FORMULE DIGAUSS-GREEN

NEL PIANO.CAMPI

VETTORIALI

Argomenti della lezioneArgomenti della lezione

Formule di Gauss-Formule di Gauss-Green nel pianoGreen nel piano

Campi vettoriali Campi vettoriali (forme differenziali) (forme differenziali)

FORMULE DIFORMULE DIGAUSS-GREENGAUSS-GREEN

NEL PIANONEL PIANO

Un teorema di topologia piana Un teorema di topologia piana fortemente intuitivo, ma difficile dafortemente intuitivo, ma difficile dadimostrare, è il famoso teorema didimostrare, è il famoso teorema diJordan (Marie Ennemond Camille)Jordan (Marie Ennemond Camille)(1887):(1887):

Se Se (t)(t) è una curva continua è una curva continua semplice semplice chiusa in chiusa in RR22, il suo sostegno divide, il suo sostegno divideil piano in due aperti: uno il piano in due aperti: uno limitatolimitato,,detto dei detto dei punti interni alla curvapunti interni alla curva; ; l’altro illimitato dei l’altro illimitato dei punti esternipunti esterni

La prima dimostrazione rigorosa delLa prima dimostrazione rigorosa delteorema si deve al matematicoteorema si deve al matematicoamericano Oswald Veblen (1905)americano Oswald Veblen (1905)

puntipunti interniinterni

puntipunti esterniesterni

Un aperto connesso che ha comeUn aperto connesso che ha comefrontiera una curva generalmentefrontiera una curva generalmenteregolare, semplice, chiusa si diceregolare, semplice, chiusa si dicesemplicemente connessosemplicemente connesso..

Se la frontiera del dominio aperto è Se la frontiera del dominio aperto è costituita da più curve generalmente costituita da più curve generalmente regolari semplici e chiuse i sostegniregolari semplici e chiuse i sostegnidelle quali sono contenuti nei puntidelle quali sono contenuti nei puntiinterni di un’unica curva e che hannointerni di un’unica curva e che hannole chiusure dei punti interni a due a le chiusure dei punti interni a due a due disgiunte, diremo che il dominiodue disgiunte, diremo che il dominioè è molteplicemente connessomolteplicemente connesso

Una situazione tipica è la seguenteUna situazione tipica è la seguente

00

11

22

33

ttnn

Evidentemente la frontiera del Evidentemente la frontiera del dominio dominio AA è trascurabile e quindi il è trascurabile e quindi il dominio è misurabile secondo PJ. dominio è misurabile secondo PJ. Infatti la frontiera è l’unione di un Infatti la frontiera è l’unione di un numero finito di grafici di funzioni numero finito di grafici di funzioni continue. Un tale dominio si diràcontinue. Un tale dominio si diràun un dominio regolaredominio regolare. Una curva . Una curva chiusa generalmente regolare ha chiusa generalmente regolare ha un’orientazione intrinseca: siano un’orientazione intrinseca: siano ttil versore tangente e il versore tangente e nn un versore un versore normale. normale.

Diremo che l’orientazione della curvaDiremo che l’orientazione della curva è positiva se, essendo la coppia è positiva se, essendo la coppia t nt ncongruentecongruente ai versori degli assi ( ai versori degli assi (ii e e jj o oee11 ed ed ee22), la normale ), la normale nn punta verso punta verso l’l’internointerno di di ..

Tale orientazione si dice ancheTale orientazione si dice ancheantiorariaantioraria. Se il bordo di . Se il bordo di AA è dato da è dato dapiù curve chiuse, l’orientazione più curve chiuse, l’orientazione positiva della curva positiva della curva esternaesterna è è antiorariaantioraria mentre quella delle curve mentre quella delle curveinterneinterne è è orariaoraria

Teorema(Formule di Gauss-Green

o di Green-Riemann)

Sia Sia AA un dominio regolare, di frontiera un dominio regolare, di frontiera

∂∂A =A = = = 00 + + 11 + .. + + .. + kk positivamente positivamente

orientata e siano orientata e siano X(x,y)X(x,y) e e Y(x,y)Y(x,y)

continue su A ∂A insieme

con le loro derivate Xy(x,y) e Yy(x,y).

Allora si haAllora si ha

X(x,y)dxdy Xdx Xdx

i

i0

k

A

A

y

Y (x,y)dxdy Ydy Ydy

i

i0

k

A

A

x

(Yx Xy)dxdy (Xdx Ydy)

A

A

Dimostreremo la formula in un casosemplificato, nel quale A è un dominio normale rispetto all’asse x

Sia dunque

A = {(x,y) : a ≤ x ≤ b, h(x) ≤ y ≤ k(x)}

con h(x) e k(x) di classe C1([a,b])

Allora

Xy(x,y)dxdy dx Xydy

h(x )

k (x)

a

b

A

X(x,k(x)) X(x,h(x)) dx a

b

XdxA

Si è tenuto conto che dx è nullo lungo i lati verticali

A

h(x)

k(x)

a b

In modo analogo si dimostra la seconda formula; la terza è la sommadelle due precedenti e una simmetrizzazione delle stesse.

Osserviamo che quanto abbiamo dimostrato è il primo passo per unadimostrazione completa del teoremacome l’abbiamo enunciato.Tuttavia i metodi per giungere a unadimostrazione rigorosa della formulatravalicano le nostre possibilità e gliscopi di questo corso

È interessante l’applicazione dellaformula precedente al calcolo di areepiane.

Sia unauna curva piana generalmenteregolare semplice chiusa che formail bordo del dominio A. Poiché la costante 1 è la derivata rispetto a xdi x o rispetto a y di y

m(A) dxdy xdy ydx

A

A

A

12

(xdy ydx)A

La formula è particolarmente utilequando si conoscono le equazioniparametriche di = +∂A = +∂A..

Esempi

1) Si calcoli l’area dell’ellisse di semiassi a e b

L’equazione parametrica dell’ellisse è x= a cos t, y = b sen t0 ≤ t ≤ 2π

m(A) dxdy xdy ab cos2 t dt

0

2

A

A

= πab

2) Si calcoli l’area racchiusa dal cappio del “folium Cartesii”, d’equazioni

x t(t 1)

y t(t 1)(2t 1) t R

Il cappio si ottiene prendendo0 ≤ t ≤ 1

Si vuole calcolare

x(t) y (t)dt (6t 4 12t 3 7t 2 t)dt 1

300

1

0

1

00-0.1-0.2-0.3-0.4-0.50

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2

-0.3

0 210-1-20

1

0.5

0

-0.5

-1

Il “foglio di Cartesio”

CAMPI VETTORIALI

(FORMEDIFFERENZIALI)

Supponiamo che ad ogni punto diSupponiamo che ad ogni punto diun aperto un aperto AA contenuto in contenuto in RR33 ( (RR22) sia) siaassegnato un vettore assegnato un vettore FF di di RR33 ( (RR22).).Diremo che in A è assegnato un Diremo che in A è assegnato un campo vettoriale: campo vettoriale: F = (FF = (F11,F,F22,F,F33))TT

Se invece, in ogni punto di Se invece, in ogni punto di AA è è assegnato il valore di una funzioneassegnato il valore di una funzionef(x,y,z)f(x,y,z) diremo che abbiamo a che diremo che abbiamo a chefare con un campo scalarefare con un campo scalare

Nella Nella FisicaFisica abbondano gli esempi abbondano gli esempidi di campi vettorialicampi vettoriali (campo di velocità (campo di velocitàin un fluido, campo elettrico o in un fluido, campo elettrico o magnetico o campo gravitazionalemagnetico o campo gravitazionalenel piano o nello spazio) e di nel piano o nello spazio) e di campicampiscalariscalari (pressione, densità o (pressione, densità o temperatura in un fluido o in un temperatura in un fluido o in un corpo piano o solido)corpo piano o solido)

In In MatematicaMatematica si preferisce parlare si preferisce parlareinvece di invece di forme differenziali lineariforme differenziali lineariin in RR22 o in o in RR33 o semplicemente di o semplicemente di funzioni (funzioni (forme di gradoforme di grado 00))

Useremo il linguaggio della Fisica,Useremo il linguaggio della Fisica,formalmente più semplice.formalmente più semplice.

Dato il campo vettorialeDato il campo vettoriale F F in in RR3 3

sappiamo che cosa significasappiamo che cosa significa

F ,

ds F ((t )), (t)

0

1

dt

che, nel caso che, nel caso FF sia una forza, dà il sia una forza, dà illavoro di lavoro di FF per lo spostamento per lo spostamento lungo lungo ..

Un campo vettoriale Un campo vettoriale FF su su AA si dice si dice conservativoconservativo se esiste una funzione se esiste una funzioneU(x,y,z)U(x,y,z) definita sull’aperto definita sull’aperto AA, tale , tale cheche

F = grad U = F = grad U = U U

La funzione La funzione U(x,y,z)U(x,y,z) si dice un si dice un potenzialepotenziale di di FF. Si noti che se . Si noti che se U(x,y,z)U(x,y,z) è un potenziale, anche è un potenziale, ancheU(x,y,z) + costante U(x,y,z) + costante è un potenzialeè un potenziale

TeoremaSia F un campo conservativo

continuo su un

aperto aperto A A R Rm m e e : [a,b] : [a,b] RRm m unauna

curva regolare con curva regolare con (I) (I) AA, allora, allora

per ogni x, y A l’integrale di linea

F , ds U(y) - U(x)

Infatti

F ,

ds F1 x

1(t) F

2 x 2(t) F

3 x 3(t)

0

1

dt

dipende solo da x e y

Ux

1(x

1(t), x

2, x

3) x

1(t) Ux

2 x 2(t)

Ux3 x

3(t)

0

1

dt

d

dt0

1

U(x1(t), x

2(t), x

3(t) dt U((1)) U((0))

= U(y) - U(x), come si doveva dimostrare

TeoremaSia F un campo vettoriale

continuo su un aperto

connesso connesso A A R Rm m . Allora . Allora FF è è

conservativo se e solo se, per ogniconservativo se e solo se, per ogni

per ogni x, y A e per ogni 11 e e 22

congiungenti congiungenti x x concon y y è è

F , ds F , ds2

1

Se Se FF è conservativo, per il teorema è conservativo, per il teoremaprecedente la proprietà vale.precedente la proprietà vale.

Mostriamo che vale il viceversa;Mostriamo che vale il viceversa;per semplicità ci ambientiamo in per semplicità ci ambientiamo in RR22

Se Se xx00 è un punto arbitrario di è un punto arbitrario di AA, , definiamodefiniamo

U(x

1, x

2) F ,

ds

essendo essendo un qualsiasi cammino un qualsiasi cammino congiungente congiungente xx00 con con xx..

Se Se x’ = (xx’ = (x11+h, x+h, x22))TT e e è il segmento è il segmentocongiungente congiungente xx con con x’x’, si ha, si ha

U(x1 h, x

2) U(x

1, x

2)

h

F , ds

h

1h

F1

0

1

(x1 th, x

2)hdt F

1(x

1 h, x2)

con con 0 0 ≤ ≤ 1 1. Per la continuità del. Per la continuità delcampo, se campo, se h h 0 0

Ux

1

F1(x

1, x

2)

Analogamente si valuta la derivataAnalogamente si valuta la derivatarispetto a rispetto a xx22

Si trova poi cheSi trova poi che

CorollarioSia F un campo vettoriale

continuo su un aperto

connesso connesso A A R Rm m . Allora . Allora FF è è

conservativo se e solo se, per ogniconservativo se e solo se, per ogni

curva gen. regolare chiusa è

F , ds

Se F è un campo vettoriale di classeC1(A) diremo rotore di F, rot F = F Fil seguente vettoreil seguente vettore

rot F

e1

e2

e3

x

1

x

2

x

3

F1

F2

F3

e

1(F3

x2

F2

x3

) e2(F1

x3

F3

x1

) e3(F2

x1

F1

x2

)

Un campo vettoriale F di classe C1(A) si dice irrotazionale se rot F = 0

È banale osservare che ogni campoconservativo di classe C1(A) è irrotazionale

Se A è connesso e semplicementeconnesso, si può dimostrare che lacondizione di irrotazionalità è anche sufficiente.