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Esercizi di Matematica

Funzioni e loro proprietà


ESERCIZIO

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SERCIZIO

Studio di Funzioni ESERCIZIO

E


SERCIZIO

SERCIZIO

Studio di Funzioni E

E


SERCIZIO



SERCIZIO

SERCIZIO


E


SERCIZIO



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Studio di Funzioni


ONSIDERAZIONI GENERALI

grafico, quindi studiare una funzione significa determinare il qui acquisite, di una funzione siamo in grado di studiare:

Studio di Funzioni C Ad ogni funzione corrisponde un uo grafico. Per le conoscenze fins

TIPO DI FUNZIONE: stabilire se si tratta di una funzione algebrica (intera, fratta,irrazionale) o trascendente (non algebrica)

SIMMETRIE: una funzione è pari (simmetrica rispetto all’asse delle y) se f(-x) = f(x); una funzione è dispari (simmetrica rispetto all’origine) se f(-x) = - f(x)

DOMINIO: rappresenta l’insieme dei valori che può assumere la variabile indipendente x, in corrispondenza dei quali la funzione y esiste, ossia assume valori che appartengono all’insieme dei numeri reali R. FUNZIONI INTERE y = f(x) - Il dominio è tutto l’insieme R

FUNZIONI FRATTE )x(D)x(Ny = – Il dominio è tutto l’insieme R senza i valori che annullano il

indenominatore, cioè dall’ sieme R bisogna eliminare i valori dell’incognita che si ricavano dall’equazione:

0=)x(D

FUNZIONI IRRAZIONALI )x(fy = – Se l’indice della radice è pari, il dominio si determina

ponendo maggiore o uguale a 0 il radicando, cioè l’espressione che compare sotto radice:

Se l’indice è dispari, il dominio è tutto R.

0≥)x(f

INTERSEZIONE CON GLI ASSI CAella funzione con gli assi cartesiani:

RTESIANI - Determinare i punti d’intersezione

= 0y

INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE Y

d

INTERSEZIONE CON L’ASSE DELLE X ⎨⎧ =

⇒)x(fy

⎩ ⎩⎨⎧

==

⇒0x

)x(fy

SEGNO DELLA FUNZIONE - D ali valori della variabile x la f eterminare per qu unzione yssume valori positivi e negativi, cioè stabilire in quale zona del piano cartesiano la

fu

cioè bisogna risolvere una disequazione.

anzione è positiva ed in quale è negativa. La condizione da porre è:

0>)x(f

COMPORTAMENTO DELLA FUNZIONE NEI PUNTI DI DISCONTINUITA’ – Poiché nei punti discontinuità la funzione non esiste, ossia è infinita, bisogna capire se tende a +∞ o

-∞, cioè in termini matematici bisogna effettuare l’operazione di limite:

±∞=±→

)x(flim 0xx

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te funzione:

y = 3x – 1

SOLUZIONE

funzione: funzione algebrica razionale intera

Studio di FunzioniE Studiare la seguen

1. Tipo di

2. Simmetrie:

)x(f )x(f)x(f1x31)x(3=− −≠≠−−=−− La funzione non è né pari e né dispari

io:

ne c gli assi cartesiani:

3. Domin ℜ=D

4. Intersezio on

31013

013

=⇒=−⇒⎩⎨⎧

=−=

xxy

xy:X La funzione interseca l’asse delle x nel punto A = (1/3; 0)

La funzione interseca l’asse delle y nel punto B = (0; -1)

5. Segno:

10

13−=⇒

⎩⎨⎧

=−=

yx

xy:Y

31013 >⇒>− xx

a funzione è negativa per i valori della x ; 1/3) a funzione è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (1/3; +∞)

. Grafico della funzione:

7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:

0 ⇒>)x(f

L appartenenti all’intervallo (-∞L

6

Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

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te funzione:

Studio di FunzioniE Studiare la seguen

xxy

2423

−+

=

SOLUZIONE

funzione: funzione algebrica razionale fratta

1. Tipo di

2. Simmetrie:

)x(f)x(fx242x3

)x(242)x(3)x(f −

=− −≠≠++−

=−−+

La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

{ }2242024 −ℜ=⇒=⇒=⇒=− Dxxx

4. Intersezione con gli assi cartesiani:

La funzione interseca l’asse delle x nel

unto A = (-2/3; 0)

p

20

24 =⇒⎪⎩

⎪⎨

=− y

xx:Y La funzione interseca l’asse delle y nel punto B = (0; 1/2)

5. Segno:

123⎧ +

=xy

024

230 >−+

⇒>x

x)x(f

a funzione è negativa per i va e all’intervallo

(2; +∞)

6. Grafico della funzione:


L lori della x appartenenti all’intervallo (-∞; -2/3)

La funzione è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (-2/3; 2)

+∞=+ 2x3lim −−→ x242x

−∞=+ 2x3lim → x = 2 Asintoto verticale−+→ x242x

320230

24024 −=⇒=+⇒=

−⇒

⎪⎩⎨

=− xx

xyx:X 2323

+⎪⎧ +

= xxy

20243223

<⇒>−

−>⇒>+

xx:D

xx:N 0

www.pappalardovincenzo.135.it Studio di Funzioni ESERCIZIO N. 3

Studiare la seguente funzione: 15 −= xy SOLUZIONE

1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale intera 2. Simmetrie:

)x(f)x(f1x51)x(5)x(f −≠≠−−=−−=− La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

51015 ≥⇒≥− xx ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞=⇒ ;D

51


⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=⇒=−⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−= 0

51

51015

015 ;Axx

yxy:X

1

015 −=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−= y

xxy:Y

Poiché la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l’asse delle y

5. Segno:

51015 >⇒>−⇒ xx0150 >−⇒> x)x(f

La funzione irrazionale è positiva per i valori della x appartenenti all’intervallo (1/5; +∞). Si ricordi che le funzioni irrazionali sono sempre positive


7. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità: Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

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Studiare la seguente funzione: x

xy42

57−−

=

SOLUZIONE

1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta 2. Simmetrie:

)x(f)x(fx425x7

)x(425)x(7)x(f −≠≠

+−−

=−−−−

=− La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

iani:

hé la radice quadrata di un numero negativo non esiste, non ci sono intersezioni con l’asse

5. Segno:

21042

75057

<⇒>−⇒

≥⇒≥−⇒

xxD

xxN⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤=

75;

21D0

4257≥

−−

xx

4. Intersezione con gli assi cartes

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⇒=⇒=−⇒

⎪⎩

⎪⎨

=−−

= 075

75057

042

57;Axx

yx

xy:X

⎧

25

4257

−=⇒

⎩

⎪⎨

⎧

−−

= yxxy:Y

0⎪ =x

Poicdelle y

042

57>

−−

⇒x

x 0

42570 >

−−

⇒>x

x)x(f

La funzione irrazionale è positiva per i valori della

x appartenenti all’intervallo (1/2;5/7].



+∞=−−

+

→ x425x7lim

21x

→ x = 1/2 Asintoto verticale

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are la seguente funzione:

Studio di Funzioni

xxy

44510

+−

=

lgebrica irrazionale fratta

trie:

Studi

SOLUZIONE

1. Tipo di funzione: funzione a 2. Simme

)x(f)x(fx44

5x10)x(44

)x(f+

=−5)x(10

−≠≠−

=−

La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

Intersezione con gli assi cartesiani:

Poi non esidelle y

−−−−

4.

ché la radice quadrata di un numero negativo ste, non ci sono intersezioni con l’asse

5. Segno:

044

5100 >+−

⇒>x

x

445100

+−

⇒>x

x)x(f

La ionale è positiva per i valori della x ap tervallo (-∞;-1)U[1/2;+∞).

funzione irrazpartenenti all’in



+∞=+−−→ x44

lim1x

→ x = -1 Asintoto vertical− 5x10

e

⎟⎠⎞

⎜⎝⎪

⎩

⎨=

+ 022

044 ;Axx

yx: ⎛=⇒=⇒=−⇒⎪

⎧ −= 110510

510xyX45

044

510−=⇒

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=+−

= yx

xxy:Y

1044210510

−>⇒>+⇒

≥⇒≥−⇒

xxD

xxN0510

≥−x44 + x ( ⎟

⎠⎞

⎢⎣⎡ +∞−∞−= ;21U)1;D

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tudiare la seguente funzione:

Studio di Funzioni

xxy−+

=2

24S

SOLUZIONE

1. Tipo di funzione: funzione algebrica irrazionale fratta

trie:

2. Simme

)x(f)x(fx2

2x42)x(4 +−+−)x

−≠≠+

=−

=− La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

(2)x(f

−

20221024

<⇒>−⇒

−≥⇒≥+⇒

xxD

xxN 02

≥− x

4. Intersezio ani

: ne con gli assi cartesi

5. Segno:

02

24>

−+

⇒x

x 0

2240 >

−+

⇒>x

x)x(f

La funzione irrazionale è positiva per i valori della x

tervallo [-1/2;2)

appartenenti all’in



+∞=−−−→ x2

lim2x

→ x = 2 Asintoto verticale + 2x4

⎟⎠⎞

⎝⎪⎩

⎨

⎧

=

022

0;

y);(By

xx

y:Y 1010

2 =⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨

=−

=x 24⎧ +

⎜⎛−=⇒−=⇒=+⇒⎪

−+

= 11024224

Axxxxy:X

24 +x

⎟⎠⎞

⎢⎣⎡−= 2

21 ;D


ESERCIZIO N. 7 Studiare la seguente funzione:

Studio di Funzioni

1xx31y 2 −

−=

SOLUZIONE

funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto

1. Tipo di

2. Simmetrie:

)x(f)x(f1xx31)x(f − 2 −≠≠−

+= La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

A questo punto conviene esprimere la o come:

funzione valore assolut

⎪⎪⎩

⎪⎪⎧ ≤∪−<⇒≥

−→

−=

−x

311x0

1xx31se

1xx31y

x31 221

⎨>∪<<−⇒<

−−

→−

−−=

<−−

⇒−

=1x

31x10

1xx31se

1xx31y

1

1xy

222

2

1x1x01xD31x0x31N

2 >∪−<→>−→

≤→≥−→

Non confondere questo grafico con il unzione valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. trovano le funzioni y e y , la cui unione dà luogo alla funzione valore assoluto.

ant o e la

funzione valore assoluto è sempre positiva.

a funzione valore assoluto è sempre positiva.

segno della funzione, in quanto la fQuesto grafico ci dice dove si

1 2


La funzione y1 non interseca l’asse delle y in qu o il valore trovato y = -1 è negativ

5. Segno: L

⎟⎠⎞

⎜⎝

=⇒=⇒=−⇒⎪⎩⎨

=− 0;

3A

3x0x31

0y1x: 21 ⎛⎪

⎧ −= 11

x31yX ℜ∈∃/⇒−=⇒

⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

−=

y1y0x

1xx31y

:Y 21

{ }1D1x01x 2 ±−ℜ=±=→=− ⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎪⎩ =0;

31

30y⇒=⇒=+−⇒⎪

⎨⎧

−−

−=A1x0x311x

x31y:X 22 )1;0(B1y1x

y:Y 22 =⇒=⇒⎪⎩

⎪⎨

=−x31⎧ −

−=

0x


7.

Studio di Funzioni


Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:

+∞=−±−→ 1x

lim 21x → x = -1 Asintoto verticale

− x31

+∞=−

−±→ 1x

x31lim 21x →

x = 1 Asintoto verticale


SERCIZIO N. 8

tudiare la seguente funzione:

Studio di Funzioni E S

1xxx2y 2

2

+−

=

SOLUZIONE

funzione: funzione algebrica fratta in valore assoluto

2. Simmetrie:

1. Tipo di

)x(f)x(f1xxx2)x(f − 2

2

−≠≠++

= La funzione non è né pari e né dispari

3. Dominio:

oic quanto è diverso da zero per qualunque valore ella x, non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

P hé il denominatore non si annulla mai, in d

A questo punto conviene esprimere la funzione valore assoluto come:

⎪⎪⎩

⎪⎪∪≤⇒≥

+→

+=

−x0x0

1xse

1xy

xx2 2212

⎨

⎧

<<⇒<+−

→+−

−=

≥−−

⇒+

=

21x00

1xxx2se

1xxx2y

21xx2xx2

1xy

2

2

2

2

2

2

22

ℜ∈∀⇒>+→

≥∪≤→≥−≥⇒−→

x01xD21x0x0)1x2(xxx2N

2

2

Non confondere questo grafico con il segn de valore assoluto, per definizione, è sempre positiva. funzioni y1 e y2, la cui unione dà luogo alla funzione va

a funzione valore assoluto è sempre positiva.

o lla funzione, in quanto la funzioneQuesto grafico ci dice dove si trovano lelore assoluto.


5. Segno: L

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒==⇒=−⇒=−⇒

⎪⎩ =

+ 0;21B;0;0A

2x;0x0)1x2(x0xx2

0y1x:X 2⎪

⎧ −= 1xx2y 2

2

1⎨ )0;0(C0y1xxx2y:Y 2

2

1 =⇒=⇒⎪⎨

⎧

+

−=

ℜ∈∃/→=+ x01x 2

0x⎪⎩ =

( ) ⎟⎠⎞

⎩ =

0;0y

⎜⎝⎛==⇒==⇒=+−⇒=+−⇒

⎪

⎪⎨

⎧

+

−−=

21B;0;0A

21x;0x0)1x2(x0xx21x

xx2y:X 22

2

2 )0;0(C0y0

1x2 =⇒=⇒

⎩ =+

−=

x

y:Y 2

⎪

⎪⎨

xx2 2⎧ −



. Comportamento della funzione nei punti di discontinuità:

Non ci sono punti di discontinuità e quindi asintoti verticali.

Studio di Funzioni

8

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