Legge di Gauss

  Legge di Gauss in forma integrale e locale   Esempi   Equazioni di Poisson e di Laplace   Problemi di Dirichlet e Neumann   Problema generale dell’elettrostatica

Legge di Gauss   Superficie Σ immersa nel campo

elettrostatico generato da una carica q

d!(!E) "

!E #!n dA =

q4!"0r

2

!er !!n dA

!n

!E

θ

dA

q

Σ

!er !!n dAr2

= d"

dipende solo dall’angolo solido dA! r2

E! r!2dΩ

!er d!(!E) = q

4!"0d"

Σ

nr

dA Superficie chiusa

Legge di Gauss

!(!E) = d!(

!E)" =

q4!"0

d#" =q"0

Carica interna

Il campo incontra 2 volte la superficie sotto lo stesso angolo solido L’orientamento dei due elementi intercettati e` opposto

Carica esterna !(!E) = 0 “tanto flusso entra quanto esce”

Legge di Gauss

  distribuzioni continue di carica elettrica

(e simili per distribuzioni superficiali e lineari)

  n-cariche: principio di sovrapposizione

i

Legge di Gauss

  “Il flusso del campo elettrico attraverso una superficie chiusa e` uguale alla somma delle cariche elettriche contenute nel volume racchiuso dalla superficie divisa per ε0 , comunque siano distribuite le cariche”

Legge di Gauss

  La legge di Gauss e` dovuta al fatto che valgono la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione

  E` attraverso la legge di Gauss che si sottopone a verifica sperimentale la legge di Coulomb

(e anche verificando che la massa del fotone mγ=0)

Legge di Gauss

  La legge di Gauss e` dovuta al fatto che valgono la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione

  Importante teoricamente, e` anche utile in problemi pratici quando ci sono simmetrie

Esempio. Sfera con superficie uniformemente carica.

!E = E(r)

!er

!(!E) =

!E !!ndA =

!1

!! 0r < R

E(r) dA =!2

!! E(r)4! r2

24QR

σπ

=

!E !!ndA =

"2

!# E(r)!er !!er dA

"2

!#r > R =1

=Q!0=4!" R2

!0

r

R

r

σ

Σ1

Σ2

Esempio. Sfera cava con superficie uniformemente carica.

E(r) =0 r ! R

!"0

Rr

"

#$

%

&'

2

=Q

4#"0

1r2 r ( R

)

*+

,+

Come per una carica puntiforme nel centro della sfera (r>R)

r

E

E(r)4! r2 = 4!" R2

!0(r > R)

Potenziale sfera cava con superficie unif. carica   Il potenziale V(r) all’esterno e` come per una

carica puntiforme Q   All’interno e` costante e prende il valore V(R)

r

V(r)

R

Q4!"0rQ

4!"0R

Esempio. Sfera uniformemente carica.

r

R

r Q =43!R3"

!(E) = E(r) dA =!!! E(r)4! r2

r < R 1!0

43" r3# = E(r)4" r2 ! E(r) = #

3!0

r

r ! R 1!0

43"R3# = E(r)4" r2 " E(r) = #R

3

3!0

1r2

Esempio. Sfera uniformemente carica.

r

R

r

r ! R V (r)!V (R) = E(r)dr = !3"0

r dr =r

R

!r

R

! !6"0

(R2 ! r2 )

r ! R V (r) = E(r)dr = Q4!"0r

"

# 1r

V (R) = Q4!"0

1R=

43!R3!

4"#0

1R=!R2

3!0

r R

E r∝

2

1r

∝

Esempio. Filo uniformemente carico.

!"1(!E) =!

"2(!E) = 0

!"3(!E) = 2! rhE(r) = Q

"0=#h"0

E(r) = !2"#0

1r

V (r)!V (r0 ) = ! E(r)dr = ! !2"#0r0

r

" ln rr0

E

E

Σ3

Σ1 n

Σ2

h n

r

Q = !h

Esempio. Piano indefinito uniformemente carico.

!(!E) =!

"1(!E)+!

"2(!E)+!

"3(!E)

=!"2(!E)+!

"3(!E)

= 2AE

2AE = Q!0=A!"0

!E = !

2!0

!n

n

E n

E

E Σ1

Σ2

Σ3

A

A n

!E !!n( )

!1= 0

!E !!n( )

"2= E

!E !!n( )

"3= E

Forma differenziale (locale) della legge di Gauss

  Usiamo il teorema della divergenza

!(!E) =

!E "!ndA =

!# "!EdV

V$%V

"$

  Per la legge di Gauss

!(!E) = Q

!0= " dV

V"

=

Forma differenziale (locale) della legge di Gauss

  Quindi:

  Ma il volume V e` arbitrario. La relazione deve valere per qualsiasi volume V.

!! " E # !

"0

$

%&

'

()dV

V* = 0

Equazioni di Maxwell per l’elettrostatica

  Il campo elettrostatico e` conservativo

  Le cariche elettriche sono sorgenti del campo elettrostatico. Valgono la legge di Coulomb e il principio di sovrapposizione.

Equazione di Poisson

  Equazione per il potenziale elettrostatico   Combina le due equazioni di Maxwell

!E = !

!"V

!2V = "!"0

!"!E = 0#Conservativo

Coulomb + sovrapposizione !! "!E = !

"0

!

"#

$#%!& ' (

!&V( ) = !"2V =

!"0

Equazione di Poisson   Se le sorgenti si annullano

abbastanza rapidamente all’infinito

V (!r ) = 1

4!"0

#(!r ')

|!r !!r ' |" dV '

Equazione di Laplace

  Nel vuoto (in assenza di cariche elettriche)

!2V = 0 Equazione di Laplace

Problemi di Dirichlet e Neumann

  Note le distribuzioni delle sorgenti del campo si determina il potenziale risolvendo l’equazione di Poisson (complicato)

  In pratica spesso sono noti il potenziale su una superficie (problema di Dirichlet)

  oppure il campo elettrico su una superficie

( la derivata normale del potenziale) (problema di Neumann)

Unicita` della soluzione (*)

Si basa sull’esistenza della soluzione dell’equazione di Laplace.

La assumiamo.

Ω

Σcondizioni al contorno su Σ

V1

V2

  V1 e V2 siano soluzioni dell’eq. di Poisson entro Ω

  V1 e V2 soddisfano le stesse condizioni al contorno su Σ

  Poniamo Ψ = V1-V2

1 2V Vψ ≡ −

Unicita` della soluzione (*) ! "V1 #V2

!2" = 0

!2V1 = "!"0 !2V2 = "

!"0Ω

Σ

V1( )!= V2( )

!2" #( )

!= 0

Dirichlet

!V1!n

"

#$

%

&'(

=!V2!n

"

#$

%

&'(

)!*!n

"

#$

%

&'(

= 0 =!+* ,

!n

Neumann

Unicita` della soluzione (*) ! "V1 #V2!! " (#

!!#

$

% )dV

= (!"2!#

$ + |!!" |2 )dV

= 0 teor. diverg.

= (!!"!) #

!n dA$!%

= !"!"n#

!$ dA

!2" = 0

= (!

" |!#$ |2 )dV

= (!!" #!"!

$

% +!"! #

!"!)dV

Unicita` della soluzione (*)

!"!"n#

!$ dA = |%! |&

$2dV

= 0 Neumann

= 0 Dirichlet

⇒!!" = 0 in #

costante⇒ΨDirichlet Ψ = 0 (V1=V2) Neumann V1=V2+cost.

Problema generale dell’elettrostatica

  Determinare il campo elettrico in tutto lo spazio quando per M conduttori sono fissati i potenziali e per i rimanenti N sono note le cariche possedute

  Nello spazio esterno ai conduttori vale

l’equazione di Laplace

Problema generale dell’elettrostatica

  Si risolve il problema di Dirichlet, identificando le soluzioni dell’equazione di Laplace che soddisfano le condizioni al contorno specificate

  Dal potenziale si calcola il campo elettrico nei

punti infinitamente vicini alla superficie dei conduttori

Problema generale dell’elettrostatica

  Dal campo elettrico sulla superficie si ottiene la densita` di carica superficiale (σ=ε0E) e da questa la carica totale Q

  Per gli N conduttori in cui sono note le cariche

si deve risolvere il problema di Neumann (piu` complesso)