Flusso del campo Flusso del campo elettricoelettrico e legge di Gauss.e legge di Gauss.

- Si definisce superficie gaussiana una ipotetica superficie S chiusa, che contiene un volume V. - La legge di Gauss mette in relazione i valori dei campi elettrici su questa superficie, con le cariche contenute all’interno del volume racchiuso dalle superfici, attraverso la nozione di Flusso.

- Flusso elementare: considerata una superficie infinitesima dS che contiene il punto P, piana, abbastanza piccola per cui si possa ritenere che il campo elettrico E(P) non vari in modulo, direzione e verso sulla superficie e detta n la normale uscente (rispetto alla superficie totale) a questa superficie, si definisce flusso elementare dΦ la quantità scalare

dove

vettore di modulo uguale all’area della superficie orientato come la normale.

-Il flusso elementare è positivo se E è uscente dalla superficie, negativo se E è entrante in essa, nullo se E è parallelo alla superficie (o E=0).

- Flusso totale uscente dalla superficie chiusa S: è la somma di tutti i flussi elementari, al tendere a zero delle aree infinitesime:

n EdS

dSE, cos dS(P)(P)E(P)Sd(P)E(P)dS(P)n(P)Ed θ≡⋅=⋅=Φrrr)r

(P)ndS(P) areale vettore : Sd )r≡

cap7B 1

( ) ∫∑ ⋅⇒⋅=ΦS

(P)Sd(P)E(P)dS(P)n(P)Err)r

ii

Flusso del campo elettrico.2Flusso del campo elettrico.2

cap7B 2

- Se le linee di forza sono come nel disegno sopra, il flusso totale è nullo, perché nella parte inferiore il campo è in direzione contraria alla normale uscente. Nei disegni sotto, a sinistra il flusso uscente è negativo perché la carica è negativa e il campo è entrante, antiparallelo alla normale uscente. A destra a secondo dove metto la superficie il flusso cambia valore

n E

Φ=0

Φ <0

-

Φ >0

-Il flusso può essere definito nello stesso modo per qualsiasi quantità vettoriale: per esempio per la velocità (per misurare il flusso d’aria attraverso una superficie chiusa o aperta). -L’unica differenza qua è che non vi è niente di materiale che passa attraverso la superficie, il campo elettrico non è associata a materia: la rappresentazione attraverso linee di forza sono la sola cosa ipoteticamente materiale nei disegni, ma sono come abbiamo visto linee immaginarie che servono a visualizzare il campo elettrico. Si può ovviamente definire il flusso anche per il campo gravitazionale (forza gravitazionale esercitata su una massa m per unità di massa m), come per il campo elettrico.

n

E

cap7B 3

Flusso del campo elettrico e legge di Gauss.Flusso del campo elettrico e legge di Gauss.

- Legge di Gauss: Il flusso del campo elettrico attraverso qualunque superficie chiusa è uguale alla somma algebrica delle cariche in esse contenute diviso per la costante dielettrica del vuoto.

o

q(E)ε

=Φ∑ int

+q1

+q2

-q3

+q4

S1

S3

(E)o

qqq(E)2S

4321S Φ=

ε−=Φ +

- Applicazione e note: Le quattro cariche creano TUTTE il campo E(non visibile in figura). Il flusso attraverso sia la superficie S1 che la superficie S2 è lo stesso, perché entrambe racchiudono le stesse cariche:

S2

- flusso attraverso S3:

o

qqq(E) 4211S ε

++=Φ

- Le cariche non devono essere puntiformi, possono anche essere distribuzioni di cariche, e nel caso la distribuzione di carica sia contenuta solo in parte dentro la superficie gaussiana, nel calcolo del flusso si tiene conto solo della parte di carica contenuta.

Provare a verificare che la legge di Gauss è valida per una carica puntiforme positiva posta al centro di una superficie sferica gaussiana di raggio r.

cap7B 4

Applicazioni della legge di Gauss.Applicazioni della legge di Gauss.

- Per tutti i campi elettrici, statici o meno, vale la legge di Gauss, che rappresenta una delle proprietà del campo elettrico, e una delle 4 leggi di Maxwell, che danno le proprietà del campo elettromagnetico.

Ma è anche utile per calcolare i valori dei campi elettrici in particolari condizioni di simmetria e in casi in cui usare il principio di sovrapposizione è complicato: per esempio il campo creato da unadistribuzione uniforme sferica di carica.

- Supponiamo che la sfera di raggio R sia piena di carica positiva con carica totale Q, distribuita uniformemente con densità di volume Q

)(C/mR

34

QdVdq 3

3π≡=ρ

R

- Per ragioni di simmetria, è possibile vedere che il campo elettrico creato dalla carica Q è radiale, uguale, in modulo, in tutti punti che si trovano alla stessa distanza dal centro della sfera carica, e inparticolare sulla superficie sferica gaussiana S tratteggiata in figura. Per ogni punto P di questa superficie la normale è diretta nello stesso verso del campo elettrico (angolo tra E e n Uguale a zero) per cui il flusso del campo elettrico (incognito) attraverso S è:

r

S

n

2

SSS

r E(r)4dSE(r)E(r)dS(P)Sd(P)E π===⋅=Φ ∫∫∫rr

cap7B 5

Applicazioni della legge di Gauss. 2Applicazioni della legge di Gauss. 2

- per la legge di Gauss, il flusso attraverso S è anche uguale alla carica contenuta divisa εο :

QR

r

S

n

0

Qε

=Φ

- Uguagliando le due espressioni per il flusso attraverso S, che è una generica superficie gaussiana esterna alla carica, a distanza r dal centro si trova che il campo elettrico di una sfera carica, per i punti esterni alla sfera (r > R) è:

rr

rQ

41R)(rE 2

0

rr

πε=>

- All’esterno della sfera carica il campo uguale a quello che creerebbe la stessa carica puntiforme concentrata nel centro della sfera e nell’origine del sistema.

Riapplicando il procedimento a una superficie gaussiana Si INTERNA alla sfera, si trova per r< R

dove q(r) è la carica contenuta all’interno e vale

Quindi:

Q

R

rSi nq(r)

rr

rq(r)

41R)(rE 2

0

rr

πε=<

3

33

3

3

RQrr

34

R34

Qr34ρq(r) =π

π=π=

r k rRQ

41R)(rE 3

0

rrr≡

πε=<

- All’interno il campo aumenta linearmente con la distanza , è nullo al centro e sulla superficie della sfera i due campi (interno e esterno)sono uguali.

cap7B 6

Applicazioni della legge di Gauss. Applicazioni della legge di Gauss. Sfera cavaSfera cava

- Sfera cava. Ora la carica sia distribuita sulla superficie di una sfera cava (mostrata in sezione in figura). La densità di carica è superficiale e vale

- Si può dimostrare ancora che

Q

R

r

S

n

Si

)(C/mr4

QdSdqσ 2

2π≡=

rr

rQ

41R)(rE 2

0

rr

πε=>

0R)(rE =<r

mentre all’interno non vi è nessuna carica q(r<R)=0 per cui

All’esterno di una sfera cava e una piena con la stessa carica i campi elettrici sono indistinguibili.

Energia potenziale elettrostatica e potenziale elettricoEnergia potenziale elettrostatica e potenziale elettrico

- La forza di Coulomb ( e quindi la forza ottenuta con il principio di sovrapposizione e dovuta a cariche elettriche ferme) è conservativa.

- Questo significa che se un sistema di cariche agiscono su una carica esterna, il lavoro fatto per muovere questa carica da un punto a un altro è indipendente dal cammino fatto o dalla particolare traiettoria, ma dipendesolo dal punto iniziale e finale considerato.

- Ad ogni punto dello spazio è possibile assegnare una energia potenziale elettrostatica, (definita a meno di una costante) purché ci siano almeno due cariche presenti: la carica che “crea” la forza e la carica che la subisce.

- Supponiamo di avere una carica q1 puntiforme, positiva in un punto dello spazio che coincide con l’origine del sistema di riferimento e che non ci sia niente altro intorno. L’energia potenziale elettrostatica associata alla forza esercitata dalla carica q1 su una seconda carica q2 è definita come il lavoro, cambiato di segno, che viene compiuto per portare la carica q2 dall’infinito ad un punto a distanza r dalla carica:

rqq

ε π 41dr

rqq

ε 4π1L(r)U 21

02

21r

0qq 2

=−≡−= ∫∞

∞ (J=Nm)

cap7B 7

- nella definizione è implicita l’assunzione che l’energia sia zero all’infinito, e si usa la possibilità di scegliere il cammino più comodo e la carica q2 è mossa su un cammino che è nella stessa direzione della forza (lungo una linea di forza). Si nota che si ottiene la stessa energia se le cariche q1 e q2 invertono il ruolo, ovvero è q2 che esercita la forza e q1 portata a distanza r dalla carica q2.

Energia potenziale elettrostatica e potenziale elettrico 2Energia potenziale elettrostatica e potenziale elettrico 2

rqq

ε π 41dr

rqq

ε 4π1L(r)U 21

02

21r

0qq 2

=−≡−= ∫∞

∞

cap7B 8

- Questa energia viene chiamata anche energia di configurazione, perché èl’energia che deve essere fornita al sistema delle due cariche: a) per formare il sistema se le cariche hanno lo stesso segno: l’energia di configurazione è positiva , segno che il lavoro deve essere compiuto dall’esterno applicando alla carica in movimento una forza pari ma di segno contrario alla forza di repulsione elettrostatica;b) per separarle , se le cariche hanno segno opposto: l’energia di configurazione è negativa , il sistema si è formato “spontaneamente” e per separarlo deve essere fatto lavoro contro la forza di attrazione..

- Una volta che il sistema delle cariche q1 e q2 è formato, entrambe esercitano una forza su una eventuale carica q3 che dall’infinito venga portata a distanza r31 dalla carica q1 e a distanza r23 dalla carica q2.

Ovvero: l’energia potenziale elettrostatica è dovuta a tutte le cariche che si trovano a esercitare una forza su una carica che non e’ considerata parte del sistema di cariche agenti. Quando si dice un elettrone ha energia potenziale elettrostatica di tot Joule, significa che esiste da qualche parte una distribuzione di cariche ferme che crea un campo elettrico, e che se una carica estranea alla distribuzione si trova nel campo risente di una forza elettrostatica e quindi l’elettrone ha potenzialmente energia elettrostatica . L’energia dell’elettrone preso come esempio dipende dalla sua distanza dalle cariche che creano il campo, ma anche dalla carica dell’elettrone stesso. Per studiare la potenzialità che la distribuzione di carica fornisce a qualsiasi carica si preferisce parlare di POTENZIALE ELETTRICO, potenziale associato al campo creato dalla distribuzione della carica.

cap7B 9

PotenzialePotenziale elettricoelettrico

0 ld(r)Eqvoconservati E(r)

ld(r)Eq ld(r)Eqvoconservati E(r)

0

f

i2 0

f

i1 0

∫

∫∫

=⋅→

⋅=⋅→

rr

rrrr

-Il campo elettrostatico E(r) , essendo la forza elettrostatica per unità di carica, è anch’esso conservativo.

-Questo significa che per ogni curva nello spazio che unisce due punti distinti i e f il lavoro fatto dal campo elettrico sulla carica di prova q0 è indipendente dalla forma della curva, ma dipende solo dai punti di inizio i e di fine f, o il lavoro fatto su una curva chiusa è nulla

- Nelle relazioni sopra dl1 e dl2 indicano due vettori infinitesimi su due percorsi differenti, tangenti alle curve stesse.

-

dl2dl1

f

i

dl

0)V( E(r)dr -V(r)r

=∞= ∫∞

P

- Il potenziale elettrico in un punto dello spazio è associato al campo elettrostatico che vi è ed è definito come il lavoro per unità di carica di prova per portare la carica stessa dall’infinito al punto P( definito attraverso il suo vettore posizione r) .

- Il potenziale elettrico è anche l’energia potenziale fornita dal campo elettrostatico E(r) per unità di carica che subisce il campo (U(r)/q).Si misura in Volt (V) =J/C=Nm/C. Si assume che il potenziale all’infinito

sia nullo, in accordo alla convenzione per l’energia

cap7B 10

PotenzialePotenziale elettrico: 2elettrico: 2

La differenza di potenziale tra due punti è una quantità misurabileed è definita dal lavoro per unità di carico compiuto dal campo elettrico per spostare la carica da un punto i a un punto f, cambiato di segno

∫ ⋅==fr

irif rd(r)E -)V(r-)V(r∆V

rr

La differenza di energia potenziale di una carica q che si muove tra i due punti nel campo è conseguentemente definita come

∆U = q ∆V

Superfici equipotenziali sono le superfici su cui il potenziale ha il medesimo valore: spostandosi su queste superfici la differenza di potenziale (d.d.p.) è nulla.Il campo elettrico è sempre perpendicolare alle superfici equipotenziali (se così non fosse, il campo avrebbe una componente sulla superfici e la differenza di potenziale tra due punti non sarebbe nulla), il verso è nella direzione del potenziale decrescente.

∆V sulla superficie =0

∆V max

E

V =200 V

V =100 V

Linea di forza

La direzione e il verso di massima variazione del potenziale definiscono la direzione e il verso di variazione del “gradiente” del potenziale. La direzione coincide con la direzione delle linee di forza, il verso è opposto al verso delle linee di forza.

PotenzialePotenziale elettrico: 3elettrico: 3

Potenziale dovuto a una carica puntiforme posta in un punto individuato dal vettore posizione r’:

0)V( r'-r

q 41dr

r'-rq

41LV(r)

02

r

0=∞

πε=

πε−≡−= ∫

∞∞

r’

r-r’

E (r)

-r V1

V2<V1

Potenziale di una carica negativa posta in r’=1

cap7B 11

Lo stesso potenziale della carica puntiforme ( in valore e forma) si misura anche se esso è generato da una distribuzione di carica sferica ,all’esterno della distribuzione stessa: una sfera carica o un guscio sferico carico con la stessa carica totale q generano all’esterno (r> raggio delle sfere) un campo come se la carica fosse una carica puntiforme concentrata al centro della sfera stessa, piena o vuota che sia. Quindi il potenziale è lo stesso.

QR

r

R

r

Q

0)V( Rr rQ

41V(r)

0

=∞>επ

=

QR

r

RP

Q

PotenzialePotenziale elettrico: 4elettrico: 4

Le cose cambiano per il potenziale di queste distribuzioni all’interno: Il campo all’interno è nullo per il guscio sferico e questo significa che la differenza di potenziale tra un qualsiasi punto P all’interno del guscio e la superficie è nullo:

cap7B 12

0rd(r)E -V(R)-V(P)∆VR

rp=⋅== ∫

rr

Questo significa che: RQ

41V(R)V(P)

0πε≡= = costante per ogni r<R

Per la sfera piena, il campo all’interno della sfera è in modulo E(r)= kr (lineare con la distanza dal centro( per cui per un punto r generico si ha:

RQ

41)rk(R

21

V(R))rk(R21V(r)

)rk(R21krdr -V(r)-V(R)∆V

o

22

22

22R

r

επ+−=

+−=

⇓

−−=== ∫

30 R

Q 41kεπ

=

Calcolare quanto vale il potenziale al centro della sfera piena.

cap7B 13

PotenzialePotenziale elettrico: 5elettrico: 5Per ottenere il potenziale di un insieme di cariche distribuite in vari puntibasta sommare algebricamente i potenziali: il potenziale è una funzione scalare e il calcolo è molto più semplice anche nel caso di distribuzioni di cariche continue in confronto al calcolo del campo elettrico corrispondente: Date N cariche qi posizionate nei punti ri, il potenziale totale nel punto r, che non deve coincidere con nessuno dei punti ri è:,

∫∑ ρπε

=⇒πε

=V0i

i

0 r'-r))dV(r'(r'

41V(r)

r-rq

41V(r)

N

1

La seconda espressione è la generalizzazione della prima quando la distribuzione di carica è continua su un volume (una sfera piena per esempio): se la distribuzione di carica è di superficie o di linea formalmente riscrivere il potenziale per l’appropriata distribuzione.

POTENZIALE DI DIPOLO:

-q +q

p=qdi

z

d/2d/2 xθ

r+

r-r

P⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πε

=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

πε==

−+

+−

−+=∑

rrr-r

4q

rq

rq

41VV(P)

0

0

2

1ii

Per r>>d si ha:

30

200

2

22

22

r4 rp

rε 4πqdcos

rrr-r

4qV(P)

rrr cos dr-r

rcos2d2

2drr

rcos2d2

2drr

πε⋅

=θ

≈⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛πε

=

≈

θ≈

⇓

θ+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

θ−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

−+

+−

+−

+−

−

+

rr

d cosθ

r>>d

r>>d

V=0

+

-

Superfici equipotenzialidi un dipolo allineato sull’asse z (sezione verticale passante per il dipolo stesso).

Su un piano orizzontale a quota z, le superficiequipotenziali sono simili a quelle di una carica positiva.

V<0 V>0

+-

z

z

Superfici equipotenziali sul piano orizzontale a quota z di un dipolo allineato perpendicolarmente all’asse z. Il potenziale ha un massimo positivo a destra, e un massimo negativo a sinistra. E’ nullo su tutto il piano x=0.

+- V=0

V<0

V>0

cap7B 14

cap7B 15

+

z

+Linee equipotenziali di una carica positiva sul piano orizzontale a quota z. Il potenziale ha un massimo positivo al centro. Se la carica ha simmetria sferica, sfere con la stessa carica si diverso raggio e diverse profondità danno risultati uguali in superficie. Sono necessarie altre analisi per distinguere le caratteristiche della sorgente.

+σ

E

V=0V2

Il potenziale generato da una distribuzione piana di carica “infinita” vale:

00)V(x xV(x)0

==εσ

−=

L’assunzione V(x=0)=0 è convenzionale, ma può essere posto potenziale nullo in un qualunque punto (per esempio a distanza d dal piano). La ddp non cambia. Le superfici potenziali sono piani paralleli alla distribuzione.

+

+++

+

V1

x

cap7B 16

Relazione tra potenziale e campo elettricoRelazione tra potenziale e campo elettrico

La differenza di potenziale tra due punti in una zona dello spaziodove vi sia un campo elettrico E è definito come:

r

∫ ⋅==f

irif ld(r)E -)V(r-)V(r∆V

rr

Se si considera una variazione “infinitesima” si può scrivere :

lV (r)E dl (r)Ecosθ dl E(r)

drdV E(r) dr E(r)cosθ dl E(r)

cosθ dl E(r) ld(r)E dV

ll ∂∂

−=⇐⇒=→

−=⇐⇒=→

−=⋅−=rr

E

dl

VV-dV

rirf

θ

drA)

B)

A) Il campo elettrico si può ottenere calcolando le variazioni (infinitesime) del potenziale lungo la direzione di massima variazione e cambiando di segno ( il campo è il gradiente vettoriale del potenziale)B) la componente del campo elettrico lunga la direzione l si ottiene considerando le variazioni del potenziale lungo quella direzione ( per questo vi è il simbolo di derivata parziale). Se per esempio la direzione è la direzione x: Ex = - ∂V(x,y,z)/∂x .Analogamente per le altre direzioni in un sistema cartesiano Ey = - ∂V(x,y,z)/∂y , Ez = - ∂V(x,y,z)/∂z .

Poiché l’energia di una carica Q che si trova immersa in un campo elettrostatico E(x,y,z) il cui potenziale sia V(x,y,z) è:

U(x,y,z)= Q V(x,y,z)e la forza sulla carica Q è:

F(x,y,z)= Q E(x,y,z)Le componenti della forza possono essere trovate calcolando le variazioni dell’energia potenziale cambiate di segno:

Fx= -∂U(x,y,z)/∂x Fy= -∂U(x,y,z)/∂y Fz= -∂U(x,y,z)/∂z .