1

Fisica IVFisica IV

Anno Accademico 2005-061°Parte -

Definizione di campo elettrico. Campo vettoriale. Linee di flusso.

Teorema di GaussTeorema di Gauss. Superfici gaussiane e applicazioni del teorema di Gauss

Lavoro della Forza elettrica. Potenziale elettrostatico. Circuitazione del Circuitazione del

campo elettricocampo elettrico.

Campo generato da un dipolo elettricoCampo generato da un dipolo elettrico. Forze esercitate dal campo

elettrico su un dipolo. Energia di un dipolo in campo.

Molecole polari. Comportamento della materia in presenza di un Molecole polari. Comportamento della materia in presenza di un

campo. Polarizzazione per deformazione. Polarizzazione per orientamentocampo. Polarizzazione per deformazione. Polarizzazione per orientamento

Vettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettricaVettore polarizzazione. Suscettività dielettrica, costante dielettrica.

Dielettrici densi. Legge di Clausius-MossottiDielettrici densi. Legge di Clausius-Mossotti

Cristalli ferroelettriciCristalli ferroelettrici.

2

Campo ElettricoCampo Elettrico

C

N

q (1)

0

FE

Definizione operativa di campo elettrico: Il vettore campo elettrico E associato ad una determinata distribuzione di cariche in un punto P è dato dalla forza F esercitata su una carica di prova q0 posta nel punto P divisa per la carica q0.

2

1

2112

2112

1221

q

q

E

E

Newton di legge terza la per

q

q

2

1

FF

EF

EF

Tale definizione di campo elettrico è indipendente dalla carica di prova (purchè sia piccola e/o molto lontana dalle cariche che generano E) e prescinde dal manifestarsi di una forza misurabile. Proprio in virtù dell’equazione (1) il campo elettrico potrà essere valutato misurando la forza esercitata su una carica di prova

Il campo elettrico è diretto radialmente rispetto alla carica che lo ha generato ed è proporzionale alla carica che lo ha generato.

3

Campo vettoriale

Che cosa è un campo vettoriale ?

Una grandezza che varia nello spazio e ha un modulo una direzione ed un verso, che possono essere individuati da un vettore.

Alcuni esempi a noi noti sono:

un fiume che scorre (un liquido che scorre),

il vento che soffia (una massa di gas che si sposta),

la densità di corrente elettrica che scorre in un conduttore (cariche elettriche che si muovono),

il flusso di calore che fluisce da un corpo ad un altro (energia che viene trasferita),

I campi elettrico e magnetico nello spazio.

Con trasferimento di massa

senza trasferimento di massa

Un campo può essere rappresentato tramite linee di flusso

4

v1

v2

cos2121 vvvv

Prodotto scalare

v2

v2cos v1

Prodotto vettoriale

v1

sin2121 vv vv

Operazioni con i vettoriOperazioni con i vettori

v2

v1v2

v2sin

5

Proprietà delle linee di forza del campo elettrico

In ogni punto le linee di forza del campo elettrico hanno direzione tangente al campo in quel punto e verso concorde con la direzione del campo

+ 2q

L’intensità del campo elettrico in ogni punto è proporzionale al numero di linee che intercettano perpendicolarmente l’area unitaria

Le linee di forza del campo elettrico partono dalla carica positiva e confluiscono nella carica negativa (o all’infinito). Le linee non si creano e non si distruggono nello spazio tra le cariche.

- q+ q

6

Utilizzando le tre proprietà delle linee di forza calcolare l’intensità del campo I a distanza R1 ed R2 da una carica puntiforme Q , da una carica puntiforme –Q e da una carica puntiforme 2Q

222

2

211

1

4

4

R

N

S

NI

R

N

S

NI

Carica Q

222

2

211

1

4

4

R

N

S

NI

R

N

S

NI

Carica -Q

222

2

211

1

4

22

4

22

R

N

S

NI

R

N

S

NI

Carica 2Q

R2R1

I2I1

La definizione del campo tramite linee di flusso ne permette una immediata visualizzazione, ma ha il un limite legato al fatto che le linee di forza sono discrete.

7

Alcuni esempi di linee di forza

8

9

Flusso di un campo vettoriale

Un modo per valutare l’intensità del campo vettoriale è quello di valutare quante linee di flusso fluiscono attraverso una superficie ben definita nello spazio. Questo dipende dalla estensione della superficie e anche da come la superficie è orientata rispetto alla direzione del campo.

Campo vettoriale v Superficie A

v

Flusso massimo

Flusso nullo

Flusso proporzionale alla proiezione della superficie A nella direzione del campo

10

L’area di una spira può essere rappresentata da un vettore A che ha come modulo la superficie della spira ed è orientato perpendicolarmente al piano della spira. L’angolo tra il campo v e A è Una superficie chiusa per convenzione viene rappresentata con le normali alla superficie orientate verso l’esterno

v

Flusso del campo elettrico

Aû

EA

ûE E

A

û

EE AcosEû A

AE

A cos

Il numero di linee di flusso che attraversa una superficie A è proporzionale alla proiezione della superficie perpendicolarmente alla direzione del campo E

û

dEA E)(Per una qualunque superficie A

11

Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie cilindrica chiusa di raggio R e lunghezza L immersa in un campo E costante diretto parallelamente all’asse del cilindro.

Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie cubica chiusa di lato L immersa in un campo E costante che forma un angolo con la faccia e e parallelo alle facce b e f.

12

Flusso attraverso una superficie chiusa in una regione di campo senza cariche

Nel caso di una superficie arbitraria immersa in un campo elettrico E non uniforme la superficie può essere suddivisa in piccoli elementi di superficie A. Gli elementi di flusso (E)=EA vanno sommati su tutta la superficie A

0)( dEAE

Il flusso è proporzionale al numero di linee di flusso che attraversano la superficie. Poiché in assenza di cariche all’interno della superficie le linee di flusso sono continue (né nascono né muoiono). Tante linee entrano tante escono e quindi il flusso totale è zero.

13

Calcolare il flusso del campo elettrico E) attraverso una superficie sferica A chiusa di raggio R che contiene una carica Q posta al centro

R

û

E

Q

A

0

22

02

0

20

)(

444

)(

4)(

QE

RR

QdA

R

QE

dAurr

QdE

A

AA

AE

Per N cariche Q1, Q2, ..QN contenute all’interno di una superficie chiusa possiamo applicare il principio di sovrapposizione0

)(

QE

Q

0

00

2

0

121

2121

)(

..)(..)()()(

...)..()(

tot

NN

AN

AAN

A

QE

QQQEEEE

ddddE

AEAEAEAEEE

Teorema di Gauss

Questo vale per qualunque superficie chiusa che contiene la carica Q perché intercetta tutte le linee di flusso uscenti da Q, indipendentemente dalla forma della superficie

14

15

Superfici GaussianeSuperfici Gaussiane Utilizzando il teorema di Gauss calcolare il campo elettrico in prossimità delle seguenti distribuzioni di carica:

Carica puntifome

Piano uniformemente carico Filo uniformemente carico

Guscio sferico uniformemente carico

16

Distribuzione di carica a simmetria sferica

17

In una regione dello spazio il campo elettrico è dato da:

0

1ˆˆˆ

z

y

x

zyx

E

V/m E

V/m axE

EEE zyxE

1. Nel caso in cui a=1 V/m2 , calcolare il valore di E nei punti P1 (0,0,0), P2 (1,0,0), P3 (2,0,0), P4 (1,1,0), P5 (2,2,0), e riportarlo in un grafico.

2. Calcolare il flusso di E attraverso un cubo di lato L=1 m posizionato con un angolo nell’origine delle coordinate.

3. Quanta carica è contenuta nel cubo ?

P1 P2 P3

P4

P5

y

x

0

A AA A

a LQ

aLQ Q

aLaLLd

0 axdydz dxdz dxdz d

ddaxdaxdaxd

3

30

0

32

43213 41 2

)ˆ()ˆˆ()ˆˆ()ˆˆ(

AE

AE

AyAyxAyxAyxAE

A1

A2

A3A4

x

y

dydzd ; L

dydzd ; L

dxdzd ; L

dxdzd ; L

xAxA

xAxA

yAyA

yAyA

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ

42

4

32

3

22

2

12

1

18

Lavoro della forza elettricaLavoro della forza elettrica

0ˆ1

4 20

21 ba

baab dr

r

qqdL ssF

?ˆ

1

4 20

21 ba

baab dr

r

qqdL ssF

baab

b

a

ba

baab

rr

qqL

r

qq

r

drqqFdsL

FdsddL

11

4

1

44

0

21

0

212

0

21

sF

19

Energia potenziale elettricaEnergia potenziale elettrica

finale quello a iniziale statodallo andare per q carica dalla fatto lavoro L

finale statonello potenziale energia U

iniziale statonello potenziale energia U

dqdLUUU

0if

f

i

f

i

f

iifif sEsF 0

Il lavoro per portare una carica esploratrice q0 da una distanza ri ad

una distanza rf rispetto ad una carica Q :

iffiifif rr

Qq

rr

QqLUUU

11

4

11

4 0

0

0

0

Se il lavoro, e quindi la variazione di energia potenziale, dipende solo dalla posizione del punto di partenza e del punto di arrivo la forza è detta conservativala forza è detta conservativa. Infatti si possono fare cammini chiusi (trasformazioni cicliche) senza variare l’energia potenziale del sistema.

Q

q0

ri

rf

fi

f

iif rr

QqdL

11

4 0

0

sF

20

Esercizi

1) Due protoni del nucleo dell’ 238U si trovano ad una distanza di 6 fm (1fm=10-15m). Calcolare l’energia potenziale associata alla forza elettrica tra i due protoni.

2) Consideriamo l’atomo di idrogeno. Calcolare il lavoro necessario a ionizzare l’atomo di idrogeno.

r

QQrU

1

4)(

0

21

Anche se solo le variazioni di energia hanno significato fisico si può definire uno zero per l’energia. Per molte applicazione si pone uguale a zero l’energia quando le due cariche sono a distanza infinita:

U()=0

Questo permette di definire l’energia potenziale di due cariche a distanzal’energia potenziale di due cariche a distanza rr come:

21

Potenziale del campo elettricoPotenziale del campo elettrico

f

iifif dLUUU sF

Il lavoro per spostare una carica esploratrice q0 all’interno di un campo elettrico per la definizione

stessa di campo è proporzionale a q0:

000 qdqdqdLf

i

f

i

f

iif sEsEsF

U potenziale della forza F

f

i

f

iifif d

q

dq

q

LVV

q

UV sE

sE

0

0

00

r

QV(r)

rr

Q

q

LVVV

if

ifif

1

4

11

4 000

V potenziale del campo E

Nel caso del campo generato da una carica puntiformePotenziale generato da una carica puntiforme Q. A differenza del campo E, V non è un vettore ma è una funzione scalarefunzione scalare

E(x,y,z) un campo vettoriale V(x,y,z) un campo scalare

22

Definizione di differenza di potenziale

dq

dq

q

LVVV

f

i

f

iifif

sEsE

0

0

0

VoltC

J

carica

EnergiaV

m

VE

La differenza di potenziale è la grandezza direttamente misurabile. La sua Unità di misura nel Sistema Internazionale (S.I.) è il Volt

Di conseguenza l’unità di misura del campo elettrico nel S.I. è il Volt/m

Nella fisica atomica le cariche di maggior interesse sono le cariche elementari (elettroni e protoni) . È quindi conveniente definire una nuova unità di misura per l’energia data dal lavoro per portare una carica elementare (e=1.6 10-19 C) tra due punti la cui differenza di potenziale è 1 V è dato da:

e V= 1.6 10-19 1= 1.6 10-19 Joule 1 eV

23

b

a

baba

abab

VVV

VVV

Circuitazione del campo elettrico

baab

a

b

b

a

VVddd

sEsEsE

0 baabbaab VVVVVVd sE

0sE d La circuitazione del campo La circuitazione del campo elettrostatico è nullaelettrostatico è nulla

? sE d

d

Q

dE

0

)(0

lE

SE

Equazioni di Maxwell del campo E in condizioni stazionarieEquazioni di Maxwell del campo E in condizioni stazionarie

Il campo E è generato da cariche elettriche

Il campo E è conservativo

24

Il campo elettrico in un conduttore caricoIl campo elettrico in un conduttore carico

All’equilibrio

E=0

(E)=Q/

c’è carica

25

ww

1

2

3

4

l >> wl >> w

00

0

0

0

////

4321

//E

- lEwElEw Ed

ddddd

sE

sEsEsEsEsE

= Q/= Q/

E A

Q

AE

AE 0 0 AE d

dddd

000

AAA

11

11

321

AE

AEAEAEAE

A1

A2

A3

)(

ˆ

3

22

1

nA

tA

nA

A

A

A

nt

ndl

tdl

ndl

tdl

ˆ

ˆ

ˆ

ˆ

4

3

2

1

dl

dl

dl

dl

26

Calcolare la differenza di potenziale noto il campo

Vcb=Vb-Vc=?

Vba=Va-Vb=?

Vac=Vc-Va=?

Calcolare la carica q

dV fiif sE

27

Superficii equipotenzialiSuperficii equipotenziali

Le superfici equipotenziali sono in ogni punto perpendicolari alle linee di flusso

Sono dette superfici equipotenziali quelle per cui V=0 0 sE ddV

28x

x

x

x

xx

xx

Ex

V

x

V

x

zyxVzyxxV

Ex

zyxVzyxxV

xEdxEzyxVzyxxV

),,(),,(lim

),,(),,(

),,(),,(

0

y

x

(x,y,z) (x+x,y,z)

x

La relazione tra potenziale e campo elettricoLa relazione tra potenziale e campo elettrico

f

idV sE

Supponiamo di voler calcolare la differenza di potenziale tra due punti vicini a(x,y,z) e

b(x+x,y,z). Tali due ponti sono connessi da un vettore: xdx ˆdx

dxEdxEEE xzyx xzyxdxE ˆ)ˆˆˆ(

29

Calcolare il campo elettrico noto il potenziale

In tre dimensioni si ha che:

z

VE

V- y

VE

x

VE

z

y

x

E

Esercizi:

1) Dato il potenziale associato ad una carica puntiforme Q calcolare il campo elettrico

2) Dato il potenziale V=xy+2y calcolare il campo E nell’origine delle coordinate O(0,0,0) e nel punto P(1,1,0)

y

VE

x

VE

zydxxVzdyydxxVdVdyEdV

zyxVzydxxVdVdxEdV

dyEdxEdddVdVdV

ddV

y

x

yyy

xxx

yxyx

),,(),,(

),,(),,(

)(

yxE

sE

30

r

Q

r

QPV

04

1)(

+

-

d 0

P

r

r+

r-

½ d cos

Calcolare il campo elettrico generato da un dipolo a grande distanza (r>>d)

200

0

4

coscos

21cos

21

4)(

cos2

1

1

cos2

1

1

4)(

cos2

1cos2

1

cos2

1cos2

1

r

Qd

r

d

r

d

r

QrV

rd

rr

dr

QrV

r

drdrr

r

drdrr

304

)(

ˆ

rrV

dipolo del momento kQd

rp

p

per r >> d

350

35

2

0

50

50

2/32220

)(3

4

1

3

4

1

3

4

1

3

4

1

)(4

1),,(

rr

r

p

r

pz

z

VE

r

pzy

y

VE

r

pzx

x

VE

zyx

pzzyxVV

z

y

x

prrpE

E

z

y

x

31

Sistema di coordinate sfericheUn altro sistema che si può usare per orientarsi nello spazio è il sistema sferico. È formato da tre coordinate: ρ, θ e φ. Si considera sempre un generico punto P e la sua proiezione sul piano XY chiamata Q. Con ρ questa volta si indica la distanza di P

dall'origine e θ è l'angolo che ρ      forma con l'asse Z. Indichiamo invece con ρ’        il vettore che collega l'origine con il punto Q, φ individua l'angolo che quest'ultimo vettore forma con l'asse X.Per passare da un sistema sferico ad uno rettangolare si usano le seguenti uguaglianze:

cos

sinsinsin'

cossincos'

z

y

x

Per passare da coordinate sferiche a cartesiane:

                        

                      

                                       

222

222

arccos

arctan

zyx

z

x

y

zyx

x

zy

32

Campo del dipolo in coordinate sfericheCampo del dipolo in coordinate sferiche

V

rV

V

rV

r

VV

V

r

sin

1

1

V

rE

r

pV

rE

r

p

r

VEr

0sin

1

sin

4

11

cos2

4

1

30

30

E

r

prV V

20

cos

4

1),,(

E

33

Distribuzione di caricheDistribuzione di cariche

qi

di

ri = r - di

r

z

x

y

P

i i

i

r

qPV

04

1)(

300

200

0

4

1

4

1ˆ

4

1

4

1)(

ˆ1

4

1)(

)ˆ

1(ˆ

rr

q

r

q

r

qPV

rr

qPV

r

rdrrdrr

ii

ii

iii

ii

i

i

i

iii

rprd

rd

qQ rr

QPV

ii

ii

pp

rp3

00 4

1

4

1)(

carica singoladella

dipolo di momento q iii pd

Nel caso di una molecola neutra il potenziale e quindi il campo elettrico generato dipenderà solo dal momento di dipolo complessivo

di << r

34

i

ii

iqQ pp

q1= -q

d1 d2

d3d4

q4= +q

q2= -q

q3= +q

0

p1 p2

p3p4

= =P=22qdkQ=0=

q1= +q

d1 d2

d3d4

q4= -q

q2= -q

q3= +q

0

p1 p2

p3p4

= =p=0Q=0=

Q=q1+q2+q3+q4=0

Q=q1+q2+q3+q4=0

Calcolare la carica risultante, il momento di dipolo risultante e il potenziale in un punto P a distanza r dall’origine delle coordinate.

35

~q1= -q

d1

d2

q2= 2q

0

p1

p2

0

Q=q1+q2=q0P=3qdk

p

0Q Q

Molecola dell’acqua (H2O) Calcolare il momento di dipolo in modulo e direzione

q1= -q

d2

q2= 2q

0

p2

0

Q=q1+q2=q0P=4qdk

p

0Q Q

36

q1= -q

q4= +2q

q2= -q

q3= +2q

q5= -2q

120°q1=q q2=q

q3=-3q

37

Dipolo in un campo elettrico Dipolo in un campo elettrico

+

-

d

EF+

F-

p E

p

Epτ

EpqEdFd

Fd sinsinsin

2sin

2

Energia di un dipolo in un campo elettrico Energia di un dipolo in un campo elettrico

)1(cossin000

0

pEdpEτdL dτ

)(cos)0()( 0 pEpELUU

Ep cos)( pEU

Momento torcente indotto da un campo elettrico E su un dipolo p

Equivale ad aver fissato lo zero dell’energia a -1.5

-0.5

0.5

1.5

0 50 100 150

U(

)/p

E

38

AA, BB, CC, DD sono quattro dipoli elettrici.

Orientare i momenti di dipolo corrispondente

Valutare l’energia potenziale.

Calcolare il momento torcente in modulo e direzione

Esercizio 1

Esercizio 2

d

d

p1

p3

p2

Calcolare il campo elettrico generato dal dipolo p1 nella posizione in cui si trovano il dipolo p2 ed il dipolo p3.Calcolare l’energia dei dipoli p2 e p3 nel campo generato da p1

Calcolare il momento torcente sui dipoli p2 e p3 dovuto al campo generato da p1

39

Molecole polariMolecole polari

p = 3.410-30 C m

p = 4.510-30 C m

p = 6.410-30 C m

p = 0.310-30 C m

40

41

CONDENSATORE IN PRESENZA DI UN DIELETTRICO

E E’+Q +Q-Q -Q

d d

V’VΔV

QC

V'ΔQ

C'

V’ = V /r r >1 costante dielettrica relativa

Sperimentalmente si trova che: V’ < V

d

V

d

VE

d

VE

r

1''

E’=E /r

C

QV

C

QVV

rr

''

1'

C’=C r

42

Problema:

Come è legata la costante dielettrica (grandezza microscopica) ai momenti di dipolo degli atomi e delle molecole (grandezze microscopiche).

rr dipende da:

Tipo di materiale

Stato di aggregazione

Temperatura

Orientazione del cristallo

43

Come dipende Come dipende pp da da EE ??

Come si comporta la Come si comporta la materia in presenza di un materia in presenza di un campo campo EE

POLARIZZAZIONE PER DEFORMAZIONE

E = 0

E

p = 0 p 0

Atomo H

Come si comportano gli atomi

E = 0

<p> = 0 <p> 0

E

POLARIZZAZIONE PER ORIENTAMENTO

Come si comportano le molecole dotate di momento di dipolo proprio

44

Polarizzazione per deformazionePolarizzazione per deformazione

+

R

dE

Nucleo +Ze

Elettroni -Ze

Il campo elettrico a cui è sottoposto il nucleo quando si trova ad una distanza d rispetto al baricentro della carica negativa è dato da:

dE

dE

03

303

R4

Ze

R34

Ze-

at

at

Densità di carica elettronica

Campo di richiamo all’interno dell’atomo

+

Fest=ZeE

Fat=ZeEat

Epd

dEFF

3

300

R4Ze

R4

ZeZe-e Z

0

0atest

atomica ilitàpolarizzab R4 0DD3 Ep

45

R4 0D3

1. Perché D è più grande per il potassio che per il litio2. Calcolare D per il berillio ed il potassio3. Confrontare la polarzzabilità del Li con quella del Li+ e con quella del He

H He Li Be C Ne Na Ar K

D 0.66 0.21 12 9.3 1.5 0.4 27 1.6 34

R(Å) 1.55 1.12 0.94 1.9 2.35

Polarizzabilità atomiche (10-40 farad m2)

Polarizzabilità elettroniche di ioni (10-24 cm-3 = 0.910-40 farad m2)

Esercizi:

+3

-2

-1

+3

-2

+2

-2

Li

Li+

He

D

12

0.03

0.2

Esercizio 3

46

Polarizazione per orientamentoPolarizazione per orientamento

y

x

zE = 0

<p> = 0<px> = <py> = <pz> = 0

p

<p> 0<px> = <py> = 0 <pz> 0

E

p< >

media statistica

Temperatura T

Per un sistema che si trova a temperatura T la probabilità di essere in uno stato di energia U è proporzionale al fattore di Boltzmann exp (-U/kBT)

Tk

Ux

zionenormalizza di costante A

AexP

B

x

)( In un sistema termodinamico composto di molte “particelle” all’equilibrio termico, la condizione di equilibrio non è più determinata semplicemente dal minimo dell’energia potenziale, ma dipende anche dalla temperatura a cui si trova il sistema

47

U

U=pE

T = 0 T 0kBT<<U

T 0kBT>>U

U

U

T = 0 T 0kBT<<U

T 0kBT>>U

48

Nel limite di piccoli campi e grandi temperature pE/kBT <<1

Tk

pEcos1A)P( xe

B

xx

1lim 0

Tk

pE

BAeP

pEU

cos

)(

cos

EpPer un sistema di dipoli p in campo E posto a temperatura T

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 50 100 150 200

(°)

Pro

ba

bili

tà KT = pE

KT = 10 pE

49

<pz>=<p cos> = p<cos>Ez

d

dsindelemento di angolo solido con fissato

p

d P cos)(cos

0 02

0

0

)(coscos)(coscos2cos

)(cos2coscos

1cos

cos1)(

sin2cos)(cos

d Tk

pEd A

d Tk

pEA

Tk

pEAP

dP

B

B

B

zionenormalizza di condizione 4

1A dP

1)(

3

22

3

2)11(2

3

cos

2

cos2cos

0302

Tk

pEA

Tk

pEA

Tk

pEA

BBB

toorientamen per ilitàpolarizzab Tk

p

ETk

Eppp

Tk

pE

BO

OB

zB

3

3cos

3cos

2

2

50

Una molecola dotata di dipolo permanente p in presenza di un campo elettrico E presenterà un momento di dipolo medio <p> dato da:

30

2

43

ilitàpolarizzab

RTk

p

BDO

Ep proporzionale al campo applicato E

orientato in direzione e verso di E

Prossimo obbiettivo: connettere il punto di vista

MICROSCOPICO MACROSCOPICO

(momenti di dipolo di atomi e molecole) (costante dielettrica)

51

Esercizi:Esercizi:

1. Calcolare la polarizzabilità dell’acqua a temperatura di 20° C e a temperatura di 110° C.

2. È più importante il contributo per deformazione o per orientamento ?

3. In che modo è possibile distinguere fra i due contributi ?

4. Quale dei composti in figura è costituito di molecole polari ?

Polarizzabilità molare per composti derivati dal metano, con sostituzione polare o non polare, in forma gassosa

8

6

4

2

0

Po

lari

zza

bil

ità

(1

0-40 f

ara

d m

2)

52

Definizione del vettore polarizzazioneDefinizione del vettore polarizzazione PP

V abbastanza grande da contenere molti momenti di dipolo p sufficientemente piccolo in modo che E non vari troppo al suo interno

Come dipende Come dipende P P da da E E ??

Vi

pP

Se abbiamo un sistema contenente molti dipoli in presenza di un campo elettrico E il vettore polarizzazione P sarà dato da:

adielettric ettibilità suscn

nnV

N

Vi

0

0

EEppp

P

P

V

pi

N numero di molecole contenute nel volume V

nV densità delle molecole per unità di volume

polarizzabilità della singola molecola o atomo

suscettibilità di n atomi o molecole

r costante dielettrica del materiale

DOBBIAMO ANCORA CONNETTERE

r

Vettore Polarizzazione

53

Come si comporta un dielettrico nel suo complesso?Come si comporta un dielettrico nel suo complesso?

P

E e P costanti E e P variabili

ppP

EpP

0n

E E

54

Come si calcola la carica di polarizzazione ?Come si calcola la carica di polarizzazione ?

P

dcos

p=qd P=np

S npS d S n qSQ PP nP ˆcos)cos(

QP carica distribuita sulla superficie S dovuta alla polarizzazione della materia

nPP ˆ

P carica superficiale di polarizzazione

densità di carica volume in cui è contenuta

55

+

+

+

+

+

+

_________

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +- +

- +- +- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

E’

P=np

P=E’

p=qd

E=0 E=0

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

+

+

+

+

+

+

- +

- +

- +

- +

- +

- +

- +

00

)(

Ptot QQQE

Q carica vera sulle armature del condensatore

QP carica di polarizzazione alla superficie del dielettrico

0

0

'

')(

P

P

E

QQSEE

carica superficiale vera sulle armature del condensatore

P carica superficiale di polarizzazione alla superficie del

dielettrico

56

E

EPP

0

0 'ˆ

nP Campo nel dielettrico

Campo nel vuoto

E EEEE

E P

''

'0

00

0

Il campo all’interno del dielettrico (E’) è minore del campo che ci sarebbe in assenza di dielettrico (E).

E E

E

1

'

Dal confronto delle capacità di un condensatore in vuoto (C) ed un condensatore riempito di dielettrico (C’=Cr) avevamo trovato la seguente relazione tra il campo E ed E’:

E E

Er

'

Da cui segue che:

0

1

1

n

r

r

57

EserciziEsercizi

1. Data la costante dielettrica del H2O in forma gassosa a T=110°C e pressione di

1 Atmosfera, r=1.0126, calcolare la polarizzabilità della molecola di H2O

2. Data la costante dielettrica del H2O in forma liquida a T=20°C e, r=80, calcolare

la polarizzabilità della molecola di H2O

3. Confrontare i valori di polarizzabilità trovati nei due casi precedenti con il valore di polarizzabilità per orientamento D, prevista alle due diverse

temperature. Discutere.

NA= 6.021023 mol-1; kB =1.38 10-23 Joule/K ; 1 Atmosfera =1.05105 N/m2

58

Dielettrici densi

Fino ad ora abbiamo trascurato l’interazione tra i momenti di dipolo che diventa rilevante in un materiale denso come un liquido o un solido. In questo caso il momendo di dipolo sarà proporzionale non al campo esterno, ma al campo locale agente nella posizione in cui si trova la molecola.

locloc n ; EPEp

Il campo locale Eloc in generale dipende dal contributo dei dipoli vicini. In un liquido o in un solido

ad alta simmetria (cubico) si ha che:

)2(

)1(3 0

r

r

n

Relazione di Clausius-Mossotti1

31

31

3

3

0

0

00

0

0

r

loc

loc

n

n

n

n

nn

EEP

PEEP

PEE

Contributo dei dipoli vicini

59

Dielettrici diluiti: Gas

001

n

edefinizion

n comicroscopi modellor

EP

EP

Dielettrici densi: liquidi o solidi isotropi

000

03/1

113/1

n

n

edefinizion

n

n comicroscopi modello

r

EP

EP

)2(

)1(3 0

r

r

n Relazione di

Clausius-Mossotti

60

Cristalli ferroelettriciCristalli ferroelettrici

Un cristallo ferroelettrico presenta un momento di dipolo elettrico anche in assenza di un campo elettrico applicato. La ferroelettricità scompare al di sopra di una certa temperatura detta temperatura di transizione

o temperatura di Curie (TTcc) .

Si definisce polarizzazione di saturazione

PPss=n p=n p,

dove n è il numero di celle cristalline per unità di volume e

p è il momento di dipolo associato a ciacuna cella. La polarizzazione di saturazione è quella che si ha quando tutti I dipoli sono orientati parallelamente.

61

Il titanato di bario (BaTiO3) è un cristallo ionico in cui la valenza dei singoli elementi è la seguente Ba++ , Ti4+ e O--. Se la cella è perfettamente cubica il momento di dipolo risulta nullo. Al di sotto della temperatura di Curie la cella si deforma e si genera un momento di dipolo.

Esercizio Si calcoli la polarizzazione di saturazione del titanato di bario assumendo che gli ioni positivi Ba++ e Ti4+ siano spostati di d=0.1 Å rispetto agli ioni negativi O– e che la cella sia cubica di lato a=4 Å.Si calcoli quindi l’energia di interazione tra due dipoli primi vicini posti sullo stesso asse e si confronti il valore trovato con l’energia termica a T ambiente

a

pp = 6ed = 9.6 10-30 Cmn = 1/a3= 1.6 1028 m-3

Ps= n p = 0.15 C m-2

U=p2/(2a3)=p2n 18 109=2.6 10-

20 J

UT=kT= 1.3810-23 300=4 10-21J

62

Costante dielettrica dei materiali ferroelettrici