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Corso di Fisica 1 - Lez. 05 -Dinamica del punto materiale I

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Università del Sannio

Corso di Fisica 1

Lezione 5Dinamica del punto

materiale I

Prof.ssa Stefania Petracca


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Principi della Dinamica I


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Principi della Dinamica IICORPO LIBERO: un corpo sufficientemente lontano da altri corpi da non risentire delle interazioni con essi.SISTEMA DI RIFERIMENTO INERZIALE: è quel sistema in cui un corpo libero o èin quiete o si muove di moto rettilineo uniforme. Sono inerziali tutti i sistemi che si muovono di moto rettilineo uniforme rispetto ad un sistema anch’esso inerziale.

QUANTITA’ DI MOTO : è il vettore ottenuto dal prodotto della massa per il vettore velocità del corpo

La variazione della quantità di moto nel tempo, se la massa è costante, èuguale al prodotto della massa per l’accelerazione


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Principi della Dinamica IIILa FORZA è l’espressione dell’interazione del corpo in esame con altri corpi e deve essere definita indipendentemente.L’osservazione che un corpo accelera implica l’interazione del corpo con altri corpi (il corpo non è libero, isolato).La terza legge esprime il fatto che la forza deriva dall’interazione di almeno due corpi e se agisce su uno, deve agire anche sull’altro con le modalità della legge.Le forze che agiscono sul corpo che si osserva da parte di uno o più altri corpi sono chiamate forze esterne. Il concetto di forza non presuppone il contatto tra i corpi in interazione (azione a distanza).

Se l’insieme dei due corpi viene considerato come un sistema unico, di cui si studia il moto come un tutto unico, l’insieme delle forze che agiscono ènullo (le forze sono forze di azione e reazione, e sono chiamate forze interne).


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Principi della Dinamica IVMassa: è una proprietà che può essere definita con misure cinematiche: si verifica sperimentalmente che la massa di un corpo è indipendente dalla forza che agisce su essa e dall’accelerazione che ne risulta:

La forza è un vettore, così come l’accelerazione. Le sue dimensioni sono [M][L][T]-2. L’unità di misura della forza, Newton (N), è definita come la forza che su una massa di 1 kg determina l’accelerazione 1 ms-2


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Principi della Dinamica VUna qualsiasi forza è sempre esprimibile come funzione della posizione, della velocità ed eventualmente del tempo.

esprime la relazione funzionale che lega le proprietà dei corpi in interazione, la loro distanza, la loro velocità relativa ecc. e viene determinata sperimentalmente,dall’osservazione di casi tra loro simili. Alcune leggi di forza vengono chiamate fondamentali e si riferiscono a classi di interazioni molto generali, altre fenomenologiche ( pur essendo valide per una grande classe di sistemi, dipendono da parametri che sono caratteristici dei corpi in esame: una legge di forza fenomenologica tipica è la forza di attrito). Dal punto di vista matematico ( e per le applicazioni e previsioni e metodi di soluzione ) la relazione che lega la forza e l’accelerazione corrisponde a una equazione differenziale ordinaria (ed in particolare è vettoriale, ovvero tre equazioni differenziali scalari) del secondo ordine per il vettoreSpostamento.


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Principi della Dinamica VI

Le condizioni iniziali posizione iniziale e velocitàiniziali permettono di definire in maniera univoca il moto.


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Forza gravitazionale IE’ la forza che deriva dalla proprietà dei corpi materiali di avere una massa: la forza tra due corpi di massa m1 e m2 (puntiformi) posti a distanza r è attrattiva, proporzionale al prodotto delle masse, inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza. La mancanza di osservazione della forza gravitazionale nella vita comune, tra tutti i corpi che sono dotati di massa, è dovuta al fatto che la costante di proporzionalità (G costante di gravitazione universale) vale: G = 6.67 ×10-11 m3 kg -1s -2 = 6.67 ×10 -11 N m 2 kg -2. Per due masse di 1 kg, poste a distanza di 1m, la forza di attrazione è dell’ordine di 10-11N.

La legge è stata dedotta sperimentalmente. In principio vi furono le osservazioni di Keplero con le relative tre leggi di Keplero e successivamente furono formalizzate da Newton.


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Forza gravitazionale III corpi che interagiscono (luna-terra, terra sole, ecc) possono essere considerati puntiformi (la loro dimensione è molto più piccola della distanza tra i centri). In figura i corpi interagenti sono amplificati in dimensione in modo non proporzionale

La forza è considerata solo sul corpo di cui si studia il moto. L’altro corpo è considerato fermo (e lo èapprossimativamente se la sua massa è molto maggiore del corpo su cui agisce). L’origine del sistema di riferimento (che deve approssimare un sistema inerziale) coincide con il corpo di massa maggiore.


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Forza gravitazionale IIILa stessa legge vale per i corpi di massa m attratti dalla terra (corpi sulla o fuori dalla superficie terrestre) (forza peso). Newton stesso dimostrò che la Terra (considerata come un corpo sferico di densità uniforme, o al più con densitàvariabile solo con la profondità) agisce al suo esterno come se la sua massa fosse concentrata al centro della terra stessa


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Forza gravitazionale IV


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Forza gravitazionale V


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Forza gravitazionale VISe consideriamo corpi soggetti alla forza peso ad altezze molto maggiori del raggio della terra abbiamo

Ora anche la forza e l’accelerazione variano al variare della distanza, e diventano sempre più piccole mano a mano che ci allontana dalla terra, ma la forza è sempre diretta verso il centro della Terra. Se si considera una sfera di raggio r intorno alla terra i corpi su questa sfera sono attirati con la stessa forza in modulo, ma la direzione della forza e della accelerazione cambiano continuamente: la forza è sempre diretta solo verso il centro.


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Forza gravitazionale VIIMoto sotto l’azione della forza peso F = mg di una massa m: applicazione moto di un proiettile, caduta di un grave.


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Forza gravitazionale + moto circolare uniforme

Per avere un moto circolare, serve una forza che dia una accelerazione verso il centro di attrazione. Il campo gravitazionale g(r) è di questo di tipo. Detta m la massa che si trova nel campo gravitazionale g(r) creato dalla massa:

La velocità di rivoluzione è determinata dal raggio (maggiore velocità per piccoli raggi) e dalla massa che crea il campo. Il periodo T è legato al raggio dell’orbita dalla relazione:


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Forza gravitazionale + pendolo conicoPendolo conico: massa, sostenuta da un filo, che si suppone inestensibile, e che percorre una circonferenza di raggio r, con velocità uniforme. Forze agenti: T, tensione dovuta al filo (nel punto O, dove il filo è imperniato, vi è una tensione uguale e contraria) e forza peso sulla massa mg.

Perché il moto avvenga : le due forze si devono comporre a dare una forza rivolta verso il centro della circonferenza, in modo da produrre la forza necessaria perché ci sia accelerazione centripeta

Scomponendo le forze agenti sulle direzioni verticale e normale alla verticale in ogni punto della traiettoria

Maggiore velocità richiede, maggiore angolo di apertura.


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Forza gravitazionale + moto circolare uniforme verticale

Affinchè il moto avvenga le forze agenti devono essere tali da dare sempre e costantemente una forza diretta verso il centro e con il modulo uguale a mv2/r. Nell’esempio a fianco è una massa m legata al filo inestensibile, che vogliamo tenere in moto uniforme su una circonferenza verticale. La direzione della tensione e in particolare il suo modulo varia continuamente, se la velocità deve essere costante in modulo. Nel punto più basso T = (mv2/r) + mg e nel punto più alto T =

mv2/r - mg possono soddisfare le condizioni. Osservando con attenzione il sistema notiamo che applicando solo una tensione costante verso il centro il moto non sarà uniforme. Infatti la forza peso ha una componente mg cos θ in direzione tangente al moto, che deve essere compensata se si vuole che la velocitàsia costante in modulo. Quindi la forza F da applicare alla corda (dall’esterno, per esempio con un movimento del polso), deve avere una componente tangenziale Ft = mg cos θ, con verso contrario a quello della forza peso. Quindi, data la velocità v, che si vuole costante, e il raggio r, la forza F da applicare alla massa m, deve essere tale che: la componente normale (verso il centro valga Fn(θ) = mv2 / r – mg sen θ e la componente tangenziale valga Ft(θ) = mg sen θ.


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Forza viscosa IIl moto di una massa può essere influenzato da vari fattori: presenza del vento e/o movimenti turbolenti dell’atmosfera, l’attrito (forza di resistenza opposta al moto), dalla forza di galleggiamento di Archimede, ecc.L’ATTRITO: la forza di resistenza di un corpo che si muove in fluido èdeterminata sperimentalmente ed è stato trovato che: 1) dipende dalle proprietà“elastiche” del fluido, ovvero dalla capacità di resistere a sforzi di taglio, che viene espressa attraverso un parametro chiamato viscosità. Il passaggio di un corpo rigido nel fluido provoca questi sforzi nel fluido e la risposta è la forza diattrito che agisce sul corpo immerso. 2) dipende dalla forma del corpo che èimmerso nel fluido. 3) dipende dalla grandezza della velocità relativa (o del suoquadrato per moti molto veloci). 4)la direzione della forza è nella direzione della velocità relativa, e il suo verso è l’opposto di quella della velocità.


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Forza viscosa IITutto ciò si esprime con una legge di forza che (in prima approssimazione) si scrive nella forma:

F = - k v

con k costante dimensionale [M][T]-1, che esprime la forza per unità di velocità. Il valore di k dipende dall’oggetto, dalla sue dimensioni e forma, e dal fluido in cui èimmerso. Pur essendo quindi questa una legge valida per tutti i sistemi costituiti da oggetti e fluidi immersi in essi, non è generale nel suo senso più ampio, lacostante k non è “universale”: abbiamo una legge fenomenologica. Le equazioni del moto per un corpo che cade sotto l’azione della gravità ma in presenza di attrito viscoso sono:


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Forza viscosa IIILe equazioni del moto lungo i due assi possono essere riscritte come segue

Le cui soluzioni sono

La velocità ora dipende dalla massa del corpo e dal valore di k. Per grandi valori di k/m ( piccola massa e grande forza d’attrito), l’esponenziale tende a zero anche per tempi piccoli, così poco dopo che è iniziato il moto, la velocità in orizzontale tende ad annullarsi, mentre la velocità in verticale vz diventa una costante, detta “velocità limite”.


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Forza viscosa IVLe leggi orarie e la relativa traiettoria sono

Ora la massa è un parametro fondamentale e le soluzioni dipendono fortemente del valore della massa. I corpi non cadono più tutti con la stessa legge oraria.


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Forza viscosa V

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−=L

Lcm vv

vttαsin

ln0

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==

αα

ααsin1

1lnsin

sinsin)(00

0

000max

L

L

L

Lcm

vvv

v

vvv

vtvztzz

0

0

sin

2sin2

)(

vv

tvtxxL

cmm

+==

α

α

Dalle leggi orarie e dalle espressioni delle velocità possiamo ricavare alcune informazioni importanti: il tempo necessario per l’inversione del moto (tm), il tempo di caduta (tf), la quota massima raggiunta (z(tm)) e la gittata (z(tf)) . Infatti richiedendo che sia nulla la componente z della velocità, introducendo la velocità limite vL= mg / k ed il tempo caratteristico tc = m / k, otteniamo:

Il tempo, ovviamente deve essere positivo, quindi il logaritmo deve essere negativo. Notiamo infatti che l’argomento del logaritmo è una quantità positiva e minore di uno! La massima quota raggiunta (in corrispondenza del tempo necessario per l’inversione del moto) è

01sinsin

00

0

00

=−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

vvtv

zt

vvv

geL

c

fL

tt

c

f

αα

Il tempo di caduta tf soddisfa un’equazione non risolvibile analiticamente. Tuttavia esiste sicuramente un valore di tf che risolve l’equazione!!! E’ possibile quindi calcolare anche la gittata …

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−==

−c

f

tt

cfG etvtxx 1cos)( 0 α


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Attrito radente IE’ una forza che si sviluppa tra due superfici di corpi solidi a contatto, e agisce come resistenza allo scivolamento di una superficie rispetto all’altra. Le leggi di attrito radente sono empiriche, varie teorie microscopiche sono state proposte, ma una teoria comprensiva, che vada bene per tutte le superfici dalle metalliche / vetrose (più lisce) alle più rugose e con asperità (superfici di una faglia, per es.) èancora da trovare. Ma per tutti si verifica che 1) la forza di attrito tende a impedire il movimento di due corpi pressati l’uno sull’altro, tra cui agisce quindi una forza perpendicolare alla superficie di contatto; 2) si oppone al movimento e la direzione della forza è sempre parallela alle superfici di contatto; 3) èproporzionale alla forza normale N alla superficie. Sul corpo in movimento nei casi indicati sotto, come esempi, questa forza è la forza di reazione N da parte del corpo su cui giace il corpo in movimento giace.


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Attrito radente IIIl coefficiente di proporzionalità tra la forza di attrito Fa e la forza normale Nagente sul corpo è chiamato coefficiente di attrito f (adimensionale), èindipendente dalla area delle superficie di contatto e dipende solo dalla natura fisico chimica delle aree a contatto. In modulo si ha: Fa = f N. Si distinguono due situazioni. Caso statico - a cui corrisponde un coefficiente di attrito statico: fs. Il corpo non inizia a muoversi fino a che la forza applicata in direzione del moto non uguaglia il valore della forza di attrito statico.


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Attrito radente IIICaso dinamico: superato l’angolo θ a cui vi è equilibrio, il corpo incomincia a scivolare e accelera verso il basso: aumentando l’angolo, infatti, la forza normale diminuisce (e quindi la forza di attrito) e aumenta la componente della forza peso in direzione parallela al piano. Si trova sperimentalmente che l’equilibrio ”dinamico”, tra la forza di attrito dinamica e la componente della forza peso, ovvero le condizioni per cui la massa m si muova a velocità costante (accelerazione nulla), si ottengono solo abbassando di nuovo il piano inclinato a valori di angoli θ < θs.


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Forza elastica ITutti i corpi solidi sono costituiti da atomi o molecole che occupano posizioni più o meno fisse, e la cui mutua distanza è regolata da forze elettriche e molecolari. Quando queste distanze non sono modificabili a livello macroscopico, i corpi vengono detti rigidi. Le distanze tra due punti qualsiasi del corpo rimangono sempre le stesse, e il corpo si muove come un tutto unico. Esso può traslare o al più ruotare attorno a qualche suo asse, ma la distribuzione di massa nel volume originario rimane sempre la stessa. In effetti quasi tutti i corpi solidi possono essere deformati e reagiscono alla deformazione in modo più o meno visibile, cercando di tornare alla posizione d’equilibrio microscopico determinato dalla forze che agiscono a livello microscopico (comportamento elastico). La tensione lungo una fune di cui si èparlato negli esempi precedenti è l’espressione della capacità di risposta elastica all’allungamento. Empiricamente l’allungamento (e la contrazione) sono regolati dallalegge di Hooke, per cui la forza di resistenza alla variazione di lunghezza èdirettamente proporzionale alla variazione di lunghezza stessa.


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Forza elastica IILe molle elicoidali (avvolgimento a elica) sono sistemi in cui la geometria dell’avvolgimento è particolarmente adatto a mettere in evidenza questo effetto, poiché sia l’allungamento che la contrazione sono amplificati appunto dalla geometria. k = costante elastica della molla. Le

dimensioni sono [F][L]-1. Il valore della costante elastica viene determinata, per esempio, appendendo in verticale alla molla una massa nota: misurando (dopo che sono finite le oscillazioni), la distanza x tra la posizione di riposo della molla e la nuova posizione di equilibrio e tenendo conto che la forza esercitata dalla molla espansa è in modulo uguale alla forza peso esercitata sullaMassa. Quindi abbiamo k = mg / x. La linearità tra forza esercitata e spostamento dalla posizione di riposo generalmente vale solo per variazioni non troppo grandi rispetto la posizione di riposo. Per allungamenti troppo grandi (variabili da molla a molla), si può avere deformazione permanente, o comportamento plastico, duttile e/o rottura.


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Forza elastica IIISe un corpo di massa m viene attaccato alla molla in orizzontale e non vi è attrito tra la massa m e il piano orizzontale e la molla viene allungata, il moto successivo della massa m è di oscillazione attorno alla posizione di riposo della molla, in linea di principio continuo …Le equazioni del moto, posizione x(t) occupata dalla massa m in funzione del tempo, si ricavano risolvendo l’equazione differenziale che deriva dalla applicazione della II legge di Newton alla massa (il moto della molla non viene considerato, ipotizzando che la sua massa sia trascurabile rispetto a a quello della massa m su cui essa agisce). In verticale sulla massa m la forza peso viene equilibrata dalla reazione normale del piano, in orizzontale l’unica forza agente(attrito nullo per ipotesi) è F = - k x.

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