Universit degli Studi di TriestePiazzale Europa 1, 34100 Trieste Facolt di INGEGNERIA Corso di Laurea in INGEGNERIA INFORMATICA Anno Accademico 2002/2003

Definizioni di ANALISI MATEMATICA 2

Studente: Giorgio Davanzo giorgio.davanzo@gmail.com

Parte 1 - Serie numeriche, successioni e serie di funzioni

1. Serie convergenti, divergenti e indeterminate 2. Serie numeriche assolutamente e semplicemente convergenti 3. Criterio dell'ordine di infinitesimo per la convergenza di una serie numerica 4. Criterio della radice 5. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni 6. Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante 7. Distanza fra due numeri complessi 8. Convergenza di una successione di numeri complessi 9. Serie di numeri complessi 10. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale 11. Serie di Taylor di una funzione di variabile reale 12. Raggio di convergenza e insieme di convergenza di una serie di potenze 13. Teorema di derivazione (propriet della f.ne somma) 14. Teorema di integrazione (propriet della f.ne somma) 15. Teorema di derivazione termine a termine di una serie di potenze 16. Funzioni analitiche in R 17. Sviluppo in serie di Taylor-McLaurin delle principali f.ni elementari 18. Funzioni complesse di variabile complessa 19. Limite, continuit, derivabilit in C 20. Regole algebriche di derivazione 21. Serie di potenze in C 22. Le funzioni elementari in C e loro derivate 23. Equazione esponenziale e funzione logaritmo in C

DEFINIZIONI

Parte 2 - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn 24. Definizione di prodotto scalare, norma e distanza euclidea in Rn 25. Propriet del prodotto scalare 26. Propriet della distanza 27. Sfere aperte e chiuse in Rn 28. Intorno di un punto e relative propriet 29. Punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera 30. Chiusura, interno e frontiera di un insieme 31. Insiemi limitati 32. Funzioni da Rn in Rm 33. Campi scalari, curve parametriche, superfici parametriche, campi vettoriali 34. Insiemi di livello 35. Limiti di funzioni da Rn in Rm 36. Continuit di funzioni da Rn in Rm 37. Teorema di Weierstrass 38. Insiemi connessi per archi 39. Teorema di connessione e teorema di esistenza di zeri 40. Coseno dell'angolo tra due vettori 41. Applicazioni lineari da Rn in Rm e matrici associate 42. Forme lineari 43. Teorema di Riesz in Rn 44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann 45. Teorema di Fubini 46. Parallelepipedi rettangoli in R3, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un parallelepipedo secondo Riemann 47. Formule di riduzione per gli integrali tripli 48. N-rettangoli in Rn 49. Propriet dell'integrale

50. Integrale su un insieme limitato 51. Insiemi N-trascurabili e relative propriet 52. Teorema della media integrale 53. Insiemi normali in R2 54. Insiemi normali in R3 55. Insiemi misurabili secondo Peano-Jordan in Rn 56. Insiemi trascurabili in Rn e caratterizzazione degli insiemi misurabili 57. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso unidimensionale 58. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso bidimensionale 59. Coordinate polari ed ellittiche in R2 60. Cambio di variabili negli integrali multipli - Caso tridimensionale 61. Coordinate sferiche in R3 62. Formule di riduzione per corde e sezioni in R3 63. Integrali generalizzati in Rn - Insiemi localmente misurabili e funzioni localmente integrabili Parte 3 Calcolo differenziale in Rn 64. Derivata direzionale e derivata parziale 65. Differenziale di un campo scalare, approssimante lineare 66. Iperpiano tangente 67. Matrice Jacobiana 68. Gradiente 69. Differenziabilit delle funzioni di classe C 70. Regole algebriche di differenziazione 71. Differenziale di un campo vettoriale 72. Un campo vettoriale differenziabile se e solo se lo sono tutte le sue componenti 73. Differenziale di una funzione composta 74. Derivate direzionali e parziali di ordine superiore 75. Differenziabilit di funzioni di classe Ck 76. Teorema di Schwartz 77. Forme lineari e quadratiche in Rn 78. Differenziale secondo di un campo scalare e relativa matrice Hessiana 79. Teorema di Young (sulla simmetria della matrice Hessiana) 80. Condizione sufficiente affinch una funzione sia due volte differenziabile 81. Formula di Taylor del secondo ordine 82. Estremi relativi di una funzione 83. Vincoli ed estremi vincolati 84. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R2 (curve) 85. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (superficie) 86. Teorema dei moltiplicatori di Lagrange in R3 (curve) Parte 4 Equazioni differenziali 87. Equazioni funzionali 88. Equazione differenziale 89. Equazione diff. ordinaria 90. Ordine di una eq. diff. 91. Forma normale 92. EDO 1 93. (EDO 1) Soluzione 94. Condizione iniziale 95. (EDO 1) Problema di Cauchy 96. Soluzione locale 97. Eq. a variabili separabili 98. Equazioni omogenee 99. EDL 1

100. Nucleo risolvente 101. Equazioni di Bernoulli 102. EDO 2 103. (EDO 2) Soluzione 104. (EDO 2) Problema di Cauchy 105. (EDO 2) Soluzione locale 106. Eq. del tipo y=f(y) 107. EDL 2 a coeff. cost. 108. (EDL 2 a coeff.cost.) Equazione caratteristica 109. EDL di ordine n a coeff. cost. 110. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Soluzione 111. (EDL di ordine n a coeff. cost.) Eq. Caratteristica 112. Equazioni di Eulero 113. Sistemi di 2 eq. diff. lin. 1 a coeff. cost. Parte 5 Curve in forma parametrica 114. Curva in Rn 115. Curva continua, regolare, chiusa, semplice 116. Vettore, versore e retta tangente 117. Curva in forma parametrica e cartesiana 118. Lunghezza di una curva e rettificabilit 119. Integrale curvilineo di un campo scalare 120. Integrale curvilineo di un campo vettoriale

Definizioni Serie numeriche, successioni e serie di funzioni1. Serie convergenti, divergenti e indeterminate Se esiste finito lim s n = s , si dice chen + n +

an =1

+

n

convergente.

Se lim s n infinito (+ ,, ) , si dice che Se lim s n non esiste, si dice chen +

an =1

+

n

divergente (a + , a o a ) .

an =1

+

n

indeterminata.

2. Serie numeriche assolutamente e semplicemente convergenti

an =1 + n =1

+

n

si dice assolutamente convergente se

an =1

+

n

convergente.

an si dice semplicemente convergente se convergente, ma+

an =1

+

n

divergente.

Teo Se a n assolutamente convergente, allora convergente.n =1

3. Criterio dellordine di infinitesimo per la convergenza di una serie numerica Sia an 0 n . Si ha: (1) Se > 0 t.c. ord + an > 1 + allora (2) Se ord + an 1 allora 4. Criterio della radice Se an 0 n , ed esiste 0 < k < 1 t.c. Corollario Sia an 0 n : 1) Se esiste lim n an = L < 1 , alloran++

an =1

+

n

convergente.

an =1

+

n

divergente (a + ).

n

an < k n , allora

an =1

+

n

convergente.

a an =1 n =1 +

n

convergente. divergente.

2) Se esiste lim n an = L > 1 , alloran+

n

5. Convergenza puntuale e uniforme di una successione di funzioni dice che ( f n )n converge puntualmente su E a f n : E R (o C ) se x E esiste lim f n ( x ) = f ( x ) , [Oss. n = n ( x, ) ]x +

Puntuale: Sia E un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E R (o C ) . Si

cio (x E )( > 0 )(n )(n )(n > n f n ( x ) f ( x ) < ) .

dice che ( f n )n converge uniformemente su E a f n : E R (o C ) se

Uniforme: Sia E un insieme e sia ( f n )n una successione di funzioni con f n : E R (o C ) . Si

( > 0)(n )(n )(n > n

f n (x ) f (x ) < ) .

[Oss. n = n ( ) ]

6. Operazioni con le serie: somma e prodotto per una costante Somma: Se

an en =1

+

bn convergono ad A e B rispettivamente, allora la serien =1

+

(an =1

+

n

+ bn )

detta serie somma converge con somma (A+B). Prodotto x costante: Se

an converge con somma A e c R , la serien =1

+

(c a ) detta serien =1 n

+

prodotto per la costante c, converge con somma cA. 7. Distanza fra due numeri complessi Si dice distanza2

fra

due2

numeri .

complessi

z1 = x1 + iy1

e

z 2 = x2 + iy 2

il

numero

d ( z1 , z 2 ) :=

(x1 x2 ) + ( y1 y 2 )

8. Convergenza di una successione di numeri complessi Se (z n )n una successione di numeri complessi e z un numero complesso, lim z n = z se e solo se ( > 0 )(n N )(n N )(n > n z n z < ) . 9. Serie di numeri complessi Al corpo dei numeri complessi si estendono le definizioni di serie (come coppie ridotte, convergenza e somma s C di una serie:n +

((an )n , (bn )n ) ),

an =1

+

n

= s lim a n = s .k + n =0

k

10. Teoremi di passaggio al limite sotto il segno di derivata e integrale Sia ( f n )n una successione di f.ni con f n : [a, b] R . 2) Se 1) Se ( f n )n converge uniformemente a f su [a, b] e f n continua n , allora f continua.

( f n )n

converge uniformemente a f su [a, b] e f n integrabile su [a, b]b b n+ a a

n , allora f

3) Se ( f n )n converge puntualmente a f su [a, b] e f n derivabile su [a, b] n , ed inoltre le derivate convergono uniformemente a g su [a, b] , allora f derivabile e f = g , cio d d lim f n ( x ) = lim f n ( x ) . n + n + dx dx

integrabile su [a, b] e il lim f n ( x )dx = f ( x )dx .

(

)

11. Serie di Taylor di una funzione di variabile reale Se f : ]x0 h, x0 + h[ R di classe C su ]x0 h, x0 + h[ (con h>0), la serie si dice serie di Taylor (generata da f) con p.to iniziale x0 .

n =0

+

f ( n ) ( x0 ) (x x0 )n n!

Se la serie di Taylor convergente x ]x0 h, x0 + h[ e ha per somma f(x) allora si dice che f sviluppabile in serie di Taylor con p.to iniziale x0 su ]x0 h, x0 + h[ .

12. Raggio di convergenza e insieme di convergenza di una serie di potenze

Raggio: Il raggio di convergenza R di 1) se x R t.c. x x0 < R , allora 2) se x R t.c. x x0 > R , allora+

a (x x )n =0 n

+

n

0

verifica:

a (x x ) a (x x )n =0 n n =0 + n

n

0

converge; non converge;

n

0

Se il raggio di convergenza R di una serie di potenze finito positivo, linsieme I R = ]x0 R, x0 + R[ detto lintervallo di convergenza, mentre detto insieme di convergenza linsieme D formato da tutti i punti di R in cui la serie converge. 13. Teorema di derivazione (propriet della f.ne somma) Sia+

a (x x )n =0 + n

n

0

una serie di potenze avente raggio di convergenza R>0. Si ponen

f ( x ) := a n ( x x0 ) , x ]x0 R, x0 + R[ .n =0

La f.ne f derivabile sullintervallo ]x0 R, x0 + R[ e la sua derivata f ( x ) := na n ( x x0 )

+

n 1

in

]x0 R, x0 + R[ . Inoltre la serie a II membro ha raggio di convergenza R.14. Teorema di integrazione (propriet della f.ne somma) Stesse ipotesi del precedente. La f.ne f primitivabile su ]x0 R, x0 + R[ e F ( x ) = +

n =1

an (x x0 )n+1 una primitiva di f su n =0 n + 1 ]x0 R, x0 + R[ (osserv: F (x0 ) = 0 ). Inoltre la serie a II membro ha raggio di convergenza R.

15. Teorema di derivazione termine a termine di una serie di potenze Se la serie di potenze

a (x x )n =0 n

+

n

0

ha raggio di convergenza R, allora R anche il raggio di

convergenza della serie delle derivate Data la serie di potenze

na (x x )n =0 n

+

n 1

0

.

a (x x )n =0 n

+

n

0

, con raggio di convergenza R>0, la f.ne somma f(x) +n 1

derivabile in ]x0 R, x0 + R[ e si ha f ( x ) = na n ( x x0 )n =0

.

16. Funzioni analitiche in R Si dice che f : ]a, b[ R analitica in ]a, b[ se x0 ]a, b[ esiste h>0 t.c. f sviluppabile in serie di potenze (e quindi in serie di Taylor) con p.to iniziale x0 su ]x0 R, x0 + R[ . 17. Sviluppo in serie di Taylor-McLaurin delle principali f.ni elementari

ex =

xn n =0 n!

+

cos x =

( 1)n x 2 n (2n )! n =0+

sin x =

( 1)n x 2 n+1 ! n = 0 (2n + 1)+

cosh x = +

( 1)n x 2n+1 arctgx = n =0 (2n + 1)

x 2n ! n =0 (2n )

+

sinh x =

x 2 n+1 ! n = 0 (2n + 1)+ +

log x = log

1 + x + 2 x 2 n+1 = 1 x n=0 (2n + 1)

(1 + x ) = x n n n =0

18. Funzioni complesse di variabile complessa Sia f : D( C ) C . Si ha: u, v : D R .f ( z ) = f ( x + iy ) = Re f ( z ) + i Im f ( z ) = u ( x, y ) + iv( x, y ) , z D , con

19. Limite, continuit, derivabilit in C Limite: Sia f : D( C ) C e sia z 0 C un p.to di accumulazione per D. Si ha che esiste Continuit: Sia f : D( C ) C e sia z 0 D ; si dice che f continua in z0 se accumulazione per D. Consideriamo ilz z0

lim f ( z ) = l C se ( > 0)( > 0)(z D )(0 < z z 0 < f ( z ) l < ) .

( > 0)( > 0)(z D )( z z 0 < f (z ) f (z0 ) < ) Derivata: Sia f : D( C ) C e sia z 0 D un p.to di f (z ) f (z 0 ) rapporto incrementale per z D \ {z } .

Si dice che f derivabile in senso 0 z z0 f (z ) f (z 0 ) complesso in z0 se lim =: f ( z 0 ) , che si dice derivata di f in z0 . z z0 z z0

20. Regole algebriche di derivazione Se f,g sono derivabili in z0 , allora: (i) f+g derivabile in z0 e ( f + g )' ( z 0 ) = f ( z 0 ) + g ( z 0 ) ; (ii) fg derivabile in z0 e ( f g )' ( z 0 ) = f ( z 0 )g ( z 0 ) + f ( z 0 )g ( z 0 ) ; (iii) se g ( z 0 ) 0 , alloraf f f ( z 0 )g ( z 0 ) + f ( z 0 )g ( z 0 ) derivabile in z0 e ' ( z 0 ) = ; g g (g (z0 ))2

21. Serie di potenze in C Sia+n =0 n

(an )n C+n =0 n

e0

z0 Cn

fissato.

Posto

n

f n (z ) = an (z z 0 ) ,n

la

serie

di

funzioni

f (z ) = a (z z )ad una serie del tipo

si dice serie di potenze a coefficienti complessi di p.to iniziale z0 .

Oss Con il cambio di variabile w := z z 0 ci si pu sempre ricondurre al caso in cui z 0 = 0 , cio

an =0

+

n

.

22. Le funzioni elementari in C e loro derivate + + ( 1)n z 2 n zn cos z = ez = D ez = ez (2n )! n =0 n =0 n!

( )

D(cos z ) = sin z D (cosh z ) = sinh z

sin z =

( 1)n z 2 n+1 ! n =0 (2n + 1)+

D(sin z ) = cos z

cosh z =

z 2n ! n =0 (2n )

+

sinh z =

z 2 n+1 ! n =0 (2n + 1)+

D (sinh z ) = cosh z

23. Equazione esponenziale e funzione logaritmo in C Dato w C \ {0}, questo pu essere scritto nella forma w = (cos + i sin ) = e i , con > 0 ; cerchiamo ora tutti i numeri complessi z = x + iy per cui e z = w ; essendo e z = e x +iy , si ha che

e x +iy = e i o anche e x (cos x + i sin y ) = (cos x + i sin y ) , che equivale al sistemae x = cos y = cos sin y = sin

x = log z ; si ottiene y = + 2k . Lequazione e = w ha dunque infinite soluzioni, in accordo col fatto che, come si visto, la funzione esponenziale , nel campo complesso, periodica di periodo 2i . Essa non dunque invertibile. Per renderla tale necessario considerare la sua restrizione ad un opportuno sottoinsieme E di C. Si vede quindi che la funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : < y } iniettiva ed assume tutti i valori complessi non nulli. La funzione inversa della funzione esponenziale ristretta all'insieme E = {z = x + iy : < y } detta funzione logaritmo. Essa dunque una funzione di C \ {0} in E. Il logaritmo di un numero complesso w = e i C \ {0} dunque l'unico numero complesso z = x + iy := log w , con < y per cui e z = w .

Definizioni - Lo spazio Rn, integrale di Riemann in Rn24. Definizione di prodotto scalare, norma e distanza euclidea in Rn Prodotto scalare (euclideo) Norma (euclidea) Distanza (euclidea) 25. Propriet del prodotto scalarex y =< x, y >= x1 y1 +

x = < x, x > = x12 +d ( x, 0 ) = x

(

+ xn y nd x, y = x y

( )

2 + xn

)

1/ 2

< , >: R n R n R soddisfa, x, y, z R n e R , le seguenti propriet:S1. S2. S3. S4. S5.< x + y , z >=< x, z > + < y , z >< x, y >= < x, y > < x, y >=< y , x >

forma bilineare simmetrica positivit Cauchy-Schwartz

< x, x > 0

e < x, x >= 0 x = 0

< x, y > < x, x > < y , y >

26. Propriet della distanza Si ha che d : R n R n R verifica, x, y, z R n , le seguenti propriet: D1. D2. D3.

( ) d (x, y ) = d ( y, x ) d (x, y ) d ( x, z ) + d ( y , z )d x, y = 0 x = y

non degeneratezza simmetria disuguaglianza triangolare

27. Sfere aperte e chiuse in Rn Siano x 0 R n e r > 0 . Si dice sfera aperta di centro x 0 e raggio r linsieme B ]x 0 , r [ = B( x 0 , r ) := x R n : d (x, x 0 ) < r Si dice sfera chiusa di centro x 0 e raggio r linsieme B[x 0 , r ] := x R n : d ( x, x 0 ) r 28. Intorno di un punto e relative propriet Sia x 0 R n . Un insieme U R n si dice intorno di x 0 se esiste r>0 tale che B ( x 0 , r ) U . Linsieme degli intorni di x 0 si indica con I x0 . (I1) (I2) (I3)

{

{

}

}

(V R )(U I )(U V V I ) (U I )(V I )(U V I ) ( x, y R , x y )(U I )(V I )(U V = )n x0 x0x0 x0 x0n x y

29. Punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera Accum: Un punto x detto di accumulazione per un insieme E se in ogni intorno di x cadono infiniti punti di E. Interni: Si dice che un punto x interno a un insieme E se esiste una sfera aperta di centro x contenuta in E (ovvero se r > 0 t.c. B ( x, r ) E ).

Frontiera: x punto di frontiera se e solo se in ogni intorno di x cadono sia punti di E sia punti del complementare di E. 30. Chiusura, interno e frontiera di un insieme Si dice chiusura di E linsieme clE := E x R n : x di accum. per E . Si dice interno di E linsieme int E := {x E : x interno ad E}. Si dice frontiera di E linsieme frE := {x E : x di frontiera per E}. 31. Insiemi limitati Si dice che E un insieme limitato se esistono x 0 R n e R>0 t.c. E B(x 0 , R ) , o equivalentemente se k > 0 t.c. x, y E , d (x, y ) k . 32. Funzioni da Rn in Rm Una f.ne

{

}

f : E R n R m del tipo

(

)

f i : E R n R per i=1m;

(

)

f1 ( x1 ...xn ) f ( x ) = f ( x1 ...xn ) = f ( x ...x ) n 1 n

con

x = ( x1 ...xn )

T

e

33. Campi scalari, curve parametriche, superfici parametriche, campi vettoriali Sono funzioni da Rn in Rm con : Campi scalari: n2 Curve parametriche n =1 Superfici parametriche n=2 Campi vettoriali n=2 34. Insiemi di livello Sia f : E R n R . k R , linsieme Lk = {x E : f ( x ) = k } si dice insieme di livello k di f. 35. Limiti di funzioni da Rn in Rm Sia f : E R n R m e x 0 R n di accumulazione per E. Si dice che lim f ( x ) = l R m sem =1 m2 m=3 m=2

(

)

((

))

( > 0)( > 0)( x E )(0 < d (x, x 0 ) < d ( f (x ), l ) < ) , cio (V I l )(U I x )( x E )(x U \ {x 0 } f (x )V ) ;0

x x0

Sia f : E R R e x 0 R n di accumulazione per E. Si dice che lim f (x ) = + sen

(k > 0)( > 0)( x E )(0 < d (x, x 0 ) < f (x ) > k ) ; Analoghe definizioni per lim f ( x ) = e lim f ( x ) = ; x x x xSia f : E R R con E illimitato. Si dice che limn m

x x0

(

)

0

0

( > 0)(H > 0)( x E )(d (x,0) > H d ( f (x ), l ) < )36. Continuit di funzioni da Rn in Rm

d ( x ,0 )+

f ( x ) = l R m se

Sia f : E R n R m e x 0 E . Si dice che f continua in x 0 se ( > 0)( > 0)( x E )(d (x, x 0 ) < d ( f (x ), f (x 0 )) < )

(

)

37. Teorema di Weierstrass Se f : E R n R (solo per campi scalari) continua ed E chiuso e limitato, allora min f (E ) = min f e max f (E ) = max f .EE

(

)

38. Insiemi connessi per archi Arco continuo: Sia : [a, b] R n continua. La coppia ( , ([a, b])) si dice arco continuo in Rn di cui la rappresentazione parametrica e ([a, b]) il sostegno. Connessione per archi: Sia E R n . Si dice che E connesso per archi se x1 , x2 E esiste un arco continuo : [a, b] R n t.c. (a ) = x1 , (b ) = x 2 e (t ) E t [a, b] . 39. Teorema di connessione e teorema di esistenza di zeri Connessione: Se f : E R n R continua ed E connesso, allora f(E) connesso. Zeri: Se f : E R R continua, E connesso ed esistono a, b E punti tali che f (a ) < f (b ) < 0 , allora c E t.c. f (c ) = 0 .n

(

)

(

)

40. Coseno dellangolo tra due vettori Siano x, y R n \ {0} ; si ha x y = x y cos . In generale, si pone cos = 41. Applicazioni lineari da Rn in Rm e matrici associate

x y x y

( [ 1,1] ).

Unapplicazione L : R n R m si dice lineare se ( x, y R n , R ): L (x + y ) = L ( x ) + L ( y ) eL( x ) = L( x ) ; poniamo L R n , R m = L : R n R m , con L lineare ; poniamo inoltre (M , N ) = {A : A matrice con M righe ed N colonne} .

(

) {

}

aM 1 a Fissata una base {e1 ,..., en }in Rn e una base {e1 ,..., en }in Rm, si ha che ogni A = 11 a 1N a MN L L R n , R m individua ed individuata da una matrice A (M , N ) tale che L( x ) = A x (prodotto righe per colonne). a a Si ha: L(e1 ) = 11 , , L(eN ) = 1N = la matrice A ha come colonne i corrispondenti vettori a a M1 MN

(

)

della base. 42. Forme lineari Le applicazioni lineari R n R si dicono forme lineari. Se L una forma lineare, allora esiste una e una sola matrice A (1, N ) tale che L( x ) = A x = (a11 ...a1N )( x1 ...x N ) = a11 x1 ...a1N x N =< a, x > ,

(x R ) , avendo posto a = (aN

11

...a1N ) = AT .T

43. Teorema di Riesz in Rn Per ogni forma lineare L : R n R esiste uno e un solo a R n tale che L( x ) =< a, x > x R n .

44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann Sia R = [a, b] [c, d ] (un rettangolo piano) di R2; fissiamo n+1 nodi in [a,b] con a=x0= x1 y1 + + xn y n Norma (euclidea) Distanza (euclidea)x = < x, x > = x12 +

(

d ( x, 0 ) = x

d x, y = x y

( )

2 + xn

)

1/ 2

25. Propriet del prodotto scalare < , >: R n R n R soddisfa, x, y, z R n e R , le seguenti propriet: S1. S2. S3. S4. S5.< x + y , z >=< x, z > + < y , z >

< x, y >= < x, y > < x, y >=< y , x >

forma bilineare simmetrica positivit Cauchy-Schwartz

< x, x > 0

e < x, x >= 0 x = 0

< x, y > < x , x > < y , y >

43. Teorema di Riesz in Rn Per ogni forma lineare L : R n R esiste uno e un solo a R n tale che L( x ) =< a, x > x R n .

3 44. Rettangoli in R2, decomposizioni, somme inferiori e superiori, f.ni integrabili su un rettangolo secondo Riemann Sia R = [a, b] [c, d ] (un rettangolo piano) di R2; fissiamo n+1 nodi in [a,b] con a=x0