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EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALIAppunti del Corso

Anno Accademico 2015-2016

Kevin R. Payne1

Universita di Milano

11 Marzo, 2016

1Appunti del docente redatti con l’aiuto di Tommaso Passalaqua, studente del corso nell’a.a.2009-2010.

Indice

1 Introduzione alle PDE 11.1 Nozioni di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Problemi e sfide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Formule di rappresentazione per PDE 82.1 L’equazione del trasporto ed il metodo delle caratteristiche . . . . . . . . . 82.2 L’equazione di Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.1 Prime soluzioni e la soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . 122.2.2 La formula di rappresentazione di Green . . . . . . . . . . . . . . . 172.2.3 La formula integrale di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.4 Proprieta del valor medio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.2.5 Principi di massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 L’equazione del calore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.1 La soluzione fondamentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3.2 Formule di soluzione per il problema di Cauchy . . . . . . . . . . . 332.3.3 Bolle di calore e proprieta del valor medio per soluzioni regolari . 372.3.4 Principio di massimo/minimo per soluzioni regolari . . . . . . . . . 39

2.4 L’equazione delle onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.4.1 Il caso n = 1: la formula di D’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . 422.4.2 I casi n = 2, 3: le formule di Poisson, Kirchoff . . . . . . . . . . . . . 442.4.3 Metodi di energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.5 Commenti finali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3 Spazi di Sobolev 563.1 Derivate deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.2 Gli spazi Wk,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 613.3 Approssimazione in Wk,p tramite funzioni regolari . . . . . . . . . . . . . . 66

3.3.1 Approssimazione locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

i

Indice ii

3.3.2 Approssimazione globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.3.3 Approssimazione fino al bordo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

3.4 Cambiamento di variabili e la regola della catena in W1,p(Ω) . . . . . . . . 733.5 Traccia in W1,p(Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.5.1 Il teorema della traccia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 793.5.2 Gli spazi Wk,p

0 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.6 Operatori di prolungamento in W1,p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 873.7 Soluzione debole del problema di Dirichlet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 903.8 Disuguaglianze di Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

3.8.1 Disuguaglianze per W1,p nel caso 1 ≤ p < n. . . . . . . . . . . . . . . 943.8.2 Disuguaglianze per W1,p nel caso n < p ≤ ∞. . . . . . . . . . . . . . 1013.8.3 Altre disuguaglianze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

3.9 Compattezza delle immersioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.9.1 Compattezza e l’immersione di Morrey . . . . . . . . . . . . . . . . 1093.9.2 Compattezza e l’immersione di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev . . . 110

4 Equazioni ellittiche del secondo ordine 1154.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.2 Esistenza di soluzioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.2.1 Esistenza tramite il lemma di Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . 1184.2.2 Esistenza tramite la teoria di Fredholm . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.2.3 Esistenza e lo spettro reale di L . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

4.3 Regolarita delle soluzioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1314.4 Principi di minimo e di massimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

4.4.1 Principio di massimo per soluzioni classiche . . . . . . . . . . . . . 1384.4.2 Principio di massimo per soluzioni deboli . . . . . . . . . . . . . . . 145

4.5 Autovalori e autofunzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

Capitolo 1

Introduzione alle PDE

Iniziamo facendo notare che il campo delle PDE (Partial Differential Equations)1 e unsoggetto vivo, enorme ed importante. Il campo forma il linguaggio delle scienze nelsenso che i modelli e le regole delle scienze sono quasi sempre delle PDE. Inoltre, ilcampo delle PDE sta all’incrocio tra geometria, fisica matematica, probabilita ed analisinumerica.E’ anche un soggetto fine e sorprendente nel senso che piccoli (apparatamente innocui)cambiamenti nella regola della PDE possono cambiare tutto sul comportamento dellesue soluzioni; ad esempio la differenza fra

uxx + uyy = 0 e uxx − uyy = 0

e enorme. Vedremo dopo il perche. Uno degli obiettivi principali di questo capitolointroduttivo e di quello successivo sara quello di cominciare a “sentire” cosa vuol dire laregola della PDE. Inoltre, vogliamo sottolineare fin da subito l’importanza del senso incui intendiamo che una funzione data sia soluzione della PDE.In questo primo capitolo vogliamo fornire:

• nozioni di base;

• esempi;

• problemi e sfide.

1Usiamo la stessa abbreviazione PDE per le forma singolare “Partial Differential Equation”

1

1.1 Nozioni di base 2

1.1 Nozioni di base

Una PDE e un’equazione per una funzione u di due o piu variabili in cui e coinvoltaalmeno una sua derivata parziale. Prima di precisare meglio, fissiamo qualche notazioneche sara usata nel seguito. Rispetto alle coordinate x = (x1, . . . , xn) in Rn denotiamo

(1.1.1) Du = D1u, . . . ,Dnu dove D ju(x) =∂u∂x j

(x) = ux j(x)

(1.1.2) D2u =Di ju; i, j = 1, . . . ,n

dove Di ju(x) =

∂2u∂x j∂xi

(x) = uxix j(x),

e cosı via per Dku con k ∈ N con k ≥ 3. Spesso, pensiamo al gradiente Du come unvettore in Rn e all’hessiana D2u come una matrice in Rn2

. Usiamo anche la notazione dimulti-indici α ∈Nn

02. La lunghezza di α e |α| = α1 + · · · + αn e denotiamo

(1.1.3) Dαu =∂|α|u

∂x1α1 · · · ∂xn

αn= Dα1

1 · · ·Dαnn u

se u ∈ C|α| per avere l’uguaglianza di tutte le derivate miste.

Definizione 1.1.1. Sia U ⊆ Rn un aperto. Si chiama PDE di ordine k in U un’equazionedella forma

(1.1.4) F(x,u(x),Du(x), . . .Dku(x)) = 0 per x ∈ U

doveu : U ⊆ Rn

→ R

e una funzione incognita e

F : U ×R ×Rn× · · · ×Rnk

→ R

e una funzione data t.c. F(x,u, p1, . . . , pk) dipende da pk.

Definizione 1.1.2. Una soluzione classica di (1.1.4) in U e una funzione u ∈ Ck(U) t.c.(1.1.4) sia soddisfatta punto per punto in U.

Esempio 1.1.1. uxn = 0 in Rn

Tutte le soluzioni classiche sono

(1.1.5) u(x1, . . . , xn) = g(x1, . . . , xn−1)

con g ∈ C1(Rn−1), ma per ogni g : Rn−1→ R (non necessariamente C1) la funzione

u definita da (1.1.5) ammette derivata parziale uxn(x) = 0 per ogni x ∈ Rn. Quindi laDefinizione 1.1.2 e una scelta forse opinabile.

2 N sono gli interi n ≥ 0 eN0 quelli piu lo zero

1.2 Esempi 3

Osservazione 1.1.1. Ci sono PDE importanti per cui Definizione 1.1.2 e troppo restrittiva.Il concetto di soluzione debole (in senso generalizzato) e essenziale per lo studio modernodelle PDE.

Un primo modo di raggruppare le PDE e quello basato sul grado di linearita presentenell’equazione.

Definizione 1.1.3. Siano aα e f funzioni date. Una PDE (1.1.4) si chiama

(L) lineare se e della forma

(1.1.6)∑|α|≤k

aα(x)Dαx u + f (x) = 0;

cioe F(x,u, p1, . . . , pk) e lineare in (u, p1, . . . , pk). Inoltre e omogenea se f ≡ 0.

(SL) semilineare se e della forma

(1.1.7)∑|α|=k

aα(x)Dαx u + f (x,u, . . . ,Dk−1u) = 0

(QL) quasilineare se e della forma

(1.1.8)∑|α|=k

aα(x,u, . . . ,Dk−1u)Dαx u + f (x,u, . . . ,Dk−1u) = 0

(CNL) completamente nonlineare se F(x,u, p1, . . . , pk) non e lineare nelle variabili pk ∈ Rnk

.

Non e difficile immaginare che la trattazione dei primi tre tipi sia collegata. Con unabuona teoria lineare, si puo vedere la classe (SL) come una perturbazione dalla linearita diordine inferiore. Per la classe (QL), la linearizzazione di F in u = u, con u una soluzioneapprossimata dell’equazione, fornisce un’equazione lineare. Con stime opportune sipotrebbe poi sperare di mettere il problema nel contesto della ricerca di punti fissi in unospazio funzionale opportuno.

1.2 Esempi

Esempio 1.2.1. (Lineari)

(Trasporto)∂u∂t

+

n∑j=1

b j(x, t)∂u∂x j

= 0 dove u = u(x, t)

(Laplace) ∆u =

n∑j=1

∂2u∂x2

j

= 0 dove u = u(x). L’equazione ∆u = f (x) e detta equazione

di Poisson.

1.2 Esempi 4

(del calore)∂u∂t− ∆u = 0 dove u = u(x, t)

(delle onde) u =∂2u∂t2 − ∆u = 0 dove u = u(x, t)

sono equazioni lineari che tratteremo nel Capitolo 2. Ce ne sono molte altre di unacerta importanza (v. Capitolo 1 di Evans [5]). L’equazione del trasporto e del primoordine, mentre le altre sono del secondo ordine. Le soluzioni stazionarie (independentidi t) dell’equazione del calore o delle onde sono soluzioni dell’equazione di Laplace. Leequazioni con derivate in t sono esempi di equazioni di evoluzione.

Esempio 1.2.2. (Nonlineari)

(Burgers) ut + uux = 0 dove u = u(x, t) e (QL) del primo ordine. E importante nellameccanica dei fluidi ed e un esempio di una legge di conservazione del primo ordine,cioe di un’equazione della forma ut + ( f (u))x = 0 per qualche f .

(Hamilton-Jacobi) ut + H(x,Du) = 0 dove u = u(x) e (CNL) del primo ordine. Eimportante per la meccanica.

(Poisson NL) ∆u + f (u) = 0 dove u = u(x) e (SL). E importante in questioni digeometria riemanniana ed e molto studiata tramite metodi variazionali (calcolodelle variazioni).

(superfici minime) div(

Du(1 + |Du|2)1/2

)= 0 e (QL) del secondo ordine. Descrive

funzioni t.c. il grafico di u ha curvatura media nulla.

(Monge-Ampere) det (D2u) − f (x,u,Du) = 0 e (CNL) del secondo ordine. Con fopportuna, descrive funzioni con grafici di curvatura prescitta.

Per altre equazioni ed esempi di sistemi lineari e non ( v. Capitolo 1 di Evans [5]).

Osservazione 1.2.1. C’e una specie di “monotonia della difficolta” nello studio dellePDE nel senso che i problemi diventano piu difficili all’aumentare:

1. delle variabili dipendenti, cioe per sistemi;

2. delle variabili indipendenti (ODE, “2DE”, PDE), cioe 1,2, o piu variabili;

3. dell’ordine;

4. del grado di nonlinearita.

Ci sono importanti eccezioni a questa scala di difficolta.

1.3 Problemi e sfide 5

1.3 Problemi e sfide

Osservazione 1.3.1. Dobbiamo prestare attenzione alla scelta delle PDE da studiare; adesempio, l’equazione eux1 = 0 non ha soluzioni. Rappresenta una teoria vuota. E difficileimmaginare come mettere una condizione su F in (1.1.4) che escluda a priori questasituazione. Quindi, prestiamo attenzione (almeno all’inizio) ad equazioni e sistemi chearrivano dalle applicazioni (scienze, geometria, etc.).

Esempio 1.3.1. (delle onde - D’Alembert 1749)Sia u = u(x, t) : [0,L] ×R→ R soluzione dell’equazione

(1.3.1) u = utt − uxx = 0.

Se le vibrazioni sono piccole, la quantita u(x, t) modellizza bene lo spostamento dallaposizione di equilibrio (u = 0) di una corda elastica omogenea sotto tensione alla posi-zione x e al tempo t. Cosa ci dice l’equazione (1.3.1)? Se, per esempio, u(x, 0) e negativa econvessa (uxx(x, 0) > 0 > u(x, 0) per ogni x ∈ (0,L)) allora utt(x, 0) > 0; cioe l’accelerazioneiniziale e positiva in modo da spingere la corda a tornare alla posizione di equilibrio.

Osservazione 1.3.2. Attenzione alla struttura della PDE. Nel caso di un semplice cam-biamento di segno, l’equazione di Laplace utt + uxx = 0 ha un comportamento comple-tamente diverso da (1.3.1). Con le condizione iniziali precedenti, l’accelerazione diventautt(x, 0) < 0 in questo caso. Un obiettivo del soggetto e quello di iniziare a “vedere” checosa impone la PDE (1.1.4) al comportamento di u.

Osservazione 1.3.3. Le prime domande da porsi nello studio di una PDE sono:

1. Esiste almeno una soluzione?

2. La soluzione e unica in qualche senso?

3. Le soluzioni dipendono in modo continuo dai dati?

Un problema per cui le risposte ad 1,2,3 siano affermative si dice ben posto (secondoHadamard). Per l’unicita abbiamo bisogno di condizioni supplementari come condizioniiniziali o condizioni al contorno. Ad esempio, per l’Esempio 1.3.1

(E) u = 0 in (0,L) ×R

(BC) u(L, t) = 0 = u(0, t) per ogni t ∈ R

(IC)1 u(x, 0) = g(x) per x ∈ [0,L]

(IC)2 ut(x, 0) = h(x) per x ∈ [0,L]


dove la posizione iniziale g e la velocita iniziale h siano assegnate. Considerazionisemplici indicano che perdiamo di sicuro l’unicita se cerchiamo di togliere una dellecondizioni (BC), (IC)1, (IC)2. Per la dipendenza continua, si tratta della dipendenza dag, h.

Osservazione 1.3.4. Esistenza ed unicita sono in opposizione rispetto all’universo F dipossibili soluzioni, nel senso che piu e grande lo spazio F , piu facile sara l’esistenza mapiu difficile sara l’unicita e viceversa.

Osservazione 1.3.5. A volte possiamo risolvere (E) + (BC) + ... mediante formule esplicite(o quasi), ma tipicamente no. Quindi spesso si considerano

• metodi di approssimazione (analisi numerica)

• metodi non espliciti (analisi reale, funzionale, calcolo delle variazioni)

Nella prima parte del corso, partiremo da problemi “esplicitabili” per poi passare aimetodi “esistenziali”.

Osservazione 1.3.6. Nella fase “esistenziale”, la questione della regolarita delle soluzionigioca un ruolo fondamentale. In particolare, come abbiamo gia suggerito:

1. Non e detto che le soluzioni siano Ck come richiede Def. 1.1.2. Ad esempio, ci sonoonde di shock nelle soluzioni della legge di conservazione ut + (F(u))x = 0 per cuiserve una definizione opportuna di soluzione debole.

2. Richiedendo meno regolarita si rende lo spazio piu grande e quindi si facilital’esistenza, come notato nell’Osservazione 1.3.4.

3. Abbassare la richiesta di regolarita non e solo una questione esistenziale; ma anchetecnicamente utile. Il rilassamento rispetto alla regolarita vuol dire che non enecessario faticare per assicurare che la soluzione rimanga buona (in Ck) lungotutto il percorso di una dimostrazione di esistenza.

Quindi, possiamo dire che il lavoro si divide spesso in tre passi:

A. Esistenza;

B. Unicita;

C. Regolarita,

Non e detto pero che il lavoro si faccia in tale ordine. Spesso si riesce a mostrare chele soluzioni regolari sono uniche e che le soluzioni deboli (se esistono) sono regolaremediante delle stime di regolarita. Queste stime saranno poi utile (insieme ad un po’ dianalisi funzionale) per mostrare l’esistenza.


Osservazione 1.3.7. Ci interessano soprattutto tecniche per arrivare ad A,B,C. Spesso talitecniche sono a priori; cioe assumendo di avere una soluzione (in qualche senso), cosapossiamo dire di u? Tecniche molto comuni per diversi tipi di equazioni lineari e nonsono:

• principi di massimo;

• stime integrali (di “energia”).

Capitolo 2

Formule di rappresentazione perPDE

Il punto di questo capitolo e esaminare 4 esempi fondamentali di PDE che sono lineari acoefficienti costanti del primo e del secondo ordine. Gli obiettivi principali sono:

1. Introdurre modelli per lo studio futuro;

2. Introdurre delle tecniche di rappresentazioni di soluzioni;

3. Scoprire alcune proprieta qualitative delle soluzioni.

2.1 L’equazione del trasporto ed il metodo delle caratteristiche

Metodo: Integrare una PDE del primo ordine lungo delle curve opportune.

Esempio 2.1.1. (L’eq. del trasporto)1

(2.1.1) ut + b ·Du = 0 in Rn+1 = Rn×R

dove b = (b1, . . . , bn) ∈ Rn.

• L’equazione (2.1.1) ci dice che DVu = 0, dove V = (b, 1) ∈ Rn+1; ovvero la derivatadirezionale di u nella direzione V e nulla. Quindi abbiamo u costante lungo le curvetangenti al campo vettoriale V.

• Queste curve integrali sono della forma γ(s) = (x(s), t(s)) dove

γ(s) = (b, 1)⇔

x(s) = bt(s) = 1

(· =

dds

)1Indichiamo il prodotto scalare in Rn come x · y oppure 〈x, y〉

8

2.1 L’equazione del trasporto ed il metodo delle caratteristiche 9

• Quindi abbiamo delle rette passanti per (x0, t0) in s = 0 con parametrizzazione

x = sb + x0 e t = s + t0

• La quantita x − tb = x0 − t0b e costante in s e, quindi, tutte le soluzioni classichesono

(2.1.2) u = g(x − tb) con g ∈ C1(Rn)

Esercizio 2.1.1. Verificare che u definita da (2.1.2) e soluzione classica di (2.1.1)

Domanda 1: Come trovare una soluzione unica?Risposta: Andando a specificare u lungo una qualsiasi ipersuperficie Σ trasversale alcampo V = (b, 1). Cioe scegliendo Σ per cui V non sia mai tangente a Σ

Esempio 2.1.2. (Problema di Cauchy) Sia g ∈ C1(Rn). Allora u(x, t) = g(x − tb) e l’unicasoluzione classica del problema 2 (E) ut + b ·Du = 0 inRn

×R

(IC) u = g su Rn× t = 0 = Σ

• E chiaro che u risolve (E) + (IC).

• E l’unica soluzione classica? Date due soluzioni classiche u1,u2 ∈ C1(Rn× R)

poniamo u = u1 − u2. Per la linearita si ha ut + b · Du = 0 e u(x, 0) = 0 per ognix ∈ Rn. Quindi u e costante (zero) lungo ogni curva γ(s) nella direzione (b, 1)trasversale all’ipersuperficie t = 0.

Osservazione 2.1.1. Qui g potrebbe essere presa come una qualsiasi funzione (non ne-cessariamente C1) e la funzione u = g(x − tb) ammette derivata direzionale nulla, ma unon e una soluzione classica secondo la Definizione 1.1.2.

Domanda 2: Cosa fare per il problema con (E) non omogenea? Cioe (E) ut + b ·Du = f inRn×R

(IC) u = g su Rn× t = 0 = Σ

dove f ∈ C0(Rn×R) e g ∈ C1(Rn).

Risposta: Si cerca di risolvere la ODE lungo ogni curva integrale usando il TFCI.3

• Consideriamo z(s) = u(γ0(s)) = u(x0 + sb, s) per s ∈ R; cioe u|Γ0 dove Γ0 e la curvaintegrale di V passante per (x0, 0) quando s = 0 con la parametrizzazione γ0.

2Usiamo la scrittura t = 0 per indicare t ∈ R : t = 03Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale


• Abbiamo z(s) = (ut + b ·Du)(γ0(s)) = f (γ0(s))z(0) = u(x0, 0)

• Quindi per il TFCI

z(s) = u(x0, 0) +

∫ s

0f (γ0(τ)) dτ = u(x0, 0) +

∫ s

0f (x0 + τb, τ) dτ,

ma x(s) = x0 + sb e t(s) = s. Quindi

u(x, t) = u(x − tb, 0) +

∫ t

0f (x + (τ − t)b, τ) dτ

Domanda 3: Cosa fare con un’equazione lineare a coefficienti variabili?

(2.1.3) c(x, t)ut + b(x, t) ·Du = 0

Risposta: Dobbiamo imporre condizioni su V = (b, c) per cui esistano almeno localmentele curve integrali. Dopodiche la soluzione sara costante lungo tali curve.

• Definendo V = (b(x, t), c(x, t)), l’equazione (2.1.3) e di nuovo della forma DVu = 0.

• Il sistema per le curve integrali risulta essere γ(s) = V(γ(s))γ(0) = (x0, t0)

Le soluzioni definiscono il flusso di V

• Se V fosse almeno localmente lipschitziana (globalmente lipschitziana sarebbe ancorameglio) avremmo esistenza ed unicita locale delle soluzioni γ(s).

• La funzione z(s) = u(γ(s)) soddisfa z(s) = 0 e lungo le curve integrali di V lasoluzione u risulta costante.

• Per l’unicita della soluzione u basta andare a specificare u lungo una superficie Σ

trasversale al flusso di V.

Osservazione 2.1.2. Per le equazioni lineari del primo ordine, il metodo delle caratteri-stiche permette di ricondurre la costruzione di soluzioni alla risoluzione di ODE. Piuprecisamente dobbiamo:

1. Risolvere il sistema di ODE per le curve integrali γ = γ(s) di V, ovvero per lecaratteristiche dell’operatore differenziale L = V ·D = DV = c∂t + b ·D.


2. Integrare l’ODE z = f (γ(s)) lungo le curve collegando x ∈ U ad x ∈ ∂U mediante γcon sostegno in U.

Osservazione 2.1.3. Il metodo si estende a tutte le equazioni del primo ordine

(E)1 F(x,u,Du) = 0 in U ⊂ Rn

(BC) u|γ = g su Γ ⊂ ∂U

dove F = F(x, z, p) : U × R × Rn→ R e g : Γ → R. In particolare il sistema caratteristico

per (E)1 e il sistema di 2n + 1 ODE per Φ = Φ(s) = (x(s), z(s), p(s)) definito da 4

(2.1.4)

x(s) = DpF(Φ(s))p(s) = −DxF(Φ(s)) −DzF(Φ(s))p(s)z(s) = Dp(Φ(s)) · p(s)

Esempio 2.1.3. (Caso Lineare) F(x, z, p) = V(x)·p− f (x) con V campo vettoriale e f terminenoto. Il sistema (2.1.4) diventa

(2.1.5)

x(s) = V(x(s))p(s) = −DxV(x(s)) · p(s) −Dx f (x(s))z(s) = V(x(s)) · p(s) = f (x(s))

dove abbiamo usato la PDE F = 0 per semplificare la terza equazione. La secondaequazione e superflua, nel senso che basta integrare la prima per determinare le curveintegrali γ in forma parametrica e poi si va ad integrare la terza per trovare u|γ, comeprima.

Osservazione 2.1.4. Quando f ≡ 0 abbiamo F(x, z, p) = F(x, p) = V(x) ·p e il sistema (2.1.4)diventa

(2.1.6)

x(s) = V(x(s)) = DpF(x(s), p(s))p(s) = −DxV(x(s)) · p(s) = −DxF(x(s), p(s))z(s) = 0

ovvero un sistema hamiltoniano per F (le prime due equazioni) piu z(s) = u(γ(s)) costantelungo il flusso hamiltoniano che fornisce le caratteristiche. Questo e il punto chiaveche permette di generalizzare il concetto di caratteristiche per operatori differenziali diordine superiore.

Nel testo di Evans [5], il metodo delle caratteristiche viene sviluppato in modo organico. Inparticolare:

• Metodo delle caratteristiche per (E)1 in § 3.2;

4Dx e il gradiente nelle varibili x ∈ Rn, etc.

2.2 L’equazione di Laplace 12

• L’equazione di Hamilton-Jacobi ut + H(x,Du) = 0 in § 3.3;

• Leggi di conservazione ut + (F(u))x = 0 in § 3.4.

Esercizi: dal testo di Evans [5]

• Guardare Appendice A (notazione), C (calculus facts)

• Cap. 1 - ] 1,2,3,4

• Cap. 2 - ] 1 in § 2.5

2.2 L’equazione di Laplace

Obiettivo: Sviluppare formule di rappresentazione per le soluzioni u di

(Laplace) ∆u =

n∑j=1

∂2u∂x2

j

= 0 in Ω ⊆ Rn aperto

(Poisson) ∆u = f in Ω ⊆ Rn con f = f (x)

piu eventuali condizioni al bordo ∂Ω di Ω. Piu precisamente, vedremo delle formuleesplicite ed implicite e le loro conseguenze.

Osservazione 2.2.1. L’operatore ∆ e detto Laplaciano e soddisfa 5

(2.2.1) ∆u = tr(D2u) = div(Du),

ovvero esso e la traccia della matrice hessiana di u e la divergenza del gradiente di u.Queste due rappresentazioni sono di importanza fondamentale per interpretare l’azionedi ∆ su u.

2.2.1 Prime soluzioni e la soluzione fondamentale

Definizione 2.2.1. Sia Ω ⊂ Rn aperto. Una funzione u ∈ C2(Ω) e detta armonica in Ω se∆u(x) = 0 per ogni x ∈ Ω.

Esempi di funzioni armoniche su tutto Rn sono le funzioni u : Rn→ R definite da

1. (Costanti) u(x) = c dove c ∈ R

2. (Affini) u(x) = 〈b, x〉 + c dove b ∈ Rn, c ∈ R

3. (Forme quadratiche) u(x) = 〈Ax, x〉 =

n∑i, j=1

ai jxix j se tr(A) =

n∑i=1

aii = 0

5 tr(A) e la traccia della matrice A


Osservazione 2.2.2. Altre soluzioni elementari possono essere trovate mediante il metododi riduzione per simmetrie, sfruttando delle invarianze per ∆. In particolare, sia u ∈ C2(Ω)armonica in Ω. Allora

i) ∀ p ∈ Rn fisso, up(x) := u(x − p) e armonica in Ω + p

ii) ∀ λ > 0 fisso, uλ(x) := u(λx) e armonica in λ−1Ω

ii) ∀ T ∈ O(n) fisso, uT(x) := u(Tx) e armonica in T−1Ω dove T ∈ O(n) se TTt = TtT = I6

Esercizio 2.2.1. Verificare queste affermazioni usando la regola della catena.

Quindi ha senso cercare delle soluzioni invarianti rispetto alle 7

a) traslazioni in en ⇒ u(x) = u(x1, . . . , xn−1) (Riduzione di dimensione)

b) rotazioni⇒ u(x) = v(|x|) con v : [0,+∞)→ R (Soluzioni radiali)

Domanda: Quali sono le soluzioni radiali? Poniamo u = v(|x|) con r := |x| e calcoliamousando rx j =

x j

|x| per trovare

ux j = v′(r)x j

|x|

ux jx j = v′′(r)x2

j

|x|2+ v′(r)

1|x|−

x2j

|x|3

.Quindi

∆u = v′′(r) +n − 1

rv′(r)

Ponendo w = v′(r), dobbiamo determinare le soluzioni di

w′(r) +n − 1

rw(r) = 0

una ODE a variabili separabili con soluzioni

log |w| = (1 − n) log r + C⇒ w(r) = eCr1−n, C ∈ R.

Integrando in r si trova

v(r) =

C1r2−n + C2 n ≥ 3C1 log r + C2 n = 2

con C1,C2 costanti arbitrari. Sostituendo infine r = |x| otteniamo

(2.2.2) u(x) =

C1|x|2−n + C2 n ≥ 3C1 log (|x|) + C2 n = 2

6Matrici ortogonali dove Tt e la trasposta di T7ek

nk=1 e la base canonica di Rn e |x| = 〈x, x〉1/2 e la norma euclidea


Osservazione 2.2.3. Le funzioni armoniche e radiali (2.2.2) sono costanti oppure singolariin 0; cioe se C1 , 0, le soluzioni con domini massimali sono definite (lisce ed armoniche)solo su Rn

\ 0. Questo fatto e molto importante e, per fortuna, una benedizionesorprendente. E proprio la singolarita che rende tali soluzioni utili al fine di costruirealtre soluzioni.

Definizione 2.2.2. La soluzione fondamentale di ∆ in Rn e la funzione

(2.2.3) Φ(x) = Γ(|x|) =

12π log (|x|) n = 2

1n(2−n)ωn

|x|2−n n ≥ 3

dove ωn = |B1(0)| e la misura (n-dimensionale) della palla unitaria e nωn e la misura (diHausdorff n − 1-dimensionale) della sfera unitaria ∂B1(0).

Osservazione 2.2.4. Nella Definizione 2.2.2

a) C’e il segno opposto in Evans [5] (lı si tratta della soluzione fondamentale di −∆).8

b) Abbiamo ∆Φ(x) = 0 per ogni x , 0.

c) Piu in generale, per ogni y ∈ Rn fisso, la funzione Φ(x; y) = Φ(x − y) soddisfa

∆xΦ(x; y) = 0 ∀ x , y.

d) La scelta delle costanti C1,C2 sara chiarita in seguito.

Proposizione 2.2.1 (Proprieta di Φ). Abbiamo

i) Φ ∈ L1loc(Rn);

ii) |DΦ(x)| ≤Cn

|x|n−1, x , 0;

ii)∣∣∣D2Φ(x)

∣∣∣ ≤ Cn

|x|n, x , 0.

Dimostrazione. Dobbiamo solo calcolare e stimare.

i): Φ ∈ C∞(Rn\ 0) ⇒ Φ|K ∈ L1(K) per ogni K ⊂ Rn compatto. Se K ⊂ BR(0) abbiamo

(nel caso n ≥ 3)∫K|Φ| dx ≤

∫BR(0)|Φ| dx =

1n(n − 2)ωn

∫ R

0

(∫∂Br(0)

r2−ndS)

dr

= Cn

∫ R

0r2−nrn−1 dr = Cn

∫ R

0r dr < +∞

dove dS e la misura della sfera ed e stato usato “Fubini per le bucce” (v. AppendiceC di Evans [5]).

8Evans [5] usa anche α(n) al posto di ωn


ii) Calcolando le derivate di Φ si trova

(2.2.4) Φx j = Cn|x|1−n ∂∂x j

(|x|) = Cn|x|1−n x j

|x|= Cn

x j

|x|n

(2.2.5) |DΦ|2 = C2n

n∑j=1

x2j

|x|2n =C2

n

|x|2(n−1).

Esercizio 2.2.2. Controllare la dimostrazione di i) nel caso n = 2 e mostrare la parte iii).

Osservazione 2.2.5. Abbiamo ottenuto cosı che il gradiente di Φ localmente integrabile,mente la hessiana no. Infatti |D2Φ| < L1

loc(Rn) essendo |x|p ∈ L1loc(Rn) se e solo se p > −n.

Adesso arriviamo al primo vero risultato, che indica come le soluzioni singolari perl’equazione di Laplace ci diano una formula di rappresentazione esplicita per le soluzionidell’equazione di Poisson in tutto lo spazio.

Teorema 2.2.1. Sia f ∈ C20(Rn); cioe una funzione di classe C2 con supporto compatto.9 Allora

la funzione u definita da

(2.2.6) u(x) = (Φ ∗ f )(x) =

∫Rn

Φ(x − y) f (y) dy =

∫Rn

Φ(y) f (x − y) dy

soddisfa

i) u ∈ C2(Rn)

ii) ∆u(x) = f (x) per ogni x ∈ Rn

Dimostrazione. Usiamo alcune proprieta della convoluzione note dal corso di AnalisiReale (v. [15]) con un argomento al limite per risolvere la singolarita di Φ(x − ·) in x.

1. Sappiamo dall’Analisi Reale (v. Teorema 2.7.5 di [15]) che Φ ∈ L1loc, f ∈ L∞comp ⇒ Φ∗ f

e ben definita e continua su tuttoRn. Inoltre (v. Proposizione 2.8.1 di [15]) abbiamof ∈ C2(Rn)⇒ u ∈ C2(Rn) dove

∂u∂x j

= Φ ∗∂ f∂x j

e∂2u∂xix j

= Φ ∗∂2 f∂xix j

e quindi abbiamo il punto i).

9Denotiamo il supporto di f con il simbolo supp( f )


2. Fissiamo ε > 0 arbitrario e scriviamo10

∆u =

∫Bε(0)

Φ(y)∆x f (x − y) dy +

∫Bε(0)C

Φ(y)∆x f (x − y) dy

:= Iε + Jε

dove abbiamo usato la seconda espressione in (2.2.6) per derivare sotto il segno diintegrale.

3. Si ha la stima

|Iε| ≤ ||D2 f ||L∞(Rn)

∫Bε(0)|Φ(y)| dy ≤ C||D2 f ||L∞(Rn)

ε2 n ≥ 3ε2| log ε| n = 2

Quindi |Iε| → 0 per ε→ 0+.

4. Integrando per parti, si mostra che Jε → f (x) per ε → 0+ (v. Theorem 1 § 2.2 diEvans [5]).

Osservazione 2.2.6. Nel linguaggio delle distribuzioni, il Teorema 2.2.1 afferma che

(2.2.7) ∆Φ = δ

dove δ e la la distribuzione di Dirac definita da

δ(ϕ) = ϕ(0).

Una distribuzione e un funzionale lineare e continuo sullo spazio delle funzioni test C∞0 (Rn).La linearita e ovvia, mentre la continuita ha bisogno di una topologia sullo spazio C∞0 (Rn).Non e nostra intenzione entrare di tale teoria, ma vogliamo notare che la convoluzionecon la δ soddisfa δ ∗ f = f quando e ben definita. Quindi, la proprieta (2.2.7) di esseresoluzione fondamentale implica

∆(Φ ∗ f ) = (∆Φ) ∗ f = δ ∗ f = f ,

ovvero l’equazione non omogenea viene risolta mediante convoluzione del termine notocon la soluzione fondamentale. La scelta particolare di C1 nella Definizione 2.2.2 e fattaper avere (2.2.7) e non ∆Φ = n(2 − n)ωnδ, ad esempio.

10Denotiamo AC = Rn\ A il complementare di A in Rn.


2.2.2 La formula di rappresentazione di Green

Obiettivo: Sfruttare la soluzione fondamentale Φ per trovare formule di rappresenta-zione anche su domini (limitati) Ω ( Rn.Per fare cio abbiamo bisogno di qualche richiamo al calcolo differenziale ed integrale inpiu variabili.

Definizione 2.2.3. Siano Ω ⊂ Rn con bordo non vuoto e k ∈ N. Denotiamo con Ck(Ω)lo spazio di tutte le funzioni u ∈ Ck(Ω) t.c. Dαu e uniformemente continua su ognisottoinsieme limitato di Ω per ogni α con |α| ≤ k.

Osservazione 2.2.7. Se u ∈ Ck(Ω) allora ogni derivata parziale Dαu di ordine |α| ≤ ksi estende con continuita a Ω. Questa definizione e molto piu adatta alle PDE rispettoquella basata sulle restrizioni a Ω di funzioni di classe Ck in un intorno di Ω. Non e soloscomodo aver bisogno di trafficare con un intorno di Ω, ma una PDE in Ω vincola lafunzione solo su Ω.

Definizione 2.2.4. Sia Ω ⊂ Rn un dominio (aperto, connesso) limitato. Diciamo che ilbordo ∂Ω e di classe Ck con k ∈ N se ∂Ω e localmente il grafico di una funzione di classeCk; cioe per ogni x0 ∈ ∂Ω esistono r = r(x0) > 0 e γ : Rn−1

→ R di classe Ck t.c. (con uneventuale rinominazione e riordinamento delle coordinate)

∂Ω ∩ Br(x0) = x ∈ Br : xn = γ(x1, . . . , xn−1).

Osservazione 2.2.8. (Orientazione e versore normale)

a) Possiamo fissare localmente un’orientazione tramite

(2.2.8) Ω ∩ Br(x0) = x ∈ Br : xn < γ(x′) dove x′ = (x1, . . . , xn−1).

b) Se ∂Ω ∈ C1, esiste un campo vettoriale normale esterno al bordo ν = ν(x) definito per ognix ∈ ∂Ω 11

Esempio 2.2.1. (∂Ω ipersuperficie di classe Ck) Se per ogni x0 ∈ ∂Ω esistono Br(x0) eΦ ∈ Ck(Br(x0),R) t.c DΦ(x0) , 0 e

∂Ω ∩ Br(x0) = x ∈ Br(x0) : Φ(x) = 0.

Possiamo localmente fissare l’orientazione tramite Φ < 0 su Ω∩Br(x0). Con questa scelta,si ha ν(x) = DΦ(x). 12

11Spesso e utile indebolire la classe ai bordi lipschitziani dove si assume solo γ ∈ Lip(Rn) e quindi γ edifferenziable quasi-ovunque per il Teorema di Rademacher.

12Nel corso di Analisi 4 abbiamo chiamato ∂Ω una n − 1-varieta di classe Ck (v. paragrafo 3.5.2 di [16]).


Nel sistema di coordinate usato in (2.2.8) il bordo e anche definito come un insieme dilivello (ipersuperficie); cioe

∂Ω ∩ Br(x0) : Φ(x′, xn) := xn − γ(x′) = 0 per x vicino ad x0

e abbiamoDΦ(x) = (−Dx′γ(x′), 1)

che e un vettore (non nullo) ortogonale al bordo per ogni x vicino ad x0. Dividendo per|DΦ(x)| si ha un versore normale esterno.

Definizione 2.2.5. Sia Ω un dominio con ∂Ω di classe C1 e con ν = ν(x) campo vettorialenormale esterno. La derivata normale (esterna) di u in x e la quantita

∂u∂ν

(x) = limt→0+

[1t

(u(x) − u(x − tν))]

se esiste il limite

= 〈Du(x), ν(x)〉 se, ad esempio, u ∈ C1(Ω)

Proposizione 2.2.2 (Teorema della Divergenza). Siano Ω ⊂ Rn un dominio limitato con∂Ω ∈ C1 e F ∈ C1(Ω,Rn) dove F = (F1, . . . ,Fn). Allora∫

Ω

div F dx =

∫∂Ω〈F, ν〉 dS

dove dS e la misura di superficie su ∂Ω e div F =

n∑j=1

∂F j

∂x je la divergenza di F.

Dimostrazione. Risultato noto dall’Analisi 4 (v. Corollario 4.1.2 di [16]) che segue diret-tamente dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale in Piu Variabili (v. Teorema4.1.1 di [16]). Questo teorema afferma che: per f ∈ C1(Ω) con Ω come sopra, si ha per ognij = 1, . . . ,n ∫

Ω

∂ f∂x j

dx =

∫∂Ω

fν j dS dove ν = (ν1, . . . , νn).

Ricordiamo che la misura di superficie dS e stata costruita come integrazione rispetto allamisura n−1-dimensionale di HausdorffHn−1. Integrando rispetto a questa misura puo essereeffettuato usando delle parametrizazioni locali che riduce il calcolo di un integrazionerispetto alla misura di Lebesgue su un dominio di parametrizzazione U ⊂ Rn−1 (v.paragrafo 3.5.1 di [16]). 13

13V. anche Lanconelli [10] per l’approccio tramite la misura di Hausdorff oppure i testi [6], [12] per ilmetodo direttamente tramite la misura di superficie. Sono equivalenti ovviamente.


Proposizione 2.2.3 (Le identita di Green). Siano u, v ∈ C2(Ω) con ∂Ω ∈ C1. Allora

(2.2.9)∫

Ω

v∆u dx = −

∫Ω

〈Du,Dv〉 dx +

∫∂Ω

v∂u∂ν

dS

(2.2.10)∫

Ω

(v∆u − u∆v) dx =

∫∂Ω

(v∂u∂ν− u

∂v∂ν

)dS.

Dimostrazione. Sono conseguenze quasi immediate del Teorema della Divergenza. Infat-ti:

i) Abbiamo l’identita differenziale

v∆u = vdiv(Du) = div(vDu) − 〈Dv,Du〉.

Intregrando su Ω e usando il TdD∫Ω

v∆u dx =

∫Ω

div(vDu) − 〈Dv,Du〉

=

∫∂Ω〈vDu, ν〉 dS −

∫Ω

〈Dv,Du〉 dx

ma 〈vDu, ν〉 = v∂u∂ν .

ii) Si deve poi sommare (2.2.9) con la stessa identita scambiando il ruolo di u e v.

Adesso siamo pronti per il risultato principale di questa sezione. E una formula cherappresenta i valori di ogni funzione regolare u mediante integrali di ∆u su Ω e u, ∂u

∂ν su∂Ω rispetto una famiglia di misure che coinvolgono Φ

Teorema 2.2.2. Sia u ∈ C2(Ω) con ∂Ω ∈ C1. Per ogni y ∈ Ω si ha

(2.2.11) u(y) =

∫∂Ω

[u(x)

∂Φ∂ν

(x − y) −Φ(x − y)∂u∂ν

(x)]

dS(x) +

∫Ω

Φ(x − y)∆u(x) dx.

Dimostrazione. Usiamo la seconda identita di Green (2.2.10) con u e v = Φ(·−y) su Ω\Bε(y)e facciamo tendere ε a 0. Infatti

• E possibile applicare (2.2.10) perche Φ(· − y) ∈ C∞(Rn\ y) e ∂(Ω \ Bε(y)) ∈ C1.

Inoltre ∆xΦ(x − y) = 0 per ogni x , y. Quindi abbiamo∫Ω\Bε(y)

Φ(x − y)∆u(x) dx =

∫∂Ω∪∂Bε(y)

[Φ(x − y)

∂u∂ν

(x) − u(x)∂Φ∂ν

(x − y)]

dS(x).


• Risultano Φ(· − y) ∈ L1(Ω) e ∆u limitata su Ωε := Ω \ Bε(y) percio∫Ω\Bε(y)

Φ(x − y)∆u(x) dx→∫

Ω

Φ(x − y)∆u(x) dx per ε→ 0+

• Abbiamo Φ(x − y) radiale attorno y e ∂u∂ν continua su ∂Bε(y) percio∣∣∣∣∣∣

∫∂Bε(y)

Φ(x − y)∂u∂ν

(x) dS(x)

∣∣∣∣∣∣ ≤ Cn sup∂Bε(y)

∣∣∣∣∣∂u∂ν

∣∣∣∣∣ εn−1

log ε n = 2ε2−n n ≥ 3

che tende a 0 per ε→ 0+.

• Usando di nuovo la simmetria radiale attorno y e la continuita di u, un sempliceconto mostra che

−

∫∂Bε(y)

u(x)∂Φ∂ν

(x − y) dS(x) =1

|∂Bε(y)|

∫∂Bε(y)

u(x) dS(x)→ u(y)

per ε→ 0+

Esercizio 2.2.3. Verificare che −∂Φ∂ν

(· − y) =1

|∂Bε(y)|su ∂Bε(y) dato che ν(x) = −

x − y|x − y|

.

Osservazione 2.2.9. Nella formula di rappresentazione di Green (2.2.11), u ∈ C2(Ω) vienedeterminata in Ω tramite i valori di ∆u in Ω

u, ∂u∂ν su ∂Ω (ma questi sono troppi dati)

Vogliamo eliminare la dipendenza da ∂νu|∂Ω (oppure u|∂Ω ). Questo si fa tramite una“funzione correttrice” ϕ(x; y) da sommare a Φ(x − y) per avere una funzione di Green.

Teorema 2.2.3 (Rappresentazione tramite la funzione di Green). Sia u ∈ C2(Ω) con ∂Ω ∈C1. Se per ogni y ∈ Ω esiste ϕ(·; y) ∈ C2(Ω) t.c.

(2.2.12)

∆ϕ(·; y) = 0 in Ω

ϕ(·; y) = −Φ(· − y) su ∂Ω

allora

(2.2.13) u(y) =

∫∂Ω

u(x)∂G∂ν

(x; y) dS(x) +

∫Ω

G(x; y)∆u(x) dx.

dove G(x; y) := Φ(x − y) + ϕ(x; y) e la funzione di Green per Ω.

Prima della dimostrazione, osserviamo che


1. G e determinata dalle richieste: ∀y ∈ Ω fisso G(·; y) −Φ(· − y) armonica in Ω

G(·; y)|∂Ω = 0

2. Nel caso u ∈ C2(Ω) armonica abbiamo

(2.2.14) u(y) =

∫∂Ω

u(x)∂G∂ν

(x; y) dS(x).

Dimostrazione. (del Teorema 2.2.3) Usando (2.2.10) con u = u e v = ϕ(·; y) ∈ C2(Ω) si ha

0 =

∫∂Ω

[u(x)

∂ϕ

∂ν(x; y) − ϕ(x; y)

∂u∂ν

(x)]

dS(x) +

∫Ω

ϕ(x; y)∆u(x) dx.

Sommando quest’identita con la formula (2.2.11) si ottiene (2.2.13).

Osservazione 2.2.10. Se riusciamo a costruire ϕ(·; y) per ogni y ∈ Ω (e quindi G(·; y)per Ω), abbiamo una candidata per una formula esplicita di rappresentazione per unasoluzione del problema (di Dirichlet per l’equazione di Poisson) ∆u = f in Ω

u = g su ∂Ω.

Cioe,

u(y) =

∫∂Ω

g(x)∂G∂ν

(x; y) dS(x) +

∫Ω

G(x; y) f (x) dx.

Se il dominio Ω e semplice con un grado alto di simmetria, si riece a costruire G espli-citamente. Nel prossimo paragrafo, faremo esattamente questo per le palle, trovando laformula di rappresentazione di Poisson.

2.2.3 La formula integrale di Poisson

Obiettivo: Trovare la funzione di Green per Ω = BR = BR(0) usando la soluzionefondamentale Φ(x) = Γ(|x|) definita da (2.2.3).

Proposizione 2.2.4. La famiglia di funzioni ϕ(·; y) per y ∈ BR definita da

ϕ(x; y) =

−Γ

(|y|R |x − y∗|

)y ∈ BR \ 0

−Γ(R) y = 0

dove y∗ = R2 y|y|2

per y , 0 soddisfa per ogni y ∈ BR

(2.2.15)

∆ϕ(·, y) = 0 in BR

ϕ(x; y)|∂BR = −Γ(| · −y|)|∂BR


(2.2.16)

ϕ(·, y) ∈ C2(BR)ϕ(y; x) = ϕ(x; y), ∀x ∈ BR

N.B. y∗ =R2

|y|2y e l’inversione di y , 0 rispetto alla sfera ∂BR

Dimostrazione. • Γ

(|y|R|x − y∗|

)e una dilatazione di una traslazione di Γ(|x|) e quindi e

armonica (risp. a x) in Rn\ y∗. Quindi e armonica su BR.

• Γ(R) e costante e quindi armonica ovunque e otteniamo cosı la prima parte di(2.2.15).

• Per la seconda parte di (2.2.15) notiamo che |x| = R per x ∈ ∂BR e abbiamo due casi:

y = 0 : ϕ(x; 0) := −Γ(R) = −Γ(|x − 0|)

y , 0 : ϕ(x; y) := −Γ

(|y|R|x − y∗|

)= −Γ

(|x − y|

)?

Quindi ci serve

|x − y| =|y|R|x − y∗| con |x| = R e y∗ =

R2

|y|2y.

ovvero

R2|x − y|2 = |y|2

∣∣∣∣∣∣x − R2

|y|2y

∣∣∣∣∣∣2?

Ma il membro destro e

|y|2(|x|2 − 2

R2

|y|2〈x, y〉 +

R4

|y|2

)= R2(|y|2 − 2〈x, y〉 + R2)

che e R2|x − y|2 per |x| = R.

• La regolarita in (2.2.16) e ovvia.

Esercizio 2.2.4. Mostrare l’affermazione di simmetria in (2.2.16).

Teorema 2.2.4 (Formula integrale di Poisson). Sia u ∈ C2(BR) una funzione armonica in BR.Allora per ogni y ∈ BR si ha

(2.2.17) u(y) =

∫∂BR

R2− |y|2

nωnRu(x)|x − y|n

dS(x).


Dimostrazione. Basta applicare la formula di Green (2.2.13) del Teorema 2.2.3 con ϕ

definita come nella Proposizione 2.2.4 e verificare

(2.2.18)∂G∂ν

(x; y) =R2− |y|2

nωnR1

|x − y|nper x ∈ ∂BR

Esercizio 2.2.5. Verificare la formula (2.2.18) ricordando che ν = x/|x| = x/R su ∂BR.

Teorema 2.2.5 (Problema di Dirichlet per l’equazione di Laplace). Sia g ∈ C0(∂BR). Allora

(2.2.19) u(y) =

∫∂BR

R2− |y|2

nωnRg(x)|x − y|n

dS(x) y ∈ BR

g(y) y ∈ ∂BR

definisce una soluzione classica u ∈ C2(BR) ∩ C0(BR) di

(2.2.20)

∆u = 0 in BR

u = g su ∂BR

Prima della dimostrazione, facciamo un paio di osservazioni.

Osservazione 2.2.11. Ovviamente, sfuttando l’invarianza per traslazioni dell’equazio-ne di Laplace, otteniamo anche la soluzione del problema di Dirichlet per funzioniarmoniche su ogni palla BR(x0) centrata in x0 ∈ Rn arbitrario.

Osservazione 2.2.12. La mappa di soluzione g : 7→ u fornita dal Teorema 2.2.5, definisceun operatore integrale singolare

(2.2.21) u(y) =

∫∂BR

K(x; y)g(x) dS(x)

dove

(2.2.22) K(x; y) =R2− |y|2

nωnR1

|x − y|n

e il nucleo di Poisson.

Dimostrazione. (del Teorema 2.2.5)Passo 1 (u ∈ C∞(BR) ed e armonica): Si sfruttano alcune proprieta del nucleo di Poisson(2.2.22). In particolare

• E ovvio che K(x; y) e C∞ per |x| ≤ R, |y| < R, x , y


• Si mostra che ∆yK(x; y) = 0 per |x| = R, |y| < R. Per farlo, o si fa il calcolo esplicitooppure si sfrutta la simmetria G(x; y) = G(y; x) per realizzare che G(x; y) e armonica

in y per y , x. Ma allora K(x; y) =∂G∂νx

(x; y) e armonica in y.

• Possiamo derivare sotto il segno di integrale per trovare

∆yu(y) =

∫∂BR

∆y(K(x; y))g(x) dS(x) = 0.

Passo 2 (u ∈ C0(BR) e u = g su ∂BR):

• Sfruttiamo un’altra proprieta di K:

(2.2.23)∫∂BR

K(x; y) dS(x) = 1, ∀ y ∈ BR.

Infatti, la funzione w(x) ≡ 1 su BR e C2(BR), e armonica in BR e soddisfa w ≡ 1 su∂BR. Per la FIP14 abbiamo

1 =

∫∂BR

∂G∂ν

(x; y) dS(x) =

∫∂BR

K(x; y) dS(x), y ∈ BR.

• Adesso facciamo delle stime. Fissato y0 ∈ ∂BR vogliamo mostrare che: per ogniε > 0 esiste δ0 > 0 t.c.

(2.2.24) |u(y) − g(y0)| < ε se |y − y0| < δ0, y ∈ BR.

• g ∈ C0(∂BR) percio esistono δ,M t.c.

(2.2.25)

|g(z) − g(y0)| < ε/2 z ∈ ∂BR, |z − y0| < 2δ|g(z)| ≤M z ∈ ∂BR

• Usando (2.2.21) abbiamo

|u(y) − g(y0)| =

∣∣∣∣∣∣∫∂BR

K(x; y)[g(x) − g(y0)

]dS(x)

∣∣∣∣∣∣Spezzando BR ed usando la continuita di g (formule (2.2.24)-(2.2.25)):

|u(y) − g(y0)| <ε2

∫∂BR∩B2δ(y0)

K(x; y) dS(x) + 2M∫∂BR\B2δ(y0)

K(x; y) dS(x)

≤ε2

+ 2M∫∂BR\B2δ(y0)

R2− |y|2

nωnR1

|x − y|ndS(x)

≤ε2

+ 2MR2− |y|2

nωnRnωnRn−1 sup

∂BR\B2δ(y0)

1|x − y|n

14Formula integrale di Poisson


Ma |y − y0| < δ

|x − y0| > 2δ⇒ |x − y| ≥ |x − y0| − |y0 − y| > 2δ − δ,

percio

|u(y) − g(y0)| <ε2

+ 2M(R2− |y|2)Rn−2 1

δn

per ogni y ∈ Bδ(y0)∩ BR con ε, δ fissi. Quindi, scegliendo y ancora piu vicino ad y0

(in BR ∩ Bδ0(y0) con δ0 ≤ δ), possiamo dire che

R2− |y|2 <

δn

2MRn−2ε2.

Quindi

|u(y) − g(y0)| <ε2

+ 2M(R2− |y|2)Rn−2 1

δn <ε2

+ε2

= ε.

Osservazione 2.2.13. Nella formula integrale di Poisson

u(y) =

∫∂BR

R2− |y|2

nωnRu(x)|x − y|n

dS(x)

per una funzione u ∈ C2(BR) armonica in BR, andando a valutare y = 0 si trova

(2.2.26) u(0) =

∫∂BR

R2

nωnRu(x)|x|n

dS(x) =1

nωnRn−1

∫∂BR

u(x) dS(x).

Cioe, il valore di u nel centro della palla e uguale alla sua media sulla sfera ∂BR. Ov-viamente, possiamo usare qualsiasi raggio r ≤ R. Questa proprieta sara il soggetto delprossimo paragrafo.

2.2.4 Proprieta del valor medio

Come appena notato, esistono delle proprieta di valor medio per funzioni armoniche susfere.

Teorema 2.2.6. Sia u ∈ C2(Ω) armonica in Ω aperto. Allora per ogni palla BR(y) ⊂⊂ Ω 15 si ha

(2.2.27) (VM1) u(y) =

?∂BR

u(x) dS(x) =1

nωnRn−1

∫∂BR

u(x) dS(x)

(2.2.28) (VM2) u(y) =

?BR

u(x) dx =1

ωnRn

∫BR

u(x) dx

15B ⊂⊂ Ω con Ω aperto vuol dire B ha chiusura compatta in Ω; cioe B compatto e B ⊂ Ω


Dimostrazione. (via FIP)(VM1): v(x) := u(x + y) e armonica e C2(BR(0)) e quindi per la formula (2.2.26)

u(y) = v(0) =1

|∂BR(0)|

∫|z|=R

v(z) dS(z) =1

|∂BR(y)|

∫|x−y|=R

v(x − y) dS(x).

(VM2): Applicando Fubini per le bucce e (VM1) su ogni sfera di raggio r ∈ (0,R] abbiamo∫BR(y)

u(x) dx =

∫ R

0

(∫∂Br(y)

u(x) dS(x))

dr

=

∫ R

0nωnrn−1u(y) dr = u(y)ωnrn

|R0

= u(y)|BR(y)|

N.B. Nella dimostrazione abbiamo usato (VM1) su ogni sfera ∂Br(y) con r ∈ (0,R] permostrare (VM2) e questo fatto sfrutta solo la continuita di u. Possiamo dire molto di piu.

Definizione 2.2.6. Sia u ∈ C0(Ω). Diciamo che:

i) u soddisfa la proprieta (MVP1)⇔ vale (VM1) per ogni BR(y) ⊂⊂ Ω

ii) u soddisfa la proprieta (MVP2)⇔ vale (VM2) per ogni BR(y) ⊂⊂ Ω

Teorema 2.2.7. Sia u ∈ C0(Ω) con Ω ⊂ Rn aperto.

a) u soddisfa (MVP1)⇔ u soddisfa (MVP2)

b) u soddisfa (MVP1) oppure (MVP2)⇒ u ∈ C∞(Ω) e u e armonica in Ω

Dimostrazione. 1. Per la parte a), abbiamo gia visto che (MVP1) ⇒ (MVP2). D’altreparte, per ogni BR(y) ⊂⊂ Ω e per ogni r ∈ (0,R] usiamo il teorema di Fubini per lebucce per scrive la proprieta (MVP2) come

u(y) =1

ωnrn

∫ r

0

(∫∂Bt(y)

u(x)dSt(x))

dt.

La funzione ϕ : (0,R] definita da

ϕ(t) :=?∂Bt(y)

u(x) dSt(x) =1

nωntn−1

∫∂Bt(y)

u(x)dSt(x)

e continua (perche ?) e abbiamo

(2.2.29) u(y) =1

ωnrn

∫ r

0nωntn−1ϕ(t) dt =

nrn

∫ r

0tn−1ϕ(t) dt, ∀ r ∈ (0,R].


Per la continuita di ϕ possiamo calcolare la derivata in r per ottenere

0 =ddr

[nrn

∫ r

0tn−1ϕ(t) dt

]=

nrn rn−1ϕ(r) −

n2

rn+1

∫ r

0tn−1ϕ(t) dt.

Risolvendo per ϕ(r) e usando (2.2.29) troviamo

ϕ(r) =nrn

∫ r

0tn−1ϕ(t) dt = u(y), r ∈ [0,R],

ma ϕ(r) =>∂Br

u(x)dSr(x).

2. Per la regolarita in parte b), mostriamo che u ∈ C0(Ω) con la proprieta (MVP1)soddisfa

(2.2.30) u ≡ uε in Ωε := x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε per ogni ε > 0 piccolo,

dove uε := ηε ∗ u e la mollificazione di u con il mollificatore canonico radiale 16

(2.2.31) η(x) :=

C exp(

1|x|2−1

)se |x| < 1

0 se |x| ≥ 1,

C e scelto per avere∫Rn η dx = 1 e ηε(x) := ε−nη(x/ε). Da Analisi Reale (v. paragrafo

2.8 di [15]) sappiamo che uε ∈ C∞(Ωε) e quindi basta mostrare (2.2.30). Si usa(MVP1) ed il teorema di Fubini per le bucce. Infatti, si ha

uε(x) =1εn

∫Bε(x)

η

(|x − y|ε

)u(y) dy =

1εn

∫ ε

0η( rε

) (∫∂Br(x)

u(y) dSr(y))

dr

=1εn u(x)

∫ ε

0η( rε

)nωnrn−1 dr = u(x)

∫Bε(0)

ηε dy = u(x).

3. Infine, si mostra che funzioni regolari (ci basta C2(Ω)) che soddisfano (MVP1) sonoarmoniche. L’argomento e per assurdo. Supponiamo che ∃ y ∈ Ω t.c. ∆u(y) , 0(supponiamo ∆u(y) > 0).

• Scegliamo BR(y) ⊂⊂ Ω t.c. ∆u(x) > 0 per ogni x ∈ BR(y) (permanenza delsegno).

• Consideriamo le medie integrali

ϕ(r) :=?∂Br(y)

u(x) dS(x) = u(y), ∀ r ∈ (0,R].

16Consultare l’appendice C.5 di Evans [5].


Quindi ϕ e una funzione costante e abbiamo

0 = ϕ′(r) =ddr

[1

nωnrn−1

∫∂Br(y)

u(x) dSr(x)]

=ddr

[1

nωnrn−1

∫z∈∂B1(0)

u(y + rz) rn−1dS1(z)]

=1

nωn

∫∂B1(0)

Du(y + rz) · z dS1(z)

=1

nωn

∫∂B1(0)

Du(y + rz) · ν dS1(z)

=r

nωn

∫B1(0)

∆u(y + rz) dz

=1

nωnrn−1

∫Br(y)

∆u(x) dx > 0,

assurdo.

Osservazione 2.2.14. Esistono numerose applicazioni della proprieta del valor medio;ad esempio

1. Principi di massimo/minimo: soggetto del prossimo paragrafo;

2. Regolarita: u ∈ C0(Ω) con (MVP2)/(MVP1)⇒ u ∈ C∞(Ω) (questo e Teorema 2.2.7);

3. Stime sulle derivate di funzioni armoniche: |Dαu(x0)| ≤ Ckr−n−k||u||L1(Br(x0)), ∀ |α| = k;

4. Teorema di Liouville: u armonica e limitata in Rn⇒ u costante;

5. Disuguaglianza di Harnack: u ∈ C2(Ω) armonica, non negativa⇒ ∀V ⊂⊂ Ω esisteC = C(V) t.c.

supV

u ≤ C infV

u.

Si puo consulatare § 2.2.3 di Evans [5] per le dimostrazioni di 3,4 e 5.

2.2.5 Principi di massimo

Come preannunciato, una conseguenza della proprieta del valor medio per le funzioniarmoniche e la validita dei principi di massimo/minimo. Tali principi sono fra gli strumentipiu utili e potenti per le PDE. Nei prossimi paragrafi considereremo questi principi perle equazioni del calore e delle onde e poi, nel Capitolo 4, per equazioni ellittiche delsecondo ordine.


Teorema 2.2.8. Sia Ω ⊂ Rn un dominio limitato. Sia u ∈ C2(Ω)∩C0(Ω) armonica in Ω. Allora

a) maxΩ

u = max∂Ω

u e minΩ

u = min∂Ω

u

b) Se esiste x0 ∈ Ω t.c. u(x0) = maxΩ

u(min

Ωu)

allora u e costante in Ω (e quindi su Ω).

N.B. La parte a) e detta principio di massimo/minimo debole e la parte b) principio dimassimo/minimo forte.17

Dimostrazione. Dimostriamo solo i casi del massimo; le argomentazioni per i minimisono analoghe. In alternativa, si possono sfuttare il fatto che min (−u) = −max (u) e lalinearita e omogeneita dell’equazione di Laplace.

PdM forte⇒ PdM debole: Per la continuita di u e la compattezza di Ω, esiste x0 ∈ Ω t.c.

u(x0) = M = maxΩ

u.

La tesi e banale se x0 ∈ ∂Ω. Invece, se x0 ∈ Ω, abbiamo u ≡M costante e quindi la tesi.

PdM forte: Usiamo un argomento topologico. Sia ΩM = x ∈ Ω : u(x) = M = maxΩ

u

• ΩM , ∅ per ipotesi.

• ΩM = u−1(M) e chiuso perche u continua.

• ΩM e aperto. Infatti, essendo Ω aperto, esiste BR(x0) ⊂⊂ Ω e abbiamo

M = u(x0) =

?BR(x0)

u dx ≤M.

Quindi deve essere u ≡M su BR(x0), ovvero BR(x0) ⊂ ΩM.

Per la connessione di Ω, risulta allora ΩM = Ω.

Osservazione 2.2.15. Una dimostrazione diretta del PdM debole e basata sul semplicefatto

∆u = tr(D2u) > 0⇒ @ massimi interni.

La dimostrazione si completa tramite un argomento perturbativo.

17Usiamo le abbreviazioni PdM e Pdm per questi principi.


Corollario 2.2.1 (Unicita per il problema di Dirichlet). Siano g ∈ C0(∂Ω), f ∈ C0(Ω). Esisteal piu una soluzione u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) del problema

(2.2.32)

∆u = f in Ω

u = g su ∂Ω

Dimostrazione. Per assurdo. Supponiamo di avere due soluzioni u1 , u2, allora ladifferenza u = u1 − u2 ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) soddisfa ∆u = 0 in Ω

u = 0 su ∂Ω

per la linearita della PDE e della BC. Per il PdM/m debole abbiamo poi

maxΩ

u = max∂Ω

u = 0 e minΩ

u = min∂Ω

u = 0.

Lo stesso argomento fornisce il secondo elemento di buona positura per il problema diDirichlet.

Corollario 2.2.2 (Dipendenza continua dai dati). Siano f ∈ C0(Ω), g1, g2 ∈ C0(∂Ω) eu1,u2 ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) soluzioni del problema ∆uk = f in Ω

uk = gk su ∂Ωk = 1, 2

Alloramax

Ω|u1 − u2| = max

∂Ω|g1 − g2|

Esercizio 2.2.6. Dimostrare il corollario sopra.

Osservazione 2.2.16. Per quanto riguarda la buona positura per le soluzioni classichedel problema (2.2.32), abbiamo:

1. unicita (Corollario 2.2.1);

2. dipendenza continua dai dati nel caso f = 0 (Corollario 2.2.2);

3. esistenza nel caso f = 0 e Ω = BR(x0).

Si puo fare di meglio:

• Esistenza per Ω piu generico e f = 0 con l’aiuto del PdM: il metodo di Perron(super/sub soluzioni) oppure il metodo alternante di Schwarz (v. Gilbarg-Trudinger [7]oppure Dautray-Lions [4]);

• Esistenza per f , 0 e dipendenza continua da f (con Ω generico) con l’aiuto delpotenziale di Newton N( f ) = Φ ∗ f (v. Gilbarg-Trudinger [7]);

2.3 L’equazione del calore 31

2.3 L’equazione del calore

Obiettivo: Sviluppare formule di rappresentazione per

(H) ut − ∆u = 0 in Ω × I ⊆ Rn×R aperto

(HN) ut − ∆u = f in Ω × I ⊆ Rn×R aperto con f = f (x, t)

dove u = u(x, t) e ∆ =∑n

j=1 D2x j

.Dato che la PDE ha due derivate in x ma una solo in t, la seguente nozione di soluzionee naturale.

Definizione 2.3.1. Siano Ω ⊂ Rn aperto e I ⊂ R un intervallo. Una soluzione regolare di(H) o (HN) in Ω × I e una soluzione u ∈ C2

1(Ω × I), lo spazio di funzioni con derivateparziale continue fino al secondo ordine in x e fino al primo ordine in t.

2.3.1 La soluzione fondamentale

Anche in questo caso, il punto di partenza e di determinare le soluzioni con massimasimmetria.

Osservazione 2.3.1. (Invarianze) Sia u soluzione regolare di (H) in Ω × I. Allora sonosoluzioni regolari anche le traslazioni in x, t, le rotazioni in x, e le dilatazioni “paraboliche”di u:

i) ∀ p ∈ Rn, τ ∈ R: up,τ(x, t) := u(x − p, t − τ) per x ∈ Ω + p, t ∈ I + τ;

ii) ∀ T ∈ O(n): uT(x, t) := u(Tx, t) per x ∈ T−1(Ω), t ∈ I;

iii) ∀ λ > 0: uλ(x, t) := u(λx, λ2t) per x ∈ λ−1Ω, t ∈ λ−2I.

Esercizio 2.3.1. Verificare le affermazioni fatte nell’Osservazione 2.3.1

Queste invarianze suggeriscono la ricerca di soluzioni u radiali in x; cioe della forma

(2.3.1) u(x, t) = ϕ(|x|, t) con ϕ : [0,+∞) ×R→ R,

e omogenee rispetto alle dilatazioni paraboliche; cioe soluzioni aventi la proprieta

(2.3.2) uλ(x, t) = u(λx, λ2t) = λγu(x, t) (per qualche γ ∈ R), λ > 0, x ∈ Rn, t ∈ R.

Proposizione 2.3.1. Le funzioni u : Rn×R+

→ R definite da

(2.3.3) u(x, t) = C1t−n/2e−|x|24t + C2, C1,C2 ∈ R.

sono soluzioni regolari di (H) radiali e omogenee di grado γ = −n (rispetto alla dilatazioneparabolica).


Dimostrazione. Basta fare due conti per controllare che queste funzioni siano omogeneedi grado −n e sono soluzioni regolari di (H). Mostriamo invece come vengono ricavateal fine di illustrare un metodo.

• La radialita (2.3.1) e l’omogeneita (2.3.2) usando λ = 1/√

t danno la relazione

ϕ(|x|/√

t, 1) = t−γ/2ϕ(|x|, t),

ovvero

u(x, t) = ϕ(|x|, t) = tγ/2v(|x|/√

t) con v : [0,+∞)→ R da trovare.

• Ponendo s = |x|/√

t, un conto semplice mostra che

ut − ∆u = tγ2−1

[4sv′′(s) + (2n + s)v′(s) −

γ

2v(s)

]= 0,

percio la funzione v deve soddisfare l’ODE

4sv′′(s) + (2n + s)v′(s) −γ

2v(s) = 0.

• Andando a cercare soluzioni esponenziali v(s) = eαs, abbiamo bisogno di

4sα2 + (2n + s)α −γ

2= 0 per ogni s > 0,

ovvero4α2 + α = 0 e 2nα −

γ

2= 0.

• Dalla prima relazione, otteniamo due casi:

α = 0⇒ γ = 0 e v(s) = 1⇒ u = 1

α = −1/4⇒ γ = −n e v(s) = e−s/4⇒ u = t−n/2e−|x|

2/(4t).

• Prendendo combinazioni lineari di questi soluzioni (la PDE e lineare ed omogenea)arriviamosi arriva a (2.3.3).

La restrizione a t > 0 (oppure t > t0 ∈ R) sara sempre piu chiara nel seguito, per ilmomento diciamo diciamo solo che “fa comodo” guardare avanti nel tempo.

Definizione 2.3.2. La soluzione fondamentale dell’equazione del calore e la funzione

(2.3.4) Φ(x, t) = Γ(|x|, t) =

1(4πt)n/2 e−|x|

2/4t t > 0

0 t < 0


La scelta della costante C1 e stata fatta in modo da avere la seguente proprieta cruciale.

Lemma 2.3.1.∫Rn Φ(x, t) dx = 1 per ogni t > 0.

Dimostrazione. Basta calcolare:∫Rn

Φ(x, t) dx =1

(4πt)n/2

∫Rn

e−|x|2/4t dx

(z =

x

2√

t

)=

1πn/2

∫Rn

e−|z|2

dz

=1πn/2

n∏j=1

(∫ +∞

−∞

e−z2j dz j

)= 1.

Osservazione 2.3.2. Altre proprieta di Φ sono:

a) Per ogni t > 0 fisso, Φ(·, t) e una misura di probabilita gaussiana su Rn;

b) Per ogni x0 , 0 fisso, limt→0+

Φ(x0, t) = 0 ;

c) Invece, nel senso delle distribuzioni limt→0+

Φ(·, t) = δ(·), cioe

limt→0+

∫Rn

Φ(x, t)ϕ(x) dx = ϕ(0), ∀ ϕ ∈ C∞0 (Rn).

Solo la parte c) richiede qualche giustificazione, ma e un comportamento naturale datoche la famiglia di misure di probabilita Φ(·, t) si sta concentrando in x = 0 per t→ 0+.

2.3.2 Formule di soluzione per il problema di Cauchy

Una prima formula di rappresentazione e la seguente formula di soluzione.

Teorema 2.3.1 (Soluzione del problema di Cauchy per l’eq. del calore). Sia g ∈ C0(Rn) ∩L∞(Rn)18 Allora la funzione u : Rn

×R+→ R definita da

(2.3.5) u(x, t) =

∫Rn

Φ(x − y, t)g(y) dy =1

(4πt)n/2

∫Rn

e−|x−y|2

4t g(y) dy

e soluzione regolare di 19

(2.3.6)

(H) ut − ∆u = 0 in Rn×R+

(IC) u = g su Rn× t = 0

Piu precisamente18Cioe g e continua e limitata su Rn. Forse sarebbe meglio scrivere g ∈ C0

b(Rn).19Da qui in avanti useremo la notazione t = 0 = (x, t) : t = 0 .


a) u ∈ C∞(Rn×R+) soddisfa (H);

b) u soddisfa (IC) nel senso che

(2.3.7) lim(x,t)→(x0,0+)

u(x, t) = g(x0), ∀ x0 ∈ Rn.

Dimostrazione. 1. Abbiamo Φ(x, t) ∈ C∞(Rn×R+) con derivate della forma

DαΦ = Pα(x,

1t

)Φ con Pα un polinomio,

dove Φ(x, t) ha decadimento esponenziale in x uniformemente in t per t ≥ τ > 0.Quindi per ogni τ > 0, α ∈Nn+1

0 esiste Cα,τ t.c.

|DαΦ(x, t)| ≤ Cα,τ1

(1 + |x|)n+1, ∀ (x, t) ∈ Rn

× [τ,+∞)

⇒ possiamo derivare u sotto il segno di integrale per ogni t > 0⇒ u ∈ C∞(Rn

×R+) e

ut − ∆u =

∫Rn

(Φt − ∆Φ) (x − y, t)g(y) dy = 0.

2. Per mostrare (IC) fissiamo x0 ∈ Rn.

• Dalla continuita di g: ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 t.c. |g(y)− g(x0)| < ε se y ∈ Rn, |y−x0| < δ.

• Per il Lemma 2.3.1 abbiamo

|u(x, t) − g(x0)| =

∣∣∣∣∣∫Rn

Φ(x − y, t)[g(y) − g(x0)

]dy

∣∣∣∣∣≤

∫Bδ(x0)

| · | dy +

∫Rn\Bδ(x0)

| · | dy := I + J

• Stimando I troviamo

I ≤ ε∫

Bδ(x0)Φ(x − y, t) dy ≤ ε

∫Rn

Φ(x − y, t) dy = ε.

• Stimando J troviamo

J ≤ 2||g||L∞∫Rn\Bδ(x0)

Φ(x − y, t) dy

= 2||g||L∞1

(4πt)n/2

∫Rn\Bδ(x0)

e−|x−y|2

4t dy

dove |y−x0| ≥ δ. Dato che x→ x0 possiamo considerare solo x t.c. |x−x0| < δ/2per cui

|y − x| ≥12|y − x0| per ogni y < Bδ(x0), x ∈ Bδ/2(x0).


Quindi abbiamo

J ≤ Cn,g1

tn/2

∫Rn\Bδ(x0)

e−|y−x0 |

2

16t dy(|y − x0| := r

)= Cn,g

1tn/2

∫ +∞

δe−

r216t nωnrn−1 dr (Fubini per le bucce)

= C′n,g1

tn/2

∫ +∞

δrn−1e−

r216t dr

≤ n! C′n,g1

tn/2

∫ +∞

δrn−1

(16tr2

)ndr (es

≥ sn/n!)

= C′′n,gtn/2∫ +∞

δr−n−1 dr

(integrale finito

)= Cn,g,δtn/2

→ 0 per t→ 0+ (con δ fisso).

Osservazione 2.3.3. (Velocita infinita di propagazione dell’informazione) Dalla formuladi soluzione (2.3.5) si ha:

a) Se u(x, 0) = g(x) ≥ 0 ha supporto compatto in Rn e g . 0 abbiamo

u(x, t) =

∫Rn

Φ(x − y, t)g(y) dy > 0 ∀ x ∈ Rn, t > 0.

Cioe, il supporto di u si propaga su tutto Rn in modo istantaneo.

b) D’altra parte ∫Rn

u(x, t) dx =

∫Rn

(∫Rn

Φ(x − y, t)g(y) dy)

dx =

∫Rn

g(y) dy

per Fubini e per il Lemma 2.3.1. Cioe la massa totale di u(x, 0) si conserva.

c) Quindi, la “coda” di u all’infinito per t > 0 e da interpretare in modo probabilistico.E presente ma e esponenzialmente piccola ed “improbabile”.

Osservazione 2.3.4. (Regolarizzazione istantanea) La convoluzione di g continua con ilnucleo di calore Φ(·, t) produce una funzione C∞ in x e t per ogni t > 0. Per questo motivosi ritrova Φ in molti contesti.

Domanda: Cosa fare con l’equazione nonomogenea (HN)? Piu precisamente, possiamorisolvere il problema di Cauchy?

(2.3.8)

ut − ∆u = f in Rn×R+

u = g su Rn× t = 0


dove f = f (x, t) e una funzione data.Risposta: (Principio di Duhamel) Discende dal metodo di variazione delle costanti usatoper le ODE

1. Sfruttando la linearita, ci basta risolvere il problema (2.3.8) nel caso di g = 0

(2.3.9)

ut − ∆u = f in Rn×R+

u = 0 su Rn× t = 0

Infatti, la soluzione u di (2.3.8) e data dalla somma u = u0, f + ug,0 delle soluzioniu0, f di (2.3.9) e ug,0 di (2.3.6).

2. Cerchiamo la soluzione di (2.3.9) della forma

(2.3.10) u(x, t) =

∫ t

0u(x, t; s) ds

dove u(·, ·; s) e la soluzione del problema di Cauchy a tempo s; cioe

(2.3.11)

ut(·, ·; s) − ∆u(·, ·; s) = 0 in Rn× (s,+∞)

u(·, s; s) = f (·, s) su Rn× t = s

Infatti, con u definita da (2.3.10) otteniamo

ut(x, t) = u(x, t; t) +

∫ t

0ut(x, t; s) ds e ∆u(x, t) =

∫ t

0∆u(x, t; s) ds

Usando (2.3.11) abbiamo ut − ∆u = u(x, t; t) = f (x, t)

u(x, 0) =∫ 0

0 u(x, 0; s) ds = 0

3. Per risolvere (2.3.11), usiamo la formula di Duhamel:

(2.3.12) u(x, t; s) =

∫Rn

Φ(x − y, t − s) f (y, s) dy.

Infatti:

• (x, t) 7→ Φ(x − y, t − s) risolve (H) per ogni y ∈ Rn fisso e t > s;

• al tempo t = s, si riproduce f (x, s).

Teorema 2.3.2. Sia f ∈ C21(Rn

× [0,+∞)) con supporto compatto. Allora la funzione definita da

u(x, t) =

∫ t

0

(∫Rn

Φ(x − y, t − s) f (y, s) dy)

ds, x ∈ Rn, t > 0

=

∫ t

0

1(4π(t − s))n/2

(∫Rn

e−|x−y|2

4(t−s) f (y, s) dy)

ds

soddisfa:


i) u ∈ C21(Rn

× (0,+∞));

ii) ut − ∆u = f in Rn×R+;

iii) lim(x,t)→(x0,0+)

u(x, t) = 0 per ogni x0 ∈ Rn.

Dimostrazione. Consultare Evans [5] - Theorem 2.3.2.

Osservazione 2.3.5. Combinando il Teorema 2.3.1 con il Teorema 2.3.2 possiamo risolvereil problema (2.3.8): ut − ∆u = f in Rn

×R+

u = g su Rn× t = 0

con f ∈ C21(Rn

× [0,+∞)) a supporto compatto e g ∈ C0(Rn) ∩ L∞(Rn).

2.3.3 Bolle di calore e proprieta del valor medio per soluzioni regolari

Punto: Anche per l’equazione del calore, esiste un PdVM compatibile con la strutturaparabolica della PDE.

Definizione 2.3.3. Siano Ω ⊆ Rn un dominio limitato e T > 0. Si definisce:

a) cilindro parabolico l’insieme ΩT := Ω × (0,T];

b) bordo parabolico l’insieme ΓT := ΩT \ΩT = ∂ΩT \ Ω × t = T;

Definizione 2.3.4. Per x ∈ Rn, t ∈ R, r > 0 l’insieme

(2.3.13) E(x, t; r) =(y, s) ∈ Rn

×R : s ≤ t,Φ(x − y, t − s) >1rn

e detta bolla di calore (basata in (x, t) con raggio r) dove

Φ(x − y, t − s) =

1[4π(t−s)]n/2 e−

|x−y|2

4(t−s) t > s

0 t < s

e una traslazione nello spazio-tempo del nucleo del calore Φ.

Osservazione 2.3.6. (Forma di E(x, t; r))

a) Il punto di base (x, t) si trova sulla cima della bolla;

b) Le fette E(x0, t0; r) ∩ t = tr ∈ (t0 − r2/(4π), t0) sono palle in Rn con centro x0.

Esempio 2.3.1. (E(r) := E(0, 0; r) =(y, s) ∈ Rn

×R : s ≤ 0,Φ(−y,−s) > 1/rn)• Per s ≤ 0 si chiede per quali (y, s) risulta Φ(−y,−s) =

1(−4πs)n/2 e−

|y|2

−4s >1rn .


• Per s < 0 fisso: ci serve

e|y|2

4s >(−4πs)n/2

rn =

( √−4πsr

)n

ovvero

|y|2 < 4sn log( √−4πsr

):= ρ2,

che determina una palla euclidea di raggio ρ = ρ(s,n, r) se l’espressione soprae positiva. Questo accade quando l’argomento del logaritmo e piu piccolo di 1,ovvero

√

−4πs < r⇔ s > −r2

4π.

Otteniamo quindi delle palle quando −r2/(4π) < s < 0 o un’insieme vuoto quandos < −r2/(4π).

Teorema 2.3.3. Sia u ∈ C21(ΩT) una soluzione regolare di (H) in ΩT. Allora per ogni bolla di

calore E(x, t; r) ⊂⊂ ΩT si ha

(2.3.14) (VM) u(x, t) =1

4rn

∫E(x,t;r)

u(y, s)|x − y|2

(t − s)2 dyds.

Dimostrazione. Consultare Evans [5] - Theorem 2.3.3. Il punto chiave e che la funzione

ϕ(r) :=1

4rn

∫E(r)

u(y, s)|y|2

s2 dyds

soddisfa ϕ′(r) = 0.

Osservazione 2.3.7. (Sulla formula (VM))

a) La formula (VM) rappresenta u(x, t) tramite i valori che assume all’interno della bolladi calore e percio i valori di u(y, s) con t∗ < s < t;

b) La formula non e della forma

u(x, t) =1

|E(x, t; r)|

∫E(x,t;r)

u(y, s) dyds (media con misura di Lebesgue |E(x, t; r)|)

ma e della forma

u(x, t) =1

µ(E(x, t; r))

∫E(x,t;r)

u(y, s) dµ(x,t)(y, s)

con una misura di calore µ;

c) Un conto mostra che

1rn

∫E(r)

|y|2

s2 dyds =

∫E(1)

|y|2

s2 dyds = 4

che e (VM) per (x, t) = (0, 0) e u ≡ 1.


2.3.4 Principio di massimo/minimo per soluzioni regolari

Come nel caso dell’equazione di Laplace, andiamo a cercare alcune conseguenze dellaformula (VM).

Teorema 2.3.4 (Principio di massimo debole e forte). Sia u ∈ C21(ΩT)∩C0(ΩT) una soluzione

regolare di (H) in ΩT. Allora

a) maxΩT

u = maxΓT

u;

b) Se esiste (x0, t0) ∈ ΩT t.c. u(x0, t0) = M = maxΩT

u , allora u ≡M in Ωt0

Valgono affermazioni analoghe per il minimo.

Osservazione 2.3.8. (Interpretazione termodinamica)

• La parte a) dice che la temperatura massima/minima si trova o all’istante iniziale(t = 0) oppure sul bordo del dominio ∂Ω per t ∈ (0,T].

• La parte b) dice che se la temperatura massima/minima si trova all’interno di Ω

per qualche tempo t0 ∈ (0,T), allora abbiamo gia equilibrio termodinamico, ovverou ≡ u0 per t < t0.

• Inoltre, se u ≡ u0 su Γt0 , allora u ≡ u0 in Ωt0 . Ma in tal caso, le condizioni alcontorno per t > t0 possono indurre cambiamenti nel tempo.

Dimostrazione. (del Teorema 2.3.4)

b) ⇒ a): Per la continuita di u esiste M = maxΩT

u. Se esso viene assunto sul bordoparabolico ΓT, abbiamo finito. Altrimenti, M sara assunto in un punto (x0, t0)nell’interno parabolico ΩT, percio u ≡M su Ωt0 . Quindi anche su Γt0 .

b) Sia (x0, t0) ∈ ΩT t.c. u(x0, t0) = M

1. Esiste E(x0, t0; R) ⊂⊂ ΩT e per (VM) abbiamo

M = u(x0, t0) =1

4R2

∫E(x0,t0;R)

u(y, s)|x0 − y|2

(t0 − s)2 dsdy

≤M

4R2

∫E(x0,t0;R)

|x0 − y|2

(t0 − s)2 dsdy

=M

4R2

∫E(R)

|y|2

(s)2 dsdy = M(y = y − x0, s = s − t0

)Quindi u ≡M su E(x0, t0; R)


2. Sia L ⊂ ΩT un segmento [(x0, t0), (y0, s0)] con s0 < t0.

• Per la convessita di E(x0, t0; R), si ha L∩E(x0, t0; R) , ∅. Quindi si ha u ≡Mlungo L per un po’.

• Sia σ0 := mins ≥ s0 : u ≡M per ogni (x, t) ∈ L con s ≤ t ≤ t0.

• Si ha σ0 = s0. Infatti, se per assurdo σ0 > s0 avremmo u(z0, σ0) = M con(z0, σ0) ∈ L. Quindi per il punto 1, u ≡ M su E(z0, σ0; r) ⊂⊂ ΩT con rpiccolo. Per la convessita delle bolle E, otterremmo allora [E(z0, σ0; r) ∩L] \ (z0, σ0) , ∅. Quindi u ≡M su L, assurdo.

• Per la connessione di Ω, abbiamo Ω× [0, t0] connesso per poligonali; cioeper ogni (x, t) ∈ Ω × [0, t0] esiste

[(x0, t0), (x1, t1)] × · × [(xN−1, tN−1), (x, t)] ⊂ Ωt0

con t0 > t1 > · > tN = t.

• Quindi, applicando N volte il punto 2, otteniamo u(x, t) = M.

Come per l’equazione di Laplace, il principio di massimo debole fornisce informazionisulla buona positura dei problemi al contorno.

Teorema 2.3.5. Siano g ∈ C0(ΓT), f ∈ C0(ΩT). Allora esiste al piu una soluzione regolareu ∈ C2

1(ΩT) ∩ C0(ΩT) del problema di Cauchy-Dirichlet 20

(2.3.15)

ut − ∆u = f in ΩT

u = g su ΓT

Dimostrazione. Usiamo la linearita ed il PdM/m.

• Sia u = u1 − u2, con u1,u2 due soluzioni regolari di (2.3.15). Allora u e soluzioneregolare di ut − ∆u = 0 in ΩT

u = 0 su ΓT

• Per il PdM/m debole (Teorema 2.3.4), abbiamo

maxΩT

u = maxΓT

u = 0 e minΩT

u = minΓT

u = 0.

20La funzione g fornisce sia il valore al contorno spaziale ∂Ω che il valore iniziale in t = 0.

2.4 L’equazione delle onde 41

Teorema 2.3.6 (Dipendenza continua dai dati). Siano g1, g2 ∈ C0(ΓT), f ∈ C0(ΩT) e u1,u2 ∈

C21(ΩT) ∩ C0(ΩT) soluzioni del problema ut − ∆u = f in ΩT

u = gk su ΓTk = 1, 2

Alloramax

ΩT

|u1 − u2| = maxΓT|g1 − g2|

Dimostrazione. Di nuovo, basta usare la linearita ed il PdM/m debole.

Osservazione 2.3.9. (Unicita per il problema di Cauchy inRn×R+) Serve una limitazione

sulla crescita di u all’infinito del tipo

(2.3.16) u(x, t) ≤ Aea|x|2 , x ∈ Rn, 0 ≤ t ≤ T.

Esiste un principio di massimo/minimo per soluzioni regolari in Rn× R+ quando vale

(2.3.16) - v. Theorem 2.3.6 di Evans [5]. L’unicita delle soluzioni regolari in tal caso efacile (v. Theorem 2.3.7 di Evans [5]). Invece, esistono controesempi per l’unicita quandonon vale (2.3.16) - v. il libro di F. John [9].

Osservazione 2.3.10. (Commenti conclusivi) Ci sono numerose altre proprieta qualita-tive a portata di mano. Molte di queste si possono trovare in §2.3 di Evans [5]. Adesempio:

1. Regolarita delle soluzioni: C21(ΩT)⇒ C∞(ΩT) (v. Theorem 2.3.8 di Evans [5]).

2. Stime a priori (locali): sia u una soluzione regolare di (H) in ΩT, allora

maxC(x,t;r/2)

∣∣∣∣Dαx Dβ

t u∣∣∣∣ ≤ Cα,βr−(n+2+|α|+2|β|)

||u||L1(C(x,t;r))

dove C(x, t; r) = (y, s) : |x − y| ≤ r, t − r2≤ s ≤ t. (v. Theorem 2.3.9 di Evans [5]).

2.4 L’equazione delle onde

Obiettivo: Trovare formule di rappresentazione per le soluzioni u = u(x, t) del problemadi Cauchy

(2.4.1)

(W) u = utt − ∆u = 0 in Rn

×R+

(IC)1 u(x, 0) = g(x) x ∈ Rn

(IC)2 ut(x, 0) = h(x) x ∈ Rn

ed esaminare delle proprieta qualitative delle soluzioni.Enunciamo subito il risultato principale che sara dimostrato nei prossimi paragrafi.


Teorema 2.4.1. Siano g ∈ C2(Rn) e h ∈ C1(Rn). Allora una soluzione u ∈ C2(Rn× [0,+∞)) di

(2.4.1) e data da

n = 1: (D’Alembert)

(2.4.2) u(x, t) =12[g(x + t) + g(x − t)

]+

12

∫ x+t

x−th(y) dy

n = 2: (Poisson)

(2.4.3) u(x, t) =12

?Bt(x)

tg(y) + t〈Dg(y), y − x〉 + t2h(y)(t2 − |y − x|2)1/2

dy

n = 3: (Kirchoff)

(2.4.4) u(x, t) =

?∂Bt(x)

[th(y) + g(y) + 〈Dg(y), y − x〉

]dS(y)

Esistono formule analoghe per n ≥ 4 (v. §2.3 di Evans [5]).

Osservazione 2.4.1. Da queste formule possiamo dedurre alcune proprieta qualitative.In particolare:

a) Si ha velocita finita di propagazione dell’informazione in tutti i casi. Piu precisamente,si ha domini di dipendenza/influenza finiti. Torneremo a parlare di questo punto allafine della sezione usando dei metodi di energia. Va notato il forte contrasto con cioche succede per le soluzioni dell’equazione del calore (v. Osservazione 2.3.3).

b) Non esistono effetti di regolarizzazione; cioe ulteriore regolarita richiede dati g, hpiu regolari. Anche questo e in contraso con quello che succede per le soluzionidell’equazione del calore (v. Osservazione 2.3.4).

c) La dimensione spaziale n = 3 e la prima in cui l’informazione propaga in modo“pulito”; cioe la soluzione u(x0, t0) dipende solo dai dati sulle sfere ∂Bt0(x0) anzichesulle palle Bt0(x0). Questo e il principio di Huygens e vale in dimensioni spazialidispari.

2.4.1 Il caso n = 1: la formula di D’Alembert

Vogliamo mostrare il Teorema 2.4.1 nel caso n = 1, cioe: fissati g ∈ C2(R), h ∈ C1(R) lasoluzione del problema di Cauchy (W) + (IC)1 + (IC)2 e fornita da

u(x, t) =12[g(x + t) + g(x − t)

]+

12

∫ x+t

x−th(y) dy.


• quando n = 1, possiamo fattorizzare l’operatore delle onde

= D2t −D2

x = (Dt + Dx)(Dt −Dx) = (Dt −Dx)(Dt + Dx).

Quindi ogni soluzione classica di (W) e soluzione di

u = (Dt + Dx)(ut − ux) = 0.

• Posto v = ut − ux, si cerca v come soluzione di un’equazione del trasporto

(Dt + Dx)v = 0.

Quindi v(x, t) = ψ(x − t) per qualche ψ ∈ C1(R) con v(x, 0) = ψ(x).

• Quindi u deve risolvere:

Dtu −Dxu = ψ(x − t) := f (x, t),

un’equazione del trasporto non omogenea. Sappiamo allora che

u(x, t) = ϕ(x + t) +

∫ t

0f (x + t − s, s) ds ϕ ∈ C1(R)

= ϕ(x + t) +

∫ t

0ψ(x + t − 2s) ds

= ϕ(x + t) −12

∫ x−t

x+tψ(y) dy (y = x + t − 2s; dy = −2 ds)

= ϕ(x + t) +12

∫ x+t

x−tψ(y) dy

La soluzione generale dipende da due funzioni arbitrarie ϕ,ψ

• Usando le condizioni iniziali (IC)1, (IC)2 abbiamo

g(x) = u(x, 0) = ϕ(x)

h(x) = ut(x, t)|t=0 =[ϕ′(x + t) +

12(ψ(x + t) + ψ(x − t)

)]|t=0

= ϕ′(x) + ψ(x).

Quindi ψ(x) = h(x) − g′(x) e abbiamo

u(x, t) = g(x + t) +12

∫ x+t

x−t

[h(y) − g′(y)

]dy

=12[g(x + t) + g(x − t)

]+

12

∫ x+t

x−th(y) dy


Osservazione 2.4.2. La formula di D’Alembert puo essere usata anche per problemi alcontorno. Ad esempio, per

(W) u = utt − uxx = 0 in [0,+∞) × (0,+∞)(IC) u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) x ∈ [0,+∞)(BC) u(0, t) = 0 t > 0

Si usa il metodo di riflessione: (V.Evans [5] per i dettagli)

1. Si scelgono i prolungamenti u, g, h dispari in x; cioe

u(−x, t) = −u(x, t), x > 0.

2. Si usa D’Alembert per rappresentare la soluzione u con dati g, h arrivando a

(2.4.5) u(x, t) =

12[g(x + t) + g(x − t)

]+ 1

2

∫ x+tx−t h(y) dy x ≥ t ≥ 0

12[g(x + t) − g(t − x)

]+ 1

2

∫ t+xt−x h(y) dy 0 ≤ x ≤ t

2.4.2 I casi n = 2, 3: le formule di Poisson, Kirchoff

Osservazione 2.4.3. Per le dimensioni spaziali n = 2, 3 una possibile dimostrazione delTeorema 2.4.1 per la risoluzione del Problema di Cauchy si basa sul metodo delle mediesferiche dove (W) viene trasformata un’equazione del secondo ordine in (t, r) tramite

(2.4.6)

U(x; r, t) :=

>∂Br(x) u(y, t) dS(y)

G(x; r) :=>∂Br(x) g(y) dS(y)

H(x; r) :=>∂Br(x) h(y) dS(y)

r→0+

−→

u(x, t)g(x)h(x)

Lemma 2.4.1. Siano n ≥ 2,m ≥ 2,u ∈ Cm(Rn× [0,+∞)) soluzione di (W) u = utt − ∆u = 0 in Rn

× (0,+∞)(IC) u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) x ∈ Rn

Allora per ogni x ∈ Rn fisso, U(x; ·, ·) ∈ Cm(R+ × [0,+∞)) e soluzione del seguente problema diCauchy per l’equazione di Euler-Poisson-Darboux

(2.4.7)

(EPD) Utt −Urr −n−1

r Ur = 0 in R+ × (0,+∞)(IC) U = G, Ut = H su R+ × t = 0

Dimostrazione. Per esercizio (v. Evans [5] ).

N.B. D2r + n−1

r Dr e la parte radiale di ∆ in coordinate polari.


Dimostrazione. (della formula di Kirchoff: n = 3)Passo 1: (Riscalamento di U)Se U = rU, G = rG, H = rH allora U risolve

Utt − Urr = 0 in R+ ×R+

U|t=0 = G, Ut|t=0 = H su R+ × t = 0U|r=0 = 0

Infatti,

Utt = rUtt = r(Urr +2r

Ur) (EDP,n = 3)

= rUrr + 2Ur = (U + rUr)r = (Ur)r

U|t=0 = rU|t=0 = rG = G, Ut |t=0 = rUt|t=0 = rH = H, U|r=0 = (rU)|r=0 = 0.

Passo 2: (Risolvere il Problema di Cauchy per U per ogni x ∈ Rn fisso)

• Ci interessano U, U solo per r→ 0+, cioe ci basta 0 ≤ r ≤ t.

• In tal caso, abbiamo (usando (2.4.5) dall’Osservazione 2.4.2)

U(x; r, t) =12

[G(x; t + r) − G(x; t − r)

]+

12

∫ t+r

t−rH(x; y) dy

Passo 3: (Determinare u(x, t) facendo il limite limr→0+)

u(x, t) = limr→0+

1r

U(x; r, t)(1

rU = U

)= lim

r→0+

[G(x; t + r) − G(x; t − r)

2r+

12r

∫ t+r

t−rH(x; y) dy

]=

∂G∂t

(x; t) + H(x; t)

=∂∂t

[t

?∂Bt(x)

g(y) dS(y)]

+ t?∂Bt(x)

h(y) dS(y) (∗)

dove la formula (*) sara utile per il caso n = 2. Facendo i conti si ottiene

u(x, t) =

?∂Bt(x)

(g(y) + th(y)

)dS(y) + t

∂∂t

[?∂Bt(x)

g(y) dSt(y)],

ma ?∂Bt(x)

g(y) dSt(y) =

?∂B1(0)

g(x + tz) dS1(z) (y := x + tz)


e, quindi,

t∂∂t

[?∂Bt(x)

g(y) dSt(y)]

= t[?

∂B1(0)〈Dg(x + tz), z〉 dS1(z)

]= t

[?∂Bt(x)〈Dg(y), (y − x)/t〉 dSt(y)

]=

[?∂Bt(x)〈Dg(y), y − x〉 dSt(y)

]

Dimostrazione. (della formula di Poisson: n = 2) Qui non esiste una trasformazione di(EPD) in (W) per U(x, t; r). Quello che si fa e usare il metodo della discesa, ovvero, si cercau(x1, x2, t) = u(x1, x2, x3, t) con u una soluzione in R3

×R+ indipendente da x3.Passo 1: (Il problema per u) utt − ∆u = 0 in R3

× (0,+∞)u|t=0 = g, ut|t=0 = h

dove g(x1, x2, x3) := g(x1, x2) etc.Passo 2: (Applicare Kirchoff a u)Con x = (x1, x2) ∈ R2 poniamo x = (x, 0) ∈ R3 e abbiamo

u(x, t) = u(x, t) =∂∂t

[t

?∂Bt(x)

g(y) dS(y)]

+ t?∂Bt(x)

h(y) dS(y) :=∂∂t

[tug(x, t)

]+ tuh(x, t).

dove

ug(x, t) =1

4πt2

∫∂Bt(x)

g(y1, y2) dS(y) =2

4πt2

∫Bt(x)

g(y1, y2)√

1 + |Dγ(y1, y2)|2 dy1dy2,

con γ(y) = (t2− |y − x|2)1/2 la funzione con grafico uguale alla sfera superiore. Un conto

mostra che

ug(x, t) =1

2πt

∫Bt(x)

g(y)(t2 − |y − x|2)1/2

dy =t2

?Bt(x)

g(y)(t2 − |y − x|2)1/2

dy.

Abbiamo poi

uh(x, t) =t2

?Bt(x)

h(y)(t2 − |y − x|2)1/2

dy.

Calcolando infine l’espressione∂∂t

[tug(x, t)

]+ tuh(x, t) si ottiene la formula di Poisson.


Osservazione 2.4.4. Come per l’equazione del calore, esiste un principio di Duhamelper trattare il problema non omogeneo u = f in Rn

×R+

u = g,ut = h su Rn× t = 0

;

cioe, u(x, t) :=∫ t

0u(x, t; s) ds con u(·; s)s∈(0,t] la famiglia di soluzioni dei problemi

u(·, ·; s) = 0 in Rn× (s,+∞)

u(·, s; s) = 0, ut(·, s; s) = f (·, s).

2.4.3 Metodi di energia

Per ottenere risultati di unicita o di dipendenza continua dai dati nel caso dell’equazionedi Laplace e di quella del calore avevamo fatto uso di principi di massimo. Nel casodell’equazione delle onde esistono ancora dei principi di massimo un po’ particolari.Ad ogni modo, e piu comune usare i cosidetto metodo di integrali di energia. Tale tecnicafunziona anche con le altre equazioni (v. gli esercizi proposti per il corso ed il testo Evans[5] ).

Teorema 2.4.2 (Conservazione di energia). Sia u ∈ C2(Rn× [0,+∞)) una soluzione di (W) u = utt − ∆u = 0 in Rn× (0,+∞)

(IC) u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) x ∈ Rn

con dati iniziali g, h a supporto compatto in Rn. Allora E′(t) = 0 per ogni t > 0, ovveroE(t) = E(0) per ogni t ≥ 0.

Dimostrazione. 1. Si moltiplica (W) per ut per trovare l’identita differenziale 21

(∗) 0 =12

div(−2utDxu,u2

t + |Dxu|2).

Infatti,

0 = utdiv (−Dxu,ut) = div (ut(−Dxu),u2t ) −D(ut) · (−Dxu,ut)

= div (ut(−Dxu),u2t ) +

n∑j=1

utx jux j − ututt = div (ut(−Dxu),u2t ) +

n∑j=1

12

(u2

x j

)t−

12

(u2t )t

2. Poi, si integra l’identita (*) su una palla opportuna in Rn con t ∈ (0,+∞) fisso. Piuprecisamente:

21Qui div = divx,t e la divergenza totale nello spazio-tempo Rn× R.


• Sia R > 0 t.c. supp(g) ∪ supp(h) ⊂ BR(0) ⊂⊂ Rn. Per la velocita finita dipropagazione, si ha

supp(u(·, t)) ⊂ BR+t(0), ∀ t ∈ [0,+∞),

(v. anche Cor. 2.4.2 sotto).

• Integriamo (*) su questa palla

0 =12

∫BR+t(0)

(u2

t + |Dxu|2)

tdx −

∫BR+t(0)

divx (utDxu) dx

=12

∫Rn

(u2

t + |Dxu|2)

tdx −

∫∂BR+t(0)

utDxu · ν dSR+t

=∂∂t

[12

∫Rn

(u2

t + |Dxu|2)

dx]− 0 = E′(t).

E stato usato il fatto che E ∈ C1([0,+∞) e si puo derivare sotto il segno diintegrale. Infatti, per ogni t∗ > 0, consideriamo l’intervallo I = (t∗/2, 2t∗). Ilcaso t∗ = 0 e analogo. L’energia e una funzione integrale E(t) =

∫Rn e(x, t) dx

dove e(x, t) := (u2t + |Dxu|2)/2 soddisfa

e(·, t) ∈ L1(Rn) e e(·, t) ∈ C1(Rn) per ogni t ∈ I

e per ogni (x, t) ∈ Rn× I:

|et(x, t)| ≤ sup(x,t)∈BR+2t∗ (0)×I

|et(x, t)| χBR+2t∗ (0) ∈ L1(Rn).

Usando il teorema sulla convergenza dominata di Lebesgue, si ottiene E ∈C1(I) ed il passagio della derivata in t sotto il segno di integrale.

Osservazione 2.4.5. L’ipotesi g e h a supporto compatto viene usata per evitare questionidelicate sulle convergenze degli integrali in gioco. Si potrebbe fare di meglio. Adesempio, consideriamo una soluzione u di (W) con u ∈ C2(Rn

× [0,+∞)) e di energia finita,cioe

E(t) :=12

∫Rn

(u2

t + |Dxu|2)

dx < +∞, ∀ t ∈ [0,+∞).

Dalla condizione di energia finita, si ricava l’affermazione22: per ogni t ≥ 0 fissato esisteuna successione di raggi Rk = Rk(t) t.c.∫

∂BRk (0)

(u2

t + |Dxu|2)

dx→ 0+ per k→ +∞.

22Si usa Fubini per le bucce ed il fatto che f ≥ 0 e sommabile su (0,+∞) implica lim infx→+∞ f (x) = 0(Analisi IV)


Integrando poi (*) lungo questa successione di palle, si ottiene

12

∫Brk (0)

(u2

t + |Dxu|2)

tdx→ 0, per k→ +∞.

Questa affermazione suggerisce che l’energia dovrebbe essere conservata per soluzioniregolari con energia finita. Pero non costituisce ancora una dimostrazione. Un’altrastrategia potrebbe essere di approssimare g, h con funzioni a supporto compatto e passareal limite.

Corollario 2.4.1 (Unicita per il problema di Cauchy). Siano f ∈ C0(Rn×R+), g ∈ C2(Rn) e

h ∈ C1(Rn) con g, h a supporto compatto. Esiste al piu una soluzione u ∈ C2(Rn× [0,+∞)) del

problema di Cauchy u = f in Rn×R+

u = g,ut = h su Rn× t = 0

Dimostrazione. Consideriamo u = u1 − u2 la differenza di due soluzioni. Per la linearitau e soluzione regolare con dati iniziali g = 0 = h a supporto compatto. Quindi

∀ t > 0 : 0 = E(0) = E(t) =12

∫Rn

(u2

t + |Dxu|2)

dx.

Segue che Du ≡ 0 su Rn×R+ connesso e quindi u ≡ costante, ma u(x, 0) = 0.

Lo stesso tipo di argomentazione funziona anche per il Problema di Cauchy-Dirichlet sudomini limitati nello spazio.

Teorema 2.4.3. Siano Ω ⊂ Rn un dominio limitato e T > 0. Esiste al piu una soluzioneu ∈ C2(ΩT) del problema di Cauchy-Dirichlet

u = f in ΩT = Ω × (0,T]u = g su ΓT = ΩT \ΩT

ut = h su Ω × t = 0

Dimostrazione. Consideriamo la differenza u = u1 − u2 di due soluzioni e fissiamo t0 ∈

(0,T]. Integriamo l’identita (*) su Ωt0 e usiamo il Teorema della divergenza per trovare

0 =12

∫∂Ωt0

(−2utDxu,u2

t + |Dxu|2)· ν dS

= −E(0) + E(t0) −∫∂Ω×[0,t0]

utDxu · νx dS,

dove ν = (νx, νt). Poiche i dati sono nulli, abbiamo E(0) = 0 e ut = 0 su ∂Ω× [0, t0]. Quindiabbiamo Du = 0 su ogni sezione Ω × t = t0. Essendo t ∈ (0,T] arbitrario, otteniamou ≡ costante in ΩT ma u = 0 su ΓT.


Localizzando l’energia su un cono opportuno, otteniamo il segneute risultato.

Teorema 2.4.4 (Dominio di dipendenza). Siano x0 ∈ Rn, t0 > 0 e

Σ = Σ(x0, t0) := (x, t) ∈ Rn+1 : 0 ≤ t ≤ t0, |x − x0| ≤ t0 − t.

Se u ∈ C2(Σ) e soluzione di u = 0 in Σ

u = ut = 0 su Σ ∩ t = 0

allora u ≡ 0 in Σ.

Dimostrazione. Si integra (*) sul cono troncato ΣT = Σ ∩ 0 ≤ t ≤ T per trovare

E(u; BT) ≤ E(u; B0) ∀ T ∈ (0, t0),

dove BT := ΣT ∩ t = T e

E(u; BT) :=12

∫BT

(u2

t + |Dxu|2)

dx.

Ma E(u,B0) = 0 e, quindi E(u,BT) = 0 per ogni T ∈ (0, t0).

Corollario 2.4.2 (Velocita finita di propagazione). Sia u ∈ C2(Rn× [0,+∞)) una soluzione

di (W) u = utt − ∆u = 0 in Rn× (0,+∞)

(IC) u(x, 0) = g(x), ut(x, 0) = h(x) x ∈ Rn

con dati iniziali g, h a supporto compatto in BR(0) ⊂ Rn. Allora per ogni t ≥ 0 si ha

supp(u(·, t)) ⊂ BR+t(0), ∀ t ∈ [0,+∞).

Dimostrazione. E immediata usando Teorema 2.4.4.

Osservazione 2.4.6. Il metodo di energia e molto generale e consiste in:

1. moltiplicare la PDE per una quantita M(u) opportuna;

2. integrare il risultato su un’insieme opportuno;

3. manipolare gli integali tramite IPP/TdD per trovare un’identita oppure una disu-guaglianza utile (usando eventualmente (IC), (BC) etc).

Domanda: Quali sono delle buone scelte per M(u)?Risposta: Generatori infinitesimali di invarianze della PDE. Ad esempio,

• ut per (W) - traslazione in t;

• u per (L) e (H) - l’equazione e lineare.

2.5 Commenti finali 51

2.5 Commenti finali

Fino ad ora, abbiamo trattato solo esempi particolari di equazioni lineari del primo e delsecondo ordine; cioe del tipo

(LPDE) Lu =

N∑i, j=1

ai j(x)Di ju +

N∑i=1

bi(x)Diu + c(x)u = f (x),

dove N = n e x = (x1, . . . , xn) oppure N = n + 1 e x = (x1, . . . , xn, t). Senza perdita digeneralita possiamo assumere che ai j = a ji per ogni i, j = 1, . . . ,N.Domanda 1: In che modo possiamo dividere una classe di PDE in tipi qualitativi? Adesempio, per le PDE lineari del secondo ordine?

Definizione 2.5.1. Sia A(x) =[ai j(x)

]N×N

la matrice dei coefficienti principali dell’opera-tore L di (LDPE). Posti λ1(x), . . . λN(x) gli autovalori di A(x), (LPDE) si dice:

a) ellittica in x se tutti gli autovalori λi(x) sono non nulli e hanno lo stesso segno (cioeA(x) e definita positiva/negativa);

b) iperbolica in x se tutti gli autovalori λi(x) sono non nulli e uno ha segno oppostorispetto agli altri (cioe A(x) e indefinita con segnatura N − 1 o 1 −N);

c) parabolica in x se un autovalore λi(x) e nullo e gli altri autovalori hanno lo stessosegno (cioe A(x) e semi-definita positiva/negativa con un autovalore nullo).

Un’equazione viene detta ellittica in Ω ⊂ RN se e ellitica in ogni punto x ∈ Ω, etc.

Esempio 2.5.1. Si vede subito che:

• l’equazione di Laplace e ellittica in Rn (λi = 1 per ogni i);

• l’equazione delle onde e iperbolica in Rn+1 (λi = −1 per i = 1, . . . ,n e λn+1 = 1);

• l’equazione del calore e parabolica in Rn+1 (λi = −1 per i = 1, . . . ,n e λn+1 = 0).

Osservazione 2.5.1. In dimensione N = 2, si puo mostrare che ogni equazione linearedel secondo ordine fa parte di esattamente uno dei tre tipi qualitativi in ogni suo punto.In dimensione superiore non e cosı, come si vede dalla definizione stessa riguardo alnumero di autovalori nulli e i segni degli altri.

Per altre classi di equazioni (ordine superiore oppure nonlineari) non esiste una clas-sificazione completa. Per averne un’idea, osserviamo alcune definizioni usate per leequazioni ellittiche.


Definizione 2.5.2. Un operatore differenziale lineare di ordine m ∈ N in RN, cioeP(x,D) =

∑|α|≤m aα(x)Dα e detto ellittico in x se esiste λ = λ(x) > 0 (costante di ellitticita)

t.c.pm(x, ξ) =

∑|α|=m

aα(x)ξα ≥ λ|ξ|m,

oppure la stessa cosa con −pm al posto di pm. In particolare, pm(x, ξ) , 0 per ogni ξ , 0.

Definizione 2.5.3. Un’ equazione completamente non lineare del secondo ordine, cioedella forma F(x,u,Du,D2u) = 0 con F = F(x, z, p, q) e detta ellittica (per u) in x se la matrice

M(x) := DqF(x,u(x),Du(x),D2u(x))

e una matrice definita (positiva/negativa).

Come esercizio, si puo controllare che un’equazione lineare del secondo ordine e ellitticasecondo la Definizione 2.5.2 se e solo se e ellittica secondo la Definizione 2.5.3. Si possonoconsultare gli esercizi proposti per altri esempi.

Domanda 2: Quale sono le possibili tecniche per trattare le PDE?Risposta: Tra le piu comuni:

1. Principi di massimo/minimo: molto utili per equazioni ellittiche e paraboliche;meno utile per equazioni iperboliche;

2. Metodi di energia: utili per tutti i tipi;

3. Analisi di Fourier: utile soprattutto per equazioni lineari;

4. Metodi variazionali: fra un attimo diremo qualcosa.

N.B. In tutti i casi, e necessaria un po’ di Analisi Funzionale per determinare spazi op-portuni in cui ambientare il problema. Una scelta opportuna e evidente se consideriamoil metodo 4.

Teorema 2.5.1 (Principio di Dirichlet). Sia ϕ ∈ C0(∂Ω) con Ω ⊂ Rn un dominio limitato. Siau minimo del funzionale di Dirichlet

E(u) = minw∈Fϕ

E(w)

doveE(w) =

∫Ω

|Dw|2 dx e Fϕ = w ∈ C2(Ω) : w|∂Ω = ϕ.

Allora u e soluzione classica del problema di Dirichlet ∆u = 0 in Ω

u = ϕ su ∂Ω


Dimostrazione. 1. La condizione al contorno e soddisfata in quanto u ∈ Fϕ.

2. Sia η ∈ C∞0 (Ω) una funzione test. Allora u + tη ∈ Fϕ per ogni t ∈ R e si ha

J(t) := E(u + tη) ≥ E(u) = J(0)

dove J e derivabile in t = 0 (esercizio). Per il Teorema di Fermat J′(0) = 0.

3. Calcolando si trova

J(t) =

∫Ω

〈Du + tDη,Du + tDη〉 dx

=

∫Ω

(|Du|2 + 2t〈Du,Dη〉 + t2

|Dη|2)

dx

= J(0) + tJ′(0) + o(t) per t→ 0.

Ma J′(0) = 0. Quindi ∫Ω

〈Du,Dη〉 dx = 0 ∀ η ∈ C∞0 (Ω).

4. Usando il teorema della divergenza

−

∫Ω

η∆u dx = 0 ∀ η ∈ C∞0 (Ω),

e per il teorema di annullamento (Analisi Reale) abbiamo ∆u = 0 in Ω.

Bene. Se esiste minw∈Fϕ E(w) allora u e soluzione classica del nostro problema. Ma esisteil minimo?

1. E(w) ≥ 0 per ogni w ∈ Fϕ, quindi esiste ukk∈N ⊂ Fϕ t.c.

E(uk)→ m := infFϕ

E (successione minimizzante)

2. Abbiamo uk → u? Chi e u? In quale spazio vive? In che senso converge?

Questo e un vero problema. (Dirichlet stesso era caduto nella trappola).

Esempio 2.5.2. (Weierstrass) Consideriamo

E(u) =

∫ 1

0x2|u′(x)|2 dx su F = u ∈ C1

pw([0, 1]) ∩ C0([0, 1]) : u(0) = 0,u(1) = 1.

Affermiamo che infF E non viene assunto. Infatti:


1. infF E = 0: Dato che E ≥ 0, basta trovare una successione uk ⊂ F t.c. E(uk) → 0.Una e data da

uk(x) =

kx 0 ≤ x ≤ 1/k1 1/k ≤ x ≤ 1

=⇒ u′k(x) =

k 0 ≤ x < 1/k0 1/k < x ≤ 1

Quindi E(uk) =∫ 1/k

0 x2k2 dx = 1/(3k) → 0 per k → +∞ e abbiamo una successioneminimizzante.

2. D’altre parte,

uk(x)→

1 0 < x ≤ 10 x = 0

< F ⊂ C0([0, 1]);

cioe la scelta di F e sbagliata.

Domanda: Quali spazi F vanno bene per il problema di minimizzazione

minF

∫Ω

|Du|2 dx?

Sia ukk∈N ⊂ F t.c. uk = ϕ su ∂Ω e E(uk)→ m = infF E.

1. Lemma: E e convesso, cioe

E(tu + (1 − t)v) ≤ tE(u) + (1 − t)E(v), ∀ u, v ∈ F , ∀ t ∈ [0, 1].

Dimostrazione.E(tu + (1 − t)v) =

∫Ω|tDu + (1 − t)Dv|2 dx

ma |tDu + (1 − t)Dv| ≤ t|Du| + (1 − t)|Dv| e quindi

|tDu + (1 − t)Dv|2 ≤ (t|Du| + (1 − t)|Dv|)2≤ t|Du|2 + (1 − t)|Dv|2,

dove si e usata la convessita della funzione s 7→ s2 su [0,+∞). Integrando su Ω siottiene la tesi.

2. Lemma: E(uk − u j)→ 0 per j, k→ +∞

Dimostrazione. Abbiamo |V −W|2 = 2|V|2 + 2|W|2 − |V + W|2 per ogni V,W ∈ Rn.Quindi

E(uk − u j) =

∫Ω

|Duk −Du j|2 dx = 2

∫Ω

|Duk|2 dx + 2

∫Ω

|Du j|2 dx − 4

∫Ω

∣∣∣∣∣∣D(uk + u j)2

∣∣∣∣∣∣2 dx

= 2E(uk) + 2E(u j) − 4E(uk + u j

2

)→ 2m + 2m − 4m = 0 per j, k→ +∞.


Infatti, dal Lemma 1

m ≤ E(uk + u j

2

)≤

12

E(uk) +12

E(u j)→ m,

supponendo che F sia uno spazio vettoriale. La media di uk e u j soddisfa (BC).

3. Quindi, ogni succcessione minimizzante deve soddisfare∫Ω

n∑i=1

[Diuk −Diu j

]2dx =

∫Ω

∣∣∣Duk −Du j∣∣∣2 dx→ 0;

cioe Diukk∈N e una successione di Cauchy per la norma L2(Ω) per ogni i = 1, . . .n.Ma L2(Ω) e completo, quindi

∃ w1, . . . ,wn ∈ L2(Ω) t.c. Diuk → wi in L2(Ω) i = 1, . . .n.

4. Ci serve wi = Diu in L2(Ω) per qualche u = limk→+∞ uk in F . Questo ci porta aconsiderare

u ∈ L2(Ω) : ∃ “Diu′′ ∈ L2(Ω) = W1,2(Ω) = F ,

dove “Diu” e la derivata debole e W1,2(Ω) e uno spazio di Sobolev.

Capitolo 3

Spazi di Sobolev

Seguiamo sostanzialmente Evans [5], ma a volte usando qualche idea di Adams [1],Brezis [3] e Giusti [8].

3.1 Derivate deboli

L’idea: Vogliamo definire derivate in senso debole di u “scaricando” le derivate suuna funzione test ϕ. Piu precisamente, siano Ω ⊂ Rn aperto e C∞0 (Ω) = ϕ ∈ C∞(Ω) :supp(ϕ) ⊂⊂ Ω dove supp(ϕ) e il supporto di ϕ.1

• Se u ∈ C1(Ω) abbiamo via IPP2∫Ω

Diuϕ(x) dx = −

∫Ω

u Diϕ dx, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

• Se u ∈ Ck(Ω) e |α| = k ∈N abbiamo

(3.1.1)∫

Ω

Dαuϕ(x) dx = (−1)|α|∫

Ω

u Dαϕ dx, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

• La formula (3.1.1) ha senso se u,Dαu ∈ L1loc(Ω), ma data u ∈ L1

loc(Ω), non sara veroche Dαu esiste come limite del rapporto incrementale, cioe non esiste la derivatain senso classico. Invece diremo che u e derivabile in senso debole, se esistevα ∈ L1

loc(Ω) che rende (3.1.1) vera con vα al posto di Dαu.

Definizione 3.1.1. Siano u ∈ L1loc(Ω) e α ∈ Nn

0 . Diciamo che u ammette derivata deboleα-esima in Ω se esiste vα ∈ L1

loc(Ω) t.c.∫Ω

vα ϕ dx = (−1)|α|∫

Ω

u Dαϕ dx ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

1La chiusura in Ω di x ∈ Ω : ϕ(x) , 0.2Il termine al bordo e nullo perche ϕ ≡ 0 in un intorno di ogni x ∈ ∂Ω.

56

3.1 Derivate deboli 57

In tal caso, vα detta la derivata debole α-esima di u in Ω e usiamo i simboli Dαu o Dαwu per

vα.3 Inoltre, se u ∈ L1loc(Ω) ammette derivata debole Dαu in Ω per ogni |α| ≤ k, diciamo

che u e k volte differenziabile debolmente in Ω.

Osservazione 3.1.1. Per |α| = 1, abbiamo il gradiente debole Du ∈(L1

loc(Ω))n

se esiste

(v1, . . . , vn) ∈(L1

loc(Ω))n

t.c.∫Ω

vi ϕ dx = −

∫Ω

u Diϕ dx ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

e denotiamo vi = Diu = (Di)wu.

Per farci un’idea, consideriamo qualche esempio 1-dimensionale,.

Esempio 3.1.1. Sia u = |x| in Ω = (−1, 1). Esiste u′ debole in L1loc(Ω)? La questione ha

senso perche u ∈ L1loc(Ω). Facendo i conti si trova∫ 1

−1u(x)ϕ′(x) dx = −

∫ 0

−1xϕ′(x) dx +

∫ 1

0xϕ′(x) dx

= −xϕ∣∣∣0−1 +

∫ 0

−1ϕ(x) dx + xϕ

∣∣∣10 −

∫ 1

0ϕ(x) dx

= −

∫ 1

−1sign(x)ϕ(x), dx.

Quindi esiste la derivata debole ed e u′w = sign(x).

Esempio 3.1.2. Sia u = sign(x) in Ω = (−1, 1). Esiste u′ debole in L1loc(Ω)? Di nuovo

u ∈ L1loc(Ω) e ∫ 1

−1u(x)ϕ′(x) dx = −

∫ 0

−1ϕ′(x) dx +

∫ 1

0ϕ′(x) dx

= −ϕ(0) − ϕ(0) = −2ϕ(0).

Ma dall’Analisi Reale, sappiamo che @ v ∈ L1loc(Ω) t.c.

−

∫ 1

−1vϕ dx = −2ϕ(0) ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω).

Quindi non esiste una derivata debole u′w ∈ L1loc(Ω). Esiste invece la derivata nel senso

delle distribuzioni u′ = −2δ.3Ovviamente con la notazione Dα

wu evitiamo confusione con la derivata in senso classico, ma spessousiamo derivate deboli come strumento per arrivare alle derivate classiche.


Osservazione 3.1.2. Negli Esempi 3.1.1 e 3.1.2 i conti vengono facilitati dal fatto chele funzioni u hanno dei prolungamenti lisci a destra e a sinistra della singolarita inx = 0. Quindi si puo integrare per parti direttamente sugli intervalli [−1, 0] e [0, 1]. Indimensione superiore, tipicamente e necessario risolvere la singolarita in qualche modo.L’esempio seguente illustra un modo di farlo.

Esempio 3.1.3. Siano u = |x|β con β ∈ R e Ω = B1 dove B1 = B1(0) ⊂ Rn. Per quale β esisteil gradiente debole Dwu in B1? La funzione u e misurabile e C∞(B1 \ 0) dove le derivateparziali classiche sono definite quasi-ovunque (in B1 \ 0) con le formule

(3.1.2) D ju(x) = βx j|x|β−2 j = 1, . . . ,n.

Notando che ∫B1

|x|β dx = nωn

∫ 1

0rβ+n−1 dr,

abbiamo u ∈ L1(B1) se e solo se β > −n. In modo analogo, il gradiente classico e definitoquasi-ovunque e soddisfa Du ∈ L1(B1) se e solo se

β > −n + 1.

Con β > −n+1, le derivate deboli esistono e sono le funzioni definite in (3.1.2). Infatti, perogni k ∈N e per ogni ϕ ∈ C∞0 (B1), usando integrazione per parti su B1 \ B1/k otteniamo

(3.1.3)∫

B1\B1/k

D juϕ dx = −

∫B1\B1/k

uD jϕ dx +

∫∂B1/k

uϕν j dS(k).

Faccendo tendere k→ +∞ otteniamo∫B1

D juϕ dx = −

∫B1

uD jϕ dx,

ovvero esiste la derivata debole (D j)wu ed e D ju. Infatti, per gli integrali su B1 \ B1/k

usiamo il teorema di convergenza dominata. Ad esempio∫B1\B1/k

D juϕ dx =

∫B1

χB1\B1/kD juϕ dx :=∫

B1

fk dx,

dove fk → D juϕ q.o. in B1 e | fk| ≤(maxB1

ϕ)

D ju ∈ L1(B1) se β > −n + 1. Invece perl’integrale su ∂B1/k abbiamo∣∣∣∣∣∣

∫∂B1/k

uϕν j dS(k)

∣∣∣∣∣∣ ≤ max∂B1/k

ϕ

∫∂B1/k

∣∣∣∣∣∣(1k

)β∣∣∣∣∣∣ dS(k) ≤ nωn

[max∂B1/k

ϕ

] (1k

)β+n−1→ 0

se β + n − 1 > 0.


Facciamo ora alcuni commenti sul concetto di derivata debole e poi esaminiamone leprime proprieta.

Osservazione 3.1.3. La derivata debole Dαu e stata definita globalmente in Ω, ma pos-siamo localizzare la definizione nel modo seguente. Data Bε(x0) ⊂ Ω chiediamo solo cheesiste Dαu debole in Bε(x0); cioe esiste vα ∈ L1

loc(Bε(x0)) t.c.∫Bε(x0)

vα ϕ dx = (−1)|α|∫

Bε(x0)u Dαϕ dx ∀ ϕ ∈ C∞0 (Bε(x0)).

Notiamo che se esiste Dαu debole in Ω, allora esiste Dαu debole in Bε(x0) per ogniBε(x0) ⊂ Ω.

Osservazione 3.1.4. La derivata debole Dαu viene definita in modo diretto anziche inmodo induttivo, ovvero come Di(Dβu) con |β| = |α| − 1. Anzi, data l’esistenza di Dαudebole con |α| ≥ 2, non e detto che esistano le derivate deboli di ordine inferiore.

Esempio 3.1.4. Sia u(x1, x2) = sign(x1) + sign(x2) ∈ L1loc(Ω) con Ω = (−1, 1)2

⊂ R2. Allora

i) @D1u,D2u ∈ L1loc(Ω);

ii) D12u = 0 = D21u ∈ L1loc(Ω).

Infatti, l’affermazione i) segue dallo stesso ragionamento usato nell’Esempio 3.1.2. Inve-ce, per D12u si trova∫

Ω

u D12ϕ dx = 2∫ 1

0

(∫ 1

0D12ϕ dx1

)dx2 − 2

∫ 0

−1

(∫ 0

−1D12ϕ dx1

)dx2

= 2∫ 1

0

[−D2ϕ(0, x2)

]dx2 − 2

∫ 0

−1D2ϕ(0, x2) dx2

= 2ϕ(0, 0) − 2ϕ(0, 0) = 0.

Lo stesso ragionamento funziona per D21u.

Teorema 3.1.1 (Proprieta delle derivate deboli). Siano Ω ⊆ Rn e u ∈ L1loc(Ω).

a) Se vα = Dαwu in L1

loc(Ω) e u = u q.o. in Ω, allora vα = Dαwu in L1

loc(Ω).

b) Se v1, v2 = Dαwu in L1

loc(Ω) allora v1 = v2 q.o. in Ω.

c) Se u ∈ Ck(Ω) allora Dαwu = Dαu in L1

loc(Ω) per ogni |α| ≤ k.

Cioe, data una funzione u definita q.o. in Ω, misurabile e sommabile, l’esistenza diuna derivata debole Dαu e indipendente dal rappresentante della classe di equivalenzadi u ∈ L1

loc(Ω). Inoltre, la derivata debole di u e unica (determina un’unica classe diequivalenza in L1

loc(Ω) rispetto la solita relazione di equivalenza) e se u ∈ Ck(Ω), allora laderivata debole di u ha la derivata classica come rappresentante.


Dimostrazione. La parte a) segue dalla definizione di derivata debole e dall’uguaglianzaq.o. tra u e u: ∫

Ω

vαϕ dx = (−1)|α|∫

Ω

u Dαϕ dx = (−1)|α|∫

Ω

u Dαϕ dx

Per le parti b) e c), ricordiamo il teorema di annullamento di Analisi Reale4: Per f ∈ L1loc(Ω)∫

Ω

fϕ dx = 0 ∀ϕ ∈ C∞0 (Ω) ⇒ f = 0 q.o. in Ω.

Infatti:

b) Usando la definizione della derivata debole abbiamo∫Ω

v1ϕdx = (−1)α∫

Ω

u Dαϕ dx =

∫Ω

v2ϕdx, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω)

⇒

∫Ω

(v1 − v2)ϕ dx = 0 ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω)

Quindi, applicando il teorema di annullamento, otteniamo il risultato.

c) Usando la definizione di derivata debole ed IPP abbiamo∫Ω

Dαwuϕdx = (−1)|α|

∫Ω

u Dαϕ dx =

∫Ω

Dαuϕ dx, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω)

Da cui il risultato per il teorema di annullamento.

Osservazione 3.1.5. Nell’affermazione c) sopra, la condizione u ∈ Ck(Ω) e essenziale.Cioe, esistono delle funzioni derivabili in senso classico (con derivate non continue) percui non esiste la derivata debole.

Esempio 3.1.5. Sia u : Ω = (−1, 1)→ R definita da

u(x) =

x2 sin(

1x2

)x , 0

0 x = 0

u e derivabile in senso classico con derivata

u′(x) =

2x sin(

1x2

)−

2x cos

(1x2

)x , 0

0 x = 0

ma u′ < L1loc(Ω). Quindi la derivata debole non esiste.

Proponiamo ora un paio di esercizi legati alle Osservazioni 3.1.4 e 3.1.5.

4Il risultato e una conseguenza del Teorema di Differenziazione di Lebesgue.

3.2 Gli spazi Wk,p(Ω) 61

Esercizio 3.1.1. Sia f ∈ L1loc(R). Dall’Analisi Reale sappiamo che la funzione integrale

Fa(x) :=∫ x

af (t) dt definisce una funzione assolutamente continua in [a, b] per ogni b > a

ed e percio differenziabile quasi ovunque con derivata F′a = f ∈ L1([a, b]). Mostrare:∀ a ∈ R, esiste la derivata debole (Fa)′w ∈ L1

loc(R).

Esercizio 3.1.2. Sia u ∈ L1loc(Ω). Mostrare le seguenti affermazioni:

a) ∃ v12 = D12u debole ⇔ ∃ v21 = D21u debole;

b) Se ∃ v12 = D12u debole , allora v21 = v12 q.o. in Ω.

Concludiamo con un paio di osservazioni per motivare i prossimi discorsi.

Osservazione 3.1.6. Il concetto di derivata debole fornisce formulazioni deboli di una(PDE); ad esempio, si puo dire che u ∈ L1

loc(Ω) debolmente armonica in Ω se e due voltedebolmente differenziabile in Ω e soddisfa

(3.1.4)∫

Ω

u ∆ϕ dx = 0, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

Infatti, se esistono le derivate deboli Diiu ∈ L1loc(Ω) per ogni i = 1, . . .n, la (3.1.4) ci dice

esattamente che il Laplaciano debole e nullo.

Esercizio 3.1.3. Siano L =

n∑i, j=1

ai j(x)Di j con ai j = a ji ∈ C∞(Ω) e u ∈ L1loc(Ω) due volte

debolmente differenziabile in Ω. Formulare una definizione per Lu = 0 debolmente in Ω.

Osservazione 3.1.7. Data una derivata debole Dαu ∈ L1loc(Ω) di u ∈ L1

loc(Ω), ha sensochiedere inoltre che:

u ∈ Lp(Ω) e Dαu ∈ Lp(Ω) per p ∈ [1,+∞].

Questo ci portera agli spazi di Sobolev Wk,p(Ω).

3.2 Gli spazi Wk,p(Ω)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto.

Definizione 3.2.1. Siano k ∈N0 e 1 ≤ p ≤ ∞. Si definisce lo spazio di Sobolev

Wk,p(Ω) :=u ∈ Lp(Ω) : ∃ derivata debole Dαu ∈ Lp(Ω) per ogni |α| ≤ k

,

Osservazione 3.2.1. Per k = 0 abbiamo Wk,p(Ω) = Lp(Ω). Dall’Analisi Reale sappiamoche si tratta di uno spazio di Banach per ogni p ∈ [1,∞]. Lo spazio e inoltre riflessivo5 perp ∈ (1,∞) ed e separabile6 per p ∈ [1,∞).

5B e riflessivo se il biduale B′′ e isomorfo a B.

6B e separabile se B ammette un sottoinsieme numerabile e denso.


Osservazione 3.2.2. Per k = 1 abbiamo

W1,p(Ω) :=u ∈ Lp(Ω) : ∃ gradiente debole Du ∈ (Lp(Ω))n

,

cioe ∃ (v1, . . . , vn) ∈ (Lp(Ω))n t.c.∫Ω

vi ϕ dx = −

∫Ω

u Diϕ dx, ∀ ϕ ∈ C∞0 (Ω).

Abbiamo cosı la seguente identificazione:

W1,p(Ω) ↔ W ( (Lp(Ω))n+1

u 7→ (u,Du)

Dal Teorema 3.1.1, segue che la mappa sopra e iniettiva; un elemento u di Wk,p(Ω) e unaclasse di equivalenza, dove la classe di Du ∈ (Lp(Ω))n e determinata dalla classe di uin Lp(Ω) se u ammette gradiente debole. D’altra parte la mappa sopra non e suriettiva,perche esistono u ∈ Lp(Ω) senza gradiente debole o con gradiente debole Du ∈

(L1

loc(Ω))n

ma Du < (Lp(Ω))n.

Teorema 3.2.1 (Prime proprieta). Siano 1 ≤ p ≤ ∞ e k ∈N0. Allora:

a) Wk,p(Ω) e uno spazio vettoriale.

b) Wk+m,p(Ω) ⊆Wk,p(Ω) per ogni m ∈N0.

c) Se u ∈Wk,p(Ω) allora u|Ω′ ∈Wk,p(Ω′) per ogni Ω′ ⊆ Ω aperto.

d) Se u ∈Wk,p(Ω) e ζ ∈ C∞0 (Ω) allora ζu ∈Wk,p(Ω) e vale la formula di Leibniz

Dα(ζu) =∑β≤α

(αβ

)DβζDα−βu

dove le derivate di ζu e u sono derivate deboli.

Dimostrazione. Per la parte a), sfruttiamo il fatto che Lp(Ω) e uno spazio vettoriale. Sianou, v ∈ Wk,p(Ω) e λ, µ ∈ R, allora λDαu + µDαv ∈ Lp(Ω) per ogni |α| ≤ k. Quindi bastamostrare che Dα(λu + µv) = λDαu + µDαv. Ma questo e facile: per ogni ϕ ∈ C∞0 (Ω)abbiamo∫

Ω

(λDαu + µDαv

)ϕ dx = λ

∫Ω

Dαuϕ dx + µ

∫Ω

Dαvϕ dx

= λ(−1)|α|∫

Ω

u Dαϕ dx + µ(−1)|α|∫

Ω

v Dαϕ dx

= (−1)|α|∫

Ω

(λu + µv

)Dαϕ dx.

La parte b) e facile da dimostrare usando il fatto che u ∈Wk,p(Ω)⇒ Dβu ∈Wk−|β|,p(Ω) perogni |β| ≤ k. Lasciamo le parti c) e d) per esercizio (v. Teorema 5.2.1 di Evans [5]).


Definizione 3.2.2. Sia Wk,p(Ω) con k ∈N0 e p ∈ [1,+∞]. La norma || · ||Wk,p(Ω) e definita da

(3.2.1) ||u||Wk,p(Ω) :=

∑|α|≤k

∫Ω

|Dαu|p

1p

1 ≤ p < ∞

max|α|≤k

(ess sup

Ω

|Dαu|)

p = ∞

Per calcolare le norme, si puo scegliere un qualsiasi rappresentante per

(u,Du, . . . ,Dku) ∈ Lp(Ω) × (Lp(Ω))n· · · (Lp(Ω))nk

.

Esercizio 3.2.1. Verificare le tre proprieta di norma per i funzionali (3.2.1) (v. Teorema 2su p. 249 di [5]).

Esercizio 3.2.2. Per 1 ≤ p < ∞, notando che

||u||Wk,p(Ω) =

∑|α|≤k

||Dαu||pLp(Ω)

1p

,

verificare che la norma (3.2.1) e equivalente a

||u||k,p =∑|α|≤k

||Dαu||Lp(Ω).

Esercizio 3.2.3. Mostrare che vale l’inclusione Ck(Ω) ⊂Wk,p(Ω) per p ∈ [1,∞] e Ω ⊂⊂ Rn.

Esercizio 3.2.4. In funzione della dimensione n, trovare i valori di α ∈ R e p ∈ [1,∞] percui

|x|−α ∈Wk,p(B1(0)) e |x|−α ∈Wk,p(Rn\ B1(0)).

Teorema 3.2.2 (Spazi di Sobolev come spazi funzionali). Per ogni k ∈N0, lo spazio Wk,p(Ω)

a) e uno spazio di Banach per ogni 1 ≤ p ≤ ∞;

b) e riflessivo per ogni 1 < p < ∞;

c) e separabile per ogni 1 ≤ p < ∞;

d) e uno spazio di Hilbert per p = 2 con prodotto scalare

(u, v)Wk,2(Ω) :=∑|α|≤k

∫Ω

Dαu Dαv dx =∑|α|≤k

(Dαu,Dαv)L2(Ω).

In questo caso, si denota Hk(Ω) := Wk,2(Ω).


Dimostrazione. Mostriamo solo il caso k = 1. I casi k ≥ 2 sono analoghi - v. Theorem 5.2.2di Evans [5].

a) Sappiamo gia che W1,p(Ω) e uno spazio vettoriale normato, dunque ci rimane solo damostrarne la completezza. Prendiamo una successione u j di Cauchy in W1,p(Ω).Allora evidentemente le successioni

u j, D1u j, . . . , Dnu j sono di Cauchy in Lp(Ω)

⇒ ∃u, v1, . . . , vn ∈ Lp(Ω) t.c.

(3.2.2) u j → u in Lp(Ω)

(3.2.3) Diu j → vi in Lp(Ω), i = 1, . . . ,n.

Ora ci rimane da dimostrare che:

i) esistono le derivate deboli Diu e stanno in Lp(Ω);

ii) si ha Diu = vi in Lp(Ω).

Sia p = [1,∞]. Per ogni ϕ ∈ C∞0 (Ω) e per ogni i = 1, . . . ,n, abbiamo∫Ω

uDiϕ dx = limj→∞

∫Ω

u jDiϕ dx (usando (3.2.2))

= limj→∞

(−

∫Ω

Diu jϕ dx)

( definizione di derivata debole)

= −

∫Ω

viϕdx (usando (3.2.3)).

Quindi abbiamo i) e ii).

b) Abbiamo bisogno di un po’ di analisi funzionale.

• Sappiamo che Lp(Ω) e riflessivo per 1 < p < ∞, dove il Teorema di Rappresen-tazione di Riesz ci dice che [Lp(Ω)]′ ' Lp′(Ω) con p′ = p/(p− 1). E facile vedereche il prodotto cartesiano

E := Lp(Ω) × Lp(Ω) · · · × Lp(Ω)︸︷︷︸n+1 fattori

e a sua volta riflessivo (Analisi Funzionale).


• La mappa T : W1,p(Ω) → E definita da T(u) = (u,Du) e un’isometria fraW1,p(Ω) e W = T(W1,p(Ω)) ⊂ E dove

||Tu||E :=∑|α|≤1

||Dαu||Lp(Ω),

e si e usata la norma equivalente definita nell’Esercizio 3.2.2.

• La parte a) mostra che T(W1,p(Ω)) ⊂ E e chiuso in E riflessivo. Dall’AnalisiFunzionale allora abbiamo che anche T(W1,p(Ω)) e riflessivo (si tratta di unsottospazio chiuso di E). Ma T e un’isometria e quindi W1,p(Ω) e riflessivo.

Per p = 1,∞ non possiamo far partire il ragionamento. Comunque, l’affermazionee falsa.

c) Sappiamo che Lp(Ω) e separabile per 1 ≤ p < ∞ mentre L∞(Ω) non e separabile(Analisi Reale). E chiaro che E e separabile e quindi anche T(W1,p(Ω)) ⊂ E lo e. Dinuovo, usando T isometria, abbiamo W1,p(Ω) separabile.

d) E automatico.

Osservazione 3.2.3. Esiste un approccio alternativo per costruire gli spazi di Sobolev. Siconsidera il completamento di

Vk,p = u ∈ Ck(Ω) : ||u||Wk,p(Ω) < +∞

rispetto alla norma || · ||Wk,p(Ω). Chiamiamo Hk,p(Ω) tale spazio. I suoi elementi sono perdefinizione u = [u j] classi di equivalenza di successioni di Cauchy rispetto alla norma(come nella costruzione di R da Q).

Teorema 3.2.3 (Meyers-Serrin’64). “H = W” per 1 ≤ p < ∞.

Non intendiamo dimostrare il risultato. Ad ogni modo, il punto chiave della dimostra-zione consiste nella verifica che le derivate deboli possono essere approssimate tramitefunzioni regolari (con derivate classiche). Questo ci interessa non poco ed e legato alconcetto di derivata forte di u ∈ L1

loc(Ω). Diamo la definizione per funzioni in Lp(Ω).

Definizione 3.2.3. Si dice che u ∈ Lp(Ω) ammette derivata forte α-esima in Lp(Ω) se esisteuna successione u j ⊂ C∞(Ω) t.c.

i) u j → u in Lp(Ω);

ii) Dαu j e di Cauchy in Lp(Ω).

3.3 Approssimazione in Wk,p tramite funzioni regolari 66

In tal caso, la derivata forte e Dαs u := lim

j→+∞Dαu j in Lp(Ω).

Il metodo per mostrare che l’esistenza di una derivata debole implica quella forte e ilsolito processo di mollificazione visto in Analisi Reale per gli spazi Lp(Ω). E naturale allorache uno dei nostri prossimi obiettivi sara quello di andare a trattare l’approssimazionein spazi di Sobolev.

3.3 Approssimazione in Wk,p tramite funzioni regolari

Obiettivo: Mostrare che per ogni u ∈Wk,p(Ω) esiste u j j∈N ⊂ C∞(Ω)∩Wk,p(Ω) t.c. u j → uin norma Wk,p(Ω).Metodo: Mollificazione e partizioni dell’unita rispetto ad Ω ⊆ Rn aperto.

3.3.1 Approssimazione locale

Ricordiamo gli elementi della mollificazione visti in Analisi Reale (v. le dispense Payne[15] per i dettagli).

• Prendiamo un mollificatore canonico η ∈ C∞0 (Rn) t.c.

i) η ≥ 0

ii) supp(η) ⊂ B1(0)

iii)∫Rnη(x) dx =

∫B1(0)

η(x) dx = 1

ad esempio

η(x) :=

Ce1

|x|2−1 |x| ≤ 10 |x| ≥ 1

con C > 0 opportuna per avere la proprieta iii).

• Definiamo la famiglia di mollificatori

ηε(x) =1εnη

(xε

)che soddisfano i), iii) e ii)’ supp(ηε) ⊂ Bε(0).

• Per u ∈ L1loc(Ω), la mollificata uε di u e

(3.3.1) uε(x) := (ηε ∗ u)(x) =

∫Ω

ηε(x − y)u(y) dy


dove l’integranda ha supporto in Bε(x). Quindi via un cambiamento di variabiliabbiamo

(3.3.2) uε(x) = (ηε ∗ u)(x) =

∫Bε(0)

ηε(y)u(x − y)dy.

La mollificata risulta ben definita in

Ωε := x ∈ Ω : dist(x, ∂Ω) > ε.

Notiamo che Ωε = Rn se ∂Ω = ∅, ovvero Ω = Rn.

N.B. Per avere uε(x) definita per x ∈ Ω \Ωε, si puo prolungare u e usare la (3.3.2); cioe

uε(x) =

∫Bε(0)

ηε(y)u0(x − y) dy,

dove u0 ≡ 0 su Rn\ Ω. In generale,7 questa definizione crea problemi per le derivate

deboli vicino a ∂Ω.

Lemma 3.3.1 (Convergenze della mollificata). Sia u ∈ L1loc(Ω) allora:

(i) uε ∈ C∞(Ωε) con Dαuε = Dαηε ∗ u.

(ii) uε → u q.o. in Ω, ovvero nei punti di Lebesgue di Ω.

(iii) Se u ∈ C0(Ω) allora uε → u uniformemente sui compatti di Ω.

(iv) Se u ∈ Lploc(Ω) con 1 ≤ p < ∞ allora uε → u in Lp

loc(Ω).

Dimostrazione. Analisi Reale.

Lemma 3.3.2 (Mollificazione e derivate deboli). Sia u ∈ L1loc(Ω) per cui esiste la derivata

debole Dαwu ∈ L1

loc(Ω). Allora Dαuε(x) = (Dαwu)ε(x) per ogni x ∈ Ωε. In particolare,

Dα(ηε ∗ u) = (Dαηε) ∗ u = ηε ∗Dαwu in Ωε.

Dimostrazione. Usando il teorema sulla convergenza dominata, possiamo derivare sottoil segno di integrale e otteniamo

Dαuε(x) = Dα

(∫Ω

1εnη

(x − yε

)u(y)dy

)=

∫Ω

1εn Dα

x

[η(x − yε

)]u(y)dy

=

∫Ω

(−1)|α|

εn Dαy

[η(x − yε

)]u(y)dy =

∫Ω

1εnη

(x − yε

)Dα

wu(y)dy

= (ηε ∗Dαwu)(x)

Notiamo che per ogni x ∈ Ωε gli integrali non dipendono dai particolari rappresentantiper u ∈ L1

loc(Ω) e vα = Dαwu ∈ L1

loc(Ω).

7Invece, se u = 0 in qualche senso al bordo, questo prolungamento non crea problemi.


Teorema 3.3.1 (di approssimazione locale). Sia u ∈Wk,p(Ω) con 1 ≤ p < ∞, k ∈N0. Allora

a) uε ∈ C∞(Ωε) per ogni ε > 0;

b) uε → u in Wk,ploc (Ω); cioe ||uε − u||Wk,p(Ω′) → 0 per ogni Ω′ ⊂⊂ Ω.

Dimostrazione. La parte a) segue dal Lem. 3.3.2, usando u ∈ Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω). Per la parte

b), per ogni α con |α| ≤ k abbiamo dal Lem. 3.3.2 e dal Lem. 3.3.1:

Dαuε = (Dαu)ε → Dαu in Lp(Ω′),

dove le mollificate sono ben definite in Ω′ per ogni ε abbastanza piccolo. Quindi

||uε − u||pWk,p(Ω′)

=∑|α|≤k

||Dαuε −Dαu||pLp(Ω′) → 0

3.3.2 Approssimazione globale

Ora il nostro obiettivo e trovare delle funzioni regolari che approssimino un elemento diWk,p(Ω) non solo localmente.

Osservazione 3.3.1. Se u ∈Wk,p(Ω) ha supporto compatto, abbiamo gia quello che serve.Infatti, sia supp(u) = K ⊂ Ω con K compatto:

• uε ∈ C∞0 (Ω) dove supp(uε) ⊂ Kε := x ∈ Ω : dist(x,K) ≤ ε.

• Kε ⊂ Ωε per ogni ε piccolo.

• ||uε − u||Wk,p(Ω) → 0 per il Teorema 3.3.1.

Quindi, per u ∈ Wk,p(Ω) generica, l’idea e quella di andare a spezzare u nella somma dipezzi a supporto compatto via un’opportuna partizione dell’unita.

Lemma 3.3.3 (Esistenza di una partizione dell’unita). Sia R = V j j∈N un ricoprimento diΩ ⊆ Rn aperto t.c.

(R1) Ω = ∪ j∈NV j;

(R2) V j e aperto e V j ⊂⊂ Ω per ogni j ∈N;

(R3) Per ogni K ⊂ Ω compatto, esiste N = N(K) ∈N t.c. K ∩ V j = ∅ per j ≥ N(K).

Allora esiste una famiglia di funzioni ζ j j∈N ⊂ C∞0 (Ω) t.c.

i) supp(ζ j) ⊂ V j ⊂⊂ Ω;


ii) 0 ≤ ζ j ≤ 1 per ogni j ∈N;

iii) ζ(x) :=∑

j∈N ζ j(x) = 1 per ogni x ∈ Ω, dove per ogni K ⊂ Ω ci sono solo un numero finitodi termini non nulli su K.

Dimostrazione. Vedere Giusti [8] per i dettagli, ma l’idea e:

1. Dato R, esiste un raffinamento R = V j j∈N con V j ⊂⊂ V j per ogni j ∈N.

2. Per ogni coppia di aperti V j ⊂⊂ V j esiste una funzione cutoff γ j ∈ C∞0 (V j) t.c. γ j ≡ 1su V j (tramite mollificazione della funzione χVδ

jcon Vδ

j un δ-intorno di V j).

3. Si definisce ζ j = γ j/γ con γ(x) =∑

j∈N γ j(x).

Teorema 3.3.2 (di approssimazione globale di Meyers-Serrin). Sia u ∈ Wk,p(Ω) con 1 ≤p < ∞, k ∈ N0, Ω ⊂ Rn aperto. Allora esiste una successione di u j ⊂ C∞(Ω) ∩Wk,p(Ω) taleche u j → u in Wk,p(Ω).

N.B. In particolare, se u ∈ Wk,p(Ω) allora esistono le derivate forti Dαs u ∈ Lp(Ω) per ogni

α con |α| ≤ k (v. Def. 3.2.3).

N.B. Il risultato ci dice che l’insieme delle funzioni C∞(Ω)∩Wk,p(Ω) e denso in Wk,p(Ω) ed eequivalente all’affermazione: per ogni δ > 0 esiste w ∈ C∞(Ω)∩Wk,p(Ω) t.c. ||w−u||Wk,p(Ω) <

δ.

Dimostrazione. 1. Ricoprimento di Ω: Per j ∈N

Ω j :=

x ∈ Ω : d(x, ∂Ω) >1j, |x| < j

.

Nel caso ∂Ω = ∅, cioe quando Ω = Rn, usiamo invece Ω j := B j(0). Poniamo poi

Ω−1 = Ω0 = ∅.

Infine definiamoV j = Ω j+1 \Ω j−1.

Per costruzione R = V j j∈N e un ricoprimento aperto di Ω con V j ⊂⊂ Ω che elocalmente finito.

2. Partizione dell’unita regolare subordinata ad R: Applichiamo il Lemma 3.3.3 pertrovare la famiglia ζ j j∈N ⊂ C∞0 (Ω) dove

u =

∞∑j=1

ζ j

u =

∞∑j=1

ζ ju.


Questa e una somma localmente finita, cioe avente un numero finito di termininon nulli in ogni punto. Inoltre, per le proprieta degli spazi di Sobolev (v. Teorema3.2.1), abbiamo anche che

ζ ju ∈Wk,p(Ω) e supp(ζ ju) ⊂ V j ⊂⊂ Ω.

Quindi possiamo approssimare ζ ju via mollificazione.

3. Fissiamo δ > 0 e scegliamo ε j > 0 piccolo in modo di avere

w j = ηε j∗(ζ ju) con

||w j − ζ ju||Wk,p(Ω) <

δ

2 j (v. Osservazione3.3.1)

supp(w j) ⊂ Ω j+2 \Ω j−2 (piccolo ingrandimento del supporto)

Notiamo che la mollificazione viene fatta a passo variabile in j, dove ε j deve esseremolto piccolo per j grande nel caso ∂Ω , ∅

4. Ora poniamo w =∑+∞

j=1 w j. Si ha w ∈ C∞(Ω). Infatti, per ogni Ω′ ⊂⊂ Ω larestrizione w|Ω′ ha solo un numero finito di termini non nulli e tutti sono funzioniC∞0 (Ω). Quindi la serie di derivate converge uniformemente su ogni compatto inΩ.

5. Stimando lungo la successione Ωi Ω, troviamo

||u − w||Wk,p(Ωi) =

∥∥∥∥∥∥∥∥∞∑j=1

(w j − ζ ju)

∥∥∥∥∥∥∥∥Wk,p(Ωi)

≤

i+2∑j=1

‖w j − ζ ju‖Wk,p(Ωi) =

i+2∑j=1

‖w j − ζ ju‖Wk,p(Ω)

< δi+2∑j=1

12 j < δ.

La stima e uniforme in i ∈N. Andando a prendere supi∈N otteniamo

||u − w||Wk,p(Ω) < δ.

Osservazione 3.3.2. Il teorema di approssimazione globale e falso per p = ∞.Prendiamo Ω = (−1, 1) e u(x) = |x|. E evidente che u ∈ L∞(Ω) e che u′w(x) = sgn(x) ∈L∞(Ω). Quindi u ∈ W1,∞(Ω). Ora vorremmo che per ogni ε > 0 esistesse una v = vε ∈C∞(Ω) tale che

||u − v||W1,∞(Ω) = max(||u − v||L∞(Ω), ||u′w − v′||L∞(Ω)

)< ε.


In particolare, abbiamo bisogno di |v′(x) − sgn(x)| < ε per quasi ogni x ∈ Ω. Per ε = 1/2,ad esempio, questo e impossibile.

3.3.3 Approssimazione fino al bordo

Infine, ci chiediamo quando sia possibile approssimare con funzioni regolari fino albordo.

Teorema 3.3.3 (di approssimazione globale fino al bordo).Siano 1 ≤ p < ∞, k ∈ N0, Ω ⊂ Rn limitato con ∂Ω ∈ C1 e u ∈ Wk,p(Ω). Allora esiste unasuccessione di u j j∈N ⊂ C

∞(Ω) tale che u j → u in Wk,p(Ω) o equivalentemente l’insieme dellefunzioni C∞(Ω) e denso in Wk,p(Ω) se il bordo di Ω e regolare8.

Osservazione 3.3.3. Se consideriamo un insieme Ω che si trova da “entrambe le parti”del bordo di Ω, allora il teorema di approssimazione globale fino al bordo e falso. Adesempio, consideriamo Ω := (x, y) : 0 < y < 1 , 0 < |x| < 1 e

u(x, y) :=

1 x > 00 x < 0

Allora u ∈W1,p(Ω) con Du = 0 ∈ Lp(Ω) ma si puo mostrare che non esiste una w ∈ C1(Ω)arbitrariamente vicina ad u.

Dimostrazione. Abbiamo bisogno di costruire una partizione dell’unita rispetto alla chiu-sura Ω di Ω e di calibrare la mollificazione vicino al bordo ∂Ω.1. Ricoprimento di Ω:

• Per ogni x∗ ∈ ∂Ω esistono r∗ = r∗(x∗) e γ∗ : Rn−1→ R di classe C1 t.c.

Ω ∩ Br∗(x∗) = x ∈ Br∗(x∗) : xn > γ∗(x1, . . . , xn−1),

eventualmente riordinando e rinominando le coordinate.

• Br∗/2(x∗)x∗∈∂Ω e un ricoprimento aperto di ∂Ω compatto, quindi possiamo estrarneun ricoprimento finito Br∗i /2

(x∗i )Ni=1 del bordo. Aggiungiamo V0 ⊂⊂ Ω t.c.

R = V0,Br∗1/2(x∗1), . . . ,Br∗N/2(x∗N) ricopre Ω.

Denotiamo con Ω := V0 ∪(⋃N

i=1 Br∗i /2(x∗i )

)insieme aperto che contiene Ω.

8Seguiamo Evans [5] con l’ipotesi di C1 ma ci basterebbe ∂Ω ∈ Lip.


2. Partizione dell’unita: Sia ζiNi=0 ⊂ C∞0 (Ω) una partizione dell’unita subordinata ad R.

In particolare, siano supp(ζ0) ⊂ V0 ⊂⊂ Ω e per ogni i = 1, . . .N,

ζi ≡ 0 vicino al bordo di Br∗i /2(x∗i ) ma ζi ≡ 1 vicino a x∗i ∈ ∂Ω.

3. Fissiamo δ > 0. Per il Teorema 3.3.1 (approssimazione locale) esiste w0 ∈ C∞(V0) t.c.||w0 − u||Wk,p(V0) < δ.

4. Per ogni i = 1, . . . ,N esiste wi ∈ C∞(Vi) t.c. ||wi − u||Wk,p(Vi) < δ dove

Vi = Ω ∩ Br∗i /2(x∗i ).

• Per semplificare la notazione, siano x∗ = x∗i ,V = Vi, r = r∗i con i fisso.

• Per ogni x ∈ V e per ogni ε > 0 piccolo, poniamo

xε := x + λεen

dove λ > 0 e fisso ed e grande abbastanza per avere

Bε(xε) ⊂ Ω ∩ Br(x∗), ∀ x ∈ V, ∀ ε > 0 piccolo.

Questo si puo fare per la compattezza di V.

• Definiamo τεu(x) := u(xε) la traslazione di u nella direzione en di una distanza λε.

• Definiamo wε(x) := (ηε ∗ τεu)(x). Traslando u abbiamo “creato spazio” per mollifi-care τεu. La traslata, quando viene valutata in un punto x vicino al bordo, prendeil valore di u un po’ piu lontano ma con un passo che tendera a zero.

• Si ha wε ∈ C∞(V) per ogni ε piccolo. Infatti, wε e ben definita ed appartiene aC∞(V). Inoltre, le sue derivate di ogni ordine sono uniformemente continue in V(esercizio). Quindi wε si estende con continuita fino alla chisura V di V.

• Si ha ||wε − u||Wk,p(V) → 0 per ε→ 0+. Infatti, per ogni α con |α| ≤ k

||Dαwε −Dαu||Lp(V) ≤ ||Dαwε −Dα(τεu)||Lp(V) + ||Dα(τεu) −Dαu||Lp(V),

dove il primo termine tende a zero per la mollificazione (usando un’argomenta-zione analoga a quella del Teorema 3.3.1). Inoltre

||Dα(τεu) −Dαu||Lp(V) → 0 per ε→ 0+

per la continuita delle traslazioni in Lp(V).

3.4 Cambiamento di variabili e la regola della catena in W1,p(Ω) 73

Questa costruzione viene fatta per ogni i = 1, . . . ,N.

5. Poniamo w :=∑N

i=0 ζiwi dove le wiNi=1 sono le funzioni costruite nel Passo 4.

Ricordiamo che soddisfano ||wi − u||Wk,p(Vi) < δ e wi ∈ C∞(Vi).

• Si ha w ∈ C∞(Ω) sfuttando la partizione dell’unita.

• Per ogni α con |α| ≤ k usando la formula di Leibniz (v. Teorema 3.2.1) otteniamo

||Dαw −Dαu||Lp(Ω) =

∥∥∥∥∥∥∥ Dα

N∑i=0

ζiwi

−Dα

N∑i=0

ζiu

∥∥∥∥∥∥∥

Lp(Ω)

≤

N∑i=0

‖Dα (ζiwi) −Dα (ζiu)‖Lp(Vi)

≤ CN∑

i=0

||wi − u||Wk,p(Vi) < C(N + 1)δ,

con δ > 0 arbitrario.

3.4 Cambiamento di variabili e la regola della catena in W1,p(Ω)

Obiettivo: Mostrare che possiamo effettuare cambiamenti di variabili independenti edependenti in modo di rimanere in W1,p e di avere un buon calcolo.

Metodo: Sfruttare l’approssimazione globale del Teorema 3.3.2 per estendere afferma-zioni noti per u ∈ Ck(Ω) ∩Wk,p(Ω) a quelli per u ∈Wk,p(Ω).

Iniziamo considerando la questione di cambiamento di variabili independenti, ovverola composizione u Φ con Φ un diffeomorfismo locale in Rn.

Teorema 3.4.1 (Cambiamento di Variabili in W1,p(Ω)).Siano Ω,Ω′ aperti in Rn, Φ : Ω′ → Ω un diffeomorfismo di classe C1 con DΦ,DΦ−1 limitate 9

e u ∈W1,p(Ω) con 1 ≤ p < ∞. Allora si ha

a) u Φ ∈W1,p(Ω′) e per ogni i ∈ 1, . . . ,n e vale la formula 10

(3.4.1)∂(u Φ)∂yi

(y) =

n∑k=1

∂u∂xk

(Φ(y))∂Φk

∂yi(y), ∀ y ∈ Ω′;

9 DΦ e la matrice jacobiana di Φ e la limitatezza significa la limitatezza di ogni elemento della matrice.10Ovviamente dove u e una qualsiasi rappresentante della classe Sobolev.


b) esiste C = C(Φ,Ω,n, p) tale che

(3.4.2) ||u Φ||W1,p(Ω′) ≤ C||u||W1,p(Ω)

N.B. Ovviamente ci sono versioni di (3.4.1) e (3.4.2) per v ∈W1,p(Ω′) usando Φ−1 al postodi Φ. Inoltre il risultato vale anche per Φ bilipscitiana, ovvero lipschitziana con inversalipschitziana (v. Theorem 11.51 di Leoni [11]).

Dimostrazione. Fissiamo un rappresentante u.

1. Poiche u ∈ Lp(Ω) e JΦ−1 =∣∣∣det DΦ−1

∣∣∣ e limitato, la funzione f definita da f (x) :=|u(x)|p JΦ−1(x) e sommabile in Ω e applicando il cambiambento di variabili x = Φ(y)ad f si trova (v. Teorema 1.7.2 di [16])∫

Ω′

∣∣∣(u Φ)(y)∣∣∣p dy =

∫Ω′

∣∣∣(u Φ)(y)∣∣∣p JΦ−1(Φ(y))JΦ(y) dy

=

∫Ω|u(x)|p JΦ−1(x) dx ≤ C1||u||

pLp(Ω) < +∞(3.4.3)

dove C1 = C1(Φ,Ω). Quindi u Φ ∈ Lp(Ω′) e abbiamo una parte della stima (3.4.2).In modo analogo, e chiaro che il membro destro in (3.4.1) appartiene a Lp(Ω′) perogni i.

2. Per completare la parte a), basta mostrare che la derivata debole Dyi(u Φ) esistee soddisfa (3.4.1). Sia u j ⊂ C∞(Ω) ∩W1,p(Ω) una successione tale che u j → u inLp(Ω). Per ogni ϕ ∈ C∞0 (Ω′) si ha

(3.4.4)∫

Ω′(u j Φ)

∂ϕ

∂yidy = −

∫Ω′

n∑k=1

∂u j

∂xk(Φ(y))

∂Φk

∂yi(y)ϕ dy

dove u j Φ→ u Φ in Lp(Ω′) e(∂u j

∂xkΦ

)∂Φk

∂yi→

(∂u∂xkΦ

)∂Φk

∂yiin Lp(Ω′).

Passando al limite in (3.4.4) otteniamo Dyi(u Φ) esiste e soddisfa (3.4.1).

3. Per mostrare la parte b), notiamo che per ogni i ∈ 1, . . . ,n possiamo usare (3.4.1)e la limitatezza di ogni DyiΦk per ottenere∫

Ω′

∣∣∣∣∣∂(u Φ)∂yi

∣∣∣∣∣p dy ≤ np−1C(Φ,Ω)n∑

k=1

∫Ω

∣∣∣∣∣( ∂u∂xkΦ)(y)

∣∣∣∣∣p dx.

Poi usando (3.4.3) con Dxku al posto di u otteniamo

(3.4.5)∫

Ω′

∣∣∣∣∣∂(u Φ)∂yi

∣∣∣∣∣p dy ≤ C2(Φ,Ω,n, p)n∑

k=1

||Dxku||pLp(Ω).

Combinando (3.4.3) e (3.4.5) mostra la stima desiderata (3.4.2).


Osservazione 3.4.1. Un’importanza intrinsica del Teorema 3.4.1 e che gli spazi di Sobolevnon dipendono sulla scelta del sistema di coordinate e quindi ha senso definrli sullevarieta. Vedremo applicazioni del teorema quando parliremo delle tracce (paragrafo 3.5)ed operatori di prolungamento (paragrafo 3.6). In entrambi casi, per fare stime vicino albordo, saranno utili diffeomorfismi locali che “appiattiscono il bordo”.

Ora consideriamo cambiamenti della variable dipendente, ovvero la composizione diu ∈W1,p(Ω) con una funzione da R in R.

Teorema 3.4.2 (Regola della catena in W1,p(Ω)).Siano Ω ⊂ Rn aperto e f : R → R tale che f ∈ C1(R) e f ′ limitata. Sia u ∈ W1,p(Ω) per1 ≤ p < ∞ tale che f (u) ∈ Lp(Ω). Allora f (u) ∈W1,p(Ω) e vale la formula

D( f (u)) = f ′(u)Du.

N.B. Nel caso Ω limitato, l’ipotesi f (u) ∈ Lp(Ω) e sempre soddisfatta per f ∈ C1(R) conderivata limitata. Infatti

| f (t)| ≤ | f (0)| +(supR

| f ′|)|t| := M1 + M2|t|, t ∈ R

e dunque| f (u)|p ≤ 2p−1

[Mp

1 + Mp2|u|

p]∈ L1(Ω)

usando 1 ≤ p < ∞, Ω limitato e u ∈ Lp(Ω).

Dimostrazione. Poiche f (u) ∈ Lp(Ω) dobbiamo mostrare che il gradiente debole D( f (u))esiste ed e uguale a f ′(u)Du, dove f ′(u)Du ∈ [Lp(Ω)]n perche f ′ e limitato ed il gradientedebole soddisfa Du ∈ [Lp(Ω)]n.

1. Se u ∈ W1,p(Ω) ∩ C1(Ω) allora il gradiente debole coincide con il gradiente classicoe dunque vale la regola della catena

D( f (u)) = f ′(u)Du ∈ [Lp(Ω)]n

2. Se u ∈ W1,p(Ω) allora il Teorema 3.3.2 fornisce una successione u j ⊂ C∞(Ω) ∩W1,p(Ω) t.c.

(3.4.6)

u j → u in Lp(Ω)Du j → Du in [Lp(Ω)]n.

Basta mostrare che

(3.4.7) f (u j)→ f (u) in Lp(Ω);


(3.4.8) D[ f (u j)]→ f ′(u)Du in [Lp(Ω)]n;

ovvero che esiste il gradiente forte in [Lp(Ω)]n e che il gradiente forte e f ′(u)Du.

3. Passando eventualmente ad una sottosuccessione (denotata ancora con u j) si ha:

(3.4.9) u j → u q.o. in Ω.

Poiche f e C1 con derivata limitata si ha f (u j)→ f (u) q.o. in Ω

| f (u j) − f (u)| ≤ supx∈R | f′(u)| |u j − u| q.o. in Ω.

Dunque f (u j) = ( f (u j) − f (u)) + f (u) ∈ Lp(Ω) ed otteniamo (3.4.7) per il teorema diconvergenza dominata.

4. Notiamo che D[ f (u j)] = f ′(u j)Du j ∈ [C0(Ω) ∩ Lp(Ω)]n e scriviamo

|D[ f (u j)] − f ′(u)Du| = | f ′(u j)Du j − f ′(u)Du + f ′(u j)Du − f ′(u j)Du|

=∣∣∣ f ′(u j)[Du j −Du] + [ f ′(u j) − f ′(u)]Du

∣∣∣≤ sup

R

| f ′| |Du j −Du| + | f ′(u j) − f ′(u)| |Du|

:= A j + B j.

• A j → 0 in Lp(Ω) per la convergenza (3.4.6).

• Usando la continuita e la limitatezza di f ′, otteniamo B j → 0 q.o. in Ω e lamaggiorazione

|B j| ≤ 2 supR

| f ′| |Du| ∈ Lp(Ω).

Quindi B j → 0 in Lp(Ω) e abbiamo (3.4.8).

Osservazione 3.4.2. La regola della catena vale anche per f ∈ Lip(R), ma ci limiteremosolo ai seguenti esempi particolari

f (t) = |t|, f (t) = max0, t, f (t) = max0,−t.

In particolare, le operazioni di prendere la parte positiva/negativa saranno essenzialiquando parliremo del principio di massimo per soluzioni deboli (paragrafo 4.4

Corollario 3.4.1. Siano Ω ⊂ Rn aperto e u ∈W1,p(Ω) per 1 ≤ p < ∞. Allora:


(i) u+∈W1,p(Ω) con

Du+ =

Du u > 00 u ≤ 0.

(ii) u− ∈W1,p(Ω) con

Du− =

0 u ≥ 0.−Du u < 0

(iii) |u| ∈W1,p(Ω) con

D|u| =

Du u > 00 u = 0−Du u < 0.

Osservazione 3.4.3. L’ipotesi f (u) ∈ Lp(Ω) e sempre soddisfatta per queste funzionif . Inoltre, le formule per i gradienti deboli valgono per qualsiasi rappresentante ufissato per la classe W1,p(Ω); cioe i diversi insiemi di livello dipendono dalla scelta delrappresentante u, ma sono diversi tra loro solo per un insieme di misura nulla.

Dimostrazione. Mostriamo il corollario solamente nel caso (i). Gli altri sono del tuttoanaloghi. Per ogni ε > 0 definiamo

fε(t) =

√

t2 + ε2 − ε t > 00 t ≤ 0

Si vede facilmente che fε ∈ C1(R) con

f ′ε(t) =

t√

t2+ε2t > 0

0 t ≤ 0

limitata. Dunque applichiamo il teorema a fε e a u+. Ora osserviamo che per ogniϕ ∈ C∞0 (Ω) si ha ∫

Ω

fε(u)Dϕdx = −

∫Ω

D( fε(u))ϕ dx (derivata debole)

= −

∫Ω

ϕ f ′ε(u)Du dx (Teorema3.4.2)

= −

∫u>0

ϕu

√

u2 + ε2Du dx.

Sfruttando la disuguaglianza di Holder e il teorema di convergenza dominata possiamoconcludere che ∫

Ω

fε(u)Dϕ dx→∫

Ω

u+Dϕ dx = −

∫u>0

Duϕ dx.

3.5 Traccia in W1,p(Ω) 78

Dunque esiste il gradiente debole di f (u) = u+ ed e

Du+ = χu>0Du ∈ Lp(Ω).

Corollario 3.4.2. Siano Ω ⊂ Rn aperto e u ∈W1,p(Ω) con 1 ≤ p < ∞. Se u = c quasi ovunquein A ⊂ Ω con c ∈ R costante, allora Du = 0 q.o. in A. In particolare, fissato un rappresentanteu per una classe W1,p(Ω), si ha Du = 0 q.o. su ogni suo insieme di livello.

Dimostrazione. WLOG prendiamo c = 0, altrimenti ridefiniamo u = u − c. Abbiamo

Du = Du+−Du− = 0 q.o. in A.

3.5 Traccia in W1,p(Ω)

Problema: Data u ∈W1,p(Ω) con , 1 ≤ p < ∞ e ∂Ω “buono”, dare un significato ad u|∂Ω opiu in generale ad uΓ con Γ di codimensione 1 in Ω.

E evidente l’importanza della questione per la formulazione debole del problema diDirichlet. Se consideriamo una funzione u ∈ C0(Ω) allora la sua restrizione al bordoappartiene a C0(∂Ω) e ha senso dire che u = g su ∂Ω per g ∈ C0(∂Ω). Tipicamente perouna funzione u ∈ W1,p(Ω) non ammette una rappresentante continua su Ω e dunquequesta definizione non ha senso. Ancora peggio e il fatto che gli elementi di W1,p(Ω)sono classi di equivalenza in cui identifichiamo funzioni uguali quasi ovunque. Chesenso ha assegnare il valore di u sul bordo di Ω (o altri insiemi di misura nulla)? Ilproblema e serio e viene trattato mediante il concetto della traccia. Cominciamo con unesempio concreto.

Esempio 3.5.1. ConsideriamoΩ = BR × (0,T) con BR = BR(0) ⊂ Rn−1

Ωt = BR × (0, t)u ∈ C1(Ω) ∩W1,p(Ω)

Vogliamo stimare la norma Lp(BR) delle restrizioni di u alle fette (x, t) ∈ Ω : t = costante.

• Per ogni s, t tali che 0 < s < t < T, il TFCI ci dice che

u(x′, t) − u(x′, s) =

∫ t

sDnu(x′, τ) dτ, (x = (x′, xn) ∈ Rn−1

×R).


Andando a stimare e usando la disuguaglianza di Holder nel caso p > 1 troviamo:∫BR

|u(x′, t) − u(x′, s)|p dx′ =

∫BR

∣∣∣∣∣∣∫ t

sDnu(x′, τ) dτ

∣∣∣∣∣∣p dx′

≤

∫BR

[∫ t

s|Du(x′, τ)| dτ

]p

dx′

≤

∫BR

(∫ t

sdτ

)(p−1)/p (∫ t

s|Du(x′, τ)| p dτ

)1/pp

dx′ (p > 1)

= (t − s)p−1∫

BR

∫ t

s|Du(x′, τ)|p dτ dx′,

ovvero||u(·, t) − u(·, s)||Lp(BR) ≤ (t − s)(p−1)/p

||Du||Lp(Ωt), (1 ≤ p < ∞)

per ogni u ∈ C1(Ω) ∩W1,p(Ω) e per ogni s, t con 0 < s < t < T.

• Dunque la successione v j j∈N definita da v j(x′) := u(x′, j−1) e di Cauchy in Lp(BR)con qualche limite ϕ ∈ Lp(BR). Questo limite viene detto traccia di u su BR ⊂ ∂Ω esoddisfa

||u(·, t) − ϕ(·)||Lp(BR) ≤ t(p−1)/p||Du||Lp(Ωt).

• Infine, usando la densita di C1(Ω) ∩W1,p(Ω) in W1,p(Ω), si mostra che u ∈ W1,p(Ω)avra una traccia ϕ ∈ Lp(BR) su BR.

3.5.1 Il teorema della traccia

Il risultato principale e il seguente teorema.

Teorema 3.5.1 (della traccia). Siano Ω ⊂⊂ Rn con ∂Ω ∈ C1 e 1 ≤ p < ∞. Allora esiste unoperatore lineare e continuo T : W1,p(Ω)→ Lp(∂Ω) tale che

i) Tu = u |∂Ω se u ∈W1,p(Ω) ∩ C0(Ω);

ii) Esiste una costante C = C(Ω, p) > 0 tale che

(3.5.1) ||Tu||Lp(∂Ω) ≤ C ||u||W1,p(Ω) , ∀ u ∈W1,p(Ω).

Dimostrazione.Passo 1: (Una stima di traccia locale)

Lemma 3.5.1. Siano B = B2r(0), B = Br(0), Σ = B ∩ xn = 0, Γ = B ∩ xn = 0 e 1 ≤ p < ∞.Sia u ∈ C1(B+) dove B+ = B ∩ xn > 0. Allora esiste una costante C > 0 tale che∫

Γ

|u(x)|pdx′ ≤ C∫

B+

(|u(x)|p + |Du(x)|p) dx , ∀ u ∈ C1(B+).

dove abbiamo definito x′ tramite x = (x′, xn).


Dimostrazione. Prendiamo una funzione test ζ ∈ C∞0 (B) t.c. 0 ≤ ζ ≤ 1 su B e ζ ≡ 1 su B.Allora ∫

Γ

|u|p dx′ ≤∫

Σ

ζ|u|p dx′ = −

∫∂B+

ζ|u|pen · ν dS

dove ν e il versore normale uscente e abbiamo usato ζ ≡ 0 sulla parte superiore di ∂B+

e ν|Σ = (0,−1). Adesso vogliamo applicare il teorema della divergenza (TdD) al campovettoriale ζ|u|pen, dove |u|p = f (u) con f (t) = |t|p. Se 1 < p < ∞ non ci sono problemi,perche f ∈ C1(R). Invece, se p = 1, abbiamo |u| ∈ W1,1(B+) per il Cor. 3.4.1 e possiamoapplicare il TdD lungo una successione approssimata. Si trova∫

Γ

|u|p dx′ ≤ −

∫B+

Dxn(ζ|u|p) dx

= −

∫B+

(|u|pζxn + ζp|u|p−1sign(u)Dnu

)dx

≤ C1

∫B+

|u|p dx + p∫

B+

|u|p−1|Dnu| dx

≤ C1

∫B+

|u|p dx + p∫

B+

((p − 1)|u|p

p+|Dnu|p

p

)dx

≤ (C1 + p − 1)∫

B+

|u|p dx +

∫B+

|Du|p dx,

dove nella penultima disuguaglianza abbiamo applicato la disuguaglianza di Young.11

Passo 2: (Stima di traccia globale per funzioni regolari) Sia u ∈ C1(Ω) ⊂ W1,p(Ω). Alloraesiste C = C(p,Ω) tale che

(3.5.2)∫∂Ω|u(x)|p dS ≤ C

∫Ω

(|u(x)|p + |Du(x)|p) dx.

• Prendiamo un opportuno ricoprimento aperto ΓiNi=1 di ∂Ω in modo da poterci

ridurre ad un numero finito di stime come quelle del Passo 1. Piu precisamente,per la compattezza e la regolarita di ∂Ω, esistono:

– una collezione finita di punti xiNi=1 ⊂ ∂Ω;

– un ricoprimento aperto ViNi=1 di un intorno di ∂Ω in Rn tale che xi ∈ Vi per

ogni i;

– una famiglia di diffeomorfismi Φi di classe C1 fra Bi = B2ri(0) ⊂ Rn e Vi

tali che la collezione degli insiemi ΓiNi=1 dove

Γi := Φi(Γi) con Γi = Bri(0) ∩ y ∈ Rn : yn = 0

fornisce un ricoprimento di ∂Ω.11Cioe ab ≤ ap/p + bq/q per ogni a, b ≥ 0 se 1/p + 1/q = 1.


• Per ogni i = 1, . . . ,N possiamo stimare∫Γi

|u|p dS ≤ Ci

∫Γi

|vi|p dy′ (vi := u Φi, y := (y′, yn))

≤ C′i

∫B+

i

(|vi|

p + |Dyvi|p)

dy (per il Lemma 3.5.1)

≤ C′′i

∫Vi∩Ω

(|u|p + |Du|p) dx

≤ C′′i

∫Ω

(|u|p + |Du|p) dx,

dove C′′i = C′′i (p,Φi,Vi). Quindi∫∂Ω|u|p dS ≤

N∑i=1

∫Γi

|u|p dSi ≤ C(p,Ω)[∫

Ω

(|u(x)|p + |Du(x)|p) dx],

dove C(p,Ω) =∑N

i=1 C′′i . Dunque l’operatore lineare

T :(C1(Ω), || · ||W1,p(Ω)

)→

(C0(∂Ω), || · ||Lp(∂Ω)

)u 7→ u|∂Ω

e definito su un sottospazio denso ed e limitato, cioe esiste C = C(p,Ω) > 0 tale che

(3.5.3) ||Tu||Lp(∂Ω) ≤ C ||u||W1,p(Ω), ∀ u ∈ C1(Ω).

• Prolunghiamo T a tutto W1,p(Ω) per continuita. Piu precisamente, data una genericau ∈ W1,p(Ω) esiste una successione u j j∈N ⊂ C

1(Ω) tale che u j → u in W1,p(Ω) perj→ +∞ (per il Teorema 3.3.3). Dalla stima (3.5.3) otteniamo

||Tu j − Tuk||Lp(∂Ω) ≤ C ||u j − uk||W1,p(Ω) → 0.

Dunque la successione Tu j j∈N e di Cauchy in Lp(∂Ω) ed esiste g ∈ Lp(∂Ω) tale cheTu j → g ∈ Lp(∂Ω). Definiamo Tu := g e abbiamo

Tu = limj→∞

Tu j in Lp(∂Ω).

• Il prolungamento T soddisfa la stima (3.5.1). Infatti, per ogni ε > 0 esiste N ∈ Ntale che

||Tu j − g||Lp(∂Ω) <ε2

e∣∣∣ ||u j||W1,p(Ω) − ||u||W1,p(Ω)

∣∣∣ < ε2C

per ogni j ≥ N,

dove C = C(p,Ω) e la costante in (3.5.3). Quindi

||Tu||Lp(∂Ω) := ||g||Lp(∂Ω) ≤ ||g − Tu j||Lp(∂Ω) + ||Tu j||Lp(∂Ω)

≤ε2

+ C(ε

2C+ ||u||W1,p(Ω)

)∀ j ≥ N,

con ε > 0 arbitrario.


• Infine se u ∈ W1,p(Ω) ∩ C0(Ω) allora la convergenza u j → u del Teorema 3.3.3 euniforme su Ω e quindi Tu j = u j |∂Ω → u |∂Ω uniformemente su ∂Ω. Ma Tu j → Tuin Lp(Ω) e quindi u |∂Ω e un rappresentante continua di Tu ∈ Lp(Ω)

Osservazione 3.5.1 (Sullo spazio Lp(∂Ω)). L’operatore della traccia prende valori inLp(∂Ω). Tale spazio ha almeno due realizzazioni equivalenti.

1. La prima e molto legata alla tecnica usata nella dimostrazione. Presa una partizionedell’unita ζ j

Ni=1 subordinata ad un ricoprimemento aperto Γi

Ni=1 di ∂Ω, per ogni

f abbastanza regolare (ad esempio continua su ∂Ω) si definisce

|| f ||pLp(∂Ω) =

∫∂Ω| f |p dS :=

N∑i=1

∫∂Ωζ j | f |p dS,

dove ogni integrale in j viene trasportato ad un’integrale di Lebesgue in Rn−1

tramite una parametrizzazione locale di un intorno in Rn di Γi. Poi lo spazioLp(∂Ω) e definito come il completamento di C0(∂Ω) rispetto alla norma sopra.

2. La seconda sfrutta il fatto che il bordo ∂Ω e chiuso in Rn e, quindi, misurabilerispetto alla misura di Hausdorff Hn−1. Questa misura viene usata per dare unadefinizione intrinseca dello spazio Lp(∂Ω) come spazio delle funzioni f : ∂Ω → Rmisurabili rispetto adHn−1 per cui esiste finito∫

∂Ω| f |p dHn−1,

dove si identificano le funzioni ugualiHn−1-quasi ovunque su ∂Ω.

Esercizio 3.5.1 (Stima alternativa della traccia ). Sia µ ∈ C1(Ω,Rn) un campo vettorialetale che µ · ν ≥ 1 su ∂Ω ∈ C1. Tramite µ ed il teorema della divergenza, mostrare cheesiste C = C(n, p,Ω) tale che∫

∂Ω|u|pdS ≤ C

∫Ω

(|u(x)|p + |Du(x)|p) dx.

Nel caso concreto di Ω = Br(0), stimare la costante C usando un campo vettoriale µopportuno.

3.5.2 Gli spazi Wk,p0 (Ω)

Definizione 3.5.1. Sia Ω ⊆ Rn con ∂Ω , ∅. Definiamo lo spazio

Wk,p0 (Ω) = C∞0 (Ω)

||·||Wk,p(Ω) ,

ovvero lo spazio di limiti di successioni in C∞0 (Ω) rispetto alla norma Wk,p(Ω).


Se Ω = Rn ritroviamo lo spazio Wk,p(Rn) ed otteniamo un risultato utile di densita.

Teorema 3.5.2 (Il caso Rn). Siano 1 ≤ p < ∞ e k ∈ N0. Allora Wk,p0 (Rn) = Wk,p(Rn). In

particolare lo spazio C∞0 (Rn) e denso in Wk,p(Rn).

N.B. Dall’Analisi Reale sappiamo che C∞0 (Rn) e denso in Lp(Rn) e che la dimostrazioneviene fatta tramite mollificazione e troncamento.

Dimostrazione. Per semplicita denotiamo con || · ||p la norma || · ||Lp(Rn).

1. Fissiamo una funzione cutoff ζ ∈ C∞0 (Rn) t.c.

0 ≤ ζ ≤ 1, ζ ≡ 1 per |x| ≤ 1, ζ ≡ 0 per |x| ≥ 2,

e denotiamo con ζ j(x) := ζ(x/ j). Abbiamo ζ j ∈ C∞0 (Rn) con supporto in B2 j(0) e lesue derivate Dαζ j sono limitate da una costante Cα moltiplicata per j−|α|.

2. Per ogni f ∈ Lp(Rn) e facile verificare che || f − ζ j f ||p → 0 per j → +∞ (usando ilteorema di convergenza dominata).

3. Per u ∈Wk,p(Rn) e j ∈Ndefiniamo u j = ζ j(η 1j∗ u) doveηε e il mollificatore canonico.

4. u j → u in Lp(Ω). Infatti

||u j − u||p ≤ ||ζ j(η 1j∗ u − u)||p + ||ζ ju − u||p

≤ ||η 1j∗ u − u||p + ||ζ ju − u||p → 0 per j→ +∞,

usando il punto 2 e la convergenza η 1j∗ u→ u in Lp(Rn) nota da Analisi Reale.

5. Per ogni i = 1, . . . ,n si ha Di(u j)→ Diu in Lp(Ω). Infatti

Diu j = Diζ j

(η 1

j∗ u

)+ ζ j

(η 1

j∗Diu

).

Quindi

||Diu j −Diu||p ≤C1

j||η 1

j∗ u||p + ||ζ j(η 1

j∗Diu) −Diu||p

≤C1

j||u||p + ||ζ j(η 1

j∗Diu −Diu)||p + ||ζ jDiu −Diu||p

≤C1

j||u||p + ||η 1

j∗Diu −Diu||p + ||ζ jDiu −Diu||p → 0,

per j→ +∞

6. In modo analogo si mostra che Dαu j → Dαu in Lp(Ω) per ogni |α| ≤ k.


Invece se∂Ω , ∅ lo spazio W1,p0 (Ω) e un sottospazio con una caratterizzazione importante.

Teorema 3.5.3 (Caratterizzazione di W1,p0 (Ω)). Sia Ω ⊂⊂ Rn con ∂Ω ∈ C1, u ∈W1,p(Ω) con

1 ≤ p < ∞. Allorau ∈W1,p

0 (Ω) ⇔ Tu = 0 in Lp(∂Ω)

Dimostrazione. (⇒) Per definizione di W1,p0 u = lim u j con u j ∈ C

∞

0 . Poiche T e lineare econtinuo allora

Tu = T limj→∞

u j = limj→∞

Tu j = limj→∞

u j|∂Ω = 0 in Lp(∂Ω)

(⇐) E piu impegnativo (v. Evans [5]).

Questa caratterizzazione ha una generalizzazione naturale negli spazi di ordine supe-riore. Lasciamo la sua dimostrazione per esercizio.

Corollario 3.5.1 (Caratterizzazione di Wk,p0 (Ω)). Sia Ω ⊂⊂ Rn con ∂Ω ∈ Ck, u ∈ Wk,p(Ω)

con 1 ≤ p < ∞. Allora

u ∈Wk,p0 (Ω) ⇔ T(Dαu) = 0 in Lp(∂Ω), ∀|α| ≤ k − 1.

Il Teorema 3.5.3 suggerisce la seguente definizione essenziale per l’impostazione delproblema di Dirichlet in senso debole.

Definizione 3.5.2. Siano u, g ∈W1,p(Ω) con Ω ⊂⊂ Rn, ∂Ω ∈ C1 e 1 ≤ p < ∞. Diciamo cheu = g su ∂Ω in senso debole se u − g ∈W1,p

0 (Ω).

La definizione e sensata perche

u = g su ∂Ω ⇔ u − g ∈W1,p0 (Ω)

⇔ T(u − g) = 0 in Lp(∂Ω)

⇔ Tu = Tg in Lp(∂Ω).

Questa definizione sara usata nel prossimo paragrafo in combinazione con il principiodi Dirichlet ed il seguente risultato fondamentale.

Teorema 3.5.4 (Disuguaglianza di Poincare). 12 Siano Ω ⊂⊂ Rn e 1 ≤ p < ∞, allora esisteuna costante C = C(Ω, p) > 0 tale che

(P) ||u||Lp(Ω) ≤ C||Du||Lp(Ω), ∀ u ∈ C10(Ω).

Inoltre, per la densita di C∞0 (Ω) in W1,p0 (Ω), si ha (P) per ogni u ∈W1,p

0 (Ω).

12A volte viene detta disuguaglianza di Friedrichs, soprattutto nel caso p = 2.


Dimostrazione.

1. Poiche Ω e limitato esiste un n-intervallo Q =

n∏i=1

(ai, bi) t.c. Ω ⊂ Q. Prolunghiamo

u ∈ C10(Ω) a tutto Q nel modo banale, cioe

u(x) :=

u(x) x ∈ Ω

0 x ∈ Q \Ω.

Definiamo x = (x′, xn) e Q′ =x′ ∈ Rn−1 : (x′, xn) ∈ Q per qualche xn

.

2. Per ogni x ∈ Q si ha

u(x) = u(x′, xn) = u(x′, xn) − u(x′, an) =

∫ xn

an

Dnu(x′, t)dt,

dove Dn = Dxn . Allora

|u(x′, xn)|p ≤(∫ xn

an

∣∣Dnu(x′, t)∣∣ dt

)p

≤

(∫ xn

an

dt) 1

p′(∫ xn

an

∣∣Dnu(x′, t)∣∣p dt

) 1p

p (p′ =

pp − 1

)≤ (xn − an)p−1

∫ xn

an

|Du(x′, t)|p dt.(3.5.4)

3. Integrando (3.5.4) su Q′ otteniamo∫Q′|u(x′, xn)|pdx′ ≤ (xn − an)p−1

∫Q′

(∫ xn

an

|Du(x′, t)|p dt)

dx′

≤ (xn − an)p−1∫

Q′

∫ bn

an

|Du(x′, t)|p dt

dx′

= (xn − an)p−1||Du||pLp(Ω) ,(3.5.5)

dove abbiamo usato supp(Du) ⊂⊂ Ω.

4. Integrando (3.5.5) in xn e usando supp(u) ⊂⊂ Ω otteniamo

||u||pLp(Ω) =

∫ bn

an

(∫Q′|u(x′, xn)|p dx′

)dxn

≤ ||Du||pLp(Ω)

∫ bn

an

(xn − an)p−1dxn

=(bn − an)p

p||Du||pLp(Ω) ,

ovvero la disuguaglianza (P) con la costante C(Ω, p) =(bn−an)

p1/p per ogni u ∈ C10(Ω).


5. Infine, per u ∈W1,p0 (Ω) possiamo approssimare u tramite una successione u j j∈N ⊂

C∞0 (Ω) ed applicare (P) lungo tale successione. Piu precisamente, abbiamo

||u||Lp(Ω) ≤ ||u − u j||Lp(Ω) + ||u j||Lp(Ω)

≤ ||u − u j||Lp(Ω) + C(Ω, p) ||Du j||Lp(Ω) usando (P)

dove il membro destro tende a 0+C(Ω, p) ||Du||Lp(Ω) per j→ +∞ per la convergenzau j → u in W1,p(Ω).

Osservazione 3.5.2. E evidente che:

a) La dimostrazione funziona per ogni direzione, prendendo al posto di Dn una qualsiasiDi con i = 1, . . . ,n. Dunque, una costante ottimale per questa dimostrazionesarebbe C(Ω, p) = d/p1/p dove d e il diametro minimo

d := min1≤i≤n

di, di = sup|xi − yi| : x, y ∈ Ω.

Una variante della dimostrazione fornisce la costante C(n,Ω) =(ω−1

n |Ω|)1/n

(v.Gilbarg-Trudinger [7]).

b) La dimostrazione funziona anche con un dominio Ω illimitato con bordo, purcheabbia ampiezza finita, cioe esistono ak, bk finiti tali che la componente xk di x soddisfa

ak < xk < bk per ogni x ∈ Ω.

c) Se invece Ω = Rn (∂Ω = ∅), allora il teorema e falso. Non esiste C per cui||u||Lp(Rn) ≤ C||Du||Lp(Rn). Torneremo a questo punto nel paragrafo riguardante ledisuguaglianze di Sobolev.

Una consegunza importante della disuguaglianza di Poincare e l’esistenza di una normaequivalente sullo spazio W1,p

0 (Ω).

Corollario 3.5.2. Siano Ω ⊂⊂ Rn e 1 ≤ p < ∞. Allora il funzionale definito da

||u||W1,p0 (Ω) =

(∫Ω

|Du|p dx)1/p

definisce una norma su u ∈W1,p0 (Ω) equivalente alla norma || · ||W1,p(Ω).

Dimostrazione.

3.6 Operatori di prolungamento in W1,p 87

• E evidente che || · ||W1,p0 (Ω) e non negativa, omogenea di grado uno e soddisfa la

disuguaglianza triangolare. Basta allora controllare che sia anche non degenere,ovvero

||u||W1,p0 (Ω) = 0 ⇒ u = 0 in W1,p

0 (Ω).

Per la disuguaglianza di Poincare abbiamo ||u||Lp(Ω) = 0. Quindi ogni rappresen-tante della classe e nullo quasi ovunque in Ω.

• E anche evidente che per ogni u ∈W1,p0 (Ω) si ha

||u||pW1,p

0 (Ω)≤ ||u||p

W1,p(Ω)=

∫Ω

|Du|p dx +

∫Ω

|u|p dx ≤ (Cp + 1) ||u||pW1,p

0 (Ω)

3.6 Operatori di prolungamento in W1,p

La questione di base e la seguente. Dato u ∈ W1,p(Ω) esiste un modo naturale diprolungare u come un elemento u ∈ W1,p(V) con V ⊃ Ω? Per elementi in W1,p

0 (Ω) larisposta e facile.

Teorema 3.6.1. Sia Ω ⊂ Rn un aperto con ampiezza finita e ∂Ω , ∅. L’operatore E0 : C∞0 (Ω)→C∞0 (Rn) definito da

(3.6.1) E0u(x) =

u su Ω

0 su Rn\Ω

puo essere esteso con continuita a E0 : W1,p0 (Ω)→W1,p(Rn).

Dimostrazione. Per ogni u ∈ C∞0 (Ω), E0u ∈ C∞0 (Rn) e quindi definisce una classe SobolevW1,p(Rn) dove

||E0u||pW1,p(Rn)

= ||u||pW1,p(Ω)

≤ (CPP + 1)||u||p

W1,p0 (Ω)

e CP e il costante di Poincare. La tesi segue per la densita di C∞0 (Ω) in W1,p0 (Ω).

Come si caratterizza questo elemento E0u ∈W1,p(Rn)? Fissato un rappresentante u dellaclasse W1,p

0 (Ω) esiste una successione u j j∈N ⊂ C∞0 (Ω) tale che u j → u in W1,p(Ω). Per lacontinuita di E0 abbiamo

E0u = limj→+∞

E0u j in W1,p(Rn)

e quindi ogni rappresentante u della classe E0u dovrebbe soddisfare u = 0 q.o. suRn\Ω.

Quindi possiamo scrivere (3.6.1) per rappresentanti della classe Sobolev.Ora passiamo al caso di W1,p(Ω).


Teorema 3.6.2. Siano Ω ⊂⊂ Rn con ∂Ω ∈ C1 e 1 ≤ p < ∞. Per ogni aperto V tale che Ω ⊂⊂ Vesiste un operatore

E : W1,p(Ω)→W1,p(Rn) lineare e limitato

tale che

i) Eu = u q.o. in Ω (dove Eu,u sono rappresentanti delle classe Sobolev);

ii) ess supp(Eu) ⊂ V dove ess supp e il supporto essenziale;

iii) esiste C = C(Ω,V, p) tale che

||Eu||W1,p(Rn) ≤ C||u||W1,p(Ω), ∀ u ∈W1,p(Ω).

Dimostrazione. Fissiamo un rappresentante u della classe W1,p(Ω). Faremo un prolunga-mento di u e poi verificheremo che la classe W1,p(Rn) del prolungamento non dipendeda u.

Passo 1: (Costruzione locale per funzioni C1(Ω) vicino ai porzioni piatti del bordo).

1. Sia x0 ∈ ∂Ω e supponiamo che esiste una bolla B = Br(x0) tale che B+ := B ∩ xn ≥ 0 ⊂ Ω

B− := B ∩ xn ≤ 0 ⊂ Rn\Ω

Denotiamo con Γ := B ∩ xn = 0 ⊂ ∂Ω.

2. Per u ∈ C1(Ω) definiamo

u(x) :=

u(x) x ∈ B+

−3u(x′,−xn) + 4u(x′,−xn/2) x ∈ B−.

3. Affermiamo che u ∈ C1(B).

• Per x ∈ B \ Γ e ovvio per construzione.

• Abbiamo sicuramente u ∈ C0(B) perche u(x′, 0) = −3u(x′, 0) + 4u(x′, 0).

• In particolare, u|Γ = u e quindi

Diu|Γ = Diu|Γ per ogni i = 1, . . . ,n − 1 (derivate tangenziali).

• Per i = n (la derivata normale) si ha

Dnu(x′, xn) :=

Dnu(x′, xn) xn ≥ 03Dnu(x′,−xn) − 2Dnu(x′,−xn/2) xn < 0

Se x = (x′, 0) ∈ Γ allora segue che

D±n u(x′, 0) = limh→0±

1h

[u(x′, h) − u(x′, 0)] = Dnu(x′, 0).


4. Quindi abbiamo

||u||pW1,p(B)

= ||u||pW1,p(B+\Γ)

+ ||u||pW1,p(B−\Γ)

≤ C(p)||u||pW1,p(B+\Γ)

= C(p)||u||pW1,p(B+)

.

Passo 2: (Costruzione locale per funzioni C1(Ω) vicino un punto arbitrario x0 ∈ ∂Ω). Sarausato il procedimento di appiattire localmente il bordo per sfruttare il Passo 1. Poiche∂Ω ∈ C1 esiste un intornoW di x0 tale che

i)W = Φ(B) con B = Br0(y0) una bolla e Φ un diffeomorfismo di classe C1 con DΦ,DΦ−1

limitate;

ii) Φ−1(∂Ω ∩W) := Γ ⊂ y = (y′, yn) ∈ Rn : yn = 0.

Per il Teorema 3.4.1 (Cambiamento di Variabili) la funzione v := uΦ ∈W1,p(B+)∩C1(B+)e quindi per Passo 1 esiste un prolungamento v ∈ C1(B) tale che

(3.6.2) ||v||W1,p(B) ≤ C(p)||v||W1,p(B+) ≤ C′(Φ,B+,n, p)||u||W1,p(W+),

dove abbiamo anche usato la parte b) di Teorema 3.4.1 per l’ultima disuguaglianza. Ilprolungamento locale desiderato e u := v Φ−1

∈ W1,p(W) ∩ C1(W) e tramite Teorema3.4.1 e (3.6.2) abbiamo la stima

(3.6.3) ||u||W1,p(W) ≤ C0||u||W1,p(W+) ≤ C0||u||W1,p(Ω),

dove C0 > 0 e independente da u.

Passo 3: (Costruzione globale per C1(Ω)). Poiche Ω e compatto, possiamo ricoprirlo conun numero finito di intorni R = Wi

Ni=0 dove W0 ⊂⊂ Ω e ogni Wi con i ≥ 1 e della

forma di Passo 2. Come nella dimostrazione del Teorema fondamentale del calcolo in piuvariabili (v. Teorema 4.1.1 di [16]), scegliamo una partizione dell’unita ζi

Ni=0 subordinata

ad R, ovvero

i) ζi ∈ C∞0 (Rn) con supp(ζi) ⊂Wi;

ii) 0 ≤ ζi ≤ 1;

iii)N∑

i=0

ζi(x) = 1 per ogni x ∈ Ω.

Il prolungamento globale e definita come

u =

N∑i=0

ζiui,

3.7 Soluzione debole del problema di Dirichlet 90

dove u0 = u e ogni ui con i ≥ 1 sono i singoli prolungamenti locali basati in xi ∈ ∂Ω.Combinando le stime locali (3.6.3) (e usando le proprieta i), ii) e iii)), otteniamo la stima

(3.6.4) ||u||W1,p(Rn) ≤ C||u||W1,p(Ω),

dove C = C(Ω,n, p) > 0 e independente da u. Per u ∈ C1(Ω), definiamo Eu = u che risultaessere una mappa lineare con la stima (3.6.4)

Passo 4: (Estensione a W1,p(Ω)) Per u non necessariamente C1(Ω) basta definire

Eu := limj→+∞

Eu j con limite in norma W1,p(Ω)

dove u j j∈N ⊂ C1(Ω) tale che u j → u in norma W1,p(Ω). Il limite esiste perche la stima(3.6.4) dice che Eu j j∈N e una successione di Cauchy in W1,p(Rn). La limitatezza di E egarantita e chiaramente il rappresentante Eu non dipende sulla scelta del rappresentanteu.

3.7 Soluzione debole del problema di Dirichlet

Prendiamo una breve pausa dalla teoria generale degli spazi di Sobolev ed indichiamoun’applicazione della teoria sviluppata fino ad ora. Piu precisamente, riprendiamoin considerazione il problema che ha dato la motivazione per lo studio degli spazi diSobolev.Problema di Dirichlet: Siano Ω ⊂⊂ Rn e g ∈ H1(Ω) = W1,2(Ω). Trovare u soluzione di

(PD)

∆u = 0 in Ω

u = g su ∂Ω.

Definizione 3.7.1. Una funzione u ∈ H1(Ω) e detta soluzione debole di (PD) se

(i)∫

Ω

Du ·Dv dx = 0 per ogni v ∈ H10(Ω) = W1,2

0 (Ω);

(ii) u − g ∈ H10(Ω).

Osservazione 3.7.1. La condizione (i) nella definizione e equivalente a

(i)′∫

Ω

Du ·Dv dx = 0, ∀ v ∈ C∞0 (Ω).

Infatti

(i) ⇒ (i)’: ovvio perche C∞0 (Ω) ⊂ H10(Ω).


(i)’ ⇒ (i): Siano v ∈ H10(Ω) e v j j∈N ⊂ C∞0 (Ω) t.c. v j → v in H1(Ω). Si ha

∀ j ∈ N : 0 =

∫Ω

Du ·Dv j dx →∫

Ω

Du ·Dv dx,

perche Dv j → Dv in [L2(Ω)]n.

Teorema 3.7.1. Per ogni g ∈ H1(Ω) esiste u ∈ H1(Ω) soluzione debole di (PD).

Dimostrazione. (Il ritorno del principio di Dirichlet)

1. Cerchiamo u ∈ H1(Ω) con u − g ∈ H10(Ω) t.c.

E(u) = inf

E(v) =

∫Ω

|Dv|2 dx : v ∈ H1(Ω), v − g ∈ H10(Ω)

:= m ≥ 0

• Definiamo H1(Ω; g) = v ∈ H1(Ω) : v − g ∈ H10(Ω).

• Esiste di sicuro una successione minimizzante per E in H1(Ω; g), cioe esisteu j j∈N ⊂ v ∈ H1(Ω; g) t.c. E(u j) → m. Sfuttando la convessita di E simostra che

(3.7.1) Du j e di Cauchy in [L2(Ω)]n,

come abbiamo fatto in §2.5 nel caso di una successione minimizzante eregolare. Quindi esiste w ∈ [L2(Ω)]n t.c. Du j → w in [L2(Ω)]n.

2. u j j∈N e di Cauchy in H1(Ω): Infatti

• Si ha u j − uk ∈ H10(Ω) perche

T(u j − uk) = T(u j − g + g − uk) = T(u j − g) + T(g − uk) = 0 in L2(Ω).

Usando la disuguaglianza di Poincare e (3.7.1) si ha

(3.7.2) ||u j − uk||L2(Ω) ≤ C||Du j −Duk||L2(Ω) → 0.

Usando (3.7.1) e (3.7.2) otteniamo che u j j∈N e di Cauchy in H1(Ω). Per lacompletezza di H1(Ω) esiste u ∈ H1(Ω) tale che u j → u in H1(Ω).

• Per l’unicita del limite, abbiamo anche Du = w in [L2(Ω)]n.

• Dunque

E(u) = limj→+∞

(∫Ω

|Du j|2 dx

)= m = inf

v∈H1(Ω;g)E(v).


3. Si ha u − g ∈ H10(Ω). Infatti, per la continuita della traccia si ha

0 = T(u j − g)→ T(u − g) per j→ +∞.

Quindi abbiamo un minimo u di E con traccia g su ∂Ω.

4. Rimane solo da verificare che u e soluzione debole della PDE.

• Per ogni t ∈ R, v ∈ H10(Ω) risulta

m ≤∫

Ω

|D(u + tv)|2 dx := Fv(t) (u + tv − g ∈ H10(Ω)).

Quindi F′v(0) = 0 se Fv e derivabile in t = 0 poiche Fv(t) ha minimo in t = 0.

• Si ha

Fv(t) =

∫Ω

(Du + tDv) · (Du + tDv) dx

=

∫Ω

(|Du|2 + 2tDu ·Dv + t2

|Dv|2)

dx

= Fv(0) + 2(∫

Ω

Du ·Dv dx)

t + o(t) per t→ 0.

Quindi esiste F′v(0) e abbiamo

0 = F′v(0) =

∫Ω

Du ·Dv dx, ∀ v ∈ H10(Ω).

Domanda 1: La soluzione debole di (PD) e unica?

Risposta: Sı, per la disuguaglianza di Poincare. Infatti, siano u1,u2 ∈ H1(Ω) due soluzionideboli di (PD). Allora la differenza u = u1 − u2 ∈ H1

0(Ω) e soluzione debole della PDE.Infatti entrambe le funzioni hanno traccia g su ∂Ω e per ogni v ∈ H1

0(Ω) abbiamo∫Ω

Du ·Dv dx =

∫Ω

Du1 ·Dv dx −∫

Ω

Du2 ·Dv dx = 0.

Sostituendo v = u otteniamo ∫Ω

|Du|2 dx = 0.

Ma per Poincare||u||L2(Ω) ≤ C||Du||L2(Ω) = 0,

ovvero u = 0 quasi ovunque in Ω.

Domanda 2: Usando un metodo variazionale, e possibile trattare anche il problema diDirichlet per l’equazione non omogenea?


Risposta: Sı. Piu precisamente, per f ∈ L2(Ω) cerchiamo una soluzione debole u ∈ H10(Ω)

del problema

(PDN)

−∆u = f in Ω

u = 0 su ∂Ω.

Notiamo che abbiamo preso la condizione omogenea u = 0 su ∂Ω senza limitare lageneralita. Infatti possiamo sempre farne la somma con la soluzione debole gia trovataper l’equazione di Laplace e u = g su ∂Ω. La nozione di soluzione e contenuta nellaseguente definizione.

Definizione 3.7.2. Una funzione u ∈ H10(Ω) e detta soluzione debole di (PDN) se∫

Ω

Du ·Dv dx =

∫Ω

f v dx, ∀ v ∈ H10(Ω).

Affermazione: Esiste una soluzione debole u di (PDN) che soddisfa

E(u) = minv∈H1

0(Ω)E(v) dove E(v) =

12

∫Ω

|Dv|2 dx −∫

Ω

f v dx.

• Il funzionale e limitato dal basso. Infatti, per la disuguaglianza di Cauchy-Schwarzabbiamo ∣∣∣∣∣∫

Ω

f u dx∣∣∣∣∣ ≤ ||u||L2(Ω) || f ||L2(Ω).

Quindi

E(u) ≥12||u||2

H10(Ω)− ||u||L2(Ω) || f ||L2(Ω)

≥12||u||2

H10(Ω)− C ||u||H1

0(Ω) || f ||L2(Ω),

dove abbiamo usato di nuovo Poincare. Quindi infH10(Ω) E > −∞.

• Se esiste un minimo u allora u deve essere soluzione debole di (PDN). Basta fare unconto analogo a quello del Passo 4 nella dimostrazione del Teorema 3.7.1 (esercizio).

• Allora basta mostrare che esiste un minimo. Esiste di sicuro una successioneminimizzante. Sfuttando un po’ di analisi funzionale (la semicontinuita inferioredebole di E e la compattezza dell’immersione 13 H1

0(Ω) →→ L2(Ω)) si mostral’esistenza di un minimo. Lasciamo i dettagli al corso di Calcolo delle Variazioni.

Osservazione 3.7.2. Usando di nuovo la disuguaglianza di Poincare si puo mostrarel’unicita della soluzione debole di (PDN) e anche la dipendenza continua sul terminenoto. Piu precisamente, si puo mostrare la seguente affermazione: Siano uk ∈ H1

0(Ω)soluzioni deboli del problema (PDN) con termine noto fk ∈ L2(Ω) con k = 1, 2. Allora

||u1 − u2||H10(Ω) ≤ C || f1 − f2||L2(Ω).

13Da discutere alle fine di questo capitolo.

3.8 Disuguaglianze di Sobolev 94

Nel Capitolo 4, torneremo alle questioni di esistenza, unicita e regolarita di soluzionideboli per il problema di Dirichlet per equazioni ellittiche, dove l’operatore

Lu :=n∑

i, j=1

ai j(x)Di ju +

n∑i=1

bi(x)Diu + c(x)u, ai j = a ji

prendera il posto di ∆. Ricordiamo che l’ellitticita significa che la matrice dei coefficienti[ai j] e definita positiva/negativa .

3.8 Disuguaglianze di Sobolev

Il nostro obiettivo in questa sezione e studiare il problema dell’immersione di spazi diSobolev in spazi di Lebesgue e spazi di Holder. Lo strumento cruciale sono le cosiddettedisuguaglianze di Sobolev. La domanda che ci poniamo e la seguente : se una funzioneu appartiene ad un determinato spazio di Sobolev possiamo garantire che u appartengaautomaticamente ad un altro spazio ? Iniziamo con alcune considerazioni generali perorientarci.

1. La questione e importante per la teoria di regolarita delle soluzioni deboli. Ad esempio,nel paragrafo precedente, abbiamo stabilito l’esistenza di una funzione u ∈W1,p

0 (Ω)debolmente armonica tale che u = g su ∂Ω nel senso della traccia. Pero sappiamoche funzioni armoniche in senso classico risultano essere C∞(Ω).

2. Tipicamente le dimostrazioni consistono nella verifica di una certa disuguaglianzaper una classe di funzioni regolari. Poi si sfruttano i risultati di densita.

3. Per semplicita, trattiamo in dettaglio solo gli spazi W1,p(Rn),W1,p0 (Ω),W1,p(Ω). I

risultati dipendono dalla relazione fra p e n. Ci sono tre casi:

• 1 ≤ p < n: immersioni in Spazi di Lebesgue Lq con restrizioni su q;

• p = n: caso limite (e delicato)

• n < p ≤ ∞: immersioni in spazi di Holder C0,α con restrizioni su α.

4. Esiste un trattamento analogo per gli spazi Wk,p dove i risultati dipendono dallarelazione fra kp e n.

3.8.1 Disuguaglianze per W1,p nel caso 1 ≤ p < n.

Ci sono restrizioni sui valori di q nelle immersioni di W1,p in Lq. Le conseguenze delseguente risultato forniscono una prima indicazione del problema. Ci chiediamo quandola norma Lp del gradiente Du controlla la norma Lq di u ∈ W1,p. Se Ω = Rn c’e solo unapossibilita.


Proposizione 3.8.1. Se esiste una costante C = C(n, p) t.c.

(3.8.1) ||u||Lq(Rn) ≤ C ||Du||Lp(Rn) , ∀ u ∈ C10(Rn)

allora1q

=1p−

1n

ovvero q =np

n − p:= p∗.

Definizione 3.8.1. Sia 1 ≤ p < n, e detto esponente critico di Sobolev il numero

p∗ =np

n − p.

Osservazione 3.8.1. Si ha p∗ > p. Infatti

0 <1p∗

=1p−

1n<

1p.

Dimostrazione. Supponiamo che esista C > 0 per cui vale la (3.8.1).

1. Prendiamo u . 0 in C10(Rn) e riscaliamo u tramite

uλ(x) := u(λx) per ogni λ ∈ (0,+∞).

Si ha ||uλ||

qLq(Rn) =

∫Rn |u(λx)|q dx = λ−n

∫Rn |u(y)|q dy

||Duλ||pLp(Rn) =

∫Rn |λDu(λx)|p dx = λp−n

∫Rn |Du(y)|p dy

Quindi se vale (3.8.1) per ogni uλ allora

λ−nq ||u||Lq(Rn) ≤ Cλ

p−np ||Du||Lp(Rn),

ovvero

(3.8.2) (∗∗) ||u||Lq(Rn) ≤ Cλ1− np + n

q ||Du||Lp(Rn), ∀λ ∈ (0,+∞).

2. Dobbiamo avere la relazione 1 − np + n

q = 0. Infatti, se l’esponente fosse positivo,potremmo far tendere λ → 0+ trovando che ||u||Lq(Rn) = 0. Questo e impossibileperche u . 0. In modo analogo, se l’esponente fosse negativo, potremmo fartendere λ→ +∞ per arrivare ad un assurdo.

Osservazione 3.8.2. Per Ω limitato tale che Ω ⊃ B1(0), possiamo fare il riscalamento uλdi u per ogni λ ∈ [1,+∞] e far tendere λ → +∞, ma non possiamo far tendere λ → 0+.Otteniamo cosı

||u||Lq(Ω) ≤ C ||Du||Lp(Ω) , ∀ u ∈ C10(Ω) ⇒ q ≤ p∗ = np/(n − p).

Quindi q ≤ p∗ e condizione necessaria per l’immersione W1,p0 (Ω) in Lq(Ω). Infatti C1

0(Ω) edenso in W1,p

0 (Ω) e ||Du||Lp(Ω) = ||u||W1,p0 (Ω).


Andiamo ora a mostrare la disuguaglianza centrale per il caso 1 ≤ p < n.

Teorema 3.8.1 (Disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev). Sia 1 ≤ p < n. Alloraesiste una costante C = C(n, p) tale che

(3.8.3) ||u||Lp∗ (Rn) ≤ C ||Du||Lp(Rn) , ∀u ∈ C10(Rn),

dove p∗ = np/(n − p).

Notiamo che il risultato e falso per u ∈ C1(Rn). Basta considerare u ≡ 1.

Dimostrazione.Passo 1: (Il caso p = 1)

• Per il TFCI abbiamo che

u(x) =

∫ xi

−∞

Diu(x1, x2, ..., xi−1, t, xi+1, ..., xn) dt.

Quindi risulta

|u(x)| ≤∫ +∞

−∞

|Diu(x)| dxi ∀i = 1, . . . ,n.

Prendendo il prodotto di queste disuguaglianze otteniamo

(3.8.4) |u(x)|n

n−1 ≤

n∏i=1

∫ +∞

−∞

|Diu(x)| dxi

1

n−1

:=n∏

i=1

fi(xi),

dove xi := (x1, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn). Le funzioni fi sono non negative e non dipen-dono dalla variabile i-esima. Notiamo inoltre che l’esponente n/(n− 1) e np/(n− p)per p = 1.

• Abbiamo bisogno di integrare (3.8.4) su Rn. Per questo serve la seguente disugua-glianza integrale.

Lemma 3.8.1 (Disuguaglianza di Gagliardo). Siano fi(xi) ≥ 0 per ogni i = 1, . . . ,n. Allora∫Rn

n∏i=1

fi(xi) dx ≤n∏

i=1

(∫Rn−1

f n−1i dxi

) 1n−1

.

N.B. Questa disuguaglianza si mostra per induzione, dove il caso n = 2 e banale. Si usala disuguaglianza di Holder generalizzata∫

Ω

∣∣∣∣∣∣∣N∏

i=1

fi

∣∣∣∣∣∣∣ dx ≤N∏

i=1

(∫Ω

| fi|pi dx) 1

pise

N∑i=1

1pi

= 1,

con pi = N per ogni i (v. Lemma 3.2 di Giusti [8]).


• Integrando (3.8.4) su Rn e usando la disuguaglianza di Gagliardo otteniamo∫Rn|u(x)|

nn−1 dx ≤

n∏i=1

(∫Rn−1

[∫ +∞

−∞

|Diu(x)| dxi

]dxi

) 1n−1

=

n∏i=1

∫Rn|Diu(x)| dx

1

n−1

,

ovvero (∫Rn|u(x)|

nn−1 dx

) n−1n

≤

n∏i=1

∫Rn|Diu(x)| dx

1n

.

Per completare la stima, ricordiamo due disuguaglianze elementari: la mediaaritmetica domina la media geometrica, ovvero

(3.8.5)

n∏i=1

|ai|

1n

≤1n

n∑i=1

|ai|.

e la seguente relazione fra le norme l1 e l2:

(3.8.6)n∑

i=1

|ai| ≤√

n

n∑i=1

a2i

1/2

.

Quindi abbiamo

(∫Rn|u(x)|

nn−1 dx

) n−1n

≤

n∏i=1

∫Rn|Diu(x)| dx

1n

≤1n

n∑i=1

∫Rn|Diu(x)| dx usando (3.8.5)

≤1√

n

∫Rn|Du| dx, usando (3.8.6)

ovvero

(3.8.7) ||u||L

nn−1 (Rn)

≤1√

n||Du||L1(Rn) , u ∈ C1

0(Rn).

Dunque abbiamo mostrato la tesi nel caso p = 1 ed abbiamo anche trovato il valore dellacostante C = 1

√n

.

Passo 2: (Il caso 1 < p < n) Si applica (3.8.7) alla funzione v = |u|γ con γ > 1 da stabilirein modo opportuno.


• Usando (3.8.7) e la disuguaglianza di Holder otteniamo(∫Rn|u|

γnn−1 dx

) n−1n

≤1√

n

∫Rn|D(|u|γ)| dx =

γ√

n

∫Rn|u|γ−1

|Du| dx

≤γ√

n

(∫Rn|u|(γ−1) p

p−1 dx) p−1

p(∫Rn|Du|p dx

) 1p

.

• Ora scegliamo γ in modo da poter confrontare il termine a destra e il termine asinistra della disuguaglianza, cioe

γnn − 1

= (γ − 1)p

p − 1⇐⇒ γ =

p(n − 1)n − p

> 1.

In questo caso otteniamo che(∫Rn|u|

npn−p dx

) n−1n −

p−1p

≤γ√

n

(∫Rn|Du|p dx

) 1p

.

Poichen − 1

n−

p − 1p

=n − p

np=

1p∗

abbiamo la tesi con C(n, p) =p(n − 1)√

n(n − p).

Adesso usiamo la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev per ottenere altredisuguaglianze e le immersioni a loro associate.

Corollario 3.8.1 (Immersioni degli spazi W1,p(Rn)). Sia 1 ≤ p < n. Allora si ha un’immer-sione continua

W1,p(Rn) → Lq(Rn) per ogni q ∈ [p, p∗], p∗ = np/(n − p);

cioe abbiamo l’inclusione di insiemi W1,p(Rn) ⊂ Lq(Rn) per ogni q ∈ [p, p∗] e la mappa diinclusione e lineare, iniettiva e continua. In particolare, esistono C(n, p),C(n, p, q) > 0 tali che

(GNS) ||u||Lp∗ (Rn) ≤ C(n, p) ||Du||Lp(Rn) , u ∈W1,p(Rn);

(S) ||u||Lq(Rn) ≤ C(n, p, q) ||u||W1,p(Rn) , u ∈W1,p(Rn), q ∈ [p, p∗].

Dimostrazione. Le affermazioni sulle immersioni seguono dalle disuguaglianze (GNS) e(S)14.

1. La disuguaglianza (GNS) segue dalla disuguaglianza (3.8.3), sfruttando la densitadi C∞0 (Rn) in W1,p(Rn) come abbiamo fatto nella dimostrazione della disuguaglian-za di Poincare (v. Teorema 3.5.4).

14Abbiamo usato le sigle (GNS) per Gagliardo-Nirenberg-Sobolev e (S) per Sobolev.


2. Per ogni u ∈W1,p(Rn) abbiamo u ∈ Lp(Rn) per definizione e u ∈ Lp∗(Rn) per (GNS).Ricordiamo che p < p∗. Allora dall’Analisi Reale 15 sappiamo di avere u ∈ Lq(Rn)per ogni q ∈ (p, p∗) con la seguente disuguaglianza di interpolazione

||u||Lq(Rn) ≤ ||u||ϑLp(Rn) ||u||1−ϑLp∗(Rn) ,

dove ϑ = ϑ(n, p, q) ∈ (0, 1) e definita da

1q

=ϑp

+1 − ϑ

p∗.

Dunque applicando prima la disuguaglianza di Young 16 e poi (GNS) otteniamodalla disuguglianza precedente

||u||Lq(Rn) ≤ ϑ ||u||Lp(Rn) + (1 − ϑ) ||u||Lp∗(Rn)

≤ ϑ ||u||Lp(Rn) + (1 − ϑ)C(n, p) ||Du||Lp(Rn) ≤ C(n, p, q) ||u||W1,p(Rn) ,

dove C(n, p, q) = ϑ + (1 − ϑ)C(n, p).

Corollario 3.8.2 (Immersione degli spazi W1,p0 (Ω)). Siano Ω ⊂⊂ Rn e 1 ≤ p < n. Allora per

ogni q ∈ [1, p∗] esiste C = C(n, p, q,Ω) > 0 t.c.

(PS) ||u||Lq(Ω) ≤ C ||Du||Lp(Ω) , u ∈W1,p0 (Ω).

In particolare abbiamo un’immersione continua

W1,p0 (Ω) → Lq(Ω) per ogni q ∈ [1, p∗], p∗ = np/(n − p).

Dimostrazione. Di nuovo, basta mostrare la disuguaglianza (PS) 17 per funzioni in C∞0 (Ω).

1. Per u ∈ C∞0 (Ω), prolunghiamo u a tutto Rn prendendo u ≡ 0 su Rn\ Ω. Il

prolungamento e una funzione in C∞0 (Rn). Applichiamo il Teorema 3.8.1 perottenere

||u||Lp∗ (Ω) = ||u||Lp∗ (Rn) ≤ C(n, p) ||Du||Lp(Rn) = C(n, p) ||Du||Lp(Ω) ,

ed abbiamo (PS) nel caso critico q = p∗.

15E sostanzialmente la disuguaglianza di Holder.16ab ≤ ap/p + bq/q se 1/p + 1/q = 1 con a, b ≥ 0.17Abbiamo usato la sigla (PS) per Poincare-Sobolev.


2. Il dominio Ω e limitato. Quindi per ogni q ∈ [1, p∗) abbiamo l’immersione continuaLp∗(Ω) → Lq(Ω) tramite la disuguaglianza di Holder. Quindi

||u||Lq(Ω) ≤ C(p, q,Ω) ||u||Lp∗ (Ω) dove C(p, q,Ω) = |Ω|p∗−qqp∗

≤ C(p, q,Ω) C(n, p) ||Du||Lp(Ω) , ∀q ∈ [1, p∗).

Osservazione 3.8.3. Il Corollario precedente fornisce una dimostrazione alternativa delladisuguaglianza di Poincare nel caso q = p ∈ [1, p∗), ovvero

||u||Lp(Ω) ≤ C(n, p,Ω) ||Du||Lp(Ω) , u ∈W1,p0 (Ω),

con

C(n, p,Ω) =1√

n

p(n − 1)n − p

|Ω|p∗−ppp∗ =

p(n − 1)√

n(n − p)|Ω|

1n .

Nella vecchia dimostrazione la costante era d/p1/p con d il diametro minimo di Ω (v.l’osservazione dopo il Teorema 3.5.4).

Osservazione 3.8.4. Siano 1 ≤ p < n e Ω ⊂ Rn con ∂Ω “buono” (C1 oppure Lip). Allorasi ha un’immersione continua

W1,p(Ω) → Lp∗(Ω) con p∗ = np/(n − p).

tramite la disuguaglianza

||u||Lp∗ (Ω) ≤ C(n, p,Ω) ||u||W1,p(Ω), ∀ u ∈W1,p(Ω).

La dimostrazione sfrutta un prolugamento di u ∈ W1,p(Ω) a tutto Rn come un elementodi W1,p(Rn) (v. §5.4 di Evans [5] nel caso Ω limitato). Da questa disuguaglianza con q = p∗

si trovano altre immersioni usando di nuovo l’interpolazione nel caso di Ω illimitato conq ∈ [p, p∗) e le inclusioni facili nel caso Ω limitato per q ∈ (1, p∗).

Osservazione 3.8.5. Per Ω con ∂Ω “cattivo” esistono controesempi per l’immersione diW1,p(Ω) in Lp∗(Ω). Ad esempio, consideriamo

Ω := (x, y) ∈ R2 : 0 < x < 1, |y| < exp (−1/x2) e u := x3 exp (1/x2).

Si ha u ∈W1,1(Ω) \ Lq(Ω) per ogni q > 1 (esercizio).

In conclusione, abbiamo visto che ogni u ∈W1,p con 1 ≤ p < n possiede piu sommabilitadi quanta ne dovrebbe avere per definizione, cioe u ∈ Lp(Ω), e questa sommabilita in piue quantificata dall’esponente critico di Sobolev p∗ > p.


3.8.2 Disuguaglianze per W1,p nel caso n < p ≤ ∞.

In questo caso, l’alta sommabilita p > n implica che u ∈ W1,p ha un rappresentantecontinuo u∗. Non solo, si ha anche un controllo sul modulo di continuita ed immersionicontinue in spazi di Holder con esponenti di Holder opportuni. Prima di presentarela disuguaglianza principale, abbiamo bisogno di alcuni nozioni rigardanti gli spazi diHolder.

Definizione 3.8.2. Siano Ω ⊆ Rn aperto e α ∈ (0, 1]. Lo spazio delle funzioni Holder-continue (o holderiane) di esponente α e

C0,α(Ω) :=

u ∈ C0(Ω) : u e limitata e supx,y∈Ωx,y

(|u(x) − u(y)||x − y|α

)< +∞

.Osservazione 3.8.6 (Prime proprieta). a) Per α = 1 si tratta delle funzioni lipschitziane

e limitate in Ω.

b) Ogni u ∈ C0,α(Ω) e uniformemente continua sui sottoinsiemi limitati di Ω. Quindi uammette prolungamento continuo fino al bordo.

c) Sullo spazio C0,α(Ω) si definisce la seguente norma

||u||C0,α(Ω) := ||u||

C0(Ω) + [u]C0,α(Ω)

:= supx∈Ω|u(x)| + sup

x,y∈Ωx,y

|u(x) − u(y)||x − y|α

d) Con questa norma C0,α(Ω) = u ∈ C0(Ω) : ||u||C0,α(Ω) < +∞ e uno spazio di Banach.

Esercizio 3.8.1. Verificare le affermazioni c) e d) nell’osservazione precedente.

In modo analogo, si definiscono spazi di Holder di regolarita superiore.

Definizione 3.8.3. Siano Ω ⊆ Rn aperto, α ∈ (0, 1], k ∈N.

Ck,α(Ω) :=u ∈ Ck(Ω) : ||u||Ck,α(Ω) < +∞

,

dove||u||Ck,α(Ω) :=

∑|β|≤k

||Dβu||C0(Ω) +∑|β|=k

[Dβu]C0,α(Ω) .

Osservazione 3.8.7. Ricordiamo che Ck(Ω) era stato definito nella Definizione 2.2.3. Simostra che

(Ck,α(Ω), || · ||Ck,α(Ω)

)e uno spazio di Banach.


Adesso siamo pronti per il risultato principale.

Teorema 3.8.2 (Disuguaglianza di Morrey). Sia n < p < ∞, allora esiste una costanteC = C(n, p) tale che

(M) ||u||C0,α(Rn) ≤ C ||u||W1,p(Rn) , ∀ u ∈ C10(Rn),

dove α = 1 −np

.

Notiamo che α ∈ (0, 1) perche 0 < n/p < 1 e che abbiamo usato la notazione C0,α(Rn) perC0,α(Ω) nel caso Ω = Rn.

Dimostrazione.

Passo 1: Esiste C1 = C1(n) =1

nωntale che per ogni Br(x) ⊂ Rn si ha

(1)?

Br(x)|u(x) − u(y)| dy ≤ C1

∫Br(x)

|Du(y)||x − y|n−1

dy, ∀ u ∈ C10(Rn).

• Per y ∈ Br(x) \ x, scriviamo y = x + sw con s ∈ (0, r) e |w| = 1 e abbiamo

|u(x + sw) − u(x)| =∣∣∣∣∣∫ s

0

ddt

u(x + tw) dt∣∣∣∣∣

=

∣∣∣∣∣∫ s

0Du(x + tw) · w dt

∣∣∣∣∣≤

∫ s

0|Du(x + tw)| dt.

• Integriamo rispetto a w ∈ ∂B1(0) per trovare∫∂B1(0)

|u(x + sw) − u(x)| dS1(w) ≤∫∂B1(0)

(∫ s

0|Du(x + tw)| dt

)dS1(w)

=

∫ s

0

(∫∂B1(0)

|Du(x + tw)| dS1(w))

dt (Fubini − Tonelli)

=

∫ s

0

(∫∂Bt(x)

|Du(y)||x − y|n−1

dSt(y))

dt

y = x + twdSt(y) = tn−1dS1(w)

=

∫Bs(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy (Fubini per le bucce)

Usando s < r otteniamo

(3.8.8)∫∂B1(0)

|u(x + sw) − u(x)| dS1(w) ≤∫

Br(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy.


• Ora moltiplichiamo (3.8.8) per sn−1 ed integriamo per s ∈ (0, r):∫ r

0sn−1

(∫∂B1(0)

|u(x + sw) − u(x)| dS1(w))

ds ≤(∫

Br(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy) ∫ r

0sn−1 ds

⇒

∫Br(x)|u(x) − u(y)| dy ≤

rn

n

∫Br(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy

⇒1

ωnrn

∫Br(x)|u(x) − u(y)| dy ≤

1nωn

∫Br(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy.

Passo 2: Esiste una costante C2 = C2(n, p) tale che

(2) supx∈Rn|u(x)| ≤ C2 ||u||W1,p(Rn) , ∀ u ∈ C1

0(Rn).

• Usiamo (1) per controllare i valori di u tramite le medie integrali:

|u(x)| =

?B1(x)|u(x)| dy ≤

?B1(x)|u(x) − u(y)| dy +

?B1(x)|u(y)| dy

≤ C1

∫B1(x)

|Du(y)||y − x|n−1

dy +1|B1|

(∫B1(x)|u(y)|p dy

) 1p(∫

B1(x)dy

) p−1p

≤ C1 ||Du||Lp(B1(x))

[∫B1(x)|y − x|

(1−n)pp−1 dy

] p−1p

+ |B1|−

1p ||u||Lp(B1(x))

= C1 ||Du||Lp(B1(x))

[∫ 1

0ρn−1+

(1−n)pp−1 dρ

] p−1p

+ |B1|−

1p ||u||Lp(B1(x)),

dove l’integrale in ρ e finito se n − 1 +(1 − n)p

p − 1> −1, ovvero n < p.

• Quindi

(3.8.9) |u(x)| ≤ C2(n, p) ||u||W1,p(B1(x)) ≤ C2(n, p) ||u||W1,p(Rn).

Passando all’estremo superiore otteniamo la disuguaglianza (2).

Passo 3: Esiste una costante C3 = C3(n, p) tale che

(3) [u]C0,α(Rn) ≤ C3 ||Du||Lp(Rn) , ∀ u ∈ C10(Rn).

• Per ogni coppia x, y ∈ Rn con x , y poniamo r := |x − y| > 0 e W := Br(x) ∩ Br(y).

|u(x) − u(y)| =

?W|u(x) − u(y)| dz ≤

?W|u(x) − u(z)| dz +

?W|u(y) − u(z)| dz

:= A + B.


• Stimando A troviamo

A =1|W|

∫W|u(x) − u(z)| dz ≤

|Br|

|W|

?Br(x)|u(x) − u(z)| dz (W ⊂ Br(x))

≤|Br|

|W|C1

∫Br(x)

|Du(z)||z − x|n−1

dz (Passo1)

≤ C1C(n) ||Du||Lp(Br(x))

[∫Br(x)|x − z|

(1−n)pp−1 dz

] p−1p

(|Br| ≤ C(n)|W| , ∀r > 0)

= C1C(n) ||Du||Lp(Br(x))

[|∂B1|r

p−np−1

] p−1p

(Fubini per le bucce)

≤ C(n, p) ||Du||Lp(Br(x)) r1− np .

• In maniera analoga otteniamo

(3.8.10) B ≤ C(n, p) ||Du||Lp(Br(y)) r1− np ≤ C(n, p) ||Du||Lp(Rn) r1− n

p .

• Quindi per ogni x, y con x , y:

|u(x) − u(y)| ≤ C3(n, p) |x − y|1−np ||Du||Lp(Rn)

e dunque

[u]C0,α(Rn) = supx,y∈Ωx,y

|u(x) − u(y)||x − y|1−n/p ≤ C3(n, p) ||Du||Lp(Rn)

Conclusione: combinando (2) e (3) otteniamo la tesi

||u||C0,α(Rn) = ||u||C0(Rn) + [u]C0,α(Rn)

≤ C2||u||W1,p(Rn) + C3||Du||Lp(Rn)

≤ C||u||W1,p(Rn)

dove C = max(C2,C3).

Osservazione 3.8.8. Nella dimostrazione abbiamo usato il fatto che il supporto di u siacompatto solo per assicurare che la norma W1,p(Rn) sia finita e di conseguenza che siafinita la norma C0,α(Rn). Usando (3.8.9) e (3.8.10), si vede che per avere ||u||C0,α(Rn) < +∞

in realta ci basterebbe

supx∈Rn||u||W1,p(B1(x)) < +∞ e sup

x∈Rn, r>0||Du||Lp(Br(x)) < +∞.

In particolare, ci basterebbe u ∈ C1(Rn) ∩W1,p(Rn) per avere la disuguaglianza di Mor-rey (M) con norme finite. Usando poi la densita di C1

0(Ω) in W1,p(Rn), otterremmo ladisuguaglianza (M) con norme finite per ogni u ∈W1,p(Rn).


Corollario 3.8.3. Sia n < p < ∞. Allora esiste un’immersione continua W1,p(Rn) → C0,α(Rn)con α = 1 − n

p ∈ (0, 1). Piu precisamente, per ogni u ∈W1,p(Rn) esiste u∗ ∈ C0,α(Rn) tale che

u = u∗ q.o. in Rn

ed esiste C = C(n, p) > 0 tale che

||u∗||C0,α(Rn) ≤ C ||u||W1,p(Rn), ∀ u ∈W1,p(Rn).

Dimostrazione. Sia u ∈W1,p(Rn).

• Esiste u j j∈N ⊂ C∞0 (Rn) t.c. u j → u in W1,p(Rn).

• Per la disuguaglianza di Morrey su C10(Rn) abbiamo

||u j − uk||C0,α(Rn) ≤ C||u j − uk||W1,p(Rn) ,

ovvero u j e una successione di Cauchy in uno spazio di Banach. Quindi esisteu∗ ∈ C0,α(Rn) tale che

u j → u∗ uniformemente in Rn.

• Ma u j → u in Lp(Rn) e quindi u jk → u q.o. in Rn per qualche sottosuccessione.Quindi u = u∗ q.o. in Rn.

• Infine, si verifica la disuguaglianza (M) prendendo il limite per j → +∞ delladisuguaglianza applicata ad u j.

Corollario 3.8.4. Siano Ω ⊂⊂ Rn e n < p < ∞. Per ogni u ∈ W1,p0 (Ω) esiste u∗ ∈ C0,α(Ω) con

α = 1 − np tale che

u = u∗ q.o. in Ω

ed esiste C = C(n, p) > 0 tale che

||u∗||C0,α(Ω) ≤ C ||u||W1,p0 (Ω) , ∀ u ∈W1,p

0 (Ω).

In particolare, si ha un’immersione continua W1,p0 (Ω) → C0,α(Ω) con α = 1 − n

p .

Dimostrazione. Basta prolungare u ∈ W1,p0 (Ω) ad u0 ∈ W1,p(Rn) prendendo u0 ≡ 0 su

Rn\Ω. Poi si applicano il Cor. 3.8.3 e la disuguaglianza di Poincare.

Osservazione 3.8.9. Esiste anche un’immersione continua di W1,p(Ω) in C0,α(Ω) se Ω ⊂⊂

Rn con ∂Ω di classe C1 (v. Theorem 5.6.5 di Evans [5]). La dimostrazione sfrutta di nuovol’esistenza di un operatore di prolungamento da W1,p(Ω) a W1,p(Rn).


Osservazione 3.8.10. L’esponente di Holder α = 1 − np tende ad 1 per p → ∞. Questo

fatto suggerisce un’immersione continua W1,p(Ω) → C0,1(Ω). Si puo mostrare questorisultato direttamente, cioe senza far uso della disuguaglianza di Morrey.

In conclusione, abbiamo visto che per ogni u ∈ W1,p(Ω) con p > n la funzione ammetterappresentante u∗ continuo, anzi u∗ e holderiana di indiceα, quindi anche uniformementecontinua sui limitati. Grazie a cio possiamo recuperare anche delle buone proprieta didifferenziabilita.

Corollario 3.8.5 (Differenziabilita quasi ovunque). Sia u ∈W1,ploc(Ω) con n < p ≤ ∞. Allora

il rappresentante continuo u∗ di u e differenziabile q.o. in Ω. Inoltre, il gradiente di u∗ e ugualequasi ovunque al gradiente debole di u.

Dimostrazione. Consultare Theorem 5.8.5 di Evans [5].

3.8.3 Altre disuguaglianze.

In questo beve paragrafo, vogliamo completare il quadro delle disuguaglianze di Sobolev.Ci limiteremo a dare gli enunciati e fare delle osservazioni. In particolare, vogliamo direqualcosa sulle disuguaglianze per W1,p nel caso limite p = n e per gli spazi Wk,p con k > 1.

Osservazione 3.8.11 (Caso limite di W1,p con p = n). Abbiamo visto che in tutti i casi(W1,p(Rn),W1,p

0 (Ω),W1,p(Ω) se ∂Ω e “buono”) esiste un’immersione continua dello spazioW1,p in:

a) Lq per q ∈[p,

npn − p

]se 1 ≤ p < n;

b) C0,1−n/p⊂ L∞ se n < p ≤ ∞.

Nel caso limite p = n abbiamo l’immersione di W1,n in Lq per ogni q ∈ [p,∞), ma esistonou ∈W1,n

\ L∞.

Esempio 3.8.1 (Controesempio). Siano Ω = B1(0) e u la funzione definita da

u(x) = log(log

(1 +

1|x|

))Si puo verificare che u ∈W1,n(B1(0)) ma u < L∞(B1(0)).

Per quanto riguarda le disuguaglianze e le immersioni di Wk,p ci limiteremo ai casi piufacili.

Teorema 3.8.3 (Disuguaglianze ed immersioni per Wk,p0 (Ω) con kp , n). Siano Ω ⊂⊂ Rn,

k ∈N, 1 ≤ p < ∞. Allora

3.9 Compattezza delle immersioni 107

kp < n: Wk,p0 (Ω) → Lq(Ω) per ogni q ∈

[1,

npn − kp

]ed esiste C = C(n, p, k,Ω) > 0 t.c.

||u||Lq(Ω) ≤ C ||u||Wk,p

0 (Ω), ∀ u ∈Wk,p

0 (Ω).

kp > n: Wk,p0 (Ω) → Ck−

[np

]−1,α(Ω) dove

α =

[

np

]+ 1 − n

p se np <N

arbitrario in (0, 1) se np ∈N

ed esiste C = C(n, p, k, α,Ω) > 0 t.c.

||u||C

k−[ np ]−1,α(Ω)

≤ C ||u||Wk,p

0 (Ω), ∀ u ∈Wk,p

0 (Ω).

Si hanno le stesse immersioni e disuguaglianze anche nel caso Wk,p(Ω) con ∂Ω ∈ C1 (v.Theorem 5.6.6 di Evans [5]).

Dimostrazione. (Solo per kp < n) Per k = 2 con 2p < n se u ∈W2,p0 (Ω) abbiamo u ∈W2,p

0 (Ω) ⊂W1,p0 (Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀ q ∈

[1, p∗

], p∗ =

npn−p

Diu ∈W1,p0 (Ω) ⊂ Lq(Ω) ∀q ∈

[1, p∗

].

Quindi u ∈W1,p∗

0 (Ω) (in realta W1,q0 (Ω) per ogni q ∈ [1, p∗]). Quindi u ∈ L(p∗)∗(Ω) dove

(p∗)∗ =np∗

n − p∗=

n( np

n−p

)n − np

n−p

=n2p

n − pn − p

n2 − 2np=

npn − 2p

.

Tramite induzione si mostra la prima parte per k > 2.

3.9 Compattezza delle immersioni

In questo paragrafo andiamo ad analizzare la compattezza delle immersioni trovate nelparagrafo precedente. Iniziamo con alcune definizioni ed osservazioni generali.

Definizione 3.9.1. Siano X e Y due spazi di Banach tali che X → Y, cioe esiste una mappalineare e iniettiva detta immersione da X in Y. Diciamo che X e immerso con compattezzain Y e lo indichiamo con X →→ Y se:

(i) l’immersione da X in Y e continua, ovvero esiste una costante C > 0 tale che

||u||Y ≤ C ||u||X, ∀ u ∈ X;


(ii) l’immersione e compatta, ovvero ogni insieme limitato A in X viene mandato in uninsieme relativamente compatto in Y, ovvero con chiusura compatta in Y.

Non abbiamo introdotto alcun simbolo per il nome dell’immersione e parliamo di Acome fosse un sottoinsieme anche di Y. Spesso la mappa e l’inclusione quando X ⊂ Ycome nel caso delle immersioni da W1,p in Lq. Invece, nel caso dell immersioni neglispazi di Holder la mappa e definita tramite la scelta di un rappresentante holderiano diu.

Osservazione 3.9.1. Poiche Y e uno spazio di Banach, la compattezza (ii) dell’immersioneha due formulazioni equivalenti18:

(ii)’ Ogni A limitato in X viene mandato in un’insieme precompatto in Y, ovvero ognisuccessione in A (limitata) viene mandata in una successione avente una sottosuc-cessione convergente in Y.

(ii)” Ogni A limitato in X viene mandato in un’insieme totalmente limitato in Y, ovverotale che ∀δ > 0 esistono A1, ...,AN(δ) ⊂ Y tali che

A ⊂N⋃

k=1

Ak e diamY(Ak) < δ , ∀ k = 1, . . . ,N(δ).

La collezione Ak e detta δ-rete per A in Y.

Lo strumento principale per lo studio della compattezza e il criterio di Ascoli-Arzela.

Lemma 3.9.1 (Criterio di compattezza di Ascoli-Arzela). Sia ukk∈N una successione difunzioni uk : Ω ⊂ Rn

→ R tali che

(i) Le uk sono equilimitate, cioe esiste una costante M tale che |uk(x)| ≤ M per ogni x ∈ Ω eper ogni k.

(ii) Le uk sono uniformemente equicontinue, cioe ∀ε > 0 esiste δ = δ(ε) tale che se x, y ∈ Ω

con x , y e |x − y| < δ allora |uk(x) − uk(y)| < ε per ogni k.

Allora esiste una sottosuccessione uk j e una funzione continua u tali che uk j → u uniformementesui compatti di Ω.

Piu precisamente, abbiamo bisogno della compattezza delle immersioni degli spazi diHolder nello spazio C0(Ω) delle funzioni uniformemente continue sui sottoinsiemi limi-tati di Ω. Tali funzioni ammettono prolungamento con continuita fino al bordo. Nelcaso che Ω sia limitato, tali funzioni sono anche limitate e formano uno spazio di Banachrispetto alla norma ||u||C0(Ω) = supx∈Ω |u(x)|.

18Ricordiamo: Se Y uno spazio metrico completo, allora B ⊂ Y e relativamente compatto in Y ⇔ B e precompattoin Y⇔ B e totalmente limitato in Y.


Lemma 3.9.2. Sia Ω ⊂⊂ Rn. Allora C0,α(Ω) →→ C0(Ω) per ogni α ∈ (0, 1].

Dimostrazione. E evidente la continuita dell’immersione C0,α(Ω) → C0(Ω). Quindi bastamostrare che ogni insieme A che sia limitato in norma || · ||C0,α(Ω) e precompatto in C0(Ω).Per il teorema di Ascoli-Arzela basta mostrare l’equilimitatezza e l’equicontinuita dellefunzioni che appartengono ad A, ovvero:

(i) supΩ

|u| ≤M < +∞ per ogni u ∈ A

(ii) Per ogni ε > 0 esiste δ = δ(ε) t.c.

x, y ∈ Ω, |x − y| < δ ⇒ |u(x) − u(y)| < ε, ∀u ∈ A.

A e limitato in C0,α(Ω) se esiste CA t.c

supx∈Ω|u(x)| + sup

x,y∈Ωx,y

|u(x) − u(y)||x − y|α

≤ CA, ∀u ∈ A.

Quindi abbiamo (i) con M = CA e (ii) con δ(ε) = (ε/CA)1/α.

Con questi richiami generali, andiamo a considerare la compattezza delle immersioni diMorrey e di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev per gli spazi W1,p.

3.9.1 Compattezza e l’immersione di Morrey

Nel caso n < p ≤ ∞, possiamo combinare la continuita dell’immersione di Morrey con lacompattezza dell’immersione del Lemma 3.9.2.

Teorema 3.9.1 (Compattezza delle immersioni nello spazio C0(Ω)).Siano Ω ⊂⊂ Rn e n < p ≤ ∞. Allora:

(a) W1,p0 (Ω) →→ C0(Ω) .

(b) W1,p(Ω) →→ C0(Ω) se ∂Ω ∈ C1.

Dimostrazione. Dimostriamo solamente l’affermazione (a). La dimostrazione di (b) eanaloga. Sia p ∈ (n,∞). Per la disuguaglianza di Morrey, abbiamo l’immersione continua

(3.9.1) W1,p0 (Ω) → C0,1− n

p (Ω)

con||u∗||

C0,1− np (Ω)≤ C ||u||W1,p

0 (Ω).


Se u j j∈N ⊂ W1,p0 (Ω) e limitata in norma, allora u∗j j∈N ⊂ C0,1− n

p (Ω) e limitata. Per il

Lemma 3.9.2 possiamo estrarre una sottosuccesione u∗jk che converge in norma C0(Ω)

ad u∗ ∈ C0(Ω). Nel caso p = ∞, l’immersione continua (3.9.1) ha codominio C0,1(Ω) mapossiamo ancora applicare il Lemma 3.9.2 in questo caso.

Corollario 3.9.1 (Compattezza delle immersioni negli spazi Lq(Ω)).Siano Ω ⊂⊂ Rn e n < p ≤ +∞. Allora:

(a) W1,p0 (Ω) →→ Lq(Ω) per ogni q ∈ [1,∞].

(b) W1,p(Ω) →→ Lq(Ω) per ogni q ∈ [1,∞] se ∂Ω ∈ C1.

Dimostrazione. Di nuovo, dimostriamo solo l’affermazione (a) per n < p < ∞. Abbiamoun’immersione continua

C0(Ω) → Lq(Ω) per ogni q ∈ [1,∞]

perche abbiamo la limitatezza del dominio Ω e la limitatezza delle funzioni in C0(Ω).Per ogni successione u j j∈N ⊂W1,p

0 (Ω) limitata in norma esiste una successione u∗jk taleche

u∗jk → u∗ in C0(Ω).

Quindi u∗jk → u∗ in norma Lq(Ω).

3.9.2 Compattezza e l’immersione di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev

Nel caso 1 ≤ p < n, possiamo combinare la continuita dell’immersione di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev con un criterio di compattezza in Lq, sfruttando anche la compattezzadell’immersione del Lemma 3.9.2 per mostrare il seguente risultato.

Teorema 3.9.2 (Teorema di compattezza di Rellich-Kondrachov).Siano Ω ⊂⊂ Rn e 1 ≤ p < n. Allora:

(a) W1,p0 (Ω) →→ Lq(Ω) per ogni 1 ≤ q < p∗.

(b) W1,p(Ω) →→ Lq(Ω) per ogni 1 ≤ q < p∗ se ∂Ω ∈ C1.

Dimostrazione. Mostriamo solamente la (a) (v. Theorem 5.7.1 of Evans [5] per il caso b)).Passo 1: Sappiamo gia che l’immersione W1,p

0 (Ω) → Lq(Ω) e continua per 1 ≤ q ≤ p∗.Dunque ci basta dimostrare che l’immersione e compatta, cioe ogni A limitato in W1,p

0 (Ω)deve essere precompatto in Lq(Ω).

Passo 2: Abbiamo il seguente criterio di compattezza in Lq(Ω) tramite mollificazione.

Lemma 3.9.3. Siano Ω ⊂⊂ Rn e A ⊂ Lq(Ω) tale che


(i) A e limitato, cioe esiste una costante M t.c. ||u||Lq(Ω) ≤M per ogni u ∈ A.

(ii) uε → u in Lq(Ω) uniformemente per ogni u ∈ A.

Allora A e relativamente compatto in Lq(Ω).

N.B. Per avere la mollificata uε = ηε ∗ u definita su tutto Ω, consideriamo u definita sututto Rn prendendo u ≡ 0 su Rn

\ Ω. Questo e lecito per W1,p0 (Ω). Nel caso (b), serve

invece l’operatore di prolungamento di Teorema 3.6.2.

Dimostrazione. Mostriamo che A e totalmente limitato, ovvero per ogni δ > 0 esiste una

δ-rete A1, . . . AN(δ) in Lq(Ω) tale che A ⊂N⋃

k=1

Ak e diamLq(Ak) < δ per ogni k.

• Fissiamo δ > 0 arbitrario. Per l’ipotesi (ii) ∃ ε0 = ε0(δ) t.c.

(3.9.2) ||uε0 − u||Lq(Ω) <δ4, ∀u ∈ A,

dove uε0 e definito su tutto Ω usando il prolugamento u ≡ 0 suRn\Ω. Ricordiamo

che u ∈W1,p0 (Ω).

• Poniamo A0 := uε0 : u ∈ A dove la disuguaglianza (3.9.2) ci dice che A e contenutoin un δ/4 intorno di A0. Ci basta trovare una δ/2-rete per A0, cioe Aε0

1 , . . . Aε0N(δ) in

Lq(Ω) t.c. A0 ⊂ ∪Nk=1Aε0

k e diamLq(Aε0k ) < δ/2 per ogni k. Dove si puo costruire una

collezione corrispondente Ak usando bolle opportune centrati in punti uk ∈ Aεk

(esercizio).

• Affermazione: A0 e limitato in norma C0,1(Ω). Infatti:

uε0(x) =

∫Ω

ηε0(x − y)u(y)dy

euε0(x) − uε0(z) =

∫Ω

[ηε0(x − y) − ηε0(z − y)

]u(y)dy.

Dunque grazie alla disuguaglianza di Holder si ha

|uε0(x)| ≤ supRn|ηε0 |

∫Ω

|u(y)| dy ≤ C1(ε0, η,n) |Ω|q−1

q ||u||Lq(Ω).

Inoltre per ogni x, z ∈ Ω con x , z si ha

|uε0(x) − uε0(z)||x − z|

≤ [ηε0]C0,1(Ω)

∫Ω

|u(y)| dy ≤ C2(ε0, η,n) |Ω|q−1

q ||u||Lq(Ω)

e dunque

||uε0 ||C0,1(Ω) ≤ C(ε0, η) |Ω|q−1

q M ∀ u ∈ A(uε0 ∈ A0).


• Per il Lemma 3.9.2 A0 e relativamente compatto in C0(Ω). Quindi per ogni τ > 0esiste una τ-rete per A0 in C0(Ω); ovvero un ricoprimento Aε0

1 , . . . Aε0N(τ) di A0 con

diamC0(Ω) Aε0k < τ. Per la disuguaglianza di Holder si ha

diamLq(Ω) Aε0k ≤ |Ω|

1/qdiamC0(Ω) ≤ |Ω|1/qτ =

δ2,

scegliendo

τ =δ2|Ω|−

1q .

Ora dobbiamo verificare che preso un A ⊂ W1,p0 limitato esso soddisfa le ipotesi del

Lemma 3.9.3.Passo 3: A e limitato in Lq(Ω) per ogni 1 ≤ q < p∗ per la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. Quindi ci rimane solo da mostrare che uε → u in Lq(Ω) uniforme-mente per ogni u ∈ A. Riusciamo a fare cio direttamente per q = 1. Invece per 1 < q < p∗

sfruttiamo interpolazione negli spazi di Lebesgue.

Passo 4: (Il caso q = 1) Si ha uε → u in L1(Ω) uniformemente per ogni u ∈ A usando laseguente stima.

Lemma 3.9.4. Sia Ω ⊂⊂ Rn. Per ogni u ∈W1,p0 (Ω) si ha

(3.9.3) ||uε − u||L1(Ω) ≤ ε|Ω|1−1/p||Du||Lp(Ω).

Quindi se A e limitato in W1,p0 (Ω) la convergenza uε → u in L1(Ω) e uniforme rispetto

ad u ∈ A. Quindi abbiamo la compattezza dell’immersione di W1,p0 (Ω) in Lq(Ω) nel caso

q = 1.

Dimostrazione. (del Lemma 3.9.4) Per la densita di C∞0 (Ω) in W1,p0 (Ω) basta mostrare la

stima (3.9.3) per u ∈ C∞0 (Ω). Si ha (ricordando il fatto che∫Rn η(z) dz = 1):

uε(x) − u(x) =

∫Bε(x)

ε−nη(x − yε

) [u(y) − u(x)

]dy

=

∫B1(0)

η(z) [u(x − εz) − u(x)] dz

=

∫B1(0)

η(z)[∫ 1

0

ddt

(u(x − tεz)) dt]

dz

= −ε

∫B1(0)

η(z)[∫ 1

0Du(x − tεz) · z dt

]dz.

Poi usando |z| ≤ 1 e integrando su Ω risulta∫Ω|uε(x) − u(x)| dx ≤ ε

∫B1(0)

η(z)(∫ 1

0

(∫Ω

|Du(x − tεz)| dx)

dt)

dz.


Ma∫Ω|Du(x − tεz)| dx ≤

∫Ω|Du(x)| dx perche u ha supporto compatto in Ω. Quindi∫

Ω|uε(x) − u(x)| dx ≤ ε

(∫B1(0)

η(z) dz) (∫

Ω

|Du(x)| dx)

= ε

∫Ω

|Du(x)| dx.

Applicando la disuguaglianza di Holder otteniamo la stima (3.9.3).

Passo 5: (Il caso 1 < q < p∗) Se A e limitato in W1,p0 (Ω) allora uε → u in Lq(Ω) uni-

formemente per ogni u ∈ A . Infatti per q ∈ (1, p∗) abbiamo la disuguaglianza diinterpolazione

||uε − u||Lq(Ω) ≤ ||uε − u||ϑL1(Ω) ||uε − u||1−ϑLp∗ (Ω)

dove il parametro ϑ ∈ (0, 1) e definito da

1q

=ϑ1

+1 − ϑ

p∗.

Poi usando la disuguaglianza di Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, la limitatezza di A inW1,p

0 (Ω) e la stima del Passo 4 otteniamo

||uε − u||Lq(Ω) ≤ C(n, p) ||uε − u||ϑL1(Ω) ||Duε −Du||1−ϑLp(Ω)

≤ C(n, p, q) ||uε − u||ϑL1(Ω) ∀ u ∈ A

≤ C(n, p, q)εϑ ||Du||ϑLp(Ω) ∀ u ∈ A

≤ C′(n, p, q)εϑ → 0,

uniformemente per u ∈ A. Per il criterio della compattezza (Lemma 3.9.3) abbiamo lacompattezza dell’immersione nel caso 1 < q < p∗.

Corollario 3.9.2. Sia Ω ⊂⊂ Rn. Allora:

(a) W1,n0 (Ω) →→ Lq(Ω) per ogni 1 ≤ q < +∞

(b) W1,n(Ω) →→ Lq(Ω) per ogni 1 ≤ q < +∞ se ∂Ω ∈ C1.

Dimostrazione. Mostriamo solo la (a). Per ogni p ∈ [1,n) abbiamo la catena di immersioni

W1,n0 (Ω) →W1,p

0 (Ω) →→ Lq(Ω) per ogni q ∈[1, p∗ =

npn − p

),

e quindi

W1,n0 (Ω) →→ Lq(Ω) per ogni q ∈

[1, p∗ =

npn − p

),

dove p∗ ∈ [n/(n − 1),∞) per p ∈ [1,n).


Corollario 3.9.3. Sia Ω ⊂⊂ Rn e 1 ≤ p < ∞. Allora:

(a) W1,p0 (Ω) →→ Lp(Ω).

(b) W1,p(Ω) →→ Lp(Ω) se ∂Ω ∈ C1.

Dimostrazione. Sappiamo di avere delle immersioni compatte in Lq(Ω) dove q = q(p,n):

p > n : per ogni q ∈ [1,∞]

p = n : per ogni q ∈ [1,∞)

1 ≤ p < n : per ogni q ∈ [1, p∗).

In ogni caso q = p e un valore ammissibile. Ricordiamo che p∗ > p nell’ultimo caso.

Concludiamo con questo corollario che e molto utile (v. ad esempio Teorema 4.2.4)

Corollario 3.9.4. Sia u j ⊂ W1,p0 (Ω) limitata in norma con 1 < p < n. Allora esistono una

sottosuccessione u jk ed una u ∈W1,p0 (Ω) tali che u jk u in W1,p

0 (Ω) (convergenza debole)u jk → u in Lq(Ω), per ogni q ∈ [1, p∗) (convergenza forte).

Inoltre, se ∂Ω ∈ C1, il risultato vale anche per W1,p(Ω).

Dimostrazione. L’esistenza di u jk ed una u ∈ W1,p0 (Ω) per cui vale la prima proprieta

segue dalla riflessivita di W1,p0 (Ω) con 1 < p < n < ∞. Usando la compatezza di Teorema

3.9.2, a patto a scegliere una sottosuccesione di u jk, per ogni q esiste anche vq ∈ Lq(Ω)tale che u jk → vq in Lq(Ω) e quindi u jk vq in Lq(Ω). Per il teorema di rappresentazionedi Riesz, ogni elemento del duale di Lq(Ω) e della forma l f (u) =

∫Ω

f u dx con qualchef ∈ Lp′(Ω). Per le disuguaglianze di Holder e Gagliardo-Nirenberg-Sobolev, ogni l f

definisce un elemento del duale di W1,p0 (Ω) e quindi l f (u jk) → l f (u). Segue che vp = u in

Lq(Ω) per ogni p dall’unicita di limiti deboli. Per il caso W1,p(Ω), si sfrutta Osservazione3.8.9.

Nel risultato sopra, il caso q = p e anche interessante, dove si puo chiedere sotto qualchecondizioni uno riesce a “promuovere” la convergenza ad una forte in W1,p

0 (Ω),W1,p(Ω).

Capitolo 4

Equazioni ellittiche del secondoordine

4.1 Introduzione

Obiettivo: Trattare il problema di Dirichlet

(4.1.1)

Lu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

dove Ω ⊂⊂ Rn e u : Ω → R e la funzione incognita, f e assegnata e L e un operatoredifferenziale del secondo ordine lineare scritto in uno dei seguenti modi.

Definizione 4.1.1. Diciamo che l’operatore L e:

(a) in forma di non divergenza se

(4.1.2) Lu = −

n∑i, j=1

ai jDi ju +

n∑i=1

biDiu + cu

(b) in forma di divergenza se

Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) +

n∑i=1

biDiu + cu(4.1.3)

= −div(A(x)Du) + b(x) ·Du + c(x)u,

dove A =[ai j

]n×n

e b = (b1, . . . , bn).

Le funzioni ai j(x),bi(x) e c(x) sono dette coefficienti dell’operatore L.

115

4.1 Introduzione 116

Osservazione 4.1.1. a) Se i coefficienti ai j ∈ C1(Ω), allora la forma di divergenza e laforma di non divergenza sono scritture equivalenti. Infatti

D j(ai jDi) = ai jDi j +∂ai j

∂x jDi, ∀i, j = 1, . . . ,n.

Quindi per trasformare la forma (4.1.3) nella (4.1.2) basta togliere dal coefficientebi l’espressione

∑nj=1 D jai j, ovvero con bi = bi −

∑nj=1 D jai j abbiamo

Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) +

n∑i=1

biDiu + cu

= −

n∑i, j=1

ai jDi ju +

n∑i=1

biDiu + cu.

Per trasformare la forma (4.1.2) nella (4.1.3) basta aggiungere al coefficiente bi

l’espressione∑n

j=1 D jai j.

b) La scrittura in forma di divergenza e naturale per i metodi di energia, basati fon-damentalmente sull’integrazione per parti, mentre la scrittura in forma di nondivergenza e piu adatta per i principi di massimo/minimo.

Osservazione 4.1.2 (Ipotesi di simmetria). In tutto il capitolo facciamo l’ipotesi che siasoddisfatta la condizione di simmetria:

ai j(x) = a ji(x) ∀i, j = 1, ...,n, ∀x ∈ Ω

Questa condizione non e sicuramente restrittiva se per esempio consideriamo u ∈ C2(Ω)o semplicemente differenziabile al second’ordine in senso debole in Ω. Grazie allacondizione di simmetria, possiamo dire che la matrice dei coefficienti

A(x) =[ai j(x)

]i j∈ Symn(R) ⊂Mn×n(R), ∀x ∈ Ω.

Quindi A(x) ha autovalori reali λ1(x) ≤ λ2(x) ≤ . . . ≤ λn(x).

Come abbiamo visto in §2.5, l’ipotesi di simmetria viene usata per definire il tipoqualitativo dell’operatore L. La prossima definizione e parzialmente un richiamo.

Definizione 4.1.2. L’operatore differenziale del secondo ordine L (in forma di divergenzao non) si dice:

(a) ellittico in x0 ∈ Ω se la matrice A(x0) e definita positiva, ovvero se λi(x0) > 0 perogni i = 1, ...,n. Questa condizione e equivalente all’affermazione

(4.1.4)∑

i, j

ai j(x0)ξiξ j > 0 ∀ξ , 0,

oppure semplicemente λ1(x0) > 0;

4.2 Esistenza di soluzioni deboli 117

(b) ellittico in Ω se e ellittico in x0 per ogni x0 ∈ Ω;

(c) uniformemente ellittico in Ω se esiste una costante ϑ > 0 tale che∑i, j

ai j(x)ξiξ j ≥ ϑ|ξ|2∀x ∈ Ω, ∀ξ ∈ Rn.

Questa condizione e equivalente a λ1(x) ≥ ϑ > 0 per ogni x ∈ Ω.

Esempio 4.1.1. L = −∆ ha entrambe le forme (4.1.2) e (4.1.3) ed e uniformente ellittico suogno aperto Ω ⊆ Rn. Infatti A(x) = I per ogni x e abbiamo ϑ = 1.

Osservazione 4.1.3. L’ellitticita di L dipende solo da A(x). Inoltre, e detto anche ellitticoun operatore per cui il suo negativo soddisfa la condizione di ellitticita. La scelta delsegno nelle definizioni sara chiarita in seguito, ma per adesso ci limiteremo a notareche con la scelta fatta qui, i segni nella formulazione delle soluzioni deboli saranno piugradevoli.

Osservazione 4.1.4. Anche se tratteremo il caso generale, cercando di precisare le ipotesiminimali sui coefficienti ai j, bi, c, si possono considerare casi particolari per semplificarei conti. Ad esempio, A = I oppure b, c = 0.

4.2 Esistenza di soluzioni deboli

Consideriamo il problema di Dirichlet gia enunciato in (4.1.1), ovvero

(PD)

Lu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

con Ω ⊂⊂ Rn ed L in forma di divergenza (4.1.3), ovvero

(DF) Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) +

n∑i=1

biDiu + cu.

Facciamo le seguenti ipotesi:

(H1) ai j = a ji per i, j = 1, . . .n;

(H2) ai j, bi, c ∈ L∞(Ω) per ogni i, j = 1, . . . ,n;

(H3) f ∈ L2(Ω).

Inoltre, L gode di una qualche proprieta di ellitticita che determineremo di volta in volta.Cerchiamo una soluzione u ∈ H1

0(Ω) = W1,20 (Ω) in forma debole secondo la seguente

definizione.


Definizione 4.2.1. Una funzione u ∈ H10(Ω) e detta soluzione debole di (PD) se

(4.2.1) B[u, v] =

∫Ω

f v dx =(

f , v)L2(Ω) ∀v ∈ H1

0(Ω)

dove

(4.2.2) B[u, v] =

∫Ω

n∑i, j=1

ai jDiuD jv +

n∑i=1

biDiuv + cuv

dx

e la forma bilineare associata ad L.

Esempio 4.2.1. Nel caso L = −∆ con b = 0, c = 0 abbiamo∫Ω

Du ·Dv dx = 0, ∀v ∈ H10(Ω),

come nel Capitolo 3.

Anche nel caso generale, se u ∈ C2(Ω) soddisfa Lu = f in Ω e u = 0 su ∂Ω, si ottienela relazione (4.2.1) integrando per parti; cioe soluzioni classiche sono soluzioni deboli.Inoltre, per verificare la condizione (4.2.1) basta andare a testare contro ogni v ∈ C∞0 (Ω).Questo fatto e dovuto alla continuita della forma bilineare, che sara stabilita fra breve, ela densita di C∞0 (Ω) in H1

0(Ω).

4.2.1 Esistenza tramite il lemma di Lax-Milgram

L’idea di base per mostrare l’esistenza di soluzioni deboli, usando la definizione cheabbiamo appena dato, e quella di utilizzare il lemma di Lax-Milgram. Dunque ci serveche la forma bilineare B sia continua e coerciva e che il funzionale lineare associato almembro destro di (4.2.1) sia continuo. La continuita della forma lineare e della formabilineare sono richieste sempre soddisfatte.

Lemma 4.2.1. Per ogni f ∈ L2(Ω), il funzionale lineare l f : H10(Ω)→ R definito da

l f (v) := ( f , v)L2(Ω) =

∫Ω

f v dx

e continuo, cioe l f ∈[H1

0(Ω)]′

:= H−1(Ω).

Dimostrazione. Sicuramente, poiche H10(Ω) → L2(Ω), allora l f e ben definito. Inoltre e

ovviamente lineare. Infine mostriamo che e limitato.

|l f (v)| ≤∫

Ω

| f | |v|dx ≤ || f ||L2(Ω)||v||L2(Ω)

≤ CP|| f ||L2(Ω)||v||H10(Ω),

dove si e usata la disuguaglianza di Poincare nell’ultima riga.


Lemma 4.2.2. La forma bilineare B : H10(Ω) × H1

0(Ω) → R definita in (4.2.2) e continua, cioeesiste una costante C = C(Ω, ||ai j||L∞ , ||bi||L∞ , ||c||L∞) tale che

(4.2.3) |B[u, v]| ≤ C||u||H10(Ω)||v||H1

0(Ω) ∀u, v ∈ H10(Ω).

Osserviamo che dalla stima di limitatezza (4.2.3) segue anche

|B[u, v]| ≤C2

(||u||2

H10(Ω)

+ ||v||2H1

0(Ω)

)∀u, v ∈ H1

0(Ω),

che e l’affermazione di continuita.

Dimostrazione. Prendiamo u, v ∈ C∞0 (Ω) e poi potremo estenderci grazie alla densita diC∞0 (Ω) in H1

0(Ω):

|B[u, v]| ≤∫

Ω

n∑i, j=1

|ai j| |Diu| |D jv| +n∑

i=1

|bi| |Diu| |v| + |c| |u| |v|

dx

≤

n∑i, j=1

||ai j||L∞(Ω)||Du||L2(Ω)||Dv||L2(Ω) +

n∑i=1

||bi||L∞(Ω)||Du||L2(Ω)||v||L2(Ω)

+||c||L∞(Ω)||u||L2(Ω)||v||L2(Ω)

≤ C(||Du||L2(Ω)||Dv||L2(Ω) + ||Du||L2(Ω)||v||L2(Ω) + ||u||L2(Ω)||v||L2(Ω)

≤ C(1 + CP + C2P)||u||H1

0||v||H1

0(Ω).

Ora ricordiamo il Lemma di Lax-Milgram dal corso di Analisi Reale.

Lemma 4.2.3 (di Lax-Milgram). Sia (H, || · ||) uno spazio di Hilbert. Sia B : H ×H → R unaforma bilineare tale che

(i) esiste α > 0 tale che |B[u, v]| ≤ α||u|| ||v|| per ogni u, v ∈ H (continuita di B);

(ii) esiste β > 0 tale che B[u,u] ≥ β||u||2 per ogni u ∈ H (coercivita di B).

Allora per ogni f ∈ H′ esiste un unico elemento u ∈ H tale che

B[u, v] = 〈 f , v〉 ∀v ∈ H.

Quindi nella definizione di soluzione debole, cerchiamo u ∈ H10(Ω) tale che

B[u, v] = l f (v) ∀v ∈ H10(Ω),

dove B e bilineare e continua e l f e lineare e continuo per il Lemma 4.2.1 ed il Lemma4.2.2. Allora rimane solo la coercivita di B. Per questo ci servira la seguente stima a priorisu B.


Lemma 4.2.4 (disuguaglianza di Gårding).Sia L un operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico in forma di divergenzacon coefficienti L∞(Ω). Allora esistono due costanti β > 0 e γ ≥ 0 tali che

(G) β||u||2H1

0(Ω)≤ B[u,u] + γ||u||2L2(Ω) ∀u ∈ H1

0(Ω)

o equivalentementeB[u,u] ≥ β||u||2

H10(Ω)− γ||u||2L2(Ω) ∀u ∈ H1

0(Ω)

Dimostrazione. Grazie all’uniforme ellitticita si ha

ϑ

∫Ω

|Du|2dx ≤∫

Ω

n∑i, j=1

ai jDiuD ju dx

= B[u,u] −n∑

i=1

∫Ω

biDiuu dx −∫

Ω

cu2 dx

≤ B[u,u] +

n∑i=1

||bi||L∞(Ω)

∫Ω

|Du| |u| dx + ||c||L∞(Ω)

∫Ω

|u|2 dx (|Diu| ≤ |Du|)

≤ B[u,u] +

n∑i=1

||bi||L∞(Ω)

[ε

∫Ω

|Du|2dx +14ε

∫Ω

|u|2dx]

+ ||c||L∞(Ω)

∫Ω

|u|2 dx,

dove abbiamo usato la disuguaglianza di Young con ε 1. Ora possiamo scegliere ε taleche

εn∑

i=1

||bi||L∞(Ω) <ϑ2.

Infatti definendo

M := max

n∑i=1

||bi||L∞(Ω), ||c||L∞(Ω)

possiamo prendere

ε :=ϑ

4M.

Cosı otteniamoϑ2

∫Ω

|Du|2 dx ≤ B[u,u] +

(M2

ϑ+ M

)||u||2L2(Ω),

ovvero la disuguaglianza (G) con

β =ϑ2

e γ = M(Mϑ

+ 1)

1Cioe ab ≤ εa2 + b2

4ε per ogni a, b, ε > 0. E anche detta disuguaglianza di Cauchy con ε, dato che stiamousando p = q = 2.


Osservazione 4.2.1 (Caso particolare). Se b1, . . . , bn = 0 e c ≥ 0, allora

ϑ

∫Ω

|Du|2 dx ≤ B[u,u] −∫

Ω

cu2 dx ≤ B[u,u].

Quindi abbiamo (G) con β = ϑ e γ = 0. In particolare, B risulta coercivo.

In generale, L soddisfa la disuguaglianza di Gårding con γ > 0. In tal caso L non risultacoercivo, ma una perturbazione semplice di L lo e.

Teorema 4.2.1 (Primo teorema di esistenza e unicita di soluzioni deboli). Siano Ω ⊂⊂ Rn eL un operatore differenziale del secondo ordine, uniformemente ellittico ed in forma di divergenzacon coefficienti L∞(Ω). Esiste una costante γ ≥ 0 tale che per ogni µ ≥ γ e per ogni f ∈ L2(Ω)esista un’unica soluzione debole u ∈ H1

0(Ω) del problema di Dirichlet

(4.2.4)

Lu + µu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

Inoltre, per ogni µ ≥ γ la mappa di soluzione Sµ : L2(Ω) → H10(Ω) definita da u = Sµ( f ) e

lineare e continua. 2

Dimostrazione. Prendiamo γ e β come nella disuguaglianza di Gårding (G) e sia µ ≥ γ.Definiamo

Bµ[u, v] = B[u, v] + µ(u, v)L2 ∀u, v ∈ H10(Ω).

La forma Bµ e la forma bilineare associata all’operatore Lµ = L + µI.

• Mostriamo che Bµ e continua.

|Bµ[u, v]| ≤ C||u||H10(Ω)||v||H1

0(Ω) + µ||u||L2(Ω)||v||L2(Ω)

≤ αµ||u||H10(Ω)||v||H1

0(Ω)

• Mostriamo che Bµ e coerciva.

Bµ[u,u] ≥ β||u||2H1

0(Ω)− γ||u||2L2(Ω) + µ||u||2L2(Ω)

≥ β||u||2H1

0(Ω)

poiche µ ≥ γ.

Dunque la forma Bµ soddisfa le ipotesi del teorema di Lax-Milgram e dunque esiste unasola u ∈ H1

0(Ω) tale cheBµ[u, v] = ( f , v)L2 ∀v ∈ H1

0(Ω)

2La continuita di Sµ non e stata nominata esplicitamente nell’Anno Accademico 2010-2011.


e quindi esiste una sola soluzione debole.Usando la definizione di soluzione debole si vede facilmente che la mappa di soluzioneSµ e lineare e per ogni f ∈ L2(Ω) la soluzione u = Sµ( f ) soddisfa

β||u||2H1

0(Ω)≤ Bµ[u,u] ≤ || f ||L2(Ω) ||u||L2(Ω) ≤ CP|| f ||L2(Ω) ||u||H1

0(Ω),

e quindi

||u||H10(Ω) ≤

CP

β|| f ||L2(Ω).

Corollario 4.2.1. Nel caso particolare dell’Osservazione 4.2.1, esiste un’unica soluzione u =

uµ ∈ H10(Ω) del problema (4.2.4) per ogni µ ≥ 0.

Osservazione 4.2.2. Nell’enunciato del Teorema 4.2.1, l’ipotesi f ∈ L2(Ω) viene usatasolo per mostrare che il funzionale lineare associato l f e continuo su H1

0(Ω). Allora e

evidente la seguente generalizzazione: per ogni f ∈ H−1(Ω) =[H1

0(Ω)]′

esiste un unicau ∈ H1

0(Ω) soluzione di (4.2.4) nel senso che

Bµ[u, v] = 〈 f , v〉 , ∀v ∈ H10(Ω)

dove 〈 f , v〉 e il valore di f applicato a v. Una caratterizzazione concreta del duale H−1(Ω) diH1

0(Ω) e il seguente: f ∈ H−1(Ω) se e solo se esistono f0, f1, . . . fn ∈ L2(Ω) tali che

〈 f , v〉 =

∫Ω

f0v +

n∑i=1

fiDiv

dx ∀ v ∈ H10(Ω).

Quindi “ f = f0 −∑n

i=1 Di f ”. Si puo consultare Theorem 5.9.1 di Evans [5]) per questorisultato e anche Sezione 10.4 di Leoni [11] per il risultato analago per W1,p(Ω) con1 ≤ p < ∞.

Corollario 4.2.2 (Isomorfismo tra H10 e il suo duale H−1). Siano γ e µ come nel Teorema

4.2.1. Allora l’operatoreLµ := L + µI : H1

0(Ω)→ H−1(Ω)

e un isomorfismo per ogni µ ≥ γ. In particolare, −∆ : H10(Ω)→ H−1(Ω) e un isomorfismo.

Dimostrazione. Per il Teorema 4.2.1 e l’Osservazione 4.2.2 abbiamo che Lµ e biettiva perogni µ ≥ γ. Serve solo la continuita di Lµ e L−1

µ . E facile la stima di continuita peru ∈ C∞0 (Ω) e poi la continuita di Lµ segue per la densita di C∞0 (Ω) in H1

0(Ω). Tramite ilteorema della mappa aperta, L−1

µ risulta continuo.


4.2.2 Esistenza tramite la teoria di Fredholm

Abbiamo visto che nel caso in cui la disuguaglianza di Gårding per L e soddisfatta conγ ≥ 0, abbiamo esistenza ed unicita della soluzione debole per il problema di DirichletLu + µu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

per ogni µ ≥ γ.

Domanda: Cosa succede nel caso in cui µ < γ?

Risposta: Puo mancare l’esistenza e puo mancare l’unicita.

Esempio 4.2.2. Sia Ω = (0, π) × (0, π). Sappiamo che l’operatore −∆ soddisfa (G) conγ = 0 e quindi consideriamo l’operatore L = −4 + µI con µ < 0.

• Per µk = −2k2 con k ∈N si puo verificare che le funzioni

uk = sin(kx) sin(ky) ∈ H10(Ω)

sono soluzioni non banali del problema−4uk + µkuk = 0 in Ω

u = 0 su ∂Ω,

ovvero le uk sono autofunzioni associate all’autovalore µk. Quindi per µ < 0 sipuo perdere l’unicita di soluzioni deboli. Ad ogni soluzione particolare u f delproblema con termine noto f , u f + uk sara un’altra soluzione.

• Per µ1 = −2, esistono f ∈ L2(Ω) tali che non esiste u ∈ H10(Ω) soluzione debole di

−∆u − 2u = f . Ad esempio, possiamo prendere f = u1 un’autofunzione. Vedremodopo il perche.

Osservazione 4.2.3. Una risposta completa viene fornita tramite la proprieta di Fredholme l’operatore aggiunto ad L trattati nel corso di Analisi Funzionale.

Per farci un’idea di cosa ci servira, consideriamo un problema analogo in dimensionefinita, ovvero un risultato di algebra lineare.

Esempio 4.2.3. Sia T : Rn→ Rn una mappa lineare e quindi limitata sullo spazio euclideo

finito dimensionale. Per y ∈ Rn fisso, consideriamo l’equazione nell’incognita x:

(4.2.5) Tx = y.

Ci sono due possibilita:


I. T e iniettiva e quindi biettiva. Quindi per ogni y ∈ Rn esiste ed e unica la soluzione x.

II. T non e iniettiva e quindi non suriettiva. In questo caso ci sono solo due possibilitaper le soluzioni di (4.2.5):

• y ∈ R(T). Quindi esiste x con Tx = y ma non sara unica. Basta aggiungere adx un qualsiasi x0 , 0 tale che Tx0 = 0.

• y ∈ R(T)⊥, ovvero 〈y,Tx〉 = 0 per ogni x ∈ Rn. Quindi abbiamo

0 = 〈y,Tx〉 = 〈Tty, x〉 , ∀ x ∈ Rn

e quindi Tty = 0, ovvero y ∈ ker(Tt).

In conclusione, esiste una soluzione solo se y ∈ ker(Tt)⊥.

Osservazione 4.2.4. In uno spazio di Hilbert H infinito dimensionale, questa alternativaI o II risulta vera per operatori T : H→ H della forma T = I − K con K : H→ H compatto,cioe lineare, limitato che manda insiemi limitati in insiemi precompatti.

Prima di enunciare il risultato principale, abbiamo bisogno di introdurre gli oggettiaggiunti che prenderanno il posto di Tt nell’esempio finito dimensionale.

Definizione 4.2.2. Sia L un operatore differenziale definito da

Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) +

n∑i=1

biDiu + cu

con coefficienti abbastanza regolari e ai j = a ji. L’aggiunto formale di L in Ω e l’operatoredifferenziale L∗ definito implicitamente da

(L∗v,u)L2(Ω) = (v,Lu)L2(Ω) , ∀ u, v ∈ C∞0 (Ω).

Osservazione 4.2.5 (Proprieta di L∗).

a) Se, ad esempio, bi ∈ C1(Ω) per ogni i = 1, . . . ,n, 3, allora

(4.2.6) L∗v = −

n∑i, j=1

Di(ai jD jv) −n∑

i=1

biDiv +

c −n∑

i=1

Dibi

v.

Infatti basta integrare per parti.

3In realta basterebbe che esistono le derivate deboli Dibi in L∞(Ω) per ogni i.


b) La forma bilineare B∗ associata ad L∗ soddisfa

B∗[v,u] = B[u, v] , ∀ u, v ∈ C∞0 (Ω).

Infatti si ha B∗[v,u] := (L∗v,u)L2(Ω) = (v,Lu)L2(Ω) = B[u, v].

c) E evidente che B∗ : C∞0 (Ω) × C∞0 (Ω)→ R soddisfa la stima

|B∗[v,u]| ≤ C||v||H10(Ω) ||u||H1

0(Ω).

Per la densita di C∞0 (Ω) in H10(Ω), esiste un prolugamento continuo

B∗ : H10(Ω) ×H1

0(Ω)→ R.

Definizione 4.2.3. Diciamo che v ∈ H10(Ω) e una soluzione debole del problema aggiunto

(PD)∗L∗v = f in Ω

v = 0 su ∂Ω

seB∗[v,u] = ( f ,u)L2(Ω) ∀u ∈ H1

0(Ω)

Teorema 4.2.2 (Alternativa di Fredholm per L). Siano Ω ⊂⊂ Rn e L un operatore differenzialedel secondo ordine, uniformemente ellittico ed in forma di divergenza con coefficienti L∞(Ω). Valeuna e una sola delle affermazioni seguenti:

I. Per ogni f ∈ L2(Ω) esiste un’unica soluzione debole u del problema di Dirichlet

(PD)

Lu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

II. Esiste u , 0 in H10(Ω) soluzione debole del problema di Dirichlet omogeneo

(PD)0

Lu = 0 in Ω

u = 0 su ∂Ω

Inoltre in questo secondo caso:

(a) la dimensione dello spazio N delle soluzioni deboli del problema omogeneo (PD)0 efinita e uguale alla dimensione dello spazio N∗ delle soluzioni deboli del problemaomogeneo aggiunto (PD)∗0, ovvero (PD)∗ con f = 0;

(b) il problema di Dirichlet non omogeneo ammette soluzione debole u se e solo se( f , v)L2(Ω) = 0 per ogni v ∈ N∗.


Dimostrazione.Passo 1: (Riscrivere il problema (PD) tramite l’inversa dell’operatore Lγ = L + γI)

1. Prendiamo γ = µ come nel Teorema 4.2.1 e abbiamo

∀ g ∈ L2(Ω) ∃! w ∈ H10(Ω) tale che Lw + γw = g,

nel senso che w e l’unico elemento di H10(Ω) tale che

(4.2.7) Bγ[w, v] := B[w, v] + γ(w, v)L2(Ω) = (g, v)L2(Ω), ∀ v ∈ H10(Ω).

2. Definiamo L−1γ g := w dove w soddisfa (4.2.7). Cosı abbiamo definito un operatore

di soluzioneL−1γ (Ω) : L2(Ω)→ H1

0(Ω) →→ L2(Ω),

usando anche l’immersione compatta di Rellich-Kondachov.

3. Ora osserviamo che u e una soluzione debole del problema di Dirichlet (PD) se esolo se per ogni v ∈ H1

0(Ω)

B[u, v] = ( f , v)L2(Ω) ⇔ Bγ[u, v] := B[u, v] + γ(u, v)L2(Ω) = ( f + γu, v)L2(Ω)

⇔ u = L−1γ (γu + f )

⇔ u = γL−1γ u + L−1

γ f .

PoniamoK = γL−1

γ h = L−1γ f

Dunque abbiamo che u ∈ H10 e una soluzione debole se e solo se

(4.2.8) u − Ku = h⇔ (I − K)u = h.

Passo 2: (Compattezza dell’operatore K = γL−1γ : L2(Ω)→ L2(Ω))

1. E evidente che K e ben definito e lineare.

2. K e limitato. Infatti applicando la disuguaglianza di Gårding a Bγ esiste β > 0 taleche

β||w||2H1

0(Ω)≤ Bγ[w,w]

= (g,w)L2(Ω) ≤ ||g||L2(Ω)||w||L2(Ω)

≤ CP||g||L2(Ω)||w||H10(Ω),

ovvero||w||H1

0(Ω) ≤CP

β||g||L2(Ω).


Ma w = L−1γ g = γ−1γL−1

γ g = γ−1Kg. In definitiva

||Kg||H10(Ω) ≤

CPγ

β||g||L2(Ω),

e dunque K e limitato.

3. Abbiamo K : L2(Ω)→ H10(Ω) →→ L2(Ω) usando il teorema di Rellich-Kondrachov.

Quindi K e compatto.

Passo 3: (Applicare l’alternativa di Fredholm all’operatore T = I − K) Ricordiamol’altenativa di Fredholm in versione astratta (v. l’Appendice D di Evans [5]).

Lemma 4.2.5 (Alternativa di Fredholm). Sia K : H→ H un operatore compatto su uno spaziodi Hilbert. Allora l’operatore T := I − K e un operatore di Fredholm 4. In particolare

(a) N(I − K) ha dimensione finita

(b) R(I − K) e chiuso.

(c) R(I − K) = [N(I − K∗)]⊥.

(d) N(I − K) = 0 ⇔ R(I − K) = H.

(e) dim[N(I − K)] = dim[N(I − K∗)].

La dimostrazione del Teorema segue facilmente dal Lemma 4.2.5.

• Le proprieta (c) - (e) forniscono l’alternativa:

I. N(I − K) = 0. Quindi R(I − K) = H e abbiamo: per ogni h ∈ L2(Ω) esiste ed eunica u ∈ L2(Ω) tale che

u − Ku = h.

Per h = L−1γ f ∈ H1

0(Ω) abbiamo un’unica soluzione debole u ∈ H10(Ω) di Lu = f

usando (4.2.8).

II. N(I − K) , 0. Quindi abbiamo una soluzione u , 0 in L2(Ω) dell’equazioneu − γL−1

γ u = 0. Quindi γ , 0 e 1γu = L−1

γ u, ovvero u ∈ H10(Ω) e

L(

1γ

u)

+ γ

(1γ

u)

= u.

Quindi u , 0 in H10(Ω) e soluzione del problema omogeneo (PD)0; cioe

u ∈ N(I − K) ⇔ u ∈ H10(Ω) e soluzione di (PD)0.

4T e detto operatore di Fredholm se N(T) ha dimensione finita e R(T) e un chiuso di codimensione finita.


• Inoltre nel caso II, usando la proprieta (e) abbiamo dim[N(I − K)] = dim[N(I −K∗)]. In particolare, N(I − K∗) , 0 e quindi esiste una soluzione v , 0 in L2(Ω)dell’equazione v − K∗v = 0. Usando lo stesso argomento del punto precedente, simostra che v ∈ H1

0(Ω) e soluzione debole di (PD)∗0. Quindi abbiamo l’affermazione(a) del caso II.

• Infine nel caso II, abbiamo R(I −K) = [N(I − K∗)]⊥, ovvero per ogni h ∈ L2(Ω) esistesoluzione u ∈ L2(Ω) dell’equazione u − Ku = h se e solo se

(h, v)L2(Ω) = 0 per ogni v tale che v − K∗v = 0.

Combinando questo con il Passo 1, abbiamo che u ∈ H10(Ω) e soluzione debole di

Lu = f se e solo se

(L−1γ f , v)L2(Ω) = 0 per ogni v tale che v − K∗v = 0,

ma

(L−1γ f , v)L2(Ω) =

(1γ

K f , v)

L2(Ω)=

1γ

( f ,K∗v)L2(Ω)

=1γ

( f , v)L2(Ω) se v − K∗v = 0.

Quindi abbiamo l’affermazione (b) nel caso II.

4.2.3 Esistenza e lo spettro reale di L

Completiamo il discorso sull’esistenza delle soluzioni deboli con un terzo risultato for-mulato con un parametro spettrale. Enunciamo subito il risultato per poi passare a qualcheosservazione ed all’idea della dimostrazione.

Teorema 4.2.3 (Esistenza e unicita di soluzioni deboli e lo spettro reale di L). SianoΩ ⊂⊂ Rn e L un operatore differenziale del secondo ordine, uniformemente ellittico ed in formadi divergenza con coefficienti L∞(Ω). Allora

(a) Esiste un insieme Σ ⊂ R al piu numerabile, detto spettro reale di L, tale che il problema diDirichlet Lu = f + λu in Ω

u = 0 su ∂Ω

abbia un’unica soluzione debole per ogni f ∈ L2(Ω) se e soltanto se λ < Σ.

(b) Se Σ e infinito, allora Σ = λk∞

k=1 con λk → +∞.


Osservazione 4.2.6. Confrontando il Teorema 4.2.3 con i Teoremi 4.2.1 e 4.2.2 possiamoaffermare:

(a) Tramite la teoria di Lax-Milgram e la disuguaglianza di Gårding, sappiamo cheabbiamo esistenza ed unicita se λ ≤ −γ; cioe lo spettro reale Σ ⊂ (−γ,+∞).

(b) Tramite la teoria di Fredholm, se λ ∈ Σ, allora il problema di Dirichlet per l’equa-zione Lu − λu = f non ha una soluzione debole unica per ogni f ∈ L2(Ω). Quindi,siamo nel caso II per l’operatore L − λI, ovvero esiste u , 0 in H1

0(Ω) soluzionedebole del problema

(EVP)

Lu = λu in Ω

u = 0 su ∂Ω

ovvero, λ,u e una coppia di autovalore-autofunzione debole di L rispetto allacondizione di Dirichlet omogenea su ∂Ω nel senso che

B[u, v] = λ(u, v)L2(Ω) ∀ v ∈ H10(Ω).

Dimostrazione. 1. Per l’alternativa di Fredholm (Teorema 4.2.2) applicata all’operatoreL − λI, λ ∈ Σ se e solo se esiste una soluzione u , 0 in H1

0(Ω) di (EVP).

2. Una soluzione di (EVP) e u ∈ H10(Ω) soluzione dell’equazione

(L + γI)u = (γ + λ)u

con γ ≥ 0 il parametro di Gårding per L (WLOG γ > 0). Questo vale esattamentequando

u = L−1γ

((γ + λ)u

)=γ + λ

γKu

dove abbiamo postoK = γL−1

γ .

Cioeλ ∈ Σ se e solo se esiste un’autofunzione u , 0 in L2(Ω) associata all’autovaloreγ/(γ + λ) dell’operatore compatto K : L2(Ω)→ L2(Ω)

3.

Lemma 4.2.6. Sia K : H → H un operatore compatto su H uno spazio di Hilbert infinitodimensionale. Allora

(a) 0 ∈ σ(K) := µ : K − µI non ha inversa continua, lo spettro di K.

(b) σ(K) \ 0 e formato di solo autovalori di K.

(c) Ci sono tre possibilita:


(i) σ(K) = 0;

(ii) σ(K) e un insieme finito;

(iii) σ(K) = µk+∞k=1 una successione infinita di autovalori aventi 0 come punto di

accumulazione.

Per la dimostrazione, v. Evans [5] - Teorema 6 dell’appendice D.5.

4. Quindi, se Σ e infinito, siamo nel caso (iii) del Lemma per K che avra autovaloriµk = γ/(γ + λk) con λk → +∞ per k→ +∞.

Osservazione 4.2.7. Torneremo alla questione della teoria spettrale per L nel paragra-fo 4.5 usando delle ipotesi piu forti sulla struttura di L e sfruttando anche l’ulterioreregolarita delle soluzioni che sara presentata nel paragrafo 4.3.

Concludiamo questo paragrafo notando la continuita dell’operatore di soluzioni per ilproblema di Dirichlet.

Teorema 4.2.4 (Dipendenza continua della soluzione debole sul termine noto). SianoΩ ⊂⊂ Rn e L un operatore differenziale del secondo ordine, uniformemente ellittico ed in formadi divergenza con coefficienti L∞(Ω). Se λ < Σ allora esiste una costante C = C(λ,Ω,L) tale che

||u||L2(Ω) ≤ C|| f ||L2(Ω)

dove u = (L − λI)−1 f ∈ H10(Ω) e l’unica soluzione debole del problema di DirichletLu = f + λu in Ω

u = 0 su ∂Ω

con f ∈ L2(Ω); cioe risulta ben definito e continuo l’operatore di soluzione

(L − λI)−1 : L2(Ω)→ L2(Ω).

Dimostrazione. 1. Se no, esisterebbe una successione fkk∈N ⊂ L2(Ω) tale che

||uk||L2(Ω) > k|| fk||L2(Ω),

dove uk = (L − λI)−1 fk ∈ H10(Ω).

2. Normalizzando la successione di soluzioni per avere ||uk||L2(Ω) = 1 per ogni k (bastadividere per ||uk||L2(Ω)), otteniamo

|| fk||L2(Ω) → 0 per k→ +∞.

4.3 Regolarita delle soluzioni deboli 131

3. La successione ukk∈N e limitata in H10(Ω). Infatti, applicando la disuguaglianza di

Gårding all’operatore Lλ = L − λI otteniamo

β||uk||2H1

0(Ω)≤ Bλ[uk,uk] + γ||uk||

2L2(Ω)

= ( fk,uk)L2(Ω) + γ ≤M

per qualche costante M.

4. Usando Corollario 3.9.4, possiamo estrarre una sottosuccessione uk j j∈N tale che uk j u in H10(Ω)

uk j → u in L2(Ω)

Ma allora−λ(uk j , v)L2(Ω) + B[uk j , v] = ( fk j , v)L2(Ω) ∀ v ∈ H1

0(Ω)

e passando al limite per j→ +∞ otteniamo

−λ(u, v)L2(Ω) + B[u, v] = 0 ∀ v ∈ H10(Ω),

ovvero u e una soluzione debole di (EVP). Ma dato che λ < Σ, dovremmo avereu = 0. Questo e assurdo perche ||u||L2(Ω) = 1.

4.3 Regolarita delle soluzioni deboli

Ci poniamo ora il problema della regolarita delle soluzioni deboli. Piu precisamente,data u ∈ H1

0(Ω) soluzione debole di

(PD)

Lu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

con L in forma di divergenza ed uniformemente ellittico e f ∈ L2(Ω), possiamo affer-mare che u ammette derivate deboli di ordine superiore? Possiamo stabilire quando lesoluzioni devono essere addirittura classiche, cioe

1. u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) ?

2. u ∈ C∞(Ω) ?

Osservazione 4.3.1. In generale, se assumiamo inoltre che ai j ∈ C1(Ω), vedremo cheu ∈ H2

loc(Ω) ma che ulteriore regolarita richiede delle ipotesi in piu sulla regolarita di f ,Ωed i coefficienti di L. La strategia e:


1. sfruttare l’ellitticita ;

2. fare una localizzazione tramite delle partizioni dell’unita;

3. studiare dei rapporti incrementali.

Cominciamo con la definizione dei rapporti incrementali.

Definizione 4.3.1. Sia Ω′ ⊂⊂ Ω, h ∈ R tale che 0 < |h| < d(Ω′, ∂Ω) e k ∈ 1, . . . ,n. E’ dettok-esimo rapporto incrementale di passo h la quantita

Dhku(x) =

u(x + hek) − u(x)h

∀x ∈ Ω′

Denotiamo inoltre con Dhu =(Dh

1u,Dh2u, ...,Dh

nu).

Notiamo che sono ben definiti i rapporti incrementali perche gli spazi di Sobolev sonospazi vettoriali ed abbiamo lo spazio necessario in Ω′ scegliendo il passo h abbastan-za piccolo. Il seguente lemma fornisce lo strumento principale per guadagnare dellederivate deboli in piu.

Lemma 4.3.1 (Derivate deboli e rapporti incrementali). Sia Ω ⊂⊂ Rn.

(a) Sia u ∈W1,2(Ω). Allora per ogni Ω′ ⊂⊂ Ω, per ogni h ∈ R tale che 0 < |h| < d(Ω′, ∂Ω) eper ogni k ∈ 1, . . . ,n

||Dhku||L2(Ω′) ≤ ||Dku||L2(Ω).

(b) Siano u ∈ L2(Ω) e k ∈ 1, . . . ,n . Se esiste una costante M > 0 tale che

(4.3.1) ||Dhku||L2(Ω′) ≤M

per ogni h tale che 0 < |h| < d(Ω′, ∂Ω), allora esiste la derivata debole Dku ∈ L2(Ω′) e vale

||Dku||L2(Ω′) ≤M.

Osservazione 4.3.2. Notiamo che il punto essenziale e che la stima (4.3.1) e uniformein h piccolo. Inoltre, il risultato e una caso particolare di un risultato piu generale. Inparticolare:

(i) Vale la parte (a) di Lemma 4.3.1 per p ∈ [1,∞), non solo p = 2. Invece, la parte (b)vale per p ∈ (1,∞) (v. Teorema 5.8.3 di Evans [5]).

(ii) Per “promuovere” u ∈ Wm,p(Ω) a Wm+1,p(Ω′), basta mostrare che i rapporti incre-mentali Dh

kDαu sono limitati in Lp(Ω′) per ogni α con |α| = m, per ogni k = 1, . . . ,nuniformemente per h piccolo.


Dimostrazione. (a) Usiamo la densita di C1(Ω) ∩W1,2(Ω) in W1,2(Ω). Per u ∈ C1(Ω) ∩W1,2(Ω) possimo usare il TFCI per scrivere

u(x + hek) − u(x) = h∫ 1

0Dku(x + thek)dt, x ∈ Ω′, 0 < |h| < d(Ω′, ∂Ω).

Dunque

|u(x + hek) − u(x)| ≤ |h|∫ 1

0|Dku(x + thek)|dt

|Dhku(x)| ≤

(∫ 1

0|Dku(x + thek)|2dt

) 12(∫ 1

0dt

) 12

e quindi

||Dhku||2L2(Ω′) =

∫Ω′|Dh

ku|2 dx

≤

∫Ω′

(∫ 1

0|Dku(x + thek)|2 dt

)dx

=

∫ 1

0

(∫Ω′|Dku(x + thek)|2 dx

)dt

≤

∫ 1

0

(∫Ω

|Dku|2 dx)

dt

=

∫Ω

|Dku|2 dx = ||Dku||2L2(Ω)

Per una u ∈W1,2(Ω) generica, prendiamo una successione u j+∞j=1 ⊂ C1(Ω)∩W1,2(Ω)

tale che u j → u in W1,2(Ω) e passiamo la disuguaglianza al limite.

(b) 1. Sfruttiamo la seguente formula di integrazione per parti per i rapporti incremen-tali: Siano ϕ ∈ C∞0 (Ω′) e h tale che 0 < |h| < d(Ω′, ∂Ω) allora

(4.3.2)∫

Ω

(Dhku)ϕ dx = −

∫Ω

uD−hk ϕ dx, u ∈ L2(Ω)

Infatti, per avere∫supp(ϕ)

u(x + hek) − u(x)h

ϕ(x) dx = −

∫Ω

u(x)ϕ(x − hek) − ϕ(x)

−hdx

ci basterebbe avere∫supp(ϕ)

u(x + hek)ϕ(x)h

dx = −

∫Ω

u(x)ϕ(x − hek)−h

dx =

∫Ω

u(x)ϕ(x − hek)

hdx.

Facendo il cambiamento di variabili y = x + hek, vediamo che ci serve∫y: y−hek∈supp(ϕ)

u(y)ϕ(y − hek)h

dy =

∫x: x−hek∈supp(ϕ)

u(x)ϕ(x − hek)h

dx,

e quindi vale la formula (4.3.2).


2. Usando l’ipotesisup

h: 0<|h|<d(Ω′,∂Ω)||D−h

k u||L2(Ω′) ≤M

possiamo affermare l’esistenza di una successione h j j∈N ⊂ R ed un elementovk ∈ L2(Ω′) tali che (v. Teorema 2.6.6 di [15]):

h j → 0 in R e D−h j

k u vk in L2(Ω′).

Ma allora∫Ω′

uDkϕ dx =

∫Ω

uDkϕ dx supp(ϕ) ⊂⊂ Ω′

= limj→∞

∫Ω

uDh j

k ϕdx

= limj→∞

(−

∫Ω′

(D−h j

k u)ϕ dx

)(4.3.2) e supp(ϕ) ⊂⊂ Ω′

= −

∫Ω′

vkϕ dx.

Dunque esiste la derivata debole Dku ∈ L2(Ω′) ed e vk. Inolte la stima||Dku||L2(Ω′) ≤ M e conseguenza diretta dal fatto che Dku e il limite debole

della successione D−h j

k u limitata in norma da M.

Adesso siamo pronti per i risultati di regolarita. Il primo risultato richiede solo qualcheregolarita in piu dei coefficienti di ordine superiore di L.

Teorema 4.3.1 (Regolarita interna in H2). Sia u ∈ H1(Ω) soluzione debole di Lu = f in Ω conL un operatore uniformemente ellittico in forma di divergenza. Supponiamo inoltre che

(H1) ai j = a ji ∈ C1(Ω), bi, c ∈ L∞(Ω)(H2) f ∈ L2(Ω)

Allora u ∈ H2loc(Ω) e per ogni Ω′ ⊂⊂ Ω esiste C = C(Ω,Ω′,L) > 0 tale che

||u||H2(Ω′) ≤ C(|| f ||L2(Ω) + ||u||L2(Ω)

).

Osservazione 4.3.3. Notiamo che

(a) Nel Teorema 4.3.1 non abbiamo imposto una condizione al contorno (ad esempiou ∈ H1

0(Ω)), il risultato vale per ogni u ∈ H1(Ω) soluzione debole della PDE.

(b) Essendo u ∈ H2(Ω′) = W2,2(Ω′) una soluzione debole della PDE, abbiamo

B[u, v] = ( f , v)L2(Ω) ∀ v ∈ C∞0 (Ω′) ⊂ H10(Ω),


e possiamo integrare per parti una volta per ottenere

(Lu, v)L2(Ω′) = ( f , v)L2(Ω′) ∀ v ∈ C∞0 (Ω′).

Quindi Lu = f q.o. in Ω′ e abbiamo guadagnato un senso puntuale per le soluzioni.

Dimostrazione. Fissiamo Ω′ ⊂⊂ Ω.

1. Scegliamo Ω′′ tale che Ω′ ⊂⊂ Ω′′ ⊂⊂ Ω e una funzione cutoff ζ ∈ C∞0 (Ω) tale che

ζ(x) =

1 x ∈ Ω′

0 x ∈ Rn\Ω′′

0 ≤ ζ ≤ 1 x ∈ Ω′′ \Ω′

2. Essendo u ∈ H1(Ω) una soluzione debole di Lu = f abbiamo

B[u, v] = ( f , v)L2(Ω) ∀ v ∈ H10(Ω),

ovvero(4.3.3)∫

Ω

n∑i, j=1

ai jDiuD jv

dx =

∫Ω

f −n∑

i=1

biDiu − cu

v dx :=∫

Ω

f v dx, ∀ v ∈ H10(Ω),

dove f ∈ L2(Ω).

3. Per ogni h , 0 e piccolo e per ogni k ∈ 1, . . . ,n, prendiamo una famiglia di funzionitest v = vh

k nella forma particolare

(4.3.4) v = −D−hk

(ζ2Dh

ku)∈ H1

0(Ω).

Inseriamo queste v = vhk nella formula (4.3.3) per ottenere una relazione della forma

(4.3.5) A = B,

dove

(4.3.6) A = Ahk =

∫Ω

n∑i, j=1

ai jDiuD j

[−D−h

k

(ζ2Dh

ku)] dx

(4.3.7) B = Bhk =

∫Ω

f −n∑

i=1

biDiu − cu

(−D−hk

(ζ2Dh

ku))

dx.


4. Stimare A dal basso: esiste C1 > 0 tale che per ogni k = 1, . . . ,n e per ogni h , 0 piccolosi ha

(4.3.8) A ≥ϑ2

∫Ω

ζ2∣∣∣Dh

kDu∣∣∣2 dx − C1

∫Ω

|Du|2 dx.

Infatti, stimiamo come nella disuguaglianza di Gårding dove ϑ e la costante diellitticita uniforme, usando le proprieta

(i) D j(Dhkw) = Dh

k(D jw) in L2(Ω) se w ∈ H1(Ω);

(ii) Dhk(vw) = vh

kDhkw + wDh

kv dove vhk(x) := v(x + hek);

(iii) la formula di integrazione per parti per i rapporti incrementali (4.3.2).

Piu precisamente, su ogni termine della forma∫Ω

ai jDiu[D j

(D−h

k

(ζ2Dh

ku))]

dx

si usa la (i) per scambiare D j con D−hk , poi la (iii) per scaricare D−h

k su ai jDiu ed infinela (ii) su Dh

k(ai jDiu) (v. Evans [5] per i dettagli).

5. Stimare B dall’alto: esiste C2 > 0 tale che per ogni k = 1, . . . ,n e per ogni h , 0 si ha

(4.3.9) B ≤ |B| ≤ϑ4

∫Ω

ζ2∣∣∣Dh

kDu∣∣∣2 dx + C2

∫Ω

(| f |2 + |u|2 + |Du|2

)dx.

Infatti, usiamo la disuguaglianza di Young con ε ed il Lemma 4.3.1. (v. Evans [5]per i dettagli).

6. Combinando (4.3.3), (4.3.8) e (4.3.9) ed usando A = B ≤ |B|, si ottiene

ϑ4

∫Ω

ζ2∣∣∣Dh

kDu∣∣∣2 dx ≤ (C1 + C2)

∫Ω

(| f |2 + |u|2 + |Du|2

)dx.

Poi, usando ζ ≡ 1 su Ω′ otteniamo∫Ω′

∣∣∣DhkDu

∣∣∣2 dx ≤4(C1 + C2)

ϑ

∫Ω

(| f |2 + |u|2 + |Du|2

)dx ≤M,

per ogni h , 0 piccolo e per ogni k = 1, . . . ,n. Per il Lemma 4.3.1 esistono le derivatedeboli DkDu ∈ L2(Ω′) per ogni k = 1, . . . ,n. Quindi u ∈ H2

loc(Ω) e abbiamo la stima

(4.3.10) ||u||H2(Ω′) ≤ C3

(|| f ||L2(Ω) + ||u||H1(Ω)

).

7. Con un po di lavoro, si puo ottenere una stima piu fine di (4.3.10) con ||u||L2(Ω) alposto di ||u||H1(Ω) (v. Theorem 6.3.1 di Evans [5]).

4.4 Principi di minimo e di massimo 137

Osservazione 4.3.4. Ci sono ulteriori risultati di regolarita interna. Ci limiteremo aglienunciati e qualche commento. Si puo consultare Evans [5] per ulteriori dettagli.

Teorema 4.3.2 (Regolarita interna superiore). Sia f ∈ Hm(Ω) con m ∈ N0, sia u ∈ H1(Ω)soluzione debole di Lu = f con L operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellitticocon coefficienti ai j = a ji, bi, c ∈ Cm+1(Ω). Allora u ∈ Hm+2

loc (Ω) con

||u||Hm+2(Ω′) ≤ C(|| f ||Hm(Ω) + ||u||L2(Ω)

)Osservazione 4.3.5. La dimostrazione si fa per induzione su m, dove il caso m = 0 e ilTeorema 4.3.1. In particolare, uα := Dαu con |α| = m + 1 risolve un’equazione della formaLuα = fα ∈ L2(Ω) e si mostra uα ∈ H2

loc(Ω)

Teorema 4.3.3 (Regolarita interna infinita). Siano f ∈ C∞(Ω) e u ∈ H1(Ω) soluzione deboledi Lu = f con L operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico con coefficientiai j = a ji, bi, c ∈ C∞(Ω). Allora u ∈ C∞(Ω).

Osservazione 4.3.6. La dimostrazione e una combinazione del Teorema 4.3.2 e le immer-sioni di Sobolev.

Teorema 4.3.4 (Regolarita fino al bordo). Sia f ∈ L2(Ω) con ∂Ω ∈ C2, sia u ∈ H10(Ω)

soluzione debole del problema di DirichletLu = f in Ω

u = 0 su ∂Ω

con L operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico con coefficienti ai j = a ji ∈

C1(Ω) e bi, c ∈ L∞(Ω). Allora u ∈ H2(Ω) con

||u||H2(Ω) ≤ C(|| f ||L2(Ω) + ||u||L2(Ω)

)Osservazione 4.3.7. La dimostrazione viene fatta in due passi. Il primo passo per ilcaso particolare di Ω = Br(0) ∩Rn

+ con una stima al bordo. Poi, si sfrutta una partizionedell’unita ed un numero finito di diffeomorfismi locali (Ω ha chisura compatta).

4.4 Principi di minimo e di massimo

Obiettivo: Sviluppare degli strumenti per avere un controllo puntuale sulle soluzioni diLu = f in Ω della forma

supΩ

u = sup∂Ω

u e infΩ

u = inf∂Ω

u

dove L e un operatore differenziale del secondo ordine uniformemente ellittico. La teoriasi articola in due casi


1. Soluzioni classiche u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω) con L in forma di non divergenza e dove ilsup, inf sono in realta un max, min.

2. Soluzioni deboli u ∈ H1(Ω) con L in forma di divergenza e dove i sup, inf sono inrealta un ess sup, ess inf.

Inoltre, vedremo che il segno del coefficiente c di ordine zero gioca un ruolo fondamen-tale.

4.4.1 Principio di massimo per soluzioni classiche

Siano Ω ⊂⊂ Rn un aperto, eventualmente connesso e L un operatore differenziale delsecondo ordine uniformemente ellittico in forma di non divergenza, cioe

Lu = −

n∑i, j=1

ai jDi ju +

n∑i=1

biDiu + cu

dove

(i) ai j = a ji ∈ C0(Ω), bi, c limitate;

(ii) esiste ϑ > 0 tale chen∑

i, j=1

ai j(x)ξiξ j ≥ ϑ|ξ|2 per ogni x ∈ Ω e ξ ∈ Rn.

Iniziamo con il seguente Lemma fondamentale.

Lemma 4.4.1. Sia u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) tale che Lu < 0 in Ω

c ≥ 0 in Ω

Se M := maxΩ

u ≥ 0, allora non esiste un x0 ∈ Ω tale che u(x0) = M.

Dimostrazione. Supponiamo per assurdo che esista un tale x0 ∈ Ω tale che u(x0) = M ≥ 0,allora Du(x0) = 0 e D2u(x0) ≤ 0. Ma dunque

0 > Lu(x0)

= −

n∑i, j=1

ai j(x0)Di ju(x0) +

n∑i=1

bi(x0)Diu(x0) + c(x0)u(x0)

≥ − tr(A(x0)D2u(x0)

),

dove abbiamo usaton∑

i=1

bi(x0)Diu(x0) = 0 e c(x0)u(x0) ≥ 0.


Ora ricordiamo che A(x0) ≥ 0 e D2u(xo) ≤ 0 e dunque tr(A(x0)D2u(x0)

)≤ 0 e quindi

otteniamo l’assurdo 0 > Lu(x0) ≥ 0.

Osservazione 4.4.1. Osserviamo che in questo lemma non abbiamo sfruttato l’uniformeellitticita dell’operatore L. Inoltre:

(a) nel caso in cui c ≡ 0 non serve la condizione che M ≥ 0;

(b) le ipotesi Ω ⊂⊂ Rn e u ∈ C0(Ω) servono per avere l’esistenza di M finito;

(c) abbiamo il risultato analogo per un minimo m ≤ 0 se Lu > 0 .

Teorema 4.4.1 (Principi di massimo debole). Sia u ∈ C2(Ω) ∩ C(Ω) tale che Lu ≤ 0 in Ω

c ≥ 0 in Ω

Se M := maxΩ

u ≥ 0, allora

maxΩ

u = max∂Ω

u.

Osservazione 4.4.2. (a) Abbiamo una versione analoga se Lu ≥ 0 per un minimom ≤ 0;

(b) Non serve l’ipotesi M ≥ 0 (m ≤ 0) se c ≡ 0;

(c) Una funzione u tale che Lu ≤ 0 e detta subsoluzione dell’equazione Lu = 0. Quindi,il principio di massimo debole ci dice che subsoluzioni realizzano i loro massiminon-negativi al bordo.

Dimostrazione. La dimostrazione sfrutta un’argomentazione perturbativa in combina-zione con il Lemma 4.4.1

1. Poniamo uε = u + εeµx1 con ε > 0 piccolo e µ > 0 grande da stabilire. Allora

Luε = Lu + ε

− n∑i, j=1

ai jDi j (eµx1) +

n∑i=1

biDi (eµx1) + ceµx1

= Lu + εeµx1

(−a11µ

2 + b1µ + c)

Usando b1 ≤M1, c ≤M2 e

a11 =

n∑i, j=1

ai jξiξ j ≥ ϑ|e1| = ϑ per ξ = e1,

otteniamoLuε ≤ Lu + εeµx1(−ϑµ2 + µM1 + M2) < 0

se µ > 0 e abbastanza grande.


2. Usando M ≥ 0 abbiamo Mε := maxΩ

uε > 0. Dunque, per il Lemma 4.4.1 abbiamo

∀ x ∈ Ω : u(x) < u(x) + εeµx1 < max∂Ω

(u(x) + εeµx1)

≤ max∂Ω

u + εmax∂Ω

eµx1 .

Facendo tendere ε→ 0+, otteniamo

supΩ

u ≤ max∂Ω

u.

3. La stessa argomentazione funziona nel caso c ≡ 0 senza l’ipotesi M ≥ 0.

Osservazione 4.4.3. Nel caso c ≥ 0, possiamo anche dire chemax

Ωu ≤ max

∂Ωu+ se Lu ≤ 0 in Ω

minΩ

u ≥ −max∂Ω

u− se Lu ≥ 0 in Ω

senza l’ipotesi M ≥ 0 o m ≤ 0. In particolare, se Lu = 0 in Ω abbiamo

maxΩ|u| ≤ max

∂Ω|u|,

una stima a priori puntuale per l’equazione omogenea. Versioni per l’equazione nonomogenea sono facili da ottenere.

Osservazione 4.4.4. L’ipotesi c ≥ 0 e necessaria per il Teorema 4.4.1. Infatti, se prendiamoΩ = (0, π) × (0, π) e u(x1, x2) = sin(x1) sin(x2) e consideriamo−4u = 2u in Ω

u = 0 su ∂Ω,

allora, poiche u > 0 in Ω, il massimo deve stare necessariamente all’interno. Notiamoche questo esempio indica anche un legame tra la validita di un principio di massimoper L − λI e la possibilita che λ > 0 sia un autovalore per L.

Osservazione 4.4.5. Un principio di massimo/minimo debole dice che i massimi/minimisi trovano al bordo del dominio. Invece, un principio di massimo/minimo forte dice chesi trovano all’interno solo quando la soluzione e banale, cioe costante. Il punto chiaveper mostrare questo fatto e un’analisi del comportamento delle derivate direzionali albordo nei punti di massimo/minimo. Lo strumento principale e il seguente Lemma.


Lemma 4.4.2 (di Hopf). Sia B = BR(y) una palla aperta, x0 ∈ ∂B. Sia u ∈ C2(B)∩C0(B∪x0)e tale che soddisfi Lu ≤ 0 in B

c ≥ 0 in B

e u(x0) ≥ 0u(x0) > u(x) in B,

dove i coefficienti ai j ∈ C0(Ω) soddifano

(4.4.1) ai j limitate in B.

Allora:

(a) Per ogni direzione V esterna a B; cioe V tale che V · ν > 0 si ha che

lim inft→0+

(u(x0) − u(x0 − tV)

t

)> 0

(b) Se u ∈ C1(B ∪ x0) allora∂u∂ν

(x0) > 0

(c) Inoltre se c ≡ 0 non serve l’ipotesi u(x0) ≥ 0.

Dimostrazione. Prima di tutto osserviamo che ovviamente (a) =⇒ (b). Dunque mostriamoche vale (a).

1. WLOG prendiamo u ∈ C0(B) e dunque abbiamo u(x) < u(x0) per ogni x ∈ B \ x0,altrimenti scegliamo BR(y) ⊂ BR(y) e lavoriamo con B = BR(y)

2. Basta costruire una funzione ausiliaria h ∈ C2(B) e trovare un ε tale che la pertur-bazione w = u + εh di u soddisfi

(4.4.2)

maxΩ0

w = w(x0)

w(x) < w(x0) ∀ x ∈ Ω0 \ x0

∂h∂V

(x0) < 0

dove Ω0 := B ∩ Br(x0) con 0 < r < R/2. Infatti, con questa perturbazione, abbiamo

w(x0) − w(x0 − tV)t

> 0 per ogni t ∈ (0, r)

=⇒u(x0) − u(x0 − tV)

t> −ε

h(x0) − h(x0 − tV)t


e dunque

lim inft→0+

u(x0) − u(x0 − tV)t

≥ −ε∂h∂V

> 0

N.B. Nel caso u ∈ C1(B) si ha∂w∂V

(x0),∂u∂V

(x0) ≥ 0 e quindi

∂u∂V

(x0) =∂w∂V

(x0) − ε∂h∂V

(x0) > 0,

ovvero la conclusione (b).

3. Per la funzione h, scegliamo

h(x) = e−µ|x−y|2− e−µR2

con µ > 0 da stabilire.

La funzione h ha le seguente quattro proprieta:

i) h ≥ 0 in B (usando |x − y| ≤ R su B).

ii) h ≡ 0 su ∂B (usando |x − y| = R su ∂B).

iii) ∂h∂V < 0 (facendo un conto). Infatti

∂h∂V

= Dh · V

=

n∑i=1

−2µe−µ|x−y|2(xi − yi)Vi

= −2µe−µ|x−y|2〈x − y,V〉 < 0

dove nell’ultima disuguaglianza usiamo i fatti che ν = (x − y)/R e 〈V, ν〉 > 0 .

iv) Lh < 0 in Ω0 per µ > 0 abbastanza grande (facendo un conto). Infatti

Lh =e−µ|x−y|2

− n∑i, j=1

ai j4µ2(xi − yi)(x j − y j)

+

n∑i, j=1

ai j2µδi j −

n∑i=1

bi2µ(xi − yi) + c

− ce−µR2

≤ e−µ|x−y|2[−4µ2ϑR2 + 2µnMa + 2µMbR + Mc

]< 0 per µ abbastanza grande

Qui abbiamo usato l’elliticita uniforme con costante θ, c ≥ 0, |x − y| ≤ R e lalimitatezza dei coefficienti (a, b, c). E qui che serve l’ipotesi (4.4.1).


La proprieta iii) e esattamente la terza richiesta in (4.4.2). Dalla iv) e Lu ≤ 0 in Babbiamo

Lw = Lu + εLh < 0 in Ω0 ⊂ B

e quindi w non ha massimo interno in Ω0 per il Lemma 4.4.1, ovvero abbiamo laseconda richesta in (4.4.2).

4. Rimane solo trovare ε in modo che w(x) = u(x) + εh(x) realizza il su massimo inx0. Per il passo 3, tale massimo si trova solo sul bordo di Ω0. Ora ci domandiamo:esiste un punto di massimo diverso da x0? Abbiamo due possibilita:

(1) Esiste un xM ∈ [∂B \ x0]∩ ∂Ω0 punto di massimo. Ma in questo caso, usandola proprieta ii) abbiamo

w(xM) = u(xM) + εh(xM) = u(xM) < u(x0),

che contradice l’ipotesi d’avere un massimo in xM.

(2) Esiste un xM ∈ ∂Ω0 ∩ B punto di massimo. Essendo u(x) < u(x0) per ognix ∈ ∂Ω0 ∩ B, esiste δ tale che u(x) < u(x0)− δ per ogni x ∈ ∂Ω0 ∩ B. Quindi perogni x ∈ ∂Ω0 ∩ B abbiamo

(4.4.3) w(x) = u(x) + εh(x) < u(x0) − δ + εmaxΩ

h(x) < w(x0) = u(x0)

a patto di prendere

−δ + εmaxΩ

h(x) < 0⇐⇒ ε <δ

maxΩ

h(x).

Valutando (4.4.3) in xM ∈ ∂Ω0 ∩ B porta ad un assurdo.

Teorema 4.4.2 (Principio di massimo forte). Sia u ∈ C2(Ω) ∩ C0(Ω), con Ω connesso, taleche Lu ≤ 0 in Ω

c ≥ 0 in Ω.

Se esiste un x0 ∈ Ω tale che u(x0) = M = maxΩ

u(x) ≥ 0 allora u ≡M su tutto Ω. Inoltre se c ≡ 0

non serve l’ipotesi che M ≥ 0.

Dimostrazione. DefiniamoΣ = x ∈ Ω : u(x) = M

1. Sicuramente Σ , ∅ perche almeno x0 ∈ Σ per ipotesi.


2. Σ = u−1(M) e relativamente chiuso in Ω perche u e continua.

3. Ω \ Σ e aperto in Ω e non e tutto Ω. Vogliamo mostrare che Ω \ Σ = ∅. Se perassurdo esistesse un y ∈ Ω \ Σ, prendiamo una bolla B = BR(y) ⊂⊂ Ω \ Σ tale che∂B∩Σ tocchi il bordo di Σ in un punto x0. Ad esempio, scegliamo il punto y ∈ Ω\Σ

tale che d(y,Σ) < d(y, ∂Ω) e facciamo crescere il raggio finche ∂BR(y) ∩ Σ tocca ∂Σ.Visto che ai j ∈ C0(Ω) sono localmente limitate, la condizione (4.4.1) e soddisfatta epossiamo applicare il Lemma di Hopf con x0 ∈ Σ ∩ ∂B dove

Lu ≤ 0, c ≥ 0 in Bu(x0) > u(x) in Bu(x0) = M ≥ 0

Essendo u ∈ C1(B ∪ x0) abbiamo

∂u∂ν

(x0) > 0,

ma x0 e punto di massimo relativo e quindi Du(x0) = 0, assurdo.

Osservazione 4.4.6. Serve qualche forma di ellitticita uniforme per il Lemma di Hopf.Ad esempio u(x, y) = −x4 in Ω = (0, 1) × (−1, 1)

L = −xD2x −D2

y + 4Dx.

Si ha Lu = −4x3≤ 0. In B = B1/2(1/2, 0) ⊂ Ω abbiamo un massimo stretto in (0, 0) ∈ ∂Ω,

ma la derivata normale uscente ∂νu(0, 0) = −Dxu(0, 0) = 0 non e strettamente positiva.

Osservazione 4.4.7. Vale un Lemma di Hopf al bordo ∂Ω di un dominio Ω se

(i) L e uniformemente ellittico in Ω con coefficienti limitati;

(ii) ∂Ω soddisfa la condizione della sfera interna, ovvero per ogni x0 ∈ ∂Ω esiste una bollaB tale che B ⊂ Ω e ∂Ω ∩ ∂B = x0. La condizione e soddisfatta, ad esempio, se∂Ω ∈ C2.

Osservazione 4.4.8. Ci sono un certo numero di applicazioni importanti del principio dimassimo debole e forte (v. Evans [5] per dettagli). Ad esempio:

(a) Unicita di soluzioni classiche per il problema di Dirichlet (usando il PdM debole);

(b) Quasi unicita di soluzioni per il problema di Neumann; cioe la differenza di duesoluzioni e una costante (usando il PdM forte);

(c) Stime a priori puntuali.


4.4.2 Principio di massimo per soluzioni deboli

Obiettivo: Estendere i risultati trovati per funzioni regolari a funzioni in H1(Ω). Ilrisultato voluto ha la forma Lu ≤ 0 in Ω

u ∈ H1(Ω)⇒ ess sup

Ω

u ≤ ess sup∂Ω

u+

dove possiamo prendere u al posto di u+ se c ≡ 0. Per fare questo abbiamo bisogno diqualche definizione.

Definizione 4.4.1. Siano u,w ∈ H1(Ω) diciamo che

(a) u ≥ 0 in H1(Ω) se u = u+ in H1(Ω). In particolare ogni rappresentante della classedefinita da u e non negativa quasi ovunque.

(b) u ≥ w in H1(Ω) se u − w ≥ 0 in H1(Ω).

(c) Lu ≥ 0 (Lu ≤ 0) debolmente in Ω se B[u, v] ≥ 0 (B[u, v] ≤ 0) per ogni v ∈ C10(Ω) tale

che v ≥ 0 (o in modo equivalente, per ogni v ∈ H10(Ω) tale che v ≥ 0 in H1(Ω)).

(d) u ≤ 0 (debolmente) su ∂Ω se u+∈ H1

0(Ω).

(e) u ≤ w (debolmente) su ∂Ω se (u − w)+∈ H1

0(Ω).

(f) ess sup∂Ω

u = infk ∈ R : u ≤ k (debolmente) su ∂Ω.

(g) ess inf∂Ω

u = − ess sup∂Ω

(−u).

Osservazione 4.4.9 (Ipotesi su Ω e L). In tutto questo paragrafo assumiamo:

(i) Ω ⊂⊂ Rn aperto e connesso;

(ii) Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) +

n∑i=1

biDiu + cu;

(iii) ai j = a ji, bi, c ∈ L∞(Ω);

(iv) esiste ϑ > 0 tale chen∑

i, j=1

ai j(x)ξiξ j ≥ ϑ|ξ|2 per ogni x ∈ Ω, ξ ∈ Rn;

(v) c ≥ 0 q.o. in Ω;

(vi) ϑ −M2

1C2P

ϑ> 0 dove M1 :=

∑1≤i≤n

||bi||L∞(Ω) e CP e la costante di Poincare.

Notiamo che l’ipotesi (vi) e fatta per avere la coercivita della forma bilineare B.


Teorema 4.4.3. Sia u ∈ H1(Ω) tale cheLu ≤ 0 in Ω

u ≤ 0 su ∂Ω

allora u ≤ 0 in H1(Ω) e quindi q.o. in Ω.

Osservazione 4.4.10. Il teorema e un principio di confronto con la funzione w = 0; cioeLu ≤ Lw = 0 in Ω

u ≤ w = 0 su ∂Ω⇒ u ≤ w = 0 in H1(Ω).

Dimostrazione. 1. Lu ≤ 0 significa che B[u, v] ≤ 0 per ogni v ∈ H10(Ω) tale che v ≥ 0.

Prendiamo v = u+ per ottenere

0 ≥ B[u,u+] =

∫Ω

[(A(x)Du) ·Du+ + (b(x) ·Du)u+ + c(x)uu+] dx,

ma sappiamo che

Du+ =

Du se u > 00 se u ≤ 0

Quindi

0 ≥ B[u,u+] =

∫Ω

[(A(x)Du+) ·Du+ + (b(x) ·Du+)u+ + c(x)(u+)2

]dx

= B[u+,u+]

dove u+∈ H1

0(Ω).

2. Per l’ipotesi (vi), B risulta coerciva. Infatti

ϑ

∫Ω

|Dv|2 dx ≤ B[v, v] −∫

Ω

n∑i=1

biDivv dx −∫

Ω

cv2 dx

≤ B[v, v] + M1

∫Ω

|Dv| |v| dx (c ≥ 0)

≤ B[v, v] + M1

[ε

∫Ω

|Dv|2 dx +14ε

∫Ω

v2 dx]

Se prendiamo

ε =ϑ

2M1

allora otteniamo

ϑ2

∫Ω

|Dv|2 dx ≤M2

1

2ϑ

∫Ω

v2 dx + B[v, v] ≤M2

1C2p

2ϑ

∫Ω

|Dv|2 dx + B[v, v],


e quindi ϑ2 − M21C2

p

2ϑ

∫Ω

|Dv|2 dx ≤ B[v, v],

ovvero la coercivita di B. Quindi, usando v = u+∈ H1

0(Ω), otteniamo

0 ≥ B[u+,u+] ≥ C∫

Ω

|Du+|2 dx

e quindi u+ = 0 in H10(Ω) cioe u = u− in H1(Ω), cioe u ≤ 0 quasi ovunque in Ω.

Corollario 4.4.1 (Principio del confronto). Siano u,w ∈ H1(Ω) tali cheLu ≤ Lw in Ω

u ≤ w su ∂Ω⇒ u ≤ w su H1(Ω).

Dimostrazione. Ponendo v = u −w e usando la linearita di L abbiamo Lv ≤ 0 in Ω e v ≤ 0su ∂Ω. Applicando il Teorema 4.4.3 otteniamo v ≤ 0 in H1(Ω), ovvero u ≤ w in H1(Ω).

Corollario 4.4.2 (Principio di massimo debole per soluzioni deboli). Sia u ∈ H1(Ω) taleche Lu ≤ 0 in Ω. Allora

ess supΩ

u ≤ ess sup∂Ω

u+.

Se inoltre c ≡ 0 alloraess sup

Ω

u ≤ ess sup∂Ω

u.

Dimostrazione. WLOG possiamo assumere che

ess sup∂Ω

u+ < +∞.

• Per ogni k ∈ R+ tale che ess sup∂Ω

u+ < k abbiamo

u ≤ k su ∂Ω.

• Per ogni v ∈ C10(Ω) con v ≥ 0 abbiamo

B[u − k, v] =

∫Ω

[A(x)Du(x) ·Dv(x) + (b(x) ·Du(x))v(x) + c(x)(u(x) − k)v(x)] dx

= B[u, v] − k∫

Ω

cv dx

≤ B[u, v] ≤ 0,

ovvero L(u − k) ≤ 0 debolmente in Ω. Dunque, per il Teorema 4.4.3, abbiamou − k ≤ 0 q.o. in Ω e dunque u ≤ k q.o. in Ω. Quindi

u ≤ k q.o. in Ω per ogni k tale che k > ess sup∂Ω

u+.


• Facendo tendere k ess sup∂Ω

u+, otteniamo la tesi.

• Nel caso c ≡ 0, non serve k > 0 e possiamo prendere k > ess sup∂Ω

u.

Osservazione 4.4.11. Ricordiamo che nel caso di regolarita classica, Lu ≤ 0 implica cheu ha i suoi massimi M non negativi su ∂Ω se c ≥ 0 e che non serve la non negativita di Mnel caso c ≡ 0.

Osservazione 4.4.12 (Principio di minimo debole per soluzioni deboli). Applicando ilCorollario 4.4.2 a −u si ottiene: Sia u ∈ H1(Ω) tale che Lu ≥ 0 in Ω. Allora

ess infΩ

u ≥ ess inf∂Ω

u−.

Se inoltre c ≡ 0 alloraess inf

Ωu ≥ ess inf

∂Ωu.

Corollario 4.4.3 (Unicita delle soluzioni deboli). Per ogni f ∈ H−1(Ω), g ∈ H1(Ω), esiste alpiu una soluzione debole u ∈ H1(Ω) del problema di Dirichlet Lu = f in Ω

u = g su ∂Ω

Dimostrazione. Date due soluzioni u1,u2 consideriamo u = u1 − u2. Per linearita, u esoluzione debole del problema Lu = 0 in Ω

u = 0 su ∂Ω

Usando il principio di massimo/minimo debole per soluzioni deboli, otteniamo

ess supΩ

u ≤ ess sup∂Ω

u+ = 0 e ess infΩ

u ≥ ess inf∂Ω

u− = 0.

Osservazione 4.4.13. Questo ultimo risultato di principio di massimo debole si puoestendere ad una generica matrice A(x) ≥ 0 che abbia una qualche direzione unifor-memente ellittica (v. Monticelli-Payne [14]). Questa condizione di ellitticita e stataintrodotta nella tesi di dottorato di Monticelli (v. Monticelli [13]) ed e sufficiente perottenere anche il Lemma di Hopf per classe di operatori ellittici degeneri.

4.5 Autovalori e autofunzioni 149

4.5 Autovalori e autofunzioni

Consideriamo il problema di Dirichlet associato all’equazione agli autovaloriLw = λw in Ω

w = 0 su ∂Ω.

Se esiste w ∈ H10(Ω) con w , 0 soluzione debole del problema, λ e detto autovalore di L

(rispetto alla condizione di Dirichlet omogenea al bordo) e w e detta autofunzione associata a λ.Se Ω ⊂⊂ Rn e aperto e L un operatore uniformente ellittico in forma di divergenza concoefficienti L∞(Ω), sappiamo dal Teorema 4.2.3 (con f = 0 ∈ L2(Ω)) che esiste lo spettroreale

Σ = λ ∈ R : ∃ w ∈ H10(Ω) soluzione debole con w . 0,

dove Σ e al piu numerabile con +∞ l’unico punto di accumulazione possibile. Vogliamodirne di piu mettendo delle ipotesi piu forti. In particolare assumiamo:

• Lu = −

n∑i, j=1

D j(ai jDiu) (bi, c = 0);

• ai j = a ji ∈ C∞(Ω) (piu regolarita dei coefficienti);

• Esiste ϑ > 0 tale chen∑

i, j=1

ai jξiξ j ≥ ϑ|ξ|2 per ogni x ∈ Ω, ξ ∈ Rn.

Osservazione 4.5.1. Grazie a queste ipotesi possiamo dire che

• Se esiste un’autofunzione w allora w ∈ C∞(Ω).

• L e coercivo.

• L e formalmente autoaggiunto.

Cominciamo con il seguente Lemma.

Lemma 4.5.1. Nelle ipotesi enunciate sopra

(a) Esiste un operatore lineare K : L2(Ω)→ H10(Ω) che associa ad f ∈ L2(Ω) l’unica soluzione

debole u = K f del problema di Dirichlet per L; cioe u ∈ H10(Ω) tale che

B[u, v] = ( f , v)L2(Ω) per ogni v ∈ H10(Ω);

(b) K : L2(Ω)→ L2(Ω) e compatto;


(c) K e autoaggiunto, ovvero

(K f , g)L2(Ω) = ( f ,Kg)L2(Ω) per ogni f , g ∈ L2(Ω);

(d) K e positivo, ovvero(K f , f )L2(Ω) ≥ 0 per ogni f ∈ L2(Ω).

Dimostrazione. (a) Si ha

B[u,u] =

∫Ω

n∑i, j=1

ai jDiuD ju

dx ≥ ϑ∫

Ω

|Du|2 dx = ϑ||u||2H1

0(Ω).

Quindi B e coerciva (e continua) e abbiamo la tesi per il Lemma di Lax-Milgram.

(b) La mappa K : L2(Ω) → H10(Ω) e continua e l’immersione H1

0(Ω) →→ L2(Ω) ecompatta.

(c) Poniamo u := K f e v = Kg e abbiamo

(K f , g)L2(Ω) = (u, g)L2(Ω) = (g,u)L2(Ω) = B[v,u]

( f ,Kg)L2(Ω) = ( f , v)L2(Ω) = B[u, v]

ma B[u, v] = B[v,u]

(d) Abbiamo

(K f , f )L2(Ω) = (u, f )L2(Ω) = ( f ,u)L2(Ω) = B[u,u] ≥ ϑ||u||2H1

0(Ω).

Osservazione 4.5.2. Possiamo rafforzare la parte (d) osservando che

inf f∈L2(Ω): || f ||=1

(K f , f ) ≥ 0 e sup f∈L2(Ω): || f ||=1

(K f , f ) = sup f∈L2(Ω): || f ||=1

|(K f , f )| := ||K|| < +∞,

dove ricordiamo che K e positivo (parte (d) del Lemma 4.5.1).

Teorema 4.5.1 (Autovalori di operatori ellittici simmetrici). Si ha:

(a) Ogni autovalore λ di L e reale.

(b) Ogni autovalore λk ha molteplicita finita e lo spettro Σ = λk+∞k=1 e una successione tale che

0 < λ1 ≤ λ2 ≤ ...λk → +∞


(c) Esiste una base ortonormale in L2(Ω) di autofunzioni wk+∞1 ⊂ H1

0(Ω) di K = 1γL−1

γ conautovalori µk. Inoltre, le funzioni wk

+∞1 sono autofunzioni deboli di L con autovalori

λk = 1/µk.

Notiamo che w ∈ H10(Ω) ∩ C∞(Ω) e che w ∈ C∞(Ω) se inoltre ∂Ω ∈ C∞.

Dimostrazione. 1. λ , 0 perche esiste K = L−1; cioe l’unica soluzione debole in H10(Ω)

di Lu = 0 e 0. Quindi possiamo scrivere il problema per wLw = λw in Ω

w = 0 su ∂Ω

nella formaKw = µw con µ := 1/λ.

2. K : L2(Ω) → L2(Ω) e autoaggiunto, positivo e compatto su L2(Ω) uno spazio diHilbert separabile. Quindi, usando un risultato di analisi funzionale (v. Teorema 7di Appendice D di Evans [5]) possiamo affermare:

• esiste una successione µk+∞k=1 di autovalori positivi con molteplicita finita tale

che µ ∈ (0,Λ) dove Λ e la costante dell’Osservazione 4.5.2;

• µk → 0 per k→ +∞;

• esiste una base ortonormale wk+∞k=1 di L2(Ω) di autofunzioni associate alla

successione µk+∞k=1.

e abbiamo la tesi ponendo λk = 1/µk e notando che w ∈ H10(Ω) per costruzione.

Teorema 4.5.2 (Esistenza di un autovalore principale). Esiste un autovalore λ1 detto auto-valore principale che soddisfa le seguenti proprieta:

(a) (Principio variazionale)

λ1 = minB[u,u] : u ∈ H1

0(Ω) , ||u||L2(Ω) = 1

= min0,u∈H1

0(Ω)

B[u,u]||u||L2(Ω)

(b) (Prima autofunzione con segno) Esiste w1 ∈ H1

0(Ω) tale che w1 > 0 in Ω (e quindi −w1 eanche autofunzione strettamente negativa in Ω).

(c) (λ1 e semplice) Sia u ∈ H10(Ω) soluzione debole diLu = λ1u in Ω

u = 0 su ∂Ω

allora esiste C ∈ R tale che u = Cw, cioe l’autospazio corrispondente a λ1 ha dimensione 1.


Dimostrazione. Presentiamo solo lo schema della dimostrazione.

(a) La dimostrazione consiste di tre passi.

1. Per il Teorema 4.5.1 esiste wk+∞k=1 una base ortonormale in L2(Ω) di autofun-

zioni di L con wk ∈ H10(Ω) ∩ C∞(Ω). Quindi B[wk,wk] = λk||wk||

2L2(Ω)

= λk

B[wk,w j] = λk(wk,w j)2L2(Ω)

= 0 se k , j

In particolare, λ1 = B[u,u] per ogni autofunzione con ||u||L2(Ω) = 1 corrispon-dente a λ1.

2. Si mostra cheλ−1/2

k wk

+∞k=1

e una base ortonormale per lo spazio H10(Ω) munito

di un prodotto scalare calibrato a B, ovvero

((u, v)) := B[u, v].

3. Preso u =

+∞∑k=1

dkwk con+∞∑k=1

d2k = 1 per avere ||u||L2(Ω) = 1, si ha

B[u,u] =

+∞∑k=1

d2kλk ≥ λ1,

quindi λ1 e una minorante per il rapporto B[u,u]/||u||L2(Ω) che e raggiunto inu = w1.

(b) Anche qui, ci sono tre passi.

1. Per u ∈ H10(Ω) con ||u||L2(Ω) = 1 abbiamo l’equivalenzaLu = λ1u in Ω

u = 0 su ∂Ω⇔ B[u,u] = λ1 (∗)

2. Le funzioni u+,u− sono autofunzioni perche

u+

||u+||L2(Ω)e

u−

||u−||L2(Ω)

soddisfano (∗).

3. Abbiamo u± ∈ C∞(Ω) perche ai j ∈ C∞(Ω) e per il principio di massimo forte Lu+ = λ1u+≥ 0

Lu− = λ1u− ≥ 0⇒ u± > 0 in Ω se u± . 0.

Quindi u > 0 oppure u < 0 in Ω.


(c) Se u, u sono due autofunzioni associate a λ1, allora hanno segno stretto su tutto Ω

e quindi ∫Ω

u dx , 0 ,∫

Ω

u dx. (∗∗)

Quindi esiste C tale che ∫Ω

(u − Cu) dx = 0.

Adesso u − Cu soddisfa (∗) e quindi dovrebbe avere segno stretto se non e iden-ticamente nullo. Ma non puo avere segno stretto per (∗∗), quindi u = Cu inΩ.

Osservazione 4.5.3 (Commento finale). Esiste una relazione tra λ1(L,Ω) ed il principiodi massimo anche per L non in forma di divergenza e non autoaggiunto. In particolare,

• Si mostra che le autofunzioni appartengono a W2,nloc (Ω) ;

• Esiste un autovalore principale λ1 > 0, ovvero un autovalore semplice con au-tofunzione con segno. Inoltre, λ1 soddisfa la proprieta che Re(λ) ≥ λ1 per ogniautovalore λ di L.

In particolare, si ha il seguente teorema fondamentale.

Teorema 4.5.3 (Berestycki-Nirenberg-Varadhan [2]). Si ha il principio di confrontoLw ≤ 0 in Ω

w limitata superiormentew ≤ 0 su ∂Ω

⇒ w ≤ 0 in Ω

se e solo se λ1(L,Ω) > 0. Inoltre si puo definire λ1 come

λ1 := supλ : esiste ϕ > 0 in Ω tale che (L − λ)ϕ ≥ 0 in Ω .

Bibliografia

[1] R.A. Adams and J.J.F. Fournier. Sobolev Spaces, Second Edition, volume 140 of Pureand Applied Mathematics. Academic Press, Amsterdam, 2003.

[2] H. Berestycki, L. Nirenberg, and S.R.S. Varadhan. The principal eigenvalue andmaximum principle for second-order elliptic operators in general domains. Comm.Pure Appl. Math., 47(1):47–92, 1994.

[3] H. Brezis. Analisi Funzionale: Teoria e Applicazioni. Liguori Editore, Napoli, 1986.

[4] R. Dautray and J-L. Lions. Mathematical Aanalysis and Numerical Methods for Scienceand Technology, Volume 1: Physical Origins and Classical Methods. Springer Verlag,Berlin, 2000.

[5] L.C. Evans. Partial Differential Equations, Second Edition, volume 19 of Graduate Studiesin Mathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2010.

[6] N. Fusco, P. Marcellini, and C. Sbordone. Analisi Matematica Due. Liguori Editore,Napoli, 1996.

[7] G. Gilbarg and N.S Trudinger. Elliptic Partial Differential Equations of Second Order.Classics in Mathematics. Springer Verlag, Berlin, 2001.

[8] E. Giusti. Metodi Diretti nel Calcolo delle Variazioni. Unione Matematica Italiana,Bologna, 1994.

[9] F. John. Partial Differential Equations, Fourth Edition, volume 1 of Applied MathematicalSciences. Springer Verlag, New York, 1982.

[10] E. Lanconelli. Lezioni di Analisi Matematica 2, Seconda Parte. Pitagora Editore,Bologna, 1997.

[11] G. Leoni. A First Course in Sobolev Spaces, volume 105 of Graduate Studies inMathematics. American Mathematical Society, Providence, RI, 2009.

[12] G. Molteni and M. Vignati. Analisi Matematica 3. Citta Studi Edizioni, Milano, 2006.

154

Bibliografia 155

[13] D. Monticelli. Maximum principles and the method of moving planes for a class ofdegenerate elliptic linear operators. J. Eur. Math. Soc., 12(3):611–654, 2010.

[14] D. Monticelli and K.R. Payne. Maximum principles for weak solutions of degene-rate elliptic equations with a uniformly elliptic direction. J. Differential Equations,247:1993–2026, 2009.

[15] K.R. Payne. Analisi Reale, Parte 1. appunti del corso disponibile in rete all’indirizzohttp://www.mat.unimi.it/users/payne/AnRealeLezParte1.pdf, 2007.

[16] K.R. Payne. Misura ed Integrazione: Appunti del Corso di Analisi Matematica 4. disponi-bile in rete all’indirizzo http://www.mat.unimi.it/users/payne/An4 notes 12-13.pdf,2013.

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