Elementi di Matematica

Insiemi

relazioni

funzioni

prof. Paolo Peranzoni

Insiemi Il concetto di insieme, a questo livello,

viene trattato in forma intuitiva: viene chiamato insieme una qualunque

raccolta di oggetti (concreti o astratti), purché si sappia con precisione chi ne fa parte e chi no

un insieme può essere individuato in modo estensivo (dando l’elenco dei suoi elementi) o intensivo (dichiarando le proprietà degli stessi)

Esempi di insiemi L’insieme degli studenti presenti in

quest’aula (definizione intensiva) L’insieme che contiene Brontolo, Cucciolo,

Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo (definizione estensiva dei sette nani)

L’insieme degli esercizi facili di matematica (non è un insieme, perché non è possibile stabilire in modo univoco quali esercizi vi appartengano!)

Come rappresentare gli insiemi

Gli insiemi si possono rappresentare in modo simbolico, sia in forma intensiva che estensiva:

A = {Brontolo, Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo} è una rappresentazione estensiva dell’insieme dei sette nani

B = {x|xN, 3x7} è l’insieme dei numeri naturali (ossia gli interi positivi) compresi fra 3 e 7, estremi inclusi (contiene cioè 3, 4, 5, 6 e 7)

Ma si possono rappresentare anche in forma grafica, attraverso i diagrammi di Eulero-Venn

I diagrammi di Eulero-Venn

Un diagramma di Eulero-Venn (o semplicemente diagramma di Venn) è la rappresentazione grafica di un insieme che consiste nel racchiuderne gli elementi all’interno di una linea chiusa non intrecciata.

Concetti fondamentali 1 Fondamentale è il concetto di

appartenenza di un elemento ad un insieme

Il simbolo corrispondente è Esempio:

Anna BAMBINI (con riferimento alla figura precedente)

Concetti fondamentali 2 Ben diverso è il concetto di inclusione di

un insieme in un altro insieme: I simboli corrispondenti sono e Si dice che un insieme è incluso in un

altro (o che è un suo sottoinsieme) se tutti gli elementi del primo appartengono anche al secondo

Esempio: {Brontolo, Eolo, Mammolo} {Brontolo,

Cucciolo, Dotto, Eolo, Gongolo, Mammolo, Pisolo}

Inclusione Si può avere l’inclusione in senso stretto:

A B se non tutti gli elementi di B appartengono ad

A (come nell’esempio precedente) In tal caso A viene detto sottoinsieme proprio di B

Oppure si può avere l’inclusione in senso lato: A B

se è possibile che tutti gli elementi di B appartengano anche ad A Se A coincide con B si dice che è un suo

sottoinsieme improprio

Esempi

Esiste anche la relativa negazione: B C (B non è un sottoinsieme di C)

Nella figura accanto, B A (B è un sottoinsieme improprio di A)

Invece, C B (B è un sottoinsieme proprio di A)

Operazioni Sugli insiemi si definiscono varie

operazioni; le più comuni sono l’unione e l’intersezione: L’unione di due insiemi A e B si indica

con A B ed è l’insieme che ha come elementi tutti quelli di A ed anche tutti quelli di B (senza contare due volte gli elementi comuni)

Intersezione L’intersezione di due insiemi A e B si

indica invece con A B ed è l’insieme che ha come elementi quelli che appartengono sia ad A sia a B

Nel prossimo esempio, consideriamo gli insiemi A = {a, b, c, d, e} e B = {a, e, i, o, u}

Notiamo che nessuno dei due è sottoinsieme dell’altro (A B e B A)

Esempio Come si può

notare, l’intersezione corrisponde alla parte comune ai due insiemi, mentre l’unione all’intera area più scura

L’insieme vuoto Se calcoliamo l’intersezione fra due

insiemi disgiunti (ossia che non hanno elementi comuni), otteniamo l’insieme vuoto

Il simbolo per indicarlo è Ø Esempi:

{1, 2, 3} {4, 5, 6} = Ø{x|xN, 3x7} {x|xN, 9x12} = Ø

Gli insiemi numerici Gli insiemi più interessanti per la

matematica sono quelli numerici I più utilizzati sono

Insieme dei numeri naturali N Insieme dei numeri interi Z Insieme dei numeri razionali Q Insieme dei numeri reali R

Funzioni Si chiama funzione fra due insiemi A e B

qualunque corrispondenza che, ad ogni elemento di A faccia corrispondere uno ed un solo elemento di B

Ad esempio, la corrispondenza che a ciascuna persona presente in quest’aula associa la lettera iniziale del suo cognome è una funzione l’insieme A, in questo caso, è l’insieme delle

persone presenti l’insieme B è l’insieme delle lettere dell’alfabeto

Funzioni e diagrammi Nella figura accanto,

la funzione f associa a ciascun elemento dell’insiemeA = {a, b, c, d}uno ed un solo elemento dell’insieme B = {e, f, g}e precisamente: a → e, b → f c → f, d → g

Dominio e codominio L’insieme A

(insieme di partenza) viene chiamato dominio della funzione

L’insieme B (insieme di arrivo) viene chiamato codominio della funzione

Immagini Si dirà che e è

l’immagine di a, f di b e di c, g di d

h non è immagine di nessun elemento di A

L’insieme {e, f, g} B è detto insieme delle immagini o insieme immagine di A

Qualcuno chiama codominio l’insieme immagine, anziché l’insieme B

Proprietà delle funzioni Una funzione si dice suriettiva quando

ogni elemento dell’insieme B è associato ad almeno un elemento di A

Questo equivale a dire che l’insieme delle immagini coincide con B

Per aiutare la memoria, possiamo pensare che la funzione f “copre”, “va sopra” a B si usa anche dire che, in questo caso, f è una

funzione di A su B

Esempio La funzione vista tre

diapositive addietro è suriettiva

Quella successiva, invece, non lo è

Funzioni iniettive Una funzione si dice iniettiva quando

ogni elemento dell’insieme B è associato tutt’al più ad un elemento di A

Questo equivale a dire che su ogni elemento di B non può arrivare più di una freccia

In altre parole, un elemento di B o è immagine di un solo elemento di A oppure non lo è di nessuno

Esempio

La funzione rappresentata qui di fianco è iniettiva

Questa, invece, non lo è

Funzioni biiettive Una funzione si dice biiettiva quando è al

tempo stesso suriettiva ed iniettiva In tal caso essa viene chiamata anche

corrispondenza biunivoca Una funzione biiettiva non solo associa ad

ogni elemento di A uno ed un solo elemento di B (come ogni funzione), ma anche ad ogni elemento di B uno ed un solo di A Le funzioni biiettive vengono dette anche

“corrispondenze uno a uno”

Esempio

La funzione rappresentata qui di fianco è biiettiva

Questa, invece, non lo è

Funzioni algebriche Quando dominio e codominio sono

insiemi numerici, le funzioni vengono dette solitamente algebriche

Le funzioni algebriche sono in genere espresse da una equazione: y = 2x esprime la funzione che ad ogni

numero (reale) x associa il suo doppio y y = x2 esprime la funzione che ad ogni

numero (reale) x associa il suo quadrato y

Funzioni elementari Le funzioni più semplici usate in algebra

sono dette funzioni elementari Alcune le vedremo in seguito; qui

vediamo solo le funzioni lineari: y = ax + b (dove a e b sono numeri reali

qualsiasi) è la più generale funzione lineare in una

variabile L’aggettivo lineare significa, in

matematica, “di primo grado”