FUNZIONI DI PIU VARIABILI E SUPERFICI: esercizi proposti

1. Trovare le dimensioni del parallelepipedo di volume massimo tra quelli

appartenenti al primo ottante, con tre facce sui piani coordinati e un

vertice sul piano x + 2y + 3z = 6

2. Assegnata la funzione

f(x, y) =| xy |

(a) determinare il dominio e il codominio di f(x, y);

(b) trovare le sezioni nei piani x = k, y = k e tracciarne qualche

grafico nello spazio bidimensionale o tridimensionale;

(c) tracciare alcune curve di livello e indicarne il significato;

(d) determinare le derivate parziali fx(x, y), fy(x, y), il loro campo

di esistenza e gli eventuali punti critici.

3. Assegnata la funzione

f(x, y) =| x | − y

(a) determinarne il dominio e il codominio;

(b) trovare le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k e tracciarne

qualche grafico nello spazio bidimensionale o tridimensionale;

(c) determinare le derivate parziali fx(x, y), fy(x, y), il loro campo

di esistenza e gli eventuali punti critici.

4. Le compagnie aeree applicano regole di questo tipo per le dimensioni

del bagaglio a mano:

Le dimensioni totali (lunghezza + larghezza + altezza) non devono

1

superare 156 cm per ogni bagaglio.

Calcolare quali sono le dimensioni del bagaglio piu capiente che si puo

portare a mano su un volo.

5. Supponete che un giornale stia scegliendo tra due software di impagi-

nazione, Macro Publish e Turbo Publish. Si stima che acquistando x

copie di Macro Publish e y copie di Turbo Publish, la produttivita

giornaliera dell’azienda sara

U(x, y) = 6x0.8y0.2 + x

dove U(x, y) e misurato in pagine al giorno ( U e chiamata funzione

di Utilita).

Se x = y = 10, calcolate l’effetto di un incremento unitario di x, e

interpretate il risultato.

6. Gelati Siete i gestori di un laboratorio che produce due gusti di gelato:

A, B. In ciascuna porzione di A vanno 2 uova e 3 tazze di crema, mentre

ciascuna porzione di B contiene 1 uovo e 3 tazze di crema. Per questa

settimana avete in magazzino 500 uova e 900 tazze di crema. Il profitto

su x porzioni di gelato A e y porzioni di gelato B e

P (x, y) = 3x + 2y − 0.005(x2 + y2)

Quante porzioni di ciascun gusto dovete produrre per ottenere il mas-

simo profitto?

7. Trovare le dimensioni del parallelepipedo di volume massimo tra quelli

aventi superficie totale 64 cm2.

8. Isoterme. Una lamina di metallo situata nel piano xy ha una tem-

peratura T (x, y) nel punto (x, y). Le curve di livello per T (x, y)

sono dette isoterme perche in tutti i punti di un’isoterma la temper-

atura e costante. Disegnare alcune isoterme quando la funzione della

temperatura e data da

T (x, y) =√

9− x2 − y2.

9. Aquiloni. Un’azienda produce due modelli di aquiloni, A e B. Ogni

aquilone A richiede un metro quadrato di tessuto e 30 metri di filo

2

mentre ogni modello B richiede 5 metri quadrati di tessuto e 90 metri

di filo. Ogni settimana l’azienda ha a disposizione 100 metri quadrati

di tessuto e 2700 metri di filo. La funzione di profitto e stimata

P (x, y) = 10x + 60y + 0.5xy

dove x e il numero di aquiloni A, y e il numero di modelli B e P (x, y)

e il profitto in euro.

Determinare il massimo numero di ciascun modello che l’azienda deve

produrre ogni settimana per massimizzare il profitto.

3

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 26 maggio 2005

Analisi Matematica

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Disegnare il grafico delle seguenti funzioni

f1(x, y) = cos x, f2(x, y) = 6− 2x− 3y, f3(x, y) = x2 + y2 + 2

dopo averne

(a) determinato il dominio e il codominio;

(b) trovato le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k.

2. Boa. Attorno ad una boa la profondita di un lago nel punto di

coordinate (x, y) e espressa dalla funzione

f(x, y) = 200 + 0.02x2 − 0.001y3

dove x, y, z sono misurate in metri.

Un pescatore in una piccola barca parte dal punto (80, 60) e va verso

la boa, che si trova in (0, 0). L’acqua sotto la barca diventa piu o

meno profonda quando comincia a spostarsi verso la boa? Spiegare.

3. Alleli. I tre alleli A,B, 0 determinano i quattro gruppi sanguigni

A,B, AB, 0. La legge di Hardy - Weinberg stabilisce che la proporzione

di individui di una popolazione che portano due differenti alleli e

P (x, y, w) = 2xy + 2xw + 2yw

dove x, y, w sono le proporzioni di A,B, 0 nella popolazione. Poiche

naturalmente x + y + w = 1 verificare che P (x, y, w) e al piu 23 .

4

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 15 giugno 2005

Analisi Matematica

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Auto. Il costo settimanale (in euro) per produrre x auto e y

autocarri e valutato

C(x, y) = 240000 + 6000x + 4000y

(a) Determinare il dominio e codominio della funzione costo e de-

scriverne il grafico.

(b) Descrivere le sezioni per x = 10 e y = 20 e spiegare che funzione

costo rappresentano.

(c) Descrivere la curva di livello z = 480000 e spiegare che infor-

mazioni fornisce sui costi.

2. Biciclette. Il costo settimanale (in euro) per produrre x biciclette e

y tricicli e valutato

C(x, y) = 20000 + 60x + 20y + 50√

xy

(a) Determinare il costo marginale di una bicicletta e quello di un

triciclo.

(b) Come si comportano questi costi marginali quando la produzione

totale cresce?

(c) Calcolare il costo marginale di una bicicletta e quello di un triciclo

al livello di produzione di 5 biciclette e 5 tricicli.

(d) A questo livello di produzione, in quale direzione la funzione costo

cresce piu rapidamente?

5

3. Temperatura. La temperatura nel punto (x, y) sul quadrato di vertici

(0, 0), (0, 1), (1, 0) e (1, 1) e data da

T (x, y) = x2 + 2y2 − x

Trovare i punti piu caldi e piu freddi sul quadrato.

6

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 6 giugno 2006

Analisi Matematica

III Esercitazione

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Rettangolo.

(a) Disegnare il grafico delle seguenti funzioni

f1(x, y) =| x |, f2(x, y) = 1 + 3y

dopo averne

i. determinato il dominio e il codominio;

ii. trovato le sezioni nei piani x = k, y = k, z = k.

(b) L’area di un rettangolo di altezza x e larghezza y e A(x, y) = xy.

Tracciare alcune curve di livello di A(x, y).

2. Casa. Il costo C(x, y) della costruzione di una casa e legato al

numero di x degli elettricisti e al numero y dei carpentieri impiegati

ed e espresso dalla funzione

C(x, y) = 15000 + 50x2 + 60y2.

Se attualmente sono impegnati 3 carpentieri e se il costo marginale per

ogni elettricista in piu e uguale al costo marginale per un carpentiere

in piu, quanti elettricisti sono attualmente impiegati? (Arrotondare la

risposta all’unita).

3. Qua e la.

(a) Sapendo che

f(x0, y0) = r, fx(x0, y0) = s, fy(x0, y0) = t, completare la

7

seguente frase:

...................cresce ad un tasso di .......... unita per unita di x

...................cresce ad un tasso di .......... unita per unita di y

e il valore di .....................e quando x = ...... e y = ......

(b) Dare un esempio di funzione f(x, y, t) per cui tutte le derivate

parziali siano costanti diverse da zero.

(c) L’area di un rettangolo di altezza x e larghezza y e A(x, y) = xy.

Se il semiperimetro x + y = 100 determinare le dimensioni del

rettangolo di area massima.

8

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso

Perugia, 1 giugno 2007

Analisi Matematica

III compito in itinere

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Collina. L’altezza di ciascun punto di una regione collinare e espressa

come funzione delle coordinate del punto dalla legge

f(x, y) = 30(y − x2)

(a) determinare il dominio e il codominio della funzione;

(b) trovare le sezioni nei piani x = k e y = k e disegnarle.

(c) Disegnare alcune curve di livello e spiegare che informazioni for-

niscono.

(d) Determinare il gradiente nel punto di coordinate (1, 2).

(e) Se dal punto (1, 2) si procede verso l’origine del sistema di riferi-

mento, all’inizio dello spostamento l’altezza aumenta o diminuisce?

2. Hamburger. Un noto fast food prepara i propri hamburgers mediante

una combinazione di carne di manzo e maiale. La carne di manzo

macinata contiene l’80% di polpa e il 20 % di grasso e costa al negozio

0.80 euro a ettogrammo. La carne di maiale macinata contiene il

68 % di polpa e il 32 % di grasso e costa 0.60 euro a ettogrammo.

Quale qualita di ciascun tipo di carne deve impiegare il fast food in

ogni hamburger del peso di 100 grammi se vuole minimizzare la spesa

ed evitare che il contenuto grasso della carne superi il 25 %?

3. Qua e la.

(a) Determinare l’equazione del piano tangente al grafico di una fun-

zione f(x, y) nel punto (x0, y0) interno al dominio di f(x, y).

9

(b) Dare un esempio di funzione f(x, y) tale che f(1, 1) = 10,

fx(1, 1) = −2 e fy(1, 1) = 3.

Calcolare la derivata direzionale Duf(1, 1) ove u = (3/5, 4/5).

(c) La temperatura nel punto (x, y) sul quadrato di vertici (0, 0), (0, 1),

(1, 0), (1, 1) e data da T (x, y) = 3x2 + y2 − y. Trovare i punti

piu caldi e piu freddi sul quadrato.

10

FACOLTA DI AGRARIA

Nome Cognome

CL

Anno di corso Scuola di provenienza

Perugia, 22 maggio 2008

II Compito in itinere di Analisi Matematica

Svolgere i seguenti esercizi motivando tutte le risposte.

1. Ampere. La corrente elettrica misura (in ampere) il flusso di elettroni

attraverso un filo. La legge di Kirchhoff afferma che la corrente in

entrata in un’intersezione di fili equivale alla corrente in uscita da

essa.

(a) Sapendo che la corrente lungo due dei fili e rispettivamente di 10

e 5 ampere come indicato nella figura, determinare la corrente

nei fili nei fili non etichettati.

i. Impostare un sistema lineare e risolverlo con il metodo di

Rouche - Capelli.

ii. Determinare il rango della matrice incompleta e quello della

completa.

iii. I vettori riga della matrice completa sono

............................................................

(b) In quale filo misurereste la corrente, allo scopo di conoscere esat-

tamente la corrente che percorre tutti gli altri?

11

5 A10 A

12

2. ........ Assegnata la funzione

f(x, y) =1

x2 + y2

(a) determinare il C.E. e il codominio,

(b) disegnare le curve di livello z = 1, z = 4, z = 1/16

(c) tracciare alcune sezioni verticali ( k = 0, k = 2, k = 1/3 )

rispettivamente nei piani xz e yz.

(d) (facoltativo) tracciare la superficie grafico della funzione.

3. Costi di costruzione. Una scatola rettangolare chiusa e costruita

con due tipi di materiali. Le parti superiore e inferiore sono di cartone

pesante che costa 20 euro al metro quadrato, quelle laterali di cartone

leggero che costa 10 euro al metro quadrato. Dato che la scatola

deve avere una capacit di 2 metri cubi, determinare le dimensioni che

minimizzano il costo di costruzione.

13

SUPERFICI: alcuni esercizi con svolgimento

1. L’indice di raffreddamento da vento I e la temperatura percepita

quando la temperatura effettiva e T e la velocita del vento e v, per

cui possiamo scrivere I = f(T, v). Utilizzando la tabella

velocita Km/h 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Temperatura 0C

20 18 16 14 13 13 12 12 12 12 12

16 14 11 9 7 7 6 6 5 5 5

12 9 5 3 1 0 0 -1 -1 -1 -1

8 5 0 -3 -5 -6 -7 -7 -8 -8 -8

a) stimare i valori di fT (12, 20) e fv(12, 20). Quali sono le interpre-

tazioni pratiche di questi valori?

b) Cosa si puo dire in generale dei segni di ∂I∂T e ∂I

∂v?

c) Individuare l’andamento e disegnare il grafico di ∂∂v I(T, v) ad una

temperatura T fissata.

Svolgimento

a) fT (T0, v) = limT→T0

f(T, v)− f(T0, v)T − T0

= limh→0

f(T0 + h, v)− f(T0, v)h

fv(T, v0) = limv→v0

f(T, v)− f(T, v0)v − v0

= limh→0

f(T, v0 + h)− f(T, v0)h

Valutiamo il rapporto incrementale con v = 20 fissato per un

incremento positivo e negativo di T

f+T (12, 20) =

f(16, 20)− f(12, 20)16− 12

=11− 5

4=

64

=32

14

f−T (12, 20) =f(8, 20)− f(12, 20)

8− 12=

0− 5−4

=54

possiamo stimare come valore di fT (12, 20) il valore medio

fT (12, 20) '(

32

+54

)12

=118

fT (12, 20) rappresenta l’incremento in gradi dell’indice di raffred-

damento quando, a 12oC e 20Km/h, la temperatura cresce di

1oC.

Valutiamo il rapporto incrementale con T = 12 fissato per un

incremento positivo e negativo di v

f+v (12, 20) =

f(12, 30)− f(12, 20)30− 20

=3− 510

= −15

f−v (12, 20) =f(12, 10)− f(12, 20)

10− 20=

9− 5−10

= −25

stimiamo il valore medio

fv(12, 20) '(− 1

2− 2

5

)12

= − 310

Cio significa che, quando la temperatura e 12oC e la velocita

e 20Km/h, l’indice di raffreddamento decresce di 310 per ogni

Km/h di aumento.

b) Notiamo che fT con v fissato e una funzione crescente, quindi

risultera ∂I∂T ≥ 0.

La funzione fv con T costante e invece decrescente quindi ∂I∂v ≤ 0.

Notiamo inoltre che al crescere della velocita v (lasciando fissata

la temperatura T ) l’indice di raffreddamento tende a stabilizzarsi;

cio significa che la ∂I∂v tendera asintoticamente a zero quando la

velocita tende a +∞.

15

–0.36

–0.34

–0.32

–0.3

–0.28

–0.26

–0.24

–0.22

–0.2

–0.18

–0.16

–0.14

–0.12

–0.1

–0.08

–0.06

–0.04

–0.020

ariazioneindice

velocita

16

2. Le norme postali vigenti in Italia consentono di inoltrare pacchetti a

forma di cilindro di altezza h e diametro di base d con

h + 2d ≤ 104cm, h ≤ 90cm, 2d ≤ 90cm.

Qual’e il volume massimo che si puo spedire come pacchetto postale?

Dare una soluzione grafica del problema.

La ricerca dei punti di massimo e minimo relativi con il gradiente e

l’hessiano, conduce alla soluzione? Motivare.

Soluzione

D = {(d, h) ∈ R2 : 0 ≤ d ≤ 45, 0 ≤ h ≤ 90, h + 2d ≤ 104}

20

40

60

80

100

120

h

10 20 30 40 50 60d

dominio della funzione

La funzione che esprime il volume del pacchetto postale e

f(d, h) = π

(d

2

)2

h =π

4d2h

Studiamo il sistema (fd, fh) = (0, 0)

fd(d, h) =

π

2dh = 0

fh(d, h) =π

4d2 = 0

17

fd(d, h) = 0 ⇐⇒ d = 0 ∨ h = 0

fh(d, h) = 0 ⇐⇒ d = 0

Il vettore gradiente si annulla sulla retta d = 0.

5f(0, h) = (0, 0), per ogni h ∈ R

quindi non ci sono punti interni a D in cui il gradiente sia zero. Per-

tanto gli unici punti critici sono i punti di frontiera. Non affrontiamo

lo studio della matrice Hessiana, in quanto essa e riferita ai punti in-

terni in cui il gradiente e nullo.

Studiamo le restrizioni della funzione f(d, h) alla frontiera di D.

Come e facile da intuire nel dominio D i punti (0, h) e (d, 0) sono punti

di minimo, infatti f(0, h) = 0 e f(d, 0) = 0 mentre per ogni (d, h) ∈ D

la funzione e non negativa.

Poiche la funzione e crescente rispetto a d e rispetto ad h, segue che i

possibili punti di massimo saranno sulla retta h = 104− 2d.

Consideriamo la funzione F (d) = f(d, 104− 2d) restrizione di f(d, h)

alla retta h = 104− 2d, con 7 ≤ d ≤ 45; F (d) e una funzione della

sola variabile d.

F (d) = f(d, 104− 2d) =π

4d2(104− 2d) = 26πd2 − π

2d3

Al fine di determinare i punti di massimo o minimo, studiamo la deriva-

ta prima

F ′(d) = 52πd− 32πd2 ≥ 0 ⇔ 104d− 3d2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ d ≤ 104

3.

Il punto 1043 e il punto di massimo assoluto per F (d) in [7, 45].

Pertanto il punto di massimo vincolato per f(d, h) in D e(

1043 , 104

3

),

cioe il punto di intersezione tra la retta h = 104 − 2d e la bisettrice

h = d.

Il volume massimo e

f(

1043 , 104

3

)= π

41043

(1043

)2 = 32720 cm3

18

3. Le norme postali vigenti in Italia consentono di inoltrare pacchetti a

forma di parallelepipedo a basa quadrata di altezza y e lato di base

x con

y + 2x ≤ 90cm, y ≤ 60cm,

Qual’e il volume massimo che si puo spedire come pacchetto postale?

Dare una soluzione grafica del problema.

La ricerca dei punti di massimo e minimo relativi con il gradiente e

l’hessiano, conduce alla soluzione? Motivare.

Svolgimento

La funzione che descrive il problema e

f(x, y) = x2y

Il suo dominio e rappresentato in figura

20

40

60

80

100

y

20 40 60 80 100x

dominio della funzione

Studiamo il sistema (fx, fy) = (0, 0)

fx(x, y) = 2xy = 0

fy(x, y) = x2 = 0

19

fx(x, y) = 0 ⇐⇒ x = 0 ∨ y = 0

fy(x, y) = 0 ⇐⇒ x = 0

Il vettore gradiente si annulla sulla retta x = 0.

5f(0, y) = (0, 0), per ogni y ∈ R

quindi non ci sono punti interni a D in cui il gradiente sia zero. Per-

tanto gli unici punti critici sono i punti di frontiera. Non affrontiamo

lo studio della matrice Hessiana, in quanto essa e riferita ai punti in-

terni in cui il gradiente e nullo.

Studiamo le restrizioni della funzione f(x, y) alla frontiera di D. No-

tiamo che la funzione si annulla nei punti dei due assi e che per og-

ni (x, y) ∈ D la funzione e non negativa, pertanto i punti (0, y) e

(x, 0) sono punti di minimo. Poiche la funzione e crescente rispetto

a x e rispetto ad y, segue che il massimo verra raggiunto sulla retta

y = 90− 2x.

Studiamo la restrizione della funzione a tale retta

F (x) = f(x, 90− 2x) = x2(90− 2x) = 90x2 − 2x3 con 15 ≤ x ≤ 45;

F (x) e una funzione della sola variabile x.

Al fine di determinare i punti di massimo o minimo, studiamo la deriva-

ta prima F ′(x) = 180x− 6x2 ≥ 0 ⇔ 30x− x2 ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 30

Il punto x = 30 e il punto di massimo assoluto per F (x) in [15, 45].

La funzione f(x, y) assume massimo nel punto (x, y) = (30, 30).

Per questo valore la funzione vale

f(30, 30) = 900 · 30 = 27000 cm3 che e il volume massimo.

Osserviamo che il punto di massimo vincolato per f(x, y) in D e

(30, 30), cioe il punto di intersezione tra la retta y = 90 − 2x e la

bisettrice y = x.

20

4. La base di un acquario di volume V assegnato e di ardesia mentre

le facce laterali sono di vetro. Se l’ardesia costa (per unita di area) 3

volte piu del vetro, trovare le dimensioni dell’acquario che minimizza

il costo dei materiali.

Svolgimento

Indichiamo con b il costo per unita di area del vetro e con a quello

dell’ardesia.

a = 3b

Siano x, y, z le dimensioni dell’acquario

V = xyz cioe z =V

xyLa funzione che descrive il problema e

f(x, y) = 3bxy + 2bV

y+ 2b

V

xcon x > 0, y > 0, z > 0

Studiamo il sistema (fx, fy) = (0, 0)

fx(x, y) = 3by − 2bV

x2= 0

fy(x, y) = 3bx− 2bV

y2= 0

⇒

3bx2y − 2bV = 0

3bxy2 − 2bV = 0

⇒

y =

2V

3x2

x− 32V

x4 = 0

⇒

y =

2V

3x2

x = 3

√2V

3

Il vettore gradiente si annulla in ( 3

√2V3 , 2V

3 3√

( 2V3

)2) = (2V

3 , 3

√(2V )3

33·(2V )2

32

) =

( 3

√2V3 , 3

√2V3 ).

5f( 3

√2V

3,

3

√2V

3) = (0, 0).

Il punto critico da valutare e quindi P =(

3

√2V

3,

3

√2V

3

).

Vediamo con il metodo dell’Hessiano se e un punto di massimo o di

minimo.

fxx =4bV

x3, fxy = 3b, fyx = 3b, fyy =

4bV

y3

21

H

(3

√2V

3,

3

√2V

3

)=

4bV2V3

3b

3b 4bV2V3

=

6b 3b

3b 6b

det H

(3

√2V

3,

3

√2V

3

)= 36b2 − 9b2 = 27b2 > 0

inoltre fxx = 6b > 0 , quindi P e un punto di minimo.

Possiamo quindi dire che l’acquario con costo minimo avra base quadra-

ta (x = y = 3

√2V3 ) e altezza z = 3

√9V

4.

22

5. Un’azienda grande e poco biologica studia l’uso di due tipi di diser-

bante da impiegare congiuntamente in un’area nelle quantita x, y

rispettivamente.

La quantita di prodotto ottenuta z dipende da quanto diserbante dei

due tipi e utilizzato secondo la relazione

z = f(x, y) = 1000 log(1 + x) + 3000 log(1 + y)− 2x− 3y.

Determinare il punto di massimo della funzione f(x, y).

Svolgimento

Il campo di esistenza di f e dato da tutte le coppie (x, y) ∈ R2 tali che

1 + x > 0 e 1 + y > 0 , ovvero

C.E. = {(x, y) ∈ R2 : x > −1, y > −1}

5

10

15

20

y

5 10 15 20x

campo di esistenza della funzione

Gli eventuali punti critici della funzione sono quelli in cui si annulla il

vettore gradiente, quindi studiamo il sistema (fx, fy) = (0, 0)

fx =

10001 + x

− 2 = 0

fy =30001 + y

− 3 = 0

⇒

1000− 2− 2x = 0

3000− 3− 3y = 0

⇒

x =

9982

= 499

y =2997

3= 999

L’unico punto critico di f(x, y) e P = (499, 999).

Applichiamo il metodo dell’Hessiano per verificare se e un punto di

massimo o di minimo.

23

fxx =−1000

(1 + x)2, fxy = 0 , fyx = 0 , fyy =

−3000(1 + y)2

H(499, 999) =

−10005002 0

0 − 300010002

det H(499, 999) = 1, 2 · 10−5 > 0

inoltre fxx < 0 , quindi P e un punto di massimo per f(x, y).

24

6. a) Cosa rappresenta l’equazione x2 + y2 = 1 come curva in IR2?

b) Cosa rappresenta come superficie in IR3?

c) Cosa rappresenta l’equazione x2 + z2 = 1 in IR3?

Svolgimento [0.5cm]

a) L’equazione x2 + y2 = 1 in R2 rappresenta una circonferenza di

centro l’origine degli assi e raggio 1.

b) In R3 la stessa equazione rappresenta un cilindro che ha per asse

l’asse z e raggio di base 1.

c) L’equazione x2 + z2 = 1 in R3 rappresenta un cilindro che ha per

asse l’asse y e raggio di base 1.

25

7. Gelati Siete i gestori di un laboratorio che produce due gusti di gelato:

A, B. In ciascuna porzione di A vanno 2 uova e 3 tazze di crema, mentre

ciascuna porzione di B contiene 1 uovo e 3 tazze di crema. Per questa

settimana avete in magazzino 500 uova e 900 tazze di crema. Il profitto

su x porzioni di gelato A e y porzioni di gelato B e

P (x, y) = 3x− 2y − 0.01(x2 − y2)

Quante porzioni di ciascun gusto dovete produrre per ottenere il mas-

simo profitto?

Svolgimento

Si ha

x = porzioni di gelato A

y = porzioni di gelato B

Il dominio della funzione P (x, y) e determinato dal seguente sistema

e rappresentato in figura.

x ≥ 0

y ≥ 0

2x + y ≤ 500

3x + 3y ≤ 900

y = 500− 2x

y = 300− x⇒

y = 500− 2x

500− 2x = 300− x⇒

x = 200

y = 100

26

100

200

300

400

500

600

y

100 200 300 400x

dominio della funzione

Ricerca dei punti di massimo e di minimo interni al dominio.

Px(x, y) = 3− 0, 02x = 0

Py(x, y) = −2 + 0, 02y = 0⇒

x =

30, 02

= 150

y =2

0, 02= 100

∇P (150, 100) = 0

Calcoliamo il determinante della matrice Hessiana

det

∣∣∣∣∣∣ −0, 02 0

0 0, 02

∣∣∣∣∣∣ = −0, 0004 < 0

Quindi il punto (150, 100) e un punto di sella.

Ricerca dei punti di massimo e di minimo lungo la frontiera del do-

minio:

y = 0, 0 ≤ x ≤ 250

P (x, 0) = 3x− 0, 01x2

e una parabola concava quindi il punto di massimo coincide con

l’ascissa del vertice x = − b

2a=

30, 02

= 150

27

Producendo 150 porzioni di gelato A e zero porzioni di gelato B si ha

un profitto di 225 euro.

x = 0, 0 ≤ y ≤ 300

P (0, y) = −2y + 0, 01y2

e una parabola convessa con vertice in y = 100; il massimo si avra in

y = 300.

Producendo zero porzioni di gelato A e 300 porzioni di gelato B si avra

un profitto di 300 euro.

y = 500− 2x, 200 ≤ x ≤ 250

P (x, 500− 2x) = 3x− 1000 + 4x− 0, 01x2 + 0, 01(500− 2x)2 =

7x− 1000− 0, 01x2 + 0, 01(250000 + 4x2 − 2000x) =

7x− 1000− 0, 01x2 + 2500 + 0, 04x2 − 20x = −13x + 1500 + 0, 03x2

P ′(x) = −13 + 0, 06x ≥ 0

x ≥ 130, 06

∼= 216 punto di minimo

un massimo si ha nel punto (200, 100), cioe producendo 200 porzioni

di gelato A e 100 porzioni di gelato B si avra un profitto di 100 euro.

y = 300− x, 0 ≤ x ≤ 200

P (x, 300− x) = 3x− 600 + 2x− 0, 01x2 + 0, 01(300− x)2 =

5x− 600− 0, 01x2 + 0, 01(90000 + x2 − 600x) =

5x− 600− 0, 01x2 + 900 + 0, 01x2 − 6x = −x + 300

Si avra un massimo nel punto (0, 300), cioe producendo zero porzioni

di gelato A e 300 porzioni di gelato B si ha un profitto di 300 euro.

Il punto (0, 300) e quindi il punto di massimo assoluto per la funzione

P (x, y).

28

8. Viaggi in aereo. Una compagnia di aereolinee collega con voli quo-

tidiani due localita. Puo riservare a coloro che viaggiano per turismo

un trattamento diverso da coloro che viaggiano per affari, chiedendo

l’acquisto anticipato del biglietto con date di partenza e di arrivo tra le

quali sia compreso il sabato. Se p e il prezzo del biglietto, supponiamo

che la funzione di domanda sia

f(p) = 16− p per i viaggiatori di affari

e

g(p) = 10− p per i turisti

e che la funzione costo sia

C = 10 + (f(p) + g(p))2

Indicati con x, y i prezzi unitari dei biglietti per i viaggiatori d’affari

e per i turisti rispettivamente, quale prezzo si deve fissare in ciascuno

dei due mercati per rendere massimo il profitto?

Svolgimento

Per quanto riguarda i viaggiatori d’affari si ha

f(x) = 16− x 16− x ≥ 0 0 ≤ x ≤ 16

ricavo= x · f(x) = x(16− x), 0 ≤ x ≤ 16

Per quanto riguarda i turisti si ha

g(y) = 10− y 10− y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 10

ricavo= y · g(y) = y(10− y), 0 ≤ y ≤ 10

f(x, y) = profitto totale = ricavo totale - funzione costo totale

f(x, y) = x(16− x) + y(10− y)− [10 + (16− x + 10− y)2] =

16x− x2 + 10y − y2 − 10− (26− x− y)2 =

16x− x2 + 10y − y2 − 10− 262 − x2 − y2 + 52x + 52y − 2xy =

− 2x2 − 2y2 − 2xy + 68x + 62y − 10− 262

Dominio = {(x, y) ∈ R2 : 0 ≤ x ≤ 16, 0 ≤ y ≤ 10}

29

5

10

15

20

y

5 10 15 20x

dominio della funzione

Studiamo il gradiente di f .

∇f(x, y) =(fx(x, y), fy(x, y)

)= (−4x− 2y + 68, −4y − 2x + 62)

∇f(x, y) = (0, 0)

fx = 0

fy = 0⇔

−4x− 2y + 68 = 0

−4y − 2x + 62 =⇔

y =

−4x + 682

= −2x + 34

y =−2x + 62

4= −1

2x +

312

⇔

−2x+34 = −12x+

312⇔ −4x+68 = −x+31 ⇔ −3x = −37 ⇔ x =

373

y = −2x + 34 = −2373

+ 34 =−74 + 102

3=

283⇒

∇f(373 , 28

3 ) = (0, 0) e(

373

,283

)e l’unico punto critico in-

terno al dominio di f(x, y).

Applichiamo la condizione sufficiente per la ricerca dei punti di mas-

simo usando la matrice Hessiana di f

Hf (x, y) =

fxx fxy

fyx fyy

=

−4 −2

−2 −4

= 16− 4 = 12 6= 0

Poiche fxx = −4 e Hf ≥ 0 (per ogni (x, y) ∈ C.E.), allora il punto

critico(

373

,283

)e punto di massimo relativo per f(x, y) (confrontare

30

con i valori lungo la frontiera per valutare il massimo assoluto).

31