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2.2 Le Forze e i Principi della Dinamica

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IL CONCETTO DI FORZA

Abbiamo chiaro il concetto di forza dall'esperienza : colpire una palla, tirare una fune, ... sono esempi in cui il concetto di forza è legato al

risultato dell'attività muscolare. Un treno, un'auto e un aereo si muovono invece sotto la spinta di una

forza esercitata dalla combustione di vari carburanti.Le forze possono avere diversi effetti:

- possono produrre effetti dinamici, cioè mettere in moto, fermare o deviare un corpo

- possono produrre effetti statici, cioè mantenere in posizione di equilibrio vari corpi appoggiati o incernierati.

- possono deformare i corpi, se questi sono vincolati, cioè non possono muoversi liberamente

Non sempre le forze si manifestano attraverso un contatto fra corpi, (corpi che cadono per effetto della forza di gravità, oppure pensiamo a pezzi di ferro attratti da una calamita). In questi casi, in cui non vi è

contatto, si parla di forze a distanza.

Una forza è un agente esterno in grado di Una forza è un agente esterno in grado di modificare lo stato di moto o di quiete di un modificare lo stato di moto o di quiete di un

corpocorpo

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PRIMO PRINCIPIO DELLA DINAMICA (o prima legge di Newton)

Qualsiasi corpo sta fermo o si muove di moto rettilineo ed uniforme se su di esso non agiscono forze, oppure se le forze che agiscono hanno risultante nulla.

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A B C D

A, B, C e D si muovono di moto rettilineo e uniforme con la stessa velocità

Ad un certo istante di tempo sui quattro corpi inizia ad agire la stessa forza, F. Lo stato di moto dei corpi sarà modificato in maniera differente (nel caso in cui l’azione di F muta il moto rettilinei ed uniforme in un moto uniformemente accelerato, le quattro accelerazioni saranno diverse l’una dall’altra). PERCHE’?PERCHE’?

LA MASSA INERZIALE

Se tentiamo di cambiare lo stato di moto o di quiete di un corpo, il corpo cerca di resistere a questo mutamento. Si chiama inerzia la proprietà della materia di resistere alle forze. La massa è la grandezza fisica che ci consente di quantificare l'inerzia di un corpo. La massa non va confusa con il peso (che, come vedremo, è una forza); essa è una proprietà intrinseca di ogni corpo ed è indipendente da tutto ciò che lo circonda.

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Massa: unità di misuraMassa: unità di misura

Unità di misura: [SI] kg

[CGS] g

Fattore di ragguaglio1 kg = 1000 g

1050 _

1040 _

1030 _

1020 _

1010 _

1 _

10-10 _

Universo

Terra ≈ 5,98 1024 kg

kg

masse nell’universo

10-20 _

10-30 _Elettrone ≈ 9,11 10-31 kg

Protone ≈ 1,67 10-27 kg

Uomo ≈ 70 kg

Mol. di DNA ≈10-17 kg

Sole ≈ 1,98 1030 kg

Via Lattea ≈ 2,32 1041

kg

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Quantità di motoQuantità di moto

Grandezza vettoriale che esprime il prodotto della massa di un corpo (grandezza scalare) per la sua velocità (grandezza vettoriale)

In un intervallo di tempo t, la variazione della quantità di moto è data da:

Considerando sistemi a massa costante (m=0):

P

p è un vettore che ha stessa direzione e verso di v e modulo pari al modulo di v moltiplicato per m

v

m

vmp

vmvmp

vmvmp

x

amF

Definizione operativa di ForzaDefinizione operativa di Forza

Una forza F applicata ad un corpo di massa m è proporzionale alla variazione della quantità di moto, Δp, divisa per il tempo Δ t

tv

limmtp

limF0t0t

Ricordando che: atv

lim0t

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Primo Principio della dinamica (principio di inerzia)Primo Principio della dinamica (principio di inerzia)

1.1. Se Fris=0 a=0

Un corpo non soggetto a forze esterne permane nello stato di quiete o di moto rettilineo uniforme

Il primo principio non è banalmente un caso particolare del secondo: il primo definisce l'ambito in cui deve considerarsi valido

il secondo, ovvero nei sistemi inerziali, in cui operano esclusivamente forze reali (azione o interazione tra due corpi). I

principi, in questa formulazione e senza l'ausilio di trasformazioni, non valgono nei sistemi accelerati (non inerziali) come i sistemi

rotanti, perché in questi entrano in gioco forze apparenti (ad es. la forza centrifuga).

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Secondo Principio della dinamicaSecondo Principio della dinamica

Unità di misura:Unità di misura:[SI] newton (N) = m.kg.s-

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[CGS] dina = cm.g.s-2

Fattore di ragguaglioFattore di ragguaglio 1 N = 1 kg.m.s-2 =(103g)(102 cm) s-2= 105

dine

DimensioniDimensioni [F] =[L][M][T-2]

2.2.

Fx=m ax

Fy=m ay

Fz=m az1 equazione vettoriale

3 equazioni scalari

amFRIS

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Terzo Principio della dinamica (principio di azione e Terzo Principio della dinamica (principio di azione e reazione)reazione)

Enunciato: quando un corpo A esercita una forza su un corpo B,

anche B esercita una forza su A; le due forze hanno stesso

modulo(intensità), stessa direzione, ma versi opposti.

3.3. FAB= - FBA

A BFAB FBA

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Esempio:Un corpo di massa m è soggetto alle forze F1, F2 e

F3 come in figura. Sapendo che F1=F2=2N, calcolare l’angolo e l’intensità della forza F3 affinchè il corpo sia in quiete.

m

F1

F2F3

12

mgr

MmGF

2

M m

Forza gravitazionaleForza gravitazionale

2

12

2411

2ms82,9

10628,401098,5

10673,6rM

Gg

G = 6,673 x 10-11 Nm2kg-2 (m3kg-1s-2)

Costante di gravitazione universale

Reazioni Reazioni vincolarivincolari

y

xmg

R

mmg+R=m

a=0R=mg

Vincolo ≡ qualunque causa capace di limitare il moto

Reazione vincolare normale: reazione offerta al corpo dal vincolo. E’ sempre normale al vincolo indipendentemente dalla geometria del vincolo

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2) Su un blocco di ferro di massa m=30 kg appoggiato su una superficie liscia e priva di attrito, agisce la forza F (vedi figura sottostante). Se il

blocco si muove con accelerazione costante a=10 m/s2, si calcoli l’angolo che la forza F forma con l’orizzontale sapendo che la reazione vincolare normale offerta dal piano è pari a R=500 N.

piano lisciom

F

2.34ma

mgRarctg

68.0ma

mgRtg

tgmaNmgcosma

F

cosFmamaF:y

cosFmamaF:x

yy

xx

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Forza di attrito

Si oppone al moto ed è proporzionale al modulo della reazione vincolare normale:

Fa=R. = coefficiente di attrito

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R

mgx

y

mF+mg+R+Fa=ma

L’intensità delle reazioni vincolari è definita dalle forze cui

si oppongono.

FFa

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F’a=(mg-Fsina)Fa=(mg+Fsina)

Quesito: Un bambino puo scegliere tra spingere oppure tirare una slitta a velocità costante, come illustrato. Se l’angolo è lo stesso in entrambi i casi, è necessaria una

forza minore per spingere oppure per tirare?

a aF F

Forza d’attritoForza d’attrito

Si oppongono al moto e sono proporzionali alle reazioni vincolari: Fa=R.

= coefficiente di attrito

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Apparecchio di trazione per il trattamento di una Apparecchio di trazione per il trattamento di una lesione a carico di un piede lesione a carico di un piede

All’equilibrio la risultante delle forze deve essere uguale a zero:

F+T1+T2=0

Proiettiamo il II principio della Dinamica in un riferimento

cartesiano che abbia un asse parallelo alla direzione lungo la

quale si esercita la forza muscolare

F=T1cosφ+T2cosφ=2Tcosφ

Ma se il filo è inestensibile:T=MgM=F/

(2gcosφ)

F

T1

T2

M

φ

φ

Obiettivo: Determinare il valore della massa M in modo che bilanci esattamente la forza muscolare F

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Soluzione:

. .

Mg

RMa

Fa

Esempio: Viaggiando alla velocità di 58 km/h il guidatore di un’automobile blocca repentinamente le ruote premendo a fondo il pedale dei freni. La forza di attrito dinamico fra gli pneumatici e la strada è 0,72Mg. Di quanto slitta l’automobile prima di arrestarsi? Si trascurino gli effetti della resistenza dell’aria.

.0,72gM

0,72MgaMaFa

m.,,,

,2a

vs2asvv

2i2

i2f 418

8972026358

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Esempio: La massa m=2 kg di un pendolo viene lasciata andare dalla posizione A, quando il filo è tenuto in posizione orizzontale. Se il filo ha lunghezza L=50 cm, qual’è la tensione del filo quando la massa raggiunge il punto più basso B, se la velocità della massa in quel punto è di 3,13 m/s? (Si consideri il filo inestensibile e di massa trascurabile)

m

B

A

SoluzioneLe forze in gioco sono la forza di gravità e la forza di tensione del filo:

mg

N8,58mg32mgmgL

vmmgTmamgT

2

Bc

mg

T

agT mm

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Esempio: La massa m di un pendolo viene tenuta in equilibrio nella posizione A da una forza che forma un angolo di 30° con l’orizzontale di modulo F=10 N. Quanto vale la massa ? Quanto vale in questa posizione la tensione del filo (TA)? E quanto valgono la tensione del filo e il modulo della forza tiene quando la massa è in equilibrio nella posizione B in cui il filo forma un angolo di 45° con la verticale? (Si consideri il filo inestensibile e di massa trascurabile)Dal II Principio della dinamica:

Proiettando sugli assi del sistema di riferimento introdotto (vedi figura, caso A) si ha:

amF

X: Fcos(30°)-TA=0

Y: Fsin(30°)-mg=0

X: TA= Fcos(30°)=8.5 N

Y: m=Fsin(30°)/g=0.5 kgX: Fcos(30°)-TBcos(45°)=0

Y: Fsin(30°)+TBsin(45°)-mg=0

X: TB= Fcos(30°)/cos(45°)

Y: TB =(mg-Fsin(30°))/sin(45°)

m

B

A

mg

mg

T mB

mg

F

F30°

30°x

x

y

y45°

Analogamente nel caso B si ha:

Fcos(30°)/cos(45°)=(mg-Fsin(30°))/sin(45°)

Fcos(30°)/cos(45°)+Fsin(30°)/cos(45°)=mg/sin(45°)

F=(mgcos(45°)/sin(45°))/(cos30°+sin(30°))=mg/(cos30°+sin(30°))=3.6 N

TB=Fcos(30°)/cos(45°)=2.2 N

Da cui si ha:

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Esempio: Un blocco di massa M è trascinato per 2 m lungo un piano inclinato di 30° rispetto all’orizzontale da una forza orizzontale di modulo F = 150 N. Se il modulo della reazione vincolare normale offerta dal piano vale R=80 N calcolare: (a) il modulo della forza di attrito e la massa del corpo (b) affinchè quest’ultimo si muova con velocità costante pari a v=1 m/s. Ci sono dati ridondanti? Se sì, quali?

X: -FA-mgsin(30°)+Fcos(30°)=max=0

Y: R-mgcos(30°)-Fsin(30°)=may=0

X: FA=Fcos(30°)-mgsin(30°)=127.5 N (a)

Y: m= (R-Fsin(30°))/g=0.5 kg (b)

da cui:

lo spostamento e Il modulo della velocità sono dati ridondanti

F

P

Fa

R

30°

x

y

Dal II Principio della dinamica:

Proiettando sugli assi del sistema di riferimento introdotto (vedi figura) si ha:

amF

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Esempio:Esempio: Un pescatore sta pescando da un ponte usando una lenza provata a 44,5 N. (In altre parole, la lenza è capace di resistere a una forza massima, Tmax, di 44,5 N senza rompersi.) Quanto pesa il pesce piu pesante che puo essere tirato su verticalmente, a) quando la lenza viene avvolta sul mulinello a velocità costante? b) quando alla lenza viene impressa un’accelerazione verticale di 2,0 m/s2? Soluzione:

ma

mg

T

b)

37N9,83,77gm

3,77kg44,5/11,8ag/Tm

TagmamTgm

amgmT

max

maxmax

maxmaxmaxmaxmax

maxmaxmax

N,g mTg m maxmaxmax 5440 a)