LEGGI PER LE ANALISI E LA

SINTESI DELLE RETI ELETTRICHE

Partitore di tensione 2° legge kirkoff

Partitore di corrente 1° legge kirkoff

Principio di sovrapposizione degli effetti

Legge di Thevenin

Legge di Norton

Massimo trasferimento di potenza

Legge di Millman

Dal triangolo alla stella

PARTITORE DI TENZIONE:

L'uso di due resistenze in serie è utile quando si vuole ricavare una tensione più piccola a partire

da una più grande. Considerando di nuovo il circuito precedente, supponiamo di avere una batteria

E = 10 V e di voler ottenere una tensione di 2 V. Per fare questo basta scegliere per esempio R1=

800 Ω, R2= 200 Ω. Abbiamo infatti:

Itot = E/Rtot = 10/(800+200) = 10 mA

da cui le tensioni ai capi delle due resistenze sono:

V1 = R1 x I tot = 800 x 10m = 8 V

V2 = R2 x I tot = 200 x 10m = 2 V

Come si può osservare la tensione V2 su R2 ha proprio il valore richiesto (2V). Due resistenze in

serie sono usate in questo modo, per dividere in due parti una tensione, si dice che formano un

partitore di tensione.

Naturalmente è facile verificare che qualsiasi coppia di valori resistivi in rapporto 4:1 avrebbe

permesso di ottenere lo stesso risultato. Per esempio R1= 400 Ω, R2= 100 Ω oppure R1= 1 kΩ, R2=

250 Ω o R1= 16 Ω, R2= 4 Ω sarebbero andate ugualmente bene.

Dalla legge di ohm si ricava che la tensione ai capi di ogni resistore è uguale al prodotto tra la corrente che:

Tensione ai capi di R1:

Tensione ai capi di R2:

Esperimento effettuato al laboratorio:

Abbiamo montato il circuito con 2 resistenze, una da 100KΩ e l’altra 10KΩ. Il tutto collegato ad un

generatore con un voltmetro collegato a R2, questo per misurare la tensione d’uscita, invece la

tensione d’ingresso viene letta sul generatore. Qui sotto è riportata la tabella.

Vi Vo

12 11.86 0.98333

14.07 13.92 0.98933

16.93 15.77 0.93148

17.87 17.78 0.99496

19.95 19.75 0.98997

PARTITORE DI CORRENTE:

Molto spesso quando si sente parlare di partitore di corrente, esso viene associato ad un componente

fisico, esso in realtà non è altro che una relazione, derivante dalla legge di Ohm, che permette di

calcolare le correnti che attraversano lati di reti elettriche in parallelo considerando solo la corrente

entrante nel nodo prima di dividersi e la resistenza propria di ogni lato. La relazione del partitore di

corrente può essere applicata in qualsiasi rete indipendentemente dalla sua complessità, avente

come requisito fondamentale due lati in parallelo con nota la resistenza dei due lati. Per la

determinazione della relazione che permette il calcolo delle correnti verrà fatto riferimento alla rete

sottostante; tale relazione può essere estesa a qualunque tipo di circuito avente i requisiti

sovrastanti.

Abbiamo svolto l’esercizio in laboratorio e stilato una tabella:

IR [mA] IR1 (R1) [mA] IR2 (R2) [mA] V

4.80 4.34 0.45 0.45

10.34 9.26 0.98 0.97

15.65 14.13 1.49 1.50

21.03 18.98 2.00 2.00

26.47 23.89 2.53 2.52

36.76 33.2 3.50 3.49

46.1 42.3 4.46 4.45

PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI EFFETTI:

Teorema della sovrapposizione degli effetti

-La risposta di una rete lineare alla sollecitazione di più generatori di tensione o di corrente,

equivale alla somma delle risposte causate da ciascun generatore considerato singolarmente.

Ciò significa che per risolvere una rete elettrica composta da più generatori, possiamo calcolarne

la risposta per ogni singolo generatore ed infine sommare algebricamente i risultati ottenuti.

Considerare un generatore alla volta significa annullare l'energia introdotta dagli altri, e cioè

considerare nulla la tensione per i generatori di tensione (che equivale a dire un cortocircuito) e

considerare nulla la corrente per i generatori di corrente (che equivale a dire un circuito aperto).

Prendiamo ad esempio il circuito di figura 12, composto da un generatore di tensione V, un

generatore di corrente I, e quattro resistenze R1, R2, R3, R4.

Fig.12

Possiamo applicare il teorema della sovrapposizione degli effetti considerando prima gli effetti del

generatore di tensione, poi gli effetti del generatore di corrente ed infine sommando

algebricamente i due risultati per ottenere i valori delle correnti e delle tensioni del circuito.

Abbiamo detto che i generatori di corrente, quando non considerati, si traducono in circuiti aperti,

quindi, considerando in un primo tempo solamente il generatore di tensione, il circuito diventa

quello di figura 13.

Fig.13

E' evidente che V4 è uguale a zero, dato che in un circuito aperto non circola corrente. Quindi

rimangono solo R1, R2 e R3 in serie al generatore di tensione, perciò la corrente I'1 (coincidente

con I'2) vale

A questo punto passiamo a considerare solo il generatore di corrente cortocircuitando il generatore

di tensione, ottenendo così il circuito di figura 14.

Fig.14

Quì il circuito è un po' più complesso. Possiamo allora calcolare la tensione tra i nodi A e B, e poi

ricavare le correnti I''1 e I''2

A questo punto sommiamo algebricamente le correnti

Appare chiaro che la I2 ha verso opposto a quello ipotizzato (e quindi anche la V2).

Ora possiamo ricavare tutte le tensioni

LEGGE DI THEVENIN:

Il teorema di Thevenin per le reti elettriche afferma che qualunque circuito lineare, comunque

complesso, visto da due punti, è equivalente a un generatore reale di tensione, cioè un generatore

ideale di tensione in serie con un resistore. L'equivalenza vale per quello che accade all'esterno

della rete e non certo per quello che succede all'interno di essa.

Quando si calcola la tensione equivalente di Thévenin, il principio del partitore di tensione è

spesso utile, definendo un terminale come Vout e l'altro terminale come punto di terra.

Nell'esempio:

La resistenza equivalente di Thévenin è la resistenza misurata tra i punti A e B guardando dentro il

circuito. È importante rendere passiva la rete guardando indietro, cioè sostituire per prima cosa

tutti i generatori di tensione e corrente con la loro resistenza interna. Per un generatore di tensione

ideale questo significa sostituirlo con un corto circuito. Per un generatore di corrente ideale questo

significa sostituirlo con un circuito aperto. La resistenza può poi essere calcolata tra i terminali

usando le formule per i circuiti in serie e parallelo. Nell'esempio:

Circuito originale calcolo della tensione

d’uscita

Calcolo della Req

Il circuito equivalente

LEGGE DI NORTON:

Il teorema di Norton afferma quanto segue:

Un circuito,visto tra due punti a e B, è schematizzabile con un circuito equivalente parallelo

composto da una singola sorgente di corrente equivalente IN posta in parallelo con una resistenza

equivalente RN.

La sorgente (generatore) di corrente equivalente è di intensità pari alla corrente di corto circuito IN

misurata tra i punti a e B. Essa è detta corrente equivalente di Norton.

La resistenza equivalente RN è definita nello stesso modo di RTh per il teorema di Thevenin.

I teoremi di Thevenin e Norton valgono, come il principio di sovrapposizione degli effetti, solo nel

caso che le reti siano lineari (cioè contenenti resistenze che soddisfano la legge di Ohm).

Nell'esempio riportato nelle figure qui a fianco, la corrente I si calcola come segue:

E la resistenza equivalente R sarà

Cosicché il circuito equivalente di Norton sarà un generatore di corrente di 3.75 mA in parallelo a una resistenza da 2 kΩ.

calcolo della Ieq d’uscita CIRCUITO ORIGINALE

Massimo trasferimento di potenza:

Quali devono essere le condizioni sul carico ZL affinché il generatore trasferisce su di esso la

massima potenza attiva?

Si ha la massima potenza trasferita sul carico quando.

Cioé:

Teorema di Millman:

Il teorema di Millman consente di risolvere molto rapidamente una rete elettrica lineare

Esaminiamo un esempio di semplice rete binodale, cioè che comprende solo due nodi.

circuito equivalente Calcolo della resistenza

Per il teorema di Thévenin ognuno dei singoli rami costituenti la rete binodale, è equivalente ad un

generatore ideale di tensione E con una resitenza R in serie, per cui il circuito di sopra é

equivalente al seguente:

Per il teorema di Thévenin ognuno dei singoli rami costituenti la rete binodale, è equivalente ad un

generatore ideale di tensione E con una resitenza R in serie, per cui il circuito di sopra é

equivalente al seguente:

Ma per il tgeorema di Norton, ogni generatore di tensione ideale con resistenza in serie può essere

sostituito da un generatore di corrente con ammettenza in parallelo come segue:

Poichè i generatori di corrente in parallelo possono essetre sommati e così pure le ammettenze, si

ottiene il circuito semplificato equivalente:

La tensione VAB si ottiene dalla legge di Ohm moltiplicando la resistenza totale, che è anche

l'inverso della conduttanza totale, per la corrente del generatore di corrente totale:

E quindi, finalmente ecco la formula del teorema di Millman valido per una rete binodale:

Dal triangolo alla stella:

Nella risoluzione di circuiti elettrici complessi può essere opportuno, o necessario, ricorrere alla

sostituzione di triangoli di resistenze in stelle di resistenze o il contrario

Se vogliamo passare dal triangolo alla stella bisogna applicare le seguenti formule:

Ra=R1xR2 / R1+R2+R3

Rb=R1xR2 / R1+R2+R3

Rc=R2xR3 / R1+R2+R3

Ecco da dove vengono queste formule:

Ra + Rb = R1//(R2+R3)

Rb + Rc = R2//(R1+R3)

Ra + Rc = R3//(R1+R2)

Se vogliamo passare dalla stella al triangolo bisogna applicare le seguenti formule:

R1=RaxRb+RaxRc+RbxRc / Rc

R2= RaxRb+RaxRc+RbxRc / Ra

R3= RaxRb+RaxRc+RbxRc / Rb

Queste formule vengono da:

(R1+R2+R3)Rc = R3R2

(R1+R2+R3)Rb = R1R2

(R1+R2+R3)Ra = R1R3