Algebra 1 M.E. Rossi – G. Niesi

SEMESTRE: 1, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Fornire il linguaggio algebrico di base. A partire da strutture piu' familiari quali gli interi, i numeri complessi e l'anello dei polinomi, introdurre le principali strutture algebriche con particolare riferimento alla struttura di gruppo. PREREQUISITI: Comuni nozioni trattate nei programmi di scuola superiore. PROGRAMMA: Operazioni tra insiemi. Applicazioni. Operazioni binarie e proprieta'. Cardinalita' di un insieme e insiemi equipotenti. Insiemi numerabili. Permutazioni. Principio di induzione. Binomio di Newton. Relazioni e relazioni di equivalenza, insieme quoziente. Algoritmo Euclideo e sue applicazioni. Fattorizzazione in Z. Algebra modulare. Numeri complessi. Polinomi a coefficienti in un campo. Fattorizzazione in k[x]. Criteri di irriducibilita’. Definizione di gruppo. Sottogruppi. Gruppi ciclici. Omomorfismi di gruppi. TESTI CONSIGLIATI: - A. Facchini, Algebra e Matematica Discreta, Bollati Boringhieri MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Algebra 2 A. Conca – E. Zatini

SEMESTRE 1, CREDITI 8 OBIETTIVI: In questo secondo corso di Algebra vengono approfonditi i principali concetti di algebra astratta introdotti in modo meno formale nel corso di Algebra 1. PREREQUISITI: Algebra 1 e Algebra Lineare. PROGRAMMA: Gruppi e loro proprietà rilevanti. Omomorfismi di gruppi. Gruppi quozienti. Gruppi lineari, gruppi di permutazioni, gruppi finiti di ordine basso. Il teorema di struttura dei gruppi abeliani finitamente generati. Anelli ed ideali. Anelli euclidei e fattoriali. Anelli di polinomi. Campi e loro estensioni. TESTI CONSIGLIATI: - M. Artin: Algebra, Bollati Boringhieri. - S. Bosch: Algebra , Springer MODALITA’ D’ESAME: Prova scritta e prova orale

Algebra Lineare

E. De Negri - M.P. Cavaliere SEMESTRE: 1, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Scopo del corso è presentare agli studenti concetti di base dell' Algebra Lineare, che saranno poi strumenti importanti nei corsi successivi. Obiettivo non secondario, inoltre, è mostrare agli studenti una teoria che e' fortemente motivata da problemi reali, e che si può trattare in maniera esauriente e rigorosa. PREREQUISITI: Nessuno PROGRAMMA: 1. Operazioni tra matrici e loro proprieta’, determinante e caratteristica di una matrice, vari metodi di risoluzione di sistemi lineari. 2. Spazi e sottospazi vettoriali, sistemi di generatori e basi, dimensione, formula di Grassmann. 3. Applicazioni lineari, nucleo e immagine, matrici associate ad un omomorfismo, lo spazio degli omomorfismi tra due spazi vettoriali. 4. Autovalori e autovettori, polinomio caratteristico, omomorfismi e matrici diagonalizzabili. TESTI CONSIGLIATI: - dispense del corso - Marco Abate, "Algebra Lineare" , McGraw-Hill

MODALITÀ DI ESAME: Prova scritta e prova orale

Algebra Superiore 1 A. Conca

SEMESTRE 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Introduzione dei concetti di base dell'algebra commutativa. I moduli graduati finitamente generati su anelli Noetheriani e la teoria della dimansione PREREQUISITI: Corsi di base della laurea triennale di Algebra, Analisi e Geometria. PROGRAMMA: Moduli e omomorfismi di moduli. Sottomoduli e operazioni. Moduli finitamente generati. Primi associati. Decomposizione primaria. Lunghezza di un modulo finitamente generato e proprieta’. Funzione di Hilbert di un modulo graduato finitamente generato sull’anello dei polinomi. Serie di Hilbert. Teorema di Hilbert-Serre. Polinomio di Hilbert e coefficienti di Hilbert. Teoria della dimensione di Krull di una k-algebra graduata standard. Proprieta’ della dimensione. MODALITA’ DELL’ESAME: Prova scritta e prova orale TESTI CONSIGLIATI: - M.F. Atiyah-I.G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley Pub. C., 1969 - W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1993 MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Algebra Superiore 2 M.E. Rossi

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire gli strumenti omologici necessari per lo studio delle risoluzioni libere minimali di k-algebre graduate standard. Introdurre alcune problematiche recentemente affrontate nella ricerca in Algebra Commutativa. PREREQUISITI: Algebra 1, Algebra 2 PROGRAMMA: Elementi di algebra omologica. Funtori covarianti e controvarianti. Omologie di complessi. Ext e Tor. Complesso di Koszul. Caratteri numerici di risoluzioni libere graduate minimali. Risoluzioni libere graduate dell’anello delle coordinate di shemi 0-dimensionali ridotti. Caratterizzazioni omologiche della profondita'. Anelli Cohen-Macaulay, anelli Gorenstein. Risoluzioni libere di anelli graduati Cohen-Macaulay di codimensione 2 e Gorenstein di codimensione 3. TESTI CONSIGLIATI: - J. Rotman. Notes on Homological Algebras, Van Nostrand Reinhold Company, 1970 - W.Bruns, J.Herzog, Cohen Macaulay Rings, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK, 1993 MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Analisi di Fourier V. Del Prete

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Scopo del corso e` fornire una introduzione alle idee e ai metodi dell'analisi di Fourier, sul toro, sulla retta e nel caso discreto. Nel corso si porrà l'accento sulla potenza e flessibilità della teoria e sulla varietà delle sue applicazioni. Tra le applicazioni considerate, si darà particolare rilievo a problemi e tecniche dell'analisi del segnale, come il teorema del campionamento e la trasformata di Gabor.

PREREQUISITI: Primo modulo di Istituzioni di Analisi Superiore e Calcolo Numerico (solo per gli studenti dell’Indirizzo Applicativo) PROGRAMMA: Serie di Fourier. Lo spazio delle funzioni periodiche di quadrato sommabile. Teorema di Plancherel. Serie di Fourier. Fenomeno di Gibbs. Spazi di Sobolev. Trasformata di Fourier di funzioni periodiche assolutamente integrabili. Applicazioni: metodi spettrali per le equazioni alle derivate parziali. Integrale di Fourier. La trasformata di Fourier su R. Integrale di Fourier di funzioni assolutamente integrabili su R. Convoluzione. Le identità approssimate. Formule di inversione. Trasformata di Fourier di funzioni di quadrato sommabile. Formula di sommazione di Poisson. Terorema di Paley Wiener. Trasformata di Fourier in piu` dimensioni. Spazi di Sobolev. La trasformata Discreta di Fourier. L’algoritmo della Fast Fourier Transform. Trasformata coseno. Analisi del segnale Trasformata di Hilbert. Principio di indeterminazione di Heisemberg. Teorema del campionamento di Shannon. Filtri .Trasformata di Gabor continua e discreta . TESTI CONSIGLIATI: - Y. Katznelson An introduction to harmonic analysis Collocaz Bibl. DIMA 43-1968-07 - E. O. Brigham, The Fast Fourier Transform, Prentice Hall Englewood Cliffs, Boston,1974. - H. Dym - H. P. Mc Kean, Fourier Series and Integrals, Academic Press, 1972. - I. Korner, Fourier Analysis,1995. - I. Korner, Exercises for Fourier Analysis,1995. - E. Prestini, Applicazioni dell'analisi armonica. U.Hoepli,Milano, 1996I. - E. Prestini, The Evolution of Applied Harmonic Analysis. Models of the Real World Series, A Birkhäuser 2004 - G.B. Folland Fourier analysis and its applications Collocaz Bibl. DIMA 42-1992-01 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Analisi Funzionale L. Burlando

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire le basi della teoria delle algebre di Banach e delle algebre di operatori, avvicinando alla ricerca. PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia; IAS 1. Consigliato: IAS 2 PROGRAMMA: Algebre normate ed algebre di Banach; spettro e raggio spettrale; algebre di Banach commutative: la teoria di Gelfand; algebre C*; algebre C* commutative; il calcolo funzionale continuo per un elemento normale di un'algebra C*; operatori normali in spazi di Hilbert: il teorema spettrale. TESTI CONSIGLIATI: - A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd edition - G. J. Murtphy: C*-algebras and operator theory - F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete normed algebras MODALITÀ DI ESAME: prova orale, prova di laboratorio

Analisi Matematica 1 A. Aruffo – S. Testa

SEMESTRE: 1, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Dati due insiemi supponiamo che ad ogni elemento del primo sia associato un elemento del secondo: scopo del corso e' studiare alcune proprieta' di tali associazioni, dette funzioni, nel caso che detti insiemi siano costituiti da n-ple di numeri reali; cio' si fa introducendo un concetto di distanza sugli insiemi, che permette di definire il fondamentale concetto di limite di funzione.

PREREQUISITI: nessuno PROGRAMMA: Insiemi. Funzioni. Ordinamento. Struttura algebrica ed ordinata dei numeri reali. Estremo inferiore e superiore. Densita' dei razionali. Funzioni elementari. Proprieta' metriche e topologiche degli spazi euclidei. Limite e sue proprieta' algebriche e rispetto all'ordinamento. Proprieta' delle funzioni monotone. Successioni. Continuita'. Teorema di Weierstrass. Immagine continua di un connesso. Continuita' e monotonia. Continuita' dell'inversa. Uniforme continuita'. TESTI CONSIGLIATI: - E. Acerbi - L. Modica - S. Spagnolo, Problemi scelti di Analisi Matematica I, Liguori - O. Caligaris - P. Oliva, Analisi Matematica I e II, ECIG - J.P. Cecconi - G. Stampacchia, Analisi Matematica I e II, Liguori - J.P. Cecconi - L. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi di Analisi Matematica I e II, Liguori - M. Chicco - F. Ferro, Esercizi svolti di Analisi Matematica II, ECIG - G. Geymonat, Lezioni di Matematica, Levrotto - T. Zolezzi, Analisi Matematica I e II, Opera universitaria MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Analisi Matematica 2 A. Aruffo – F. Astengo

SEMESTRE: 2, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Proseguendo lo studio sulle funzioni introdotte nel corso di Analisi Matematica 1 e basandosi sul concetto di limite, si definiscono e si studiano due operazioni fondamentali sulle funzioni, la derivazione e l'integrazione, la prima delle quali permette anche uno studio "qualitativo" di talune proprieta' di una funzione. PREREQUISITI: Analisi matematica 1 PROGRAMMA: Derivata. Studio di una funzione mediante le derivate. Teoremi di Rolle, Cauchy, Lagrange e loro conseguenze. Teorema di De l'Hopital. Approssimazione di funzioni con polinomi, funzioni convesse. Integrale di Riemann e di Cauchy. Integrabilita' di funzioni continue; integrali definiti, funzioni integrali, integrali impropri. Primitive di funzioni elementari. Serie. Cenni sulle equazioni differenziali. TESTI CONSIGLIATI: - E. Acerbi - L. Modica - S. Spagnolo, Problemi scelti di Analisi Matematica I, Liguori - O. Caligaris - P. Oliva, Analisi Matematica I e II, ECIG - J.P. Cecconi - G. Stampacchia, Analisi Matematica I e II, Liguori - J.P. Cecconi - L. Piccinini - G. Stampacchia, Esercizi di Analisi Matematica I e II, Liguori - M. Chicco - F. Ferro, Esercizi svolti di Analisi Matematica II, ECIG - G. Geymonat, Lezioni di Matematica, Levrotto - T. Zolezzi, Analisi Matematica I e II, Opera universitaria MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Analisi Matematica 3 P. Oppezzi – E. Muselli

SEMESTRE: 1, CREDITI 8 OBIETTIVI: Fornire alcuni dei concetti di base dell’Analisi Matematica e la capacità di farne uso in problemi anche di origine applicata PREREQUISITI: Analisi Matematica 1, Analisi Matematica 2 PROGRAMMA: Calcolo differenziale in più variabili. Equazioni differenziali ordinarie : esistenza e unicità locale per problemi di Cauchy; sisemi ed equazioni lineari. Estremi relativi e condizioni di IIº ordine in più variabili; estremi vincolati. Convessità in più variabili. Teorema di Dini sulle

funzioni implicite. Curve parametriche regolari, integrale curvilineo, formule di Green, forme differenziali esatte TESTI CONSIGLIATI: - N.Fusco- P.Marcellini – C.Sbordone .”Analisi Matematica due” – ed. Liguori MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Analisi Matematica 4 P. Oppezzi – E. Muselli

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire alcuni dei concetti di base dell’Analisi Matematica e la capacità di farne uso in problemi anche di origine applicata PREREQUISITI: Analisi Matematica 1 , Analisi Matematica 2 PROGRAMMA: Serie numeriche e di funzioni; serie di potenze e sviluppi di in serie di Taylor. Cenno all’integrazione di Riemann in più variabili. Misura di Lebesgue nello spazio euclideo; integrazione secondo Lebesgue; teorema di convergenza dominata; teoremi di riduzione e di cambio di variabili negli integrali multipli; derivazione di integrali con parametro. Supirfici regolari nello spazio tridimensionale; integrali di superficie, formula di Stokes. TESTI CONSIGLIATI: - N.Fusco- P.Marcellini – C.Sbordone.”Analisi Matematica due” – ed. Liguori MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Analisi Superiore 1 G. Bottaro

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: fornire contenuti istituzionali dell'analisi (in teoria delle distribuzioni) che sono ritenuti fondamentali per gli studenti che hanno intenzione di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca o che comunque desiderano acquisire una solida preparazione nei settori di base della matematica PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare, Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1-2 PROGRAMMA: Premesse sugli spazi vettoriali topologici e sugli spazi vettoriali topologici localmente convessi; metrizzabilita'. Spazi di Frechet. Gli spazi di funzioni test. Risultati di densita'. Definizione di distribuzione. Ordine di una distribuzione. Distribuzioni positive. Distribuzioni a densita' finita. Distribuzioni a supporto compatto. Operazioni con le distribuzioni. Prodotto tensoriale di due distribuzioni. Derivazione. Studio di alcune equazioni differenziali. Topologia di D'. Convoluzione. Spazi di Sobolev. Applicazioni alle equazioni alle derivate parziali TESTI CONSIGLIATI: - Y. Choquet-Bruhat - Distributions, Theorie et problemes - Masson 1973 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Analisi Superiore 2 G. Mauceri

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione all’analisi armonica e ad alcune delle sue applicazioni. PREREQUISITI: Istituzioni di Analisi Superiore 1 e 2, Analisi Superiore 1. PROGRAMMA: Analisi armonica in Rn: convoluzione, distribuzioni, il teorema del nucleo di Schwartz, trasformata di Fourier. Applicazioni della trasformata di Fourier allo studio degli

operatori che commutano con le traslazioni. Soluzioni fondamentali di alcune delle equazioni classiche della Fisica Matematica. Nella seconda parte del corso verranno trattati uno o due argomenti a scelta tra: integrali singolari e teoria di Calderón-Zygmund, analisi armonica sul gruppo di Heisenberg, semigruppi fortemente continui in spazi di Banach. La scelta dipenderà dal tempo disponibile e dagli interessi degli studenti e del docente. TESTI CONSIGLIATI: Per la prima parte del corso: - L. Hörmander, The Analysis of Linear partial Differential Operators; I, - W. Rudin, Functional Analysis; - M. Reed, B. Simon, Methods of Modern Mathematical Physics I; - R. Strichartz A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Applicazioni della Matematica alla Medicina M. Piana - Massone

SEMESTRE: 2, CREDITI 6 OBIETTIVI: Il corso intende descrivere la modellizzazione matematica di due problemi tomografici di grande interesse in ambito medico: la tomografia a raggi X e la tomografia a microonde. In ambedue i casi, l’obiettivo della trattazione e’ duplice: da una parte evidenziare come formalismi matematici sofisticati sono indispensabili per la comprensione di due problemi di cosi’ grande valenza applicativa; dall’altra, dotare gli studenti degli strumenti numerici necessari all’elaborazione delle immagini provenienti da queste modalita’ di acquisizione. PREREQUISITI: l’unico prerequisito sostanziale e’ la conoscenza degli spazi di Hilbert e della teoria degli operatori continui lineari tra questi spazi. Per il resto, il corso si propone di essere completamente autoconsistente. PROGRAMMA: Parte I (Modelli): Tomografia a raggi X: generalita’. Trasformata di Radon. Tomografia a diffrazione: generalita’. Approssimazioni di Born e Rytov. Tomografia a diffrazione: generalita’. Teoria dello scattering inverso. Parte II (Metodi): Filtered Back Projection. Linear sampling method. Tomografia a microonde a impulso chirp. TESTI CONSIGLIATI: - Natterer F. And Wubbeling F 2001 Mathematical Methods in Image Reconstruction (SIAM, Philadelphia) - Colton D and Kress R 1998 Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory (Springer, Berlin) - Bertero M and Boccacci P 1998 An Introduction to Linear Inverse Problems in Imaging (IOP, Bristol)

Calcolo delle Probabilita’ e Statistica Matematica E. Sasso – E. De Vito

SEMESTRE: 2, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Scopo del corso e’ conferire i concetti di base per poter costruire un modello probabilistico. PREREQUISITI: Argomenti svolti in Analisi I PROGRAMMA: Probabilità elementare, concetto di indipendenza, variabili aleatorie discrete, densità discrete notevoli (uniforme, di Bernoulli, binomiale, di Poisson, geometrica, ipergeometrica, binomiale negativa). Speranza matematica, varianza, disuguaglianza di Chebycev, covarianza, coefficiente di correlazione (cenni di modelli di regressione lineare). Schema di Bernoulli. Passeggiate aleatorie. Variabili casuali continue (uniforme, esponenziale, normale). Legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. Cenni di Statistica inferenziale: intervalli di confidenza. TESTI CONSIGLIATI:

- P. Baldi, Calcolo delle Probabilita’ e Statistica Matematica MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Calcolo Numerico P. Brianzi – G. Ferrari

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Il corso riprende ed approfondisce alcuni argomenti gia' introdotti nel corso di Fondamenti di Calcolo Numerico e ne introduce di nuovi, preparando lo studente alle varie tematiche che potra' incontrare in ambito applicativo. Parte integrante del corso sono da considerarsi le esercitazioni di laboratorio dove si sperimenta e si verifica la teoria fatta a lezione. PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2, Fondamenti di Calcolo Numerico PROGRAMMA: Metodi di decomposizione e metodi iterativi per sistemi lineari. Soluzioni di equazioni non lineari. Interpolazione polinomiale. Integrazione numerica: formule di quadratura di Newton-Cotes e formule generalizzate dei trapezi e di Cavalieri-Simpson. Interpolazione con funzioni spline e funzioni trigonometriche. Minimi quadrati nel continuo. Polinomi ortogonali e formule di quadratura Gaussiana. TESTI CONSIGLIATI: - G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998 - D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici per l' Algebra Lineare - Zanichelli 1988 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici - Zanichelli 1992. MODALITÀ DI ESAME: prova orale, prova di laboratorio

Complementi di Fisica 1 B. Osculati

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Delineare le idee alla base dei profondi mutamenti della Fisica nel primo 900 nel contesto della crisi della Fisica Classica. PREREQUISITI: i corsi di Fisica del triennio PROGRAMMA: Teoria cinetica: pressione, distribuzione delle velocità, energia interna, urti molecolari e cammino libero medio, equazione del trasporto (applicazione alla conduzione del calore). Entropia ed irreversibilità. La crisi della fisica classica: cenni storici, trasformazioni di Lorentz e conseguenze sperimentali, corpo nero, effetto fotoelettrico, cenni ai modelli atomici, atomo di Bohr e i livelli atomici, produzione di coppie, principio di indeterminazione. TESTI CONSIGLIATI:D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Fondamenti di Fisica :Fisica Moderna MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Complementi di Fisica 2 G. Dillon

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Partendo da complementi di fisica classica, dare le basi concettuali della meccanica quantistica e fornire una panoramica della fisica moderna. PREREQUISITI: i corsi di Fisica del triennio e Complementi di Fisica 1 PROGRAMMA: Oscillazioni e onde classiche. Onde di De Broglie e meccanica ondulatoria. Diffrazione, interferenza (cenni all’ottica di Fourier). Esperimento delle due fenditure a bassa intensita’, sovrapposizione degli stati e coerenza. Spin. La meccanica quantistica (MQ) e la sua struttura

matematica. Sistemi composti. Cenno ai paradossi della MQ. Panoramica di fisica moderna: maser e laser, fisica nucleare e subnucleare. Dimostrazioni di laboratorio: alcune esperienze di ottica. TESTI CONSIGLIATI: D.Halliday,R.Resnick,J.Walker: Fondamenti di Fisica :Fisica Moderna MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Complementi di Storia delle Matematiche A.C. Garibaldi – G. Fenaroli

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Condurre gli studenti ad affrontare questioni di sviluppo storico della Matematica attraverso una comprensione maturata criticamente in modo personale. PREREQUISITI: Nozioni di Algebra, Geometria analitica ed Analisi, nonché il corso di Istituzioni di Storia delle Matematiche. PROGRAMMA: Il corso, intitolato “L’arte analitica”, esporrà la fondazione dell’Algebra simbolica e la sua applicazione alla Geometria nell’ambito della metodologia di “analisi e sintesi” proveniente dall’antichità e rivisitata nel secolo XVII. Tra le nuove acquisizioni appare lo sviluppo graduale dei concetti di curva, tangente, area che, attraverso la geometria cartesiana e il calcolo differenziale, conducono alla prima sistemazione della Matematica superiore. TESTI CONSIGLIATI: Saranno distribuiti vari testi, in originale o in intraduzione, relativi ai temi trattati. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Curve Ellittiche C. Pedrini

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Introduzione ai vari aspetti della teoria delle curve elliittiche: geometrici , aritmetici e applicativi PREREQUISITI: Proprieta’ delle curve algebriche . Corpi finiti , estensioni algebriche PROGRAMMA: Classificazione delle curve ellittiche (l’invariante j). Il gruppo dei punti di una curva ellittica. Endomorfismi di una curva ellittica. Curve definite su un corpo finito: numero dei punti razionali. Le congetture di Weil. L’invariante di Hasse. Curve ellittiche e teoria dei codici. TESTI CONSIGLIATI: - E.SERNESI: Geometria I (Bollati Boringhieri) pagg 412 -420 - R.HARTSHORNE: Algebraic geometry (Springer -Verlag )pagg . 3 16-340 - J.SILVERMAN The arithmetic of elliptic curves(Sprinter–Verlag).Chap V - G.VAN DER GEER: Introduction to coding theory and Algebraic geometry (with J.van Lint) (Birkhauser 1988) pagg 73 -80 MODALITÀ DI ESAME:orale

Didattica della Matematica 1 P. Boero

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Realizzare un primo approccio degli studenti alle problematiche dell’insegnamento e dell’apprendimento della matematica, anche con finalità di orientamento alla professione,e come prerequisito per i corsi di Didattica della laurea magistrale. PREREQUISITI: I corsi di base del I biennio della laurea triennale PROGRAMMA: Attività di problem solving su questioni di base della matematica (di livello liceale e del I biennio della laurea triennale) forniranno spunti, attraverso l’analisi delle risoluzioni prodotte

e delle difficoltà incontrate, per introdurre strumenti interpretativi propri della Didattica della Matematica e per approfondire questioni di insegnamento-apprendimento della matematica riguardanti la costruzione dei concetti, l’uso dei diversi linguaggi nelle attività matematiche, la produzione di congetture e la costruzione di dimostrazioni. TESTI CONSIGLIATI: verranno distribuiti capitoli di libri e materiali di studio sui temi del corso MODALITÀ DI ESAME: valutazione continua durante il corso, con relazione finale e discussione. Prova orale.

Didattica della Matematica 2 F. Furinghetti

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Il corso di Didattica della Matematica 2 ha carattere professionalizzante essendo essenzialmente orientato a preparare all’insegnamento della matematica nella scuola secondaria. Nello stesso tempo può avviare gli studenti alla ricerca in didattica della matematica e in storia dell’insegnamento della matematica. Con il corso si vuole promuovere un atteggiamento di carattere metacognitivo sull’insegnamento/apprendimento della matematica e sulla costruzione della razionalità nell’individuo. La formazione che si intende dare può quindi portare a impieghi nel campo dell’insegnamento e della ricerca, ma anche a applicazioni nell’industria (formazione pre e in servizio), consulenze per le agenzie preposte all’istruzione e alla formazione secondo il modello dell’educational consultant anglosassone, consulenze per l’editoria e la divulgazione, giornalismo scientifico. PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica, Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel primo anno di laurea specialistica. PROGRAMMA: I contenuti riguardano la costruzione degli oggetti matematici da parte degli studenti. Questo tema include lo studio di problemi di apprendimento e di tecniche di insegnamento nel campo cognitivo e affettivo. Gli aspetti di carattere cognitivo sono affrontati nell’ambito dell’apprendimento dell’algebra e nel percorso degli studenti verso la razionalità e sono anche discussi alla luce della storia, con riflessioni sul tema della ricapitolazione. Nell’ambito affettivo si richiamano i temi della creatività matematica nei lavori classici dei matematici e i temi delle difficoltà legate alla concezione della matematica e della persona. Questa parte avvia all’uso di tecniche di indagine (questionari, protocolli, interviste, analisi di video) sull’immagine della matematica e sui suoi rapporti con la società e la cultura in generale. Un tema laterale è quello della storia dell’insegnamento matematico che è sviluppato con metodo storico sui materiali presenti in dipartimento nella biblioteca Loria. TESTI CONSIGLIATI: - Bednarz, N., Kieran, C. & Lee, L. (editors), Approaches to algebra. Perspectives for research and teaching, Kluwer, Dordrech, 15-37. - McLeod, D.B.: 1992, ‘Research on affect in mathematics education: a reconceptualization’, in D.A. Grouws (ed.), Handbook of research on mathematics learning and teaching, Macmillan, New York, 127-146. - Schoenfeld, A.H.: 1983, ‘Beyond the purely cognitive: Beliefs systems, social cognitions, and metacognitions as driving forces in intellectual performance’, Cognitive Science, v.7, 329-363. - Schoenfeld, A.H.: 1992, ‘Learning to think mathematically: problem solving, metacognition and sense making in mathematics’, in D.A. Grows (ed.), Handbook of research in mathematics learning and teaching, Macmillan, New York, 334-370. - Skemp, R.R.: 1976, ‘Relational understanding and instrumental understanding’, Mathematics teaching, v. 77, 20-27. - Tall, D. & Vinner, S.: 1981, ‘Concept image and concept definition with particular reference to limits and continuity’, Educational studies in mathematics, v. 12, 151-169.

- Tall, D.: 1989, Concept images, generic organizers, computers, and curriculum change. For the Learning of Mathematics v.9, n.3, 37-42.

Elettromagnetismo e Ottica R. Contri

SEMESTRE: 2, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Comprensione, basata su considerazioni sperimentali, delle leggi fondamentali dell'elettromagnetismo e dell'ottica e del loro ruolo in altri settori della scienza e della tecnologia. Capacità di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. PREREQUISITI: calcolo differenziale e integrale (anche a livello elementare) per funzioni di più variabili. Metodi e nozioni di base della fisica (misura, grandezze scalari e vettoriali, analisi dimensionale e sistemi di unità di misura) e dei concetti e leggi fondamentali della meccanica classica PROGRAMMA: Elettrostatica (campo elettrico, potenziale), condensatori, correnti e circuiti, magnetismo (forza di Lorentz, legge di Ampère, induzione elettromagnetica, cenni sul magnetismo nella materia, circuiti in alternata, corrente di spostamento), equazioni di Maxwell ed emissione di onde elettromagnetiche. Elementi di ottica geometrica (riflessione, rifrazione, principio di Fermat, costruzione di Huygens, specchi e lenti sottili) e ondulatoria (interferenza, diffrazione, reticoli, polarizzazione). TESTI CONSIGLIATI: - Halliday, Resnick, Krane: Fisica 2, Casa Editrice Ambrosiana MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale (a richiesta dello studente oppure in caso di voto scritto lievemente insufficiente o appena sufficiente).

Equazioni Differenziali G. Mauceri

SEMESTRE: 2, CREDITI 7 OBIETTIVI: Lo scopo del corso è di fornire un’introduzione alla teoria delle equazioni differenziali alle derivate parziali. PREREQUISITI: Analisi Matematica 1-4, Istituzioni di Analisi Superiore 1 PROGRAMMA: Verranno studiate le equazioni del primo ordine quasi-lineari e alcune equazioni lineari classiche della Fisica Matematica: le equazioni di Laplace, di Poisson, l'equazione del calore e l'equazione delle onde, discutendo principi generali (proprietà di media, principio di massimo, stime dell'energia) e le loro conseguenze. Verranno anche ricavate formule risolutive esplicite per domini con geometria semplice. Infine verranno presentati tecniche generali per ottenere formule esplicite come la separazione di variabili, soluzioni per similarità, metodi basati sulle trasformate, sviluppi in serie di potenze. TESTI CONSIGLIATI: - S. Salsa, Equazioni a derivate Parziali, Metodi, modelli e applicazioni, Springer-Verlag Italia 2004. - L. C. Evans, Partial Differential Equations, Graduate Studies in Math. Vol. 19, 1998, American Mathematical Society, Providence R. I. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Fondamenti di Calcolo Numerico P. Brianzi – G. Ferrari

SEMESTRE: 1, CREDITI: 6

OBIETTIVI: Il corso vuole offrire le nozioni matematiche e metodologiche che stanno alla base delle tecniche del calcolo scientifico. Parte integrante del corso sono da considerarsi le esercitazioni di laboratorio dove lo studente sperimenta e verifica la teoria fatta a lezione. PREREQUISITI: Algebra lineare, Analisi 1 e 2 PROGRAMMA: Teoria degli errori. Soluzione di sistemi lineari: condizionamento, metodo di Gauss con strategia del pivoting, fattorizzazioni di matrici: LU e Cholesky e applicazioni. Autovalori di matrici: metodo delle potenze e sue varianti, trasformazioni per similitudine e trasformazioni di Householder: fattorizzazione QR, riduzione a forma di Hessenberg o tridiagonale, cenni sul metodo QR. Approssimazione di funzioni: minimi quadrati discreti: risoluzione tramite le equazioni normali. Decomposizione ai valori singolari e applicazioni al problema dei minimi quadrati discreti. Metodo di Eulero per la soluzione numerica di equazioni differenziali. TESTI CONSIGLIATI: - G. Monegato - Fondamenti di Calcolo Numerico - CLUT 1998 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Introduzione alla Matematica Computazionale - Zanichelli 1987 - R. Bevilacqua, D. Bini, M. Capovani, O. Menchi - Metodi Numerici - Zanichelli 1992 MODALITÀ DI ESAME: prova orale, prova di laboratorio

Fisica Matematica 2 C. Bartocci

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Gli strumenti della geometria differenziale – in particolare, i gruppi di Lie e la teoria delle connessioni su fibrati vettoriali e principali – hanno un ruolo primario nella formulazione delle teorie fisiche di campo, dall’elettromagnetismo alle teorie di gauge non abeliane. Scopo del corso è offrire una prima introduzione a queste tematiche. PREREQUISITI: Geometria Differenziale. PROGRAMMA: Introduzione ai gruppi di Lie e alle algebre di Lie. Fibrati vettoriali; connessioni lineari. Equazioni di Maxwell e loro invarianza relativistica. Fibrati principali; gruppo di gauge e spazio delle connessioni modulo trasformazioni di gauge. Equazioni di Yang-Mills; equazioni di autodualità. Instantone di ‘t Hooft su S4. Spazio dei moduli di istantoni (cenni introduttivi) TESTI CONSIGLIATI: - M. Atiyah, Geometry of Yang-Mills Fields, Lezioni Fermiane, Accademia Nazionale dei Lincei & Scuola Normale Superiore, Pisa 1979. - T. Bröcker e T. tom Dieck, Representations of compact Lie Groups, Springer-Verlag, New York 1985. - B. Felsager, Geometry, Particles, and Fields, Springer-Verlag, New York 1997 - D.S. Freed e K.K. Uhlenbeck, Instantons and Four-Manifolds, Springer-Verlag, New York 1984. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Fondamenti Matematici della Teoria dell’Apprendimento Statistico A. Verri – M. Piana – E. De Vito

SEMESTRE: 2, CREDITI: 6 OBIETTIVI: questo corso si propone di illustrare le basi teoriche del problema dell'apprendimento statistico da esempi. Accanto all'approccio tradizionale di tipo statistico combinatorio verra' presentato un approccio che utilizza gli strumenti dell'analisi funzionale. Il corso enfatizza le connessioni della teoria con la teoria dei problemi inversi e con la teoria della regolarizzazione per problemi mal posti e prevede un'attività di laboratorio legata all'implementazione di alcuni algoritmi e una parte in cui verranno illustrate applicazioni.

PREREQUISITI: 1) elementi di teoria della probabilità; 2) spazi di Hilbert e operatori lineari continui tra spazi di Hilbert; 3) interpolazione lineare. PROGRAMMA: Si prevedono 24 lezioni di 2 ore l'una divise in: 16 lezioni di teoria, 6 lezioni di analisi degli algoritmi e laboratorio e 2 lezioni di applicazioni. Argomenti: teoria dell'apprendimento statistico (approccio combinatorio e analitico-funzionale), teoria dei problemi mal posti e della regolarizzazione, analisi e implementazione di algoritmi e metodi per l'apprendimento da esempi, applicazioni (computer vision, bio-informatica, etc.). TESTI CONSIGLIATI: - V. N. Vapnik. The Nature of Statistical Learning Theory. Springer, 1995. - F. Cucker and S. Smale. On The Mathematical Foundations of Learning. Bulletin of the American Mathematical Society, 2002 . - L. Gyorfi, M. Kohler, A. Krzyzak, H. Walk, A Distribution_Free Theory of Nonparametric Regression. Springer, 2002. - T. Hastie, R. Tibshirani and J. Friedman. The Elements of Statistical Learning Springer 2001. MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Geometria 1 C. Pedrini – L. Ramella

SEMESTRE 1, CREDITI 8 OBIETTIVI:Fondamenti di Topologia e cenni sulla geometria differenziale di curve e superfici PREREQUISITI: Geometria Analitica , Algebra Lineare PROGRAMMA: 1) Topologia generale. Spazi euclidei, spazi metrici, spazi topologici. Sottospazi, prodotti, quozienti. Proprietà topologiche: compattezza, connessione, Hausdorff, Spazi metrici completi. 2) Curve e superficie dello spazio euclideo. Curve regolari, rappresentazioni implicita e parametrica, curvatura e torsione, le formule di Frenet. Superficie regolari, rappresentazioni implicita e parametrica, vettori tangenti, piano tangente, vettore normale, mappe differenziabili. Curvatura di Gauss.

Geometria 2 M. Beltrametti – E. Carletti

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Nel corso vengono sviluppati argomenti di Geometria Proiettiva e forniti alcuni elementi base di Topologia Algebrica, necessari per i corsi di contenuto algebrico-geometrico degli anni successivi. PREREQUISITI: I contenuti dei corsi di Algebra Lineare, Geometria Analitica e Geometria 1. PROGRAMMA: Prima parte: Geometria proiettiva. Generalità sugli spazi proiettivi. Dualità. Immersione dello spazio affine nello spazio proiettivo. Proiettività dello spazio proiettivo. La retta proiettiva. Polarità. Classificazione proiettiva ed affine delle coniche del piano e delle quadriche dello spazio. Seconda parte: Elementi di Topologia Algebrica. Omotopia di archi. Il gruppo fondamentale. Il gruppo fondamentale della circonferenza. Teorema del punto fisso di Brouwer. Un' applicazione notevole: prova del teorema fondamentale dell'algebra. TESTI CONSIGLIATI: - M.C. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati e G. Monti Bragadin, Lezioni di geometria analitica e proiettiva, Collana Nuova Didattica, Bollati Boringhieri, Torino, 2003. - M.C. Beltrametti, E. Carletti, Elementi di Topologia Algebrica (Appunti per il Corso di Geometria 2) MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Geometria Algebrica 1 M. Beltrametti

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Obbiettivo del corso è quello di fornire conoscenze di base utili per il proseguimento degli studi nel settore algebrico-geometrico. Il livello del corso è essenzialmente elementare e non presuppone contenuti di altri corsi di geometria della laurea specialistica (e può essere a questi propedeutico). PREREQUISITI: I contenuti dei corsi di algebra e geometria del corso di laurea triennale. PROGRAMMA (preliminare): Ipersuperficie dello spazio proiettivo. Sistemi lineari. Curve algebriche. Serie lineari sopra una curva algebrica. Il gruppo di Picard. Immagine proiettiva di una serie lineare. Il teorema di riduzione ed il teorema di Riemann-Roch. La serie canonica di una curva e la sua immagine proiettiva. Esempi ed esercizi. TESTI CONSIGLIATI: - M.C Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati e G. Monti Bragadin, Letture su Curve, Superficie e Varietà Proiettive Speciali--un'Introduzione alla Geometria Algebrica, Collana Nuova Didattica, Bollati Boringhieri, Torino, 2003. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Geometria Analitica M.G. Marinari – E. Carletti

SEMESTRE: 2, CREDITI 8 OBIETTIVI: fornire gli elementi di base della geometria affine ed euclidea PREREQUISITI: Algebra Lineare e Algebra 1. PROGRAMMA: Spazi affini, proprietà generali, esempi. Sottospazi affini e le loro equazioni. Insiemi di punti affinemente indipendenti. Automorfismi affini e le loro equazioni. Teorema di dimensione per sottospazi affini e applicazioni. Sottospazi affini paralleli. Prodotto scalare, proprietà, esempi. Spazi vettoriali euclidei. Il procedimento di Gram-Schmidt. Automorfismi vettoriali ortogonali. Classificazione. Spazi affini euclidei. Distanza tra due punti. Angolo tra due rette. Geometria degli spazi affini euclidei di dimensione 2 e 3. Isometrie. Classificazione delle isometrie in dimensione 2 e 3. Coniche e quadriche. Proprietà generali. Classificazione. Fasci di coniche. Applicazioni.). TESTI CONSIGLIATI: - E. Sernesi Geometria vol 1, ed Bollati-Boringhieri - L. Badescu - E. Carletti - G. Monti-Bragadin Appunti disponibili in rete MODALITA’ D’ESAME: prova scritta, prova orale (compitini)

Geometria Differenziale

G. Monti Bragadin SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Introduzione elementare ai concetti ed ai metodi della geometria differenziale moderna PREREQUISITI: i contenuti dei corsi di Geometria Analitica,Geometria I e II,Analisi I e II PROGRAMMA: Varieta’ topologiche; strutture differenziabili, vettori tangenti, mappe indotte, sottovarieta’. Campi di tensori, forme differenziali, derivazione di Lie. Metriche riemanniane, proprieta’ metriche delle varieta’ riemanniane; derivazione covariante, trasporto parallelo, geodetiche; teorema di Hopf-Rinow. Come applicazione richiami della teoria classica di curve e superficie. TESTI CONSIGLIATI:

- Boothby :An introduction to differentiable manifolds and riemannian geometry, Academic Press 1975 - Gallot-Hulin –Lafontaine: Riemannian geometry,Sprinter 1990 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Geometria Superiore 1 L. Badescu

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Introduzione ai fasci e coomologia dei fasci PREREQUISITI: Corsi di Istituzioni di Geometria Superiore 2, Algebra Superiore 1. PROGRAMMA: Fasci su uno spazio topologico (teoria generale), fasci su una varieta’ algebrica. Comologia Cech dei fasci, esempi e applicazioni. Calcolo della coomologia delle varieta’ affini e dello spazio proiettivo. Fasci invertibili e gruppo di Picard. Esempi e applicazioni. TESTI CONSIGLIATI: - Le dispense del titolare del corso - G. Kempf, Algebraic Varieties, Cambridge, 1995 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Geometria Superiore 2 P. Ionescu

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Obiettivo del corso, naturale prosecuzione di Geometria Superiore 1, è quello di fornire alcune conoscenze di base utili per affrontare lo studio di argomenti di geometria algebrica. PREREQUISITI: I contenuti del Corso di Geometria Superiore 1 PROGRAMMA: Un programma di massima (uno più dettagliato sarà disponibile più avanti) comprende i seguenti argomenti. 1. Coomologia e forme differenziali su una varietà proiettiva. Alcune proprietà degli aperti affini di una varietà proiettiva. Coomologia di Cech e coomologia di Grothendieck. Coomologia di varietà proiettive. Caratteristica di Eulero-Poincaré. Il genere aritmetico di una varietà proiettiva. Il fascio dei germi di funzioni razionali sulle varietà proiettive. Il fascio dei germi di funzioni meromorfe. Funzioni razionali e funzioni meromorfe su una varietà proiettiva irriducibile. Il fascio delle 1-forme differenziali. Forme differenziali di grado maggiore di 1. Il fascio canonico. Forme differenziali algebriche. Parametri uniformizzanti. Le p-forme differenziali regolari. Il fascio canonico dello spazio proiettivo. Comportamento delle 1-forme differenziali per morfismi. Restrizione a una sottovarietà. Dualità di Serre. Fascio dualizzante. 2. Il gruppo di Picard di una varietà proiettiva. Divisori di Cartier sopra una varietà algebrica. Divisori principali. Equivalenza lineare di divisori. Il gruppo delle classi di divisori. Il fascio invertibile associato a un divisore di Cartier. Classi di divisori e gruppo di Picard. Divisori di Weil. Sistemi lineari di divisori. Immagine inversa di un divisore. Restrizione di un divisore a una sottovarietà, sistema caratteristico di un divisore. ll problema di Riemann e Roch. Il teorema di Riemann-Roch per curve e superficie proiettive non singolari. Applicazioni a problemi di fattorialità ed esempi.

Istituzioni di Analisi Superiore 1 L. Burlando

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7

OBIETTIVI: Fornire le basi dell'analisi funzionale e della teoria delle funzioni di una variabile complessa. PREREQUISITI: Corsi di analisi del primo biennio; topologia. PROGRAMMA: Teoria della misura; spazi Lp; spazi normati; spazi di Banach; variabile complessa. TESTI CONSIGLIATI: - A. E. Taylor, D. C. Lay: Introduction to Functional Analysis, 2nd edition - W. Rudin: Analisi reale e complessa - W. Rudin: Analisi funzionale MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Istituzioni di Analisi Superiore 2 G. Bottaro

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: fornire contenuti istituzionali dell'analisi (in teoria della misura, analisi funzionale e teoria spettrale) che sono ritenuti fondamentali per gli studenti che hanno intenzione di proseguire gli studi in un dottorato di ricerca PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare, Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1 PROGRAMMA: Teorema di Radon-Nikodym; duali di L^p e di C_{infinito}; funzioni a variazione limitata, assolutamente continue, teorema di cambiamento di variabile per l'integrale di Lebesgue. Topologia debole e debole stella, teorema di Alaoglu; spazi riflessivi. Teorema di Ascoli Arzela'. Operatore risolvente; spettro. Operatori lineari compatti, teorema dell'alternativa di Fredholm, teoria di Riesz-Schauder per operatori compatti, teorema della mappa spettrale. Analisi spettrale negli spazi di Hilbert. TESTI CONSIGLIATI: - H. Brezis - Analyse Fonctionnelle, Theorie et applications - Masson 1983. - N. Dunford, J.T. Schwartz - Linear Operators. Part I: General Theory - Interscience 1957. - W. Rudin - Real and Complex Analysis - McGraw-Hill 1970. - A.E. Taylor, D.C. Lay - Introduction to Functional Analysis - Wiley and Sons 1980. MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Istituzioni di Fisica Matematica 1

C. Bartocci SEMESTRE:1 , CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire conoscenze di base per lo studio del moto dei continui rigidi e dei continui deformabili, evidenziando il differente ruolo dei principi fisici e degli strumenti matematici.In particolare si esaminerà il procedimento di costruzione di alcuni problemi tipici della fisica matematica e della matematica applicata (equazioni alla derivate parziali con dati al contorno e/o iniziali). PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori dei primi due anni della Laurea triennale in Matematica PROGRAMMA: Meccanica del corpo rigido: quantità meccaniche per il corpo rigido e tensore d'inerzia; dinamica del corpo rigido libero e vincolato (esempi); trottola di Lagrange. Sistemi continui deformabili: deformazioni; moto; conservazione della massa; bilancio di quantità di moto, momento angolare, energia; disequazione entropica; equazione del calore in un mezzo in quiete. Fluidi perfetti: generalità sul modello; equazioni di moto; cenni di idrostatica; flussi rotazionali e irrotazionali. Fluidi viscosi: generalità sulla viscosità; equazioni di moto; esempi di flussi; cenni di termodinamica dei fluidi viscosi.

TESTI CONSIGLIATI: - A. Fasano, S. Marmi, Meccanica analitica, Bollati Boringhieri, Torino 2002 - A. Chorin A. & J. Marsden, A mathematical introduction to fluid mechanics, Springer-Verlag, 1993 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Istituzioni di Fisica Matematica 2 E. Massa

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: creazione e utilizzo di strumenti di Geometria Differenziale in Fisica Matematica. Applicazioni allo studio della Teoria della Relatività. PREREQUISITI: Conoscenza dei fondamenti del calcolo tensoriale, della teoria delle varietà differenziabili, e dei principali operatori differenziali sulle varietà stesse (derivata di Lie, differenziale esterno). Utile, ma non indispensabile, una conoscenza dei fondamenti fisici della Teoria della Relatività Speciale. PROGRAMMA: 1) Teoria dell'integrazione su varietà, concetti metrici, teorema di Stokes. 2) Fibrato dei riferimenti su una varietà. Teoria delle connessioni, derivazione covariante. 3) Lo spazio-tempo come varietà differenziabile. Principio di relatività, e struttura riemanniana dello spazio tempo. Deviazione geodetica, e significato fisico della curvatura. 4) Formulazione quadridimensionale della Relatività Speciale: trasformazioni di Lorentz. Cinematica relativistica. Dinamica relativistica. Elettrodinamica relativistica nel vuoto. TESTI CONSIGLIATI: - Dispense del corso. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Istituzioni di Geometria Superiore D. Arezzo – M.P. Cavaliere

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Dare agli studenti le nozioni principali riguardanti la teoria delle estensioni dei campi, quella della risolubilità per radicali delle equazioni algebriche e della costruibilità delle figure geometriche con riga e compasso. PREREQUISITI: I contenuti standard dei corsi di Algebra, Algebra Lineare, e di parte del corso di Analisi 1. PROGRAMMA: Breve rivisitazione degli insiemi numerici. Domini euclidei, principali, noetheriani, fattoriali. Estensioni dei campi. Elementi algebrici e trascendenti, Estensioni algebriche. Campo di decomposizione di un polinomio. Teorema dell’elemento primitivo. Cgiusura algebrica di un campo. Estensioni normali. Trascendenza di R su Q. Gruppi di permutazione. Teoremi di Sylov. Gruppi di ordini p, p2, p3, pq. Gruppi risolubili. Gruppo di Galois di una estensione e di una equazione algebrica. Corrispondenza di Galois. Equazioni risolubili per radicali. Costruzioni geometriche con riga e compasso. Problemi classici. Ciclotomia. TESTI CONSIGLIATI: - Mimmo Arezzo – Dispense di Istituzioni di Geometria Superiore. MODALITÀ DI ESAME : Prova scritta e prova orale.

Istituzioni di Geometria Superiore 2 L. Badescu – L. Ramella

SEMESTRE: 1, anno, CREDITI: 7 OBIETTIVI: introdurre e studiare i primi concetti fondamentali della Geometria Algebrica

PREREQUISITI: Corsi di Geometria Analitica, Geometria 2, Algebra 1 e Algebra 2 PROGRAMMA: Hilbert Nullstellensatz e il legame con l’ Algebra Commutativa. Insiemi algebrici affini e proiettivi, applicazioni regolari e applicazioni razionali tra due insiemi algebrici, funzioni regolari e funzioni razionali su un insieme algebrico, l’anello locale in un punto di un insieme algebrico. Esempi. Risultanti e applicazioni geometriche: teorema di Bezout per le curve del piano proiettivo. Conseguenze. Studio locale: punti singolari, punti nonsingolari, spazio tangente in un punto. Anelli di valutazione discreta e conseguenze. TESTI CONSIGLIATI: - Le dispense del titolare del corso (visibili in rete) - M. Reid, Undergraduate Algebraic Geometry, Cambridge 1994. - I.R. Shafarevich, Basic Algebraic Geometry, Springer, 1974 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Istituzioni di Logica Matematica G. Rosolini

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Il corso è rivolto principalmente agli studenti dei Corsi di Laurea di Matematica, ma negli anni passati è stato proficuamente seguito anche da studenti dei Corsi di Laurea di Informatica, di Fisica, di Filosofia, e da dottorandi. Il corso affronta alcuni problemi fondamentali della matematica del XX secolo: l'indipendenza dell'Assioma di Scelta (AC) e dell'Ipotesi del Continuo (CH) dai postulati della Teoria Elementare degli Insiemi. PREREQUISITI: Le nozioni di base che si ottengono in un corso teorico di algebra, geometria o analisi: insiemi e funzioni, esempi di strutture algebriche. PROGRAMMA: Nella prima parte, si riassume la teoria elementare degli insiemi in modo assiomatico, presentando un nuovo elenco di postulati, molto semplice, e soprattutto molto più adatto alla pratica matematica di quanto non lo siano altri quali ad esempio quelli della teoria ZF. Nella seconda parte, si affronta il problema di costruire modelli per la teoria, producendo poi due esempi che provano l'indipendenza di AC e CH. TESTI CONSIGLIATI: - Colin McLarty. Elementary categories, elementary toposes. Oxford Logic Guides, 21, Oxford University Press, New York, 1992. Collocazione al CSBMI "E. Togliatti": MAT 18-1992-06 - Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk. Sheaves in geometry and logic. Universitext, Springer-Verlag, New York, 1994. Collocazione della prima edizione al CSBMI "E. Togliatti": MAT 18-1992-04 MODALITA’ DI ESAME: prova scritta

Istituzioni di Storia delle Matematiche A.C. Garibaldi – G. Fenaroli

SEMESTRE: 2, CREDITI: 6 OBIETTIVI: Presentare a grandi linee la nascita e lo sviluppo storico delle principali discipline matematiche (Aritmetica, Algebra, Geometria e Analisi) sottolineando in modo particolare la valenza di questo approccio per la Didattica PREREQUISITI: Nozioni di Matematica elementare, di Geometria Analitica e di Analisi. PROGRAMMA: Il corso si propone di tracciare un breve profilo storico della Matematica inserita in un quadro cronologico delle varie epoche, dai primordi della civiltà allo sviluppo della Scienza “moderna”. Saranno delineati quindi i vari passi della Aritmetica, dal calcolo degli Egizi e dei Babilonesi alla teoria dei numeri. Particolare considerazione verrà dedicata all’Algebra, dalle forme primitive e medioevali dell’arte della “cosa” alla costituzione di una disciplina con simboli e notazioni letterali proprie. Si passerà poi alla Geometria elementare, costruita negli Elementi di

Euclide, proseguendo poi con i problemi più avanzati, punto di partenza della Geometria analitica. La riflessione sui metodi di quadratura degli antichi conduce, nel secolo XVII, all’invenzione dei nuovi e potenti strumenti che culminano nell’invenzione dell’Analisi infinitesimale. Si sottolinea in modo particolare la valenza di questo approccio per la didattica TESTI CONSIGLIATI:

- Storia della Matematica di C.B. Boyer. Verrà inoltre distribuito materiale consistente in Schemi cronologici e Appunti su argomenti specifici. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Laboratorio di Didattica della Matematica L. Parenti

SEMESTRE: 2, CREDITI: 5 OBIETTIVI: l’obiettivo principale è collegare alle attività osservate/partecipate nelle scuole riflessioni: 1) sui contenuti matematici e sulle problematiche didattiche connesse con il loro insegnamento, al fine di superare alcuni stereotipi propri della scuola; recuperare il significato di matematica come strumento per modellizzare la realtà/fenomeni reali (che consente letture storiche, anticipazioni, generalizzazioni, … della realtà/fenomeno in esame) oltre che come teoria (nei suoi aspetti interni: linguaggio specifico, definizioni, assiomi, …); 2) su alcune questioni inerenti lo sviluppo delle competenze argomentative in campo matematico (anche con attenzione all’avvio al pensiero teorico e alla dimostrazione); 3) su alcuni problemi didattici e culturali inerenti l'uso di strumenti di calcolo e di tecnologie informatiche nell'insegnamento della matematica. PREREQUISITI: conoscenze di base di Analisi Matematica, Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel primo anno di laurea specialistica. PROGRAMMA: verranno analizzati e discussi con attenzione ai contenuti matematici in gioco, ai problemi di insegnamento/apprendimento ad essi connessi e in vista di possibili attività in classe: 1) elaborati, situazioni didattiche, strumenti di insegnamento e di valutazione raccolti nelle scuole; 2) itinerari didattici realizzati con particolare attenzione allo sviluppo delle competenze argomentative ed all'avvio alla dimostrazione (alcuni anche con l’utilizzo di calcolatrici tascabili e del software Cabri); TESTI CONSIGLIATI: - “Parole-chiave” e unità di lavoro del Progetto Speciale per l'Educazione Scientifica e Tecnologica (SeT) e del Progetto MIUR-DIMA “La modellizzazione matematica nell'insegnamento/apprendimento della matematica”, all'indirizzo http://didmat.dima.unige.it - il sito “MAtematica per COnoscere e per Sapere”, all’indirizzo http://macosa.dima.unige.it - nell'ambito del corso verranno distribuiti appunti, proposte di attività didattiche, ulteriori indicazioni bibliografiche e di collegamenti a siti. MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale. Valutazione in itinere e finale (tramite relazione e sua discussione).

Laboratorio di Matematica G. Ferrari – G. Rosolini

SEMESTRE: 1 e 2, CREDITI: 4 Il corso è suddiviso in due parti “in serie”: 1) Matematica Computazionale, 2) Dimostrazioni e Paradossi. OBIETTIVI: Prima parte: Fornire agli studenti una prima "alfabetizzazione informatica" ed avviarli all'utilizzo del software matematico numerico e simbolico (pacchetti come MATLAB o MAPLE), come ausilio utile per la ricerca e la pratica matematica. Il corso sarà basato in modo essenziale

sulla risoluzione al calcolatore di problemi matematici di analisi ed algebra provenienti da argomenti trattati nei corsi del primo semestre. Seconda parte: Presentare alle matricole il metodo dimostrativo matematico utilizzando casi semplici, il più possibile interessanti, e cercando di indurre gli studenti a meditare sul livello di chiarezza che una dimostrazione deve raggiungere per risultare tale. PREREQUISITI: Nessuno PROGRAMMA: Prima parte: Matematica Computazionale: avvio all'utilizzo del software matematico numerico e simbolico per sviluppare i concetti di base della matematica da un punto di vista algoritmico costruttivo. Seconda parte: Paradossi e Dimostrazioni nella teoria di base per la matematica. La teoria delle classi e la teoria degli insiemi. Analisi storica delle proposte di Cantor, Frege, Russell, Zermelo, Fraenkel, von Neumann, Goedel, Lawvere e Tierney. Forme equivalenti dell'assioma di scelta. TESTI CONSIGLIATI: Nessuno MODALITÀ DI ESAME: Prima parte: prova orale, prova di laboratorio. Seconda parte: prova scritta

Logica Matematica M. Borga

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire una introduzione agli argomenti di base della logica matematica. PREREQUISITI: Conoscenze elementari di teoria degli insiemi. PROGRAMMA: Logica proposizionale. I connettivi fondamentali. Il linguaggio della logica proposizionale. Tautologie. Basi di connettivi. Il sistema formale K per la logica proposizionale: assiomi e regole; derivabilità e dimostrabilità; teorema di deduzione; teoremi di correttezza e di completezza. Logica dei predicati. Il sistema formale F per la logica dei predicati del primo ordine. La semantica della logica dei predicati. Assiomi e regole di F. Correttezza e non contraddittorietà. Il teorema di deduzione. Il teorema di esistenza di un modello e la completezza di F. Teoremi di Löwenheim-Skolem e di compattezza. Aritmetica formalizzata e teorema di Gödel (introduzione). Il sistema formale P per l’aritmetica: linguaggio, assiomi (logici e specifici) e regole. Le definizioni: cenni introduttivi alla teoria della definizione con esempi relativi a P. Il teorema di incompletezza di Gödel: enunciato e traccia della dimostrazione. TESTI CONSIGLIATI: - M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Logica Matematica 2 M. Borga

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Approfondire alcuni argomenti di teoria della dimostrazione. PREREQUISITI: Logica matematica 1 PROGRAMMA: a) Completamento sul teorema di Gödel: computabilità e ricorsività; dimostrazione del teorema di incompletezza e analisi di alcune sue conseguenze. b) Dimostrazioni formali e informali a confronto. Introduzione alla teoria della dimostrazione: la deduzione naturale di Gentzen e il teorema di normalizzazione; il calcolo dei sequenti) e il teorema di eliminazione del taglio. TESTI CONSIGLIATI: - M. Borga, Elementi di logica matematica, EUROMA (La Goliardica), Roma, 1984, ristampa, 1992;

- M. Borga, Fondamenti di logica: introduzione alla teoria della dimostrazione, Franco Angeli, Milano, 1995. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Matematica Finanziaria E. Sideri

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Modelli matematici per la valutazione dei piu' comuni casi di flussi finanziari. Cenno alle piu' comuni tecniche numeriche utilizzate PREREQUISITI: Funzioni elementari e condizioni di minimo in R. Operazioni con matrici PROGRAMMA: A) parte generale Tassi interesse, rendite ammortamenti. Obbligazioni e ZC. Valutazione di flussi finanziari, VAN, IRR. Indici temporali e di variabilita', tassi impliciti, Cenno a futures e opzioni. Cenno a teoria dell'utilita' , valutazione investimenti, azioni, selezione di portafoglio B) parte numerico-algoritmica Soluzione di equazioni non lineari (punto fisso, tangente,secante). Stime lineari ai minimi quadrati Metodo Gauss-Newton per minimi quadrati non lineari. Programmazione quadratica vincolata: condizione di ottimo e metodi soluzione. Durante il corso verranno svolte esercitazioni guidate con uso di Matlab e Excel TESTI CONSIGLIATI: - Moriconi, Matematica Finanziaria . MODALITÀ DI ESAME: prova orale, esercitazione calcolatore

Matematiche Complementari 1 E. Guala – P. Boero

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Il corso si pone come obiettivo quello di fornire l'occasione di riflettere sulla complessità del processo di modellizzazione matematica del reale e sul grado di "approssimazione" e "provvisorietà" dei metodi utilizzati e dei risultati conseguiti, approfondendo alcuni aspetti tecnici, storico/epistemologici e didattici della modellizzazione matematica, effettuando alcune riflessioni, guidate dalla lettura di testi specifici, sul significato che ha costruire un modello matematico e attuando un’analisi comparativa fra modelli deterministici e probabilistici. Tutto ciò al fine di fornire agli studenti sia elementi di un quadro di riferimento più avanzato, a livello “adulto”, per argomenti che possono essere ragionevolmente svolti a scuola, sia elementi di riflessione sugli aspetti (conoscenze, difficoltà, potenzialità) che possono intervenire nell’approccio alla modellizzazione nella scuola. PREREQUISITI: Analisi matematica: funzioni di una variabile, calcolo integrale, equazioni differenziali. Fisica: Elementi base di meccanica, termodinamica ed elettromagnetismo. Calcolo delle probabilità: probabilità elementare, variabili aleatorie discrete e continue, legge dei grandi numeri e teorema del limite centrale. Didattica della Matematica: strumenti e conoscenze dell’epistemologia, della storia della matematica, della psicologia, finalizzati all’analisi dei problemi di insegnamento/apprendimento della matematica nella scuola secondaria PROGRAMMA: La modellizzazione matematica (modelli differenziali, modelli stocastici) e i problemi del suo insegnamento nella scuola secondaria: dalle riflessioni storiche ed epistemologiche sui processi di modellizzazione alle scelte didattiche (attraverso esempi di confronto ragionato fra modelli deterministici e modelli probabilistici). TESTI CONSIGLIATI: - Belcastro A., Guala E., Eserciziario di probabilitá e statistica, Dip. di Matematica,Ge - Costantini D., Monari P., Probabilità e giochi d’azzardo, Franco Muzzio Editore - Glaymann M., Varga T., La probabilità nella scuola dell’obbligo, Armando Editore - Guala E., Dispense di probabilitá e statistica Dipartimento di Matematica, Ge - Guala E., Modelli deterministici e modelli probabilistici, Dip.di Matematica, Ge

- Hacking I., L’emergenza della probabilità, Il Saggiatore - Israel G., La visione matematica della realtá, Laterza - Mood A.M., Graybill F.A., Boes D.C., Introduzione alla statistica, McGrawHill - Pintacuda N., Insegnare la probabilità, Franco Muzzio Editore - Vajani L., Saggi sui processi stocastici, Giuffré Editore - Volterra V., D’Ancona U., Les associations biologiques étudiées au point de vue mathématique, Hermann, Paris MODALITÀ DI ESAME: Revisione in itinere e finale del lavoro scritto fatto in esercitazioni. Seminario scritto di presentazione teorico/didattica di argomenti svolti a teoria.

Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore C. Dapueto – F. Furinghetti

SEMESTRE: 1, CREDITI 7 OBIETTIVI: Mettere a fuoco alcune problematiche fondazionali relative alle principali aree matematiche affrontate nell'insegnamento secondario superiore e il loro collegamento con le scelte culturali e pedagogiche che un insegnante deve affrontare nell'impostazione e nello sviluppo della propria attività didattica. PREREQUISITI: Conoscenze di base di Analisi Matematica, Geometria, Algebra, Probabilità, Informatica, Logica Matematica e Didattica della Matematica, affrontate nella laurea triennale e nel primo anno di laurea specialistica. PROGRAMMA: Nell'ambito del corso verranno analizzati e discussi, con riferimenti a questioni epistemologiche e storiche, i rapporti tra alcuni settori della matematica (le strutture numeriche ed algebriche, la matematizzazione dello spazio, gli algoritmi, l'analisi matematica, il calcolo delle probabilità) e il problema di come impostarne l'insegnamento "ai nostri giorni": confronto tra diversi modi di introdurre e formalizzare i concetti, individuazione di percorsi didattici "unificanti" o "sinergici", ruolo del computer, rapporti tra aspetti "sperimentali", "costruttivi" e "deduttivi", rapporti con altre discipline fortemente matematizzate TESTI CONSIGLIATI Nell'ambito del corso verranno messi in rete appunti, indicazioni bibliografiche, documentazioni o proposte di attività didattiche, collegamenti a siti, …, anche in relazione ad alcuni approfondimenti specifici che verranno sviluppati tenendo conto degli interessi culturali e didattici (e del curricolo) di chi frequenterà il corso. MODALITA’ D’ESAME: Prova scritta e prova orale (eventualmente in forma di seminario)

Meccanica e Termodinamica M. Lo Vetere

SEMESTRE: 2, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Comprensione delle leggi fondamentali della meccanica e della termodinamica. Capacita’ di risolvere problemi relativi agli argomenti del corso. PREREQUISITI: Nozioni trattate nei programmi di scuola secondaria superiore. PROGRAMMA: Nel corso vengono introdotti i principi della meccanica e termodinamica con particolare attenzione alle loro motivazioni sperimentali. Sono sviluppate applicazioni riguardanti principalmente il moto di punti materiali e le trasformazioni termodinamiche di fluidi omogenei, mettendo in rilievo l’esistenza e l’uso delle leggi di conservazione. TESTI CONSIGLIATI: - Halliday, Resnick, Krane, Fisica 1, Casa Editrice Ambrosiana. MODALITÀ DI ESAME: prova scritta e orale

Metodi di Ottimizzazione

E. Sideri SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Conoscenza teorica dei metodi di minimazzazione vincolata e capacita' di programmazione e uso. PREREQUISITI: Condizioni di ottimo in Rn , Algoritmi numerici fondamentali per l'Algebra Lineare PROGRAMMA: Ricapitolazione algoritmi di minimizzazione in Rn. Condizioni di ottimo vincolato Cenni a Interior point method per Programmazione Lineare. Idee base e algoritmi per minimizzazione vincolata in Rn . TESTI CONSIGLIATI: - (riferimento) Nocedal J , Wright S J Numerical Optimization MODALITÀ DI ESAME: prova orale, esercitazione computer

Metodi Geometrici in Fisica Matematica C. Bartocci

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Scopo del corso è offrire una prima introduzione alla dinamica non lineare. Saranno discussi numerosi esempi e applicazioni. Il docente intende definire i dettagli del programma di comune accordo con gli studenti. PREREQUISITI: il corso di Geometria differenziale PROGRAMMA: Cicli limite; teorema di Poincaré-Bendixson. Biforcazione; esempi (reazioni chimiche oscillanti). Applicazione di Poincaré. Stabilità strutturale. Attrattori e caos TESTI CONSIGLIATI: - M. Hirsch, S. Smale, R. Devaney, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, Academic Press 2003 - S.H. Strogatz, Nonlinear dynamics and chaos, Addison Wesley, 1994 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Metodi Numerici per l’Algebra Lineare F. Di Benedetto

SEMESTRE: 1, CREDITI: 6 OBIETTIVI: Approfondimento delle conoscenze di algebra lineare numerica, con particolare riferimento al trattamento numerico delle matrici di grandi dimensioni. Comprensione dei metodi più efficienti, sia diretti che iterativi, e loro utilizzo in Matlab. PREREQUISITI: Elementi di base di algebra lineare. Calcolo differenziale in più variabili. Generalità sui metodi iterativi stazionari per sistemi lineari. Teoremi di localizzazione per autovalori. PROGRAMMA: Trattamento di matrici di grandi dimensioni: matrici sparse, matrici strutturate. Analisi di matrici sparse mediante grafi e tecniche di permutazione. La Trasformata Veloce di Fourier (FFT) e le sue applicazioni all’algebra matriciale; altre tecniche veloci d’inversione. Teoria della convergenza per metodi iterativi stazionari per sistemi lineari. Metodi non stazionari (gradiente coniugato e sue estensioni) e tecniche di precondizionamento. Applicazioni alla risoluzione di sistemi di equazioni non lineari. Calcolo di autovalori per matrici sparse. Esercitazioni di laboratorio in Matlab. TESTI CONSIGLIATI: - D. Bini, M. Capovani, O. Menchi, Metodi Numerici per l’Algebra Lineare. Zanichelli, Bologna, 1988. Altri testi di approfondimento verranno segnalati durante il corso.

MODALITÀ DI ESAME: prova orale , prova di laboratorio

Modelli di sistemi continui e applicazioni G. Caviglia

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Fornire una conoscenza di base dei principi, dei modelli e delle tecniche utilizzate nelle applicazioni della matematica allo studio del comportamento di sistemi materiali continui, solidi e fluidi. Nella seconda parte del corso si applicano le conoscenze acquisite alla modellizzazione di problemi di scattering diretto. PREREQUISITI: Contenuti dei corsi obbligatori della Laurea triennale in Matematica PROGRAMMA: Fondamenti di elasticità lineare. Modelli vari (corda vibrante, flusso della pittura lungo una parete verticale, tebnsione superficiale, modelli per la diffusione). Onde sonore nei fluidi perfetti. Equazione di Helmholtz e problemi di scattering diretto. TESTI CONSIGLIATI: Sarà disponibile materiale fornito dal titolare del corso. Su richiesta saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti presentati. MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Ottimizzazione A. Aruffo

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: fare una panoramica su alcuni aspetti del calcolo delle variazioni, con possibile interesse sia per studi teorici sull'argomento che per applicazioni PREREQUISITI: Analisi matematica 1-4, Algebra lineare, Geometria 1, Istituzioni di Analisi superiore 1 PROGRAMMA: Problemi di minimo in spazi astratti. Il problema piu' semplice del calcolo delle variazioni, l'equazione di Eulero, estremali, la condizione necessaria di Jacobi. Problemi di controllo ottimo, formulazioni equivalenti; esempi: problemi lineari quadratici e problema del minimo tempo; il principio di massimo di Pontrjagin; un teorema di esistenza di controllo e stato ottimo. TESTI CONSIGLIATI: - W.H. Fleming, R.W. Rishel - Deterministic and Stochastic Optimal Control - Springer 1975 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Programmazione G. Costa

SEMESTRE: 1, CREDITI: 6 OBIETTIVI: Introduzione alla programmazione imperativa "in piccolo" PREREQUISITI: nessuno PROGRAMMA: Programazione di base in un linguaggio imperativo (con riferimento al linguaggio C). Dichiarazioni ed istruzioni base. Tipi strutturati: array e record. Gestione di input/output da file. Funzioni e procedure non ricorsive. Struttura dei programmi e scopo delle dichiarazioni. Programmazione strutturata e modulare. Esempi notevoli di algoritmi. Laboratorio: Pratica di programmazione in C (piu' precisamente, il sottinsieme del C++ corrispondente al C). TESTI CONSIGLIATI: - Dispense (coprono il contenuto del corso, ma non costituiscono un riferimento completo per il C/C++ per il quale è necessario usare uno dei tanti manuali esistenti ).

- Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica arte e mestiere, McGrow-Hill (include anche vari capitoli di informatica generale) - Ceri, Mandrioli, Sbattella: Informatica - programmazione, McGrow-Hill (sostanzialmente, il libro precedente, ristretto alla parte di programmazione) - Oualline: Practical C++ programming 2nd edition, O'Reilly (in inglese, un buon testo per la programmazione in C++) MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova di laboratorio, (orale solo su richiesta dello studente)

Ricerca Operativa E. Sideri – V. Fragnelli

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Modelli, idee e algoritmi classici (fondamentali) della Ricerca Operativa PREREQUISITI: Matrici e loro proprieta' . Soluzione numerica di un sistema lineare PROGRAMMA: Formulazione di Modelli, Modelli Lineari. Esempi di modelli lineari. Algoritmo del Simplesso e sue varianti. Dualita' e complementarita'. Soluzione di problemi lineari interi. Problemi su grafi. Cammino minimo, Flussi, Matching, Matching pesato. Complessita' computazionale Problemi NP. Algoritmi euristici. TESTI CONSIGLIATI: Saranno rese disponibili dispense MODALITÀ DI ESAME: prova orale, esecitazione computer

Sistemi Dinamici e Meccanica Analitica G. Caviglia

SEMESTRE: 2, CREDITI: 8 OBIETTIVI: Esporre i fondamenti della meccanica analitica (lagrangiana e hamiltoniana). Su questa base si introducono concetti e metodi della teoria dei sistemi dinamici. PREREQUISITI: Contenuti dei corsi di algebra, analisi, geometria e fisica del primo anno e del primo semestre del secondo anno della Laurea in Matematica. PROGRAMMA: Richiami di cinematica. Equazioni di bilancio per sistemi meccanici. Sistemi olonomi, equazioni di Lagrange, equazioni di Hamilton. Richiami sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie del primo ordine; campi vettoriali e loro curve integrali, punti di equilibrio e loro classificazione, teorema di Liapunov. TESTI CONSIGLIATI: appunti messi a disposizione dal docente. Su richiesta saranno indicati testi di approfondimento degli argomenti presentati. MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Teoria dei Codici G. Niesi

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: Acquisizione dei concetti e dei metodi di base della teoria algebrica dei codici autocorrettori e conoscenza di particolari classi di codici importanti per le loro applicazioni. PREREQUISITI: Algebra 1, Algebra 2 e Algebra Lineare. PROGRAMMA: Problemi connessi alla trasmissione di informazione: codifica efficiente in assenza di disturbi (cenni), codifica in presenza di rumore e decodifica di massima somiglianza. Distanza di Hamming. Equivalenza fra codici. Il problema principale della teoria dei codici e stime collegate. Codici lineari: Matrici generatrici e matrici di controllo di parità, codifica e decodifica, sindrome.

Codici ciclici: polinomio generatore, polinomio di controllo, generatore idempotente. Classi di codici particolari (Hamming, Golay, Reed-Muller, BCH, Reed-Solomon,...) TESTI CONSIGLIATI: - Appunti distribuiti durante lo svolgimento del corso - Hill R., A First Course in Coding Theory, Clarendon Press, 1986. - Roman S., An Introduction to Coding Theory, Springer-Verlag, 1997. - van Lint J.H., Introduction to Coding Theory, Springer, 1998 MODALITÀ DI ESAME: prova scritta, prova orale

Teoria dei Giochi 1 L. Pusillo

SEMESTRE:1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: La Teoria dei Giochi studia situazioni in cui due o piu’ individui razionali prendono decisioni per ottimizzare i propri obiettivi, pertanto uno degli scopi di questo corso e’ fornire i concetti di base della teoria e insegnare agli studenti ad analizzare un problema decisionale e studiarne le soluzioni. Inoltre avendo questa teoria applicazioni in campo economico, politico, militare, biologico, industriale e medico questo costituisce uno stimolo per svolgere un lavoro multidisciplinare. PREREQUISITI: sono considerati prerequisiti i corsi di base del corso di studi in matematica e in particolare l’Analisi Matematica e la Topologia. Sarebbe utile che lo studente avesse gia’ seguito un corso di Istituzioni di Analisi per la miglior comprensione di alcuni concetti. PROGRAMMA: 1) Introduzione alla Teoria delle Decisioni. 2) Giochi in forma normale e in forma estesa. Equilibrio di Nash. 3) Applicazioni all’economia: vari tipi di oligopolio. 4) Giochi con potenziale esatto, ordinale e giochi supermodulari. 5) Strategie evolutivamnte stabili (ESS), dinamica del replicatore e “learning”. 6) Cenno ai giochi cooperativi e ai vari concetti di soluzione TESTI CONSIGLIATI: - K. Binmore “Fun and games: a text on Game theory”, Lexington (Mass), D.C.Health 1993 - G.Costa-P.Mori “ Introduzione alla Teoria dei Giochi” ed.Il Mulino 1994 - S.Tijs “ Introduction to Game Theory” Hindustan Book Agency 2003 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Teoria delle Categorie 1 M. Grandis

SEMESTRE: 1, CREDITI: 7 OBIETTIVI: La Teoria delle Categorie fornisce un'impostazione generale per lo studio delle strutture matematiche e delle "costruzioni universali", nata storicamente nell'ambito della Topologia Algebrica e dell’Algebra Omologica. Varie costruzioni matematiche possono essere ottenute come "funtori aggiunti" di costruzioni ovvie. PREREQUISITI: Algebra 1, Algebra 2, Geometria 1 PROGRAMMA: Categorie. Funtori e trasformazioni naturali, equivalenza di categorie, funtori rappresentabili. Limiti e problemi universali, categorie complete. Funtori aggiunti, proprietà ed esempi rilevanti; sottocategorie riflessive; connessioni di Galois; il teorema d'esistenza di Freyd. Cenni agli sviluppi: algebre per una monade, categorie additive, abeliane, monoidali, 2-categorie. TESTI CONSIGLIATI: - S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, Springer 1971. - J. Adámek - H. Herrlich - G. Strecker, Abstract and concrete categories, Wiley Interscience Publ., 1990. - F. Borceux, Handbook of categorical algebra. 1-2-3, Cambridge University Press, Cambridge, 1994.

MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Teoria dei Numeri A. Perelli

SEMESTRE: 2, CREDITI: 7 OBIETTIVI: L’obiettivo e’ introdurre alcuni dei concetti fondamentali della teoria dei numeri ed illustrare le tecniche analitiche di base per lo studio della distribuzione dei numeri primi. PREREQUISITI: Argomenti standard dei primi due anni del corso di Matematica; nozioni di base dell’analisi complessa. PROGRAMMA: L’anello delle funzioni aritmetiche: anello di Dirichlet; funzioni aritmetiche classiche; identita’ di Eulero; derivazione. Comportamento asintotico delle funzioni aritmetiche: il problema dei divisori e il metodo dell’iperbole; il problema del cerchio e il metodo dell’area; altri risultati classici. Metodi elementari per la distribuzione dei numeri primi: il metodo di Eulero; il crivello di Eratostene-Legendre; i teoremi di Chebyshev; altri risultati classici; cenni sulla dimostrazione elementare del teorema dei numeri primi. La funzione zeta di Riemann e il teorema dei numeri primi: alcuni strumenti di analisi complessa (serie di Dirichlet, funzione gamma di Eulero, traformata di Mellin, formula di Poisson); la funzione zeta di Riemann, proprieta’ generali, distribuzione degli zeri e formule esplicite; il teorema dei numeri primi con resto. Le funzioni L di Dirichlet: caratteri di Dirichlet; proprieta’ generali delle funzioni L di Dirichlet; zeri reali e teorema di Siegel; il teorema di Siegel-Walfisz. TESTI CONSIGLIATI: Vengono fornite le note del corso; altri testi sono: - H.Davenport – Multiplicative Number Theory – Springer Verlag 1980 - K.Chandrasekharan – Introduction to Analytic Number Theory – Springer Verlag 1971 - G.Tenenbaum – Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory – Cambridge U. P. 1990 MODALITÀ DI ESAME: prova orale

Trattamento Numerico di Equazioni Differenziali F. Di Benedetto – P. Fernandes

SEMESTRE: 2, CREDITI: 6 OBIETTIVI: Analisi comparativa dei metodi numerici maggiormente usati per la risoluzione di problemi di Cauchy. Comprensione delle principali problematiche che si devono affrontare nella soluzione di PDE con metodi alle differenze finite; capacità di implementare i corrispondenti algoritmi di soluzione in casi relativamente semplici. PREREQUISITI: Formula di Taylor (in una e due variabili), integrazione in più variabili; teorema della divergenza. Concetto di norma. Soluzione di sistemi algebrici lineari. Metodo di Eulero per l'approssimazione di problemi di Cauchy. Classificazione delle equazioni differenziali lineari alle derivate parziali di secondo ordine ed esempi notevoli. Concetto di curva caratteristica; metodo di separazione delle variabili. Teoremi di unicità e principio di massimo per problemi al contorno relativi alle equazioni di Poisson e del calore; dipendenza continua dai dati. PROGRAMMA: Equazioni alle differenze: il caso lineare a coefficienti costanti. Metodi di Runge-Kutta e Multistep per problemi di Cauchy ai valori iniziali: consistenza, convergenza, stabilità, controllo automatico del passo. Approssimazioni alle differenze finite di problemi ai valori iniziali e/o al contorno per PDE ellittiche, paraboliche ed iperboliche. Metodi espliciti ed impliciti. Consistenza, stabilità, convergenza. Esercitazioni di laboratorio in Matlab sui metodi studiati. TESTI CONSIGLIATI: - J. D. Lambert, Computational Methods in Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons, London, 1973.

- J. C. Strikwerda, Finite Difference Schemes and Partial Differential Equations. Second Edition, SIAM Publications, 2004. All'inizio dell'ultima parte del corso verranno consegnate agli studenti le fotocopie dei lucidi delle lezioni. Testi di approfondimento di argomenti specifici verranno eventualmente segnalati durante il corso. MODALITÀ DI ESAME: prova orale, prova di laboratorio