequazione

    ux1x1 + sin x2 ux2 = 0

    e lineare (a coefficienti variabili), mentre lequazione

    ux1x1 + sin ux2 = 0non lo e. La principale proprieta delle P.D.E. lineari e che lin-

    sieme delle loro soluzioni forma uno spazio vettoriale, cosa non

    vera, in generale, per tutte le P.D.E. Lasciamo al lettore la ver-

    ifica di questa proposizione, che e completamente analoga alla

    proprieta corrispondente per le equazioni differenziali ordinarie.

    Proposizione 1.1 (Principio di sovrapposizione). Se u e v

    sono due soluzioni di una stessa P.D.E. lineare e A, B sono due

    numeri reali, alloraA u + B v e a sua volta soluzione della stessa

    P.D.E.Fra laltro il Principio di sovrapposizione mette in luce che

    non ci possiamo aspettare che una P.D.E. ammetta, cos come,

    una sola soluzione. Cos come per le equazioni ordinarie doveva-

    mo assegnare il valore della soluzione in un punto (o in un certo

    numero di punti), per le equazioni alle derivate parziali dovremo

    assegnare il valore della soluzione su una curva (o su un certo

    numero di curve). Parleremo in tal caso di dato al contorno o

    dato al bordo o anchedato iniziale, quando una delle due variabili

    rappresenta il tempo.

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    6 1. CLASSIFICAZIONE E METODI RISOLUTIVI

    Le P.D.E. lineari di secondo ordine possono essere ulteriormente

    classificate. Se in (??) sostituiamo formalmente la derivata rispet-

    to ax1 con una nuova variabile y1 e la derivata rispetto ax2 con

    una nuova variabile y2, otteniamo

    a11 y21 + a12 y1y2 + a21 y2y1 + a22 y

    22

    +b1 y1 + b2 y2 + c = 0.

    Questa (per ogni(x1, x2) fissato, nel caso i coefficienti siano vari-

    abili) rappresenta una conica nel piano delle (y1, y2), che puo

    essere classificata a seconda del determinante della matrice

    A = a11 a12a21 a22

    .In modo analogo, diremo che la P.D.E. e

    ellittica: se det A > 0.

    Il prototipo e la matrice

    A =

    1 0

    0 1

    , ,

    cui corrisponde lequazione di Laplace

    u = uxx + uyy = 0

    (per tradizione, si indica x1 con x e x2 con y) .parabolica: se det A = 0.

    Il prototipo e la matrice

    A =

    1 0

    0 0

    ,

    cui corrisponde lequazione del calore

    ut uxx = 0(per tradizione, si indica x1 con x e x2 con t) .

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    8 1. CLASSIFICAZIONE E METODI RISOLUTIVI

    Poiche il membro di sinistra dipende solo da t, mentre quello di

    destra dipende solo da x, lunica possibilita e che in effetti tutto

    sia uguale ad una costante, cioe

    T(t)T(t)

    = 2X(x)X(x)

    = .

    Possiamo ora risolvere separatamente le due O.D.E.

    T(t)T(t)

    = eX(x)X(x)

    =

    2.

    Applicando la separazione delle variabili ad una P.D.E. otteni-

    amo due O.D.E. (una nella variabile t e nellincognita T(t), e

    una nella variabile x e nellincognita X(x)), che risultano ac-coppiate mediante un parametro , che andra scelto opportu-

    namnete.

    La prima equazione mi da

    T(t) = c1et,

    mentre la soluzione della seconda dipende dal segno di . Se

    > 0 otteniamo

    X(x) = c2e|2|x + c3e

    |2|x,

    mentre se < 0 otteniamo

    X(x) = c2 sin

    |

    2|x + c3 cos

    |

    2|x.

    In sostanza, la soluzione di (??) potra essere o del tipo

    U(x, t) = k1e|2|x+t + k2e

    |2|x+t,

    o del tipo

    U(x, t) = k1 sin|

    2|xet + k2 cos|

    2|xet,

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    1. CLASSIFICAZIONE E METODI RISOLUTIVI 9

    con k1 e k2 costanti da determinare, imponendo i dati al con-

    torno. Cominciamo con i dati al bordo

    U(0, t) = 0 =

    (k1 + k2)e

    t

    k2et

    se > 0,

    se < 0,

    U(3, t) = 0 =

    k1e3|2| + k2e3

    |2|

    et

    k2 cos

    3|2|

    etse > 0,

    se < 0.

    Vediamo che, se > 0, lunica possibilita per soddisfare i dati al

    contorno e k1 = k2 = 0. Invece, se < 0, otteniamo k2 = 0, ma

    non abbiamo nessuna condizione su k1. Andiamo ora ad imporre

    il dato iniziale

    U(x, 0) = 3 sin(2x) =

    0 se > 0,

    k1 sin|2|x se < 0.

    Allora dobbiamo escludere la possibilita che > 0 e scegliere

    k1 = 3, k2 = 0 e < 0 in modo che|2| = 2, ovvero = 82.

    Riassumendo abbiamo ottenuto la soluzione

    U(x, t) = 3 sin(2x)e82t.

    Laplace. Poniamo

    u(x, s) = L(U(x, t))(s) =+0

    estU(x, t)dt.

    Osserviamo che

    L(Ut(x, t))(s) = s u(x, s) U(x, 0) = s u(x, s) 3sin(2x),L(Uxx(x, t))(s) = uxx(x, s),

    mentre

    L(U(0, t))(s) = u(0, s),

    L(U(3, t))(s) = u(3, s).

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    10 1. CLASSIF ICAZIONE E METODI RISOLUTIVI

    Di conseguenza, applicando la trasformata di Laplace (rispetto

    alla variabile t!) alla P.D.E. (??) otteniamo

    (1.6)

    s u(x, s) 3 sin(2x) = 2uxx(x, s) se 0 < x < 3,u(0, s) = 0 = u(3, s).

    Applicando la trasformata di Laplace (rispetto alla variabile t)

    ad una P.D.E. otteniamo una O.D.E. (rispetto alla variabile x)

    nella nuova incognita u(x, s) = L(U(x, t))(s). La s ora gioca ilruolo di un parametro, perche non appaiono derivate rispetto a

    questa incognita.

    Possiamo ora risolvere la O.D.E. (??). Cominciamo col cercare

    una soluzione particolare dellequazione non omogenea:

    2uxx(x, s) s u(x, s) = 3 sin(2x).La cerchiamo del tipo u(x, s) = A sin(2x): dovra valere

    8A2 sin(2x) As sin(2x) = 3 sin(2x).

    ovvero A =3

    82 + s. Si noti cheA e costante rispetto a x, ma

    puo dipendere dal parametro s!

    A ben vedere, questa e gia la soluzione che stavamo cercando,

    perche soddisfa le condizioni

    u(0, s) =

    3

    82 + s sin 0 = 0, u(3, s) =

    3

    82 + s sin(6) = 0.

    Pertanto possiamo ricostruire la soluzione della P.D.E. di parten-

    za calcolando

    U(x, t) = L1(u(x, s)) (t) = L1

    3

    82 + ssin(2x)

    (t).

    Ricordiamoci che stiamo antitrasformando rispetto a s, cioe ora

    x e un parametro fissato e dunque

    U(x, t) = 3 sin(2x)L1

    1

    82 + s(t) = 3 sin(2x)e8

    2t.

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    1. CL ASSIF ICAZIONE E METODI RISOLUTIVI 11

    Eserc