Agg 2012 - prof .Paola Barberis

DERIVATE: ESERCIZI

1- DERIVATA del PRODOTTO di una costante K per f(X)DERIVATA della SOMMA DI DUE FUNZIONI -

y = ki f (x)! y ' = ki f '(x)

y = f (x) + g(x)! y ' = f '(x) + g '(x)

y = x3+ x

2! x +10" y ' = 3x

2+ 2x !1+ 0

y = 4x6+ 5x

3! 6x !13" y ' = 4i6x

5+ 5i3x

2! 6i1+ 0

= 24x5+15x

2! 6

1a)1b)

regole

y = 3x ! 5 ln x + 4 x + 8

y ' = 3i1+ 5i1

x! 4i

1

2 x+ 0 = 3+

5

x!2

x= *

3+5

x!2

xix

x= 3+

5

x!2 x

x=3x + 5 ! 2 x

x

1c)* razionalizzo

2

x

y = 2x ! 3( ) " (x2 ! 2)

y'= D 2x ! 3[ ]i x2 ! 2( ) + 2x ! 3( )iD x

2 ! 2#$ %&

y ' = 2 ! 0( ) x2 ! 2( ) + 2x ! 3( ) 2x ! 0( )

y ' = 2x2 ! 4 + 4x2 ! 6x

y ' = 6x2 ! 6x ! 4

2 - DERIVATA DEL PRODOTT0

y = (x2 + 3) ! (2x "1)

y' = D x2 + 3#$ %& • 2x "1( ) + x2 + 3( ) •D 2x "1[ ]

y1 = 2x + 0( ) • 2x "1( ) + x2 + 3( ) • 2 " 0( )

y1 = 4x2 " 2x + 2x2 + 6

y1 = 6x2 " 2x + 6

2a)

2b)

y = f (x)ig(x)! y ' = f '(x)ig(x) + f (x)ig '(x)regola

y = (x3+ x

2) ! (5x + 2)

y'= D x

3+ x

2"# $%i(5x + 2) + (x3+ x

2)iD 5x + 2[ ]

y ' = 3x2+ 2x( )i 5x + 2( ) + x

3+ x

2( )i 5( )

y ' = 15x3+ 6x

2+10x

2+ 4x + 5x

3+ 5x

2

y ' = 20x3+ 21x

2+ 4x

3 - DERIVATA DEL PRODOTT0

y = 7x4+ x( ) ! x2 + 6( )

y'= D 7x

4+ x"# $%i x

2+ 6( ) + 7x

4+ x( )iD x

2+ 6"# $%

y ' = 28x3+1( )i x2 + 6( ) + 7x

4+ x( )i 2x + 0( )

y ' = 28x5+168x

3+ x

2+ 6 +14x

5+ 2x

2

y ' = 42x5+168x

3+ 3x

2+ 6

3a)

3b)

y = ( x + x) ! (2x + 3)

y' = D x + x"# $% • 2x + 3( ) + x + x( ) •D 2x + 3[ ]

=1

2 x+1

&'(

)*+• 2x+3( ) + x + x( ) • 2 + 0( )

=x

x+

3

2 x+ 2x + 3+ 2 x + 2x

=2x + 3+ 4x x + 6 x + 4x + 4x x

2 x=8x x + 6 x + 6x + 3

2 x

4 - DERIVATA DEL PRODOTTO

y = (cosx + x) ! (2senx + 3)

y ' = D[cosx + x]i(2senx + 3) + (cosx + x) !D[2senx + 3]

= ["senx +1]i(2senx + 3) + (cosx + x) ! (2cos x + 0]

= "2sen2x " 3senx + 2senx + 3+ 2cos2 x + 2x cos x

= "2sen2x " senx + 2cos2 x + 2x cos x + 3

4a)

4b)

ricorda : x ! x = x2= x = x

essendo : x > 0

y =2x + 3( )

x2 !1( )

y'=D 2x + 3[ ]• x

2 !1( ) ! 2x + 3( ) • D x2 !1"# $%

x2 !1( )

2

y'=2[ ]• x

2 !1( ) ! 2x + 3( ) • 2x[ ]

x2 !1( )

2

y'=2x

2 ! 2 ! 4x2 ! 6x

x2 !1( )

2

y1=!2x2 ! 6x ! 2

x2 !1( )

2= !

2x2+ 6x + 2

x2 !1( )

2

N.B.Non svolgere

I calcoli aldenominatore

y =f (x)

g(x)! y ' =

f '(x)ig(x) " f (x)ig '(x)

g2(x)

5 - DERIVATA DEL QUOZIENTE

regola

y =ex+1

2ex ! 3

y ' =D e

x+1"# $% • 2e

x ! 3( ) ! ex+1( ) • D 2e

x ! 3"# $%

2ex ! 3( )

2

y ' =ex+ 0( ) 2ex ! 3( ) ! e

x+1( ) 2ex ! 0( )

2ex ! 3( )

2

y ' =2e

2x ! 3ex ! 2e2x ! 2ex

2ex ! 3( )

2

y ' =!5ex

2ex ! 3( )

2

6 - DERIVATA DEL QUOZIENTE

attenzione :

exie

x= e

x+ x= e

2x

y = (x3+ 4x)

4

y ' = 4 ! (x3+ 4x)

3• D[x

3+ 4x]

y ' = 4 ! (x3+ 4x)

3! (3x

2+ 4)

7 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON POTENZA

y = f [g(x)]! y ' = f '[g(x)]• g '(x)

y = (6x2+ 5)

3

y ' = 3 ! (6x2+ 5)

2• D[6x

2+ 5]

y ' = 3 ! (6x2+ 5)

2! (12x + 0) = 3 ! (6x

2+ 5)

2!12x

y ' = 36x ! (6x2+ 5)

2

y = (x3! 2x)

2

y ' = 2(x3! 2x)

1• (3x

2! 2) = 2(x

3! 2x) " (3x

2! 2)

7a)

7b)

7c)

la funzione esterna è la POTENZA

DERIVO LA FUNZIONEESTERNA POTENZA EMOLTIPLICO PER LADERIVATA DELCONTENUTO (LA BASE)

RegolaGENERALE

y = (7 x ! 3x)4

y ' = 4 " (7 x ! 3x)3 • D[7 x ! 3x] = 4 " (7 x ! 3x)3 " 7 "1

2 x! 3#

$%&'(

= 4 " (7 x ! 3x)3 "7 ! 6 x

2 x

#

$%&

'(=2(7 x ! 3x)3(7 ! 6 x )

x

8 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON POTENZA

8a)

8b)

8c)

y = (4ex! 5)

2

y ' = 2 " (4ex! 5)

2• D[4e

x! 5]

y ' = 2 " (x3+ 4x)

3" (4e

x) = 8e

x" (x

3+ 4x)

3

y = (ln x ! 2x)3

y ' = 3 " (ln x ! 2x)2 • D[ln x ! 2x] = 3 " (ln x ! 2x)2 "1

x! 2#

$%&'(=

= 3 " (ln x ! 2x)2 "1! 2xx

#$%

&'(=3(ln x ! 2x)2 (1! 2x)

x

y = 2x3! 5x + 4

y ' =1

2 2x3! 5x + 4

• D[2x3! 5x + 4]

y ' =6x

2! 5

2 2x3! 5x + 4

9 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q

9a)

9b) y = 4ex+ 6x

y ' =1

2 4ex+ 6x

• D[4ex+ 6x]

y ' =4e

x+ 6

2 4ex+ 6x

=2(2e

x+ 3)

2 4ex+ 6x

=2e

x+ 3

4ex+ 6x

funzione esterna = RADICE quadrata

DERIVO LA FUNZIONE ESTERNARADICE QUADRATA EMOLTIPLICO PER LA DERIVATADEL CONTENUTO (RADICANDO)

y =x2 ! x

4x + 5

y ' =1

2x2 ! x

4x + 5

• Dx2 ! x

4x + 5

"

#$

%

&' =

y ' =1

2i4x + 5

x2 ! x

•[2x !1](4x + 5) ! (x2 ! x)[4 + 0]

(4x + 5)2

=

=1

2i4x + 5

x2 ! x

•8x

2+10x ! 4x ! 5 ! 4x2 + 4x

(4x + 5)2

=

=1

2i4x + 5

x2 ! x

•4x

2+10x ! 5

(4x + 5)2

10 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA CON RADICE Q

DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA RADICE QUADRATAE MOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTO(RADICANDO) che -attenzione- è un QUOZIENTE

Regola della derivata delquoziente f(x)/g(x)

y = ln(4x + 5)

y ' =1

4x + 5• D[4x + 5] =

y ' =4 + 0

4x + 5=

4

4x + 5

11 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO

11a)

y = ln(3senx + x)

y ' =1

3senx + x• D[3senx + x] =

(3cos x +1)

(3senx + x)=3cos x +1

3senx + x

y = 5 ln(x3+ 2x + 5)

y ' = 51

x3+ 2x + 5

• D[x3+ 2x + 5] =

5(3x2+ 2)

x3+ 2x + 5

11b)

11c)

funzione esterna = LOGARITMODERIVO LA FUNZIONE ESTERNAlogaritmo E MOLTIPLICO PER LADERIVATA DEL CONTENUTO(argomento del log)

Attenzione a NON semplificare il 4!

(4x+5) è un fattore binomiale!

y = ln2x + 5

x ! 2"#$

%&'

y ' =1

2x + 5

x ! 2

• D2x + 5

x ! 2()*

+,-=x ! 22x + 5

•2 . (x ! 2) ! (2x + 5) . (1! 0)

(x ! 2)2=

y ' =1

2x + 5•2x ! 4 ! 2x ! 5

(x ! 2)1=

!9(2x + 5)(x ! 2)

12 - DERIVATA FUNZ COMPOSTA con LOGARITMO

y = lnex ! 2ex+ x

"#$

%&'

y ' =1

ex ! 2ex+ x

• Dex ! 2ex+ x

(

)*

+

,- =

ex+ x

ex ! 2

•(e

x ! 0) . (ex + x) ! (ex ! 2) . (ex +1)(e

x+ x)

2=

y ' =1

ex ! 2

•e2x+ xe

x ! e2x ! ex + 2ex + 2(e

x+ x)

1=

+xex+ e

x+ 2

(ex ! 2)(ex + x)

12a)

12b)

DERIVO LA FUNZIONE ESTERNA logaritmo EMOLTIPLICO PER LA DERIVATA DEL CONTENUTOche - attenzione- è un QUOZIENTE!