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Capıtulo 5: Integracao Numerica



Sumario

Quadratura de Gauss-LegendreFormula para dois pontosFormula geralMudanca de intervaloPolinomios de LegendreFormula de Gauss-LegendreInterpretacao grafica da quadraturaAlgoritmo para calculo das abscissas e pesosAlgoritmo para calculo da integralErro da integracao de Gauss-Legendre


Quadraturas de Gauss

Intervalo Integral Quadratura

[a, b]

∫ b

af(x) dx Gauss-Legendre

[a, b]

∫ b

a

1√(b− x)(x− a)

f(x) dx Gauss-Tchebychevde primeira especie

[a, b]

∫ b

a

√(b− x)(x− a)f(x) dx Gauss-Tchebychev

de segunda especie

[a, b]

∫ b

a[(b− x)(x− a)]µ−

12 f(x) dx, µ > −

1

2, µ 6= 0 Gauss-Gegenbauer

[a, b]

∫ b

a(b− x)α(x− a)βf(x) dx, α, β > −1 Gauss-Jacobi

[a,∞)

∫ ∞a

e−xf(x) dx Gauss-Laguerre

[0,∞)

∫ ∞0

xαe−xf(x) dx, α > −1 Gauss-Laguerregeneralizada

(−∞,∞)

∫ ∞−∞

e−α2x2f(x) dx Gauss-Hermite


Gauss-Legendre

Quadratura de Gauss-Legendre

I Nas formulas de Newton-Cotes, as abscissas sao escolhidas de modoserem igualmente espacadas.

I Simplifica os calculos.

I Se as abscissas nao tiverem esta imposicao de espacamento constante,entao podem ser obtidas formulas que fornecam uma maior exatidao.

I Usando o mesmo numero de pontos.


Gauss-Legendre

Formula para dois pontos


I Integracao de uma funcao f(x) pela regra do trapezio baseada em umpolinomio interpolador de grau 1 passando pelos pontos A e B.

I Os pontos C e D da curva podem ser escolhidos de tal maneira que aarea do trapezio seja a mais proxima possıvel da area sob a curva.

−1 −0,75 −0,5 −0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Abscissas da fórmula de Newton−Cotes com polinômio de grau 1

x

y

A

B

a b

−1 −0,75 −0,5 −0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Abscissas da quadratura de Gauss−Legendre com 2 pontos

t

y

C[t1,f(t

1)]

D[t2,f(t

2)]

t1

t2

+ +

a b

(a) Newton-Cotes. (b) Gauss-Legendre.


Gauss-Legendre


I Considere a funcao y = f(t), tal que os pontos C e D tenhamcoordenadas C[t1, f(t1)] e D[t2, f(t2)].

I A integral de f(t) e aproximada por∫ 1

−1f(t) dt ≈ I2 = ω1f(t1) + ω2f(t2). (1)

I Expressao analoga a regra do trapezio,∫ b

af(x) dx ≈ h

2f(a) +

h

2f(b).

I Trapezio fornece resultado exato se f(x) for um polinomio de grau 1.

I Parametros t1, t2, ω1 e ω2 escolhidos de modo que I2 seja igual aovalor exato da integral quando f(t) for um polinomio de grau ate 3.

I Regra do 1/3 de Simpson consegue essa exatidao avaliando tres pontosda funcao em vez dos dois pontos de I2: f(t1) e f(t2).


Gauss-Legendre


I Sejam quatro polinomios Fk(t) de grau k, na forma

Fk(t) = tk, k = 0, 1, 2, 3.

I Impondo que a expressao (1) seja igual a integral analıtica de Fk(t),

ω1Fk(t1) + ω2Fk(t2) =

∫ 1

−1Fk(t) dt,

I para k = 0: F0(t) = 1∫ 1

−11 dt = 1− (−1) = 2 ω11 + ω21 = 2,

I para k = 1: F1(t) = t∫ 1

−1t dt =

t2

2

∣∣∣∣1−1

=1

2− 1

2= 0 ω1t1 + ω2t2 = 0,


Gauss-Legendre


ω1Fk(t1) + ω2Fk(t2) =

∫ 1

−1Fk(t) dt,

I para k = 2: F2(t) = t2∫ 1

−1t2 dt =

t3

3

∣∣∣∣1−1

=1

3−(−1

3

)=

2

3 ω1t

21 + ω2t

22 =

2

3e

I para k = 3: F3(t) = t3∫ 1

−1t3 dt =

t4

4

∣∣∣∣1−1

=1

4− 1

4= 0 ω1t

31 + ω2t

32 = 0.


Gauss-Legendre


I Expressoes constituem um sistema de equacoes nao lineares de ordem 4

ω1 + ω2 = 2,

ω1t1 + ω2t2 = 0,

ω1t21 + ω2t

22 =

2

3e

ω1t31 + ω2t

32 = 0.

I Solucao fornece os valores dos parametros

t1 = −√3

3≈ −0,57735, t2 =

√3

3≈ 0,57735, ω1 = 1 e ω2 = 1.

I Se a funcao integrando for um polinomio de grau ate tres, entao I2,dado por (1) com t1, t2, ω1 e ω2 iguais aos valores acima, fornecera ovalor exato da integral.


Gauss-Legendre


Exemplo: f(t) e um polinomio de grau 3

Exemplo

Calcular

∫ 1

−14t3 + 3t2 + t+ 1 dt.

I2 = ω1f(t1) + ω2f(t2),

I2 = 1

4(−√33

)3+ 3

(−√3

3

)2−√3

3+ 1

+ 1

4(√33

)3+ 3

(√3

3

)2+

√3

3+ 1

,I2 = 4.

A integral analıtica e∫ 1

−14t3 + 3t2 + t+ 1 dt =

[t4 + t3 +

1

2t2 + t

]∣∣∣∣1−1

= 4.


Gauss-Legendre

Formula geral

Formula geral

I Exemplo 1 mostrou que a formula de dois pontos fornece resultado exatoda integral se a funcao a ser integrada for um polinomio de grau ate tres.

I Problema: determinar os valores das n abscissas ti e dos n pesos ωi,para utiliza-los na formula

In = ω1f(t1) + ω2f(t2) + . . .+ ωnf(tn). (2)

I Ela deve ser exata para integracao de polinomios de grau menor ou iguala 2n− 1.

I Ter-se-a 2n equacoes construıdas a partir de 2n polinomios e 2nincognitas ti, ωi, i = 1, 2, 3, . . . , n.


Gauss-Legendre

Formula geral

I Fazendo Fk(t) = tk, k = 0, 1, . . . , 2n− 1.

I Sabendo que

∫ 1

−1tk dt =

0, se k for ımpar,

2k+1 , se k for par.

I Impondo que (2) seja exata para a integracao de Fk(t).

I Sistema de equacoes nao lineares de ordem 2n

ω1 + ω2 + ω3 + . . .+ ωn = 2,ω1t1 + ω2t2 + ω3t3 + . . .+ ωntn = 0,

ω1t21 + ω2t

22 + ω3t

23 + . . .+ ωnt

2n =

2

3,

· · ·ω1t

2n−11 + ω2t

2n−12 + ω3t

2n−13 + . . .+ ωnt

2n−1n = 0.

I Solucao fornece as n abscissas ti e os n pesos ωi desejados.


Gauss-Legendre

Formula geral

Abscissas ti e pesos ωi para a quadratura de Gauss-Legendre

n i ti ωi

1 1 0 2

2 2; 1 ±0,57735 02692 1

3 2 0 0,88888 88889

3; 1 ±0,77459 66692 0,55555 55556

4 3; 2 ±0,33998 10436 0,65214 51549

4; 1 ±0,86113 63116 0,34785 48451

5 3 0 0,56888 88889

4; 2 ±0,53846 93101 0,47862 86705

5, 1 ±0,90617 98459 0,23692 68851

n i ti ωi

6 4; 3 ±0,23861 91861 0,46791 39346

5; 2 ±0,66120 93865 0,36076 15730

6; 1 ±0,93246 95142 0,17132 44924

7 4 0 0,41795 91837

5; 3 ±0,40584 51514 0,38183 00505

6; 2 ±0,74153 11856 0,27970 53915

7; 1 ±0,94910 79123 0,12948 49662

8 5; 4 ±0,18343 46425 0,36268 37834

6; 3 ±0,52553 24099 0,31370 66459

7; 2 ±0,79666 64774 0,22238 10345

8; 1 ±0,96028 98565 0,10122 85363


Gauss-Legendre

Formula geral

Exemplo: formula de n = 3 pontos

Exemplo

Calcular

∫ 1

−1(t5 + t2 − 1) dt, usando a formula de tres pontos.

I Dispositivo pratico:i ti f(ti) ωi

1 −0,77460 −0,67886 0,555562 0 −1,00000 0,888893 0,77460 −0,12113 0,55556

.

I Por (2): I3 =3∑i=1

ωif(ti) = −1,33333.

I Analiticamente:∫ 1

−1(t5 + t2 − 1) dt =

[1

6t6 +

1

3t3 − t

]∣∣∣∣1−1

= −4

3≈ −1,33333.


Gauss-Legendre

Mudanca de intervalo


I Usualmente, deseja-se calcular uma integral sobre um intervalo [a, b].I Expressao (2) permite calcular∫ 1

−1f(t) dt ≈

n∑i=1

ωif(ti).

I E restrita ao intevalo [−1, 1].I Fazendo mudanca de variavel de t ∈ [−1, 1] para x ∈ [a, b] por meio de

x = a+b− a2

(t+ 1)⇐⇒ t =2x− a− bb− a

, (3)

I tem-se que∫ 1

−1f(t) dt =

∫ b

af(x(t))

2

b− adx, sendo dt =

2

b− adx.


Gauss-Legendre


Formula de Gauss-Legendre

I Assim, ∫ b

af(x) dx =

b− a2

∫ 1

−1f(t) dt.

I Quadratura de Gauss-Legendre calcula a integral por

In =b− a2

n∑i=1

ωif(xi), xi = a+b− a2

(ti + 1). (4)


Gauss-Legendre


Exemplo: intervalo [a, b]

Exemplo

Calcular

∫ 1

−2x3 + 1 dx, usando (4) com n = 2 pontos.

I Fazendo mudanca de variavel,

xi = a+b− a2

(ti + 1) = −2 + 1 + 2

2(ti + 1) xi =

3

2ti −

1

2.

x1 =3

2

(−√3

3

)− 1

2 x1 = −

√3 + 1

2e

x2 =3

2

(√3

3

)− 1

2 x2 =

√3− 1

2.


Gauss-Legendre


I Valores da funcao f(x) = x3 + 1

f(x1) =

(−√3 + 1

2

)3+ 1 f(x1) = −

3√3 + 1

4,

f(x2) =

(√3− 1

2

)3+ 1 f(x2) =

3√3− 1

4.

I Por (4): I2 =b− a2

2∑i=1

ωif(xi),

I2 =1 + 2

2

(1×−3

√3 + 1

4+ 1× 3

√3− 1

4

) I2 = −

3

4.

I Integral exata: ∫ 1

−2x3 + 1 dx =

(1

4x4 + x

)∣∣∣∣1−2

= −3

4.


Gauss-Legendre


Exemplo

Calcular

∫ π

0(ex + sen(x) + 2) dx, usando (4), com n = 2 pontos.

I Fazendo mudanca de variavel

xi = a+b− a2

(ti + 1) = 0 +π − 0

2(ti + 1) xi =

π

2(ti + 1).

I Dispositivo pratico (para n = 2)

i ti xi f(xi) ωi

1 −0,57735 0,66390 4,55855 12 0,57735 2,47770 14,53002 1

.

I2 =b− a2

(ω1f(x1) + ω2f(x2)) =π

2(1× 4,55855 + 1× 14, 53002)

I2 = 29,98426.


Gauss-Legendre


I Valor exato da integral∫ π

0(ex + sen(x) + 2) dx = 2π + eπ + 1 ≈ 30, 42388.

I Erro cometido pela quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos

|30,42388− 29,98426| = 0,43962.

I E mais exato que aquele obtido pela regra do trapezio com m = 6subintervalos, equivalente a 7 pontos

|30,4239− 30,8816| = 0,4577.


Gauss-Legendre


Exemplo

Verificar que π = 4

∫ 1

0

1

1 + x2dx usando (4) com n = 4 pontos.

I Mudanca de intervalo:

xi = a+b− a2

(ti + 1) = 0 +1− 0

2(ti + 1) xi =

1

2(ti + 1).

I Dispositivo pratico (para n = 4)

i ti xi f(xi) ωi

1 −0,86114 0,06943 0,99520 0,347852 −0,33998 0,33001 0,90179 0,652153 0,33998 0,66999 0,69019 0,652154 0,86114 0,93057 0,53592 0,34785

.

I Por (4) com n = 4,

I4 =b− a2

4∑i=1

ωif(xi)→ I4 = 0,78540 4× I4 = 3,14160 ≈ π.


Gauss-Legendre

Polinomios de Legendre


I Forma fechada do polinomio de Legendre

Pn(x) =1

2n

bn/2c∑i=0

(−1)i [2(n− i)]!i! (n− i)! (n− 2i)!

xn−2i,

I onde bn/2c significa truncar a parte fracionaria de n/2.

I Polinomios podem ser obtidos pela formula de recorrencia

nPn(x) = (2n− 1)xPn−1(x)− (n− 1)Pn−2(x), n ≥ 2, (5)

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3x2−1

2,

P3(x) =5x3−3x

2, P4(x) =

35x4−30x2+3

8, P5(x) =

63x5−70x3+15x

8.

I Segundo Szego, a derivada P ′n(x) do polinomio de Legendre de grau n e

P ′n(x) =n[Pn−1(x)− xPn(x)]

1− x2. (6)


Gauss-Legendre



I Forma fechada do polinomio de Legendre

Pn(x) =1

2n

bn/2c∑i=0

(−1)i [2(n− i)]!i! (n− i)! (n− 2i)!

xn−2i,

I onde bn/2c significa truncar a parte fracionaria de n/2.I Polinomios podem ser obtidos pela formula de recorrencia

nPn(x) = (2n− 1)xPn−1(x)− (n− 1)Pn−2(x), n ≥ 2, (5)

P0(x) = 1, P1(x) = x, P2(x) =3x2−1

2,

P3(x) =5x3−3x

2, P4(x) =

35x4−30x2+3

8, P5(x) =

63x5−70x3+15x

8.

I Segundo Szego, a derivada P ′n(x) do polinomio de Legendre de grau n e

P ′n(x) =n[Pn−1(x)− xPn(x)]

1− x2. (6)


Gauss-Legendre


Propriedades basicas dos polinomio de Legendre

I a) Os polinomios sao ortogonais a outros polinomios∫ 1

−1Pn(x)Qk(x) dx = 0, n > k, (7)

sendo Qk(x) um polinomio qualquer de grau k < n.I Integral (7) denominada produto escalar das funcoes Pn(x) e Qk(x).I Duas funcoes sao ditas ortogonais se seu produto escalar for nulo,

portanto, Pn(x) e Qk(x) sao ortogonais.I b) Os polinomios sao ortogonais entre si∫ 1

−1Pn(x)Pk(x) dx = 0, se n 6= k,

I c) Se os polinomios forem iguais, entao∫ 1

−1[Pn(x)]

2 dx =2

2n+ 1.


Gauss-Legendre


I d) Pn(1) = 1 e Pn(−1) = (−1)n, n = 0, 1, 2, . . .

I e) O polinomio Pn(x) de grau n ≥ 1 possui n zeros reais, distintos,pertencentes ao intervalo (−1, 1) e simetricos em relacao a origem.

−1 −0,75 −0,5 −0,25 0 0,25 0,5 0,75 1

−1

−0,8

−0,6

−0,4

−0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

P5(x)

P4(x)

P3(x)

P2(x)

P1(x)

P0(x)

Polinômios de Legendre

x

Pn(x

)


Gauss-Legendre


Exemplo

Verificar a ortogonalidade entre os polinomios P4(x) e Q3(x) = x3.

P4(x)Q3(x) =35x4 − 30x2 + 3

8× x3 = 35x7 − 30x5 + 3x3

8.

Integral∫ 1

−1

35x7 − 30x5 + 3x3

8dx =

(35

64x8 − 5

8x6 +

3

32x4)∣∣∣∣1−1

= 0.


Gauss-Legendre


Exemplo

Verificar a ortogonalidade entre os polinomios P2(x) e P3(x) de Legendre.

P2(x)P3(x) =3x2 − 1

2× 5x3 − 3x

2=

1

4

(15x5 − 14x3 + 3x

) ∫ 1

−1P2(x)P3(x)dx =

1

4

(15

6x6 − 7

2x4 +

3

2x2)∣∣∣∣1−1

= 0.


Gauss-Legendre



I Sejam os n polinomios Fn+k(t) de grau n+ k

Fn+k(t) = tkPn(t), k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

onde Pn(t) e um polinomio de Legendre de grau n.

I Desde que Fn+k(t) e de grau menor ou igual a 2n− 1, entao (2) e exata,

n∑i=1

ωiFn+k(ti) =

∫ 1

−1Fn+k(t) dt, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1,

n∑i=1

ωitki Pn(ti) =

∫ 1

−1tkPn(t) dt, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.


Gauss-Legendre


n∑i=1

ωitki Pn(ti) =

∫ 1

−1tkPn(t) dt, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

I Devido a ortogonalidade dos polinomios de Legendre com qualquerpolinomio de grau menor, mostrado em (7), tem-se que∫ 1

−1tkPn(t) dt = 0, para k < n.

I Portanto,n∑i=1

ωitki Pn(ti) = 0, k = 0, 1, 2, . . . , n− 1.

I Essa expressao sera verdadeira para qualquer valor de ωi sePn(ti) = 0 ∀ i.

I Para obter uma maior exatidao na formula de quadratura (4) esuficiente que ti, i = 1, 2, . . . , n sejam os zeros do polinomio deLegendre de grau n.


Gauss-Legendre


Calculo dos pesos

I Conhecidas as abscissas ti o sistema nao linear se reduz a um sistemalinear de ordem n,

1 1 1 . . . 1t1 t2 t3 . . . tnt21 t22 t23 . . . t2n...

......

. . ....

tn−11 tn−12 tn−13 . . . tn−1n

ω1

ω2

ω3...ωn

=

2023....

.I Solucao fornece os pesos ωi, i = 1, 2, . . . , n.

I Os pesos ωi podem ser obtidos, conforme Krylov

ωi =2

(1− t2i )[P ′n(ti)]2, i = 1, 2, . . . , n , (8)

onde P ′n(ti) e a derivada de Pn(x) na abscissa ti dada por (6).


Gauss-Legendre


Calculo dos pesos

I Conhecidas as abscissas ti o sistema nao linear se reduz a um sistemalinear de ordem n,

1 1 1 . . . 1t1 t2 t3 . . . tnt21 t22 t23 . . . t2n...

......

. . ....

tn−11 tn−12 tn−13 . . . tn−1n

ω1

ω2

ω3...ωn

=

2023....

.I Solucao fornece os pesos ωi, i = 1, 2, . . . , n.I Os pesos ωi podem ser obtidos, conforme Krylov

ωi =2

(1− t2i )[P ′n(ti)]2, i = 1, 2, . . . , n , (8)

onde P ′n(ti) e a derivada de Pn(x) na abscissa ti dada por (6).


Gauss-Legendre


Quadratura de Gauss-Legendre

In =b− a2

n∑i=1

ωif(xi), xi = a+b− a2

(ti + 1),

ti = i-esimo zero de Pn(x), ωi =2

(1− t2i )[P ′n(ti)]2.

(9)


Gauss-Legendre

Interpretacao grafica da quadratura

Interpretacao grafica da quadratura de Gauss-Legendre

I Formulas de Newton-Cotes consistem em aproximar a funcao integrandof(x) por um polinomio de Gregory-Newton de grau n que passa pelosn+ 1 pontos (xi, f(xi)), i = 0, 1, 2, . . . , n.

I Integrar esse polinomio sobre o intervalo [a, b].

I As abscissas sao igualmente espacadas, sendo x0 = a e xn = b.

I A quadratura de Gauss-Legendre funciona de modo similar: a funcaof(x) e aproximada por um polinomio pn−1(x) de grau n− 1, construıdoa partir dos n pontos (xi, f(xi)), i = 1, 2, 3, . . . , n.

I Integra-se esse polinomio sobre o intervalo [a, b].

I As n abscissas xi sao obtidas a partir dos n zeros do polinomio deLegendre Pn(x) de grau n.

I Se f(x) for um polinomio de grau ate 2n− 1, entao a integracaonumerica sera exata.


Gauss-Legendre


Para dois pontos

Exemplo

Seja

∫ 1

−2(x3 + 1) dx. O polinomio de Legendre de grau 2 e P2(t) =

32 t

2 − 12 ,

cujos zeros sao

t =0±

√02 − 43

2−12

3→{t1 = −

√3/3,

t2 =√3/3.

As abscissas x1 e x2 e os valores da funcao foram calculados no Exemplo 3,

x1 = −√3 + 1

2, x2 =

√3− 1

2, f(x1) = −

3√3 + 1

4e f(x2) =

3√3− 1

4.


Gauss-Legendre


Polinomio de grau 1 que passa pelos pontos de coordenadas (x1, f(x1)) e(x2, f(x2)):

p1(x) = f(x1)x− x2x1 − x2

+ f(x2)x− x1x2 − x1

,

= −3√3 + 1

4

(x−

√3−12

−√3+12 −

√3−12

)+

3√3− 1

4

(x+

√3+12√

3−12 +

√3+12

),

=3√3 + 1

8√3

(2x−√3 + 1) +

3√3− 1

8√3

(2x+√3 + 1),

p1(x) =3x+ 1

2.


Gauss-Legendre


Integrando o polinomio interpolador,∫ b

ap1(x) dx =

∫ 1

−2

3x+ 1

2dx =

(3

4x2 +

1

2x

)∣∣∣∣1−2

= −3

4.

I Resultado igual ao obtido pela formula I2 de Gauss-Legendre doExemplo 3.

I E exato porque a funcao integrando f(x) = x3 + 1 e um polinomio degrau 3.

A formula de Gauss-Legendre com 2 pontos e equivalente a construir opolinomio p1(x) de grau 1, a partir dos dois zeros do polinomio de Legendrede grau 2 e integrar p1(x), analiticamente.


Gauss-Legendre


Compensacao das areas

A soma das areas entre o polinomio p1(x) = (3x+ 1)/2 construıdo a partirdos zeros do polinomio de Legendre de grau 2 e a funcao f(x) = x3 + 1 enula.

Exemplo

Seja g(x) a diferenca entre a funcao f(x) = x3 + 1 e o polinomiop1(x) = (3x+ 1)/2 do Exemplo 8,

g(x) = f(x)− p1(x) = x3 + 1− 3x+ 1

2 g(x) = x3 − 3

2x+

1

2.


Gauss-Legendre


Valores das areas

S1=

∫ x1

ag(x) dx=

∫ −√3+12

−2g(x) dx=

[1

4x4 − 3

4x2 +

1

2x

]∣∣∣∣−√

3+12

−2=−6

√3+9

16,

S2=

∫ x2

x1

g(x) dx=

∫ √3−12

−√3+12

g(x) dx=

[1

4x4 − 3

4x2 +

1

2x

]∣∣∣∣√

3−12

−√3+12

=3√3

4,

S3=

∫ b

x2

g(x) dx=

∫ 1

√3−12

g(x) dx=

[1

4x4 − 3

4x2 +

1

2x

]∣∣∣∣1√3−12

=−6√3− 9

16.

Soma das tres areas

S1 + S2 + S3 = −6√3 + 9

16+

3√3

4− 6√3− 9

16= 0.


Gauss-Legendre


I Existe uma compensacao exata das areas entre o polinomio de grau 1obtido a partir dos zeros do polinomio de Legendre de grau 2 e a funcaopolinomial de grau 3.

I Esse fato explica, graficamente, porque a integracao do Exemplo 3 foiexata.

−2 −1,5 −1 −0,5 0 0,5 1

−7

−6

−5

−4

−3

−2

−1

0

1

2

x

y

Gauss−Legendre com 2 pontos

S1

S2

S3

x1

x2a b

f(x) = x3 + 1p

1(x) = 3/2 x + 1/2


Gauss-Legendre


Para tres pontos

A quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos e equivalente a construir opolinomio p2(x) de grau 2, a partir dos tres zeros do polinomio de Legendrede grau 3 e integrar p2(x), analiticamente.

Exemplo

Seja

∫ 11

1

42

xdx. O polinomio de Legendre de grau 3 e

P3(x) = (5x3 − 3x)/2 = (52x2 − 3

2)x.

Como ele passa pela origem o zero central t2 = 0 e os outros dois zeros sao

t =0±

√02 − 45

2−32

5→{t1 = −

√15/5,

t3 =√15/5.


Gauss-Legendre


Valores de xi

xi = a+b− a2

(ti + 1) = 5ti + 6 x1 = 6−√15, x2 = 6 e x3 = 6+

√15.

Valores de f(x) = 42/x

f(x1) =42

6−√15, f(x2) = 7 e f(x3) =

42

6 +√15.

Polinomio p2(x) que passa pelos pontos (xi, f(xi), i = 1, 2, 3)

p2(x) =1

3x2 − 6x+ 31.

Integral do polinomio interpolador∫ 11

1p2(x) dx =

(1

9x3 − 3x2 + 31x

)∣∣∣∣111

=5

9176 ≈ 97,77778.


Gauss-Legendre


Dispositivo pratico com n = 3 pontos

i ti xi f(xi) ωi

1 −√15/5 6−

√15 42/(6−

√15) 5/9

2 0 6 7 8/9

3√15/5 6 +

√15 42/(6 +

√15) 5/9

,

Por (9),

I3 =b− a2

3∑i=1

ωif(xi),

11− 1

2× 1

9

(42

6−√15× 5 + 7× 8 +

42

6 +√15× 5

),

I3 =5

9176 ≈ 97,77778.


Gauss-Legendre


I A quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos consiste em obter opolinomio p2(x) de grau 2, a partir dos tres zeros do polinomio deLegendre de grau 3.

I Integrar, analiticamente, o polinomio p2(x) sobre o intervalo [a, b].

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

0

5

10

15

20

25

30

35

40

x

y

Gauss−Legendre com n = 3 pontos

x1

x2

x3

a b

f(x) = 42 / x

p2(x) = 1/3 x2 − 6 x + 31


Gauss-Legendre


Observacao

Integracao por Gauss-Legendre

I3 =5

9176 ≈ 97,77778.

Se f(x) nao for um polinomio de grau ate 5, entao I3 nao sera exata,∫ 11

1

42

xdx = 42 loge(11) ≈ 100,71160.


Gauss-Legendre

Algoritmo para calculo das abscissas e pesos

Algoritmo Gauss–Legendre–AbsPes{ Objetivo: Calcular abscissas e pesos para a quadratura de Gauss-Legendre }parametro de entrada n { numero de pontos (n ≥ 1) }parametros de saıda T , W , Info { abscissas (T(1): menor zero e T(n): maior zero), }{ pesos e informacao sobre consistencia e convergencia, sendo Info = −1 : n < 1 , }{ Info = 0 : n ≥ 1 e todos os zeros convergiram e Info = k: k zeros nao convergiram }se n < 1 entao, Info ← −1 ; abandone; fim se

Info ← 0 ; Toler ← 10−15 ; IterMax ← 30 ; m ← trunca((n + 1)/2)

fracn ← 1 − (1 − 1/n)/(8 ∗ n2 ); pin ← 3,141592653589793/(n + 0,5){ os zeros sao simetricos, calcula-se apenas os nao negativos }para i ← 1 ate m faca

Iter ← 0 ; z ← fracn ∗ cos((i − 0,25) ∗ pin) { valor inicial }{ calculo do i-esimo zero do polinomio de Legendre via Newton-Raphson }repita{ avaliacao do polinomio de Legendre e sua derivada no ponto z }Iter ← Iter + 1 ; p1 ← 1 ; Pz ← zpara k ← 2 ate n faca

p0 ← p1 ; p1 ← Pz; Pz ← ((2 ∗ k − 1) ∗ z ∗ p1 − (k − 1) ∗ p0)/kfim paraDPz ← n ∗ (p1 − z ∗ Pz)/(1 − z2 ); z1 ← z; z ← z1 − Pz/DPzse abs(z − z1) ≤ Toler ou Iter = IterMax entao, interrompa; fim se

fim repita{ verificacao da convergencia do i-esimo zero }se abs(z − z1) ≤ Toler entao

T(i)← −z; T(n+1−i)← z { Abscissas }W (i)← 2/((1 − z2 ) ∗ DPz2 ); W (n+1−i)← W (i) { Pesos }

senaoT(i)← 0 ; T(n+1−i)← 0 ; W (i)← 0 ; W (n+1−i)← 0 ; Info ← Info + 1

fim sefim para { o zero central do polinomio de Legendre de grau ımpar e nulo }se resto(n, 2) 6= 0 entao, T(m)← 0 ; fim se

fim algoritmo


Gauss-Legendre

Algoritmo para calculo das abscissas e pesos

Exemplo: calculo das abscissas e pesos

Exemplo

Calcular as abscissas e os pesos de Gauss-Legendre com n = 5 pelo algoritmoda Figura 43. Exibir apenas as abscissas nao negativas e os respectivos pesos.

Quadratura de Gauss-Legendre com 5 pontos

abscissas: 0.0000000000 0.5384693101 0.9061798459

pesos : 0.5688888889 0.4786286705 0.2369268851

Info = 0


Gauss-Legendre

Algoritmo para calculo da integral

Algoritmo Gauss–Legendre{ Objetivo: Integrar uma funcao pela quadratura de Gauss-Legendre }parametros de entrada a, b, n{ limite inferior, limite superior de integracao e numero de pontos (n ≥ 1) }

parametros de saıda Integral , Info { valor da integral e informacao sobre }{ consistencia e convergencia, sendo Info = −1 : n < 1 , Info = 0 : sem erro e }{ Info = k: k zeros nao convergiram }{ calculo das abscissas e pesos }[T ,W , Info]← Gauss–Legendre–AbsPes(n) (ver Figura 43)se Info 6= 0 entao, abandone; fim se { n < 1 ou zeros nao convergiram }{ calculo da integral }Integral ← 0 ; Info ← 0 ; ba2 ← (b − a)/2para i ← 1 ate n faca

x ← a+ ba2 ∗ (T (i) + 1)y ← f(x) { avaliar a funcao integrando em x }Integral ← Integral + y ∗W (i)

fim paraIntegral ← ba2 ∗ Integral

fim algoritmo


Gauss-Legendre


Complexidade do algoritmo da quadratura de Gauss-Legendre

Operacoes Complexidade

adicoes 3n+ 1

multiplicacoes 2n+ 1

divisoes 1


Gauss-Legendre


Exemplo: uso do algoritmo

Exemplo

Calcular

∫ π

0sen(x) dx pelo algoritmo da Figura 45 com n = 6.

Integrac~ao numerica via Gauss-Legendre com 6 pontos

i t(i) x(i) f(x(i)) W(i)

1 -0.93247 0.10608 0.10588 0.17132

2 -0.66121 0.53217 0.50741 0.36076

3 -0.23862 1.19597 0.93057 0.46791

4 0.23862 1.94562 0.93057 0.46791

5 0.66121 2.60942 0.50741 0.36076

6 0.93247 3.03552 0.10588 0.17132

Integral = 1.9999999995

Info = 0


Gauss-Legendre

Erro da integracao de Gauss-Legendre

Erro da integracao da formula de Gauss-Legendre

I A quadratura de Gauss-Legendre calcula∫ 1

−1f(t) dt =

n∑i=1

ωif(ti) + En,

I En e o erro da integracao, para t ∈ [−1, 1],

En =22n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3f (2n)(ξ), −1 < ξ < 1.

I Considerando (3), a derivada

f ′(t) =d

dxfdx

dt= f ′(x)

(b− a2

)→ f (2n)(t) =

(b− a)2n

22nf (2n)(x).

(10)


Gauss-Legendre


I Sendo ∫ b

af(x) dx =

b− a2

∫ 1

−1f(t) dt,

I erro da integracao da quadratura de Gauss-Legendre, para x ∈ [a, b],

En =b− a2En =

b− a2

22n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3(b− a)2n

22nf (2n)(θ), a < θ < b,

En =(b− a)2n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3f (2n)(θ), a < θ < b . (11)

I Se f(x) for um polinomio de grau ate 2n− 1, entao sua derivadaf (2n)(x) = 0→ En = 0.

I Integracao por (9) sera exata.


Gauss-Legendre


Exemplo: erro real

Exemplo

Verificar que o erro da integracao de∫ 2

−1(7x6 − x5 − 5x2 + x− 10) dx = 75,

usando a quadratura de Gauss-Legendre com 3 pontos e igual ao erro real.

I Pelo algoritmo da Figura 43,Integrac~ao numerica via Gauss-Legendre com 3 pontos


1 -0.77460 -0.66190 -12.13676 0.55556

2 0.00000 0.50000 -10.67188 0.88889

3 0.77460 1.66190 112.65076 0.55556

Integral = 69.53250

Info = 0


Gauss-Legendre


I Sendo f(x) = 7x6 − x5 − 5x2 + x− 10, sua derivada fvi(x) = 5040.

I Por (11),

En =(b− a)2n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3f (2n)(θ),

E3 =37(3!)4

7(6!)35040 E3 =

37

202≈ 5,46750.

I Diferenca entre o valor exato da integral e o obtido pela quadratura deGauss-Legendre com 3 pontos

75− 69,53250 = 5,46750.

I Mesmo valor de E3.


Gauss-Legendre


Existe um θ no intervalo (a, b)

Exemplo

Seja

∫ 2

0

√x dx =

4

3

√2. Calcular a integral pela quadratura de

Gauss-Legendre com 2 pontos e determinar o valor de θ do erro deintegracao (11).

I Mudanca de intervalo:

xi = a+b− a2

(ti + 1) = 0 +2− 0

2(ti + 1) xi = ti + 1.

I Dispositivo pratico:

i ti xi f(xi) ωi

1 −√3/3 1−

√3/3

√1−√3/3 1

2√3/3 1 +

√3/3

√1 +√3/3 1

.


Gauss-Legendre


I Por (9) com n = 2,

I2 =b− a2

2∑i=1

ωif(xi) I2 =

√1−√3/3 +

√1 +√3/3.

I Determinacao de θ:

f(x) =√x→ f iv(x) = −15/(16(

√x)7).

I Por (11),

En =(b− a)2n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3f (2n)(θ),

E2 =(2− 0)524

5(24)3−15

16(√θ)7)

E2 = −1

144(√θ)7

.


Gauss-Legendre


I Erro da integracao: diferenca entre o valor exato e o valor calculadopela formula de integracao,

E2 = −1

144(√θ)7

=4

3

√2−

(√1−√3/3 +

√1 +√3/3

),

(√θ)7 =

[144

(√1−√3/3 +

√1+√3/3− 4

3

√2

)]−1

θ ≈ 0,73476 ∈ (0, 2).

I Existe um θ ∈ (a, b) tal que (11) fornece o valor exato do erro daintegracao.


Gauss-Legendre


Cota maxima do erro da integracao

I Exemplo 13: valor de fvi(θ) e conhecido e nao depende de x, pois econstante em (−1, 2).

I Entao E3 e igual ao erro real cometido pela quadratura.I Exemplo 14: existe um valor de θ ∈ (a, b) tal que (11) fornece o erro

real da integracao.I Se a derivada f (2n)(x) for uma funcao de x pode ser impraticavel

determinar θ, sem se conhecer o valor analıtico da integral.

I Nesse caso, θ = xmax e tomada como a abscissa no intervalo deintegracao [a, b], na qual a derivada de f(x) apresenta o maior valor emmodulo.

I Cota maxima do erro da integracao da quadratura de Gauss-Legendre

|En|max =(b− a)2n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3maxa≤x≤b

|f (2n)(x)| . (12)


Gauss-Legendre


Cota maxima do erro da integracao

I Exemplo 13: valor de fvi(θ) e conhecido e nao depende de x, pois econstante em (−1, 2).

I Entao E3 e igual ao erro real cometido pela quadratura.I Exemplo 14: existe um valor de θ ∈ (a, b) tal que (11) fornece o erro

real da integracao.I Se a derivada f (2n)(x) for uma funcao de x pode ser impraticavel

determinar θ, sem se conhecer o valor analıtico da integral.I Nesse caso, θ = xmax e tomada como a abscissa no intervalo de

integracao [a, b], na qual a derivada de f(x) apresenta o maior valor emmodulo.

I Cota maxima do erro da integracao da quadratura de Gauss-Legendre

|En|max =(b− a)2n+1(n!)4

(2n+ 1)[(2n)!]3maxa≤x≤b

|f (2n)(x)| . (12)


Gauss-Legendre


Calculo da cota maxima do erro da integracao

Exemplo

Calcular∫ π

0

(x4

4+ x2 + sen(x)

)dx =

1

20π5 +

1

3π3 + 2 ≈ 27,63641,

usando a quadratura de Gauss-Legendre com 2 pontos e a respectiva cotamaxima do erro da integracao.

I Calculo da integral: pelo algoritmo da Figura 45,Integrac~ao numerica via Gauss-Legendre com 2 pontos


1 -0.57735 0.66390 1.10552 1.00000

2 0.57735 2.47770 16.17693 1.00000

Integral = 27.14720

Info = 0


Gauss-Legendre


Algoritmos Numericos 3a edicao

Secao 5.3: Quadratura de Gauss-Legendre

Fim

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