LEZIONE 3 11 3 2020

Metodo di eliminazione di Gauss Jordan

Rango di una matrice

Teorema di Garner

Teorema di Rondò capelli

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ESEMPIO

La motrice non è a scala perché il pivotdella prima riga si trova a destra rispetto al

pivot della seconda riga

Passo 2 La prima donna non nulla è la numero a

Passo 2 la seconda riga ho un elemento non nullasulla prima donna

iii L1

Devo cancellare l'elemento non nullo nella terza riga

DI

Passo si cerco la prima colonna non nulle

j 01 Non servono scambi diriga

in Ir ar r.Ila sottonutrite io 67 è un vettore riga ed

ogni vettore riga è sempre uno induce a scala

Riepilogando

I L0 O 10 6

Che riduzione ha effettuato Wolframalpha

p0 O 10 6

2 differenze1 i pivot sono tutti uguali a 1

io I l39

2 Nella matrice risultato di Wolfram alphai pirati sono gli unici elementi non nullisulla colonna a cui appartengono

I O 0 O 1

I L

O

IDal punto di vista della nomenclatura

O

T 1 O 0 0Gauss

1 L L

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DEFINIZIONE

Data una natura U a scala definiamorango di U il numero di pivot di U

Data una matrice qualsiasi A definiamo rangodi A il rango di una matrice a scala ottenutacon il REG a partire da A

ESEMPIOA U

I O

ronfo è 3 rango è 3

OsservazioniIndicheremo il rango di 1 con n.CAr A 70 r A E numero di colonne di A

R A e numero di righe di A

A e Mix min O E r A E min ven

il rango è ben definito vedremo ladimostrazione piùavanti

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te di Crater

sia 1 L un sistema lineare con lo stesso

numero di incognite e equazioni cioè Ae Min minsia inoltre il rango di 1 massimo cioe a A en

Allora esiste un'unica soluzione per ogni sceltadi vettore dei termini noti

DIMOSTRAZIONEmmm

MEGA 1 E VI E motrice a scala

bi

ino bi

l'ultimo rigo è un'equazione nella sola incognitain pur bipaio in È bi

la penultima riga è un'equazione nelle incognitein 1 tu i pm Xm Una in Xm e blu

Pmi hai un.im BÈ bè

punto xn.ie È bi mmm IIRipeto questo procedimento fino alla prima riga te

Riduzione di Gauss Jordan esegue con operazionielementari quello che abbiamo fatto sulle equazioninella dimostrazione

ESEMPIOy z

X Y 1 1 1 o 1

lì t.ttO 1 3 4

rial1

A questo punto per il terreno di Garner sono

sicuro che la soluzione esiste ed è unica

1 L L L

1 I a rurali p0 O 1

43

1 L

È È1 L a

2 E4

TEOREMA di Rovate capelli

Hp sia AI L un sistema lineare con incogniteil sistema è risolvibile cioè ammette soluzione

se e solo se n A r Al b

Se il sistema è risolubile r er laser Albi

Y.hr II i ii niEIIIaodescritte da

Io tanta t tua fan ti Elk ti

osservazioneè la soluzione speciale del teoremadi struttura vedi lesione scorso

twit tmall.ie descrive la soluzione del

44 sistema omogeneo associato A a e

Risolubile significaequazioni indipendenti equazioni indipendentidel sistema omogeneo del sistema completo

rango n i parametri liberi sono m n

ogni equazione indipendente diminuisce di

1 i gradi di libertà del sistema

esempioa È

pa2X t 2 2 3 3 3 4 4x a x o o i 2 3

La motrice è a scala

I IiiPer Ronchi capelli r A 2 n Al b

il sistema è risolubileLa soluzione dipendere da U ti parametrine 4 ne 2 2 parametri

Come calcolo la soluzioneX corrispondono a colonne con il pivotqueste variabili si decora dipendenti

Le colonne 2 e a corrispondenti a e ka non

hanno privati e 4 si dicono indipendenti45

2 X t 2 2 3 3 3 4 4X t 2 Xu 31 mal

O 0 O 1 te

L

Il nuovo sistema lo 4 equazioni a incognitee rango 4 Per il teorema di Cornerla soluzione è unica dopo la scelta fattasui parametri ti etc

Estradataridurre con il metodo di Gauss Jordan le nature

i

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