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M. Usai 5e_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO 1

5f_EAIEE CAMPI VARIABILI NEL TEMPO(ultima modifica 16/12/2011)

Campi variabili nel tempo e Equazioni di Maxwell

Il modello elettrostatico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico , e il vettore densità di flusso elettrico (spostamento dielettrico) .

Le equazioni differenziali fondamentali sono:

Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva:

ED

0E D

D

D E E


Il modello del campo elettrico è stato definito con il vettore intensità del campo elettrico , e il vettore densità di di corrente


La I°relazione rappresenta la legge delle tensioni in forma locale.

La II° relazione rappresenta la legge delle correnti in forma locale

Per i mezzi lineari e isotropi (non necessariamente omogenei), vale la relazione costitutiva:

E

E J J E

J

0J 0E


Il modello magnetostatico è stato definito con il vettore densità di flusso magnetico magnetico , e il vettore intensità del campo magnetico .


Per i mezzi lineari e isotropi, vale la relazione costitutiva:

BH

0B JH

1 H B B H


Il modello del campo magnetostatico

0B JH 1 H B B H

In condizioni statiche (le grandezze di campo non variano nel tempo) il campo elettrico e lo spostamento elettrico con il campo magnetico e l’induzione magnetica sono coppie di grandezza separate e indipendenti.

Il modello del campo elettrico

Il modello del campo elettrostatico

D0E D

D E E

0E 0J E J J E

H BE D


Ossia in condizioni statiche le grandezze del modello elettrostatico e non sono legate alle grandezze del modello magnetostatico e e alle grandezze del modello elettrico e .

Ma in un mezzo conduttore, possono coesistere un campo elettrico e un campo magnetico e formano un campo elettromagnetico.

In un mezzo conduttore un campo elettrico statico causa un flusso costante di correnti di densità , e questo subito dopo genera un campo magnetico statico , ma il campo elettrico statico è indipendente dal campo magnetico statico generato, che non interferisce con esso. Gli effetti cambiano se il campo elettrico non è statico.

Per comprendere questi effetti si intende studiare come una variazione di campo elettrico generi una variazione di campo magnetico e viceversa.

E D

BH

EJ

H

E J


Per comprendere i fenomeni elettromagnetici in regime tempo-variante, è necessario introdurre un modello elettromagnetico nel quale le grandezze relative al modello elettrostatico e e quelle relative al modello magnetostatico e e quelle del campo elettrico e siano propriamente correlate.

Legge di Faraday della induzione elettromagnetica

Michael Faraday nel 1831, scoprì sperimentalmente che in una spira conduttrice viene indotta una forza elettromotrice (f.e.m.) quando varia il flusso magnetico concatenato con la spira.

La relazione quantitativa tra la f.e.m. indotta e la velocità di variazione del flusso concatenato, basata su dati empirici, è nota come legge di Faraday e costituisce un postulato fondamentale.

E DB H

E J


Postulato fondamentale della induzione elettromagnetica

L’intensità del campo elettrico in una regione dove la densità del flusso magnetico varia con il tempo è non conservativa e non può essere espressa con il gradiente di un potenziale scalare, ma è valida la legge di Faraday in forma differenziale:

Facendo l’integrale superficiale su una superficie aperta S delimitata da un contorno C e applicando il teorema di Stokes, si ottiene la legge di Faraday in forma integrale:

0 V B

E E Et

sdtB

ldEsdESCS

E

B


Legge di Faraday in un campo magnetico costante

in forma differenziale e integrale.

Se il campo magnetico è costante,

le equazioni precedenti diventano:

Ciò dimostra la generalità delle equazioni dalle quali sono state ottenute.

0B

t

0 0 B

E Et

0 0 ldEsd

t

BldE

CSC

cos tB


La variazione della induzione può essere dovuta a una variazione delle correnti che generano il campo o a uno spostamento del conduttore nel campo magnetico.

Per determinare l’espressione generale della legge di Faraday, indicando con la velocità di spostamento del conduttore si esamineranno i seguenti tre casi:

1. circuito fisso in un campo magnetico variabile nel tempo

2. conduttore in movimento in un campo magnetico statico

3. circuito in movimento in un campo magnetico variabile nel tempo (sovrapposizione degli effetti dei casi 1 e 2).

0B

0B

0B

u

0u

0u

0u

B


1) Circuito fisso in un campo magnetico variabile nel tempo

Per un circuito fisso con un contorno C e una superficie S si può

scrivere: essendo

la f.e.m. indotta nel circuito con contorno C e

il flusso magnetico attraverso la superficie S

si ottiene che :

sdBdt

dld E

SC

WbS

B d s

[V] C

ldEv

0u0B

Vd

vdt


La legge di Faraday è diventata:

Essa stabilisce che: la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso stazionario è uguale alla velocità di incremento (o decremento) del flusso magnetico che concatena il circuito, cambiata di segno, perché è tale da opporsi alla f.e.m. che ha generato il flusso.

Ossia, il segno negativo sottolinea che la f.e.m. indotta causerà una corrente che percorrerà il circuito chiuso in direzione tale da opporsi alla direzione del flusso magnetico concatenato.

Questa asserzione è nota come legge di Lenz .

Su tale fenomeno è basato il funzionamento del trasformatore.

Vd

vdt


2) Conduttore in movimento

in un campo magnetico statico

Quando un conduttore si muove con velocità in un campo magnetico statico ( che non varia nel tempo) , una forza magnetica causerà il libero movimento degli elettroni nel conduttore che saranno trascinati verso una estremità del conduttore , lasciando l’altra estremità carica positivamente. Questa separazione delle cariche positive e negative crea una forza Coulombiana di attrazione.

Il processo di separazione delle cariche continua sino a quando le forze elettriche e magnetiche si bilanciano l’una con l’altra e si raggiunge, in un uno tempo molto breve, uno stato di equilibrio.

u

B

---

+++

udl

. .

.

.

..

..

.

.

.

. ..1

2

0u

0B

B


Per un osservatore in movimento con il conduttore non si ha un movimento apparente, e la forza magnetica per unità di carica:

può essere interpretata per analogia con i campi elettrostatici

come un campo elettrico indotto agente lungo il conduttore che

produce una tensione:

In generale se il conduttore in movimento è una parte di un circuito chiuso C, la fem generata nel circuito con contorno C è:

Per le proprietà del prodotto vettoriale solo la parte del circuito che si muove in direzione non parallela al campo magnetico, contribuisce alla fem V’.

Buq

F m

ldBuV2

1

12

V ldBu'VC

q

FE

e


3) Circuito in movimento

in un campo magnetico variabile nel tempo

Quando una carica q si muove con velocità in una regione dove esistono sia un un campo elettrico e un campo magnetico , la forza elettromagnetica su q, come risulta da misurazioni effettuate in laboratorio, è data dalla equazione della forza di Lorenz, secondo la quale la forza totale agente sulla carica q è pari alla somma della forza elettrica e della forza magnetica :

Per un osservatore che si muove con la carica q, non c’è alcun movimento apparente e la forza sulla carica q può essere interpretata come dovuta da un campo elettrico equivalente , dove:

uE B

F

')( EqBuEqFFF me

'E

' ( ' ) .E E u B o E E u B

0u

0B

mFeF


Quindi se un conduttore con un contorno C e una superficie S, si muove con una velocità in un campo , si ottiene la relazione, valida per un circuito in movimento in un campo magnetico che varia nel tempo, che rappresenta la forma generale della legge di Faraday :

f.e.m. indotta nel conduttore in movimento in un campo

di induzione variabile

f.e.m. indotta dovuta alla variazione della induzione nel tempo

f.e.m. mozionale dovuta al movimento del circuito all’interno di un campo di induzione .

u B ,E

V ldBu sdtB

ld 'ECSC

ldBu C

sdtB

S

ld 'EC

B

B

B


Oltre alle considerazioni fatte sulle interazioni dei campi elettrici e magnetici, occorre tenere presente che deve essere sempre verificato il principio di conservazione della carica, secondo il quale :

e il modello magnetostatico:

deve essere modificato in condizioni di campo elettrico variabile adattandolo affinchè risulti coerente al principio di conservazione della carica e si ottiene (vedi pag. successiva *) :

3m

A

tJ

JH

tδD δ

H H JJ


(*)

Infatti calcolando la divergenza del primo e del secondo membro della relazione il modello magnetostatico per deve essere, per l’identità nulla, dovrebbe essere:

Ma quando la densità di carica varia nel tempo, quindi per rendere coerente la relazione :

essendo:

l’equazione adattata, valida quando le grandezze di campo variano nel tempo diventa:

JH 0

0 J

=0J Jt t

t

JH

0 H

JH


Poiché l’equazione adattata per i campi variabili nel

tempo:

diventa:

H Jt

D DH J H J

t t

D


Per essere coerenti con l’equazione di continuità e le condizioni di funzionamento con le grandezze variabili nel tempo, entrambe le equazioni rotoriche valide per l’elettrostatica e per la magnetostatica sono state opportunamente generalizzate:

Con le due equazioni generalizzate, si hanno complessivamente quattro equazioni differenziali coerenti, note come equazioni di Maxwell che possono essere espresse anche in forma integrale, applicando il teorema di Stokes e il teorema della divergenza.

tδB δ

E 0E

tδD δ

H H JJ


Queste equazioni generalizzate sono valide per qualunque punto dello spazio e in particolare quando le grandezze di campo non variano nel tempo, le relazioni si riducono a quelle valide per i modelli elettrostatici ed magnetostatici.

se:

tδB δ

E D

tδD δ

H 0 B J

0 tδD δ

0 tδB δ

0E D

J H 0 B


Il modello matematico per la risoluzione dei campi può essere descritto mediante le seguenti Equazioni di Maxwell

in forma differenziale vettoriale e in forma integrale vettoriale

Legge di Faraday

Legge di Ampere

Legge di Gauss

tδ

B δE

tδ

D δH J

D

0B

SC

sdd tBd

ldE

C S

sdtD

JldH

dvρsdDVS

0 sdBS


Equazioni d’onda convenzionali

in funzione delle grandezze di campo

Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali alle derivate parziali con più variabili che generalmente presentano difficoltà di risoluzione. Un metodo comune per ridurre la complessità matematica è quello di formulate il problema in termini di equazioni d’onda , nelle quali in ogni equazione compare una sola grandezza di campo.

Per ottenerle si calcola il rotore del primo e del secondo membro delle equazioni di Maxwell rotoriche:

tδD δ

H J

tδB δ

E


Equazioni d’onda convenzionali

(in funzione delle grandezze di campo)

a) Calcolando il rotore della prima equazione:

si ottiene:

Nella ipotesi di un mezzo omogeneo ed isotropo:

tδ

D δH J

D tδ

δH J

E D e E J E di funzionein D e J

nullo è membro secondo del addendo primo il 0

:ma tδ δ

H

EJsetB

EEE


Quindi in generale si ha:

tδH δ

μδtHδ

μH

Hμ B:essendo tδ δ

δtBδ

H

:ma tδ δ

H

2

2

2

2

B

tB

EEE


b) Analogamente partendo dalla espressione del rotore

del campo :

calcolando il rotore del rotore si ottiene: tδB δ

E E

nullo è membro secondo a addendo primo il 0E tδ

EδE

tδ δ

E

:cui da ED e E:isostropo ed lineare mezzoun per tδ

Dδ tδ δ

E

tδ Dδ

H:poichè

tδ Dδ

tδ δ

H tδ δ

B tδ δ

E

2

2

2

2

Jse

J

J

J

J


Equazioni d’onda convenzionaliIn definitiva si ottiene che :

Per le proprietà dei vettori:

2

2

2

2

tδ

EδE

tδ

δE

tδ

HδH

tδ

δH

EEE2

2

22

2

22

tδ

EδE

tδ

δEE

tδ

HδH

tδ

δHH


D essendo D

E

0B essendo 0B

H

tδ Eδ

E tδ δ

E

0 tδ

HδH

tδ δ

H

E tδ

EδE

tδ δ

E

H tδ

HδH

tδ δ

H infatti

tδ Eδ

E tδ δ

EE

tδ Hδ

H tδ δ

HH

2

22

2

22

2

22

2

22

2

22

2

22


Equazioni d’onda convenzionali in presenza di sorgenti

Questa è la forma delle equazioni convenzionale delle equazioni delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropain presenza di sorgenti ( ):

La prima equazione dell’onda magnetica è omogenea, mentre la seconda equazione del campo elettrico al contrario non lo è. Questo implica che tutti i fenomeni elettromagnetici siano generati di da una distribuzione di cariche ρ.

2

22

2

22

tδ Eδ

E tδ δ

E

0 tδ

HδH

tδ δ

H

0 e 0 EJ

EH


Equazioni d’onda convenzionali per una regione priva di sorgenti

Questa è la forma delle equazioni convenzionale delle onde elettromagnetiche valide per una regione omogeneea ed isotropa priva di cariche fisse e in movimento: ( )

Entrambe le equazioni diventano omogenee:

2

22

2

22

tδ Eδ

E tδ δ

E

0 tδ

HδH

tδ δ

H

0 e 0 EJ

0

00

tδ Eδ

E

tδ Hδ

H

2

22

2

22

mezzo nel ione trasmissdi velocità με1/u

2

2

2

2

2

2

2

2

tδ Eδ1

E

tδ Hδ1

H

u

u


Procedimento più intuitivo (per ottenere le stesse espressioni delle equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti)

******************************************************

Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti

Si intende ora risolvere problemi di propagazione che riguardano la propagazione di onde elettromagnetiche in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero.

In altri termini si vuole studiare non solo come sono originate le onde magnetiche, ma come si propagano focalizzando questo ultimo aspetto.

J


Equazioni d’onda in una regione priva di sorgenti

Se l’onda si propaga in un mezzo

•non conduttore (con conducibilità = 0 o γ=0) ,

•lineare , isotropo e omogeneo caratterizzato da e le equazioni di Maxwell diventano:

0 B 0

0 e 0

H e 0 H

tδB δ

E B tδB δ

E

HHB

EEDDtE

EDJtD

J

H


Si sono ottenute delle equazioni differenziali del primo ordine nelle due variabili e . Esse possono essere combinate per ottenere equazioni differenziali del secondo ordine nella sola o .

Infatti calcolando il rotore del rotore della equazione:

essendo:

si ottiene: con

E HE H

δ t

Hδ μE

2

2

δ t

EδμH

δ t

δ μE

EEEE22

0t

E

u

1E 2

2

2

2

με/1u

0


In modo analogo si ottiene una equazione in .

Le equazioni così ottenute sono chiamate:

Equazioni d’onda vettoriali omogenee :

con

In coordinate cartesiane ciascuna di esse equivale a tre equazioni d’onda scalari unidimensionali, omogenee. Ciascuna componente dei campi deve soddisfare equazioni del tipo:

le cui soluzioni rappresentano le onde.

H

0t

H

u

1H

0t

E

u

1E

2

2

2

2

2

2

2

2

με/1u

0t

U

R

U2

2

2

2


Equazioni d’onda vettoriali omogenee convenzionali(in funzione delle grandezze di campo)

Queste equazioni si chiamano equazioni della diffusione essendo analoghe (formalmente identiche) alle equazioni utilizzate per risolvere problemi di diffusione del calore.

Esse servono per determinare la distribuzione del campo in mezzi non conduttori, ossia in una regione dello spazio priva di cariche libere dove e sono entrambi uguali a zero.*******************************************************

0t

H

u

1H

0t

E

u

1E

2

2

2

2

2

2

2

2

με/1u

J


Funzioni potenziale scalare V e vettoriale

Il concetto di potenziale vettore magnetico é stato introdotto per la solenoidalità del vettore :

per cui per le proprietà degli operatori vettoriali, esso é esprimibile come:

nella forma differenziale, in base alla legge di Faraday:

si ottiene una relazione tra il campo elettrico e il vettore potenziale in forma compatta:

B 0B

T AB

0

tA

Et

AE

ABtB

E

0B

A

EA


Poiché risulta che la somma delle due quantità vettoriali tra parentesi é irrotazionale, essa può essere espressa come il gradiente di un potenziale scalare per le proprietà del calcolo vettoriale ossia:

dalla quale si ottiene:

In condizioni statiche: , con

V potenziale elettrico scalare e

potenziale magnetico vettoriale.

Vt

AE

m

V

t

AVE

m

VV -E 0

t

A

A

0t

AE


Nel caso più generale di campi variabili con il tempo:

l’intensità del campo elettrico dipende sia:

• dalle concentrazioni di carica attraverso il termine , sia

• dai campi magnetici tempo-variabili attraverso il termine _______________

Per ottenere un modello esaustivo dei campi elettromagnetici variabili nel tempo non possono essere trascurati gli effetti di ritardo temporale dovuti alla velocità di propagazione finita (non infinitamente grande).

m

V

t

AVE

t

A

V

E


Campi in condizioni quasi statiche

Solo quando la e variano molto lentamente nel tempo (con frequenze molto basse) e la regione di interesse del campo, ha dimensioni piccole rispetto alla lunghezza d’onda, é possibile utilizzare le formule valide per le condizioni di funzionamento statiche per determinare V e ottenibili dalle equazioni di Poisson:

che sostituite nella relazione :

consentono di risolvere i campi in condizioni quasi statiche.

J

A

dv' RJ

π

μ A JμA

dv'Rρ

πε

V ερ

V

V'

V'

4

41

00

2

0

2

m

V

t

AVE


I Campi quasi statici sono approssimazioni e la loro definizione e consente di risolvere i problemi elettromagnetici con la

Teoria dei circuiti

Quando la frequenza f della sorgente é alta e le dimensioni della

regione di interesse non sono molto più piccole della lunghezza

d’onda (v=velocità di trasmissione nel mezzo f=frequenza),

le soluzioni quasi statiche non sono valide.

Campi variabili nel tempo

Devono essere presi in considerazione gli effetti dei ritardi temporali e le emissione di radiazioni elettromagnetiche dalle antenne.

v

f


Potenziale vettore magnetico

In elettrostatica conviene definire un potenziale elettrico scalare che presuppone che il campo sia irrotazionale. Non si può fare lo stesso per i campi magnetici, perché in generale il loro rotore é diverso da zero.

Le equazioni risolutive sono complesse, ma si possono ottenere molte semplificazioni sfruttando la seguente identità vettoriale:

In base a tale identità l’equazione: é sempre soddisfatta se si definisce un vettore tale che :

Per definire in modo univoco occorre aggiungere un’altra condizione. A tal fine useremo la convenzione di Coulomb:

0v 0B

A AB A

0A

A


Si può ora esplicitare calcolando il rotore di :

avendo assunto la convenzione di Coulomb si ottiene:

essendo:

Dalle due espressioni di si ottiene:

che presenta delle analogie con l’ equazione di Poisson ma a differenza di quest’ultima è funzione di grandezze vettoriali. Per la similitudine formale é chiamato potenziale vettore magnetico.

AB2

B H H J Dt

Dt

JA 2

A

V

2

A

AAAB2

0

B

A2

B

Dt

JAB 2


In coordinate cartesiane l’equazione equivale a tre equazioni scalari:

La risoluzione della equazione vettoriale di equivale alla soluzione di un sistema di tre equazioni scalari: una equazione per ciascuna componenti: Ax , Ay ,e Az .

zzz

2

yyy

2

xxx

2

Dt

JA

Dt

JA

Dt

JA

A


Riassumendo nel caso più generale di campi variabili con il tempo

l’intensità del campo elettrico dipende da V ma anche da che da

il potenziale vettore magnetico è espresso con l’equazione:

che, in coordinate cartesiane, equivale a tre equazioni scalari:

zzz

yyy

xxx

Dt

JA

Dt

JA

Dt

JA

2

2

2

Dt

JA 2

mV

tA

VE

AE


Equazioni d’onda non omogenee in funzione

del potenziale vettore e del potenziale scalare V

Per la legge di Ampere o II° equazione di Maxwell:

e per le relazioni costitutive:

si può scrivere:

essendo: e

tδ

D δH J

AB t

AVE

EεD e μ

BH

t

EεJ

μ

B

A

t

AV

tμεJμA


Ma il rotore del rotore di un vettore può essere espresso come:

per cui:

Poiché la definizione di un vettore richiede la specificazione sia del rotore che della divergenza, essendo il rotore di definito da:

possiamo scegliere opportunamente il valore della sua divergenza.

AAA2

t

VμεAJμ

t

AμεA

o t

Aμε

t

VμεJμAA

2

22

2

22

AB

A

t

AV

tμεJμA

B


La divergenza di è quindi definita con la condizione di Lorentz per i potenziali (coerente con l’equazione di continuità):

da cui si ottiene l’equazione dell’onda non omogenea per il potenziale vettore :

Si chiama equazione d’onda perché le sue soluzioni sono onde che viaggiano ad una velocità pari u=

0A statici campi i per 0tV

μεA

JμtA

μεA 2

22

A

/1

A


L’equazione d’onda corrispondente per il potenziale scalare V può essere ottenuta sostituendo la relazione:

dalla equazione di Maxwell ed essendo , si ottiene:

che per costante diventa:

D

tA

VE

A

Vt

At

V2

EεD

-V-εEεD

tA


Per ottenere una relazione espressa con una sola grandezza, si utilizza la condizione di Lorentz :

dalla espressione : si ottiene

l’equazione d’onda non omogenea per il potenziale scalare V

2

At

V

0tV

μεAtV

μεA

2

22

tV

μεV


Nel caso di campi statici le equazioni d’onda non omogenee si riducono alle equazioni di Poisson.

Riassumendo:

Equazioni d’onda non omogenee Equazioni di Poisson e soluzioni

V potenziale elettrico scalare e

potenziale magnetico vettoriale.

dv' Rρ

πε

V ερ

V

dv' RJ

π

μ A JμA

tV

μεV

JμtA

μεA

V'

V'

0

2

00

2

2

22

2

22

41

4

A


Condizioni elettromagnetiche al contorno

Per risolvere problemi elettromagnetici che interessano regioni con parametri costitutivi , e diversi, é necessario conoscere le condizioni al contorno che le grandezze devono soddisfare nelle interfacce.

Le condizioni al contorno si ottengono applicando le equazioni di Maxwell nella forma integrale in una piccola regione nella interfaccia tra i due mezzi, analogamente a quanto fatto per ottenere le condizioni al contorno per i campi elettrostatici e magnetostatici.

H e B, D ,E


Le condizioni al contorno per le componenti tangenziali e normali di e di si ottengono dalle equazioni di Maxwell in forma integrale:

Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici in quanto il contributo della integrazione dei termini

risulta trascurabile.

E H

SC

sdd tBd

ldE

C S

sdtD

JldH

mA

J HH a mV

E E S212nt2t1

tD

e tB


Analogamente le condizioni al contorno per le componenti tangenziali e normali di e di si ottengono dalle equazioni di Maxwell in forma integrale:

Le equazioni sono analoghe a quelle trovate per i campi elettrostatici e magnetostatici, perché ricavate dalla stesse equazioni della divergenza.

D B

dvρsdDVS 0 sdB

S

nnSn BBm

C ρDDa 212212


Per le condizioni al contorno in un campo elettromagnetico valgono le seguenti condizioni generali:

• la componente tangenziale di un campo é continua attraverso l’interfaccia:

• la componente tangenziale di un campo é discontinua attraverso l’interfaccia dove é presente una corrente superficiale, e la variazione é determinabile con l’equazione:

• La componente normale del campo é discontinua attraverso una interfaccia dove esiste una carica superficiale e la discontinuità è determinabile con l’equazione:

• la componente normale del campo é continua attraverso l’interfaccia: .

E

H

HHaJ J HHa nSSn 0 0 se 212212

D

0

0 0 se

22112

212212

EEa

DDaρρDDa

n

nSSn

B 21 nn BB

E E tt 21

v


Interfaccia tra due mezzi lineari privi di perdite

Un mezzo lineare privo di perdite può essere specificato dalla permettività la permettività con = 0.

Generalmente non ci sono ne cariche libere, ne correnti nella interfaccia tra i due mezzi privi di perdite.

Nelle equazioni generali che

esprimono le condizioni al

contorno si pone ;

ottenendo le condizioni al

contorno tra due mezzi

privi di perdite.

0J e 0ρ SS

nnnn

nnnn

t

ttt

t

ttt

HμH μ BB

EεE ε DD

μ

μ

B

B HH

ε

ε

D

D EE

221121

221121

2

1

2

121

2

1

2

121


Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto

In generale sarà Supponendo il mezzo 1 dielettrico e il mezzo 2 conduttore perfetto, le equazioni generali per una interfaccia diventano:

0E0E essendo EE 1t2t2t1t

J Ha 0H essendo J HHa S1n2t2S21n2

Sn

SnSn

ρEa

ρDaρDDa

112

122n212

0D essendo

0 0B essendo 12n21 nnn BBB


Interfaccia tra un dielettrico e un conduttore perfetto

Un conduttore è perfetto se ha una conducibilità infinita.

In realtà esistono solo “buoni conduttori” con una conducibilità dell’ordine di 107 [S/m] come l’argento, il rame l’oro e l’alluminio.

Esistono materiali “superconduttori” che a temperature (temperature criogeniche) di utilizzo molto basse hanno una conducibilità che può superare 1020 [S/m]. Si tratta di materiali ceramici.

Nella risoluzione di problemi di campi, per quanto riguarda le condizioni al contorno, si ottengono risultati approssimati accettabili, se si considerano i “buoni conduttori” come “conduttori perfetti”.


All’interno del conduttore il campo elettrico é nullo, e le cariche presenti si distribuiscono solo sulla superficie.

Le interrelazioni attraverso le equazioni di Maxwell comportano che anche siano nulli all’interno del conduttore in condizioni di funzionamento tempo variante.

Se si considera una interfaccia tra un dielettrico privo di perdite (mezzo 1) e un perfetto conduttore (mezzo 2), per il mezzo conduttore 2 si può subito scrivere:

)H,B) e ( D,E( H e B

0H, 0B, 0D, 0E 2222

E


Le condizioni al contorno si riducono alle seguenti:

dal lato del mezzo1 (dielettrico) dal lato del mezzo2 (conduttore perfetto)

il versore normale é uscente dal mezzo 2.

é normale uscente dalla superficie del conduttore, se la superficie é caricata positivamente

é normale entrante nella superficie del conduttore, se la superficie é caricata negativamente.

0 B 0B

0 D ρDa

0 H J Ha

0 E 0E

n2n1

n2S12n

t2S12n

t2t1

2na

E

E


Inoltre dalle precedenti relazioni:

si può dedurre che:

Le correnti nei mezzi con conducibilità finita sono espresse in termini di densità di corrente volumica, e le densità di corrente superficiali sono definite come correnti che fluiscono attraverso uno spessore infinitesimale sono nulle.Ciò consente di ritenere che la componente tangenziale di sia continua attraverso l’interfaccia con un conduttore avente conducibilità finita.

ε

ρEE e JHH S

nSt 1

1111

SSnStSn ρρDaJ HJ Ha 1n12112 D

H

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