1Alexander, Sadiku,Gruosso, Storti Gajani, Circuiti elettrici, 5e ©2017 McGraw-Hill Education (Italy) S.r.l.

Circuiti Elettrici

Capitolo 4Teoremi dei circuiti

Prof. Cesare Svelto(traduzione e adattamento)

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4.1 Motivazioni4.2 Propietà di linearità4.3 Sovrapposizione degli effetti4.4 Trasformazioni di sorgenti e

teorema di Millman4.5 Teorema di Thevenin4.6 Teorema di Norton4.7 Massimo trasferimento di potenza

Teoremi dei circuiti – Cap. 4

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Se ti viene proposto questo circuito, quali metodi puoi usare per determinare la tensione v0 ai capi del resistore da 2 ?

Quali sono? Come si fa?

Puoi ricavarla a colpo d’occhio?

4.1 Motivazioni

v0

4

In linea di principio per analizzare un circuito basta scrivernedirettamente le equazioni di Kirchoff e le equazioni caratteristichedei suoi componenti per poi risolvere 2R equazioni in 2R incognite(nel circuito precedente con soli 5 rami occorrono 10 equazioni).

4.1 Motivazioni

Metodi di semplificazione del circuito basati su teoremi delle reti:a. Teorema (o principio) di sovrapposizione degli effettib. Teorema di Theveninc. Teorema di Nortond. Teorema di Millmanquesti metodi si applicano solo ai circuiti lineari.

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4.2 Proprietà di linearitàE’ la proprietà di un elemento che presenta una relazione lineare tra la causa e l’effetto (o l’uscita e l’ingresso).

Proprietà di omogeneità (scalatura o moltiplicazione per k)

v = i R → k v = k i R

Proprietà additiva

v1 = i1 R e v2 = i2 R → v = v1 + v2 = (i1 + i2) R

linearità = omogeneità + additività

uscita ingresso

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4.2 Circuito lineare

Un circuito lineare è costituito solo da elementi lineari, generatori indipendenti, generatori dipendenti lineari.

Un circuito lineare è un circuito in cui l’uscita è in relazione lineare, o di proporzionalità diretta, con l’ingresso.

ingresso

uscita

Si noti che essendo p=Ri2=V2/R (funzione quadratica) la relazione potenza-corrente o potenza-tensione non è lineare.

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4.2 Esempio con circuito lineareEsempioSupporre Vo = 1 V e usare la linearità per calcolare il valore effettivo di Vo nel circuito in figura.

Risposta

Vo = 4 V.

V

Vo = (8/20)V ovvero V=2.5Vose Vo=1 V V=2.5 Vma essendo V=10 V deve essere Vo=4 V

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4.2 Esempio con circuito lineareEsempioPer il circuito in figura, determinare v0 quando is = 15 A e quando is=30 A.

Risposta

v0 = 10 V, 20 V.

vs = 2is sost.gen.tens. e 2 Ω serievo = (4/12)vs = (8/12)is V = (2/3)isse is=15 A vo=10 Ve se invece is=30 A (×2) vo=20 V (×2)

4 V1 A

1 A6 V

10 V5 A6 A

(×2.5)=15 A(×5)=30 A

(×2.5)=10 V(×5)=20 V

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4.2 Esempio con circuito lineareEsempio

Assumendo inizialmente I0 = 1 A, usa la linearità per trovare ilvalore effettivo di I0 nel circuito (lineare) sotto indicato.

Risposta

Io = 3 A.

1 A

8 V

2 A

3 A14 V

2 A

5 A

5 A

se I0=1 A Is=5 Ama Is=15 A (×3) Io=3 A (×3)

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4.3 Teorema o principio di sovrapposizione

Dice che la tensione ai capi (o corrente attraverso) un elemento in un circuito lineare è data dalla somma algebrica delle tensioni (o correnti) ricavate per quell’elemento da ciascuna delle sorgenti operanti singolarmente (altri “generatori spenti”)

Il principio di sovrapposizione ci aiuta ad analizzare un circuito lineare con più di una sorgente indipendente, calcolando separatemente il contributo di ciascuna sorgente indipendete.

*La sovrapposizione degli effetti vale in qualunque sistema lineare (effettocausa o uscitaingresso o uscite date da una qualunque combinazione lineare degli ingressi).

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4.3 Metodo per la sovrapposizionePASSI per applicare il teorema di sovrapposizioneo “principio di sovrapposizione degli effetti”

1. Spegnere tutte le sorgenti indipendenti eccettouna sorgente. Mediante analisi del circuitotrovare l’uscita, di tensione o corrente, prodottadalla sorgente attiva. (i generatori dipendenti rimangonoin quanto controllati da altre variabili del circuito)

Ripetere il passo 1. per ciascuna delle sorgentiindipendenti.

2. Ricavare l’effetto complessivo somma algebricadei contribute dovuti alle sorgenti indipendenti

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4.3 Metodo per la sovrapposizione

Due cose da ricordare:

1. Quando diciamo “spegnere” tutte le altre sorgenti indipendenti intendiamo che: Le sorgenti indipendenti di tensione sono

rimpiazzate da 0 V (corto circuito) Le sorgenti indipendenti di corrente sono

rimpiazzate da 0 A (circuito aperto).

2. Le sorgenti dipendenti sono lasciate immutate in quanto controllate da variabili del circuito.

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4.3 Esempio di sovrapposizione

Consideriamo gli effetti dei generatori da 8 A e da 20 V uno alla volta, poi sommiamo idue effetti per ottenere il valore finale v0.

v0

Svolgere in classe… ( v0=8+4=20 V )

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4.3 Esempio di sovrapposizioneEsempio

Usa la sovrapposizione degli effetti per ricavare la tensione v nel circuito indicato.

3A “spento” e rimpiazzato da circuito aperto

6V “spento” e rimpiazzato da corto-circuito

Soluzione: v = 10 V (( 2 V + 8 V= v1+ v2 ))

v1 = 2 V

v2 = 8 V

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4.3 Esempio di sovrapposizione

Esempio 3

Usa la sovrapposizione per ricavare vx nel circuito.

2 A è sostituito da circuito aperto

20 v1

4 10 V+

(a)

0.1v14 2 A

(b)

20

0.1v2

v2

10 V è sostituitoda corto-circuito

sorgente dipendente resta immutata

Soluzione: v = 12.5 V (( 2.5 V + 10 V = v1+ v2 ))

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4.4 Teorema o principio di sostituzioneIn una rete elettrica (lineare o non-lineare) un componente elettrico, o uninsieme di componenti elettrici (lineari o non lineari), può essere sostituitocon un altro componente o insieme di componenti con lo stesso numero di morsetti e con le stesse relazioni costitutive (legami i-v)senza che tutte le rimanenti grandezze elettriche della rete subiscano variazioni.

Come si vedrà nel seguito, in alcuni casi può essere opportuno semplificare(o comunque modificare) la topologia della rete elettrica, prima di procedere con delle metodologie di calcolo di tensioni e/o correnti. Allo scopo si utilizzano sostituzioni di un circuito equivalente ad una parte del circuito considerato.In particolare un generatore di tensione può essere sostituito da un generatore di corrente equivalente e vice-versa.

Si parla in questo caso di componente equivalente.In virtù del principio di sostituzione è possibile semplificare(o comunque modificare) la topologia della rete elettrica senza che questa subisca variazioni nel suo funzionamento.

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4.4 Sostituzione (trasformazione)di sorgente

• Un circuito è equivalente ad un altro se le correnti e tensioni caratteristiche nei due circuiti sono identiche.

• Una importante trasformazione circuitale consiste nel sostituire (equivalentemente) una sorgente di tensione vs in serie con un resistore R mediante una sorgente di corrente is in parallelo con un resistore R, o viceversa.

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4.4 Trasformazione di sorgente

(a) Trasformazione di sorgente indipendente

La trasformazione di sorgente non è possibile con R = 0 per una sorgente di tensione e con R = ∞ per una sorgente di corrente.

++

-

--

La freccia della sorgente di corrente è diretta verso il terminale positivo della sorgente di tensione.

Si possono trasformare o sostituire anche sorgenti indipendenti.

(b) Trasformazione di sorgente dipendente

+

-

+

vs = R is … is = vs / R

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4.4 Trasformazione di sorgente (3)

Esempio

Trova i0 usando la trasformazione di sorgente.

Risposta

Io = 1.78 A.

centro 7 Ω sx 7.5 A // 2 Ω dx 3 A // 5 Ω

si ottiene un circuito binodale con 7 Ω // 10.5 A // (10/7) Ω

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4.4 Teorema di MillmanDice che la tensione ai capi di una rete parallelo di resistenze // gen. corrente // gen. tensione con resistenza serie è uguale alla frazione con numeratore la somma delle correnti dei gen. corrente (inclusi quelli ottenuti da trasformazione di generatori di tensione in serie a resistenze) e al denominatore la somma delle conduttanze.

Il teorema è conseguenza dell’analisi ai nodi sulla rete con due soli nodi (risultante dopo avere fatto la trasformazione dei gen.tens. in gen.corr.).

i=∑ik e Geq=∑Gk v = i/Geq = ∑ik / ∑Gk

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4.4 Esempio sul teorema di Millman

321

3

1

10 111RRR

RVi

v

Gi

10v

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4.5 Teorema di Thevenin

PREMESSA: due circuiti sono equivalenti se hanno le stesse relazioni tensione-corrente ai terminali.

Il teorema di Thevenin dice che un circuito lineare con due terminali* può essere sostituito da un circuito equivalente fatto da un generatore di tensione VTh con un resistore in serie RTh. VTh è la tensione a vuoto tra i due terminali e RTh è la resistenza equivalente, ovvero la R di ingresso vista ai morsetti spegnendo i generatori.*purchè ammetta un controllo in corrente (i non deve essere fissa)

Un circuito costituito da molti elementi può essere sostituitocon un solo generatore di tensione in serie a un resistore.

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4.5 Teorema di Thevenin

Circuito originale (Fig. a) e suo equivalente di Thevenin (Fig. b).

VTh = tensione a vuotoper calcolarla si sosituisce al carico un circuito aperto (c.a.)

RTh = Req (gen. spenti)R vista tra a e b in c.a. (qui si toglie il carico)

Load o “carico” è la rimanente parte di circuito vista ai capi dei morsetti a e b.

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4.5 Teorema di Thevenin

25

4.5 Esempio sul teorema di Thevenin

Example 5

Using Thevenin’s theorem, find the equivalent circuit to the left of the terminals in the circuit shown below. Hence find i.

*Refer to in-class illustration, textbook, answer VTH = 6V, RTH = 3, i = 1.5A

6

4

(a)

RTh

6

2A

6

4

(b)

6 2A

+VTh

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Example 6

Find the Thevenin equivalent circuit of the circuit shown below to the left of the terminals.

*Refer to in-class illustration, textbook, answer VTH = 5.33V, RTH = 0.44

6 V

5 Ix

4 +

(a)

1.5Ix

i1i2

i1 i2

3

o

+VTh

b

a

1.5Ix 1 V+

3 0.5Ix

5

(b)

a

b

4

Ix i

4.5 Esempio sul teorema di Thevenin

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4.6 Teorema di Norton

NOTA: I circuiti equivalenti di Thevenin e di Norton sono poi sostituibili tra loro attraverso una trasformazione di sorgente (RTh=RN=Req e VTh=ReqIN).

Il teorema di Norton dice che un circuito lineare con due terminali* può essere sostituito da un circuito equivalente fatto da un generatore di corrente IN con un resistore in parallelo RN. IN è la corrente di corto circuito tra i due terminali e RN è la resistenza equivalente, ovvero la R di ingresso vista ai morsetti spegnendo i generatori.*purchè ammetta un controllo in tensione (v non deve essere fissa)

Un circuito costituito da molti elementi può essere sostituitocon un solo generatore di corrente in parallelo a un resistore.

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4.6 Teorema di Norton

Circuito originale (Fig. a) e suo equivalente di Norton (Fig. b).

IN = corrente di c.c.per calcolarla si sosituisce al carico un corto circuito (c.c.)

RN = Req (gen. spenti)R vista tra a e b in c.a.

IN

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Example 7

Find the Norton equivalent circuit of the circuit shown below.

*Refer to in-class illustration, textbook, RN = 1, IN = 10A.

2

(a)

6

2vx

+

+3vx

+vx 1V

+ix

i

2

(b)

6 10 A

2vx

+

+vx

Isc

4.6 Esempio sul teorema di Norton

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4.7 Massimo trasferimento di potenza al carico (adattamento del circuito)

Il massimo trasferimento di potenza, dal circuito al carico si ha in condizioni di adattamento: RL=RTh.(la resistenza di carico è uguale alla resistenza di Thevenin vista dal carico)

In molte situazioni pratiche, un circuito viene progettato per fornire potenza a un carico.

Il bipolo equivalente di Thevenin (vTh e RTh) è utile per calcolare la potenza che un circuito lineare può fornire a un carico (RL) e per ricavare la condizione di massimo trasferimento di potenza (in funzione del valore del carico o di altri parametri del circuito).

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4.7 Massimo trasferimento di potenza

2

LTh

ThL

2L

RR

VRiRp

L’intero circuito ai morsetti del carico è stato sostituito dal suo bipolo equivalente di Thevenin.

Andamento della potenza sul carico al variare della resistenza di carico (RL)

massima potenza trasferita:

La potenza trasferita al carico è:

con derivata prima

2ThL

3LTh

2

LTh

Th

L

2 1dd VRRR

RRV

Rp

che annullata porta a:

02 2Th3

LTh

LLTh

VRR

RRR

carico adattato0LTh RR

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4.7 Esempio di max trasf. di potenza

Example 8

Determine the value of RL that will draw the maximum power from the rest of the circuit shown below. Calculate the maximum power.

2

4

1 V+

(a)

1

3vx

+

i

v0+ vx

9 V+

io

1 +VTh

+ 3vx

2

+ vx 4

(b)

Fig. a

=> To determine RTH

Fig. b

=> To determine VTH

*Refer to in-class illustration, textbook, RL = 4.22, Pmax = 2.901W

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Sommario

Un circuito lineare è costituito da elementi lineari.

I teoremi delle reti consentono di ridurre circuiti complessi a circuiti piùsemplici e agevoli da analizzare.

Il principio di sovrapposizione degli effetti consente di ricavare i o v su un elemento come somma delle singole i o v da ciascun generatore isolato.(gli altri gen.indip. vanno “spenti”: gen.tens.c.c. e gen.corr.c.a)

Il teorema di Millman individua la tensione di circuiti a due nodi (da un rapporto tra la corrente totale e la conduttanza totale equivalente).

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Sommario

Il teorema di Thevenin consente di sostituire al circuito tra due morsetti un bipolo di Thevenin con VTh tensione di c.a. e RTh=Req.

Il teorema di Norton consente di sostituire al circuito tra due morsetti un bipolo di Norton con IN corrente di c.c. e RN=Req.

I bipoli di Thevenin e di Norton sono trasformabili l’uno nell’altro medianteuna trasformazione di generatori:

RTh = RN (= Req) e VTh = RN IN oppure IN = VTh / RTh

Una rete assimilata a un bipolo di Thevenin trasferisce massima potenzasul carico RL in condizioni di adattamento (RL = RTh) e PMAX=(VTh)2/(4RTh).

I modelli dei generatori reali sono applicazioni del teorema di Thevenin e del teorema di Norton.