Appunti sulle equazioni alle derivate parziali della –sica...

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Appunti sulle equazioni alle derivate parziali della sica matematica A.A. 2016/2017 Marco Bramanti Politecnico di Milano 23 novembre 2016 Indice 1 Deduzione di alcune equazioni di/erenziali della sica matem- atica 5 1.1 Richiami di calcolo di/erenziale vettoriale ............. 5 1.1.1 Operatori gradiente e divergenza .............. 5 1.1.2 Il teorema della divergenza e qualche conseguenza matem- atica .............................. 6 1.1.3 Loperatore rotore ...................... 8 1.2 Lequazione di Poisson per il potenziale newtoniano ....... 8 1.3 Lequazione di di/usione ....................... 14 1.3.1 Temperatura in un corpo tridimensionale ......... 14 1.3.2 Termine convettivo ...................... 15 1.3.3 Temperatura in un corpo mono- o bi- dimensionale .... 15 1.3.4 Concentrazione di una sostanza in soluzione - densit di popolazione .......................... 16 1.3.5 Termini di trasporto e di reazione ............. 16 1.3.6 Equazione di di/usione in stato stazionario ........ 17 1.4 Equazione delle onde ......................... 18 1.4.1 Equazione della corda vibrante ............... 18 1.4.2 Equazione della membrana vibrante ............ 19 1.4.3 Membrana elastica in equilibrio ed equazione di Poisson . 19 1.4.4 Onde sonore nei gas ..................... 19 1.4.5 Onde elettromagnetiche ................... 20 2 Generalit su equazioni e problemi ai limiti per equazioni a derivate parziali 21 2.1 Equazioni lineari del secondordine ................. 21 2.2 Equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche ............ 23 1

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Appunti sulle equazioni alle derivate parzialidella fisica matematicaA.A. 2016/2017

Marco BramantiPolitecnico di Milano

23 novembre 2016

Indice

1 Deduzione di alcune equazioni differenziali della fisica matem-atica 51.1 Richiami di calcolo differenziale vettoriale . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.1 Operatori gradiente e divergenza . . . . . . . . . . . . . . 51.1.2 Il teorema della divergenza e qualche conseguenza matem-

atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 L’operatore rotore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2 L’equazione di Poisson per il potenziale newtoniano . . . . . . . 81.3 L’equazione di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3.1 Temperatura in un corpo tridimensionale . . . . . . . . . 141.3.2 Termine convettivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.3.3 Temperatura in un corpo mono- o bi- dimensionale . . . . 151.3.4 Concentrazione di una sostanza in soluzione - densità di

popolazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.5 Termini di trasporto e di reazione . . . . . . . . . . . . . 161.3.6 Equazione di diffusione in stato stazionario . . . . . . . . 17

1.4 Equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.1 Equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . 181.4.2 Equazione della membrana vibrante . . . . . . . . . . . . 191.4.3 Membrana elastica in equilibrio ed equazione di Poisson . 191.4.4 Onde sonore nei gas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.5 Onde elettromagnetiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Generalità su equazioni e problemi ai limiti per equazioni aderivate parziali 212.1 Equazioni lineari del second’ordine . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche . . . . . . . . . . . . 23

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2.3 Condizioni al contorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.1 Equazioni ellittiche. Problemi al contorno . . . . . . . . . 262.3.2 Equazioni paraboliche. Problemi al contorno e ai valori

iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3.3 Equazioni iperboliche. Problemi al contorno e ai valori

iniziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Principio di sovrapposizione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Problemi ben posti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 Metodo di separazione di variabili e sviluppi di Fourier perproblemi ai limiti 353.1 Richiami sulle serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Serie di Fourier in L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.1.2 Convergenza puntuale delle serie di Fourier e rapidità di

convergenza a zero dei coeffi cienti . . . . . . . . . . . . . . 373.2 Equazione di Laplace e di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2.1 Unicità, principio di massimo, dipendenza continua . . . . 423.2.2 L’equazione di Laplace sul cerchio . . . . . . . . . . . . . 483.2.3 Equazione di Poisson sul cerchio . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3 Equazione di diffusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.3.1 Unicità e principio di massimo parabolico . . . . . . . . . 713.3.2 Equazione di diffusione sul segmento . . . . . . . . . . . . 75

3.4 L’equazione della corda vibrante . . . . . . . . . . . . . . . . . . 833.4.1 La corda vibrante fissata agli estremi . . . . . . . . . . . . 833.4.2 La corda vibrante illimitata . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

3.5 Equazione delle onde in dimensione superiore . . . . . . . . . . . 943.5.1 Energia e risultato di unicità . . . . . . . . . . . . . . . . 953.5.2 Onde sferiche tridimensionali . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.6 Esercizi sul metodo di separazione di variabili e sviluppi di Fourier 97

4 Applicazioni dei metodi di ortogonalità a problemi differenziali1014.1 Laplaciano in coordinate sferiche. Polinomi di Legendre e ar-

moniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.1.1 Il dato indipendente dalla longitudine. Polinomi di Legendre1034.1.2 Il caso generale. Funzioni di Legendre associate e ar-

moniche sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.1.3 Soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace

sulla sfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.2 Oscillatore armonico quantistico e polinomi di Hermite . . . . . . 1144.3 Il problema agli autovalori per il laplaciano (equazione di Helmholz)

e le sue applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1194.4 L’equazione di Helmholz sul rettangolo . . . . . . . . . . . . . . . 122

4.4.1 Membrana vibrante rettangolare . . . . . . . . . . . . . . 1244.4.2 Equazione del calore sul rettangolo . . . . . . . . . . . . . 127

4.5 L’equazione di Helmholz sul cerchio. Funzioni di Bessel di ordineintero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

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4.5.1 Equazione di Bessel ed autofunzioni del laplaciano sulcerchio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.5.2 La membrana vibrante circolare . . . . . . . . . . . . . . . 1334.6 Equazione di Helmholz sul cilindro . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

4.6.1 L’equazione del calore sul cilindro . . . . . . . . . . . . . 1384.7 Equazione di Helmholz sulla sfera. Funzioni di Bessel sferiche . . 139

4.7.1 Equazione e funzioni di Bessel di ordine semiintero . . . . 1404.8 L’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno e i polinomi

di Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454.8.1 Equazione e polinomi di Laguerre associati . . . . . . . . 1494.8.2 Orbitali atomici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.8.3 Soluzioni dell’equazione di Schrödinger . . . . . . . . . . . 1584.8.4 Calcoli dettagliati per la risoluzione dell’equazione radiale 158

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Nota bene. Questi appunti sono messi a disposizione degli studenti delcorso di Metodi Matematici per l’Ingegneria, A.A. 2016/2017, pur non facendoparte dell’attuale programma d’esame. Poiché diverse interessanti applicazionidelle teorie studiate nel corso riguardano le equazioni alle derivate parziali (comela risoluzione di alcuni problemi al contorno mediante la trasformata di Fouriero mediante metodi di analisi complessa), può essere interessante, per lo studentecurioso, allargare il discorso e dare almeno un’occhiata a un inquadramento piùgenerale di questi argomenti.

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1 Deduzione di alcune equazioni differenziali del-la fisica matematica

Vogliamo mostrare come, sotto opportune ipotesi, certe equazioni a derivateparziali (piuttosto semplici, almeno da scriversi!) modellizzino vari fenomeniimportanti. Discuteremo basilarmente tre equazioni differenziali (ognuna conqualche variante): l’equazione di Poisson, l’equazione di diffusione, l’equazionedelle onde. Sono considerate le principali equazioni differenziali della fisicamatematica, per il loro ampio spettro di applicazioni e per le caratteristichediverse e significative che presentano. Ognuna delle tre è il prototipo di unaclasse importante di equazioni (ellittiche, paraboliche, iperboliche).

1.1 Richiami di calcolo differenziale vettoriale

Raccogliamo qui alcuni veloci richiami di argomenti studiati nel corso di analisi2, che entrano nella deduzione e nella formulazione delle equazioni alle derivateparziali che ci interessano.

1.1.1 Operatori gradiente e divergenza

Se f : Rn → R,G : Rn → Rn sono, rispettivamente, un campo scalare e uncampo vettoriale (indichiamo col grassetto le grandezze vettoriali), definiamo ilgradiente di f e la divergenza di G come segue:

∇f (x) =

(∂f

∂x1(x) ,

∂f

∂xn(x) , ...,

∂f

∂xn(x)

)divG (x) = ∇ ·G (x) =

n∑i=1

∂G

∂xi(x) .

Valgono le seguenti identità:

div∇f (x) = ∆f (x) ≡n∑i=1

∂2f

∂x2i

(x)

(∆ è l’operatore di Laplace, o laplaciano)

div (fG) = f divG+∇f ·G

e in particolare, se g è un altro campo scalare,

div (f∇g) = f∆g +∇f · ∇g

oltre ovviamente alla relazione

∇ (fg) = g∇f + f∇g.

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Esempio 1.1 (a) Se r = (x, y, z) ∈ R3, si ha:

∇r =r

|r||∇r| = 1.

(b) Se f : R3 → R è una funzione radiale, cioè

f (r) = g (|r|)

si ha

∇f (r) = g′ (|r|) r|r||∇f (r)| = |g′ (|r|)| .

(c) Dato in R3 il campo newtoniano

E =r

|r|3(con r = (x, y, z) )

calcoliamo, per r 6= 0,

divE=

r∑i=1

∂xi

(xi

|r|3

)=

3∑i=1

|r|3 − xi3 |r|2 xi|r|

|r|6

=3 |r|3 − 3 |r|

∑3i=1 x

2i

|r|6=

3 |r|3 − 3 |r|3

|r|6= 0.

Il campo elettrostatico generato da una carica puntiforme (o il campo gravi-tazionale generato da una massa puntiforme) ha divergeza nulla fuori dal puntoin cui è collocata la carica (la massa).

1.1.2 Il teorema della divergenza e qualche conseguenza matematica

Teorema 1.2 (della divergenza) Sia Ω ⊂ R3 un aperto connesso, limitato,la cui frontiera è l’unione di un numero finito di superfici regolari o regolaria tratti1 , e sia νe il versore normale uscente da Ω, nei punti di ∂Ω in cui èdefinito2 . Sia E un campo vettoriale C1

(Ω), allora∫ ∫ ∫

Ω

divEdxdydz =

∫ ∫∂Ω

E · νedS.

1ad esempio, Ω può essere la regione tridimensionale limitata da una superficie regolare,come una sfera o una corona sferica, ma anche limitata da una superficie come un poliedro,cioè con alcuni spigoli.

2 cioè tranne che sugli spigoli.

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Detto in parole: l’integrale di volume della divergenza di un campo, su uncerto dominio, uguaglia il flusso di quel campo uscente dal bordo del dominiostesso. E’un’equazione di bilancio (dal punto di vista puramente matemati-co), che difatti è coinvolta nella formulazione di equazioni di bilancio di tipofisico, e perciò ha un ruolo chiave nella deduzione di varie equazioni della fisicamatematica.Cominciamo a ottenere qualche conseguenza matematica del teorema: le

identità di Green. Sia Ω un dominio limitato di R3 a cui è applicabile il teoremadella divergenza (ad esempio, con frontiera regolare a pezzi), e siano f, g : Ω→R, f ∈ C1 (Ω) ∩ C

(Ω), g ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω). Applicando il teorema della

divergenza al campo F = f∇g si ha:∫∫∫Ω

∇ · (f∇g) dxdydz =

∫∫∂Ω

f∇g · nedS.

D’altro canto,∇ · (f∇g) = f∆g +∇f · ∇g,

perciò ∫∫∫Ω

f∆gdxdydz +

∫∫∫Ω

∇f · ∇gdxdydz =

∫∫∂Ω

f∇g · nedS.

Nell’ultimo integrale scritto, la funzione ∇g · ne è uguale (per la formuladel gradiente) alla derivata direzionale di g nella direzione del versore normaleuscente. Questa derivata direzionale porta il nome di derivata normale, e siindica col simbolo

∂g

∂ne.

In definitiva abbiamo ottenuto la prima identità di Green:∫∫∫Ω

f∆gdxdydz +

∫∫∫Ω

∇f · ∇gdxdydz =

∫∫∂Ω

f∂g

∂nedS (1.1)

valida per ogni coppia di funzioni:

f ∈ C1 (Ω) ∩ C(Ω), g ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω).

Applicando la (1.1) si prova facilmente (farlo per esercizio) che se Ω è comein precedenza e f, g ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω), si ha∫∫∫

Ω

[f∆g − g∆f ] dxdydz =

∫∫∂Ω

[f∂g

∂ne− g ∂f

∂ne

]dS, (1.2)

detta seconda identità di Green.

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1.1.3 L’operatore rotore

Per F : R3 → R3 campo vettoriale tridimensionale, definiamo il rotore delcampo come:

rotF = ∇× F =

∣∣∣∣∣∣i j k∂x ∂y ∂zF1 F2 F3

∣∣∣∣∣∣(determinante formale della matrice). Anche rotF è un campo vettoriale tridi-mensionale. Ci servirà la seguente identità:

∇× (∇× F) = ∇ (∇ · F)−∆F (1.3)

che si può verificare per esercizio. L’ultimo termine dell’equazione ha il seguentesignificato:

∆F = (∆F1,∆F2,∆F3) .

1.2 L’equazione di Poisson per il potenziale newtoniano

Vogliamo mostrare che il potenziale u del campo elettrostatico generato in unacerta regione Ω dello spazio da una distribuzione continua di carica di densitàvolumica ρ (r) soddisfa in Ω l’equazione di Poisson:

∆u = 4πkρ

(dove k è la costante di Coulomb) cioè

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 4πkρ (x, y, z)

e in particolare, nelle regioni in cui non c’è carica (ρ = 0), il potenziale soddisfal’equazione di Laplace

∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2= 0

ossia, come si dice, u è una funzione armonica.

La legge di Coulomb dell’elettrostatica afferma che il campo elettrico gener-ato nel punto r′ da una carica elettrica puntiforme q posta nel punto r è paria

E (r′) = kqr′ − r|r′ − r|3

dove k è la costante di Coulomb. Per un sistema di più cariche puntiformi, ilcampo totale è semplicemente la somma dei campi generati dalle singole cariche;per una distribuzione continua di cariche, di densità ρ (r), il campo è assegnatodall’analoga formula nel continuo, cioè

E (r′) = k

∫∫∫Ω

ρ (r)r′ − r|r′ − r|3

dxdydz (r = (x, y, z))

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dove Ω è la regione dello spazio (che supponiamo limitata) in cui la densità dicarica è effettivamente non nulla.Vedremo ora come dalla legge di Coulom si possa dedurre Il teorema di

Gauss dell’elettrostatica, che a sua volta avrà tra le sue conseguenze il fattoche il potenziale elettrostatico soddisfi un’importante equazione alle derivateparziali, l’equazione di Poisson.

Teorema 1.3 (teorema di Gauss dell’elettrostatica ) Il flusso del campoelettrico uscente da una superficie3 chiusa Σ è

Φ (E,Σ) = 4πkQtot

dove Qtot è la carica totale racchiusa dalla superficie stessa.

In altre parole, se Σ = ∂Ω per una certa regione limitata Ω dello spazio,

Qtot =∑qi in Ω

qi

nel caso discreto, e

Qtot =

∫∫∫Ω

ρ (r) dxdydz

nel caso continuo. Il teorema vale sia per distribuzioni discrete che per dis-tribuzioni continue di carica. Dimostriamolo, procedendo in vari passi.Passo 1. Una sola carica puntiforme, posta nell’origine; la superficie è una

sfera di centro l’origine e raggio R. In questo caso

E = kqr

|r|3con r = (x, y, z) , ne =

r

|r|

Φ =

∫∫Σ

E · nedS =

= kq · R2

R4

∫∫Σ

dS = 4πkq

Passo 2. Una sola carica puntiforme, posta nell’origine; la superficie è unaqualsiasi superficie chiusa che racchiude l’origine.Sia Σ = ∂Ω la superficie, e consideriamo una sferetta BR di centro l’origine

e raggio R contenuta in Ω. Osserviamo che:∫∫Σ

E · nedS =

∫∫∂(Ω\BR)

E · nedS +

∫∫∂BR

E · nedS

3La superficie Σ deve avere la regolarità richiesta dal teorema della divergenza, quindi adesempio può essere una superficie regolare a pezzi.

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Rappresentiamo schematicamente la situazione come se fosse nel piano. Ilflusso uscente da (Ω \BR) è pari al flusso uscente da Σ meno il flusso uscenteda BR. Ora il secondo addendo a 2 membro è quello calcolato al passo 1, paria 4πkq. Mostriamo che il primo addendo a 2 membro è zero, da cui seguiràil risultato che ci interessa in questo passo. Il campo E nella regione (Ω \BR)è regolare (perché questa regione non contiene l’origine, unico punto in cui ilcampo è irregolare), perciò possiamo applicare ad (Ω \BR) il teorema delladivergenza, e scrivere∫∫

∂(Ω\BR)

E · nedS =

∫∫∫(Ω\BR)

∇ ·Edxdydz = 0

perché ∇ ·E = 0 fuori dall’origine, come verificato in precedenza.Passo 3. (In realtà non ci servirà questo caso nel seguito, ma lo presentiamo

per completezza). Un sistema di più cariche puntiformi, in numero finito; lasuperficie è una qualsiasi superficie chiusa che le racchiude tutte.Segue dal passo 2 per linearità: il campo generato da q1, q2, ..., qn è la somma

dei campi generati separatamente da q1, q2, ..., qn; quindi il flusso del campogenerato da q1, q2, ..., qn è la somma dei flussi dei campi generati separatamenteda q1, q2, ..., qn; questi flussi, per il Passo 2, valgono

4πkq1, 4πkq2, . . . , 4πkqn

perciò il flusso totale è

4πkq1 + 4πkq2 + . . .+ 4πkqn = 4πkQtot .

Questo completa la dimostrazione del teorema di Gauss nel caso di unadistribuzione discreta di cariche.Passo 4. Distribuzione continua di cariche, di densità ρ (x, y, z), non nulla

in un aperto limitato Ω; calcoliamo il flusso attraverso una superficie chiusa Σche avvolge Ω. Supponiamo inoltre che Σ sia disgiunta da Ω (cioè la superficie

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attraverso cui calcoliamo il flusso non tocca la regione dove ρ 6= 0). (Si dovràpoi rimuovere quest’ipotesi).Indichiamo con

r = (x, y, z) il generico punto di Ω

in cui c’è una densità di carica non nulla, e con

r′ = (x′, y′, z′) il generico punto della superficie Σ

su cui vogliamo calcolare il campo, e quindi il flusso. Si ha:

E (r′) = k

∫∫∫Ω

ρ (r)(r′ − r)|r′ − r|3

dxdydz.

Calcoliamo il flusso attraverso Σ:

Φ (E,Σ) =

∫∫Σ

(k

∫∫∫Ω

ρ (r)(r′ − r)|r′ − r|3

dxdydz

)· ne (r′) dS (r′) .

Si noti che il denominatore |r′ − r|3 non si annulla mai perché r ∈ Ω, r′ ∈Σ e abbiamo supposto Ω e Σ disgiunte. Quindi la funzione (r′−r)

|r′−r|3 è limitata.Scambiando tra loro l’integrale doppio e l’integrale triplo si ha:

Φ (E,Σ) =

∫∫∫Ω

ρ (r)

(∫∫Σ

k(r′ − r)|r′ − r|3

· ne (r′) dS (r′)

)dxdydz.

Ora osserviamo l’integrale interno. Si tratta del flusso attraverso Σ del campo

E (r′) = k(r′ − r)|r′ − r|3

che è il campo elettrico generato da una carica puntiforme unitaria posta nelpunto r. Poiché r ∈ Ω e la superficie Σ circonda Ω, questo flusso è quellocalcolato al passo 2:∫∫

Σ

k(r′ − r)|r′ − r|3

· ne (r′) dS (r′) = 4πk · 1,

che sostituito nell’integrale che assegna Φ (E,Σ) dà

Φ (E,Σ) = 4πk

∫∫∫Ω

ρ (r) dxdydz = 4πkQtot ,

e il teorema è così dimostrato anche per una distribuzione continua di cariche,nell’ipotesi che Ω e Σ siano disgiunte.Passo 5. Distribuzione continua di cariche, di densità ρ (x, y, z), non nulla

in un aperto limitato Ω; calcoliamo il flusso attraverso una superficie chiusa Σe regolare che avvolge Ω e può anche intersecare Ω. Questo è un passo un po’tecnico e lo omettiamo (si trova in dettaglio in [EsAn2, pp.588 sgg]).Questo conclude la dimostrazione del teorema di Gauss dell’elettrostatica,

nei vari casi di interesse.

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Osservazione 1.4 (Teorema di Gauss per il campo gravitazionale) Il cam-po gravitazionale obbedisce ad una legge formalmente identica alla legge di Coulombdell’elettrostatica, con l’unica differenza del segno della forza: mentre una caricaelettrica positiva esercita su una carica elettrica unitaria (quindi anch’essa pos-itiva) una forza repulsiva, una massa positiva (l’unico tipo di massa esistente!)esercita su una massa unitaria una forza attrattiva. Quindi per il campo gravi-tazionale F varrà un “teorema di Gauss”con il segno opposto: per il flusso delcampo gravitazionale F uscente da una superficie Σ vale

Φ (F,Σ) = −4πG ·Mtot

dove G è la costante di gravitazione universale eMtot è la massa totale contenutanella regione limitata di cui Σ è il bordo. Nel caso di una distribuzione continuadi materia si avrà

Mtot =

∫∫∫Ω

ρ (r) dxdydz

dove ora ρ è la densità di massa.

Dal teorema di Gauss dell’elettrostatica deduciamo ora il:

Teorema 1.5 (equazione di Maxwell per il campo elettrico con sorgenti)Sia E il campo elettrostatico generato da una distribuzione continua di carica didensità ρ (r) in una certa regione Ω dello spazio. Allora in Ω vale l’equazione:

∇ ·E = 4πkρ

dove k è la costante che compare nella legge di Coulomb.

Dimostrazione. Sia BR una qualsiasi sferetta (di raggio R e centro qualsiasi)contenuta in Ω, e applichiamo a BR il teorema di Gauss dell’elettrostatica (Passo5 della dimostrazione fatta in precedenza):∫∫

∂BR

E · nedS = 4πkQtot.A = 4πk

∫∫∫BR

ρ (r) dxdydz.

(Notiamo che la “carica totale”è in questo caso solo quella contenuta in BR, cheabbiamo scritto come integrale della densità). Trasformando il primo membromediante il teorema della divergenza otteniamo∫∫∫

BR

∇ ·E (r) dxdydz = 4πk

∫∫∫BR

ρ (r) dxdydz

e quindi ∫∫∫BR

[∇ ·E (r)− 4πkρ (r)] dxdydz = 0.

Ora ricordiamo che questo è vero per qualsiasi sfera BR ⊆ Ω. Se allora, fissatoil centro P0 della sfera, dividiamo per il volume della sfera e facciamo tendere azero il raggio, otteniamo che è nulla la media integrale su sfere sempre più piccole

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e quindi, al limite, l’integranda nel punto P0 centro della sfera. D’altro cantoP0 è arbitrario: ne segue che la funzione integranda dev’essere identicamentenulla4 in Ω:

∇ ·E − 4πkρ = 0 in Ω

che è la tesi.

In base all’Osservazione 1.4, per il campo gravitazionale dovuto ad una dis-tribuzione continua di massa con densità ρ varrà un’equazione simile, ma colsegno cambiato,

∇ · F = −4πGρ.

Osservazione 1.6 (Proprietà di annullamento degli integrali tripli) Nelladeduzione precedente abbiamo sfruttato il fatto che se f : Ω→ R è una funzionecontinua (o integrabile) e sappiamo che

∀sfera BR ⊆ Ω

∫∫∫BR

f (x, y, z) dxdydz = 0,

allora necessariamente f (x, y, z) = 0 in ogni punto di Ω (o in ogni punto diΩ ad eccezione di un insieme di misura nulla, rispettivamente). Un errore co-mune nel presentare la deduzione precedente consiste nell’omettere, all’iniziodell’argomentazione, il fatto che si sta ragionando su una generica sfera (o piùin generale, sottoinsieme aperto) BR ⊆ Ω, e limitarsi a lavorare su tutto Ω.Notiamo però che se sapessimo soltanto che∫∫∫

Ω

[∇ ·E (r)− 4πkρ (r)] dxdydz = 0

non potremmo certo dedurne che l’integranda è nulla in Ω. (Si pensi allafunzione sinx che ha integrale nullo in (0, 2π) senza essere identicamente nulla).

Infine, l’equazione di Maxwell per il campo elettrico in presenza di sorgen-ti può essere trasformata in un’equazione scalare sul potenziale elettrostatico,sfruttando il fatto che il campo elettrostatico è conservativo, cioè è gradiente diuna funzione potenziale u (campo scalare):

E = ∇u.

Ponendo quindi E = ∇u, l’equazione di Maxwell ∇ ·E = 4πkρ si riscrive

∇ · (∇u) = 4πkρ

4La deduzione fatta è corretta nei punti in cui l’integranda è continua (abbiamo applicatoil teorema della media, che vale sotto questa ipotesi). Notiamo che la funzione densità ρ puòeffettivamente essere talvolta discontinua. In generale, se supponiamo che l’integranda siasoltanto integrabile (ma eventualmente discontinua), allora si può dimostrare che l’integrandaè zero in Ω, tranne al più in un insieme di misura nulla.

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cioè∆u = 4πkρ.

che è l’equazione di Poisson per il potenziale elettrostatico.Al solito, per il potenziale gravitazionale vale l’equazione di Poisson simile,

ma con un segno diverso,∆u = −4πGρ.

Unificando le due teorie entro un unico quadro, l’equazione a derivate parziali

∆u = f

viene detta equazione di Poisson per il potenziale newtoniano. Il termine notof ha il significato di termine di sorgente.

1.3 L’equazione di diffusione

1.3.1 Temperatura in un corpo tridimensionale

Si vuole studiare il fenomeno della diffusione del calore in un corpo tridimension-ale Ω (sulle cui proprietà termiche cui faremo una serie di ipotesi semplificatriciche preciseremo). La funzione incognita è la temperatura u (x, y, z, t) nel punto(x, y, z) di Ω all’istante t.Supponiamo che il corpo Ω sia omogeneo e isotropo e possa ricevere calore

da una fonte esterna. Sia r (x, y, z, t) il tasso di calore per unità di massa fornitaal corpo in (x, y, z) all’istante t (se r > 0, si tratta di calore fornito; se r < 0 sitratta di calore sottratto). Indichiamo con:

ρ > 0 la densità volumica del corpo; la supponiamo costante;cv > 0 il calore specifico (a volume costante) del materiale; lo supponiamo

costante;κ > 0 la conduttività termica del materiale; la supponiamo costante.Utilizzando la legge di Fourier della conduzione del calore si dimostra allora

che u soddisfa l’equazione:

∂u

∂t=

κ

cvρ∆u+

1

cvr.

Per i passaggi della deduzione si veda [SVZZ, pp.62-3].Indicando conD = κ

cvρil coeffi ciente di diffusione, che rappresenta la risposta

termica del sistema, e con f (x, y, z, t) = 1cvr (x, y, z, t) il termine di sorgente,

l’equazione si riscrive:ut −D∆u = f

ossia∂u

∂t−D

(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2+∂2u

∂z2

)= f (x, y, z, t) .

Questa, una delle più importanti equazioni di evoluzione della fisica matem-atica (l’equazione di Poisson era invece un’equazione stazionaria), è detta equazionedi diffusione (o equazione del calore).

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Il segno − nell’equazione ut − D∆u è molto importante. Nella deduzionefisica del modello, esprime il fatto che il calore passa dal corpo più caldo aquello più freddo. Cambiare il segno equivale a cambiare il verso in cui scorreil tempo. Difatti l’equazione ut + D∆u = f prende il nome di equazione delcalore retrograda (o backward, o all’indietro).Accenniamo solo al fatto che se il corpo fosse non omogeneo (ma ancora

isotropo), l’equazione assumerebbe la forma più generale

∂u

∂t= div (D∇u) +

1

cvr

dove ora D = D (x, y, z, t) sarebbe una funzione (non costante).

1.3.2 Termine convettivo

Se il corpo Ω invece di essere un solido è un fluido, è possibile che la temperaturacambi da punto a punto non solo per diffusione ma anche per convezione, cioèper movimento di fluido che trasporta materia calda. In questo caso, dettav (x, y, z, t) la velocità del fluido nel punto (x, y, z) all’istante t, l’equazione vacorretta con l’aggiunta del termine convettivo, o di trasporto, così:

ut −D∆u+ div (vu) = f

che, se in particolare v è costante, si semplifica a:

ut −D∆u+ v · ∇u = f.

1.3.3 Temperatura in un corpo mono- o bi- dimensionale

L’equazione di diffusione è stata dedotta per un corpo tridimensionale. Se sivuole modellizzare la diffusione del calore in una piastra o in una sbarra (oggettiapprossimativamente bi- o mono- dimensionali), si può considerare l’equazionedi diffusione in due o una variabile, cioè

ut −D(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)= f

out −Duxx = f.

In questi due casi il modello richiede però un’altra ipotesi fisica: il fatto cheil corpo (oltre alle eventuali sorgenti di calore descritte dal termine f) scambicalore con l’esterno solo dai suoi bordi: nel caso della piastra, solo dal contornodella piastra, ma non dalla sua superficie superiore e inferiore; nel caso dellasbarra, solo dagli estremi ma non dalla superficie laterale della sbarra (cioè dal-l’interno del segmento). In altri termini, che il corpo sia “lateralmente isolato”.Quando quest’ipotesi non è verificata, e il corpo scambia calore lateralmente con

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l’esterno per conduzione, l’equazione va corretta con l’aggiunta di un termine,del tipo (nel caso unidimensionale):

ut −Duxx + βu = f

con β > 0 costante, intendendo che il l’ambiente circostante sia a temperaturaT = 0.

1.3.4 Concentrazione di una sostanza in soluzione - densità di popo-lazione

Consideriamo un problema fisico diverso, che come vedremo è matematicamenteanalogo al precedente. Sia u (x, y, z, t) la concentrazione volumica di una certasostanza disciolta in una soluzione, nel punto (x, y, z) di una certa regione Ω dellospazio, all’istante t; questa funzione è ora la nostra incognita. Supponiamo chel’ambiente Ω in cui la sostanza si diffonde sia omogeneo e isotropo. Supponiamoche nel punto (x, y, z) all’istante t sia fornita una quantità f (x, y, z, t) di quellasostanza per unità di massa (al solito, fornita o sottratta a seconda del segno dif). Il flusso, questa volta non di calore ma di materia, della sostanza disciolta, èproporzionale (e di verso opposto) al gradiente della concentrazione: la sostanzadisciolta tende a diffondersi in Ω dai punti in cui è più concentrata ai punti incui lo è meno, esattamente come la temperatura passa dalle regioni più caldea quelle più fredde. Ripetendo la deduzione di prima si trova ancora che usoddisfa l’equazione di diffusione

ut −D∆u = f

dove la costante D avrà ora un significato fisico diverso, ma analogo.Invece che essere la concentrazione di una sostanza chimica, la u potrebbe

rappresentare anche la densità di una popolazione animale in un certo ambiente(naturalmente, sotto ipotesi molto semplificate riguardo al comportamento).Il modello descrive il fenomeno della diffusione di una popolazione che tendead allontanarsi dalle zone sovraffollate, mentre il termine di sorgente descrivenascite e morti.

1.3.5 Termini di trasporto e di reazione

Oltre alla diffusione della sostanza disciolta dovuta al gradiente di concen-trazione, la materia potrebbe muoversi (e quindi u variare) anche perché ilfluido che occupa la regione Ω si muove. Si ha cioè un fenomeno di trasporto,oltre che di diffusione (analogamente al fenomeno convettivo nella diffusione delcalore). Se il fluido ha una velocità v (x, y, z, t) l’equazione diventa

ut −D∆u− div (vu) = f

e, se v è costante,ut −D∆u− v · ∇u = f.

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Il termine v · ∇u è detto termine di trasporto, o deriva, o drift. Nel casounidimensionale si ha:

ut −Duxx − vux = f

(con v di segno qualsiasi).E’anche possibile che ci sia un fenomeno chimico di reazione (o un fenomeno

biologico di decomposizione) che consuma, fa decadere parte della sostanza,portando a una diminuzione della sua concentrazione. Questo si descrive invececon l’aggiunta del termine di reazione:

ut −D∆u+ γu = f

con γ > 0, costante nei casi semplici.Osserviamo esplicitamente che se il fenomeno della diffusione è assente o

trascurabile rispetto a quello di trasporto o di reazione, otteniamo l’equazionedi trasporto puro, del prim’ordine

ut − vux = f

o l’equazione di decadimento, del prim’ordine

ut + γu = f.

Quest’ultima è un’equazione differenziale ordinaria. Se f = 0 la soluzione èu (t) = ce−γt → 0 per t→∞.

1.3.6 Equazione di diffusione in stato stazionario

Vale la pena notare esplicitamente, infine, che se nel fenomeno di diffusione delcalore un corpo raggiunge una situazione di equilibrio termico (cioè a un certopunto la u non varia più al variare del tempo -ma naturalmente può variare dapunto a punto-) la funzione temperatura (essendo ut ≡ 0) soddisferà l’equazionestazionaria

−D∆u = f

cioè ancora l’equazione di Poisson (in questo caso dovrà essere anche f in-dipendente dal tempo). Lo stesso vale per la concentrazione di una sostanza ola densità di una popolazione in situazione di equilibrio. Si vede quindi comel’equazione di Poisson (o quella di Laplace ∆u = 0 nel caso di assenza di sorgen-ti) abbiano anche ulteriori applicazioni, oltre a quella di essere l’equazione delpotenziale newtoniano. Potranno poi essere anche presenti termini di trasportoe / o di reazione, il che porta all’importanza di studiare equazioni stazionariedel tipo

−D∆u− vux + γu = f.

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1.4 Equazione delle onde

1.4.1 Equazione della corda vibrante

L’equazione della corda vibrante è solo il più semplice esempio di equazionedelle onde. I fenomeni ondosi (o vibratori) possono essere molto vari e com-plessi, e conseguentemente sono approssimativamente descritti da una varietàdi equazioni differenziali. Consideriamo il modello più semplice, non solo permotivi dimensionali (a vibrare è una corda, oggetto di dimensione 1, e nonun oggetto bi- o tri- dimensionale), ma anche per le ipotesi semplificatrici chefacciamo.Si vuole descrivere il fenomeno delle piccole vibrazioni trasversali di una

corda tesa (come una corda di violino o di chitarra). La funzione incognita èu (x, t), e ha il seguente significato: se la corda a riposo si trova sull’asse x, e lavibrazione avviene nel piano xz, u (x, t) è la quota z a cui si trova, all’istantet, il punto della corda che, a riposo, si trova nel punto (x, 0). Stiamo quindisupponendo che ogni punto della corda vibri solo in verticale.Le altre ipotesi che facciamo sono sono:Le vibrazioni sono di piccola ampiezza (|ux (x, t)| 1);la corda è perfettamente flessibile; dire che non offre resistenza alla flessione

significa che la forza di tensione si può considerare tangente alla corda in ognipunto;l’attrito è trascurabile (vedremo poi come si modifica il modello rimuovendo

quest’ipotesi).Supponiamo che sulla corda agisca, dall’esterno, una forza verticale (come

il peso) che agisca sul punto x all’istante t con un’intensità per unità di massaf (x, t).Indichiamo con ρ0 (x) la funzione densità lineare della corda in posizione

di equilibrio e con τ0 (t) la componente orizzontale della tensione della cordaall’istante t. Allora (per la deduzione si veda [SVZZ, p.209-210]) si ottiene:

utt (x, t)− τ0 (t)

ρ0 (x)uxx (x, t) = f (x, t) .

Se la corda è omogenea, ρ0 (x) è costante. Se è perfettamente elastica, τ0 (t)è costante (perché è uguale alla tensione a riposo). In questo caso il coeffi cienteτ0/ρ è una costante positiva, che si usa indicare con c2 (c ha le dimensioni divelocità):

utt − c2uxx = f

equazione della corda vibrante.Nel caso si consideri anche l’attrito che la corda subisce nel vibrare (ad opera

del mezzo in cui vibra), si deve aggiungere un termine di dissipazione esogena:

utt − c2uxx + kut = f

con k > 0. (v. [SVZZ p.217] per la deduzione).

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1.4.2 Equazione della membrana vibrante

Consideriamo le piccole vibrazioni di una membrana omogenea e isotropa. Lafunzione incognita è u (x, y, t) che indica la quota, all’istante t, del punto chea riposo si trova in (x, y, 0). Si dimostra allora che u soddisfa l’equazione delleonde in due variabili spaziali:

utt − c2(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)= 0.

Per la deduzione, v. [Pe, pp.175-177]5 .Se poi la membrana è soggetta a una forza verticale di carico per unità di

massa di intensità f (x, y, t), otterremo l’equazione

utt − c2(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)= f (x, y, t) .

1.4.3 Membrana elastica in equilibrio ed equazione di Poisson

Supponiamo che la membrana elastica sia in equilibrio (non vibri): ad esempio,sia soggetta ad una forza indipendente dal tempo e sia fissata al bordo, inmodo tale da disporsi in una configurazione di equilibrio. Il precedente modelloè ancora valido, immaginando ora semplicemente che u sia indipendente daltempo. Quindi risulterà:

−c2(∂2u

∂x2+∂2u

∂y2

)= f (x, y)

ossia u risolve un’equazione di Poisson in 2 variabili. Ecco quindi un altrosignificato ancora dell’equazione di Poisson.

1.4.4 Onde sonore nei gas

Le onde sonore in un gas isotropo sono perturbazioni di piccola ampiezza nellapressione e nella densità del gas.Sia ρ (x, y, z, t) la densità (variabile) del gas e ρ0 (costante) la sua densità in

quiete. Definiamo la grandezza s detta condensazione, data da

s (x, y, z, t) =ρ (x, y, z, t)− ρ0

ρ0

(scostamento relativo della densità dall’equilibrio; come si vede dalla definizione,è una grandezza adimensionale). Si dimostra che s soddisfa l’equazione delleonde in 3 variabili spaziali:

stt − c2∆s = 0

(con ∆ laplaciano in (x, y, z)). Per la deduzione matematica, v. [SVZZpp. 231-234].

5Queste pagine sono scaricabili dalla pagina web del corso.

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1.4.5 Onde elettromagnetiche

Mostriamo che ogni componente del campo elettrico E e del campo magneticoB, nel vuoto e in assenza di sorgenti, soddisfa l’equazione delle onde in 3 variabilispaziali.Partiamo dalle equazione di Maxwell che (nel vuoto e in assenza di sorgenti)

si scrivono:

∇ ·B = 0

∇ ·E = 0

∇×E = −∂B∂t

∇×B =1

c20

∂E

∂t

dove E,B sono il campo elettrico e il campo magnetico funzioni di (x, y, z) edel tempo t, c0 è la velocità della luce nel vuoto, l’operatore ∇ agisce sulle solevariabili spaziali (x, y, z).Applichiamo ad ambo i membri della terza equazione di Maxwell l’operatore

rotore. Si ha:

∇× (∇×E) = ∇×(−∂B∂t

)= − ∂

∂t(∇×B) =

per la quarta equazione di Maxwell

= − ∂

∂t

(1

c20

∂E

∂t

)= − 1

c20

∂2E

∂t2.

Si noti che nel primo passaggio abbiamo scambiato l’operatore rotore conl’operatore ∂

∂t (derivate rispetto a spazio e tempo commutano tra loro). Uti-lizziamo ora l’identità differenziale (1.3):

∇× (∇×E) = ∇ (∇ ·E)−∆E =

per la seconda equazione di Maxwell

= −∆E.

Quindi

−∆E = − 1

c20

∂2E

∂t2

che esplicitamente significa:

∂2Ej∂t2

= c20∆Ej per j = 1, 2, 3,

ossia: ogni componente di E soddisfa l’equazione delle onde (omogenea) in 3variabili spaziali.

20

Analogamente si dimostra l’equazione delle onde per le componenti del cam-po B: si applica l’operatore rotore ad ambo i membri della quarta equazione diMaxwell e si ha

∇× (∇×B) = ∇×(

1

c20

∂E

∂t

)=

1

c20

∂t(∇×E) =

per la terza equazione di Maxwell

=1

c20

∂t

(−∂B∂t

)= − 1

c20

∂2B

∂t2.

D’altro canto ancora l’identità differenziale (1.3) e, questa volta, la prima equazionedi Maxwell, danno:

∇× (∇×B) = ∇ (∇ ·B)−∆B = −∆B

da cui∂2B

∂t2= c20∆B

ossia∂2Bj∂t2

= c20∆Bj per j = 1, 2, 3.

2 Generalità su equazioni e problemi ai limitiper equazioni a derivate parziali

2.1 Equazioni lineari del second’ordine

Le equazioni alle derivate parziali di cui ci occuperemo nel seguito, ossia quelledi cui abbiamo discusso nel §2 il significato modellistico, condividono diverseimportanti proprietà:-sono tutte del second’ordine (occasionalmente si possono ridurre a equazioni

del prim’ordine);-sono tutte lineari;-sono (quasi) tutte a coeffi cienti costanti.Per fissare le idee, scriviamo nuovamente qualcuna di queste equazioni, a

titolo d’esempio:uxx + uyy = f (2.1)

(equazione di Poisson in 2 variabili spaziali);

ut −Duxx + bux − cu = f (2.2)

(equazione di diffusione in una variabile spaziale, con termini di trasporto ereazione);

utt − c2uxx + but = f (2.3)

(equazione della corda vibrante smorzata).

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Facciamo qualche osservazione sulla linearità dell’operatore.Dire che un’equazione alle derivate parziali è lineare significa che ha la forma

Lu = f

dove u è la funzione incognita, f un termine noto (se è zero diciamo che l’e-quazione è omogenea) e L è un operatore differenziale lineare, ossia tale che, seu1, u2 sono funzioni per cui Lu1 e Lu2 sono ben definite e se c1, c2 sono costanti,

L (c1u1 + c2u2) = c1Lu1 + c2Lu2.

Il più generale operatore differenziale lineare del second’ordine in n variabili6

si può scrivere così:

Lu (x) =

n∑i,j=1

aij (x)uxixj (x) +

n∑k=1

bk (x)uxk (x) + c (x)u (x) (2.4)

(con x ∈ Rn). Si dice parte principale dell’operatore l’insieme dei termini nellederivate seconde, cioè l’operatore

n∑i,j=1

aij (x)uxixj (x) ,

mentren∑k=1

bk (x)uxk (x) + c (x)u (x)

si dicono termini di ordine inferiore.Naturalmente occorre precisare uno spazio di funzioni su cui si considera

agire l’operatore L. Ad esempio, l’operatore L in (2.4), se i coeffi cienti aij , bk, csono funzioni continue su un dominio Ω ⊂ Rn, si può vedere come operatorelineare tra i seguenti spazi vettoriali:

L : C2(Ω)→ C0

(Ω).

Tra questi spazi, muniti delle rispettive norme, L risulta anche continuo, inquanto

‖Lu‖C0(Ω) ≤n∑

i,j=1

∥∥aijuxixj∥∥C0(Ω) +

n∑k=1

‖bkuxk‖C0(Ω) + ‖cu‖C0(Ω)

n∑i,j=1

‖aij‖C0(Ω) +

n∑k=1

‖bk‖C0(Ω) + ‖c‖C0(Ω)

‖u‖C2(Ω)

≡ c ‖u‖C2(Ω) .

6Si osservi il linguaggio: L è un operatore differenziale lineare del second’ordine; Lu = f èun’equazione differenziale lineare del second’ordine.

22

La linearità dell’equazione ha una serie di conseguenze, che lo studente ha giàincontrato nel corso dell’algebra lineare e dello studio delle equazioni differenzialiordinarie. Per cominciare:-la generica soluzione dell’equazione completa si può ottenere sommando la

generica soluzione dell’equazione omogenea e una particolare soluzione dell’e-quazione completa;-la totalità delle soluzioni dell’equazione omogenea è uno spazio vettoriale

(nelle ipotesi fatte sopra, un sottospazio di C2(Ω).

Altre proprietà conseguenze della linearità saranno illustrate in seguito inrelazione alle condizioni al contorno.

2.2 Equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche

Le equazioni a derivate parziali lineari del second’ordine possono presentare pro-prietà matematiche molto diverse le une dalle altre, coerentemente al significatofisico molto diverso che hanno le equazioni incontrate fin qui.La proprietà matematica che discrimina queste situazioni è espressa dalla

seguente definizione.

Definizione 2.1 (Equazioni ellittiche, paraboliche, iperboliche) Sia

Lu (x) =

n∑i,j=1

aij (x)uxixj (x) +

n∑k=1

bk (x)uxk (x) + c (x)u (x)

un’equazione alle derivate parziali, lineare del second’ordine definita per x ∈Ω ⊂ Rn, e consideriamo, per un certo x0 ∈ Ω fissato, la forma quadratica;

q : Rn → R

q : h 7→n∑

i,j=1

aij (x0)hihj

(si può sempre supporre che la matrice aij sia simmetrica). Si dice che:l’operatore L è ellittico (in x0) se la forma quadratica q è definita (positiva

o negativa);l’operatore L è iperbolico (in x0) se la forma quadratica q è indefinita;l’operatore L è parabolico (in x0) se la forma quadratica q è semidefinita

(positiva o negativa).Diremo che l’operatore L è ellittico, o iperbolico, o parabolico in Ω se lo è in

ogni punto di Ω.Analoga terminologia si usa per l’equazione Lu = f , cioè: qualunque sia il

termine noto f , diremo che l’equazione è ellittica, parabolica, iperbolica (in unpunto o in un dominio), se lo è l’operatore L.

Osservazione 2.2 Se L in particolare è a coeffi cienti costanti, l’operatore èdi uno stesso tipo in tutto Rn; se l’operatore ha coeffi cienti variabili, può ancheessere di tipo diverso in punti diversi dello spazio, come vedremo con gli esempi.

23

Si noti che la definizione di operatore ellittico, parabolico, iperbolico dipendesolo dalla parte principale dell’operatore differenziale, cioè dai termini nellederivate seconde7 .

Esempio 2.3 (a). L’operatore di Laplace in Rn,

∆u =

n∑i=1

uxixi

ha forma quadratica

q (h) =

n∑i=1

h2i = |h|2 ,

che è definita positiva. Perciò ∆ è un operatore ellittico in Rn.(b) Di conseguenza sono operatori ellittici in Rn anche gli operatori

Lu = ∆u+

n∑k=1

bk (x)uxk + c (x)u

in quanto, come già osservato, il tipo di operatore dipende solo dalla parteprincipale, cioè del second’ordine.(c) L’operatore delle onde in n variabili spaziali (detto anche operatore di

D’Alembert o Dalembertiano e indicato con )

u = utt − c2∆u

con ∆ laplaciano in Rn ha forma quadratica (in Rn+1, chiamando xn+1 lavariabile t)

q (h) = h2n+1 − c2

n∑i=1

h2i

indefinita, quindi è un operatore iperbolico in tutto Rn+1.(d) L’operatore del calore in n variabili spaziali

Hu = ut −D∆u

(con D > 0 e ∆ laplaciano in Rn) ha forma quadratica (in Rn+1, chiamandoxn+1 la variabile t)

q (h) = −Dn∑i=1

h2i

semidefinita negativa in Rn+1 (si ricordi che la forma quadratica q “non si ac-corge”dai termini del prim’ordine, in questo caso di ut), quindi H è parabolico.(e) L’operatore di Tricomi in R2

Tu = yuxx + uyy

7Ma su questo preciseremo qualcosa più avanti per quanto riguarda le equazioniparaboliche.

24

è ellittico nel semipiano y > 0, iperbolico nel semipiano y < 0, parabolico sullaretta y = 0. Ecco un esempio significativo di operatore che cambia tipo da puntoa punto (si dice “operatore di tipo misto”).8

Osservazione 2.4 Con riferimento all’esempio (d), osserviamo che solitamentesi riserva il nome di operatore parabolico, in n+ 1 variabili, a un operatore chesi possa scrivere nella forma:

uxn+1 + Eu

con E operatore ellittico nelle prime n variabili. In altre parole, la formaquadratica è semidefinita in Rn+1 ma è definita in Rn, e l’operatore differenzialecontiene la derivata prima nella variabile che manca nella parte del second’or-dine.

L’operatore di Laplace è il prototipo di operatore ellittico; questi opera-tori dal punto di vista fisico si possono vedere come operatori stazionari cheesprimono, tipicamente, lo stato di un sistema fisico in equilibrio, in qualchesenso.L’operatore del calore è il prototipo di operatore parabolico; gli opera-

tori parabolici9 dal punto di vista fisico si possono vedere come operatori dievoluzione che esprimono, tipicamente, un fenomeno di diffusuione (eventual-mente accompagnato da fenomeni di trasporto e / o reazione).L’operatore delle onde è il prototipo di operatore iperbolico; sono operatori

iperbolici quegli operatori d’evoluzione che, dal punto di vista fisico, esprimonoun fenomeno ondulatorio o vibratorio.

2.3 Condizioni al contorno

Ogni modello differenziale che traduce un problema fisico specifico, normalmenteaffi anca all’equazione alle derivate parziali che esprime le leggi fisiche che gov-ernano il sistema anche certe condizioni, inziali o al contorno, che contengonodati del problema, ma esprimono anche certe ipotesi sul sistema stesso. Nonè mai l’equazione a derivate parziali da sola a determinare un’unica soluzione;piuttosto possiamo sperare che una e una sola soluzione esista per il problemacostituito da equazione + condizioni.Che tipo di condizioni si possono affi ancare a una certa equazione differen-

ziale? Questo dipende naturalmente dal significato fisico del problema ma, comeal solito, la matematica aiuta a mettere ordine nella casistica: a un certo tipodi equazione (ellittica, parabolica, iperbolica) corrispondono certi tipi naturalidi condizioni. Facciamo una prima panoramica su questi tipi di condizioni, cheritroveremo poi caso per caso studiando nel seguito i vari problemi.

8Quest’equazione è stata studiata, per primo, da Tricomi nel 1923, e interviene nello studiodei fluidi transonici. Nello studio dell’aerodinamica, la regione ellittica corrisponde ad un flussosubsonico, la regione parabolica alla barriera del suono e la regione iperbolica alla propagazionesupersonica delle onde di shocks.

9o più precisamente, quelli che soddisfano le ipotesi descritte nell’Osservazione precedente.

25

2.3.1 Equazioni ellittiche. Problemi al contorno

Consideriamo, come esempio di equazione ellittica, l’equazione di Poisson in R3:

∆u ≡ uxx + uyy + uzz = f in Ω ⊂ R3.

Immaginiamo di studiare il campo elettrostatico in una certa regione dellospazio in cui sono posti alcuni corpi conduttori, su ciascuno dei quali è posta unacerta distribuzione di carica; inoltre nello spazio è assegnata una distribuzionevolumica di carica. Se Ω è la regione dello spazio tra i conduttori, possiamoimmaginare che sia noto il potenziale elettrostatico sulla superficie di ciascunconduttore (cioè sul bordo di Ω), e a partire da questo e dalla distribuzione dicarica f nello spazio vogliamo determinare il potenziale in tutto la regione Ω.Siamo così condotti al problema:

∆u = f in Ωu = g su ∂Ω.

(2.5)

Oppure, supponiamo che u sia la temperatura di un corpo tridimensionaleΩ, omogeneo, sogggetto a sorgenti di calore interno (ad es. per irraggiamento)espresse dal termine di sorgente f , nell’ipotesi che il sistema abbia raggiuntouno stato di equilibrio termico, ossia che la temperatura non cambi più neltempo (stato stazionario). Possiamo pensare di misurare la temperatura di usul bordo di Ω (o anche di imporre una determinata temperatura sul bordo diΩ, termostatandolo), e a partire da queste informazioni possiamo pensare cherisulti determinata la temperatura in tutto il corpo. La u soddisferà ancora unproblema (2.5). Più in generale:

Definizione 2.5 Si dice problema di Dirichlet per un’equazione Lu = f inΩ ⊂ Rn un problema del tipo

Lu = f in Ωu = g su ∂Ω.

(2.6)

con g dato al bordo assegnato. Se g = 0 si dice problema di Dirichlet omogeneo.

Il problema di Dirichlet ha senso quando Ω ha un bordo, quando cioè l’e-quazione non si studia sullo spazio intero. In quest’ultimo caso, l’analogo delproblema di Dirichlet consiste nell’imporre che u soddisfi una certa condizioneall’infinito, ad esempio:

∆u = f in R3

u (x)→ 0 per x→∞.

Torniamo all’interpretazione di ∆u = f come equazione di diffusione delcalore in stato stazionario. Invece di imporre una certa temperatura al bordo,potremmo sapere che il corpo è termicamente isolato al contorno, cioè che nonc’è flusso di calore al bordo. Poiché la densità di flusso di calore è proporzionale

26

al gradiente della temperatura, l’assenza di flusso attraverso il bordo di Ω sidescrive con l’annullarsi della derivata di u nella direzione normale:

∆u = f in Ω∂u∂ν = 0 su ∂Ω

dove∂u

∂ν= ∇u · νe,

si dice derivata normale, e νe è il versore normale uscente dalla superficie. Piùin generale potremmo assegnare il flusso di calore (diverso da zero) uscente dallasuperficie, imponendo:

∆u = f in Ω∂u∂ν = g su ∂Ω.

Il flusso sarà punto per punto uscente o entrante a seconda che sia g < 0 og > 0. (Ricordare che il gradiente della temperatura ha verso opposto al flussodi calore).

Definizione 2.6 Si dice problema di Neumann per un’equazione Lu = f inΩ ⊂ Rn un problema del tipo

Lu = f in Ω∂u∂ν = g su ∂Ω.

(2.7)

con g dato al bordo assegnato. Se g = 0 si dice problema di Neumann omogeneo.

Continuando l’esempio della diffusione del calore, un corpo potrebbe esserelasciato libero di scambiare calore con l’ambiente esterno: in questo caso ilflusso di calore sarà proporzionale al salto di temperatura, ossia, supponendoche l’ambiente esterno abbia costante u0, varrà

∂u

∂ν= k (u0 − u)

con k > 0 (costante o variabile da punto a punto). L’equazione esprime il fattoche c’è un flusso di calore entrante (quindi ∂u∂ν > 0) se l’ambiente esterno è piùcaldo del corpo, cioè se u0 > u. In generale:

Definizione 2.7 Si dice problema di Robin per un’equazione Lu = f in Ω unproblema del tipo

Lu = f in Ω∂u∂ν + ku = g su ∂Ω.

(2.8)

con g dato al bordo assegnato, k > 0. Se g = 0 si dice problema di Robinomogeneo.

Infine:

27

Definizione 2.8 Si dice problema misto per un’equazione Lu = f in Ω unproblema del tipo

Lu = f in Ωu = g su Σ1∂u∂ν = h su Σ2

dove ∂Ω = Σ1 ∪ Σ2,Σ1 ∩ Σ2 = ∅, con f, g assegnate.

In altre parole, un problema misto è un problema in cui si assegna unacondizione di tipo Dirichlet su una parte del bordo del dominio, e una condizionedi tipo Neumann su un’altra parte del bordo del dominio.

2.3.2 Equazioni paraboliche. Problemi al contorno e ai valori iniziali

Consideriamo, come esempio di equazione parabolica, l’equazione del calore inR3:

ut (t, x)−D∆u (t, x) ≡ ut−D (uxx + uyy + uzz) = f (t, x) per x ∈ Ω ⊂ R3, t > 0.

Supponiamo quindi che u sia la temperatura di un corpo tridimensionaleΩ, omogeneo, sogggetto a sorgenti di calore interno espresse dal termine disorgente f , eventualmente dipendente anche dal tempo, e ora non supponiamoche il sistema abbia già raggiunto l’equilibrio (come nel caso dell’equazione diPoisson). Come nel caso stazionario, possiamo pensare di imporre (o misurare)la temperatura al bordo del dominio, oppure di imporre (o misurare) un certoflusso termico attraverso il bordo del dominio. In ogni caso, trattandosi di unproblema di evoluzione, per determinare la temperatura a qualunque istantet > 0 dovremo anche conoscere la temperatura iniziale. Problemi sensati sonoquindi i seguenti:

Definizione 2.9 Si dice problema di Cauchy-Dirichlet per un’equazione ut −Lu = f (con L operatore ellittico in Ω ⊂ Rn, del tipo L = D∆+termini diordine inferiore) in un dominio Ω× t > 0 un problema del tipo ut − Lu = f per x ∈ Ω, t > 0

u (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0u (0, x) = h (x) per x ∈ Ω.

(2.9)

con g dato al bordo assegnato, h condizione iniziale assegnata. Se g = 0 o h = 0si dice problema di Cauchy-Dirichlet con condizioni di Dirichlet (o di Cauchy,rispettivamente) omogenee.

Definizione 2.10 Si dice problema di Cauchy-Neumann per un’equazione ut−Lu = f (con L operatore ellittico in Ω ⊂ Rn, del tipo L = D∆+termini di ordineinferiore in x) in un dominio Ω× t > 0 un problema del tipo

ut − Lu = f per x ∈ Ω, t > 0∂u∂ν (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0u (0, x) = h (x) per x ∈ Ω.

(2.10)

28

con g dato al bordo assegnato, h condizione iniziale assegnata. Se g = 0 o h = 0si dice problema di Cauchy-Neumann con condizioni di Neumann (o di Cauchy,rispettivamente) omogenee.

Analogamente si può definire un problema di Cauchy-Robin o un problemadi Cauchy con condizioni miste di Dirichlet-Neumann.

Qualche osservazione.Se per la natura del problema la regione spaziale è tutto lo spazio, si può

studiare il problema di Cauchy:ut − Lu = f per x ∈ Rn, t > 0u (0, x) = h (x) per x ∈ Rn.

In tutti i problemi precedenti, l’intervallo t > 0 può essere sostituito dall’in-tervallo t ∈ (0, T ) . Un dominio di Rn+1 del tipo Ω× (0,∞) o Ω× (0, T ) si dicedominio cilindrico.Si noti che in un problema di Cauchy-Dirichlet o di Cauchy-Neumann su un

cilindro QT = Ω× (0, T ), complessivamente i dati sono assegnati sull’insieme

(x, 0) : x ∈ Ω ∪ (x, t) : x ∈ ∂Ω, t ∈ [0, T ] .

Questo insieme prende il nome di frontiera parabolica del cilindro QT , e tal-volta indicato con ∂PQT . Si noti che la frontiera parabolica del cilindro è unaparte della frontiera del cilindro, precisamente è la sua frontiera privata del“coperchio”del cilindro (x, T ) : x ∈ Ω .

2.3.3 Equazioni iperboliche. Problemi al contorno e ai valori iniziali

Consideriamo, come esempio di equazione iperbolica, l’equazione delle onde indue variabili spaziali:

utt − c2∆u = utt − c2 (uxx + uyy) = f in Ω ⊂ R2

che, come già discusso, si può vedere come l’equazione della membrana vibrante(per piccole vibrazioni). Fissare la membrana al contorno significa imporre ilvalore di u, quindi una condizione di Dirichlet. Per determinare il moto dellamembrana dovremo conoscere però anche le condizioni iniziali, ossia la posizionee la velocità della membrana (trattandosi di un’equazione del second’ordine int, a differenza dell’equazione del calore). Quindi:

Definizione 2.11 Si dice problema di Cauchy-Dirichlet per un’equazione iper-bolica utt − Lu = f (con L operatore del tipo L = c2∆+termini di ordineinferiore in x e t, per x ∈ Ω ⊂ Rn, t > 0) un problema del tipo

utt − Lu = f per x ∈ Ω, t > 0u (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0u (0, x) = u0 (x) per x ∈ Ωut (0, x) = v0 (x) per x ∈ Ω

(2.11)

29

con g dato al bordo assegnato, u0, v0 condizioni iniziali assegnata. Se g = 0oppure (u0 = 0 e v0 = 0) si dice problema di Cauchy-Dirichlet con condizionidi Dirichlet (o di Cauchy, rispettivamente) omogenee.

Una condizione al contorno del tipo ∂u∂ν = 0, nel modello della membrana

vibrante (o, più realisticamente, nel modello della corda vibrante, in una solavariabile spaziale) ha il significato di richiedere che la membrana al bordo siafissata in modo da poter scorrere verticalmente senza attrito su una guida.Diamo comunque una definizione generale:

Definizione 2.12 Si dice problema di Cauchy-Neumann per un’equazione iper-bolica utt−Lu = f (con L operatore del tipo L = c2∆+termini di ordine inferiorein x e t, per x ∈ Ω ⊂ Rn, t > 0) un problema del tipo

utt − Lu = f per x ∈ Ω, t > 0∂u∂ν (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0u (0, x) = u0 (x) per x ∈ Ωut (0, x) = v0 (x) per x ∈ Ω

(2.12)

con g dato al bordo assegnato, u0, v0 condizioni iniziali assegnata. Se g = 0oppure (u0 = 0 e v0 = 0) si dice problema di Cauchy-Neumann con condizionidi Neumann (o di Cauchy, rispettivamente) omogenee.

Come per il problema parabolico, se per la natura del problema la regionespaziale è tutto lo spazio, si può studiare anche il problema di Cauchy puro: ut − Lu = f per x ∈ Rn, t > 0

u (0, x) = u0 (x) per x ∈ Rnut (0, x) = v0 (x) per x ∈ Rn

Ancora, in tutti i problemi precedenti, l’intervallo t > 0 può essere sostituitodall’intervallo t ∈ (0, T ) .

2.4 Principio di sovrapposizione

Osserviamo ora che tutte le condizioni al contorno e ai valori iniziali che abbi-amo descritto nel paragrafo precedente sono anch’esse di tipo lineare. Questosignifica che ciascuna condizione (di Cauchy, Dirichlet, Neumann...) è espressada un’equazione del tipo

Bu = f

con u funzione incognita, f dato assegnato, B operatore lineare tra opportunispazi di funzioni. Ad esempio, il problema (2.11), si può scrivere astrattamentein questa forma

Lu = f per x ∈ Ω, t > 0B1u (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u (0, x) = u0 (x) per x ∈ ΩB3u (0, x) = v0 (x) per x ∈ Ω

30

dove, se la funzione incognita si cerca nello spazio

X = C2 (Ω× (0,∞)) ∩ C0(Ω× [0,∞)

)∩ C1 (Ω× [0,∞))

(ossia: chiediamo due derivate continue all’interno del dominio, dov’è soddis-fatta la condizione; chiediamo che la u sia continua fino al bordo del dominiospaziale, per assumere il dato al bordo di Dirichlet, e chiediamo che sia C1 finoa t = 0 per poter assumere il dato di Cauchy) avremo:

L : X → C0 (Ω× (0,∞))

L : u 7→ utt − Lu

B1 : X → C0 (∂Ω× [0,∞))

B1 : u 7→ u/∂Ω

B2 : X → C1 (Ω)

B2 : u 7→ u (0, ·)

B3 : X → C0 (Ω)

B3 : u 7→ ut (0, ·)

dove L, B1, B2, B3 sono operatori lineari tra gli spazi vettoriali indicati10 . Questoha un’utile conseguenza, che prende il nome di principio di sovrapposizione. In-vece di darne subito un’enunciazione astratta, lo spieghiamo prima sull’esempioprecedente.

Esempio 2.13 Supponiamo di voler risolvere il problema

(P ) :

Lu = f per x ∈ Ω, t > 0B1u (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u (0, x) = u0 (x) per x ∈ ΩB3u (0, x) = v0 (x) per x ∈ Ω.

Consideriamo i 4 problemi, simili ma più semplici (ognuno ha 3 dati nullisu 4):

(P1) :

Lu1 = f per x ∈ Ω, t > 0B1u1 (t, x) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u1 (0, x) = 0 per x ∈ ΩB3u1 (0, x) = 0 per x ∈ Ω.

(P2) :

Lu2 = 0 per x ∈ Ω, t > 0B1u2 (t, x) = g (t, x) per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u2 (0, x) = 0 per x ∈ ΩB3u2 (0, x) = 0 per x ∈ Ω.

10Sono anche operatori lineari continui, come lo studente può facilmente controllare; tuttaviain questo momento l’informazione che ci interessa è solo la linearità.

31

(P3) :

Lu3 = 0 per x ∈ Ω, t > 0B1u3 (t, x) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u3 (0, x) = u0 (x) per x ∈ ΩB3u3 (0, x) = 0 per x ∈ Ω.

(P4) :

Lu4 = 0 per x ∈ Ω, t > 0B1u4 (t, x) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0B2u4 (0, x) = 0 per x ∈ ΩB3u4 (0, x) = v0 (x) per x ∈ Ω.

Supponiamo che u1, u2, u3, u4 siano rispettivamente soluzioni di (P1), (P2),(P3), (P4) . Allora u = u1 + u2 + u3 + u4 è soluzione di (P ). Questo fatto èun’ovvia conseguenza della linearità di tutti gli operatori coinvolti.

L’affermazione appena fatta sull’esempio specifico costituisce appunto il prin-cipio di sovrapposizione (che vale per un problema del tipo di cui stiamo par-lando, ossia per un’equazione linerare, con condizioni iniziali e al contornolineari):La soluzione di un problema avente più dati non nulli (intendendo per “dati”

sia il termine noto dell’equazione che le condizioni iniziali e il dato al bordo) sipuò ottenere per sovrapposizione delle soluzioni di più problemi, ciascuno aventeun solo dato non nullo.Questo è utile sia dal punto di vista pratico (spezzare la soluzione di un

problema complesso nella soluzione di più sottoproblemi semplici) sia dal puntodi vista teorico (spezzare la dimostrazione di teoremi di esistenza per la soluzionedi un problema in sottoteoremi più semplici).A volte, inoltre, la soluzione di qualcuno dei sottoproblemi più semplici si

può indovinare facilmente:

Esempio 2.14 Si vuole risolvere:−∆u = f in Ωu = 1 su ∂Ω.

La soluzione si può ottenere nella forma u = u1 + u2 dove−∆u1 = f in Ωu1 = 0 su ∂Ω

(2.13)

−∆u2 = 0 in Ωu2 = 1 su ∂Ω.

Ma la soluzione di quest’ultimo problema è u2 ≡ 1 (la funzione costante = 1 halaplaciano nullo e soddisfa la condizione al contorno 1), quindi u (x) = u1 (x) +1, con u1 soluzione del problema di Dirichlet omogeneo (2.13). Questo è ilsottoproblema interessante da risolvere, mentre il secondo era banale.

32

2.5 Problemi ben posti

Discutendo i tipi di problemi iniziali e al contorno ci siamo appellati soprattuttoal significato fisico dei problemi. Dal punto di vista matematico, può restare ladomanda se questi problemi siano formulati in modo tale che sia ragionevole poipoter ottenere una soluzione, e una sola. Perché, ad esempio, per l’equazionedella corda vibrante dobbiamo prescrivere sia il valore iniziale di u che il val-ore iniziale di ut mentre per l’equazione del calore prescriviamo solo il valoredi u? Non sarà “chiedere troppo” la prima richiesta (e così magari cade l’e-sistenza di soluzione), oppure “chiedere troppo poco”la seconda (e così magaricade l’unicità)? Come accennato, quale sia il tipo giusto di condizioni al con-torno dipende dalle proprietà matematiche di un’equazione. C’è poi un’altraquestione importante. Ci piacerebbe che, assegnati i dati in certi spazi di fun-zioni, non solo la soluzione corrispondente esistesse e fosse unica, ma variassedi poco se qualcuno dei dati varia di poco (“dipendenza continua dai dati”).Infatti nelle applicazioni fisiche i dati sono sempre conosciuti con una certa ap-prossimazione, quindi se non sappiamo che un piccolo errore nei dati porta unpiccolo errore nella soluzione, questo rende di scarso interesse pratico il calco-lo della soluzione. Quest’insieme di “proprietà desiderabili” per un problemadifferenziale è sintetizzato in una definizione ben precisa:

Definizione 2.15 (Problema ben posto) Si dice che un problemaLu = fB1u = g1

...Bku = gk

(2.14)

(dove L è l’operatore differenziale, f il termine noto, g1, ..., gk i dati iniziali e /o al bordo) è ben posto quando sono definiti: uno spazio vettoriale normato S incui cerchiamo la soluzione, spazi vettoriali D0, D1, D2, ..., Dk in cui assegnamo,rispettivamente, il termine noto f e i dati g1, ..., gk, e si ha che:

1. Per ogni scelta di f ∈ D0, g1 ∈ D1, ..., gk ∈ Dk esiste u ∈ S soluzione delproblema;2. tale soluzione è unica;3. tale soluzione dipende con continuità dai dati, il che significa che l’opera-

tore lineare che ai dati associa la soluzione è continuo, ossia esiste una costantec > 0 tale che per ogni scelta di f ∈ D0, g1 ∈ D1, ..., gk ∈ Dk la soluzionecorrispondente u soddisfa:

‖u‖S ≤ c‖f‖D0

+ ‖g1‖D1+ ...+ ‖gk‖Dk

.

Notiamo che l’ultima disuguaglianza, normalmente detta “stima a priori sul-la soluzione”o “stima di stabilità”garantisce effettivamente che un piccolo er-rore sui dati porti un piccolo errore sulla soluzione, per la linearità dell’operatore.Supponiamo che u1, u2 siano, rispettivamente, le soluzioni dei problemi relativiai dati f (1), g

(1)1 , ..., g

(1)k e f (2), g

(2)1 , ..., g

(2)k . Allora per la linearità del problema

33

u1−u2 è soluzione del problema relativo ai dati f (1)−f (2), g(1)1 −g

(2)1 , ..., g

(1)k −g

(2)k

e per la stima di stabilità

‖u1 − u2‖S ≤ c∥∥∥f (1) − f (2)

∥∥∥D0

+∥∥∥g(1)

1 − g(2)1

∥∥∥D1

+ ...+∥∥∥g(1)k − g

(2)k

∥∥∥Dk

.

Il secondo membro è piccolo se lo scarto tra i due insiemi di dati è piccolo(piccolo errore nei dati), quindi sarà piccolo (o comunque controllato) il primomembro, ossia l’errore nella soluzione.

Facciamo ora qualche osservazione in più sulla questione dell’unicità.1. Dimostrare l’unicità della soluzione di un problema significa dimostrare

che due eventuali soluzioni u1, u2 dello stesso problema devono coincidere. Maper la linearità del problema, se u1, u2 risolvono entrambe il problema (2.14), ladifferenza u = u1 − u2 soddisferà l’analogo problema con dati omogenei, ossia:

Lu = 0B1u = 0

...Bku = 0

(2.15)

Questo allora detta la strategia tipica per dimostrare l’unicità della soluzione:si suppone che u risolva il corrispondente problema con termine noto e dati tuttinulli, e si mostra che questa u necessariamente è la funzione identicamente nulla.Lo faremo varie volte in seguito.2. Un teorema di unicità ha una grande utilità pratica, contrariamente a

quanto si potrebbe credere. Nel risolvere un problema per equazioni a derivateparziali, quasi mai si riesce, come per le equazioni differenziali ordinarie, a de-terminare in un primo tempo l’integrale generale per poi imporre le condizioni.Di solito si cerca a priori una soluzione di qualche forma speciale che: (a) èpiù semplice, consentendo calcoli espliciti; (b) tiene già conto di qualcuna dellecondizioni, ad esempio l’annullarsi al bordo. Se procedendo così si arriva adeterminare una soluzione, come possiamo essere certi di non aver “perso perstrada”qualche altra soluzione? Dopo tutto il nostro procedimento risolutivonon è stato sistematico, ma ha fatto a priori l’ipotesi che la soluzione si potessescrivere in un certo modo. Se ci fossero soluzioni di altro tipo? Ma se sappi-amo che vale un teorema di unicità, sappiamo di non aver perso nulla: se (conqualunque procedimento) abbiamo trovato una soluzione, certamente altre nonce ne sono. Questa è un’informazione molto utile, quindi.

Solitamente noi procederemo così.1. Prima si stabilisce, con la strategia detta, l’unicità per il problema. Questo

si saprà fare spesso sotto ipotesi piuttosto generali.2. Poi affronteremo il problema in situazioni specifiche: tipicamente, su

domini Ω di forma piuttosto semplice ed esplicitamente noti, e con condizioni alcontorno o iniziali di tipo semplice. In queste condizioni, cercheremo di ottenere

34

esplicitamente una soluzione, con metodi di separazione delle variabili, serie diFourier, trasformate, funzioni speciali...3. A partire dalla formula di rappresentazione esplicita ottenuta per la

soluzione, cercheremo di provare sotto quali ipotesi precise sui dati il risultatoottenuto è valido; quindi il quadro di spazi funzionali sarà in parte precisato aposteriori.4. Sempre dalla formula di rappresentazione trovata, talvolta dedurremo

una stima di stabilità per la soluzione.

Riguardo al punto 2, notiamo che le tecniche di risoluzione esplicita di unproblema differenziale in geometria semplice rappresentano la prima strada chestoricamente si è seguita. Naturalmente, quando il dominio Ω ha una formacomplicata (o non nota esplicitamente), o quando l’equazione contiene termi-ni con coeffi cienti variabili (generici), questo approccio esplicito non può essereseguito. Sono stati messi a punto quindi strumenti teorici molto astratti e sofisti-cati per dimostrare ancora la buona posizione del problema, e poi per metterea punto strumenti di risoluzione numerica approssimata dei problemi stessi. Inquesto corso però non ci occuperemo di questi aspetti, che richiederebbero uninvestimento ben superiore nello studio di teorie astratte.

3 Metodo di separazione di variabili e sviluppidi Fourier per problemi ai limiti

3.1 Richiami sulle serie di Fourier

In analisi 2 si sono studiati i primi elementi della teoria delle serie di Fourier.Richiamiamo velocemente alcuni fatti noti, puntualizzando qualche aspetto chein analisi 2 probabilmente non è stato toccato.

3.1.1 Serie di Fourier in L2

Dal punto di vista moderno, basato cioè sulla teoria della misura e dell’inte-grazione di Lebesgue (e che si può inquadrare in modo naturale nella teoriadegli spazi di Hilbert), la teoria delle serie di Fourier “funziona bene” nellospazio L2.Sia f : [0, L]→ R, f ∈ L2 (0, L) . Risultano allora ben definiti (come integrali

di Lebesgue) i coeffi cienti di Fourier di f ,

ak =2

L

∫ L

0

f (x) cos (kωx) dx per k = 0, 1, 2, 3, ....

bk =2

L

∫ L

0

f (x) sin (kωx) dx per k = 1, 2, 3, ...

con ω = 2πL .

35

Infatti, notiamo che se f ∈ L2 (0, L), a maggior ragione f ∈ L1 (0, L) e quindianche f (x) cos (kωx) e f (x) sin (kωx) sono integrabili, perciò i coeffi cienti diFourier sono ben definiti.Vale il seguente

Teorema 3.1 Per ogni f ∈ L2 (0, L) la serie di Fourier

a0

2+

∞∑k=1

ak cos (kωx) + bk sin (kωx)

converge a f in norma L2 (0, T ), il che significa, esplicitamente, che detta

sn (x) =a0

2+

n∑k=1

ak cos (kωx) + bk sin (kωx)

la somma parziale n-esima della serie di Fourier di f , risulta

‖sn − f‖L2(0,T ) → 0 per n→∞.

Valgono inoltre le seguenti proprietà:1. Uguaglianza di Perceval:

‖f‖2L2(0,T ) =L

2

a2

0

2+

∞∑k=1

(a2k + b2k

);

2. Lemma di Riemann-Lebesgue:

ak → 0 e bk → 0 per k →∞.

Rispetto a quanto lo studente ha probabilmente studiato in analisi 2, si notiche la tesi del teorema vale per qualsiasi funzione L2 (0, T ), in particolare ancheper funzioni illimitate o così discontinue da risultare non integrabili secondoRiemann.Si osservi tuttavia che il teorema non dice nulla sull’eventuale convergenza

puntuale della serie di Fourier.Per il calcolo effettivo dei coeffi cienti di Fourier, valgono le solite osservazioni

sulle eventuali simmetrie di f :se f :

[−L2 ,

L2

]→ R è una funzione pari, allora bk = 0 per ogni k e

ak =4

L

∫ L2

0

f (x) cos (kωx) dx per k = 0, 1, 2, 3, ....

se f :[−L2 ,

L2

]→ R è una funzione dispari, allora ak = 0 per ogni k e

bk =4

L

∫ L2

0

f (x) sin (kωx) dx per k = 1, 2, 3, ....

36

3.1.2 Convergenza puntuale delle serie di Fourier e rapidità di con-vergenza a zero dei coeffi cienti

Ricordiamo anzitutto il teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourierche lo studente ha probabilmente studiato in analisi 2.

Definizione 3.2 Una funzione f : [0, L] → R si dice regolare a tratti se f èlimitata in [0, L] e l’intervallo [0, L] si può suddividere in un numero finito diintervallini [αk, βk] tali che:

f è derivabile in (αk, βk) ed esistono finiti

limx→αk+

f (x) e limx→βk−

f (x) ;

limx→αk+

f ′ (x) e limx→βk−

f ′ (x) .

Ad esempio, la f può avere un certo numero di punti di discontinuità a saltoe di punti angolosi, ma non asintoti verticali né punti a tangente verticale. Sinoti che una funzione regolare a tratti è automaticamente limitata e Riemannintegrabile, a maggior ragione appartiene a L2 (0, L) .

Vale il

Teorema 3.3 (di convergenza puntuale delle serie di Fourier) Sia f : [0, L]→R una funzione regolare a tratti. Allora la serie di Fourier di f convergepuntualmente per ogni x0 ∈ (0, L) alla somma

f(x+

0

)+ f

(x−0)

2,

mentre nei due estremi 0, L converge puntualmente a

f (0+) + f (L−)

2.

In particolare, la serie di Fourier converge puntualmente a f per ogni x ∈[0, L] se (oltre ad essere regolare a tratti) la funzione è continua in [0, L] esoddisfa la condizione di raccordo f (0) = f (L).

Si osservi che le ultime due ipotesi (grazie alle quali la convergenza puntualeè alla funzione f (x) in ogni punto) si possono sintetizzare dicendo che la peri-odizzata di f (cioè la funzione definita su tutto R, periodica di periodo L, checoincide con f in [0, L]) è continua in R.

Un’altra informazione che ci sarà spesso utile è la conoscenza della velocitàcon cui tendono a zero i coeffi cienti di Fourier di f . L’idea è che più regolareè f , più velocemente tendono a zero i suoi coeffi cienti di Fourier. Occorreprestare attenzione però al fatto che è importante in questo contesto la regolaritàdella periodizzata di f , proprietà che richiede anche le opportune condizioni diraccordo agli estremi dell’intervallo.

37

Per capire la situazione, consideriamo una funzione f ∈ C1 ([0, L]). Indichi-amo con ak, bk i coeffi cienti di Fourier di f e con αk, βk i coeffi cienti di Fourierdi f ′; cerchiamo di esprimere αk, βk in funzione di ak, bk. Si ha (per k ≥ 1):

αk =2

L

∫ L

0

f ′ (x) cos (kωx) dx =2

L

[f (x) cos (kωx)]

L0 + kω

∫ L

0

f (x) sin (kωx) dx

=2

L(f (L)− f (0)) + kω · 2

L

∫ L

0

f (x) sin (kωx) dx.

Se supponiamo che f soddisfi le condizioni di raccordo f (L) = f (0) otteniamola relazione semplice

αk = kωbk.

Analogamente si trovaβk = −kωak.

Notiamo anche la relazione

α0 =2

L

∫ L

0

f ′ (x) dx =2

L(f (L)− f (0)) = 0.

Possiamo sintetizzare queste relazioni nell’identità

|αk|+ |βk| = kω (|ak|+ |bk|) per k = 1, 2, 3....

(e α0 = 0)Chiediamoci ora se questa relazione continua a valere chiedendo qualcosa

meno che f ∈ C1 ([0, L]). La dimostrazione è basata sulla formula di inte-grazione per parti.Si può dimostrare facilmente la seguente

Proposizione 3.4 La formula di integrazione per parti∫ L

0

f ′g = fg (L)− fg (0)−∫ L

0

fg′

vale se g ∈ C1 ([0, L]) e f soddisfa le ipotesi più deboli: f ∈ C0 ([0, L]) , fpossiede derivata prima continua, ad eccezione di un numero finito di punti incui comunque la derivata prima ha limiti destro e sinistro finiti.

In pratica, la g può anche avere un numero finito di punti angolosi.Dimostrazione. Proviamo la tesi supponendo che f ′ non esista in un unicopunto c ∈ (0, L), con f ′ (c+) , f ′ (c−) finiti, il discorso si estende a un numerofinito qualsiasi di punti. Si ha:∫ L

0

f ′g =

∫ c

0

f ′g +

∫ L

c

f ′g.

38

Ora su ciascun intervallo [0, c] , [c, L] la f è C1 e si può integrare per parti, quindisi ha:∫ L

0

f ′g = (fg) (c)− (fg) (0)−∫ c

0

fg′ + (fg) (L)− (fg) (c)−∫ L

c

fg′

= (fg) (L)− (fg) (0)−∫ L

0

fg′.

Otteniamo così il seguente:

Teorema 3.5 (di convergenza totale) Sia f : [0, L]→ R una funzione:a. continua in [0, L] e soddisfacente la condizione di raccordo f (0) = f (L);b. derivabile e con derivata continua in [0, L], salvo al più un numero finito

di punti di [0, L] nei quali comunque esistono finiti i limiti destro e sinistro dif ′.Allora la serie

∞∑k=1

(|ak|+ |bk|)

converge, ossia la serie di Fourier di f converge totalmente, quindi assoluta-mente e uniformemente. Le ipotesi del teorema sono verificate in particolare sef : R→ R è una funzione T -periodica e C1 (R).

Dimostrazione. Nelle ipotesi del teorema vale la relazione

|αk|+ |βk| = kω (|ak|+ |bk|) per k = 1, 2, 3.... (3.1)

tra i coeffi cienti di Fourier ak, bk di f e i coeffi cienti αk, βk di f ′. Inoltre, lafunzione f ′ è limitata e continua a tratti, perciò certamente L2, il che implicaper l’uguaglianza di Perceval che

∞∑k=1

(α2k + β2

k

)<∞

ossia, per le (3.1),∞∑k=1

k2(a2k + b2k

)<∞. (3.2)

Possiamo allora scrivere (applicando la disuguaglianza di Swchartz per le serie)

∞∑k=1

|ak| =∞∑k=1

k |ak| ·1

k≤( ∞∑k=1

k2a2k

)1/2( ∞∑k=1

1

k2

)1/2

e analogamente

∞∑k=1

|bk| ≤( ∞∑k=1

k2b2k

)1/2( ∞∑k=1

1

k2

)1/2

.

39

Poiché∑∞k=1

1k2 <∞, la (3.2) implica la tesi.

L’argomentazione precedente può essere ora iterata alle derivate successive.

Teorema 3.6 (Velocità di convergenza a zero dei coeffi cienti) Sia f unafunzione tale che:a. f ∈ Cs−1 (R) e L-periodica (cioè Cs−1 ([0, L]) e soddisfacente la con-

dizione di raccordo f (0) = f (L), f ′ (0) = f ′ (L),...,f (s−1) (0) = f (s−1) (L)).b. f (s−1) è derivabile e con derivata continua in [0, L], salvo al più un

numero finito di punti di [0, L] nei quali comunque esistono finiti i limiti destroe sinistro di f (s−1).(Queste ipotesi sono verificate in particolare se f ∈ Cs (R) e L-periodica,

o se f ∈ Cs ([0, L]) e soddisfa le condizioni raccordo su f, f ′, .., f (s−1), nonnecessariamente su f (s)).Allora:i) vale la relazione

|αk|+ |βk| = (kω)s

(|ak|+ |bk|) per k = 1, 2, 3.... (3.3)

tra i coeffi cienti di Fourier ak, bk di f e i coeffi cienti αk, βk di f (s);ii)

∞∑k=1

k2s(a2k + b2k

)<∞, (3.4)

da cui segue che

ak, bk = o

(1

ks

)per k →∞

e anche (informazione più precisa) che

∞∑k=1

kα (|ak|+ |bk|) <∞ per ogni α < s− 1

2.

(Si noti che se α è un intero la relazione precedente significa α ≤ s− 1).

Dimostrazione. Il punto i) si ottiene applicando iterativamente il ragionamen-to visto nel teorema precedente. Ancora, poiché f (s−1) è regolare a tratti, inparticolare è limitata e integrabile, quindi anche L2 (0, L) e, per l’uguaglianzadi Perceval,

∞∑k=1

(α2k + β2

k

)<∞, (3.5)

dalla (3.3) segue la (3.4), che a sua volta implica che k2s(a2k + b2k

)→ 0, quindi

ks (|ak|+ |bk|) → 0, quindi ak, bk = o(

1ks

)per k → ∞. Ancora con la disug-

uaglianza di Schwartz possiamo dimostrare l’ultima parte della tesi (ragioniamo

40

solo su ak, analogamente si tratta bk):

∞∑k=1

kα |ak| =∞∑k=1

ks |ak| · kα−s

≤( ∞∑k=1

k2sa2k

)1/2

·( ∞∑k=1

k2(α−s)

)1/2

.

Ora la prima serie converge per (3.4), la seconda converge purché sia

2 (α− s) < −1,

cioèα < s− 1

2.

Ad esempio, per s = 2 il teorema dice che se f : [0, L] → R, f ∈ C1 [0, L]con f (0) = f (L) , f ′ (0) = f ′ (L) e inoltre f ′ è regolare a tratti (il che accade sead es. è f ∈ C2 [0, L] e soddisfa le condizioni di raccordo scritte), allora

∞∑k=1

kα (|ak|+ |bk|) <∞ per ogni α <3

2,

ad esempio, per α = 1, leggiamo che

∞∑k=1

k (|ak|+ |bk|) <∞,

affermazione più forte rispetto a ak, bk = o(

1k2

), da cui seguirebbe solo k (|ak|+ |bk|) =

o(

1k

), il che non implica la convergenza della serie.

3.2 Equazione di Laplace e di Poisson

Abbiamo già incontrato (§2) l’equazione di Poisson

∆u = f

(detta equazione di Laplace quando f = 0), dove il laplaciano ∆ è l’operatoredifferenziale

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2(o l’analogo in solo una o due dimensioni),

e abbiamo descritto alcuni dei suoi significati fisici:1. u potenziale elettrostatico (o gravitazionale) generato da un campo dovuto

a una distribuzione continua di cariche (rispettivamente, di masse) di densità f(rispettivamente, −f);

41

2. u temperatura in un corpo omogeneo, in stato stazionario, in regime disola diffusione, in presenza di sorgenti o pozzi di calore di densità f ;3. u concentrazione di una sostanza disciolta in soluzione, in stato stazionario,

in regime di sola diffusione, in presenza di sorgenti o pozzi (di questa sostanza)di densità f ;4. (per n = 2) altezza di una membrana in equilibrio.Abbiamo anche discusso (§4.3.1) alcuni tipici problemi ai limiti che si af-

frontano per quest’equazione, e visto il significato fisico delle varie condizioni(di Dirichlet, Neumann, Robin o miste).Vediamo ora di stabilire alcuni risultati molto generali per questi problemi,

utili ad inquadrare i problemi ai limiti che poi studieremo. Successivamenteaffronteremo esplicitamente alcuni di questi problemi ai limiti, su domini digeometria semplice.

3.2.1 Unicità, principio di massimo, dipendenza continua

Risultati di unicità per problemi ai limitiIn tutta questa sezione ci limitiamo a trattare problemi ai limiti nel caso tridi-mensionale (che contiene come casi particolari quelli bi e mono dimensionali),ma tutta questa discussione si potrebbe fare per il laplaciano in n dimensioni,con n qualsiasi.Sia Ω ⊂ R3 un dominio (cioè un insieme aperto e connesso) limitato, dalla

frontiera regolare a pezzi (quanto basta perché si possa applicare su Ω il teoremadella divergenza). Consideriamo un problema al contorno per l’equazione diPoisson ∆u = f in Ω, con condizione al contorno di uno dei tipi visti nel §4.3.1,quindi:condizione di Dirichlet u = f su ∂Ω, oppurecondizione di Neumann ∂u

∂ν = f su ∂Ω, oppurecondizione di Robin ∂u

∂ν + ku = f su ∂Ω (con k > 0),o eventualmente condizioni miste (cioè su due parti della frontiera sono assegnatedue diverse condizioni di questi tipi).Vogliamo dimostrare che per un problema di questi tipi la soluzione, se esiste,

è unica (con un’importante precisazione nel caso della condizione di Neumann).Un enunciato preciso è il seguente:

Teorema 3.7 (di unicità) Sia Ω ⊂ R3 un dominio come sopra specificato. Lafunzione u ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω)che risolve il problema di Dirichlet

∆u = f in Ωu = g su ∂Ω

con f ∈ C0 (Ω) , g ∈ C0 (∂Ω) assegnate, se esiste è unica. Lo stesso vale nelcaso di una condizione al contorno di Robin. Per la condizione al contorno diNeumann, la soluzione, se esiste, è unica a meno di costante additiva. L’unicitàvale anche per i problemi misti.

42

Osservazione 3.8 Notiamo che l’ipotesi u ∈ C1(Ω)(cioè C1 fino al bordo

dell’insieme) è naturale per le condizioni di Neumann e di Robin, che coinvol-gono la derivata di u sul bordo, mentre è un po’troppo forte per il problema diDirichlet, per cui ci aspetteremmo u ∈ C0

(Ω)(oltre ovviamente alla condizione

u ∈ C2 (Ω), se vogliamo che u risolva all’interno di Ω l’equazione differenziale).Vedremo poi come nel caso del problema di Dirichlet si possa effettivamentemigliorare questo risultato stabilendo l’unicità nella classe C2 (Ω) ∩ C0

(Ω).

Dimostrazione. Come abbiamo visto nel §4.5, dimostrare l’unicità equivalea provare il seguente enunciato: se u ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω)risolve l’equazione

omogenea ∆u = 0 in Ω con condizione di Dirichlet (o degli altri tipi) nulla,allora u è identicamente nulla in Ω.Utilizziamo la prima identità di Green (v. §1.2)∫∫∫

Ω

f∆gdxdydz +

∫∫∫Ω

∇f · ∇gdxdydz =

∫∫∂Ω

f∂g

∂nedS

valida per ogni coppia di funzioni:

f ∈ C1 (Ω) ∩ C(Ω), g ∈ C2 (Ω) ∩ C1

(Ω).

Applichiamola a f = g = u e abbiamo∫∫∫Ω

u∆udxdydz +

∫∫∫Ω

|∇u|2 dxdydz =

∫∫∂Ω

u∂u

∂nedS

che, essendo ∆u = 0, dà∫∫∫Ω

|∇u|2 dxdydz =

∫∫∂Ω

u∂u

∂nedS.

Ora: se u soddisfa una condizione di Dirichlet o di Neumann nulla, su ∂Ω èu = 0 o ∂u

∂ne= 0, in ogni caso l’integrale a secondo membro è nullo, quindi∫∫∫

Ω

|∇u|2 dxdydz = 0.

Questo implica che |∇u|2 = 0 in Ω cioè u =costante in Ω. Se vale la condizione diDirichlet, essendo u zero al bordo la u è identicamente nulla; se vale la condizionedi Neumann possiamo concludere solo che u è costante, cioè la soluzione delproblema di partenza è determinata a meno di costante arbitraria additiva. Sepoi vale la condizione di Robin omogenea, cioè

∂u

∂ν+ ku = 0 su ∂Ω (con k > 0)

deduciamo ∫∫∫Ω

|∇u|2 dxdydz = −∫∫

∂Ω

ku2dS ≤ 0,

43

da cui di nuovo ∫∫∫Ω

|∇u|2 dxdydz = 0

e u costante. Di conseguenza ∂u∂ν = 0 su ∂Ω e la condizione di Robin implica

perciò u = 0 su ∂Ω, e perciò u identicamente nulla in Ω. Dai ragionamentiprecedenti si ottiene anche l’unicità per i problemi misti (Dirichlet / Neumanno Robin / Dirichlet o Numann / Robin).

Osservazioni sul problema di NeumannIl fatto che la soluzione di un problema di Neumann sia determinata a meno dicostante additiva si capisce se si riflette sul fatto che in un problema

∆u = f in Ω∂u∂ν = g su ∂Ω

(3.6)

la u compare solo mediante le sue derivate, quindi è chiaro che se u (x) èsoluzione anche u (x) + c lo è.Il problema di Neumann ha anche un’altra particolarità11 . Non solo la

soluzione, se esiste, non è unica, ma la la soluzione non può esistere se i datinon soddisfano un’opportuna condizione di compatibilità. Per capire questo fat-to, sia u soluzione del problema di Neumann (3.6); integriamo ambo i membridell’equazione in Ω e applichiamo il teorema della divergenza:∫∫∫

Ω

fdxdydz =

∫∫∫Ω

∆udxdydz =

∫∫∂Ω

∂u

∂νdS =

∫∫∂Ω

gdS.

L’uguaglianza ottenuta ∫∫∫Ω

fdxdydz =

∫∫∂Ω

gdS

coinvolge solo i dati del problema, non la soluzione che cerchiamo: assegnati idati, si può verificare se è soddisfatta oppure no; se non è soddisfatta, certamentenon potrà esistere soluzione del problema.Un’interpretazione fisica facilmente comprensibile di questa condizione si

ha quando g ≡ 0; interpretando l’equazione come equazione del calore in sta-to stazionario, significa che il corpo è termicamente isolato. La condizione dicompatibilità richiede che ∫∫∫

Ω

fdxdydz = 0,

11Si rifletta sulla seguente analogia con l’algebra lineare. Per un sistema lineare di nequazioni in n incognite possono capitare due situazioni diverse. O il determinante dellamatrice è diverso da zero, e allora (teorema di Cramer) per ogni scelta dei termini noti c’èsoluzione, e la soluzione è unica. Oppure il determinante della matrice è uguale a zero, e allorala soluzione esiste solo per certi termini noti (teorema di Rouché-Capelli) e se esiste non èunica, ma ne esistono infinite. I problemi di Dirichlet e di Neumann sono problemi lineariin cui nel primo caso c’è esistenza e unicità per ogni scelta del dato, nel secondo caso nonc’è esistenza per ogni dato, e quando c’è non c’è unicità. L’analogia non è casuale ma ha lesue radici nella teoria degli operatori lineari tra spazi di Banach (teorema dell’alternativa diFredholm ), di cui però in questo corso non ci occupiamo.

44

il che significa che il bilancio complessivo di pozzi e sorgenti di calore internial corpo è nullo: una condizione ragionevole, se vogliamo che la temperaturapossa stabilizzarsi su un equilibrio, rimanendo il corpo isolato (se ad esempio ilcorpo è isolato e f > 0 in Ω, la temperatura non può che salire nel tempo). Sepoi g 6= 0, il corpo non è isolato ma il flusso entrante o uscente di calore (cioè∫∫∂ΩgdS) è comunque assegnato, quindi è naturale che questo debba uguagliare

il bilancio totale di pozzi e soregenti di calore interni (cioè∫∫∫

Ωfdxdydz): se

all’interno, ad esempio, complessivamente si fornisce più calore di quanto il cor-po ne cede all’ambiente attraverso il flusso termico dal bordo, complessivamentela temperatura interna salirà, e non potrà soddisfare un’equazione differenzialestazionaria.

Principio di massimo e dipendenza continua della soluzione dai datiSi può migliorare l’informazione contenuta nel teorema di unicità, arrivando astabilire la dipendenza continua della (eventuale) soluzione dai dati, almeno peril problema di Dirichlet. Questa è una conseguenza del seguente principio dimassimo, che ha anche un interesse indipendente:

Teorema 3.9 (Principio di massimo per il laplaciano) Sia Ω ⊂ R3 unaperto connesso e limitato, e u ∈ C2 (Ω) ∩ C0

(Ω)soluzione dell’equazione

∆u = f in Ω.

Allora:i) Se f ≥ 0 in Ω, allora il massimo di u è assunto su ∂Ω, ossia

maxx∈Ω

u (x) ≤ maxx∈∂Ω

u (x) .

ii) Se f ≡ 0 in Ω (cioè u è armonica), allora u assume massimi e minimisu ∂Ω, e vale la disuguaglianza

maxx∈Ω|u (x)| ≤ max

x∈∂Ω|u (x)| .

Osservazione 3.10 Interpretazione bidimensionale del teorema precedente: siricordi che l’equazione di una membrana in equilibrio sotto l’azione di una forzaf nella direzione dell’asse z è

−∆u = f .

Il punto i) dice quindi che se f ≤ 0, cioè non agisce nessuna forza verso l’alto,la membrana in equilibrio non avere punti più in alto del suo bordo. Se poi nonagisce alcuna forza, non possono esserci punti né più in alto né più in basso deimassimi e minimi sul bordo.

Dimostrazione. Notiamo che poiché u ∈ C0(Ω), per il teorema di Weierstrass

u avrà massimo e minimo nell’insieme chiuso e limitato Ω. Il punto è dimostrareche punti di massimo assoluto (nel caso i) e punti di massimo e minimo assoluto(nel caso ii) stanno sul bordo.

45

i) Facciamo prima l’ipotesi più forte che sia f > 0 in Ω, e supponiamo perassurdo che x0 ∈ Ω sia un punto di massimo interno. Allora, essendo u ∈ C2 (Ω)

si ha ∂2u∂x2i

(x0) ≤ 0 per ogni i = 1, 2, 3, come si capisce ragionando sulla funzionedi una variabile

g (t) = u (x0 + tei)

che deve avere un punto di massimo relativo per t = 0, quindi dalla formula diTaylor con resto secondo Peano si legge g′′ (0) ≤ 0, da cui ∂

2u∂x2i

(x0) è ≤ 0. Ne

segue ∆u (x0) ≤ 0, che contraddice f (x0) > 0. Giustifichiamo l’affermazioneg′′ (0) ≤ 0. Sia per assurdo g′′ (0) > 0, allora dalla formula di Taylor (ricordandog′ (0) = 0)

g (t)− g (0) = t2(

1

2g′′ (0) + o (1)

)si deduce g (t)− g (0) < 0 per |t| abbastanza piccolo, da cui t = 0 sarebbe puntodi minimo relativo stretto, non di massimo relativo.Consideriamo ora il caso più generale in cui f ≥ 0 in Ω, e proviamo che il

massimo di u è ancora assunto solo su ∂Ω. Sia

v (x) = u (x) + ε |x|2

(x ∈ R3) con ε > 0 che sceglieremo.

∆v = ∆u+ 2nε = f + 2nε > 0.

Allora applicando il punto precedente (caso f > 0) alla funzione v otteniamoche v assume il massimo su ∂Ω, cioè, per ogni y ∈ Ω, scegliendo una sfera BR (0)contenente Ω,

u (y) + ε |y|2 = v (y) ≤ maxx∈∂Ω

(u (x) + ε |x|2

)≤ maxx∈∂Ω

u (x) + εR2.

Facendo tendere a zero ε e prendendo poi maxy∈Ω otteniamo

maxy∈Ω

u (y) ≤ maxx∈∂Ω

u (x) ,

che dice appunto che il massimo è assunto sul bordo.ii) Se ∆u = 0 in Ω, allora possiamo applicare il punto i a u e poi a −u,

ottenendo che u assume massimo e minimo su ∂Ω e

maxx∈Ω|u (x)| ≤ max

x∈∂Ω|u (x)| .

Osservazione 3.11 Questo principio di massimo consente di migliorare il risul-tato di unicità dimostrato per il problema di Dirichlet (come preannunciato nel-l’osservazione dopo il teorema di unicità). In base al principio di massimo,infatti, se u ∈ C2 (Ω) ∩ C0

(Ω)è soluzione di

∆u = 0 in Ωu = 0 su ∂Ω

46

ne segue che u ≡ 0. Perciò l’unicità della soluzione del problema di Dirichletvale nella classe “naturale”C2 (Ω)∩C0

(Ω)e non solo nella più ristretta classe

C2 (Ω) ∩ C1(Ω)in cui lo si era stabilito in precedenza.

Osservazione 3.12 Vale in realtà anche un principio di massimo più forte,che non dimostreremo, e stabilisce che una funzione armonica non solo assumemassimi e minimi sul bordo, ma non può assumere massimi e minimi anche inpunti interni, a meno che sia costante. Ad esempio, una membrana in equilibrionon può formare “gobbe verso l’alto”o il basso all’interno.

Deduciamo dal principio di massimo dimostrato anche il prossimo

Teorema 3.13 (Dipendenza continua dai dati per il problema di Dirichlet)Sia Ω un dominio limitato di Rn (n ≤ 3) e sia u ∈ C2 (Ω) ∩ C0

(Ω)soluzione

del problema di Dirichlet ∆u = f in Ωu = g su ∂Ω.

Allora

maxΩ|u| ≤ max

∂Ω|g|+ R2

2nmax

Ω|f |

dove R è il raggio di una sfera BR (0) contenente Ω.

Si noti che questa è una stima a priori di dipendenza continua della soluzioneu di un problema di Dirichlet dai dati f, g.Dimostrazione. La funzione

v (x) = u (x) +|x|2

2nmax

Ω|f |

soddisfa∆v (x) = ∆u (x) + max

Ω|f | = f (x) + max

Ω|f | ≥ 0

perciò per il principio di massimo (punto i) assume il suo massimo su ∂Ω, ossia,per ogni x ∈ Ω,

u (x) ≤ u (x) +|x|2

2nmax

Ω|f | ≤ max

∂Ωu+|x|2

2nmax

Ω|f | ≤ max

∂Ωg +

R2

2nmax

Ω|f |

cioè

maxΩ

u ≤ max∂Ω

g +R2

2nmax

Ω|f | .

Ora applichiamo lo stesso ragionamento a −u che è soluzione di∆ (−u) = −f in Ω−u = −g su ∂Ω

e otteniamo

maxΩ

(−u) ≤ max∂Ω

(−g) +R2

2nmax

Ω|f |

47

che unita alla precedente dà

maxΩ|u| ≤ max

∂Ω|g|+ R2

2nmax

Ω|f | .

3.2.2 L’equazione di Laplace sul cerchio

Considereremo il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sul cerchio;la risoluzione esplicita di questo problema è un punto di partenza fondamentaleper la teoria del potenziale (in due variabili). Essendo il primo problema chetrattiamo, lo svilupperemo in dettaglio, utilizzandolo come esempio guida ancheper situazioni diverse.Per risolvere l’equazione di Laplace sul cerchio, la prima cosa è riscriverla in

coordinate polari (ρ, ϑ). Si trova12 , per l’equazione sul cerchio di centro (0, 0) eraggio r0, con dato al bordo f assegnato:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= 0 per ρ ∈ [0, r0), ϑ ∈ [0, 2π]

u (r0, ϑ) = f (ϑ) per ϑ ∈ [0, 2π] .(3.7)

Cerchiamo soluzioni a variabili separate, del tipo:

u (ρ, ϑ) = R (ρ) Θ (ϑ) .

Sostituendo nell’equazione si ha

R′′ (ρ) Θ (ϑ) +1

ρR′ (ρ) Θ (ϑ) +

1

ρ2R (ρ) Θ′′ (ϑ) = 0

ρ2R′′ (ρ)

R (ρ)+ ρ

R′ (ρ)

R (ρ)= −Θ′′ (ϑ)

Θ (ϑ).

L’ultima uguaglianza scritta è un’identità tra una funzione della sola ρ e unafunzione della sola ϑ, che quindi forza ciascun membro ad essere costante13 .Quindi per qualche λ ∈ R dev’essere:

ρ2R′′ (ρ)

R (ρ)+ ρ

R′ (ρ)

R (ρ)= λ = −Θ′′ (ϑ)

Θ (ϑ)

ossia:

ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ) = λR (ρ) per ρ ∈ (0, r0)

−Θ′′ (ϑ) = λΘ (ϑ) per ϑ ∈ [0, 2π] .

12v. [An2, Cap.4, §5.2]13Si rifletta su questo ragionamento, che useremo altre volte: se

f (ρ) = g (ϑ)

per ogni ρ, ϑ in certi intervalli, in particolare fissando un valore ϑ = ϑ0 si legge che il primomembro è costante al variare di ρ; fissando invece un valore ρ = ρ0 si legge che il secondomembro è costante al variare di ϑ.

48

Bisogna anche richiedere che Θ sia 2π periodica: per il significato geomet-rico delle coordinate polari, se non è così la funzione u (ρ, ϑ) = R (ρ) Θ (ϑ)risulterebbe discontinua. Questo impone

λ = n2 e Θn (ϑ) = an cos (nϑ) + bn sin (nϑ) per n = 0, 1, 2, 3, ...

Con ciò l’equazione in R diventa

ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ)− n2R (ρ) = 0 per ρ ∈ [0, r0] .

Per n 6= 0 è un’equazione di Eulero14 ; si possono quindi cercare soluzioni deltipo R (ρ) = ρα, con α da determinarsi:

ρ2α (α− 1) ρα−2 + ραρα−1 − n2ρα = 0

α (α− 1) + α− n2 = 0

α = ±n,

che dàRn (ρ) = c1ρ

n + c2ρ−n,

ma poiché vogliamo soluzioni regolari in [0, r0] dobbiamo escludere le soluzionic2ρ−n, illimitate nell’origine.Per n = 0 l’equazione

ρ2R′′ (ρ) + ρR′ (ρ) = 0

è di Eulero in R′ (ρ) = ρβ ,

ρ2βρβ−1 + ρρβ = 0

(β + 1) ρβ+1 = 0

β = −1

R′ (ρ) =1

ρ

R (ρ) = d1 + d2 log ρ.

Escludendo ancora le soluzioni d2 log ρ illimitate nell’origine, otteniamo in de-finitiva

Rn (ρ) = cρn per n = 1, 2, 3, ...

R0 (ρ) = d

14v. [EsAn2], §1.2.D. Si dice equazione di Eulero un’equazione del tipo

ax2y′′ (x) + bxy′ (x) + cy (x) = 0

per a, b, c costanti. Di quest’equazione si possono cercare due soluzioni del tipo y (x) = xα conα da determinarsi. Se esistono due numeri α1, α2 reali distinti per cui l’equazione differenzialeè soddisfatta, l’integrale generale di quest’equazione sarà c1xα1 + c2xα2 .

49

Si trovano in definitiva le soluzioni a variabili separate:

un (ρ, ϑ) = ρn [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)]

u0 (ρ, ϑ) = d.

Per linearità, qualsiasi somma finita di queste soluzioni soddisfa ancora l’e-quazione differenziale. L’idea è scrivere una soluzione che soddisfi anche lacondizione al contorno sommando le infinite soluzioni a variabili separate:

u (ρ, ϑ) = d+

∞∑n=1

ρn [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)] .

Imporre la condizione al contorno significa quindi scrivere:

u (r0, ϑ) = d+

∞∑n=1

rn0 [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)] = f (ϑ)

il che significa che quello scritto dev’essere lo sviluppo di Fourier di f (ϑ) in[0, 2π], quindi posto

f (ϑ) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)] , ossia

An =1

π

∫ 2π

0

f (ϑ) cos (nϑ) dϑ; Bn =1

π

∫ 2π

0

f (ϑ) sin (nϑ) dϑ (3.8)

si ha

d =A0

2; rn0 an = An; rn0 bn = Bn.

In conclusione la soluzione del problema (3.7) è assegnata dalla formula:

u (ρ, ϑ) =A0

2+

∞∑n=1

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)] (3.9)

con An, Bn assegnati dalle (3.8).Naturalmente in questo procedimento abbiamo fatto vari passaggi senza

giustificazione rigorosa, dovremo ora dimostrare che sotto opportune ipotesila u ha la regolarità richiesta e soddisfa effettivamente equazione differenzialee condizioni al contorno. Una formula risolutiva esplicita è comunque sempreun buon punto di partenza per la discussione successiva. Prima di giustificareteoricamente la formula (3.9) cominciamo comunque a prendere confidenza conessa e il suo utilizzo.

Osservazione 3.14 (Armoniche elementari) Notiamo che la soluzione ot-tenuta è una sovrapposizione delle infinite funzioni

ρn cos (nϑ) , ρn sin (nϑ) ,

50

dette armoniche elementari. E’interessante osservare che scrivendo, nel campocomplesso

z = ρ (cosϑ+ i sinϑ)

zn = ρn (cos (nϑ) + i sin (nϑ))

(formule di De Moivre), le armoniche elementari si possono vedere come le partireali e immaginarie delle potenze zn:

ρn cos (nϑ) = Re (ρn (cos (nϑ) + i sin (nϑ))) = Re (zn)

ρn cos (nϑ) = Im (ρn (cos (nϑ) + i sin (nϑ))) = Im (zn)

e questo fatto15 può essere utile per riscrivere in coordinate cartesiane questefunzioni. Ad esempio:

ρ3 cos (3ϑ) = Re(z3)

= Re(

(x+ iy)3)

= x3 − 3xy2

ρ2 sin (2ϑ) = Im(z2)

= Im(

(x+ iy)2)

= 2xy

ecc.In particolare, da queste relazioni leggiamo che le armoniche elementari

ρn cos (nϑ), ρn sin (nϑ) sono polinomi omogenei di grado (complessivo) n inx, y.Qualche grafico delle armoniche elementari mostra la loro caratteristica tipi-

ca di funzioni dotate di “selle” ma non di punti di massimo e minimo locale,come prescritto dal principio di massimo che abbiamo dimostrato.

ρ3 cos 3ϑ = Re(

(x+ iy)3)

= x3 − 3xy2

15 che non è casuale, ma una semplice conseguenza della teoria delle funzioni derivabili divariabile complessa (“la parte reale o immaginaria di una funzione olomorfa è una funzionearmonica”), di cui però in questo corso non ci occupiamo.

51

ρ4 cos 4ϑ = Re(

(x+ iy)4)

= x4 − 6x2y2 + y4

ρ7 sin 7ϑ = Im(

(x+ iy)7)

= 7x6y − 35x4y3 + 21x2y5 − y7

Esempio 3.15 Risolviamo: ∆u = 0 per ρ < 1u (1, ϑ) = cos2 ϑ.

52

Da identità trigonometriche abbiamo

cos2 ϑ =1

2+

1

2cos 2ϑ,

che è lo sviluppo di Fourier del dato al bordo. Quindi la formula di rappresen-tazione dà:

u (ρ, ϑ) =1

2+

1

2ρ2 cos 2ϑ

in coordinate cartesiane, calcolando ρ2 cos 2ϑ = Re(

(x+ iy)2),

=1

2

(1 + x2 − y2

).

Esempio 3.16 Risolviamo:∆u = 0 per x2 + y2 < 4u (x, y) = x4 per x2 + y2 = 4

Per ρ = 2,x4 = (2 cosϑ)

4= 16 cos4 ϑ

Da identità trigonometriche abbiamo

16 cos4 ϑ = 6 + 8 cos 2ϑ+ 2 cos 4ϑ,

che è lo sviluppo di Fourier del dato al bordo. Quindi la formula di rappresen-tazione dà:

u (ρ, ϑ) = 6 + 8(ρ

2

)2

cos 2ϑ+ 2(ρ

2

)4

cos 4ϑ

in coordinate cartesiane, calcolando ρ2 cos 2ϑ = Re(

(x+ iy)2), ρ4 cos 4ϑ =

Re(

(x+ iy)4)

= 6 + 2(x2 − y2

)+

1

8

(x4 − 6x2y2 + y4

).

Discussione delle formula di rappresentazione trovata - regolaritàall’internoCome preannunciato, dobbiamo ora discutere sotto quali ipotesi la formula riso-lutiva (3.9) assegna effettivamente una soluzione del problema. Dimostriamoanzitutto il seguente:

Teorema 3.17 Nella sola ipotesi che i coeffi cienti An, Bn nella (3.9) sianosuccessioni limitate, ossia per qualche costante c > 0 sia

|An|+ |Bn| ≤ c per ogni n,

la funzione u assegnata dalla (3.9):a) è derivabile infinite volte termine a termine in ogni cerchio ρ ≤ δ con

δ < r0;b) è derivabile infinite volte nel cerchio ρ < r0;c) soddisfa l’equazione di Laplace (in polari) nel cerchio ρ < r0.

53

Dimostrazione. Fissiamo δ < r0 e consideriamo il cerchio ρ ≤ δ. In questocerchio la serie (3.9) converge totalmente, infatti:∣∣∣∣( ρ

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

∣∣∣∣≤(δ

r0

)n(|An|+ |Bn|) ≤ c

r0

)n,

e la serie numerica ∑c

r0

)nè una serie geometrica convergente perché δ < r0, quindi c’è convergenza totalee u è continua nel cerchio ρ ≤ δ.Consideriamo la serie delle derivate prime rispetto a ρ:∣∣∣∣ ∂∂ρ

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

∣∣∣∣=

∣∣∣∣nρn−1

rn0[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

∣∣∣∣≤ n

r0

)n−11

r0(|An|+ |Bn|) ≤

c

r0n

r0

)n−1

e la serie numerica ∑ c

r0n

r0

)n−1

è una serie convergente perché δ < r0, quindi c’è convergenza totale della seriedelle derivate, perciò esiste ∂u

∂ρ ed è calcolabile derivando termine a termine.Si capisce che il ragionamento si può iterare alla derivata di qualunque ordinerispetto a ρ. Per la serie delle derivate rispetto a ϑ si ha:∣∣∣∣ ∂∂ϑ

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

∣∣∣∣=

∣∣∣∣( ρ

r0

)n[−nAn sin (nϑ) + nBn sin (nϑ)]

∣∣∣∣≤ n

r0

)n(|An|+ |Bn|) ≤ cn

r0

)ne la serie numerica ∑

cn

r0

)nè ancora una serie convergente perché δ < r0, quindi c’è convergenza totaledella serie delle derivate, perciò esiste ∂u

∂ϑ ed è calcolabile derivando termine atermine. Si capisce che il ragionamento si può iterare alla derivata di ordinequalsiasi rispetto a ϑ, ed anche a derivate miste rispetto a ρ e ϑ.

54

Si conclude che u è infinitamente derivabile in ogni cerchio ρ ≤ δ con δ < r0,e quindi nel cerchio aperto ρ < r0.Inoltre, poiché ogni addendo della serie risolve l’equazione di Laplace (la

serie è stata costruita proprio a quel modo, sovrapponendo soluzioni a variabiliseparate), in ogni cerchio ρ ≤ δ con δ < r0, in cui u è derivabile termine atermine, si ha:

∆u =

(∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϑ2

)(A0

2+

∞∑n=1

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

)

=

∞∑n=1

(∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϑ2

)((ρ

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

)

=

∞∑n=1

0 = 0.

L’equazione perciò è soddisfatta in ogni cerchio ρ ≤ δ con δ < r0 e quindi nelcerchio aperto ρ < r0.

Il teorema precedente contiene un’affermazione molto forte:supponiamo che f sia una qualsiasi funzione L2 (0, 2π), allora per il Lemma

di Riemann-Lebesgue le successioni An, Bn tendono a zero, in particolare sonolimitate, e si applica la conclusione del teorema precedente: non solo la u risolvel’equazione ∆u = 0 nel cerchio, ma è infinitamente derivabile.

Discussione della formula di rappresentazione trovata - condizione albordo classicaVogliamo mostrare che, sotto opportune ipotesi sul dato al bordo f , la u as-segnata dalla (3.9) assume il dato al bordo. Occorre capire qual è il problema.E’ chiaro che se sostituiamo ρ = r0 nella (3.9) otteniamo (proprio per comeabbiamo costruito la soluzione) la serie di Fourier di f che rappresenta f , adsotto le seguenti ipotesi:

f continua, regolare a tratti, f (0) = f (2π) (l’ultima condizione è ovvia, sevogliamo che f sia una funzione continua sul bordo del cerchio).Tuttavia, noi vogliamo anche sapere che la u è continua sul cerchio chiuso

ρ ≤ r0, in modo da sapere che quando ci avviciniamo a un punto del bordo delcerchio provenendo dall’interno, la u tende proprio al dato al bordo o, come sidice solitamente, “il dato al bordo è assunto con continuità”.Con questa premessa, dimostriamo il

Teorema 3.18 (condizione al contorno classica) Supponiamo che f sod-disfi delle ipotesi sotto cui la sua serie di Fourier converge totalmente (teorema3.5): f è continua e soddisfa la condizione di raccordo f (0) = f (2π); inoltre fè derivabile e con derivata continua in [0, 2π], salvo al più un numero finito dipunti di [0, 2π] nei quali comunque esistono finiti i limiti destro e sinistro di f ′.

55

Allora la u definita dalla (3.9) è continua fino al bordo del cerchio, inparticolare

lim(ρ,ϑ)→(r0,ϑ0)

u (ρ, ϑ) = f (ϑ0) per ogni ϑ0 ∈ [0, 2π] .

Dimostrazione. Dimostriamo che la serie (3.9) converge uniformemente nelcerchio ρ ≤ r0, ϑ ∈ [0, 2π], da cui seguirà la continuità di u in tutto il cerchio(Teorema 3.55, §3.2.3). Per far questo, scriviamo:∣∣∣∣∣(ρ

r0

)k[Ak cos (nϑ) +Bk sin (nϑ)]

∣∣∣∣∣ ≤ |[Ak cos (nϑ) +Bk sin (nϑ)]| ≤ |Ak|+|Bk| .

Poiché sotto le nostre ipotesi, in base al teorema 3.5 si ha

∞∑k=1

(|Ak|+ |Bk|) <∞,

la serie che assegna la u (ρ, ϑ) converge totalmente nel cerchio ρ ≤ r0, ϑ ∈[0, 2π] e quindi (criterio della convergenza totale, Proposizione ??) convergeuniformenente nel cerchio.

Ora che sappiamo che la u assegnata dalla formula (3.9) assume con con-tinuità il dato al bordo, quindi è l’unica soluzione del problema di Dirichlet,possiamo trarre dal risultato precedente di regolarità all’interno della funzioneassegnata da (3.9) un’importante conseguenza:

Corollario 3.19 (Regolarità delle funzioni armoniche in due variabili)Sia Ω ⊂ R2 un aperto e u ∈ C2 (Ω) soluzione di ∆u = 0 in Ω. Allora u ∈C∞ (Ω).

Dimostrazione. Sia u ∈ C2 (Ω) soluzione di ∆u = 0 in Ω e fissiamo un cerchioBr (x0) ⊂ Ω. Per ogni δ < r la funzione u si può vedere come soluzione (l’unicasoluzione) del problema di Dirichlet

∆u = 0 in Bδ (x0)u = u su ∂Bδ (x0)

e quindi u si rappresenta con la formula (3.9) con i coeffi cienti An, Bn calcolati apartire da u, in particolare limitati perché u è limitata e integrabile in ∂Bδ (x0) ,essendo continua. Per la discussione precedente, allora, u è infinitamente deriv-abile nel cerchio Bδ (x0) , e quindi nel cerchio Br (x0). Poiché questo si puòripetere per ogni cerchio Br (x0) ⊂ Ω, u ∈ C∞ (Ω) .

Osservazione 3.20 Segnaliamo che la proprietà di regolarità delle funzioniarmoniche è vera in dimensione n qualsiasi, con un’altra dimostrazione.

Dai fatti precedenti possiamo in particolare raccogliere il seguente

56

Teorema 3.21 Detto Br0 (0) il cerchio di centro l’origine e raggio r0, se f ∈C1 (∂Br0 (0)) esiste una e una sola u ∈ C2 (Br0 (0)) ∩ C0

(Br0 (0)

)soluzione

del problema di Dirichlet ∆u = 0 in Br0 (0)u = f su ∂Br0 (0) ,

assegnata dalla (3.9). La u assume il dato al bordo con continuità, e all’internodel cerchio è infinitamente derivabile. Inoltre il principio di massimo

maxBr0 (0)

|u| ≤ max∂Br0 (0)

|f |

è in questo caso una stima di dipendenza continua della soluzione dal dato.Quindi il problema è ben posto.

Osservazione 3.22 Notare che la richiesta f ∈ C1 (∂Br0 (0)) significa che,pensata come funzione f (ϑ), non solo f ∈ C1 ([0, 2π]), ma f e f ′ soddisfano lecondizioni di raccordo tra 0 e 2π.L’ipotesi f ∈ C1 (∂Br0 (0)) può sembrare un po’ troppo forte, visto che

vogliamo ottenere una u continua fino al bordo (e non più regolare di così).Questo in parte è un “difetto” della tecnica dimostrativa utilizzata: la teoriaclassica, passando attraverso la nozione di convergenza uniforme delle serie diFourier, richiede ipotesi un po’ sovrabbondanti. Con una tecnica dimostrativapiù raffi nata si può provare che il problema di Dirichlet sul cerchio è risolu-bile in senso classico per ogni dato al bordo continuo; torneremo poi su questoproblema.

Discussione della formula di rappresentazione trovata - dato al bordoL2

Proviamo ora un diverso risultato che garantisce che il dato al bordo possa essereassunto in un senso più debole sotto ipotesi molto più generali sul dato:

Teorema 3.23 Supponiamo che f ∈ L2 [0, 2π], allora la u assegnata dalla (3.9)assume il dato al bordo in senso L2, il che significa che

‖u (ρ, ·)− f‖L2(0,2π) → 0 per ρ→ r−0 .

Dimostrazione. Poiché f ∈ L2 [0, 2π] , sappiamo che∑∞n=1

(A2n +B2

n

)< ∞

(uguaglianza di Perceval, v. §3.5.1). Ora dalle identità:

u (ρ, ϑ) =A0

2+

∞∑n=1

r0

)n[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

f (ϑ) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

57

abbiamo

f (ϑ)− u (ρ, ϑ) =

∞∑n=1

[1−

r0

)n][An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)] ,

e per l’uguaglianza di Perceval

‖u (ρ, ·)− f‖2L2(0,2π) = π

∞∑n=1

[1−

r0

)n]2 [A2n +B2

n

].

Osserviamo la serie a secondo membro. Per ρ→ r0 si ha[1−

(ρr0

)n]2→ 0, tut-

tavia questa convergenza è sempre più lenta quanto più grande è n (che rimpic-

ciolisce il quoziente(ρr0

)n, rallentando la sua convergenza a 1). Per passare al

limite bisogna allora spezzare la serie. Utilizziamo il fatto che[1−

(ρr0

)n]2< 1

perciò la serie è totalemente convergente in ρ ∈ [0, r0] , e fissato ε > 0 esiste n0

tale che

π

∞∑n=n0+1

[1−

r0

)n]2 [A2n +B2

n

]< ε

mentre

π

n0∑n=1

[1−

r0

)n]2 [A2n +B2

n

]≤[1−

r0

)n0]2

π

n0∑n=1

[A2n +B2

n

]≤[1−

r0

)n0]2

‖f‖2L2(0,2π) < ε

per ρ abbastanza vicino a r0. Perciò

‖u (ρ, ·)− f‖2L2(0,2π) < 2ε

per ρ abbastanza vicino a r0, ossia ‖u (ρ, ·)− f‖L2(0,2π) → 0 per ρ→ r−0 .

Notiamo che l’ipotesi f ∈ L2 [0, 2π] consente a f di essere discontinua, ad-dirittura illimitata, eppure è suffi ciente a garantire che il dato al bordo siaassunto in questo senso debole; inoltre poiché le successioni An, Bn sono infin-itesime e quindi limitate, vale anche il teorema di regolarità all’interno della u,che risolve l’equazione.

Formula del valor medioLa formula (3.9) mette in evidenza anche un’altra proprietà delle soluzionidell’equazione di Laplace (funzioni armoniche): sostituendo ρ = 0 si trova

u (0, ϑ) =A0

2=

1

∫ 2π

0

f (ϑ) dϑ, (3.10)

da cui si deduce il seguente

58

Teorema 3.24 (Proprietà di media delle funzioni armoniche) Sia Ω ⊂R2 un aperto e u una funzione armonica in Ω. Per ogni cerchio Br (x0, y0) lacui chiusura è contenuta in Ω valgono le seguenti proprietà di media:

u (x0, y0) =1

∫ 2π

0

u (x0 + r cosϑ, y0 + r sinϑ) dϑ (3.11)

u (x0, y0) =1

2πr

∫∂Br(x0,y0)

u (x, y) ds (3.12)

u (x0, y0) =1

πr2

∫Br(x0,y0)

u (x, y) dxdy. (3.13)

Notare che la seconda uguaglianza dice che il valore di u nel centro delcerchio è la media integrale dei valori di u sul bordo del cerchio (in questo casol’integrale è un integrale di linea); la terza uguaglianza dice che il valore di unel centro del cerchio è la media integrale dei valori di u sul cerchio (in questocaso l’integrale è un integrale doppio). Segnaliamo che anche la proprietà dimedia delle funzioni armoniche, con una diversa dimostrazione, si può stabilirein dimensione n ≥ 3 qualunque.

Dimostrazione. Poiché u è armonica in Ω e Br (x0, y0) ⊂ Ω, u si può vederecome soluzione del problema di Dirichlet avente come dato assegnato sul bordodel cerchio la u stessa. Quindi la (3.10), dopo averla traslata nel cerchio di centro(x0, y0), si può riscrivere nella forma (3.11). D’altro canto il secondo membrodella (3.12) è un integrale di linea che, parametrizzando la circonferenza come

x = x0 + r cosϑy = y0 + r sinϑ

ϑ ∈ [0, 2π]

ds = rdϑ

1

2πr

∫∂Br(x0,y0)

u (x, y) ds =1

2πr

∫ 2π

0

u (x0 + r cosϑ, y0 + r sinϑ) rdϑ

=1

∫ 2π

0

u (x0 + r cosϑ, y0 + r sinϑ) dϑ = u (x0, y0)

perciò dalla (3.11) segue la (3.12). Infine, riscriviamo il secondo membro della(3.13) calcolando l’integrale in coordinate polari:

1

πr2

∫Br(x0,y0)

u (x, y) dxdy =1

πr2

∫ r

0

ρ

(∫ 2π

0

u (x0 + r cosϑ, y0 + r sinϑ) dϑ

)dρ

utilizzando nell’integrale interno la (3.11)

=1

πr2

∫ r

0

ρ2πu (x0, y0) dρ = 2πu (x0, y0)1

πr2

r2

2= u (x0, y0)

e anche la (3.13) è dimostrata.

59

Osservazione 3.25 La proprietà di media approfondisce la descrizione dellageometria del grafico delle funzioni armoniche, di cui il principio di massimoera un primo elemento. Si noti che entrambe le proprietà corrispondono all’in-tuizione fisica, se interpretiamo la funzione u, armonica in due variabili, peruno dei significati fisici che può avere, ad esempio membrana in equilibrio otemperatura di una piastra in equilibrio termico.

Dalla proprietà di media segue facilmente una dimostrazione, nel caso bidi-mensionale, del principio di massimo forte per le funzioni armoniche che abbi-amo solo enunciato in precedenza:

Teorema 3.26 (Principio di massimo forte) Se ∆u = 0 in Ω aperto con-nesso del piano, allora u non può avere in Ω punti di massimo o minimo assolutiinterni senza essere costante in Ω.

Si osservi che questo enunciato non dice solo che massimi e minimi sonoassunti sul bordo del dominio (se u è continua fino al bordo) ma sono assuntisolo sul bordo, tranne nel caso banale in cui u è costante. Questa proprietà nonera contenuta nel principio di massimo dimostrato in precedenza in dimensionequalunque.

Dimostrazione. Infatti, se (x0, y0) fosse un punto (ad es.) di massimo assolutoper u, scegliendo un cerchio Br (x0, y0) ⊂ Ω, si avrebbe:

maxu = u (x0, y0) =1

πr2

∫Br(x0,y0)

u (x, y) dxdy

≤ 1

πr2

∫Br(x0,y0)

maxu dxdy = u (x0, y0) = maxu ,

dove l’uguaglianza può valere solo se in tutto il cerchio Br (x0, y0) è u (x, y) =u (x0, y0). Poiché Ω è un aperto connesso, allora, ripetendo il discorso iterativa-mente a partire da un punto (x1, y1) qualsiasi di questo cerchio, possiamo perpassi successivi invadere tutto Ω con cerchi in cui è u (x, y) = u (x0, y0), perciòu è costante in Ω. Analogo discorso per i punti di minimo assoluti.

60

La formula integrale di PoissonCi interessa ora trasformare la formula risolutiva “per serie” in una formuladi rappresentazione “integrale”, da cui si potranno leggere altre informazioni.Sostituendo nella (3.9) le espressioni per i coeffi cienti (conviene cambiare nomealla variabile di integrazione)

An =1

π

∫ 2π

0

f (s) cos (ns) ds; Bn =1

π

∫ 2π

0

f (s) sin (ns) ds

si ha

u (ρ, ϑ) =1

∫ 2π

0

f (s) ds+

+

∞∑n=1

r0

)n [1

π

∫ 2π

0

f (s) cos (ns) ds cos (nϑ) +1

π

∫ 2π

0

f (s) sin (ns) ds sin (nϑ)

]

=

∫ 2π

0

f (s)

1

2π+

1

π

∞∑n=1

r0

)n[cos (ns) cos (nϑ) + sin (ns) sin (nϑ)]

ds.

Vediamo di sommare esplicitamente il nucleo integrale .... Anzitutto le for-mule di addizione e quelle di Eulero danno:

cos (ns) cos (nϑ) + sin (ns) sin (nϑ) = cosn (ϑ− s) =ein(ϑ−s) + e−in(ϑ−s)

2,

quindi ci si può ricondurre a sommare delle serie geometriche:

1

2π+

1

π

∞∑n=1

r0

)n[cos (ns) cos (nϑ) + sin (ns) sin (nϑ)]

=1

π

1

2+

1

2

∞∑n=1

[(ρ

r0

)nein(ϑ−s) +

r0

)ne−in(ϑ−s)

]

=1

1 +

∞∑n=0

r0ei(ϑ−s)

)n+

∞∑n=0

r0e−n(ϑ−s)

)n− 2

=1

1

1− ρr0ei(ϑ−s)

+1

1− ρr0e−i(ϑ−s)

− 1

e qualche calcolo coi numeri complessi dà

=1

r0

r0 − ρ cos (ϑ− s)− iρ sin (ϑ− s) +r0

r0 − ρ cos (ϑ− s) + iρ sin (ϑ− s) − 1

=

1

2r0 [r0 − ρ cos (ϑ− s)]

[r0 − ρ cos (ϑ− s)]2 + ρ2 sin2 (ϑ− s)− 1

=1

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2

.

61

Abbiamo ottenuto una formula di rappresentazione della soluzione del problemamediante un integrale:

u (ρ, ϑ) =1

∫ 2π

0

f (s)

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2

ds. (3.14)

Il nucleo integrale trovato si chiama nucleo di Poisson, e la formula ottenuta,detta formula integrale di Poisson, è molto importante, per vari motivi.1. Anzitutto, spesso è più comodo calcolare la soluzione a partire dal dato

al bordo, in modo esatto o approssimato, direttamente con questo integraleanziché con il doppio passaggio che consiste nel calcolare gli infiniti coeffi cientidi Fourier di f e poi sommare la serie (3.9).

2. In secondo luogo, formule di rappresentazione mediante operatori inte-grali sono più adatte a mettere in evidenza le ipotesi minime sul dato f chegarantiscono opportune proprietà della soluzione. Cominciamo ad osservare cheper ogni ρ < r0 e per ogni ϑ il denominatore è discosto da zero, il che sig-nifica che stando strettamente all’interno del cerchio ρ < r0 si può derivareinfinite volte sotto il segno di integrale. Quindi (come già avevamo osservato)la soluzione dell’equazione di Laplace è infinitamente derivabile all’interno delcerchio. Ma questa formula consente anche di provare risultati precisi di con-vergenza di u (ρ, ϑ) al dato f (ϑ) avvicindandosi al bordo. Precisamente, si puòdimostrare il seguente:

Teorema 3.27 Se f è continua sul bordo del cerchio, la u definita da (3.14)assume il dato al bordo con continuità, cioè

lim(r,ϑ)→(R,ϑ0)

u (r, ϑ) = f (ϑ0)

quindi è soluzione classica del problema di Dirichlet, che pertanto è risolubilesotto la sola ipotesi di continuità del dato.

Dimostrazione. Per semplificare leggermente la dimostrazione ci limiteremoa provare che

limr→R

u (r, ϑ0) = f (ϑ0)

(il che equivale a far tendere il punto alla circonferenza lungo un raggio). Ladimostrazione generale è simile, con una piccola complicazione tecnica16 .Cominciamo a osservare che, poiché la soluzione del problema di Dirichlet

con dato al bordo f ≡ 1 è la funzione costante 1, si ha:

1

∫ 2π

0

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2

ds = 1.

Notiamo anche che il nucleo di Poisson è positivo, perché r20 − ρ2 > 0 nel

cerchio e

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2 ≥ r2

0 − 2r0ρ+ ρ2 = (r0 − ρ)2.

16Si può trovare in [Weinberger pp.105-6].

62

Possiamo allora scrivere:

u (r, ϑ0)− f (ϑ0) =1

∫ 2π

0

(f (s)− f (ϑ0))

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ0 − s) + ρ2

ds.

Per un numero δ > 0 da fissarsi poi, spezziamo l’integrale precedente nellasomma:

u (r, ϑ0)− f (ϑ0) =1

∫s∈(0,2π),|s−ϑ0|<δ

(...) ds+1

∫s∈(0,2π),|s−ϑ0|≥δ

(...) ds

= Aδ +Bδ.

Poiché f è continua in ϑ0, fissato ε > 0 esiste un δ > 0 tale che

|s− ϑ0| < δ =⇒ |f (ϑ)− f (ϑ0)| < ε.

Per questa scelta di δ si ha allora (ricordando che il nucleo di Poisson è positivoe ha integrale 1)

|Aδ| ≤ ε1

∫s∈(0,2π),|s−ϑ0|<δ

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2

ds

≤ ε 1

∫s∈(0,2π)

r20 − ρ2

r20 − 2r0ρ cos (ϑ− s) + ρ2

ds = ε.

D’altro canto|s− ϑ0| ≥ δ =⇒ cos (ϑ− s) ≤ cos δ

e quindi

1

r20 − 2r0ρ cos (ϑ0 − s) + ρ2

≤ 1

r20 − 2r0ρ cos δ + ρ2

≤ c (r0, δ)

(cioè è una funzione limitata), perciò

|Bδ| ≤1

∫s∈(0,2π),|s−ϑ0|≥δ

|f (s)− f (ϑ0)| c (r0, δ)(r20 − ρ2

)ds

≤ 2 maxs∈(0,2π)

|f (s)| c (r0, δ)(r20 − ρ2

)< ε

purché r0−ρ sia abbastanza piccolo. Perciò per ogni ε > 0, se r0−ρ è abbastanzapiccolo si ha

|u (r, ϑ0)− f (ϑ0)| < 2ε,

il che prova la tesi.

3. Notiamo che sostituendo ρ = 0 nella (3.14) si trova

u (0, ϑ) =1

∫ 2π

0

f (s) ds,

63

ossia ritroviamo la formula di valor medio, già discussa.Le osservazioni fatte riguardo alla formula integrale di Poisson sono solo un

assaggio dei metodi della teoria del potenziale, con cui a partire da una formuladi rappresentazione semplice ed esplicita si dimostrano proprietà generali dellefunzioni armoniche.Alla luce della formula finale ottenuta, il procedimento di separazione di

variabili appare un procedimento elaborato il cui ruolo finale è quello di perme-tterci di ottenere una formula di rappresentazione integrale utile. Ogni volta che,con opportuni scambi tra serie numeriche e integrali che assegnano coeffi cientidi Fourier, è possibile scrivere esplicitamente una formula di rappresentazioneintegrale, può essere interessante farlo. Non sempre però è agevole.

Problema di Neumann sul cerchioConsideriamo ora il problema di Neumann per l’equazione di Laplace sul cerchio:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= 0 per ρ ∈ [0, r0), ϑ ∈ [0, 2π]

∂u∂ρ (r0, ϑ) = f (ϑ) per ϑ ∈ [0, 2π] .

(3.15)

(Notare che sul bordo del cerchio la derivata normale uscente è semplicemente∂∂ρ ). Cerchiamo soluzioni a variabili separate, del tipo:

u (ρ, ϑ) = R (ρ) Θ (ϑ) .

Si possono utilizzare parte delle conclusioni del ragionamento fatto per il proble-ma di Dirichlet. Cerchiamo di imporre la condizione al contorno alla soluzione:

u (ρ, ϑ) = d+

∞∑n=1

ρn [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)] .

Imporre la condizione al contorno significa quindi scrivere:

∂u

∂ρ(r0, ϑ) =

∞∑n=1

nrn−10 [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)] = f (ϑ)

il che significa che quello scritto dev’essere lo sviluppo di Fourier di f (ϑ) in[0, 2π], quindi posto

f (ϑ) =A0

2+

∞∑n=1

[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)] , ossia

An =1

π

∫ 2π

0

f (ϑ) cos (nϑ) dϑ; Bn =1

π

∫ 2π

0

f (ϑ) sin (nϑ) dϑ

si hanrn−1

0 an = An; nrn−10 bn = Bn

64

inoltre (coerentemente a quanto osservato sul problema di Neumann nel §5.1.1)

A0 dev’essere nullo (condizione di compatibilità del dato):∫ 2π

0

f (ϑ) dϑ = 0

mentre

d è indeterminato (la soluzione è determinata a meno di costante additiva).

In conclusione la soluzione del problema (3.15), nell’ipotesi A0 = 0, è assegnatadalla formula:

u (ρ, ϑ) =

∞∑n=1

(ρn

nrn−10

)[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)] + d. (3.16)

con An, Bn assegnati dalle (3.8).Si tratta ora, come nel caso della formula di rappresentazione ottenuta per

la soluzione del problema di Dirichlet, di dimostrare che sotto opportune ipote-si su f essa fornisce una soluzione effettiva del problema. Procediamo piùsinteticamente di quanto fatto in precedenza:1. La u assegnata dalla (3.16) è ancora infinitamente derivabile all’interno

del cerchio, e risolve all’interno del cerchio l’equazione di Laplace, non appenai coeffi cienti An, Bn siano limitati.2. Affermare che il dato al bordo è assunto con continuità significa affermare

che la funzione (a priori definita per ρ < r0)

∂u

∂ρ(ρ, ϑ) =

∞∑n=1

r0

)n−1

[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

in effetti è continua per ρ ≤ r0. D’altro canto,∣∣∣∣∣(ρ

r0

)n−1

[An cos (nϑ) +Bn sin (nϑ)]

∣∣∣∣∣ ≤ |An|+ |Bn|perciò se la serie di Fourier del dato al bordo converge totalmente, il che accadead esempio se f ∈ C1 [0, 2π], con f (0) = f (2π) (Teorema 3.5), anche la serie cheassegna ∂u

∂ρ (ρ, ϑ) all’interno del cerchio, in effetti converge totalmente in tutto

il cerchio. Perciò converge ivi uniformemente, e ∂u∂ρ è continua fino al bordo del

cerchio. Come nel caso del problema di Dirichlet, l’ipotesi sul dato è un po’forte, non è certo quella ottimale.

Esercizio 3.28 Risolvere il seguente problema di Dirichlet per il laplacianosulla corona circolare:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= 0 per ρ ∈ (1, r0) , ϑ ∈ [0, 2π]

u (1, ϑ) = 0 per ϑ ∈ [0, 2π]u (r0, ϑ) = f (ϑ) per ϑ ∈ [0, 2π]

65

Suggerimento: utilizzare i passaggi di partenza del metodo di separazionedelle variabili sul cerchio. Attenzione però al fatto che ora le soluzioni R (ρ)illimitate per ρ → 0 non vanno più scartate, perché lavoriamo sull’intervalloρ ∈ (1, r0).

3.2.3 Equazione di Poisson sul cerchio

Abbiamo considerato finora l’equazione omogenea, ∆u = 0. Se il termine no-to non è zero, cioè ∆u = f, il metodo di separazione delle variabili non è piùapplicabile. Un’idea che talvolta si utilizza per affrontare un’equazione non omo-genea, suggerita da certe procedure che si seguono per risolvere equazioni dif-ferenziali ordinarie non omogenee, è quella di cercare una soluzione la cui espres-sione analitica sia formalmente simile a quella della corrispondente equazioneomogenea, con certe costanti sostituite da coeffi cienti variabili, che si cerca dideterminare in modo da soddisfare l’equazione. Illustriamo quest’idea nel casodell’equaizone di Poisson sul cerchio:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= F (ρ, ϑ) per ρ ∈ [0, r0), ϑ ∈ [0, 2π]

u (r0, ϑ) = 0 per ϑ ∈ [0, 2π]

Notiamo che, in base al principio di sovrapposizione (§4.4), possiamo supporreche il dato al bordo ora sia nullo: se non lo fosse, la soluzione che cerchiamosi potrebbe ottenere sommando la soluzione di un problema come questo e unproblema di Dirichlet per l’equazione omogenea (che già sappiamo risolvere).Partiamo dalla formula che assegna le soluzioni dell’equazione omogenea

u (ρ, ϑ) = a0 +

∞∑n=1

ρn [an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)]

e sostituiamo nella formula, alle particolari funzioni di ρ date da anρn, bnρn,delle generiche funzioni (incognite) di ρ:

u (ρ, ϑ) =a0 (ρ)

2+

∞∑n=1

[an (ρ) cos (nϑ) + bn (ρ) sin (nϑ)] . (3.17)

Quest’idea è suggerita anche dal fatto che il termine noto F (ρ, ϑ) in effetti si puòsviluppare in questa forma: è suffi ciente, per ogni ρ ∈ [0, r0) fissato, svilupparein serie di Fourier la funzione

ϑ 7→ F (ρ, ϑ) .

Si ha:

F (ρ, ϑ) =A0 (ρ)

2+

∞∑n=1

ρn [An (ρ) cos (nϑ) +Bn (ρ) sin (nϑ)]

66

con

An (ρ) =1

π

∫ 2π

0

F (ρ, ϑ) cos (nϑ) dϑ

Bn (ρ) =1

π

∫ 2π

0

F (ρ, ϑ) sin (nϑ) dϑ.

Calcoliamo quindi, formalmente17 l’operatore laplaciano in coordinate polarisulla serie (3.17):

∆u (ρ, ϑ)

=

(∂2

∂ρ2+

1

ρ

∂ρ+

1

ρ2

∂2

∂ϑ2

)(a0 (ρ)

2+

∞∑n=1

[an (ρ) cos (nϑ) + bn (ρ) sin (nϑ)]

)

=1

2

(a′′0 (ρ) +

1

ρa′0 (ρ)

)+

∞∑n=1

[(a′′n (ρ) +

1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ)

)cos (nϑ)

+

(b′′n (ρ) +

1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ)

)sin (nϑ)

].

Ora, quest’espressione coincide con lo sviluppo di F (ρ, ϑ) se valgono le seguentiidentità:

a′′0 (ρ) +1

ρa′0 (ρ) = A0 (ρ)

a′′n (ρ) +1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ) = An (ρ)

b′′n (ρ) +1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ) = Bn (ρ)

per n = 1, 2, 3, .... Si tratta di un sistema di infinite equazioni differenziali ordi-narie nelle funzioni incognite an (ρ) , bn (ρ), lineari del second’ordine non omo-genee (le funzioni An (ρ) , Bn (ρ) sono termini noti, si calcolano dal termine notoF dell’equazione di Poisson). Per essere più precisi, è qualcosa di più semplicedi un sistema in quanto ogni funzione incognita compare in un’equazione so-la: si possono quindi risolvere simultaneamente, in parallelo, tutte le equazioni.Prima di risolvere le equazioni, osserviamo che la condizione u (r0, ϑ) = 0 risultasoddisfatta se imponiamo

an (r0) = bn (r0) = 0 per ogni n.

Veniamo alla risoluzione delle equazioni. L’equazione

a′′n (ρ) +1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ) = An (ρ)

17Questo “formalmente” significa: calcoliamo le derivate della serie derivando terminea termine, senza preoccuparci per il momento di formulare delle ipotesi precise sotto cuiquest’operazione sia lecita.

67

è lineare del second’ordine non omogenea. L’omogenea associata non è a coeffi -cienti costanti ma è un’equazione di Eulero:

a′′n (ρ) +1

ρa′n (ρ)− n2

ρ2an (ρ) = 0

di cui possiamo cercare soluzioni del tipo

an (ρ) = ρα

e si trova, a conti fatti, che ha integrale generale

an (ρ) = cnρn + dnρ

−n.

Ora una soluzione particolare dell’equazione non omogenea si può cercare, colmetodo di variazione delle costanti18 , nella forma

an (ρ) = cn (ρ) ρn + dn (ρ) ρ−n.

Il metodo prescrive di risolvere il seguente sistema lineare nelle derivate c′n (ρ) , d′n (ρ):c′nρ

n + d′nρ−n = 0

nc′nρn−1 − nd′nρ−n−1 = An (ρ) .

Risolvendo si trova: c′n = An(ρ)

2nρn−1

d′n = −An(ρ)ρn+1

2n

e integrando (con una scelta degli estremi che renda gli integrali certamenteconvergenti) abbiamo

cn (ρ) =∫ ρr0

An(s)2nsn−1 ds

dn (ρ) = −∫ ρ

0An(s)sn+1

2n ds

e quindi

an (ρ) = ρn∫ ρ

r0

An (s)

2nsn−1ds− ρ−n

∫ ρ

0

An (s) sn+1

2nds

18v. [An2, pp.32-4]. Ricapitoliamo il metodo. Supponiamo di voler trovare una soluzioneparticolare dell’equazione differenziale lineare del second’ordine completa

y′′ (t) + a (t) y′ (t) + b (t) y (t) = f (t)

conoscendo già, però, due soluzioni linearmente indipendenti y1 (t) , y2 (t) dell’equazioneomogenea. Il metodo consiste nel cercare una soluzione dell’equazione completa della forma

y (t) = c1 (t) y1 (t) + c2 (t) y2 (t)

dove i coeffi cienti c1 (t) , c2 (t) incogniti si determinando risolvendo prima il seguente sistemalineare nelle incognite c′1 (t) , c′2 (t)

c′1 (t) y1 (t) + c′2 (t) y2 (t) = 0c′1 (t) y′1 (t) + c′2 (t) y′2 (t) = f (t)

e poi calcolando le primitive c1 (t) , c2 (t) e sostituendole nell’espressione di y (t).

68

è una soluzione particolare dell’omogenea, mentre l’integrale generale è

an (ρ) = cnρn + dnρ

−n + ρn∫ ρ

r0

An (s)

2nsn−1ds− ρ−n

∫ ρ

0

An (s) sn+1

2nds.

La funzione deve mantenersi limitata per ρ→ 0, il che implica la scelta dn = 0,mentre la condizione an (r0) = 0 dà

0 = cnrn0 − r−n0

∫ r0

0

An (s) sn+1

2nds.

quindi

cn = r−2n0

∫ r0

0

An (s) sn+1

2nds

e

an (ρ) =1

2n

ρnr−2n

0

∫ r0

0

An (s) sn+1ds+ ρn∫ ρ

r0

An (s) s1−nds− ρ−n∫ ρ

0

An (s) sn+1ds

.

(3.18)Analogamente

bn (ρ) =1

2n

ρnr−2n

0

∫ r0

0

Bn (s) sn+1ds+ ρn∫ ρ

r0

Bn (s) s1−nds− ρ−n∫ ρ

0

Bn (s) sn+1ds

.

(3.19)Rimane l’equazione in a0 (ρ) ,

a′′0 (ρ) +1

ρa′0 (ρ) = A0 (ρ)

che ponendo a′0 = v dà

v′ (ρ) +1

ρv (ρ) = A0 (ρ) ,

equazione lineare del prim’ordine che si integra così:

v (ρ) =c

ρ+

1

ρ

∫ ρ

0

sA0 (s) ds

a0 (ρ) = c log ρ+ d+

∫ ρ

r0

(1

t

∫ t

0

sA0 (s) ds

)dt,

imponendo a0 (r0) = 0,

0 = c log r0 + d

d = −c log r0

e quindi

a0 (ρ) = c

(log

ρ

r0

)+

∫ ρ

r0

(1

t

∫ t

0

sA0 (s) ds

)dt

69

e imponendo che a0 (ρ) sia limitata in 0, c = 0, da cui

a0 (ρ) =

∫ ρ

r0

(1

t

∫ t

0

sA0 (s) ds

)dt (3.20)

La funzione u assegnata dalla (3.17) con i coeffi cienti a0 (ρ) , an (ρ) , bn (ρ) as-segnati dalle (3.18), (3.19), (3.19) è la soluzione cercata. Il tutto, naturalmente,andrebbe ora giustificato rigorosamente, cosa che ora non faremo. Se poi nella(3.17) si sostituiscono le espressioni dei coeffi cienti a0 (ρ) , an (ρ) , bn (ρ) e, a lorovolta, al posto dei coeffi cienti An, Bn si sostituiscono gli integrali che li definis-cono, calcoli laboriosi permettono di riscrivere la formula di rappresentazionesotto forma di integrale del termine noto F contro un opportuno nucleo, formulapiù indicata per discutere le ipotesi sotto le quali il procedimento è lecito.La tecnica che abbiamo visto all’opera in questo esempio è nota come metodo

degli sviluppi di Fourier, per indicare che si sviluppa termine noto e funzione inuno sviluppo che imita quello di Fourier, con coeffi cienti però variabili anzichécostanti.

u (ρ, ϑ) =1

2

∫ ρ

r0

(1

t

∫ t

0

sA0 (s) ds

)dt

+1

2n

∞∑n=1

(ρnr−2n

0

∫ r0

0

An (s) sn+1ds+ ρn∫ ρ

r0

An (s) s1−nds− ρ−n∫ ρ

0

An (s) sn+1ds

cos (nϑ)

+

ρnr−2n

0

∫ r0

0

Bn (s) sn+1ds+ ρn∫ ρ

r0

Bn (s) s1−nds− ρ−n∫ ρ

0

Bn (s) sn+1ds

sin (nϑ)

).

3.3 Equazione di diffusione

Consideriamo ora l’equazione di diffusione

ut −D∆u = f

con ∆ laplaciano in n variabili (sarà n = 1, 2, 3), D costante positiva, f terminenoto (sorgente). Abbiamo visto tra i suoi significati fisici:1. u temperatura in un corpo (variabile nel tempo), in regime di sola

diffusione; f indica le sorgenti o i pozzi di calore interni al corpo.2. u concentrazione (variabile nel tempo) di una sostanza in soluzione, in

regime di sola diffusione; f indica le sorgenti o i pozzi di quella sostanza internial corpo.Abbiamo discusso (§4.3.2) alcuni tipici problemi ai limiti che si affrontano

per quest’equazione, e visto il significato fisico delle varie condizioni (di Cauchy-Dirichlet, Cauchy-Neumann, Cauchy-Robin).Anche per questa equazione, vediamo prima di stabilire alcuni risultati molto

generali per questi problemi, utili ad inquadrare i problemi ai limiti che poistudieremo. Successivamente affronteremo esplicitamente alcuni di questi prob-lemi ai limiti, su domini di geometria semplice.

70

3.3.1 Unicità e principio di massimo parabolico

Per la linearità del problema, anche in questo caso stabilire un risultato di unicitàper un problema di Cauchy-Dirichlet o di Cauchy-Neumann per l’equazione didiffusione equivale a stabilire che ogni eventuale soluzione dell’equazione omoge-nea con condizioni di Cauchy-Dirichlet o di Cauchy-Neumann nulle è la funzioneidenticamente nulla.Sia Ω ⊂ R3 un aperto connesso limitato e, per un certo T > 0, sia QT =

Ω × (0, T ). Diciamo che u ∈ C1,2 (QT ) se è C1 nel tempo e C2 nelle variabilispaziali.

Teorema 3.29 (di unicità) Supponiamo che u ∈ C1,2 (QT )∩C0(QT)∩C1

(Ω× (0, T )

)sia soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet ut −D∆u = f per x ∈ Ω, t ∈ (0, T )

u (x, t) = g (x, t) per x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )u (x, 0) = h (x) per x ∈ Ω.

o del problema di Cauchy-Neumannut −D∆u = f per x ∈ Ω, t ∈ (0, T )∂u∂ν (x, t) = g (x, t) per x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )u (x, 0) = h (x) per x ∈ Ω

o di Cauchy-Robinut −D∆u = f per x ∈ Ω, t ∈ (0, T )∂u∂ν (x, t) + ku (x, t) = g (x, t) per x ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T )u (x, 0) = h (x) per x ∈ Ω

con k > 0. Allora u è identicamente nulla in QT .

Osservazione 3.30 L’ipotesi u ∈ C1(Ω× (0, T )

)è naturale per il problema di

Cauchy-Neumann e Cauchy-Robin, ma non per il problema di Dirichlet. Anchein questo caso come per l’equazione di Laplace, mostreremo in seguito come unopportuno principio di massimo consenta di rimuovere quest’ipotesi.Si noti che la soluzione del problema di Cauchy-Neumann è unica e non,

come nel caso del problema di Neumann per il laplaciano, determinata solo ameno di costanti additive. Infatti in questo caso una funzione costante non zerosoddisfa il problema con f = 0 e g = 0, ma non con h = 0: è la condizioneiniziale a dare un controllo sulla u e non solo sulle sue derivate.

Dimostrazione. Per il principio di sovrapposizione, mostrare l’unicità peri problemi scritti equivale a mostrare che se u risolve i problemi con f, g, hnulli allora u è identicamente nulla in QT . Supponiamo quindi che u soddisfiquest’ipotesi, moltiplichiamo per u l’equazione e integriamo in QT :

0 =

∫ T

0

(∫Ω

(u · ut −D (u∆u)) (x, t) dx

)dt

=

∫Ω

(1

2

∫ T

0

d

dt

(u2 (x, t)

)dt

)dx−D

∫ T

0

(∫Ω

u∆udx

)dt

71

perciò

D

∫ T

0

(∫Ω

u∆udx

)dt =

∫Ω

(1

2

∫ T

0

d

dt

(u2 (x, t)

)dt

)dx =

1

2

∫Ω

(u2 (x, T )− u2 (x, 0)

)dx

e poiché u soddisfa condizione iniziale nulla,

D

∫ T

0

(∫Ω

u∆udx

)dt =

1

2

∫Ω

u2 (x, T ) dx

Poiché (per la prima identità di Green, v. §1.2)∫Ω

u∆udx+

∫Ω

|∇u|2 dx =

∫∂Ω

u∂u

∂νdS,

si ha ∫∂Ω

u∂u

∂νdS −

∫Ω

|∇u|2 dx =1

2

∫Ω

u2 (x, T ) dx. (3.21)

Ora, se u soddisfa condizioni di Dirichlet o di Neumann nulle si ha∫∂Ω

u∂u

∂νdS = 0

perciò

−D∫ T

0

∫Ω

|∇u|2 dxdt =1

2

∫Ω

u2 (x, T ) dx

che (per i segni dei due membri) implica che entrambi i membri sono nulli.L’annullarsi del primo membro implica che u è costante in QT , e poiché siannulla per t = 0 è identicamente nulla.

Se invece u soddisfa la condizione di Robin nulla, ∂u∂ν + ku = 0 si ha∫∂Ω

u∂u

∂νdS =

∫∂Ω

−ku2dS ≤ 0

e il primo membro nella (3.21) è ancora ≤ 0, per cui si conclude come inprecedenza.

Nello studio dei principi di massimo per un’equazione parabolica su undominio di tipo cilindrico, è importante la nozione di frontiera parabolica:

Definizione 3.31 Si dice frontiera parabolica del dominio

QT = Ω× (0, T )

per Ω ⊂ Rn dominio limitato e T ∈ (0,+∞], l’insieme

∂pQT = ∂Ω× (0, T ) ∪ Ω× 0 .

In altre parole, la frontiera parabolica di un cilindro è costituita dalla suasuperficie laterale e dalla base inferiore, ma non dalla base superiore.Veniamo ora al seguente:

72

Teorema 3.32 (Principio di massimo parabolico) Sia u ∈ C1,2 (QT )∩C0(QT)

soluzione diut −D∆u = f in QT .

Allora:i) Se f ≤ 0, u assume il suo massimo sulla frontiera parabolica di QT , cioè

maxQT

u (x, t) ≤ max∂pQT

u (x, t) .

ii) Se f ≡ 0, allora u assume il suo massimo e il suo minimo sulla frontieraparabolica di QT , e in particolare

maxQT|u (x, t)| ≤ max

∂pQT|u (x, t)| .

Il significato fisico del principio di massimo è piuttosto trasparente: se f ≤ 0,cioè il calore viene eventualmente sottratto al corpo ma mai fornito ad esso, latemperatura in ogni punto e istante non può superare quella che aveva all’inizioo ha sul suo bordo: non può esserci a un istante positivo un punto di massimostretto della temperatura, all’interno del dominio.Se poi f ≡ 0, siamo in assenza di pozzi e sorgenti di calore; il calore diffonderà

semplicemente, il che significa che nel tempo il grafico della temperatura tendea “appiattirsi”sempre più, con massimi e minimi assunti all’istante iniziale o albordo.Il diverso ruolo che hanno l’istante t = 0 e l’istante t = T nelle proprietà della

soluzione riflettono la freccia del tempo nell’interpretazione fisica del modello: ilcalore passa (al passare del tempo) dal corpo più caldo al corpo più freddo, il chedà alla variabile tempo, nell’equazione, un verso privilegiato: non c’è simmetriaquindi tra lo scorrere in avanti o all’indietro del tempo.

Dimostrazione. Il secondo punto segue dal primo (come nel caso del principiodi massimo per il laplaciano), applicando il primo punto a ±u.Per provare il primo punto, consideriamo un cilindro QT−ε (con ε > T ), in

modo che anche sulla sua base superiore Ω×T − ε la u sia regolare, e poniamo

w (x, t) = u (x, t)− εt.

Si ha:wt −D∆w = f − ε < 0 in QT .

Proviamo che questa w, che è continua in QT−ε quindi ha massimo su quest’in-sieme, assume il suo massimo sulla frontiera parabolica di QT−ε. Per assurdo,abbia un massimo in

(x0, t0) ∈ Ω× (0, T − ε].In questo punto di massimo risulta certamente ∆w (x0, t0) ≤ 0 (come visto nelladimostrazione del principio di massimo per il laplaciano; è qui che ci serve il fattodi essere su un cilindro più corto QT−ε; altrimenti, nel caso fosse t0 = T nonpotremmo garantire l’esistenza di ∆w (x0, t0)). Quanto al valore di wt (x0, t0),

73

dobbiamo distinguere due casi. Se t0 < T −ε allora il massimo è interno a QT−εe per il teorema di Fermat wt (x0, t0) = 0. Se invece t0 = T − ε la derivata puònon essere nulla ma (ragionare sulla geometria del dominio: il punto (x0, t0) stasulla base superiore del cilindro) wt (x0, t0) ≥ 0. In ogni caso si avrebbe

(wt −D∆w) (x0, t0) ≥ 0,

contro il fatto che già sappiamo che wt −D∆w < 0 in QT .Abbiamo quindi provato che

maxQT−ε

w ≤ max∂pQT−ε

w

quindi (maxQT−ε

u

)− εT ≤ max

QT−ε

(u− εt) = maxQT−ε

w ≤ max∂pQT−ε

u

e per ε→ 0 (essendo u ∈ C0(QT)) si ha

maxQT

u ≤ max∂pQT

u.

Osservazione 3.33 Come preannunciato, il principio di massimo migliora l’e-nunciato del teorema di unicità per il problema di Cauchy-Dirichlet: la soluzioneè unica nella classe naturale C1,2 (QT ) ∩ C0

(QT)e non solo in quella, più

ristretta, C1,2 (QT ) ∩ C0(QT)∩ C1

(Ω× (0, T )

)in cui l’abbiamo inizialmente

dimostrata.

Il principio di massimo consente di provare una stima di stabilità per ilproblema di Cauchy-Dirichlet su un dominio cilindrico:

Corollario 3.34 Sia QT = Ω× (0, T ) con Ω ⊂ Rn dominio limitato e T > 0, esia u ∈ C1,2 (QT ) ∩ C0

(QT)soluzione diut −D∆u = f in QTu = g su ∂Ω× (0, T )u (x, 0) = h (x) in Ω.

Allora

maxQT

|u| ≤ max∂Ω×(0,T )

|g|+ maxΩ|h|+ R2

2nDmaxQT

|f |

dove R > 0 è un numero per cui si ha Ω ⊂ BR (0) .

Dimostrazione. Sia

w (x, t) = u (x, t) +|x|2

2nDmaxQT

|f | .

74

Allora

wt −D∆w = ut −D∆u−DmaxQT

|f | ·∆(|x|2

2nD

)= f −max

QT

|f | ≤ 0 in QT ,

quindi per il principio di massimo parabolico si ha

maxQT

w ≤ max∂pQT

w

e quindi

maxQT

u ≤ maxQT

w ≤ max∂pQT

w ≤ max∂pQT

u+ max∂pQT

|x|2

2nDmaxQT

|f |

≤ max∂pQT

u+R2

2nDmaxQT

|f | .

Ora si applica lo stesso argomento a −u e si conclude che

maxQT|u| ≤ max

∂pQT|u|+ R2

2nDmaxQT

|f |

≤ max∂Ω×(0,T )

|g|+ maxΩ|h|+ R2

2nDmaxQT

|f | .

3.3.2 Equazione di diffusione sul segmento

Consideriamo una sbarra omogenea, rappresentata dal segmento [0, L], la cuitemperatura al punto x e all’istante t è u (x, t). Se la temperatura iniziale ha unprofilo noto u0 (x), la sbarra è termicamente isolata sulla sua superficie laterale,non ci sono sorgenti o pozzi di calore interni, e la temperatura agli estremiè tenuta costante uguale a zero, ci aspettiamo che la temperatura nel temporaggiungerà ovunque la temperatura costante zero. Studiamo come avviene neltempo questo fenomeno. Come abbiamo visto nel § 2.2.1, in questo caso usoddisfa l’equazione del calore omogenea ut = cuxx per 0 < x < L, t > 0

u (0, t) = u (L, t) = 0u (x, 0) = u0 (x)

(3.22)

(dove c > 0, costante, è il coeffi ciente di diffusione19) che abbiamo accompagnatocon le condizioni ai limiti e iniziali (problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazionedel calore omogenea unidimensionale).

19 in precedenza indicato con D.

75

Veniamo ora alla soluzione effettiva di questo problema. Il metodo di sep-arazione delle variabili è ancora applicabile. Cerchiamo soluzioni a variabiliseparate:

U (x, t) = X (x)T (t) .

Sostituendo nell’equazione differenziale si ha:

X (x)T ′ (t) = cX ′′ (x)T (t)

X ′′ (x)

X (x)=T ′ (t)

cT (t).

Questa uguaglianza dev’essere identicamente verificata per 0 < x < L, t > 0.D’altro canto il primo membro è una funzione della sola x, il secondo membroè una funzione della sola t, quindi l’unica possibilità perché l’identità sussista èche ciascun membro sia costante. Si ha quindi, per qualche λ ∈ R,

X ′′ (x)

X (x)= λ per 0 < x < L

T ′ (t)

cT (t)= λ per t > 0. (3.23)

Ricordiamo ora che devono valere le condizioni ai contorno u (0, t) = u (L, t) = 0che si traducono in X (0) = X (L) = 0. Dunque l’equazione in X e quella in Tassumono un ruolo asimmetrico, perché la prima (e solo la prima) è corredatadi condizioni al contorno:

X ′′ (x) = λX (x) per 0 < x < LX (0) = X (L) = 0.

(3.24)

Con ciò abbiamo ottenuto un problema agli autovalori per l’operatore differen-ziale d2

dx2 : si cercano numeri λ ∈ R (autovalori) e soluzioni X (x) non identica-mente nulle (autofunzioni) del problema (3.24). Si rifletta sul fatto che per ogniλ possiamo scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale, dipendenteda due costanti arbitrarie, ma non per ogni λ è possibile determinare le costantidi integrazione in modo da soddisfare le condizioni nulle agli estremi:se λ = 0, X (x) = c1x+ c2 si annulla in x = 0, x = L solo per c1 = c2 = 0;

se λ > 0, X (x) = c1e√λx + c2e

−√λx si annulla in x = 0, x = L solo per

c1 = c2 = 0;se λ < 0, X (x) = c1 cos

(√−λx

)+ c2 sin

(√−λx

)si annulla in x = 0, x = L

per c1 = 0 e per qualsiasi c2 purché sia sin(√−λL

)= 0, cioè λ = −n2π2L2 , con

n = 1, 2, 3, ...Abbiamo dunque ricavato autovalori e autofunzioni del problema (3.24):

λ = −n2π2

L2, Xn (x) = cn sin

(nπxL

), per n = 1, 2, 3, ...

76

(cn costante arbitraria). Possiamo ora risolvere l’equazione (3.23) per questivalori di λ:

T ′ (t) = −n2π2c

L2T (t)

Tn (t) = cne−n2π2c

L2t

e in definitiva le soluzioni a variabili separate dell’equazione a derivate parzialie delle condizioni al contorno:

un (x, t) = Xn (x)Tn (t) = cn sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t.

Nessuna di queste soluzioni in generale soddisferà anche la condizione iniziale,perché un (x, 0) = cn sin (nπx). L’idea allora è la seguente: essendo l’equazionedifferenziale lineare e omogenea, con condizioni agli estremi omogenee, ognicombinazione lineare finita delle un soddisferà ancora equazione e condizionial contorno. Possiamo cercare una serie infinita di queste soluzioni che perun’opportuna scelta dei coeffi cienti cn converga ed assuma anche la condizioneiniziale. Scriviamo dunque

u (x, t) =

∞∑n=1

cn sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t (3.25)

e imponiamo la condizione iniziale:

u (x, 0) =

∞∑n=1

cn sin(nπxL

)= u0 (x) per 0 < x < L

Si tratta dunque di scegliere i coeffi cienti cn come i coeffi cienti di Fourier dellosviluppo di u0 in serie di soli seni in (0, L). Ricapitoliamo come si fa.1. Considerata u0 (x) definita in [0, L], si definisce u0 : [−L,L]→ R ottenuta

da u prolungandola in [−L, 0] in modo che risulti una funzione dispari:

u0 (x) =

u0 (x) per x ∈ [0, L]−u0 (−x) per x ∈ [−L, 0] .

Notiamo che se u0 è continua in [0, L] e u0 (0) = u0 (L) = 0 (ipotesi ragionevolevisto che questa è la temperatura iniziale, e noi vogliamo che a tutti gli istantit > 0 la temperatura sia nulla agli estremi), la u0 sarà continua in [−L,L] esoddsferà la condizione di raccordo u0 (−L) = u0 (L) (= 0).2. Ora scriviamo lo sviluppo di Fourier di u0 (x) in [−L,L]; il sistema

trigonometrico adattato a quest’intervallo ècos(nπxL

), sin

(nπxL

),

d’altro canto u0 (x) è una funzione dispari, quindi avrà coeffi cienti an nulli e

bn =1

L

∫ L

−Lu0 (x) sin

(nπxL

)dx =

2

L

∫ L

0

u0 (x) sin(nπxL

)dx.

77

Poiché d’altro canto in [0, L] è u0 (x) = u0 (x), si avrà (supponendo anche u0

regolare a tratti)

u0 (x) =

∞∑n=1

bn sin(nπxL

)per x ∈ [0, L] , con

bn =2

L

∫ L

0

u0 (y) sin(nπyL

)dy.

Se quindi nella (3.25) scegliamo i coeffi cienti cn uguali a questi coeffi cientibn dovremmo avere una soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet. Al solito,si tratta ora di provare che sotto opportune ipotesi su u0 il tutto è rigoroso.

Discussione delle proprietà della soluzione ottenutaVedremo che la situazione in questo caso ha forti analogie con quanto accadeper il problema di Dirichlet per il laplaciano sul cerchio.Infatti, notiamo anzitutto che∣∣∣sin(nπx

L

)e−

n2π2cL2

t∣∣∣ ≤ e−n2π2cL2

t,

dove l’ultima espressione scritta, per qualunque t > 0 (fissato) e per ogni x ∈[0, L] tende a zero esponenzialmente al tendere di n a infinito. Perciò, nonappena la successione cn dei coeffi cienti è limitata (il che accade non appenau0 è integrabile in [0, L]), non solo la serie (3.25) converge, ma anche la sua seriederivata rispetto a x o t (qualunque numero di volte) continua a convergere.Più precisamente:1. Se la successione cn dei coeffi cienti è limitata, allora in ogni dominio

Qt0 = (x, t) : x ∈ [0, L] , t ≥ t0

(per t0 > 0 fissato), la serie che assegna u e quelle che si ottengono da questaderivando un numero qualsiasi di volte rispetto a t o a x risultano convergentitotalmente e quindi uniformemente. In particolare, la serie rappresenta unafunzione u che è derivabile infinite volte in ogni insieme Qt0 e quindi in definitivaper ogni t > 0. Non è, finora, garantita, la regolarità della soluzione fino a t = 0.In altre parole, la funzione rappresentata dalla (3.25) è infinitamente derivabileper t > 0. L’equazione del calore, dunque, è fortemente regolarizzante, comel’equazione di Laplace.2. Poiché le derivate di u si possono calcolare derivando la serie termine

a termine, e poiché ogni termine della serie soddisfa l’equazione differenziale(proprio per come è stata ottenuta: è una soluzione a variabili separate), anchela u rappresentata dalla (3.25) soddisfa l’equazione differenziale.3. Poiché, per il punto 1, in particolare, la funzione u è continua in Qt0 , per

x→ 0 e x→ L (e t ≥ t0 > 0) la u tende al suo valore negli estremi, che è zero:quindi le condizioni agli estremi sono assunte con continuità, per ogni t > 0.4. Chiediamoci ora in che senso è assunto il dato iniziale. Anche in questo

caso si può distinguere il quadro “classico”da quello L2. Proviamo due risultati.

78

Teorema 3.35 (condizione iniziale classica) Supponiamo che u0 soddisfidelleipotesi sotto cui la sua serie di Fourier20 converge totalmente, ad es. (v. §3.5.2),u0 ∈ C1 ([0, L]) e soddisfa la condizione di raccordo

u0 (0) = u0 (L) = 0.

Allora la u definita dalla ( 3.25) è continua in [0, L]× [0,∞), in particolare

lim(x,t)→(x0,0)

u (x, t) = u0 (x0) per ogni x0 ∈ [0, L] .

Dimostrazione. Nelle ipotesi fatte su u0, la funzione u0 (riflessa dispari di u0

su [−L,L], come sopra) soddisfa le ipotesi della convergenza totale della seriedi Fourier di u0, ossia

∞∑k=1

|ck| <∞.

Poiché d’altro canto per (x, t) ∈ [0, L]× [0,∞) si ha∣∣∣∣ck sin

(kπx

L

)e−

k2π2cL2

t

∣∣∣∣ ≤ |ck| ,la serie che assegna u (x, t) converge totalmente in [0, L] × [0,∞), quindi uni-formemente, perciò u è continua in questo dominio.

Teorema 3.36 (Condizione iniziale L2) Se u0 ∈ L2 (0, L), allora il datoiniziale è assunto in senso L2, ossia

‖u (·, t)− u0‖L2(0,L) → 0 per t→ 0+.

Dimostrazione. Sappiamo che per ogni t > 0 è

u (x, t)− u0 (x) =

∞∑n=1

cn sin(nπxL

)(e−

n2π2cL2

t − 1)

e quindi, per l’uguaglianza di Perceval,

‖u (·, t)− u0‖2L2(0,L) =

∞∑n=1

L

2c2n

(e−

n2π2cL2

t − 1)2

.

Ora ragioniamo così: poiché la serie∑∞n=1 c

2n converge, per ogni ε > 0 esiste n0

tale cheL

2

∑n>n0

c2n < ε,

20o meglio il suo sviluppo di Fourier in serie di soli seni, quindi lo sviluppo di Fourierstandard della funzione u0 riflessa dispari di u.

79

quindi

‖u (·, t)− u0‖2L2(0,L) =

n0∑n=1

L

2c2n

(e−

n2π2cL2

t − 1)2

+∑n>n0

L

2c2n

(e−

n2π2cL2

t − 1)2

≤(e−

n20π2c

L2t − 1

)2 n0∑n=1

L

2c2n +

∑n>n0

L

2c2n

≤(e−

n20π2c

L2t − 1

)2 ∞∑n=1

L

2c2n + ε

=

(e−

n20π2c

L2t − 1

)2

‖u0‖2L2(0,L) + ε.

Ora, essendo n0 e ε fissati, esiste δ > 0 tale che per 0 < t < δ risulta(e−

n20π2c

L2t − 1

)2

< ε

e quindi

‖u (·, t)− u0‖2L2(0,L) < ε(‖u0‖2L2(0,L) + 1

)per 0 < t < δ,

da cui la convergenza voluta.In particolare grazie al teorema sull’assunzione della condizione iniziale in

senso classico possiamo affermare il seguente

Teorema 3.37 Sia u0 ∈ C1 ([0, L]) soddisfacente le condizioni

u0 (0) = u0 (L) = 0.

Allora, detto Q = (0, L)× (0,∞) esiste una e una sola funzione u ∈ C1,2 (Q) ∩C0(Q)soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet ut = cuxx per 0 < x < L, t > 0

u (0, t) = u (L, t) = 0u (x, 0) = u0 (x)

in senso classico (ossia con condizioni iniziali e agli estremi assunte con conti-nuità). Questa soluzione è assegnata dalla ( 3.25) e soddisfa inoltre il principiodi massimo parabolico

max(x,t)∈Q

|u (x, t)| ≤ maxx∈[0,L]

|u0 (x)| ,

che è in questo caso una stima di dipendenza continua della soluzione dallacondizione iniziale.

80

Nucleo del calore sul segmentoConsideriamo ancora la formula di rappresentazione della soluzione e, utilizzan-do l’espressione esplicita dei coeffi cienti cn che in essa compaiono, trasformi-amola in una formula di rappresentazione integrale:

u (x, t) =

∞∑n=1

cn sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t

cn =2

L

∫ L

0

u0 (y) sin(nπyL

)dy.

Allora,

u (x, t) =∞∑n=1

2

L

(∫ L

0

u0 (y) sin(nπyL

)dy

)sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t

=

∫ L

0

u0 (y)

(2

L

∞∑n=1

sin(nπyL

)sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t

)dy

=

∫ L

0

u0 (y)K (x, y, t) dy

con

K (x, y, t) =2

L

∞∑n=1

sin(nπyL

)sin(nπxL

)e−

n2π2cL2

t,

espressione che definisce una funzione molto regolare per ogni t > 0, ma perdesignificato per t = 0.Anche se questa serie non si può facilmente sommare (ottenendo un’espres-

sione più esplicita del nucleoK), utilizzando quest’espressione è ancora possibile,analogamente a quanto accade per il nucleo di Poisson sul cerchio (v. § 5.1.3)dimostrare il seguente risultato:

Teorema 3.38 Supponiamo che la funzione u0 sia continua in [0, L] e soddisfila condizione u0 (0) = u0 (L) = 0. Allora la soluzione u (x, t) definita comesopra assume con continuità la condizione iniziale, ossia:

lim(x,t)→(x0,0)

u (x, t) = u0 (x0) per ogni x0 ∈ [0, L] .

(Se u0 non soddisfa la condizione u0 (0) = u0 (L) = 0 la conclusione precedentevale comunque per ogni x0 ∈ (0, L)). Pertanto, il problema di Cauchy-Dirichlet(3.22) può essere risolto in senso classico per ogni dato iniziale continuo.

Per la dimostrazione, si rimanda a [Weinberger, pp.108-110].

Esercizio 3.39 Risolvere per separazione di variabili il problema di Cauchy-Neumann ut = cuxx per 0 < x < L, t > 0

ux (0, t) = ux (L, t) = 0u (x, 0) = u0 (x) .

81

Significato fisico: una sbarra è termicamente isolata, priva di sorgenti o pozzi dicalore interni, ed è nota la temperatura iniziale. Studiare l’andamento nel tempo(ci aspettiamo che la temperatura tenda a una costante non zero). Discuterequindi la validità della formula risolutiva trovata, analogamente a quanto fattonel caso di Cauchy-Dirichlet.

L’equazione del calore retrograda. Un esempio di problema mal postoLe funzioni

un (x, t) =1

nsin(nπxL

)en2π2cL2

t

(per n = 1, 2, 3, ...) soddisfano i problemi di Cauchy-Dirichlet

(Pn) :

ut + cuxx = 0 per 0 < x < L, t > 0u (0, t) = u (L, t) = 0u (x, 0) = 1

n sin(nπxL

)(cioè: per ogni n, un soddisfa (Pn)). Si osservi che abbiamo cambiato il segnodavanti al termine cuxx, rispetto all’equazione del calore. Quest’equazione sichiama equazione del calore retrograda, o all’indietro, o backward. Notiamo laparticolarità di questa situazione: per una stessa equazione differenziale, concondizioni agli estremi nulli, abbiamo una successione di condizioni iniziali

vn (x) =1

nsin(nπxL

)che tende uniformemente a zero in [0, L]. Invece la famiglia delle corrispondentisoluzioni un, per (x, t) fissati non tende affatto a zero, ma oscilla con ampiezzaillimitata, in quanto

1

nen2π2cL2

t →∞ per n→ 0 e t > 0.

I grafici delle soluzioni un(x, t)per n = 1, 2, 3.Come si vede, per t = 0(condizione iniziale) il grafico è via via più piccolo, mentre per t > 0oscilla sempre più al crescere di n: la soluzione è instabile rispetto ai dati.

82

Il problema è quindi mal posto, in quanto viene a cadere la dipendenzacontinua della soluzione dalla condizione iniziale. Intepretazione fisica: è un’e-quazione del calore retrograda, quindi il problema con condizione iniziale as-segnata equivale a un problema con condizione finale assegnata per l’equazionestandard del calore. La morale è che, nello studio della diffusione del calore,dallo stato presente del sistema non si può risalire con precisione al suo pas-sato. L’evoluzione del sistema “liscia”rapidamente le eventuali oscillazioni del-la condizione iniziale, cancellando le informazioni, che non si riescono più aricostruire.

3.4 L’equazione della corda vibrante

3.4.1 La corda vibrante fissata agli estremi

Come abbiamo visto nel §2.3.1, una corda elastica omogenea fissata ai due es-tremi, pizzicata in modo da eseguire piccole oscillazioni rispetto all’equilibrio, esoggetta eventualmente a una forza di carico f , soddisfa l’equazione differenziale

utt − c2uxx = f

dove u (x, t) rappresenta l’altezza al tempo t del punto della corda che a riposo sitrova nel punto x, e c è una costante positiva con le dimensioni di una velocità;precisamente,

c2 =τ0ρ0

dove τ0 è la tensione della corda a riposo e ρ0 la densità della corda a riposo,supposte entrambe costanti.Se la corda è fissata agli estremi e sono note la sua configurazione iniziale

u0 (x) e la sua velocità iniziale v0 (x), la u (x, t) soddisferà il problema di Cauchy-Dirichlet:

utt − c2uxx = f per 0 < x < L, t > 0u (0, t) = u (L, t) = 0 per t > 0u (x, 0) = u0 (x) per 0 < x < Lut (x, 0) = v0 (x) per 0 < x < L.

(3.26)

Invece delle condizioni di Dirichlet u (0, t) = u (L, t) = 0 si potrebberoassegnare condizioni di Neumann omogenee

ux (0, t) = ux (L, t) = 0,

il cui significato fisico è: ciascun estremo della corda non è fisso, ma può scorrereverticalmente senza attrito su una guida verticale. Cominciamo a stabilire unrisultato di unicità, poi affronteremo la risoluzione del problema.

Energia e risultati di unicitàCalcoliamo l’energia meccanica totale della corda al tempo t nelle ipotesi prece-denti.

83

Per l’energia cinetica si ha:

Ecin =1

2

∫ L

0

u2tdm =

1

2

∫ L

0

ρ0u2tdx.

Per l’energia potenziale dovuta alle forze di tensione, iniziamo a considerareil contributo di un tratto di lunghezza ∆x. L’allungamento di questo trattoquando non è a riposo sarà:∫ x+∆x

x

√1 + u2

xdx−∆x =

∫ x+∆x

x

(√1 + u2

x − 1)dx '

∫ x+∆x

x

1

2u2xdx '

1

2u2x∆x

e il lavoro elementare delle forze elastiche per produrre questo allungamentosarà

dW = τ01

2u2x∆x.

L’energia potenziale totale è l’integrale di questo lavoro elementare su tutto ilsegmento di corda, quindi

Epot =1

2

∫ L

0

τ0u2xdx

e in definitiva l’energia totale all’istante t è

E (t) =1

2

∫ L

0

ρ0u2tdx+

1

2

∫ L

0

ρ0u2xdx =

1

2

∫ L

0

(ρ0u

2t + τ0u

2x

)dx. (3.27)

Calcoliamo ora la variazione di energia nel tempo. Derivando sotto il segnodi integrale si ha (sempre supponendo ρ0, τ0 costanti)

E′ (t) =

∫ L

0

(ρ0ututt + τ0uxuxt) dx.

Integriamo per parti il secondo addendo:∫ L

0

τ0uxuxtdx = τ0 [ux (L, t)ut (L, t)− ux (0, t)ut (0, t)]−∫ L

0

τ0uxxutdx

perciò, usando anche l’equazione differenziale soddisfatta da u,

E′ (t) = τ0 [ux (L, t)ut (L, t)− ux (0, t)ut (0, t)] +

∫ L

0

(ρ0utt − τ0uxx)utdx

= τ0 [ux (L, t)ut (L, t)− ux (0, t)ut (0, t)] +

∫ L

0

(ρ0f)utdx (3.28)

La relazione trovata permette ora di dimostrare facilmente il seguente

Teorema 3.40 (di unicità) Il problema di Cauchy-Dirichlet (3.26), o l’anal-ogo problema di Cauchy-Neumann, ha al più una soluzione regolare.

84

Dimostrazione. Come già sappiamo, provare l’unicità significa, per la linearitàdel problema, provare che l’analogo problema con termine noto f = 0 e con-dizioni iniziali u0, v0 = 0 ha solo la soluzione identicamente nulla. Applichiamoa questa situazione la relazione (3.28). Poiché f = 0 avremo

E′ (t) = τ0 [ux (L, t)ut (L, t)− ux (0, t)ut (0, t)] .

Ora nel caso del problema di Neumann si ha ux (0, t) = ux (L, t) = 0 e quindiE′ (t) = 0; nel caso del problema di Dirichlet, dal fatto che u (0, t) = u (L, t) = 0per ogni t > 0 deduciamo anche, derivando rispetto a t, che ut (0, t) = ut (L, t) =0, quindi ancora E′ (t) = 0.In ogni caso quindi l’energia totale è costante, quindi per ogni t > 0 è:

E (t) = E (0) =1

2

∫ L

0

(ρ0u

2t (x, 0) + τ0u

2x (x, 0)

)dx

=1

2

∫ L

0

(ρ0v

20 (x) + τ0 (u0)

2x (x)

)dx = 0,

cioè l’energia è identicamente nulla, ossia per ogni t > 0∫ L

0

(ρ0u

2t + τ0u

2x

)dx = 0.

Questo implica che per ogni t è ux (x, t) ≡ 0, quindi u (·, t) costante, ed essendonulla agli estremi, u (x, t) ≡ 0.

Risoluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione omoge-neaConsideriamo ora il problema (con termine noto nullo)

utt − c2uxx = 0 per 0 < x < L, t > 0u (0, t) = u (L, t) = 0 per t > 0u (x, 0) = u0 (x) per 0 < x < Lut (x, 0) = v0 (x) per 0 < x < L.

(3.29)

Anche questo si può affrontare per separazione delle variabili: si cerca

u (x, t) = X (x)T (t)

e questo con un ragionamento analogo ai precedenti porta come sottoproblemi:X ′′ (x) = λX (x) per 0 < x < LX (0) = X (L) = 0

(dove si è già tenuto conto delle condizioni agli estremi), e

T ′′ (t) = c2λT (t) .

85

Il primo problema è lo stesso che abbiamo incontrato risolvendo l’equazione delcalore sulla sbarra, perciò avrà le stesse soluzioni:

Xn (x) = sin(nπxL

)λn = −

(nπL

)2

.

Sostituendo λ = λn nell’equazione in t si ha

T ′′ (t) = −(nπL

)2

c2T (t)

e quindi

Tn (t) = an cos

(nπct

L

)+ bn sin

(nπct

L

).

Le soluzioni a variabili separate sono perciò

un (x, t) = sin(nπxL

)[an cos

(nπct

L

)+ bn sin

(nπct

L

)].

Ciascuna di queste un soddisfa l’equazione differenziale e le condizioni agliestremi, ma non, in generale, le condizioni iniziali.Per soddisfare le condizioni iniziali cerchiamo una u (x, t) data dalla serie

(combinazione lineare) delle infinite un:

u (x, t) =

∞∑n=1

sin(nπxL

)[an cos

(nπct

L

)+ bn sin

(nπct

L

)]. (3.30)

Imponendo la condizione u (x, 0) = u0 (x) si ha

u0 (x) =

∞∑n=1

an sin(nπxL

)ossia i coeffi cienti an devono essere quelli che danno lo sviluppo di Fourier inserie di soli seni della funzione u0 sull’intervallo [0, L], ossia (come già visto nelcaso del calore)

an =2

L

∫ L

0

u0 (y) sin(nπyL

)dy. (3.31)

Per imporre la condizione iniziale sulla derivata ut calcoliamo prima (derivan-do formalmente termine a termine la serie)

∂u (x, t)

∂t=

∞∑n=1

sin(nπxL

) ∂

∂t

[an cos

(nπct

L

)+ bn sin

(nπct

L

)]

=

∞∑n=1

sin(nπxL

)[−an

(nπcL

)sin

(nπct

L

)+ bn

(nπcL

)cos

(nπct

L

)]

86

quindi∂u (x, 0)

∂t=

∞∑n=1

bn

(nπcL

)sin(nπxL

)= v0 (x)

quindi l’ultima serie scritta dev’essere lo sviluppo in serie di soli seni del datov0 (x) , da cui

bn

(nπcL

)=

2

L

∫ L

0

v0 (y) sin(nπyL

)dy,

e in definitiva

bn =2

nπc

∫ L

0

v0 (y) sin(nπyL

)dy. (3.32)

Perciò: la funzione (3.30), con i coeffi cienti an, bn assegnati dalle (3.31)(3.32), rappresenta la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet (3.26).

Discussione delle proprietà della soluzione ottenutaTutto ciò è per ora puramente formale: occorre capire sotto quali condizionila serie (3.31) converge ed è derivabile termine a termine quanto occorre perverificare che soddisfa l’equazione differenziale. Le funzioni di t che compaiononella serie, cos

(nπctL

), a differenza dell’esempio dell’equazione del calore, (in cui

erano gli esponenziali rapidamente decrescenti exp(−(n2π2ct

)/L2

)) in questo

caso non aiutano la convergenza della serie stessa per t > 0. Precisamente:poiché derivando due volte rispetto a x o rispetto a t compare un coeffi cienten2, se vogliamo che la serie delle derivate seconde converga uniformemente, equindi la derivazione termine a termine sia lecita, dobbiamo assicurarci che sia

∞∑n=1

n2 (|an|+ |bn|) <∞.

Questo, in base ai risultati sulla velocità a zero dei coeffi cienti di Fourier discussinel § 3.5.2 (Teorema 3.6), si traduce nelle seguenti richieste sui dati iniziali:

u0 ∈ C3 (0, L) , con u0 (0) = u0 (L), u′0 (0) = u′0 (L), u′′0 (0) = u′′0 (L);v0 ∈ C2 (0, L) , con v0 (0) = v0 (L), v′0 (0) = v′0 (L).Si osservi che i coeffi cienti bn sono i coeffi cienti di Fourier di v0 divisi per

n; questa è la ragione per cui le richieste su v0 sono meno forti (di un grado diderivabilità) rispetto a quelle per u0.Sotto queste ipotesi in particolare le serie che assegnano sia u che ut sono

uniformemente convergenti per t ≥ 0, quindi le condizioni iniziali sono assuntecon continuità.L’analisi precedente mostra che, a differenza dell’equazione del calore e di

Laplace, l’equazione delle onde non è regolarizzante: la soluzione per t > 0 nondiventa automaticamente molto regolare (all’interno del dominio cilindrico) in-dipendentemente dalla regolarità dei dati iniziali (come accadeva per l’equazionedel calore o -sostituendo “dato iniziale” con “dato al bordo”- per l’equazionedi Laplace). Questo si può interpretare dicendo che l’equazione “non ci regala

87

nulla”: se vogliamo che sia C2 per t > 0, dovrà essere C2 anche per t = 0, il chesignifica che le ipotesi minime sotto cui possiamo sperare ci sia soluzione sono:

u0 ∈ C2 (0, L) e v0 ∈ C1 (0, L) (perché v0 è una derivata di u). Rispettoa queste ipotesi, quelle che abbiamo dovuto fare sono più pesanti, richiedendosostanzialmente un grado di derivabilità in più rispetto a ciò che ci si poteva as-pettare. Evidentemente la strada degli sviluppi di Fourier non è quella miglioreper ottenere sotto ipotesi minime un risultato di esistenza per il problema diCauchy-Dirichlet. E’comunque significativo il fatto che il procedimento prece-dente, sia pur sotto ipotesi un po’forti, si possa rendere totalmente rigoroso.Abbiamo infatti dimostrato il seguente

Teorema 3.41 Supponiamo assegnate le funzioni u0, v0 soddisfacenti le con-dizioni:

u0 ∈ C3 (0, L) , con u0 (0) = u0 (L), u′0 (0) = u′0 (L), u′′0 (0) = u′′0 (L);v0 ∈ C2 (0, L) , con v0 (0) = v0 (L), v′0 (0) = v′0 (L).Allora esiste una e una sola u (x, t) ∈ C2 ([0, L]× [0,+∞)) soluzione del

problema (3.29).

Discussione delle proprietà della soluzioni stazionarieCi interessa ora esaminare le proprietà delle singole funzioni un (x, t). Ognunadi esse rappresenta un possibile moto di vibrazione della corda, particolarmentesemplice, detta vibrazione stazionaria: ogni punto della corda descrive un motoperiodico (nel tempo) di tipo armonico, avente

pulsazione nπcL

periodo 2Lnc

frequenza n c2L

in particolare la frequenza di un è n volte la frequenza di u1, detta frequenzafondamentale di vibrazione della corda. Immaginiamo che la corda vibrante siauna corda di chitarra. Dal punto di vista musicale, la frequenza fondamentaledi vibrazione della corda rappresenta l’altezza della nota che noi percepiamo; lefrequenze doppia, tripla, ecc. rappresentano le armoniche superiori, e un si diceperciò n-esima armonica. Se ad esempio la frequenza fondamentale rappresentala nota do di una certa ottava che chiamiamo convenzionalmente ottava 1, learmoniche successive rappresenteranno:

n = 1 2 3 4 5 6 7 8do1 do2 sol2 do3 mi3 sol3 sib3 do4

(dove l’indice indica l’ottava), e così via. In particolare: ogni raddoppio difrequenza equivale a un salto di ottava. Assegnata una condizione iniziale, ilmoto reale della corda è sovrapposizione di un numero teoricamente infinitodi vibrazioni stazionarie, ma (poiché i coeffi cienti di Fourier tendono a zero) è

88

ben approssimata dalla somma di un numero finito di vibrazioni stazionarie.Questo significa che una corda pizzicata vibra emettendo un suono dato da unacerta frequenza fondamentale, che però è arricchito dalla presenza di un certonumero di armoniche successive (generalmente di ampiezza molto inferiore), checompelssivamente formano quello che chiamiamo il timbro di quel suono, o diquello strumento musicale. Torniamo ad una singola vibrazione stazionaria. Adogni istante la funzione un (x, t) ha un grafico che è multiplo di

un (x, 0) = sin(nπxL

)quindi ha la stessa “forma”di questo grafico: la corda vibra “su e giù”mante-nendo immobili in ogni istante i punti in cui un (x, 0) = 0, cioè i due estremi,più (n− 1) nodi interni. Ad esempio, per n = 3 le vibrazioni hanno la forma:

con due nodi interni, oltre ai due estremi fissati. In generale, un ha (n− 1) nodiinterni, e (n+ 1) nodi complessivi (considerando anche gli estremi).Come vedremo più avanti, alcune caratteristiche fisiche del moto della corda

vibrante si ritrovano per le membrane vibranti (cioè in dimensione due) mentrealtre sono differenti.

Esercizio 3.42 Si risolva, analogamente a quanto fatto per la corda vibrantefissata agli estremi, il caso della corda che vibra soggetta ad attrito:

utt − c2uxx + aut = 0 per 0 < x < L, t > 0u (0, t) = u (L, t) = 0 per t > 0u (x, 0) = u0 (x) per 0 < x < Lut (x, 0) = 0 per 0 < x < L.

per qualche a > 0 (costante, per semplicità; abbiamo anche supposto, per sem-plicità, la velocità iniziale nulla). Ci aspettiamo vibrazioni smorzate nel tempo.Per la trattazione, v. [Weinberger] pp.112-4.

89

3.4.2 La corda vibrante illimitata

Consideriamo ora l’equazione della corda vibrante su tutto R, ossia una “cordavibrante illimitata”. E’ovviamente un’idealizzazione matematica, ma è inter-essante perché il problema viene da un certo punto di vista semplificato, per-mettendo di determinare direttamente l’integrale generale dell’equazione (cosaabbastanza unica, tra le equazioni a derivate parziali) e imporre solo dopo le con-dizioni iniziali; il tutto, anzi, si riesce a fare anche per l’equazione non omogenea(cioè in presenza di una forza esterna di carico che agisce sulla corda), caso chefinora non avevamo trattato. La formula trovata, dovuta a D’Alembert, intornoal 1750, mette in evidenza alcune caratteristiche importanti dell’equazione dellacorda vibrante (e più in generale, dell’equazione delle onde anche in dimensionemaggiore) che la soluzione per separazione di variabili nascondeva un po’. Ilproblema è quindi: utt − c2uxx = f per x ∈ R, t > 0

u (x, 0) = u0 (x) per x ∈ Rut (x, 0) = v0 (x) per x ∈ R.

(3.33)

La formula di D’Alembert per l’equazione omogenea. Buona po-sizione del problema di Cauchy-DirichletTrattiamo prima il caso omogeneo:

utt − c2uxx = 0

con c costante. Si consideri ora la trasformazione di coordinate nel piano:α = x+ ctβ = x− ct.

Vogliamo esprimere in funzione di α, β gli operatori differenziali ∂x, ∂t, ∂xx, ∂tte riscrivere quindi l’equazione della corda vibrante rispetto alle variabili α, β.Per il teorema di differenziazione delle funzioni composte si ha:

ux = uα ·∂α

∂x+ uβ ·

∂β

∂x= uα + uβ

ut = uα ·∂α

∂t+ uβ ·

∂β

∂x= cuα − cuβ

uxx =∂

∂x(uα + uβ) = (

∂α+

∂β)(uα + uβ) = uαα + 2uαβ + uββ

utt =∂

∂t(cuα − cuβ) = c2(

∂α− ∂

∂β)(uα − uβ) = c2(uαα − 2uαβ + uββ).

Di conseguenza:

utt − c2uxx = c2(uαα − 2uαβ + uββ)− c2(uαα + 2uαβ + uββ) = −4uαβ .

90

Perciò l’equazione della corda vibrante nelle nuove variabili α, β si scrive:

uαβ = 0.

Quest’equazione può essere risolta facilmente. Infatti

∂α

(∂u

∂β

)= 0

significa che ∂u∂β non dipende da α, cioè è una funzione di β soltanto:

∂u

∂β= f1(β)

con f1 funzione arbitraria. Integrando rispetto a β si trova:

u = f(β) + g(α)

dove f(β) è una primitiva di f1(β) (perciò, essendo f1 arbitraria, è una funzionearbitraria) e g(α) è la “costante di integrazione”, che non dipende da β, perciòè funzione (arbitraria) di α. Sostituendo infine ad α, β le loro espressioni infunzione di x, t si trova:

u(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct).

Questa rappresenta l’integrale generale dell’equazione della corda vibrante, conf, g arbitrarie funzioni di una sola variabile, due volte derivabili. La u cosìottenuta è dunque la sovrapposizione di due onde che viaggiano a velocità c inversi opposti, un’onda progressiva e un’onda regressiva.Imponiamo ora le condizioni iniziali:

u0 (x) = u (x, 0) = f(x) + g(x)

v0 (x) = ut (x, 0) = −cf ′(x) + cg′(x).

Quello che abbiamo ottenuto si può vedere come un sistema di due equazioniin due funzioni incognite, f, g, che però solo nella seconda equazione compaionoderivate. Se deriviamo anche la prima equazione otteniamo un sistema linearedi due equazioni in due incognite:

f ′(x) + g′(x) = u′0 (x)

−f ′(x) + g′(x) = v0(x)c

che si risolve subito in f ′, g′:

f ′ (x) =1

2

(u′0 (x)− v0 (x)

c

)g′ (x) =

1

2

(u′0 (x) +

v0 (x)

c

)

91

da cui per integrazione

f (x) =1

2

(u0 (x)− 1

c

∫ x

0

v0 (s) ds

)+ c1

g (x) =1

2

(u0 (x) +

1

c

∫ x

0

v0 (s) ds

)+ c2

e quindi

u(x, t) = f(x− ct) + g(x+ ct).

=1

2

(u0 (x− ct)− 1

c

∫ x−ct

0

v0 (s) ds

)+ c1 +

1

2

(u0 (x+ ct) +

1

c

∫ x+ct

0

v0 (s) ds

)+ c2

=1

2(u0 (x+ ct) + u0 (x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctv0 (s) ds+ c.

La costante c, somma delle due costanti arbitrarie, si elimina risostituendo t = 0nell’identità precedente, che diventa

u (x, 0) = u0 (x) + c,

dunque c = 0 e la soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet è:

u(x, t) =1

2(u0 (x+ ct) + u0 (x− ct)) +

1

2c

∫ x+ct

x−ctv0 (s) ds, (3.34)

nota come formula di D’Alembert.Non deve sfuggire la particolarità di questo procedimento rispetto a quel-

li seguiti fin qui per altri problemi: senza bisogno di alcuna teoria-quadropreesistente (ad esempio, un teorema di unicità), lavorando direttamente sull’e-quazione differenziale abbiamo determinato che ogni eventuale soluzione ha ef-fettivamente questa forma (unicità). Infatti, a differenza dei metodi di soluzioneper separazione delle variabili, qui non abbiamo supposto a priori che la uavesse una particolare forma. D’altro canto sotto ipotesi ragionevoli sui datiiniziali la formula (3.34) fornisce effettivamente la soluzione del problema diCauchy-Dirichlet; abbiamo cioè il seguente:

Teorema 3.43 Per ogni u0 ∈ C2 (R) e v0 ∈ C1 (R) la funzione u (x, t) asseg-nata da (3.34) è soluzione (unica) del problema (3.33) con f = 0. Vale inoltrela seguente stima di dipendenza continua (per tempi finiti): per ogni T > 0 siha:

maxx∈R,t∈[0,T ]

|u (x, t)| ≤ maxy∈R|u0 (y)|+ T ·max

y∈R|v0 (y)|

Dimostrazione. E’immediato verificare che se u0 ∈ C2 (R) e v0 ∈ C1 (R) lafunzione u (x, t) assegnata da (3.34) è C2

(R2). Vale forse solo la pena osservare

92

come si calcolano le derivate prime della funzione integrale che compare in (3.34):

∂x

(∫ x+ct

x−ctv0 (s) ds

)= v0 (x+ ct)− v0 (x− ct)

∂t

(∫ x+ct

x−ctv0 (s) ds

)= cv0 (x+ ct) + cv0 (x− ct) .

Che questa u soddisfi l’equazione differenziale e le condizioni iniziali si puòverificare, ma segue dal procedimento stesso con cui l’abbiamo determinata,così come dal procedimento seguito segue l’unicità della soluzione. Quanto allastima di dipendenza continua, dalla (3.34) possiamo maggiorare:

|u(x, t)| ≤ 1

2(|u0 (x+ ct)|+ |u0 (x− ct)|) +

1

2c

∫ x+ct

x−ct|v0 (s)| ds

≤ 1

2

(2 max

R|u0|)

+1

2cmaxR|v0| 2ct

= maxR|u0|+ tmax

R|v0|

da cui prendendo il massimo per x ∈ R, t ∈ [0, T ] si ha la tesi.Si noti che la stima di dipendenza continua controlla (uniformemente) solo

la u e non le sue derivate; inoltre vale per tempi finiti (il massimo di u per t > 0qualsiasi non è controllato).

La formula di D’Alembert per l’equazione non omogeneaIl procedimento precedente si adatta anche al caso non omogeneo

utt − c2uxx = f,

solo con qualche calcolo più pesante. Il risultato che si ottiene è:

u(x, t) =1

2(u0 (x+ ct) + u0 (x− ct)) (3.35)

+1

2c

∫ x+ct

x−ctv0 (s) ds+

1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ.

Per i passaggi si rimanda a [Weinberger], pp. 24-26.Dalla formula precedente (e dal fatto che questa sia stabilita con un proced-

imento simile a quello già visto, che quindi fornisce l’unicità della soluzione) siricava facilmente il seguente

Teorema 3.44 Per ogni u0 ∈ C2 (R), v0 ∈ C1 (R), F, ∂F∂x ∈ C0(R2)la fun-

zione u (x, t) assegnata da (3.34) è soluzione (unica) del problema (3.33). Valeinoltre la seguente stima di dipendenza continua (per tempi finiti): per ogniT > 0 si ha:

maxx∈R,t∈[0,T ]

|u (x, t)| ≤ maxy∈R|u0 (y)|+ T ·max

y∈R|v0 (y)|+ T 2 max

s∈R,τ∈[0,T ]|F (s, τ)|

93

Dimostrazione. La dimostrazione è analoga alla precedente. Mostriamo comesi calcolano le derivate della funzione integrale21 che coinvolge F , e come sistima quel termine per ottenere la stima di dipendenza continua.

∂x

(∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

)=

∫ t

0

∂x

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

=

∫ t

0

(F (x+ c (t− τ) , τ)− F (x+ c (t− τ) , τ)) dτ

∂2

∂x2

(∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

)=

∫ t

0

(∂F

∂x(x+ c (t− τ) , τ)− ∂F

∂x(x+ c (t− τ) , τ)

)dτ

∂t

(∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

)=

∫ t

0

∂t

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

= 2cF (x, t)

+

∫ t

0

(cF (x+ c (t− τ) , τ) + cF (x− c (t− τ) , τ)) dτ

∂2

∂t2

(∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

)= c2

∫ t

0

(∂F

∂x(x+ c (t− τ) , τ)− ∂F

∂x(x− c (t− τ) , τ)

)dτ

∣∣∣∣∣ 1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

F (s, τ) ds

)dτ

∣∣∣∣∣ ≤ 1

2c

∫ t

0

(∫ x+c(t−τ)

x−c(t−τ)

|F (s, τ)| ds)dτ

≤ 1

2c

∫ T

0

(∫ x+c(T−τ)

x−c(T−τ)

maxs∈R,τ∈[0,T ]

|F (s, τ)| ds)dτ

=1

2cmax

s∈R,τ∈[0,T ]|F (s, τ)| 2cT 2 = T 2 max

s∈R,τ∈[0,T ]|F (s, τ)|

3.5 Equazione delle onde in dimensione superiore

Qualche risultato generale di unicità che abbiamo dimostrato per l’equazionedella corda vibrante si estende all’equazione delle onde in dimensione spazialen > 1,

utt − c2∆u = f (3.36)

21Forse vale la pena ricordare la formula per il calcolo della derivata di una funzione integralein cui la variabile rispetto a cui si deriva compaia sia nell’integranda che negli estremi diintegrazione:

d

dx

(∫ b(x)

a(x)f (x, t) dt

)= f (x, b (x)) b′ (x)− f (x, a (x)) a′ (x)

+

∫ b(x)

a(x)

∂f

∂x(x, t) dt.

94

che si può studiare in Rn+1 o in un dominio cilindrico QT = Ω × (0, T ) conΩ ⊂ Rn dominio limitato (v. §4.3.3 per la descrizione dei problemi iniziali e alcontorno che è interessante studiare, e i loro significati fisici).

3.5.1 Energia e risultato di unicità

Anche in questo caso si può calcolare l’energia meccanica totale del sistema, cheè proporzionale a:

E (t) =1

2

∫Ω

(u2t + c2 |∇u|2

)dx.

Apriamo una parentesi. Si potrebbe obiettare: non abbiamo neppure pre-cisato se stiamo studiando l’equazione pensando a una membrana vibrante(n = 2), a onde sonore nell’aria (n = 3) o a un altro fenomeno: come pos-siamo affermare che “l’energia del sistema è data da questa espressione”? Diquale sistema fisico si parla? In realtà, come vedremo in seguito, dal punto divista del rigore del ragionamento che seguirà, questo non ha alcuna importan-za: E (t) è semplicemente una funzione matematica, lavorando sulla quale conopportuni passaggi dimostreremo un risultato di unicità per i problemi iniziali eal contorno per l’equazione delle onde. E’istruttivo però il fatto che l’intuizionefisica di quale sia una quantità rilevante per il problema in esame (in almenoqualcuna delle possibili interpretazioni fisiche) suggerisce quale sia la funzionematematica su cui lavorare.Calcoliamo ora la derivata rispetto al tempo

E′ (t) =

∫Ω

(ututt + c2∇u · ∇ut

)dx =

applicando la prima identità di Green al secondo integrale

=

∫Ω

ututtdx− c2∫

Ω

(∆u)utdx+ c2∫∂Ω

∂u

∂νutdS

=

∫Ω

utfdx+ c2∫∂Ω

∂u

∂νutdS.

Possiamo ora provare il seguente:

Teorema 3.45 Consideriamo un problema di Cauchy-Dirichlet o Neumann-Dirichlet per l’equazione (3.36) su un dominio QT = Ω × (0, T ) con Ω ⊂ Rnsuffi cientemente regolare da potervi applicare il teorema della divergenza. Lasoluzione regolare di tale problema, se esiste, è unica.

Dimostrazione. Come al solito, si tratta di provare che la soluzione di unanalogo problema con termine noto f , condizioni iniziali u (x, 0) , ut (x, 0) econdizioni al contorno tutte nulle, è identicamente nulla. Partiamo dall’identità

E′ (t) =

∫Ω

utfdx+ c2∫∂Ω

∂u

∂νutdS = 0

95

perché f = 0 e, nel secondo integrale, se il problema è di Neumann ∂u∂ν = 0

mentre se è di Dirichlet u (·, t) = 0 su ∂Ω per ogni t, da cui t-derivando è ancheut (·, t) = 0 su ∂Ω. Dunque E′ (t) = 0, quindi

E (t) = E (0) =1

2

∫Ω

(u2t (x, 0) + c2 |∇u (x, 0)|2

)dx = 0

per le condizioni iniziali nulle. Ne segue∫Ω

(u2t + c2 |∇u|2

)dx = 0 per ogni t,

da cui u =cost.= 0, con i soliti ragionamenti.

3.5.2 Onde sferiche tridimensionali

Ci occuperemo in seguito, un po’alla volta, di vari problemi ai limiti per l’e-quazione delle onde in dimensione spaziale 2 o 3. Vediamo adesso un solo ca-so particolare, perché come vedremo la sua risoluzione si riconduce a quelladell’equazione della corda vibrante illimitata, che abbiamo appena studiato.Cerchiamo di determinare le onde sferiche, cioè le soluzioni dell’equazione

delle onde in 3 dimensioni spaziali, in tutto lo spazio, aventi simmetria radiale.Per mettere meglio in evidenza la particolarità del caso tridimensionale, iniziamoil nostro discorso in dimensione spaziale n qualsiasi. E’noto che se u (x) = f (|x|)è una funzione radiale,

∆u (x) = f ′′ (ρ) +(n− 1)

ρf ′ (ρ) ,

quindi per un’onda radialeu (x, t) = w (ρ, t)

si ha

wtt − c2(wρρ +

(n− 1)

ρwρ

)= 0

che si può riscrivere

ρ2wtt − c2(ρ2wρρ + (n− 1) ρwρ

)= 0

e, osservando che

(ρw)ρρ = (ρwρ + w)ρ = ρwρρ + 2wρ,

notiamo che, solo per n = 3, si può riscrivere l’equazione nella forma

(ρw)tt − c2 (ρw)ρρ = 0

cioè ρw in queso caso è soluzione dell’equazione della corda vibrante illimitata,pertanto la più generale soluzione radiale (nello spazio) dell’equazione delle ondetridimensionale in tutto lo spazio è:

w (ρ, t) =f (ρ+ ct) + g (ρ− ct)

ρ, (3.37)

96

ossia è la sovrapposizione di un’onda che si allontana dall’origine e una che siavvicina, entrambe smorzate dal fattore 1

ρ .Si noti che, non ostante la presenza del fattore 1

ρ , l’onda non è necessaria-mente singolare nell’origine, ad esempio:

w (ρ, t) =sin (ρ+ ct) + sin (ρ− ct)

ρ=

2 sin ρ cos (ct)

ρ→ 2 cos (ct) per ρ→ 0.

Più in generale, si può dimostrare che se nella (3.37) si sceglie f = g con ffunzione dispari e regolare, si ha che per ρ→ 0

w (ρ, t) =f (ρ+ ct) + f (ρ− ct)

ρ→ 2f ′ (ct) .

Se invece f = g con f funzione pari, allora per ρ→ 0

w (ρ, t) =f (ρ+ ct) + f (ρ− ct)

ρ∼ 2f (ct)

ρ→∞.

3.6 Esercizi sul metodo di separazione di variabili e svilup-pi di Fourier

Esercizio 3.46 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguenteproblema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore omogenea sul segmento:

ut = 3uxx per 0 < x < 1, t > 0u (0, t) = u (1, t) = 0u (x, 0) = sin3 (πx)

Esercizio 3.47 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguenteproblema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione della corda vibrante:

utt = 4uxx per 0 < x < π, t > 0u (0, t) = u (π, t) = 0u (x, 0) = sin 2x cos 3xut (x, 0) = 0.

Esercizio 3.48 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguenteproblema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sul cerchio:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= 0 per ρ ∈ [0, 1), ϑ ∈ [0, 2π]

u (R,ϑ) = ϑ (2π − ϑ) per ϑ ∈ [0, 2π] .

Esercizio 3.49 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguenteproblema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sulla corona circolare:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ2= 0 per ρ ∈ (1, 2) , ϑ ∈ [0, 2π]

u (1, ϑ) = 1 per ϑ ∈ [0, 2π]u (2, ϑ) = 3 per ϑ ∈ [0, 2π]

97

Esercizio 3.50 Si risolva, col metodo di separazione delle variabili, il seguenteproblema di Dirichlet per l’equazione di Laplace sul rettangolo: uxx + uyy = 0 per x ∈ (0, A) , y ∈ (0, B)

u (x, 0) = u (x,B) = u (A, y) = 0u (0, y) = f (y) .

In altre parole, il dato al contorno assegnato sul bordo del rettangolo è diversoda zero solo su uno dei 4 lati (per semplicità).Suggerimento: cercare soluzioni a variabili separate u (x, y) = X (x)Y (y)

coi metodi visti sopra. Il problema agli autovalori è quello nella Y (y) , che deveannullarsi a entrambi gli estremi. Scrivere la formula risolutiva nel modo piùsemplice e compatto. Si trova:

u (x, y) =

∞∑n=1

bnSh [nπ (A− x)]

Sh (nπA)sin(nπyB

), con

bn =2

B

∫ B

0

f (s) sin(nπsB

)ds.

Esercizio 3.51 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il problemadi Dirichlet per l’equazione di Laplace sul rettangolo: uxx + uyy = 0 per x ∈ (0, 1) , y ∈ (0, 2)

u (x, 0) = u (x, 2) = u (1, y) = 0u (0, y) = sinπy cos 2πy.

Esercizio 3.52 Risolvere col metodo di separazione delle variabili il seguenteproblema agli autovalori per il Laplaciano sul rettangolo: uxx + uyy + λu = 0 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 2

u (0, y) = u (1, y) = 0 0 ≤ y ≤ 2u (x, 0) = u (x, 2) = 0 0 ≤ x ≤ 1.

Esercizio 3.53 Risolvere esplicitamente mediante separazione di variabili ilseguente problema di Cauchy-Dirichlet per un’equazione di diffusione e trasportosul segmento:

ut = uxx + 2ux per x ∈ [0, L] , t > 0u (0, t) = u (L, t) = 0 per t > 0u (x, 0) = 2e−x sin

(3πxL

)per x ∈ [0, L] .

Esercizio 3.54 Risolvere mediante separazione di variabili il seguente problemadi Dirichlet per il laplaciano su una corona circolare (il problema è già scrittoin coordinate polari):

uρρ + 1ρuρ + 1

ρ2uϑϑ = 0 per 1 < ρ < 2, ϑ ∈ [0, 2π]

u (1, ϑ) = 0u (2, ϑ) = 1 + sinϑ+ 3 cos 2ϑ.

98

Esercizio 3.55 Risolvere esplicitamente, mediante separazione di variabili ilseguente problema di Dirichlet per un’equazione di Laplace con termine di ordinezero, sul quadrato Q = [0, 1]× [0, 1]:

−uxx − uyy + u = 0 per (x, y) ∈ [0, 1]× [0, 1]u (0, y) = u (1, y) = 0 per y ∈ [0, 1]u (x, 1) = 0 per x ∈ [0, 1]u (x, 0) = sin (5πx) per x ∈ [0, 1] .

Soluzioni di alcuni eserciziSoluzione Es. 3.53. Cerchiamo u (x, t) = X (x)T (t) . L’equazione diventa:

T ′X = TX ′′ + 2TX ′

T ′

T(t) =

X ′′ + 2X ′

X(x)

da cuiT ′

T=X ′′ + 2X ′

X= λ

per qualche λ costante. Si deve avere quindi:X ′′ (x) + 2X ′ (x) = λX (x) per x ∈ (0, L)X (0) = X (L) = 0

T ′ (t) = λT (t) per t > 0.

Risolviamo: X ′′ + 2X ′ − λX = 0 in (0, L)X (0) = X (L) = 0

che porta:

λ+ 1 < 0;

X (x) = e−x sin(√|1 + λ|x

)con √

|1 + λ|L = nπ

λ = −(nπL

)2

− 1

e quindi

un (x, t) = cne−[(nπL )

2+1]te−x sin

(nπLx).

Cerchiamo ora la soluzione

u (x, t) =

∞∑n=1

cne−[(nπL )

2+1]te−x sin

(nπLx)

99

che soddisfi u (x, 0) = 2e−x sin(

3πxL

). Affi nché sia:

2e−x sin

(3πx

L

)=

∞∑n=1

cne−x sin

(nπLx)

si dovrà avere:c3 = 2; cn = 0 per n 6= 3,

e in definitiva la soluzione cercata è:

u (x, t) = 2e−[( 3πL )

2+1]te−x sin

(3π

Lx

).

Soluzione Es. 3.55. Cercando u (x, y) = X (x)Y (y) si trova:

X ′′

X= 1− Y ′′

Y= λ = cost.

Le condizioni u (0, y) = u (1, y) = 0 portano al problema agli autovalori:X ′′ = λXX (0) = X (1) = 0

che dà

Xn (x) = sin (nπx)

λn = −n2π2, n = 1, 2, 3, ...

Quindi si ha:Y ′′ =

(1 + n2π2

)Y

che ha integrale generale

Yn (y) = ane√

1+n2π2y + bne−√

1+n2π2y.

Imponendo anche la condizione Yn (1) = 0 si trova (dopo qualche calcolo)

Yn (y) = cnSh(√

1 + n2π2 (1− y))

Sh(√

1 + n2π2)

quindi

u (x, y) =

∞∑n=1

cnSh(√

1 + n2π2 (1− y))

Sh(√

1 + n2π2) sin (nπx)

e imponendo u (x, 0) = sin (5πx) si ha c5 = 1, gli altri coeffi cienti nulli. Perciò:

u (x, y) =Sh(√

1 + 25π2 (1− y))

Sh(√

1 + 25π2) sin (5πx) .

100

4 Applicazioni dei metodi di ortogonalità a prob-lemi differenziali

4.1 Laplaciano in coordinate sferiche. Polinomi di Legen-dre e armoniche sferiche

Consideriamo il problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace su una sferatridimensionale:

∆u ≡ uxx + uyy + uzz = 0 per x2 + y2 + z2 < r2

u (x, y, z) = f (x, y, z) per x2 + y2 + z2 = r2.

Tra i significati fisici di quest’equazione: u può essere il potenziale (elettrosta-tico o gravitazionale) all’interno della sfera, fissato il suo valore sul bordo, inuna situazione stazionaria in cui all’interno della sfera non ci sono pozzi o sor-genti del campo (cioè cariche o masse, rispettivamente); oppure u può essere latemperatura, in stato stazionario, all’interno della sfera, nota la temperatura albordo, in assenza di sorgenti o pozzi di calore interni.Data la geometria sferica, è naturale riscrivere l’operatore differenziale in

coordinate sferiche (ρ, ϑ, ϕ) e cercare poi soluzioni a variabili separate nellecoordinate sferiche. Il laplaciano in coordinate sferiche x = ρ sinϑ cosϕ

y = ρ sinϑ sinϕz = ρ cosϑ

assume la forma:∂2u

∂ρ2+

2

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2 sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂u

∂ϑ

)+

1

ρ2 sin2 ϑ

∂2u

∂ϕ= 0

per 0 < ρ < r,0 < ϑ < π,0 < ϕ < 2π

u (r, ϑ, ϕ) = f (ϑ, ϕ)per 0 < ϑ < π,0 < ϕ < 2π.

Dopo aver riscritto l’equazione (moltiplicando per ρ2) nella forma

ρ2 ∂2u

∂ρ2+ 2ρ

∂u

∂ρ+

1

sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂u

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2u

∂ϕ= 0,

affrontiamo il problema per separazione delle variabili. In vista degli sviluppifuturi, cominciamo a separare ρ dalle variabili angolari, scrivendo

u (ρ, ϑ, ϕ) = R (ρ)S (ϑ, ϕ)

e ponendo

∆(ϑ,ϕ) =1

sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ.

101

Si ha: (ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ)

)S (ϑ, ϕ) +R (ρ) ∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ) = 0

ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ)

R (ρ)= −

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ)

S (ϑ, ϕ)

da cui ricaviamo che per qualche costante λ si ha

ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ)

R (ρ)= λ = −

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ)

S (ϑ, ϕ).

Abbiamo messo in evidenza l’operatore∆(ϑ,ϕ) (che si può vedere come operatoredi Laplace sulla superficie della sfera) perché lo incontreremo ancora in seguito.La prima equazione si riscrive

ρ2R′′ + 2ρR′ − λR = 0 (4.1)

ed è un’equazione di Eulero, di cui si può determinare in corrispondenza diciascun λ l’integrale generale, cercando soluzioni del tipo R (ρ) = ρα con α dadeterminarsi (v. [EsAn2, Cap.1, §1.2.D]); lo faremo dopo aver determinato λ.

Per risolvere la seconda equazione, cioè

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ) = −λS (ϑ, ϕ)

procediamo ad un’ulteriore separazione di variabili, cercando

S (ϑ, ϕ) = Θ (ϑ) Φ (ϕ)

quindi

1

sinϑ(sinϑΘ′ (ϑ))

′Φ (ϕ) +

1

sin2 ϑΘ (ϑ) Φ′′ (ϕ) = −λΘ (ϑ) Φ (ϕ)

sinϑ (sinϑΘ′′ (ϑ) + cosϑΘ′ (ϑ))

Θ (ϑ)+ λ sin2 ϑ = −Φ′′ (ϕ)

Φ (ϕ)

che dà, per qualche costante µ,

sinϑ (sinϑΘ′′ (ϑ) + cosϑΘ′ (ϑ))

Θ (ϑ)+ λ sin2 ϑ = µ = −Φ′′ (ϕ)

Φ (ϕ).

La seconda equazione dàΦ′′ (ϕ) = −µΦ (ϕ)

che, dovendo essere Φ (ϕ) 2π-periodica (ϕ è la longitudine), dà µ = m2 perm = 1, 2, 3, ... e

Φ (ϕ) = a cos (mϕ) + b sin (mϕ) .

Invece, la prima equazione diventa

sinϑΘ′′ (ϑ) + cosϑΘ′ (ϑ) +

(λ sinϑ− m2

sinϑ

)Θ (ϑ) = 0 per ϑ ∈ [0, π] . (4.2)

102

Si ricordi che l’angolo ϑ ha il significato di colatitudine. La Θ (ϑ) non devesoddisfare condizioni di periodicità, ma dev’essere regolare su tutto [0, π] (inparticolare, limitata anche agli estremi). L’equazione (4.2) si può riscrivere inuna forma più familiare eseguendo il cambio di variabili:

Θ (ϑ) = P (cosϑ) ; cosϑ = t.

Si ha infatti:

Θ′ (ϑ) = − sinϑP ′ (cosϑ)

Θ′′ (ϑ) = sin2 ϑP ′′ (cosϑ)− cosϑP ′ (cosϑ)

e sostituendo nella (4.2)

sinϑ[sin2 ϑP ′′ (cosϑ)− cosϑP ′ (cosϑ)

]+

+ cosϑ [− sinϑP ′ (cosϑ)] +

(λ sinϑ− m2

sinϑ

)P (cosϑ) = 0

sin3 ϑP ′′ (cosϑ)− 2 sinϑ cosϑP ′ (cosϑ) +

(λ sinϑ− m2

sinϑ

)P (cosϑ) = 0

sin2 ϑP ′′ (cosϑ)− 2 cosϑP ′ (cosϑ) +

(λ− m2

sin2 ϑ

)P (cosϑ) = 0

(1− t2

)P ′′ (t)− 2tP (t) +

(λ− m2

1− t2

)P (t) = 0.

Per m = 0 si tratta dell’equazione di Legendre su [−1, 1] (si ricordi chet = cosϑ ∈ [−1, 1]), che già conosciamo. Per gli altri valori di m è un’equazionepiù complicata.Questo suggerisce di trattare prima il caso particolare m = 0. Leggendo

a ritroso nei nostri passaggi, si vede che questo corrisponde a supporre che lafunzione Φ (ϕ) sia costante, ossia la soluzione a variabili separate sia in realtàindipendente dalla longitudine. Questo è un caso particolare che può avere unsuo interesse: se ad esempio il dato al bordo è indipendente da ϕ, ci aspettiamoche il problema abbia una soluzione indipendente da ϕ. Comunque, per i motividi gradualità già spiegati, trattiamo prima questo caso.

4.1.1 Il dato indipendente dalla longitudine. Polinomi di Legendre

Consideriamo dunque la situazione semplificata in cui il dato al bordo f nondipende dalla longitudine ϕ ma solo dalla colatitudine ϑ. Conseguentemente, ciaspettiamo che la soluzione u sia pure indipendente da ϕ. Il problema precedentesi riscrive quindi nella seguente forma semplificata:

∂2u

∂ρ2+

2

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2 sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂u

∂ϑ

)= 0 per 0 < ρ < r, 0 < ϑ < π

u (r, ϑ) = f (ϑ) per 0 < ϑ < π.(4.3)

103

In base all’analisi già fatta, abbiamo soluzioni a variabili separate del tipo

u (ρ, ϑ) = R (ρ) Θ (ϑ)

con R (ρ) soddisfacente (4.1) e Θ (ϑ) = P (cosϑ) dove P (t) soddisfa l’equazionedi Legendre (

1− t2)P ′′ (t)− 2tP (t) + λP (t) = 0

su (−1, 1). Poiché vogliamo soluzioni limitate su tutto [−1, 1] è necessario chesia:

λ = n (n+ 1) , n = 0, 1, 2, ...

P (t) = Pn (t) ,

n-esimo polinomio di Legendre. Quindi abbiamo le soluzioni:

Θn (ϑ) = Pn (cosϑ) .

Risolviamo ora l’equazione di Eulero (4.1) per λ = n (n+ 1):

ρ2R′′ + 2ρR′ − n (n+ 1)R = 0.

Cerchiamo R (ρ) = ρα.

ρ2α (α− 1) ρα−2 + 2ραρα−1 − n (n+ 1) ρα = 0

α (α− 1) + 2α− n (n+ 1) = 0

α (α+ 1)− n (n+ 1) = 0

α = n;α = − (n+ 1)

che dà soluzioni

R (ρ) = ρn;R (ρ) = ρ−(n+1) per n = 0, 1, 2, 3...

Escludendo le soluzioni R (ρ) = ρ−(n+1) illimitate nell’origine si ottengono in de-finitiva le seguenti soluzioni regolari a variabili separate dell’equazione di Laplaceindipendente dalla longitudine:

un (ρ, ϑ) = cnρnPn (cosϑ) , per n = 0, 1, 2, 3...

Si tratta ora, al solito, di formare una soluzione data da una serie infinita diqueste soluzioni e cercare di imporre il dato al bordo scegliendo opportunamentei coeffi cienti:

u (ρ, ϑ) =

∞∑n=0

cnρnPn (cosϑ)

u (r, ϑ) =

∞∑n=0

cnrnPn (cosϑ) = f (ϑ) per ϑ ∈ [0, π] .

104

Si tratta di sviluppare il dato f (ϑ) in serie di Legendre a questo modo. C’è dimezzo un cambio di variabile. Osserviamo infatti che:∫ 1

−1

Pn (t)Pm (t) dt = [t = cosϑ] =

∫ π

0

Pn (cosϑ)Pm (cosϑ) sinϑdϑ,

da cui leggiamo che:

il sistema Pn (cosϑ)∞n=0 è ortonormale completo in L2 ([0, π] , sinϑdϑ) .

Quindi possiamo porre:

Cn =

∫ π

0

f (s)Pn (cos s) sin sds per n = 0, 1, 2, 3... (4.4)

f (ϑ) =

∞∑n=0

CnPn (cosϑ) =

∞∑n=0

cnrnPn (cosϑ) per cn =

Cnrn.

In definitiva, la soluzione del problema (4.3) è data da:

u (ρ, ϑ) =

∞∑n=0

Cn

(ρr

)nPn (cosϑ) con Cn dati da (4.4).

Non ci occupiamo per il momento delle necessarie verifiche della validitàdella formula trovata. Torneremo più avanti sull’argomento. Invece, vediamoun esempio concreto.

Esempio 4.1 Risolviamo il problema (4.3) con f (ϑ) = sin2 ϑ. Poiché ponendot = cosϑ si ha:

f (t) = 1− t2 =2

3

√2P0 (t)− 2

3

√2

5P2 (t) ,

si ha

u (ρ, ϑ) =2

3

√2P0 −

2

3

√2

5

(ρr

)2

P2 (cosϑ)

=2

3− 2

3

(ρr

)2(−1

2+

3

2cos2 ϑ

).

4.1.2 Il caso generale. Funzioni di Legendre associate e armonichesferiche

Abbiamo trattato finora l’equazione di Laplace in coordinate sferiche suppo-nendo per semplicità che la soluzione non dipenda dalla longitudine. Nel casogenerale l’integrazione del problema agli autovalori porta ad un sistema a dueindici di autofunzioni, dette funzioni di Legendre, e imparentate con i polinomidi Legendre.

105

Ricordiamo che in questo caso fobbiamo risolvere per ogni intero m =1, 2, 3, ... assegnato il problema agli autovalori

(1− t2

)P ′′ (t)− 2tP (t) + P (t)

(λ− m

1− t2

)= 0 t ∈ (−1, 1) , (4.5)

(l’autovalore, per ora incognito, è λ). Si tratta di un’equazione più generaledell’equazione di Legendre (si riduce a quella per m = 0). Riscrivendola nellaforma ((

1− t2)P ′ (t)

)′ − m

1− t2P (t) + λP (t) = 0 t ∈ (−1, 1)

si riconosce che si tratta di un altro problema di Sturm-Liouville singolare: conle notazioni del §8.2,

p (t) =(1− t2

)q (t) =

m

1− t2ρ (t) = 1

La solita dimostrazione prova che se esistono autovalori e autofunzioni, gliautovalori sono positivi e autofunzioni relative a autovalori diversi sono ortogo-nali tra loro in L2 (−1, 1).Per risolvere l’equazione (4.5) si può dimostrare il seguente

Teorema 4.2 Se P (t) risolve per un certo λ l’equazione di Legendre originale(cioè (4.5) con m = 0), allora la funzione

Q (t) =(1− t2

)m/2P [m] (t)

dove P [m] (t) indica la derivata m-esima di P (t), risolve l’equazione (4.5) perquell’intero m = 1, 2, ...

Si dimostra poi che le uniche soluzioni di (4.5) limitate in (−1, 1) sono quellecostruite in questo modo e che provengono da soluzioni P (t) dell’equazione diLegendre limitate in (−1, 1). Ma allora:si parte dal polinomio di Legendre Pn (t) che risolve (4.5) con m = 0 e

λ = n (n+ 1);si calcola P [m] (t), e per trovare una funzione non identicamente nulla è

necessario che sia m = 1, 2, ..., n;si costruiscono quindi le funzioni

Pmn (t) =(1− t2

)m/2P [m]n (t) per m = 1, 2, ..., n

(per m = 0 possiamo porre P 0n (t) = Pn (t)) che risolve (4.5) per λ = n (n+ 1)

e il corrispondente m.

106

Definizione 4.3 Le funzioni

Pmn (t)n=0,...,∞m=0,...,n

si dicono funzioni di Legendre associate, e sono quindi le uniche autofunzionilimitate in (−1, 1) del problema agli autovalori (4.5).

Si può dimostrare il seguente:

Teorema 4.4 Per ogni m = 0, 1, 2, .... fissato, le funzioni

Pmn (t)∞m=n

sono un sistema ortogonale in L2 (−1, 1). I coeffi cienti di normalizzazionevalgono: ∫ 1

−1

|Pmn (t)|2 dt =(n+m)!

(n−m)!per m ≤ n.

Normalizzate, sono un sistema ortonormale completo in L2 (−1, 1).Quindi per ogni m = 0, 1, 2, .... fissato, le funzioni (normalizzate)

Pmn (cosϑ)∞n=m

sono un sistema ortonormale completo in L2 ((0, π) , sinϑdϑ) .

Poiché gli autovalori λ trovati sono gli stessi del caso indipendente da ϕ,l’equazione di Eulero in R (ρ) ha le stesse soluzioni del caso precedente. Indefinitiva, le soluzioni dell’equazione di Helmholz sulla sfera a variabili separatesono:

ρnPn (cosϑ)

ρnPmn (cosϑ) cos (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

ρnPmn (cosϑ) sin (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

e m = 0, 1, 2, ...Il fatto che √

2

π,

cos (mϕ)√π

,sin (mϕ)√

π

∞m=1

sia un s.o.n.c. in L2 (0, 2π) e, per ogni m = 1, 2, 3, ...

Pmn (cosϑ)∞m=n

siano un sistema ortonormale completo in L2 ((0, π) , sinϑdϑ) , implica che ilsistema a due indici√

2

πPn (cosϑ) , Pmn (cosϑ)

cos (mϕ)√π

, Pmn (cosϑ)sin (mϕ)√

π

n=0,...,∞m=1,...,n

107

è un s.o.n.c. inL2 ((0, π)× (0, 2π) , sinϑdϑdϕ)

ossia in L2 della superficie della sfera unitaria.Questo fatto segue da un criterio generale, ma lo illustriamo schematica-

mente in questo caso concreto al seguente modo.Sia f ∈ L2 ((0, π)× (0, 2π) , sinϑdϑdϕ); per ϑ fissato, sviluppiamo f (ϑ, ·) in

serie di Fourier in ϕ, scrivendo

f (ϑ, ϕ) =a0 (ϑ)

2+

∞∑m=1

am (ϑ) cos (mϕ) + bm (ϑ) sin (mϕ)

ora sviluppiamo

a0 (ϑ) rispetto al s.o.n.c. Pn (cosϑ)∞n=0

am (ϑ) e bm (ϑ) rispetto al s.o.n.c. Pmn (cosϑ)∞n=m

e otteniamo così

f (ϑ, ϕ) =1

2

∞∑n=0

anPn (cosϑ)

+

∞∑m=1

( ∞∑n=m

am,nPmn (cosϑ)

)cos (mϕ) +

( ∞∑n=m

bm,nPmn (cosϑ)

)sin (mϕ)

che prova la completezza del s.o.n.c. in due variabili.

Vediamo ora di capire meglio la struttura delle funzioni Pmn (t) e quindiquella delle soluzioni a variabili separate appena scritte.

Esempio 4.5 Calcoliamo in base alla definizione le funzioni Pmn (t) per n =0, 1, 2, 3 e 0 ≤ m ≤ n. Ricordiamo l’espressione dei primi polinomi di Legendre:

P0 (t) =1√2

;

P1 (t) =

√3

2t;

P2 (t) =1

2

√5

2

(3t2 − 1

);

P3 (t) =

√7

2

(−3

2t+

5

2t3).

Quindi calcoliamo:

P 00 (t) = P0 (t) =

1√2

P 01 (t) = P1 (t) =

√3

2t

P 11 (t) =

(1− t2

)1/2P ′1 (t) =

(1− t2

)1/2(√3

2t

)′=

√3

2

(1− t2

)1/2

108

P 02 (t) = P2 (t) =

1

2

√5

2

(3t2 − 1

)P 1

2 (t) =(1− t2

)1/2P ′2 (t) =

(1− t2

)1/2(1

2

√5

2

(3t2 − 1

))′=

√5

23t(1− t2

)1/2P 2

2 (t) =(1− t2

)2/2P ′′2 (t) =

(1− t2

)(1

2

√5

2

(3t2 − 1

))′′= 3

√5

2

(1− t2

)

P 03 (t) = P3 (t) =

√7

2

(−3

2t+

5

2t3)

P 13 (t) =

(1− t2

)1/2P ′3 (t) =

√7

2

(1− t2

)1/2(−3

2+

15

2t2)

P 23 (t) =

(1− t2

)2/2P ′′3 (t) =

√7

2

(1− t2

)15t

P 33 (t) =

(1− t2

)3/2P ′′′3 (t) =

√7

215(1− t2

)3/2Osserviamo che ponendo t = cosϑ si ha(

1− t2)m/2

= (sinϑ)m.

Vale anche la prossima importante caratterizzazione delle soluzioni a variabiliseparate dell’equazione di Laplace:

Teorema 4.6 Per ogni n = 0, 1, 2, ..., le funzioni

ρnPn (cosϑ)

ρnPmn (cosϑ) cos (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

ρnPmn (cosϑ) sin (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

espresse in coordinate cartesiane sono polinomi omogenei di grado n in x, y, z;sono anche funzioni armoniche in tutto R3.

Queste funzioni sono dunque polinomi omogenei ed armonici in tutto lospazio; sono detti armoniche sferiche solide, mentre si dicono armoniche sferichele loro restrizioni alla superficie della sfera unitaria, cioè le funzioni che espressein funzioni di (ϑ, ϕ) si scrivono

Pn (cosϑ)

Pmn (cosϑ) cos (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

Pmn (cosϑ) sin (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

e che, come abbiamo già detto, costituiscono un s.o.n.c. in L2 della superficiesferica.Queste funzioni hanno un’importanza che va oltre la risoluzione del problema

di Dirichlet per il laplaciano, difatti le ritroveremo in seguito.

109

Esempio 4.7 Scriviamo in coordinate cartesiane alcune armoniche sferiche.Cominciamo a riscrivere in funzione di cosϑ le espressioni di Pmn (t) , semplifi-

candole mediante l’identità(1− t2

)m/2= sinm ϑ. Si ha:

P 00 (cosϑ) =

1√2

P 01 (cosϑ) =

√3

2cosϑ

P 11 (cosϑ) =

√3

2sinϑ

P 02 (cosϑ) =

1

2

√5

2

(3 cos2 ϑ− 1

)P 1

2 (cosϑ) =

√5

23 cosϑ sinϑ

P 22 (cosϑ) = 3

√5

2sin2 ϑ

P 03 (t) =

√7

2

(−3

2cosϑ+

5

2cos3 ϑ

)P 1

3 (t) =

√7

2sinϑ

(−3

2+

15

2cos2 ϑ

)P 2

3 (t) =

√7

215 sin2 ϑ cosϑ

P 33 (t) =

√7

215 sin3 ϑ

Ora, ricordando le espressioni delle coordinate sferiche x = ρ sinϑ cosϕy = ρ sinϑ sinϕz = ρ cosϑ

riscriviamo le armoniche sferiche in coordinate cartesiane, così:

ρnPn (cosϑ)

ρnPmn (cosϑ) cos (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

ρnPmn (cosϑ) sin (mϕ) per m = 1, 2, ..., n

110

P 00 (cosϑ) =

1√2

ρP 01 (cosϑ) =

√3

2ρ cosϑ =

√3

2z

ρP 11 (cosϑ) cosϕ =

√3

2ρ sinϑ cosϕ =

√3

2x

ρP 11 (cosϑ) sinϕ =

√3

2ρ sinϑ sinϕ =

√3

2y

ρ2P 02 (cosϑ) =

1

2

√5

2ρ2(3 cos2 ϑ− 1

)=

1

2

√5

2

(2z2 − x2 − y2

)ρ2P 1

2 (cosϑ) cosϕ =

√5

23ρ2 cosϑ sinϑ cosϕ = 3

√5

2xz

ρ2P 12 (cosϑ) sinϕ =

√5

23ρ2 cosϑ sinϑ sinϕ = 3

√5

2yz

ρ2P 22 (cosϑ) cos 2ϕ = 3

√5

2ρ2 sin2 ϑ cos 2ϕ = 3

√5

2

(x2 − y2

)ρ2P 2

2 (cosϑ) sin 2ϕ = 3

√5

2ρ2 sin2 ϑ sin 2ϕ = 6

√5

2xy

Esercizio 4.8 Proseguendo come sopra, calcolare in coordinate cartesiane leseguenti armoniche sferiche:

ρ3P 03 (t) =

√7

2ρ3

(−3

2cosϑ+

5

2cos3 ϑ

)= ...

ρ3P 13 (t) cosϕ =

√7

2ρ3 sinϑ

(−3

2+

15

2cos2 ϑ

)cosϕ =

ρ3P 13 (t) sinϕ =

√7

2ρ3 sinϑ

(−3

2+

15

2cos2 ϑ

)sinϕ =

ρ3P 23 (t) cos 2ϕ =

√7

215ρ3 sin2 ϑ cosϑ cos 2ϕ =

ρ3P 23 (t) sin 2ϕ =

√7

215ρ3 sin2 ϑ cosϑ sin 2ϕ =

ρ3P 33 (t) cos 3ϕ =

√7

215ρ3 sin3 ϑ cos 3ϕ =

ρ3P 33 (t) sin 3ϕ =

√7

215ρ3 sin3 ϑ sin 3ϕ =

111

4.1.3 Soluzione del problema di Dirichlet per l’equazione di Laplacesulla sfera

Arriviamo ora in fondo al percorso logico con cui siamo partiti e mostriamocome mediante le armoniche sferiche si possa scrivere la soluzione del problemadi Dirichlet per il laplaciano sulla sfera.Al solito, per imporre la condizione al bordo consideriamo una generica serie

delle soluzioni a variabili separate, e poi cerchiamo di determinare i coeffi cientiaffi nché questa assuma il dato al bordo. Sia:

u (ρ, ϑ, ϕ) =1

2

∞∑n=0

anρnPn (cosϑ)

+

∞∑m=1

( ∞∑n=m

am,nρnPmn (cosϑ)

)cos (mϕ)

+

( ∞∑n=m

bm,nρnPmn (cosϑ)

)sin (mϕ)

Imponendo la condizione

u (r, ϑ, ϕ) = f (ϑ, ϕ)

si trova

f (ϑ, ϕ) =1

2

∞∑n=0

anrnPn (cosϑ)

+

∞∑m=1

( ∞∑n=m

am,nrnPmn (cosϑ)

)cos (mϕ)

+

( ∞∑n=m

bm,nrnPmn (cosϑ)

)sin (mϕ)

da cui, sviluppando

f (ϑ, ϕ) =1

2

∞∑n=0

AnPn (cosϑ)

+

∞∑m=1

( ∞∑n=m

Am,nPmn (cosϑ)

)cos (mϕ) +

( ∞∑n=m

Bm,nPmn (cosϑ)

)sin (mϕ)

con

An =1

π

∫ 2π

0

(∫ π

0

f (ϑ, ϕ)Pn (cosϑ) sinϑdϑ

)dϕ

Am,n =(n−m)!

(n+m)!

1

π

∫ 2π

0

(∫ π

0

f (ϑ, ϕ)Pmn (cosϑ) sinϑdϑ

)cos (mϕ) dϕ

Bm,n =(n−m)!

(n+m)!

1

π

∫ 2π

0

(∫ π

0

f (ϑ, ϕ)Pmn (cosϑ) sinϑdϑ

)sin (mϕ) dϕ

112

si trova che la soluzione è assegnata da

u (ρ, ϑ, ϕ) =1

2

∞∑n=0

An

(ρr

)nPn (cosϑ)

+

∞∑m=1

( ∞∑n=m

Am,n

(ρr

)nPmn (cosϑ)

)cos (mϕ) +

( ∞∑n=m

Bm,n

(ρr

)nPmn (cosϑ)

)sin (mϕ)

.

Si tratterebbe ora di dimostrare che sotto opportune ipotesi su f la formulaè effettivamente derivabile due volte e assegna la soluzione del problema.Non facciamo questa verifica, ma ci limitiamo a segnalare come, analoga-

mente a quanto accadeva in due variabili per il laplaciano sul cerchio, si puòtrasformare la formula di rappresentazione per serie in una formula di rappre-sentazione integrale, estremamente più semplice22 . Vale il seguente:

Teorema 4.9 La formula di rappresentazione per serie precedente si può riscri-vere in forma integrale come segue:

u (ρ, ϑ, ϕ) =r(r2 − ρ2

)4π

∫ 2π

0

(∫ π

0

f(ϑ, ϕ

)sinϑ

(r2 + ρ2 − 2rρ cos η)3/2

)dϕ

con cos η = cosϑ cosϑ+ sinϑ sinϑ cos (ϕ− ϕ)

Questa formula è detta formula integrale di Poisson in 3 variabili, ed è l’analogadi quella che abbiamo visto valere in due variabili sul cerchio. Per ogni dato fcontinuo, questa formula integrale assegna la soluzione del problema di Dirichlet,che all’interno della sfera risulta infinitamente derivabile.

Notiamo anche che ponendo ρ = 0 nella formula integrale di Poisson si ha:

u (0, ϑ, ϕ) =r3

∫ 2π

0

(∫ π

0

f(ϑ, ϕ

)sinϑ

r3dϑ

)dϕ =

1

∫ 2π

0

(∫ π

0

f(ϑ, ϕ

)sinϑdϑ

)dϕ

=1

4πr2

∫ 2π

0

(∫ π

0

f(ϑ, ϕ

)r2 sinϑdϑ

)dϕ =

1

4πr2

∫ ∫∂S(0,r)

fdS,

che significa: il valore di una funzione armonica nel centro di una sfera è ugualealla media integrale dei valori del dato sul bordo della sfera. Con ragionamentianaloghi a quelli visti nel caso bidimensionale, da questo fatto si deduce anchenel caso tridimensionale la formula di media per le funzioni armoniche: unafunzione armonica in un dominio tridimensionale, in ogni punto ha come valorela media integrale dei valori assunti su una qualsiasi sferetta centrata in quelpunto e contenuta nel dominio. La proprietà è vera sia facendo medie integralisu sfere piene, sia facendo medie integrali su superfici sferiche.

22 Il risultato finale del calcolo è semplice, il calcolo stesso è laborioso e non lo presentiamo;si rimanda per i passaggi a [Weinberger p.196]

113

4.2 Oscillatore armonico quantistico e polinomi di Her-mite

In meccanica quantistica una particella di massa m in moto lungo una ret-ta è descritta da una funzione di stato ψ (x, t), nota la quale si può calcolarela probabilità che la particella si trovi all’istante t nell’intervallo (a, b) comel’integrale ∫ b

a

|ψ (x, t)|2 dx.

Per il suo significato di probabilità, ψ (x, t) deve soddisfare la condizione dinormalizzazione ∫

R|ψ (x, t)|2 dx = 1 per ogni t.

La funzione ψ (x, t) soddisfa l’equazione di Schrödinger che, nel caso la particelladi massa m sia soggetta ad un campo di forze di potenziale V (x), è:

i~∂ψ

∂t(x, t) = − ~

2

2m

∂2ψ

∂x2(x, t) + V (x)ψ (x, t) per x ∈ R, t ∈ R

(dove ~ = h/2π e h è la costante di Planck). Cerchiamo soluzioni a variabiliseparate:

ψ (x, t) = X (x)T (t)

i~XT ′ = − ~2

2mX ′′T + V (x)XT

i~T ′

T= − ~

2

2m

X ′′

X+ V (x)

da cui dev’essere

i~T ′

T= E = cost.

− ~2

2m

X ′′

X+ V (x) = E = cost.

per qualche costante E ∈ R, che dimensionalmente ha il significato di energia.L’equazione in T si risolve direttamente

T (t) = ce−iE~ t.

Poiché |T (t)| = c, la condizione di normalizzazione si traduce in∫R|X (x)|2 dx = cost.

Ci interessa quindi determinare le autosoluzioni L2 (R) dell’equazione:

X ′′ +2m

~2(E − V (x))X = 0 in R.

114

Sottolineiamo il fatto che l’appartenenza a L2 (R) della soluzione X (x) chestiamo cercando è una condizione necessaria per la sensatezza fisica del problemacosì impostato.Consideriamo ora il caso particolare dell’oscillatore armonico (quantistico,

unidimensionale), per il quale

V (x) =1

2mω2x2.

Il modello dell’oscillatore armonico quantistico si applica ad esempio al moto diagitazione termica degli atomi formanti un reticolo cristallino. Più in generale,il modello descrive in prima approssimazione le oscillazioni di un sistema vicinoa un punto di equilibrio stabile; si tratta perciò di un modello molto studiato.L’equazione diventa:

X ′′ (x) +

(2m

~2E − m2ω2

~2x2

)X (x) = 0. (4.6)

Per risolverla, l’idea è ricondursi all’equazione di Hermite. Si procede in duepassi.1. Per prima cosa vogliamo fare un cambio di variabile che renda uguale a

1 il coeffi ciente di x2. Sia X (x) = Z (αx) con α da determinarsi, allora

α2Z ′′ (αx) +

(2m

~2E − m2ω2

~2x2

)Z (αx) = 0.

Poniamo αx = y e abbiamo

α2Z ′′ (y) +

(2m

~2E − m2ω2

α2~2y2

)Z (y) = 0.

Ora vogliamo che sia

α2 =m2ω2

α2~2

α4 =m2ω2

~2

α =

√mω

~.

Perciò

X (x) = Z

(√mω

~x

)risolve l’equazione (4.6) se e solo se Z (y) risolve l’equazione:

~Z ′′ (y) +

(2m

~2E − mω

~y2

)Z (y) = 0

Z ′′ (y) +

(2

ω~E − y2

)Z (y) = 0. (4.7)

115

2. Ora trasformiamo questa equazione in quella di Hermite ponendo:

Z (y) = e−y2

2 Y (y) .

Z ′ (y) = e−y2

2 (−yY + Y ′)

Z ′′ (t) = e−y2

2

(y2Y − yY ′ − Y − yY ′ + Y ′′

)

e−y2

2

(y2Y − 2yY ′ − Y + Y ′′ +

(2

ω~E − y2

)Y

)= 0

Y ′′ − 2yY ′ +

(2

ω~E − 1

)Y = 0. (4.8)

Dunque Z (y) risolve (4.7) se e solo se Y (y) risolve (4.8). La condizione dinormalizzazione su Y si legge al modo seguente: dev’essere finito l’integrale∫

R|X (x)|2 dx =

∫R

∣∣∣∣Z (√mω

~x

)∣∣∣∣2 dx =

√~mω

∫R|Z (y)|2 dy =

=

√~mω

∫Re−y

2

|Y (y)|2 dy.

Quindi siamo interessati a individuare autosoluzioni Y e autovalori λ dell’equazionedi Hermite

Y ′′ − 2yY ′ + λY = 0

per cui si abbia ∫Re−y

2

|Y (y)|2 dy <∞.

Abbiamo visto (Teorema ??) che questa condizione può essere soddisfatta soloper λ = 2n e Y (y) = Hn (y) , n-esimo polinomio di Hermite. Questo significache i possibili valori dell’energia sono:

2

ω~E − 1 = 2n

En =

(n+

1

2

)ω~ con n = 0, 1, 2, 3, ...

e le autosoluzioni corrispondenti sono

Yn (y) = Hn (y) , corrispondenti a

Zn (y) = e−y2

2 Hn (y) ,

e quindi per l’equazione iniziale:

Xn (x) = e−mωx2

2~ Hn

(√mω

~x

).

116

Se i polinomi di Hermite Hn sono quelli normalizzati in modo da avere norma

1 in L2(R, e−y2dy

), allora l’autofunzione normalizzata sarà:

Xn (x) = 4

√mω

~e−

mωx2

2~ Hn

(√mω

~x

)per n = 0, 1, 2, ...

Si trova quindi che l’oscillatore possiede una successione di possibili livelli ener-getici En e corrispondenti stati stazionari Xn (x), che vanno dallo stato fonda-mentale n = 0,

E0 =ω~2, X0 (x) = 4

√mω

π~e−

mωx2

2~

ai successivi “stati eccitati”per n ≥ 1, ad esempio

E1 =3

2ω~, X1 (x) =

√2

π1/4

(mω~

)3/4

xe−mωx2

2~ .

E’significativo osservare anche i grafici delle funzioni |Xn (x)|2, che rappresen-tano le densità di probabilità del sistema nei vari stati stazionari:

E’interessante osservare queste densità di probabilità tenendo presente l’e-quazione che gli stati Xn risolvono:

X ′′n +2m

~2

(En −

1

2mω2x2

)Xn = 0 in R.

Classicamente, un oscillatore armonico compie oscillazioni la cui ampiezza èdeterminata dall’energia del sistema: le oscillazioni sono “confinate”. Analoga-mente nell’equazione precedente, nella regione spaziale in cui il termine

(En − 1

2mω2x2)

è positivo Xn soddisfa un’equazione del tipo X ′′n + c2 (x)Xn = 0 che ha l’aspet-to dell’equazione classica del moto armonico e quindi tende a confinare il moto

117

nella regione stessa. Fissato un livello energetico En, le condizioni(En −

1

2mω2x2

)≥ 0, cioè

|x| ≤√

2Enmω2

=

√2(n+ 1

2

)ω~

mω2=

√(2n+ 1) ~

si dicono “limiti classici”del sistema. Nel caso quantistico, tuttavia, fissato unlivello energetico En, nessuno impedisce che la quantità

(En − 1

2mω2x2)diventi

negativa. Il grafico della densità di probabilità si estende oltre tali limiti, asignificare che l’oscillatore armonico quantistico può superare i limiti classici.Le prossime figure mostrano i grafici delle densità di probabilità dei primi

4 stati (n = 0, 1, 2, 3), con sovrapposta la parabola y = En − 12mω

2x2 le cuiintersezioni con l’asse x segnano i limiti classici. L’area in grigio sotto la curvadella densità probabilità indica la probabilità che il sistema si trovi in uno statoclassicamente proibito.

Tornando all’equazione di Schrödinger, l’equazione in t è risolta da

T (t) = ce−i(n+ 12 )ωt.

L’equazione in (x, t) ha quindi soluzioni a variabili separate

ψn (x, t) = e−i(n+ 12 )ωt

√mω

~e−

mωx2

2~ Hn

(√mω

~x

)

118

e la soluzione dell’equazione di Schrödinger con dato iniziale ψ0 (x) è data allorada una serie:

ψ (x, t) =

∞∑n=0

cne−i(n+ 1

2 )ωt√mω

~e−

mωx2

2~ Hn

(√mω

~x

)con

ψ0 (x) =

∞∑n=0

cn

√mω

~e−

mωx2

2~ Hn

(√mω

~x

), quindi

cn =

∫ +∞

−∞ψ0 (z)

√mω

~e−

mωz2

2~ Hn

(√mω

~z

)dz.

4.3 Il problema agli autovalori per il laplaciano (equazionedi Helmholz) e le sue applicazioni

Supponiamo di voler studiare l’equazione della diffusione del calore, in assenzadi sorgenti, in una regione limitata del piano o dello spazio. Come già discus-so, questo può condurre a un problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione delcalore: ut = k∆u per x ∈ Ω, t > 0

u (x, t) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0u (x, 0) = u0 (x) per x ∈ Ω

(4.9)

oppure di problema di Cauchy-Neumann per l’equazione del calore:ut = k∆u per x ∈ Ω, t > 0∂u∂ν (x, t) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0u (x, 0) = u0 (x) per x ∈ Ω.

(4.10)

Problemi analoghi si possono considerare per l’equazione delle onde in due o trevariabili. In due variabili l’equazione rappresenta le vibrazioni di una membranaelastica, mentre in tre variabili potrebbe rappresentare le vibrazioni sonore nel-l’aria, o simili. Stando, per fissare le idee, sull’interpretazione bidimensionalecome membrana vibrante, se la membrana è fissata al bordo e sono note po-sizione e velocità iniziali avremo un problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazionedelle onde:

utt = c2∆u per x ∈ Ω, t > 0u (x, t) = 0 per x ∈ ∂Ω, t > 0u (x, 0) = u0 (x) per x ∈ Ωut (x, 0) = v0 (x) per x ∈ Ω.

(4.11)

I problemi (4.9), (4.10), (4.11) hanno alcune caratteristiche matematiche comu-ni: l’equazione differenziale è lineare omogenea e le condizioni al contorno sonoomogenee, quindi sovrapposizione di soluzioni di equazione+condizioni al bordorisolve ancora entrambe; inoltre, le variabili spazio e tempo si possono assumerevariabili in domini separati: x ∈ Ω, t > 0. Tutto ciò suggerisce che si possonocercare soluzioni a variabili separate in spazio e tempo, cioè del tipo:

u (x, t) = X (x)T (t) .

119

Sostituendo ad esempio in (4.9) si trova:

XT ′ = kT∆X

T ′

kT(t) =

∆X

X(x)

da cui ogni membro dev’essere costante. Abbiamo allora:

T ′ = −λkT per t > 0

∆X + λX = 0 in Ω,

X = 0 su ∂Ω.

Vediamo cioè che il problema (4.9) si spezza in un problema agli autovalori∆X (x) + λX (x) = 0 x ∈ ΩX (x) = 0 x ∈ ∂Ω

(4.12)

e un’equazione in T,T ′ (t) = −kλT (t) ,

elementarmente integrabile una volta noto λ. In modo analogo, il problema(4.10) porta al problema agli autovalori

∆X (x) + λX (x) = 0 x ∈ Ω∂X∂ν (x) = 0 x ∈ ∂Ω

(4.13)

e alla stessa equazione in T , e il problema (4.11) porta ancora al problema agliautovalori (4.12), e questa volta all’equazione in T

T ′′ (t) = −c2λT (t) .

In conclusione: problemi di Cauchy-Dirichlet o di Cauchy-Neumann per l’e-quazione del calore o delle onde portano, impostandone la risoluzione per sepa-razione di variabili, a studiare come sottoproblema un problema agli autovaloriper l’equazione di Laplace, su un dominio del piano o dello spazio, con condizionial contorno di tipo Dirichlet o di tipo Neumann, cioè (4.12) o (4.13). Vale lapena quindi dedicare un po’ di attenzione a questo problema agli autovaloridi per sé, che si può vedere come un analogo in più variabili di quello che inuna sola variabile sono i problemi di Sturm-Liouville che abbiamo consideratoin precedenza. Si noti che per ora non abbiamo detto niente sul dominio Ω(dimensioni, forma, regolarità...), tuttavia alcune proprietà di base si possonostabilire molto in generale.

Teorema 4.10 Sia Ω un dominio limitato del piano o dello spazio, regolarequanto basta perché ci si possa applicare il teorema della divergenza. Sup-poniamo che (X,λ) e (Y, µ) siano due coppie autofunzione-autovalore (X,Ynon identicamente nulle e C2

(Ω)) che risolvono il problema (4.12) oppure il

problema (4.13). Allora:

λ 6= µ =⇒∫

Ω

X (x)Y (x) dx = 0.

120

cioè: autofunzioni relative ad autovalori distinti sono tra loro ortogonali inL2 (Ω). Inoltre gli autovalori sono positivi.

Dimostrazione. Consideriamo le identità

∆X (x) + λX (x) = 0

∆Y (x) + µY (x) = 0.

Moltiplichiamo la prima per Y, la seconda per X, sottraiamo e integriamo in Ω:

(λ− µ)

∫Ω

X (x)Y (x) dx =

∫Ω

(Y∆X −X∆Y ) dx.

Ora trasformiamo l’ultimo integrale mediante la seconda identità di Green (v.(1.2), §1.2) e otteniamo:

(λ− µ)

∫Ω

X (x)Y (x) dx =

∫∂Ω

(Y∂X

∂ν−X∂Y

∂ν

)dσ = 0

perché, a seconda delle condizioni al contorno che sto considerando, o X e Ysono nulle su ∂Ω (problema di Dirichlet) o ∂X

∂ν ,∂Y∂ν sono nulle su ∂Ω (problema

di Neumann). Ne segue, essendo λ 6= µ, che∫Ω

X (x)Y (x) dx = 0.

Proviamo la positività degli autovalori. Moltiplichiamo l’equazione ∆X (x) +λX (x) = 0 per X e integriamo in Ω:

λ

∫Ω

X (x)2dx =

∫Ω

−X∆X (x) dx =

∫Ω

|∇X (x)|2 dx−∫

Ω

∇ · (X∇X) dx

=

∫Ω

|∇X (x)|2 dx−∫∂Ω

(X∂X

∂ν

)dσ =

∫Ω

|∇X (x)|2 dx

di nuovo per le condizioni al contorno, che comportano l’annullarsi dell’integraledi bordo. Quindi:

λ =

∫Ω|∇X (x)|2 dx∫ΩX (x)

2dx

> 0.

I risultati appena visti e l’analogia con quanto accade per i problemi diSturm-Liouville suggeriscono che ci si possa aspettare, almeno per domini Ω“buoni”, l’esistenza di una successione di autovalori e una famiglia di autofun-zioni corrispondenti, che risultino formare un sistema ortonormale completo diL2 (Ω). Se e quando così accade, il problema (4.9), ad esempio, avrà soluzionia variabili separate del tipo:

un (x, t) = Xn (x) e−kλnt

121

e quindi potremo cercare una soluzione

u (x, t) =

∞∑n=0

cnXn (x) e−kλnt (4.14)

imponendo

u0 (x) =

∞∑n=0

cnXn (x)

ossia pur di saper sviluppare u0 in serie di autofunzioni del laplaciano. Analoghiprocedimenti valgono per l’equazione delle onde: il problema (4.11) avrà soluzionia variabili separate del tipo:

un (x, t) = Xn (x)[an cos

(c√λnt)

+ bn sin(c√λnt)]

(4.15)

e quindi potremo cercare una soluzione

u (x, t) = X0 (x) +

∞∑n=1

Xn (x)[an cos

(c√λnt)

+ bn sin(c√λnt)]

imponendo

u0 (x) = X0 (x) +

∞∑n=1

anXn (x)

v0 (x) =

∞∑n=1

bnc√λnXn (x)

ossia pur di saper sviluppare u0 e v0 in serie di autofunzioni del laplaciano.

Tutta la discussione precedente mostra quindi che è utile studiare il problemaagli autovalori per il laplaciano su vari domini del piano e dello spazio e stabilirese e quando questo possiede un sistema ortonormale completo di autosoluzioni.Quando la geometria di Ω è semplice, il problema agli autovalori può essere asua volta impostato mediante separazione di variabili. In un piccolo numerodi geometrie semplici questi problemi sono stati sviscerati classicamente: seΩ è un rettangolo, un cerchio, una sfera, un cilindro, di questi problemi sisa tutto; le autofunzioni sono scritte esplicitamente in termini di opportunefunzioni speciali, gli autovalori sono noti. Per domini più generali ciò che èpossibile fare è da una parte dimostrare teoremi di esistenza sotto opportuneipotesi, d’altro canto sviluppare metodi di calcolo numerico approssimato diautofunzioni e autovalori. Nel seguito di questo paragrafo tratteremo le duesituazioni geometricamente più semplici: rettangolo e cerchio.

4.4 L’equazione di Helmholz sul rettangolo

L’equazione∆u+ λu = 0

122

è detta anche equazione di Helmholz. Studiamola sul rettangolo, con condizioneal contorno di Dirichlet nulla: uxx + uyy + λu = 0 0 ≤ x ≤ a; 0 ≤ y ≤ b

u (0, y) = u (a, y) = 0 0 ≤ y ≤ bu (x, 0) = u (x, b) = 0 0 ≤ x ≤ a.

Impostiamo il problema per separazione delle variabili, cercando

u (x, y) = X (x)Y (y) .

Si trova:

X ′′Y +XY ′′ + λXY = 0

−X′′

X= λ+

Y ′′

Y

e ciascuno dei due membri dev’essere costante, poiché il primo è funzione di xe il secondo di y. Quindi per qualche µ reale si ha, tenendo conto anche dellecondizioni al contorno:

−X ′′ = µXX (0) = X (a) = 0Y ′′ = (−λ+ µ)YY (0) = Y (b) = 0.

Si tratta di due problemi agli autovalori, distinti e simili. Il primo, in X,µ hacome soluzioni:

Xn (x) = sin(nπx

a

);µ =

(nπa

)2

, n = 1, 2, 3, ...

Il secondo, in Y, λ, ha come soluzioni

Ym (x) = sin(mπy

b

);λ− µ =

(mπb

)2

il che porta in definitiva a una successione a due indici di autovalori e autofun-zioni:

un,m (x, y) = sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)λn,m =

(nπa

)2

+(mπb

)2

= π2

(n2

a2+m2

b2

).

Si noti che abbiamo effettivamente ottenuto una successione di autofunzioniche costituisce un sistema ortonormale completo di L2 ([0, a]× [0, b]) con unasuccessione di autovalori che tende a +∞.Per risolvere il problema di Cauchy-Dirichlet occorrerà sviluppare il dato

iniziale in serie di Fourier in due variabili.

123

4.4.1 Membrana vibrante rettangolare

Se ad esempio stessimo risolvendo questo problema per risolvere poi il proble-ma di Cauchy-Dirichlet (4.11) per l’equazione delle onde (membrana vibranterettangolare) avremmo, in base alla discussione fatta in precedenza e alla (4.15)

u (x, y, t) =

∞∑n,m=1

sin(nπx

a

)sin(mπy

b

·[an,m cos

(cπ

√n2

a2+m2

b2t

)+ bn,m sin

(cπ

√n2

a2+m2

b2t

)],

nella quale potremmo determinare i coeffi cienti an,m, bn,m per soddisfare le con-dizioni iniziali. Se imponiamo che la velocità iniziale sia nulla troviamo ancorabn,m = 0 e

u (x, y, t) =

∞∑n,m=1

cn,mun,m (x, y, t)

con

un,m (x, y, t) = sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)cos

(cπ

√n2

a2+m2

b2t

)e i coeffi cienti cn,m si determinano sviluppando il dato iniziale in serie di Fourier(sviluppo in serie di soli seni) in due variabili:

u0 (x, y) = cn,m sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)cn,m =

4

ab

∫ ∫[0,a]×[0,b]

u0 (x, y) sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)dxdy

Ci sono interessanti analogie e differenze tra la membrana vibrante e lacorda vibrante fissata agli estremi, studiata nel § 5.3.1. Anche qui la genericavibrazione è sovrapposizione di infinite vibrazioni stazionarie: in ogni vibrazionestazionaria un,m (x, y, t) ogni punto della membrana oscilla su e giù di motoarmonico. Tutti i punti della membrana in cui

sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)= 0

sono immobili in ogni istante. Questi punti costituiscono le linee nodali, che sono(oltre ai lati del rettangolo) gli (n− 1) + (m− 1) segmenti interni al rettangolodati da:

x =k

na con k = 1, 2, ..., n− 1

y =h

mb con h = 1, 2, ...,m− 1.

124

Ad esempio, per n = 2,m = 3 la vibrazione avviene come suggerito da questasequenza di immagini per istanti successivi:

Notiamo che per la membrana vibrante rettangolare, diversamente dalla cor-da vibrante fissata agli estremi, le frequenze della vibrazioni stazionarie non sonomultiple intere della frequenza fondamentale, in quanto i numeri

c

2

√n2

a2+m2

b2

non sono in generale multipli interi di

c

2

√1

a2+

1

b2.

Dal punto di vista musicale, le frequenze più alte non sono “armoniche”rispettoalla frequenza fondamentale. Questo è il motivo per cui diffi cilmente il suonoemesso da un tamburo viene percepito come una nota ben definita.Il caso della membrana quadrata (a = b) ha una particolarità interessante.

Consideriamo due interi positivi n,m diversi tra loro, e consideriamo le due

125

vibrazioni stazionarie

un,m (x, y, t) = sin(nπx

a

)sin(mπy

a

)cos(cπa

√n2 +m2t

)um,n (x, y, t) = sin

(mπxa

)sin(mπy

a

)cos(cπa

√n2 +m2t

).

Si noti che la parte temporale è la stessa: cos(cπa

√n2 +m2t

); in particolare,

le due funzioni hanno la stessa frequenza, lo stesso periodo, e ogni loro combi-nazione lineare ha di conseguenza lo stesso periodo. Ciò significa che anche lefunzioni

c1un,m (x, y, t) + c2um,n (x, y, t)

sono vibrazioni periodiche (stazionarie). Tuttavia, queste possono avere formemolto complicate, come si capisce ad esempio chiedendosi quali sono le loro lineenodali, che sono le linee interne al rettangolo, soluzioni dell’equazione:

c1 sin(nπx

a

)sin(mπy

a

)+ c2 sin

(mπxa

)sin(mπy

a

)= 0.

Questo è il fenomeno della degenerazione della membrana quadrata, consistentenell’esistenza di vibrazioni stazionarie complicate. Ad esempio, rappresentiamo(per a = 1) le funzioni

c1u2,3 (x, y, 0) + c2u3,2 (x, y, 0) = c1 sin (2πx) sin (3πy) + c2 sin (3πx) sin (2πy)

e le loro linee di livello per alcune scelte dei coeffi cienti c1, c2.Per c1 = 0.1, c2 = 0.9 grafico e linee di livello sono:

Per c1 = 0.3, c2 = 0.7 grafico e linee di livello sono:

126

Per c1 = 0.5, c2 = 0.5 grafico e linee di livello sono:

4.4.2 Equazione del calore sul rettangolo

Segnaliamo anche che se stessimo risolvendo il problema agli autovalori perrisolvere poi il problema di Cauchy-Dirichlet (4.9) per l’equazione del caloreavremmo, in base alla discussione fatta in precedenza e alla (4.14)

u (x, y, t) =

∞∑n,m=1

cn,m sin(nπx

a

)sin(mπy

b

)e−kπ2

(n2

a2+m2

b2

)t,

nella quale potremmo determinare i coeffi cienti cn,m per soddisfare la condizioneiniziale.

4.5 L’equazione di Helmholz sul cerchio. Funzioni di Besseldi ordine intero

Studiamo ora l’equazione di Helmholz sul cerchio unitario, con condizione alcontorno di Dirichlet nulla. Scrivendo il laplaciano in coordinate polari si ha:

∂2u

∂ρ2+

1

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2

∂2u

∂ϑ+ λu = 0 0 < ρ < 1; 0 ≤ ϑ ≤ 2π

u (1, ϑ) = 0 0 ≤ ϑ ≤ 2π.(4.16)

Si noti che abbiamo posto, per semplicità, il raggio del cerchio r = 1. Infatti seu risolve

∆u+ λu = 0 per ρ < 1u = 0 per ρ = 1

la funzionev (ρ, ϑ) = u

(ρr, ϑ)

risolverà ∆v + λ

r2 v = 0 per ρ < rv = 0 per ρ = r

127

quindi l’equazione di Helmholz sul cerchio di raggio qualsiasi si risolve prendendole opportune dilatazioni di autofunzioni e autovalori del laplaciano sul cerchiounitario.Per risolvere il problema (4.16), separiamo le variabili cercando

u (ρ, ϑ) = R (ρ) Θ (ϑ) .

R′′Θ +1

ρR′Θ +

1

ρ2RΘ′′ + λRΘ = 0

ρ2R′′

R+ ρ

R′

R+ λρ2 = −Θ′′

Θ

che porta a:

−Θ′′ = µΘ

ρ2R′′ + ρR′ +(λρ2 − µ

)R = 0.

La prima equazione, unita alla condizione di periodicità su Θ, porta a

Θn (ϑ) = an cos (nϑ) + bn sin (nϑ)

µ = n2;n = 0, 1, 2, ...

e la seconda diventa

ρ2R′′ + ρR′ +(λρ2 − n2

)R = 0, (4.17)

problema agli autovalori in λ da risolversi per ρ ∈ [0, 1], con R (1) = 0 (con-dizione al contorno nulla), e R (0) finita.

4.5.1 Equazione di Bessel ed autofunzioni del laplaciano sul cerchio

Riscrivendo l’equazione (4.17) nella forma

ρR′′ +R′ +

(λρ− n2

ρ

)R = 0

e quindi

(ρR′)′+

(λρ− n2

ρ

)R = 0 per ρ ∈ (0, 1) ,

si vede che si tratta di un problema di Sturm-Liouville singolare (il coeffi cientep (ρ) = ρ si annulla in 0). Da questa forma dell’equazione si legge che perautosoluzioni relative ad autovalori λ distinti sono ortogonali in L2 ((0, 1) , ρdρ).Si osservi che in questa equazione l’intero n = 0, 1, 2, ... è fissato (cioè: per ogni nstiamo studiando una diversa equazione); il numero λ che cerchiamo è senz’altropositivo perché per come è stato impostato il problema λ è un autovalore delLaplaciano. Siamo interessati a determinare le soluzioni R (ρ) dell’equazione in(0, 1) che siano limitate in 0 e si annullino in 1.

128

Si procede così: poniamo λ = ω2 ed eseguiamo il cambio di variabili ωρ = x,ponendo

R (ρ) = R(xω

)= X (x) ,

X ′ (x) =1

ωR′(xω

)=

1

ωR′ (ρ)

X ′′ (x) =1

ω2R′′ (ρ)

si ha:

ρ2ω2R′′ + ρωR′ +(ω2ρ2 − n2

)R = 0,

x2R′′ + xR′ +(x2 − n2

)R = 0 per x ∈ (0, ω) , con

R (ω) = 0, R (0) limitata.

L’equazione

x2R′′ + xR′ +(x2 − n2

)R = 0 per x ∈ (0,+∞) (4.18)

si dice equazione di Bessel di ordine n = 0, 1, 2, 3, ... A noi interessa risolverlain (0, ω) imponendo la condizione R (ω) = 0 (e la limitatezza in 0), ma poichéω è ancora incognita, diciamo che ci interessa risolverla in (0,+∞).

Enunciamo senza dimostrazione una serie di proprietà che riguardano l’e-quazione di Bessel.1. L’integrale generale dell’equazione di Bessel di ordine n = 0, 1, 2, ... ha la

formac1Jn (x) + c2Yn (x)

dove Jn (x), detta funzione di Bessel di prima specie di ordine n = 0, 1, 2, ..., èregolare in [0,+∞), mentre Yn (x), detta funzione di Bessel di seconda speciedi ordine n = 0, 1, 2, ..., è regolare in (0,+∞) ma illimitata in 0. Quindi lasoluzione che ci interessa della (4.18) è R (x) = Jn (x).2. L’espressione analitica di Jn (x), che si può ricavare col metodo di Frobe-

nius, cercando una soluzione dell’equazione (4.18) in forma di serie di potenze(come abbiamo fatto per l’equazione di Legendre), ricavandone una relazione diricorrenza sui coeffi cienti e quindi risalendo all’espressione esplicita dei coeffi ci-enti stessi, è la seguente:

Jn (x) =

∞∑k=0

(−1)k

k! (n+ k)!

(x2

)2k+n

,

da cui in particolare si legge che per x→ 0 è Jn (x) ∼ cxn.3. La funzione Jn (x) ha infinite oscillazioni in (0,+∞) , in particolare ha

una successione di zeri kn,m∞m=1 che tende a infinito.

129

Grafici delle funzioni Jn (x) per n da 0 a 5

Jn (x) , n→kn,m,m ↓

0 1 2 3 4 5

1 2.405 3.832 5.136 6.380 7.588 8.7712 5.520 7.016 8.417 9.761 11.065 12.3393 8.654 10.173 11.620 13.015 14.372 15.7004 11.792 13.324 14.796 16.223 17.616 18.980

Valori di alcuni zeri delle funzioni di Bessel

Poiché vogliamo R (ω) = 0 dovrà essere

ω = kn,m per qualche m,

ossia λ = k2n,m. Quindi, per ogni intero n = 0, 1, 2, ..., l’equazione (4.17) ha

soluzioni solo se λ è uno dei valorik2n,m

∞m=1

, e in tal caso la soluzione è

R (ρ) = Jn (kn,mρ) .

130

Grafici di J0 (k0,mx) per m = 1, 2, 3, 4.

Grafici di J1 (k1,mx) per m = 1, 2, 3, 4.

Grafici di J2 (k2,mx) per m = 1, 2, 3, 4.

131

Per ciascun n fissato il sistema (a un solo indice) Jn (kn,mρ)∞m=1 è ortog-onale completo in L2 ([0, 1] , ρdρ). L’ortogonalità è già stata dimostrata. Nondimostriamo la completezza.4. Si hanno quindi le seguenti autosoluzioni a variabili separate di (4.16):

Jn (kn,mρ) cos (nϑ) per n = 1, 2, 3, ... m = 1, 2, 3, ...Jn (kn,mρ) sin (nϑ) per n = 1, 2, 3, ... m = 1, 2, 3, ...J0 (k0,mρ) per m = 1, 2, 3, ...

(4.19)

corrispondenti alla successione a due indici di autovalorik2n,m

∞n=0,1,2,...m=1,2,...

.Gli autovalori sono i quadrati di tutti gli zeri di tutte le funzioni di Bessel diprima specie. Le autofunzioni (4.19) costituiscono un sistema ortogonale com-pleto in L2 ([0, 1]× [0, 2π] , ρdρdϑ) ossia, passando in coordinate cartesiane, inL2 del cerchio unitario. Questo discende dal seguente argomento generale.Sappiamo già che per ogni n fissato Jn (kn,mρ)∞m=1 è ortogonale completo

in L2 ([0, 1] , ρdρ);sappiamo che cos (nϑ) , sin (nϑ) , 1∞n=1 è ortogonale completo in L

2 ([0, 2π] , dϑ);allora presa una funzione f ∈ L2 ([0, 1]× [0, 2π] , ρdρdϑ) possiamo:1. per ρ fissato sviluppare f in serie di Fourier rispetto a ϑ:

f (ρ, ϑ) =A0 (ρ)

2+

∞∑n=1

An (ρ) cos (nϑ) +Bn (ρ) sin (nϑ) ;

ora per ogni n sviluppiamo An e Bn in serie rispetto al sistema Jn (kn,mρ)∞m=1,e sviluppiamo A0 in serie rispetto al sistema J0 (k0,mρ)∞m=1. Otteniamo:

f (ρ, ϑ) =1

2

∞∑m=1

a0,mJ0 (k0,mρ) + (4.20)

+

∞∑n=1

∞∑m=1

an,mJn (kn,mρ) cos (nϑ) +

∞∑m=1

bn,mJn (kn,mρ) sin (nϑ)

che è esattamente uno sviluppo rispetto al sistema (4.19), che pertanto risultacompleto.

Le funzioni (4.19) sono ortogonali complete ma non normalizzate. Percalcolare i coeffi cienti di normalizzazione occorre sapere che:∫ 1

0

Jn (kn,mρ)2ρdρ =

1

2J2n+1 (kn,m) .

132

Tenuto conto di questo, i coeffi cienti dello sviluppo (4.20) si calcolano così:

an,m =2

πJ2n+1 (kn,m)

∫ 2π

0

cos (nϑ)

∫ 1

0

f (ρ, ϑ) Jn (kn,mρ) ρdρdϑ

per n = 0, 1, 2, ...,m = 1, 2, ...

bn,m =2

πJ2n+1 (kn,m)

∫ 2π

0

sin (nϑ)

∫ 1

0

f (ρ, ϑ) Jn (kn,mρ) ρdρdϑ

per n = 1, 2, ...,m = 1, 2, ...

Si possono ora trarre conseguenze sulla soluzione di un problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore o delle onde sul cerchio.

4.5.2 La membrana vibrante circolare

Per la membrana vibrante circolare con velocità iniziale nulla e posizione inizialef (ρ, ϑ) si troverà soluzione:

u (t, ρ, ϑ) =1

2

∞∑m=1

a0,mJ0 (k0,mρ) cos (k0,mct)

+

∞∑n=1

Jn (kn,mρ)

∞∑m=1

[an,m cos (nϑ) + bn,m sin (nϑ)] cos (kn,mct) .

Si può dimostrare che questa formula assegna effettivamente una funzionedue volte derivabile e soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet se si supponeche la condizione iniziale f (ρ, ϑ) è C4 e sia f che fρρ + 1

ρfρ si annullano sulbordo. Per questa discussione si rimanda a [Weinberger p.184].Le soluzioni stazionarie sono le seguenti:

J0 (k0,mρ) cos (k0,mct)

Jn (kn,mρ) cos (nϑ) cos (kn,mct)

Jn (kn,mρ) sin (nϑ) cos (kn,mct)

In particolare, le frequenze proprie di vibrazione della membrana circolare(di raggio unitario) fissata al bordo risultano essere

kn,mc

e, come nel caso del rettangolo, non sono multiple intere della frequenza fon-damentale (un tamburo circolare non è in generale più musicale di un tamburoquadrato).Ricordando la discussione fatta all’inizio del paragrafo, se invece di essere

sul cerchio di raggio 1 fossimo sul cerchio di raggio r gli autovalori andrebberodivisi per r2, ossia

λn,m =k2n,m

r2

133

e quindi le frequenze risulterebbero:

νn,m =kn,mc

2πr.

Dal punto di vista musicale: un tamburo più grande ha una frequenza fonda-mentale corrispondente a una nota più grave, a parità di altre condizioni; perraddoppiare la frequenza occorre dimezzare il raggio del tamburo.Le linee nodali delle soluzioni stazionarie sono:-le circonferenze interne al cerchio, lungo cui si ha Jn (kn,mρ) = 0, ossia

ρ =kn,jkn,m

per j = 1, 2, ...,m− 1 (sono m− 1 circonferenze interne, più il bordodel cerchio);-i raggi lungo cui si ha cos (nϑ) = 0 oppure sin (nϑ) = 0, ad es. per sin sono

ϑ = knπ, con k = 0, 1, ..., 2n− 1. (Sono 2n raggi, cioè n diametri; per J0 queste

linee nodali non compaiono).Mostriamo qualche grafico delle funzioni J0 (k0,mρ) (m = 1, 2, 3, 4):

Qualche grafico delle funzioni Jn (kn,mρ) cos (nϑ) , con le relative linee dilivello (tra cui si vedono i raggi e le circonferenze che costituiscono le linee

134

nodali):

J1 (k1,1ρ) cos (ϑ)

J1 (k1,2ρ) cos (ϑ)

135

J2 (k2,1ρ) cos (2ϑ)

J2 (k2,2ρ) cos (2ϑ)

Un caso particolarmente semplice ma interessante è quando la condizioneiniziale è di tipo radiale. Si ha in tal caso:

u (t, ρ, ϑ) =1

2

∞∑m=1

a0,mJ0 (k0,mρ) cos (k0,mct)

dove

f (ρ) =1

2

∞∑m=1

a0,mJ0 (k0,mρ) .

4.6 Equazione di Helmholz sul cilindro

Consideriamo l’equazione di Helmholz sul cilindro di raggio 1 e altezza l, con con-dizioni di Dirichlet nulle sul bordo. In coordinate cilindriche (ρ, ϑ, z) il problemaagli autovalori si scrive:

uρρ + 1ρuρ + 1

ρ2uϑϑ + uzz + λu = 0 per ρ ∈ (0, 1) , ϑ ∈ (0, 2π) , z ∈ (0, l)

u (r, ϑ, z) = 0u (ρ, ϑ, 0) = 0u (ρ, ϑ, l) = 0.

136

Se il raggio del cilindro non è 1ma r, come nel caso del cerchio le autofunzionisi ottengono da queste per cambiamento di scala v (ρ, ϑ, z) = u

(ρr , ϑ, z

), e gli

autovalori vanno divisi per r2.Impostando il problema per separazione di variabili,

u (ρ, ϑ, z) = R (ρ) Θ (ϑ)Z (z)

si trovaR′′

R+R′

ρR+

1

ρ2

Θ′′

Θ+Z ′′

Z+ λ = 0

e ragionando al solito modo, tenuto conto anche delle condizioni al bordo e dellaperiodicità di Θ si ha:

Z ′′ = µZZ (0) = Z (l) = 0

da cui

Z (z) = sin

(kπz

l

);µ = −

(kπ

l

)2

;Θ′′ = νΘΘ 2π-periodica

da cuiΘ (ϑ) = a cos (nϑ) + b sin (nϑ) ; ν = −n2

e quindi

R′′

R+R′

ρR− n2 1

ρ2−(kπ

l

)2

+ λ = 0R′′ + R′

ρ −n2

ρ2R+(λ−

(kπl

)2)R = 0

R (1) = 0, R (0) limitata

che è un’equazione di Bessel di ordine n, le cui soluzioni sono quindi, per ognin fissato,

R (ρ) = Jn (kn,mρ)

con autovalori

k2n,m = λ−

(kπ

l

)2

da cui ricaviamo che gli autovalori del problema iniziale sono la successione atre indici interi

λn,m,k = k2n,m +

(kπ

l

)2

per n = 0, 1, 2, ;m = 1, 2, ...; k = 1, 2, ...

137

Le soluzioni a variabili separate sono quindi:

u (ρ, ϑ, z) = Jn (kn,mρ) sin

(kπz

l

)cos (nϑ)

u (ρ, ϑ, z) = Jn (kn,mρ) sin

(kπz

l

)sin (nϑ)

mediante le quali possiamo poi esprimere la soluzione di un problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore o delle onde sul cilindro. Ad esempio:

4.6.1 L’equazione del calore sul cilindro

La soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore sulcilindro:

ut −D(uρρ + 1

ρuρ + 1ρ2uϑϑ + uzz

)= 0 per ρ ∈ (0, 1) , ϑ ∈ (0, 2π) , z ∈ (0, l)

u (t, r, ϑ, z) = 0u (t, ρ, ϑ, 0) = 0u (t, ρ, ϑ, l) = 0u (0, ρ, ϑ, z) = f (ρ, ϑ, z)

si può esprimere mediante la serie

u (t, ρ, ϑ, z) =

∞∑m=1

∞∑k=1

a0,m,ke−D

(k20,m+( kπl )

2)tJ0 (k0,mρ) sin

(kπz

l

)

+

∞∑n=1

∞∑m=1

∞∑k=1

e−D

(k2n,m+( kπl )

2)tJn (kn,mρ) sin

(kπz

l

)an,m,k cos (nϑ) + bn,m,k sin (nϑ)

dove i coeffi cienti an,m,k, bn,m,k sono quelli dello sviluppo del dato iniziale f inserie di funzioni ortonormali:

f (ρ, ϑ, z) =

∞∑m=1

∞∑k=1

a0,m,kJ0 (k0,mρ) sin

(kπz

l

)

+

∞∑n=1

∞∑m=1

∞∑k=1

Jn (kn,mρ) sin

(kπz

l

)an,m,k cos (nϑ) + bn,m,k sin (nϑ)

e di conseguenza hanno queste espressioni

an,m,k =2

J2n+1 (kn,m)

∫ 1

0

(2

l

∫ l

0

(1

π

∫ 2π

0

f (ρ, ϑ, z) cos (nϑ) dϑ

)sin

(kπz

l

)dz

)Jn (kn,mρ) ρdρ

bn,m,k =2

J2n+1 (kn,m)

∫ 1

0

(2

l

∫ l

0

(1

π

∫ 2π

0

f (ρ, ϑ, z) sin (nϑ) dϑ

)sin

(kπz

l

)dz

)Jn (kn,mρ) ρdρ

138

4.7 Equazione di Helmholz sulla sfera. Funzioni di Besselsferiche

Consideriamo l’equazione di Helmholz sulla sfera di raggio unitario, che incoordinate sferiche x = ρ sinϑ cosϕ

y = ρ sinϑ sinϕz = ρ cosϑ

assume la forma:∂2u

∂ρ2+

2

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2 sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂u

∂ϑ

)+

1

ρ2 sin2 ϑ

∂2u

∂ϕ+ λu = 0

per 0 < ρ < 1,0 < ϑ < π,0 < ϕ < 2π

u (1, ϑ, ϕ) = 0per 0 < ϑ < π,0 < ϕ < 2π.

Analogamente a quanto visto nel caso del cerchio o del cilindro, se la sfera avesseraggio r ci si riconduce a questo caso col cambiamento di scala v (ρ, ϑ, ϕ) =u(ρr , ϑ, ϕ

)e dividendo per r3 gli autovalori che troveremo per la sfera di raggio

unitario.Cercando soluzioni a variabili separate

u (ρ, ϑ, ϕ) = R (ρ)S (ϑ, ϕ) ,

ponendo

∆(ϑ,ϕ) =1

sinϑ

∂ϑ

(sinϑ

∂ϑ

)+

1

sin2 ϑ

∂2

∂ϕ

e sfruttando i calcoli già fatti nello studio del laplaciano sulla sfera (v. §8.3.1)si ha:(

ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ))S (ϑ, ϕ) +R (ρ) ∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ) + λρ2R (ρ)S (ϑ, ϕ) = 0

ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ) + λρ2R (ρ)

R (ρ)= −

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ)

S (ϑ, ϕ)

da cui ricaviamo che per qualche costante µ si ha

ρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ) + λρ2R (ρ)

R (ρ)= µ = −

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ)

S (ϑ, ϕ).

Ora il problema agli autovalori

∆(ϑ,ϕ)S (ϑ, ϕ) + µS (ϑ, ϕ) = 0

è già stato risolto e porta alle armoniche sferiche; precisamente si ha (v. §8.3.1)

µ = n (n+ 1)

Sn,m (ϑ, ϕ) = Pmn (cosϑ) (a cosmϕ+ b sinmϕ)

139

per n = 0, ...,∞, m = 0, ..., n. L’equazione radiale diventa alloraρ2R′′ (ρ) + 2ρR′ (ρ) +

(λρ2 − n (n+ 1)

)R (ρ) = 0

R (1) = 0,

equazione che assomiglia all’equazione di Bessel (v. §8.4.3)

ρ2R′′ + ρR′ +(λρ2 − n2

)R = 0

ma non lo è per via del termine 2R′ anziche R′.Per riportarla a un’equazione di Bessel si esegue il cambio di variabile

R (ρ) = ρ−1/2S (ρ) .

I soliti calcoli noiosi portano in definitiva all’equazioneρ2S′′ (ρ) + ρS′ (ρ) +

(λρ2 −

(n+ 1

2

)2)S (ρ) = 0

S (1) = 0

che è un’equazione di Bessel di ordine n+ 12 , cioè non intero ma semiintero (il

doppio di n+ 12 è un intero, dispari). O meglio, come nel caso dell’equazione di

Bessel studiata nel §8.4.3, ponendo√λρ = x si trasforma nell’equazione x2S′′ (x) + xS′ (x) +(x2 −

(n+ 1

2

)2)S (x) = 0

S(√

λ)

= 0

Apriamo allora una parentesi su quest’equazione.

4.7.1 Equazione e funzioni di Bessel di ordine semiintero

Consideriamo l’equazione differenziale

x2y′′ (x) + xy′ (x) +(x2 − ν2

)y (x) = 0 per x > 0

e ν > 0 assegnato. Si dice equazione di Bessel di ordine ν. Se ν = n + 12 ,

l’unica soluzione dell’equazione che sia limitata in x = 0 è (a meno di costantemoltiplicativa) la funzione di Bessel di ordine semiintero (detta anche funzionedi Bessel sferica):

Jn+ 12

(x) =(x

2

)n+ 12∞∑k=0

(−1)k

k!Γ(n+ k + 1 + 1

2

) (x2

)2k

,

dove Γ (t) =∫ +∞

0tx−1e−tdt è la funzione Gamma di Eulero e

Γ

(n+ k + 1 +

1

2

)=

(2 (n+ k) + 1)!!

2n+k√π

, con

(2r + 1)!! = (2r + 1) (2r − 1) (2r − 3) (2r − 5) ...5 · 3

140

L’autovalore λ corrispondente è uno della successione

λn,h = k2n+ 1

2 ,h,

dove kn+ 12 ,h

è l’h-esimo zero della funzione Jn+ 12

(x) e la successione kn+ 12 ,h

tende a infinito.

Vale anche la seguente formula

Jn+ 12

(x) = (−1)n (2x)

n+ 12

√π

dn

d (x2)n

(sinx

x

)dove la bizzarra scrittura dn

d(x2)n

(sin xx

)ha il seguente significato. Dopo aver

scritto (in base allo sviluppo di Taylor di sinx)

sinx

x=

∞∑k=0

(−1)k x2k

(2k + 1)!

si deriva formalmente questa serie rispetto alla variabile x2, cioè si deriva n volterispetto a t la serie

∞∑k=0

(−1)k tk

(2k + 1)!

e si pone t = x2 nel risultato.

Esempio 4.11 Si ha:

J1/2 (x) =

√2

πxsinx

J3/2 (x) = −√

2

πx

(cosx− sinx

x

).

Si dimostra che per ogni n = 0, 1, 2, ... le funzioniJn+ 1

2

(kn+ 1

2 ,mρ)∞

m=1

(opportunamente normalizzate) sono un s.o.n.c. in

L2 ((0, 1) , ρdρ) .

Per il calcolo dei coeffi cienti di normalizzazione, vale ancora la formula:∫ 1

0

Jn+ 12

(kn+ 1

2 ,mρ)2

ρdρ =1

2J2n+1+ 1

2

(kn+ 1

2 ,m

).

Riportiamo qualche informazione quantitativa sulle prime funzioni di Besseldi ordine semiintero.

141

J1/2 (x) =

√2

πxsinx

J3/2 (x) = −√

2

πx

(cosx− sinx

x

)J5/2 (x) =

√2

πx

(−3

cosx

x− sinx+

3 sinx

x2

)J7/2 (x) =

√2

πx

(cosx− 15 cosx

x2+

15 sinx

x3− 6

sinx

x

)J9/2 (x) =

√2

πx

(−105 cosx

x3+

10 cosx

x+ sinx+

105 sinx

x4− 45 sinx

x2

)

kn+1/2,h h = 1 h = 2 h = 3 h = 4 h = 5n = 0 3.14159 6.28319 9.42478 12.5664 15.708n = 1 4.49341 7.72525 10.9041 14.0662 17.2208n = 2 5.76346 9.09501 12.3229 15.5146 18.689n = 3 6.98793 10.4171 13.698 16.9236 20.1218n = 4 8.18256 11.7049 15.0397 18.3013 21.5254

Zeri delle funzioni di Bessel di ordine semiintero

Grafici delle funzioni di Bessel Jn+ 12

(x) per n = 0, 1, 2, 3, 4:

142

143

5

Grafici delle funzioni J 12

(k 12 ,hρ)per h = 1, 2, 3, 4, 5

Grafici delle funzioni J 32

(k 32 ,hρ)per h = 1, 2, 3, 4, 5

Tornando alla nostra equazione radiale, la soluzione è quindi

R (ρ) = ρ−1/2S (ρ) = ρ−1/2Jn+ 12

(kn+ 1

2 ,hρ)

con λ = k2n+ 1

2 ,h, h = 1, 2, 3....

Poiché per ρ→ 0 è Jn+ 12

(ρ) ∼ ρn+1/2 si ha R (ρ) ∼ ρn. In definitiva, le soluzionia variabili separate dell’equazione di Helmholz sulla sfera sono

un,m,h (ρ, ϑ, ϕ) = ρ−1/2Jn+ 12

(kn+ 1

2 ,hρ)Pmn (cosϑ) cosmϕ

u′n,m,h (ρ, ϑ, ϕ) = ρ−1/2Jn+ 12

(kn+ 1

2 ,hρ)Pmn (cosϑ) sinmϕ,

144

con autovaloriλn,h = k2

n+ 12 ,h

dove n = 0, 1, 2, ...;h = 1, 2, ...;m = 0, 1, ..., n.Per un ragionamento già visto più volte, il sistema a tre indici

un,m,h (ρ, ϑ, ϕ) , u′n,m,h (ρ, ϑ, ϕ)n=0,1,2,...;h=1,2,...;m=0,1,...,n

è ortogonale e, se normalizzato, ortonormale completo, nello spazio L2 prodotto.Precisamante, poiché sappiamo già che il sistema

Pmn (cosϑ) cosmϕ,Pmn (cosϑ) sinmϕn=0,1,2,...;m=0,1,...,n

è ortogonale completo in

L2 ((0, π)× (0, 2π) , sinϑdϑdϕ)

e per ogni n = 0, 1, 2, .. il sistemaJn+ 1

2

(kn+ 1

2 ,hρ)

h=1,2,...

è ortogonale completo inL2 ((0, 1) , ρdρ) ,

ne segue che il sistemaun,m,h (ρ, ϑ, ϕ) , u′n,m,h (ρ, ϑ, ϕ)

n=0,1,2,...;h=1,2,...;m=0,1,...,n

è ortogonale completo in

L2((0, 1)× (0, π)× (0, 2π) , ρ2 sinϑdρdϑdϕ

).

Si faccia attenzione al termine ρ2 anziché ρ, che compare grazie alla presenza deitermini ρ−1/2 nella definizione di un,m,h. D’altro canto, con cambio di variabilisferiche, si vede che la misura ρ2 sinϑdρdϑdϕ non è altro che la misura di volumedxdydz in coordinate cartesiane. Quindi le soluzioni a variabili separate sonoun s.o.n.c. in L2 della sfera.

4.8 L’equazione di Schrödinger per l’atomo di idrogeno ei polinomi di Laguerre

Consideriamo un atomo di idrogeno, costituito da un elettrone di massa me

e carica elettrica −e che ruota attorno al nucleo di carica e che supponiamoposto nell’origine. Vogliamo studiare il modello con cui la meccanica quan-tistica prevede dove si troverà l’elettrone. L’energia potenziale elettrostaticadell’elettrone è data da

V (ρ) = − e2

4πε0ρ,

145

dove ε0 è la costante di permettività del vuoto23 , e l’equazione di Schrödingerper la funzione d’onda Ψ (x, y, z, t) dell’elettrone è

i∂Ψ

∂t= − ~2

2me∆Ψ + VΨ.

Cercando soluzioni a variabili separate in spazio e tempo come abbiamo fattoper l’equazione delle onde o del calore nell §8.5.1 (e come abbiamo già fatto perl’equazione di Schrödinger nel caso unidimensionale studiato nel §8.4.2)

Ψ (x, y, z, t) = ψ (x, y, z)T (t)

troviamo

iT ′

T(t) =

− ~22me

∆ψ + V ψ

ψ(x, y, z)

da cui ogni membro dev’essere costante, chiamiamo E questa costante (chedimensionalmente è un’energia). L’equazione in T (t) è allora banale,

T ′ (t) = −iET (t)

T (t) = ce−iE t

mentre l’equazione significativa è

− ~2

2me∆ψ + V ψ = Eψ,

che affrontiamo ancora per separazione di variabili, dopo averla riscritta in co-ordinate sferiche. Utilizzando le notazioni introdotte nello studio del laplacianoin coordinate sferiche (§ 8.4.1, le conclusioni di quella discussione ci sarannoutili), conviene porre, in coordinate sferiche x = ρ sinϑ cosϕ

y = ρ sinϑ sinϕz = ρ cosϑ,

così che l’equazione diventa

− ~2

2m

(∂2u

∂ρ2+

2

ρ

∂u

∂ρ+

1

ρ2∆(ϑ,ϕ)

)+ V (ρ)ψ = Eψ

e cercandoψ (ρ, ϕ, ϑ) = R (ρ)Y (ϕ, ϑ)

si ha

−(ρ2R′′ + 2ρR′

)+ 2me

~2 ρ2 (V (ρ)− E)R

R(ρ) =

∆(ϑ,ϕ)Y

Y(ϕ, ϑ)

23 In altre parole, k = 1/4πε0 è la costante di Coulomb.

146

da cui ogni membro è costante, uguale a −λ. L’equazione in Y,

∆(ϑ,ϕ)Y (ϕ, ϑ) = −λY (ϕ, ϑ)

è la stessa che abbiamo incontrato risolvendo per separazione di variabili illaplaciano in coordinate sferiche, quindi possiamo trarre le stesse conclusioni.Si avrà24

λ = l (l + 1) , per l = 0, 1, 2...

Y (ϕ, ϑ) = Yl,m (ϕ, ϑ)l=0,...,∞m=0,...,l

Yl,0 (ϕ, ϑ) = Pl (cosϑ)

Yl,m (ϕ, ϑ) = Pml (cosϑ) (a cosmϕ+ b sinmϕ)

cioè la parte angolare della soluzione è costituita dalle armoniche sferiche.Consideriamo ora l’equazione radiale:

ρ2R′′ + 2ρR′ +2me

~2ρ2

(e2

4πε0ρ+ E

)R = l (l + 1)R, per ρ > 0.

Per semplificarla si fanno vari passi, che qui mostriamo schematicamente. Icalcoli dettagliati si trovano in fondo al paragrafo.1. Eseguiamo anzitutto il cambio di variabili

u (ρ) = ρR (ρ)

che trasforma l’equazione in

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2me

~2

(e2

4πε0ρ+ E

))u.

2. Quindi si definiscono le costanti

Eh = me

(e2

4πε0~

)2

a0 =4πε0~2

mee2= raggio di Bohr

W =E

Eh

e si esegue la sostituzione sulla variabile indipendente:

y =ρ

a0

24Per adeguarci alle notazioni standard sull’argomento cambiamo le lettere con cuidenotavamo gli indici interi.

147

Questo dà:

−1

2u′′ (y) +

(1

2

l (l + 1)

y2− 1

y

)u (y) = Wu (y) .

3. Ora bisogna distinguere il segno di W . Nel seguito trattiamo solo il casoW < 0, che dà soluzioni L2. Supponendo W < 0, definiamo

α = 2√−2W

e riscaliamo la soluzione, ponendo

x = αy.

Si trova:d2u

dx2(x) +

(− l (l + 1)

x2+

2

αx− 1

4

)u (x) = 0.

4. Ora si vuole fare una sostituzione opportuna che trasformi l’equazione inuna integrabile. Si ragiona così.Per x→∞ l’equazione è approssimata da

d2u

dx2(x)− 1

4u (x) = 0,

la cui soluzione esatta è

u (x) = c1e−x/2 + c2e

x/2,

di cui la soluzione accettabile è

u (x) = c1e−x/2.

Per x→ 0 l’equazione è approssimata da

d2u

dx2(x)− l (l + 1)

x2u (x) = 0,

equazione di Eulero, il cui integrale generale è

u (x) = c1xl+1 + c2x

−l,

di cui la soluzione accettabile è

u (x) = c1xl+1.

Si fa allora una sostituzione suggerita da queste due soluzioni approssimateper x piccolo e x grande:

u (x) = xl+1e−x/2f (x) .

Con ciò l’equazione diventa

xf ′′ + (2l + 2− x) f ′ + (ν − l − 1) f = 0 con ν =1√−2W

.

5. Quest’equazione assomiglia all’equazione di Laguerre:

xy′′ + (1− x) y′ + λy = 0 per x ∈ (0,+∞) ,

è in effetti un’equazione di Laguerre associata. Apriamo una parentesi.

148

4.8.1 Equazione e polinomi di Laguerre associati

Sappiamo che l’equazione di Laguerre

xy′′ + (1− x) y′ + λy = 0 per x ∈ (0,+∞)

si può riscrivere nella forma(xe−xy′

)′+ λe−xy = 0 per x ∈ (0,+∞) .

E’un problema di Sturm-Liouville singolare, che ha come autovalori λ = k (k + 1)e autofunzioni, L2 ((0,+∞) , e−xdx) i polinomi di Laguerre Lk (x).Si dice equazione di Laguerre associata l’equazione (per qualche α > 0)

xy′′ + (α+ 1− x) y′ + λy = 0 per x ∈ (0,+∞)

che si può riscrivere nella forma(xα+1e−xy′

)′+ λxαe−xy = 0 per x ∈ (0,+∞) .

E’un problema di Sturm-Liouville singolare, le autofunzioni sono ortogonali inL2 ((0,+∞) , xαe−xdx) .Si dimostra il seguente:

Teorema 4.12 Gli autovalori dell’equazione di Laguerre associata sono gli stes-si che per l’equazione di Laguerre, λ = n con n = 0, 1, 2, ... Per ogni n, se Ln (x)è il polinomio di Laguerre che soddisfa l’equazione

xy′′ + (1− x) y′ + ny = 0 per x ∈ (0,+∞) ,

allora

L(α)n (x) =

x−αex

n!

dn

dxn(xα+ne−x

)soddisfa l’equazione di Laguerre associata

xy′′ + (α+ 1− x) y′ + ny = 0 per x ∈ (0,+∞) .

Le funzioni L(α)n (x) sono polinomi di grado n, detti polinomi di Legendre asso-

ciati, e per ogni α il sistemaL

(α)n (x)

∞n=0

costituisce un s.o.n.c. in L2 ((0,+∞) , xαe−xdx).

Inoltre, per ogni n = 1, 2, 3... il polinomio L(α)n (x) ha esattamente n zeri distinti

in (0,+∞).

Nel seguito ci serviranno i polinomi di Legendre associati L(α)n (x) con α

intero dispari; facciamo perciò qualche esempio di questo tipo.

Esempio 4.13 I primi polinomiL

(α)n (x)

∞n=0

sono

L(α)n (x) =

x−αex

n!

dn

dxn(xα+ne−x

)149

cioè:

L(α)0 (x) = x−αexxαe−x = 1

L(α)1 (x) =

x−αex

1

d

dx

(xα+1e−x

)= −x+ a+ 1

L(α)2 (x) =

x−αex

2

d2

dx2

(xα+2e−x

)=

1

2

(x2 − 2x (2 + α) +

(α2 + 3α+ 2

))L

(α)3 (x) =

x−αex

2

d3

dx3

(xα+3e−x

)= −x

3

6+

(α+ 3)x2

2− (α+ 2) (α+ 3)x

2+

(α+ 1) (α+ 2) (α+ 3)

6

Ad esempio, per α = 1

L(1)0 (x) = 1

L(1)1 (x) = −x+ 2

L(1)2 (x) =

1

2x2 − 3x+ 3

L(1)3 (x) = −x

3

6+ 2x2 − 6x+ 4

L(1)4 (x) =

x4

24− 5

6x3 + 5x2 − 10x+ 5

Per α = 3

L(3)0 (x) = 1

L(3)1 (x) = 4− x

L(3)2 (x) =

x2

2− 5x+ 10

L(3)3 (x) = −x

3

6+ 3x2 − 15x+ 20

150

6. Tiriamo allora le conclusioni sull’equazione radiale che proviene dall’e-quazione di Schrödinger per l’elettrone dell’atomo di idrogeno.L’equazione

xf ′′ + (2l + 2− x) f ′ + (ν − l − 1) f = 0 con ν =1√−2W

è un’equazione di Laguerre associata con α = 2l + 1; ha autovalori

(ν − l − 1) = k

e autofunzioni

L(2l+1)k (x) =

x2l+1ex

k!

dk

dxk

(x−(2l+1)+ke−x

)La prima relazione significa che

ν =1√−2W

= l + 1 + k

W = − 1

2 (l + k + 1)2

E = WEh = − 1

2 (l + k + 1)2me

(e2

4πε0~

)2

.

Invece di usare come indici interi l, k = 0, 1, 2, .... è comodo, per semplificarecerte formule, porre ora

n = l + 1 + k,

quindi ora i due indici che usiamo sono

l = 0, 1, 2, ....

n = l + 1, l + 2, ....

151

o viceversa

n = 1, 2, 3, ...

l = 0, 1, ..., n− 1.

Con queste notazioni i livelli energetici possibili sono:

En = − 1

2n2me

(e2

4πε0~

)2

Il livello minimo è

E1 = −1

2me

(e2

4πε0~

)2

.

Per scrivere le soluzioni radiali ora procediamo a ritroso; poiché

u (ρ) = ρR (ρ)

y =ρ

a0

a0 =4πε0~2

mee2

x = αy

α = 2√−2W

u (x) = xl+1e−x/2f (x)

f (x) = L(2l+1)n−l−1 (x)

si ha:

R (ρ) =u (ρ)

ρ

u (x) = xl+1e−x/2L(2l+1)n−l−1 (x)

x = αy = αρ

a0= 2√−2W

ρ

a0=

na0

Rn,l (ρ) =

(2ρ

na0

)le−

ρna0 L

(2l+1)n−l−1

(2ρ

na0

)con n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, ..., n− 1

a0 =4πε0~2

mee2.

Infine, funzioni d’onda stazionarie sono

ψn,l,0 (ρ, ϕ, ϑ) = Rn,l (ρ)Pl (cosϑ)

ψn,l,m (ρ, ϕ, ϑ) = Rn,l (ρ)Pml (cosϑ) cos (mϕ)

ψn,l,m (ρ, ϕ, ϑ) = Rn,l (ρ)Pml (cosϑ) sin (mϕ)

con n = 1, 2, 3, ...; l = 0, 1, ..., n− 1; m = 0, 1, 2, ..., l

che vanno poi normalizzate.

152

4.8.2 Orbitali atomici

Le funzioni d’onda che abbiamo scritto si dicono orbitali atomici. Ricordiamoche l’integrale del loro modulo al quadrato su una regione dello spazio rappre-senta la probabilità che l’elettrone si trovi in quella regione dello spazio. Gliindici b, l,m hanno il seguente significato fisico.Il numero n si dice numero quantico principale. Definisce l’energia dell’elet-

trone, che vale

En = − 1

2n2me

(e2

4πε0~

)2

.

Il numero l si dice numero quantico del momento angolare, e il momentoangolare orbitale vale

√l (l + 1)~, in particolare è nullo se l = 0, e in questo

caso la funzione d’onda ha simmetria radiale (è indipendente da ϑ, ϕ).Il numero m si dice numero quantico magnetico.Gli orbitali vengono indicati con il primo numero quantico seguito da una

lettera che indica il secondo numero quantico, secondo lo schema:

l = 0 1 2 3 4 5 ...s p d f g h ...

Ad esempio orbitale 2p significa che n = 2 e l = 1.Esaminiamo prima il significato della componente radiale degli orbitali.

Esempio 4.14 Scriviamo esplicitamente le prime funzioni radiali.

R1,0 (ρ) = e−ρa0 L

(1)0

(2ρ

a0

)= e−

ρa0

R2,0 (ρ) = e−ρ

2a0 L(1)1

a0

)= e−

ρ2a0

(− ρ

a0+ 2

)R2,1 (ρ) =

a0

)e−

ρ2a0 L

(3)0

a0

)=

ρ

a0e−

ρ2a0

R3,0 (ρ) = e−ρ

3a0 L(1)2

(2ρ

3a0

)= e−

ρ3a0

(1

2

(2ρ

3a0

)2

− 3

(2ρ

3a0

)+ 3

)

R3,1 (ρ) =

(2ρ

3a0

)e−

ρ3a0 L

(3)1

(2ρ

3a0

)=

(2ρ

3a0

)e−

ρ3a0

(4−

(2ρ

3a0

))R3,2 (ρ) =

(2ρ

3a0

)2

e−ρ

3a0 L(5)0

(2ρ

3a0

)=

(2ρ

3a0

)2

e−ρ

3a0

La densità di probabilità che l’elettrone si trovi a distanza ρ dal nucleo (in-dipendentemente dalla direzione) è proporzionale a ρ2Rn,l (ρ)

2. Perciò può es-sere significativo visualizzare i grafici di queste funzioni. Rappresentiamole,

153

ponendo per semplicità a0 = 1

ρ2R1,0 (ρ)2

= ρ2e−2ρ

ρ2R2,0 (ρ)2

= ρ2e−ρ (−ρ+ 2)2

ρ2R2,1 (ρ)2

= ρ4e−ρ

ρ2R3,0 (ρ)2

= ρ2e−2ρ3

(2

9ρ2 − 2ρ+ 3

)2

ρ2R3,1 (ρ) =4

9ρ4e−

2ρ3

(4− 2ρ

3

)2

ρ2R3,2 (ρ)2

=

(2

3

)4

ρ6e−2ρ3

Grafico della densità di probabilità di trovare l’elettrone a distanza ρ dalnucleo nei primi orbitali:

1s 2s 2p

3s 3p 3d

Esaminiamo ora il significato della componente angolare degli orbitali.

Esempio 4.15 Scriviamo esplicitamente le prime funzioni angolari. Si trattain realtà delle armoniche sferiche che già conosciamo.Per n = 1, cioè l’orbitale 1s, la funzione angolare è costante: funzione

d’onda a simmetria sferica.Per n = 2 si può avere:l = 0,m = 0 (orbitale 2s), che ha ancora funzione angolare costante, oppure

154

l = 1,m = 0; l = 1,m = 1 (orbitali 2p):

P1 (cosϑ) =

√3

2cosϑ

P 11 (cosϑ) cosϕ =

√3

2sinϑ cosϕ

P 11 (cosϑ) sinϕ =

√3

2sinϑ sinϕ

(quindi gli orbitali 2p sono di tre tipi). Gli orbitali 2p sono perciò i più sempliciad avere una parte angolare significativa. Il quadrato di questa funzione è pro-porzionale alla densità di probabilità di trovare l’elettrone (non importa a qualedistanza dal nucleo ma) nella direzione individuata dagli angoli (ϑ, ϕ). Unavisualizzazione di una funzione f (ϑ, ϕ) può essere ottenuta con un diagrammasferico, che cioè rappresenta la superficie ρ = f (ϑ, ϕ) , ossia la superficie diequazioni parametriche x = f (ϑ, ϕ) sinϑ cosϕ

y = f (ϑ, ϕ) sinϑ sinϕz = f (ϑ, ϕ) cosϑ.

Si tratta di un concetto analogo a quello di curva in forma polare nel piano. Lasuperficie visualizza la funzione nel senso che i punti della superficie più o menolontani dall’origine rappresentano le direzioni in cui la funzione è maggiore ominore.I diagrammi sferici degli orbitali 2p sono perciò:

(e simili gli altri due, orientati ciascuno secondo un asse).Per n = 3 si può avere:

155

l = 0,m = 0 (orbitale 3s), che ha ancora funzione angolare costante, oppurel = 1,m = 0; m = 1 (orbitali 3p);l = 2,m = 0; m = 1;m = 2 (orbitali 3d):

P2 (cosϑ) =1

2

√5

2

(3 cos2 ϑ− 1

)P 1

2 (cosϑ) cosϕ = 3

√5

2cosϑ sinϑ cosϕ

P 12 (cosϑ) sinϕ = 3

√5

2cosϑ sinϑ sinϕ

P 22 (cosϑ) cos 2ϕ = 3

√5

2sin2 ϑ cos 2ϕ

P 22 (cosϑ) sin 2ϕ =

√3

2sin2 ϑ sin 2ϕ

I grafici sferici degli orbitali 3d sono i seguenti

e gli altri 3 sono simili al secondo, diversamente orientati.

156

Orbitali f si hanno ad esempio per n = 4, l = 3,m = 0, 1, 2, 3:

P 03 (cosϑ) =

√7

2

(−3

2cosϑ+

5

2cos3 ϑ

)P 1

3 (cosϑ) cosϕ =

√7

2sinϑ

(−3

2+

15

2cos2 ϑ

)cosϕ

P 13 (cosϑ) sinϕ =

√7

2sinϑ

(−3

2+

15

2cos2 ϑ

)sinϕ

P 23 (cosϑ) cos 2ϕ = 15

√7

2sin2 ϑ cosϑ cos 2ϕ

P 23 (cosϑ) sin 2ϕ = 15

√7

2sin2 ϑ cosϑ sin 2ϕ

P 33 (cosϑ) cos 3ϕ =

√7

215 sin3 ϑ cos 3ϕ

P 33 (cosϑ) sin 3ϕ =

√7

215 sin3 ϑ sin 3ϕ

Il grafico sferico della prima di queste funzioni è il seguente

Di seguito raccogliamo le espressioni esplicite dei primi orbitali, comprensive

157

della corretta costante di normalizzazione.

4.8.3 Soluzioni dell’equazione di Schrödinger

Ricordiamo anche che le soluzione a variabili separate dell’equazione di Schrödingersi ottengono moltiplicando le precedenti per il fattore

e−iEn t

con En energia corrispondente al livello n corrispondente.Ad esempio, la soluzione dell’equazione di Schrödinger a variabili separate

corrispondente al livello energetico minimo n = 1 è (trascurando la costante dinormalizzazione):

Ψ (t, ρ, ϕ, ϑ) = ei2~me

(e2

4πε0~

)2te−

ρa0 .

4.8.4 Calcoli dettagliati per la risoluzione dell’equazione radiale

Riportiamo i passaggi di calcolo che giustificano le conclusioni citate in prece-denza nella deduzione delle soluzioni dell’equazione radiale.

158

Passo 1. Calcoli:

R (ρ) =u (ρ)

ρ

R′ =u′ (ρ)

ρ− u (ρ)

ρ2

R′′ =u′′ (ρ)

ρ− 2u′ (ρ)

ρ2+

2u (ρ)

ρ3

che sostituendo danno

ρ2

(u′′ (ρ)

ρ− 2u′ (ρ)

ρ2+

2u (ρ)

ρ3

)+ 2ρ

(u′ (ρ)

ρ− u (ρ)

ρ2

)+

2me

~2ρ2

(e2

4πε0ρ+ E

)u (ρ)

ρ= l (l + 1)

u (ρ)

ρ

ρu′′ (ρ)− 2u′ (ρ) +2u (ρ)

ρ+ 2u′ (ρ)− 2

u (ρ)

ρ

+2me

~2ρ

(e2

4πε0ρ+ E

)u (ρ) = l (l + 1)

u (ρ)

ρ

u′′ (ρ) +2me

~2

(e2

4πε0ρ+ E

)u (ρ) = l (l + 1)

u (ρ)

ρ2.

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2me

~2

(e2

4πε0ρ+ E

))u.

Passo 2. Calcoli:

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2me

~2

(e2

4πε0ρ+ E

))u

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2

ρ

mee2

4πε0~2− 2me

~2E

)u

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2

ρ

1

a0− 2me

~2me

(e2

4πε0~

)2

W

)u

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2

ρ

1

a0− 2

(mee

2

4πε0~2

)2

W

)u

u′′ (ρ) =

(l (l + 1)

ρ2− 2

ρ

1

a0− 2

a20

W

)u

du

dρ(ρ) =

du

dy(a0y)

dy

dρ=du

dy(a0y)

1

a0

d2u

dρ2(ρ) =

d2u

dy2(a0y)

1

a20

159

1

a20

u′′ (a0y) =

(l (l + 1)

ρ2− 2

ρ

1

a0− 2

a20

W

)u (a0y)

u′′ (a0y) =

(a2

0l (l + 1)

ρ2− 2a0

ρ− 2W

)u (a0y)

u′′ (a0y) =

(l (l + 1)

y2− 2

y− 2W

)u (a0y)

−1

2u′′ (a0y) = −1

2

(l (l + 1)

y2− 2

y− 2W

)u (a0y)

−1

2u′′ (y) +

(1

2

l (l + 1)

y2− 1

y

)u (y) = Wu (y) .

Passo 3. Calcoli:d

dy= α

d

dx

−1

2u′′ (y) +

(1

2

l (l + 1)

y2− 1

y

)u (y) = Wu (y)

−1

2α2 d

2u

dx2(x) +

(1

2α2 l (l + 1)

y2− α

y

)u (x) = Wu (x)

d2u

dx2(x) +

(− l (l + 1)

x2+

2

αx

)u (x) =

−2W

α2u (x)

d2u

dx2(x) +

(− l (l + 1)

x2+

2

αx− 1

4

)u (x) = 0

Passo 4. Calcoli:

u (x) = xl+1e−x/2f (x)

u′ (x) = e−x/2xl+1f ′ + (l + 1)xlf − 1

2xl+1f

u′′ (x) = e−x/2

xl+1f ′′ + 2 (l + 1)xlf ′ + (l + 1) lxl−1f − 1

2xl+1f ′

−1

2(l + 1)xlf − 1

2

(xl+1f ′ + (l + 1)xlf − 1

2xl+1f

)d2u

dx2(x) +

(− l (l + 1)

x2+

2

αx− 1

4

)u (x) = 0

e−x/2xl+1f ′′ +

[2 (l + 1)xl − xl+1

]f ′ +

[(l + 1) lxl−1 − (l + 1)xl +

1

4xl+1

]f

+

(− l (l + 1)

x2+

2

αx− 1

4

)xl+1e−x/2f (x) = 0

160

xl−1

x2f ′′ +

[2 (l + 1)x− x2

]f ′ + [(l + 1) l − (l + 1)x +

1

4x2

+

(− l (l + 1)

x2+

2

αx− 1

4

)x2

]f

= 0

x2f ′′ +[2 (l + 1)x− x2

]f ′

+

[(l + 1) l − (l + 1)x+

1

4x2 − l (l + 1) +

2x

α− 1

4x2

]f = 0

x2f ′′ +[2 (l + 1)x− x2

]f ′ +

[− (l + 1)x+

2x

α

]f = 0

xf ′′ + (2l + 2− x) f ′ +

(2

α− l − 1

)f = 0

maα = 2

√−2W ; ν =

1√−2W

=2

α

perciòxf ′′ + (2l + 2− x) f ′ + (ν − l − 1) f = 0.

161

Bibliografia

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162