Fis2 0k1 01 Gauss

Flusso Elettrico

Legge di Gauss: Motivazione & Definizione

Legge di Coulomb come conseguenza della legge di Gauss

Cariche sui Conduttori

Legge di Gauss

La legge di Gauss mette in relazione i campi suuna superficie gaussiana (superficie chiusa diforma arbitraria) con le cariche racchiusedalla superficie stessa.

Fisica II CdL Chimica

Flusso di un campo vettoriale


Per una superficie chiusa

Esempio: flusso attraverso la superficie chiusa di fig. (e)

Il flusso attraverso una superficie chiusa di un campo uniforme, in assenza di sorgenti o pozzi, nullo.

Flusso del campo elettrico


Flusso elettrico

Il flusso elettrico attraverso una superficie gaussiana proporzionale al numero di linee di campo elettrico passanti attraverso la superficie


Teorema di Gauss

Relazione generale tra il flusso elettrico totale attraverso una superficie chiusa e la carica elettrica contenuta allinternodi questa superficie.

mette in relazione E e q. E molto utile nei casi in cui vi alta simmetria (spaziale).

Matematicamente il vero problema svolgere lintegrale !!!


Flusso attraverso superfici chiuse (esempi)


Leggi fondamentali dellElettrostatica

Legge di Coulomb

Forza tra cariche puntiformi


OVVERO

Legge di Gauss

Relazione tra Campi Elettrici e cariche

Legge di Gauss

Legge di Gauss ( una LEGGE FONDAMENTALE):

Il flusso elettrico netto attraverso una qualunquesuperficie chiusa (gaussiana) proporzionale allacarica racchiusa da tale superficie.

Come usare questa equazione ? molto utile nel trovare E quando la situazionefisica presenta elevati gradi di SIMMETRIA.


La legge di Gauss mette inrelazione il flusso netto diun campo elettrico attraversouna superficie chiusa(gaussiana) con la carica nettaqint che racchiusa allinternodella superficie.

Legge di Gauss

S1: e0F1=+qS2: e0F2=-qS3,S4: e0F3= e0F4 = 0


ER

Simmetria il campo E di unacarica puntiforme radiale esfericamente simmetrico

Disegnamo una sfera di raggio Rcentrata sulla carica.

+Q

Perch ?E normale in ogni punto sulla superficie

E identico in ogni punto sulla superficiepossiamo portare E fuori dellintegrale!

Pertanto, !

legge di Gauss

libert di scelta della superficie, purch sia Gaussiana


Derivazione legge di Coulomb da legge di Gauss

Linea infinita di densit di carica

Simmetria campo E deveessere ^ alla linea e dipendere solo dalla distanzar dalla linea (E radiale)

SCEGLIAMO come superficieGaussiana un cilindro diraggio r e lunghezza hallineato con lasse x.

Applichiamo la legge di Gauss e sia la densit uniforme di carica:

Agli estremi,

esup. laterale,

(E radiale)


+ + + + ++ + + +x

y

+ + + + + + + + + + +

Er

h

Er

+ + + + + ++ + +

Lamina isolante infinita e caricaSimmetria:

direzione di E = asse x

SCEGLIAMO come superficie Gaussiana un cilindro il cui asse sia

allineato con quello x.

Risultato: una lamina infinita carica crea un campo elettrico COSTANTE .

la carica racchiusa = s A

Eguagliando alla carica racchiusa

Applicare Legge Gauss:

sup. laterale,

agli estremi,


x

+s

A

E E

Teoremi degli strati sferici

Per simmetria, il campo elettrico deve dipendere solo

da r ed essere diretto radialmente ovunque.

Applichiamo la legge di Gauss a S1 e S2

Il campo elettrico interno ad uno strato sferico uniformemente carico nullo.

Il campo elettrico esterno ad uno strato sferico uniformemente carico lo stesso di quello prodotto da un oggetto puntiforme con la stessa carica concentrata al centro dello strato.


Prova dei teoremi degli strati sferici

Campo interno: Applichiamo Gauss a S1 , si ha

Campo esterno: Applichiamo Gauss a S2 , si ha


Distribuzioni di carica a simmetria sferica

Sfera uniformemente carica

allesterno della sfera: (r>a)

Si ha simmetria sferica rispetto al centro della sfera dicarica q

Pertanto, scegliamo una superficie Gaussiana = sfera cava di raggio r

Qual lintensit del campo elettricodovuto ad una sfera solida di raggio a condensit di carica uniforme r (C/m3) ?

ar

r

Legge Gauss


Sfera uniformemente carica

Esterno sfera: (r>a)

Interno sfera: (r

Conduttori & Isolanti

Consideriamo come la carica trasportata su oggetti macroscopici.

Assumiamo per semplicit che esistano solo due tipi di oggetti:

Isolanti ... In questi materiali, una volta carichi, le cariche NON POSSONO MUOVERSI. Plastica, vetro, e altri cattiviconduttori di elettricit sono esempi di isolanti.

Conduttori ... In questi materiali, le cariche SONO LIBERE DI MUOVERSI. I metalli sono esempi di conduttori.

Esempio di moto delle cariche in un conduttore

Sfera conduttiva cava

una volta caricata allinterno, tutta la carica si muove allesterno.


Cariche su un conduttore

Abbiamo appena visto che le cariche si muovono semprealla superficie di un conduttore. Perch ? la legge di Gauss ci da la risposta ! allequilibrio (elettrostatico) E=0 allinterno di un

conduttore ! Infatti se fosse E 0, allora le cariche dovrebberoessere soggette a delle forze e quindi dovrebberomuoversi ! (situazione di non-equilibrio, contraddizione)

Pertanto secondo la legge di Gauss, la carica su unconduttore deve necessariamente risiedere solosulla superficie !


Una carica puntiforme di -5.0mC posta a una distanza R/2 dal centro diun guscio metallico di raggio R. Se il guscio elettricamente neutro, qualisono le cariche (indotte) sulla superficie interna e esterna ?Le cariche sono uniformemente distribuite ?Qual lo schema dl campo allinterno e allesterno del guscio ?

Esercizio


EsercizioConsideriamo una superficie gaussiana sferica nel gusciometallicoE=0 allinterno del metallo S=0Legge di Gauss Qnetta=0Ci deve essere una carica +5.0 mC su parete interna guscio

Poich la carica puntiforme in posizione asimmetrica, la distribuzione di carica asimmetrica.Guscio neutro parete esterna con -5.0 mCDistribuzione negativa uniforme (guscio sferico)linee di forza perpendicolari e asimmetriche (interno) simmetriche (esterno)


Il flusso nullo attraverso la parete laterale o la parte terminale internaIl flusso totale attraverso la superficie Gaussiana coincide con quello attraverso la parte terminale esterna.

Comunque, in generale,il campo elettrico varia lungo la superficie del conduttore, perch cambia la densit di carica superficiale, a meno che il conduttore non sia sferico.

Assumendo che la densit di carica (carica per unit di area) sia , avremo, secondo la legge di Gauss

Campo elettrico vicino un conduttore carico


Scegliamo una superficie cilindrica Gaussiana con una superficiecircolare interamente allinterno del conduttore.

Il campo elettrico deve essere perpendicolare alla superficie (nessuna forza, n corrente !).

Due piatti conduttori

Cosa accade se i due piatti sono portati uno accanto allaltro ?

Quando i piatti sono isolati (casi (a) e (b), il campo elettrico vicino un conduttore carico

dato da:

tenuto conto di: propriet dei conduttori

sovrapposizione

-


Due piatti conduttori

La carica in eccesso su un piatto attrae la carica in eccesso sullaltro piatto.

La densit di carica superficialesi annulla sulle facce esterne ma si raddoppia su quelle interne.

Lintensit del campo elettrico il doppio di quella nel caso del piatto isolato ed nulla altrove.

Il caso (c) non una sovrapposizione dei casi (a) e (b), poich le cariche elettriche vengono redistribuite su entrambi i piatti quando essi vengono accostati.


La legge di Gauss SEMPRE VALIDA !!

Legge di Gauss: guida per i problemi

Che cosa si pu fare con questa relazione ?Se vi una simmetria (a) sferica, (b) cilindrica, o (c) planare e, INOLTRE:Nota la carica (lato destro), si pu calcolare il campo elettrico (lato sinistro)

Noto il campo (lato sinistro, generalmente perch E=0 dentro il conduttore), si pu calcolare la carica (lato destro).


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