Seconda Lezione Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss.
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Seconda Lezione Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss
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Seconda Lezione
Dipolo, materiali, flusso, teorema di Gauss
Riassunto della lezione precedente Struttura dell’atomo Legge di Coulomb per cariche discrete (nel
vuoto) Legge di Coulomb per distribuzioni di cariche Definizione di intensità del campo elettrico
Stiamo per fare un po’ di conti su una struttura composta da due cariche, il dipolo: perché?
Alcune strutture ed alcune molecole si comportano da dipolo
Vedremo nelle prossime lezioni che il campo irradiato da una antenna avrà anche un contributo di tipo “dipolo”
E’ un utile esercizio per la natura vettoriale delle grandezze
I passaggi che seguono sono un po’ “macchinosi”; vedrete in seguito come è possibile ottenere lo stesso risultato grazie a un potente strumento dovuto a Laplace, il potenziale
Campo Elettrico prodotto da un dipoloIl problema ha simmetria cilindrica: il campo non dipende da
P
)(r
r
)(r
2
d
2
d
z
x
)(
)(
),(),(),,( )()( rrr EEE
)(
)(
2)(0
)(4
rr
q rE
)(
)(
2)(0
)(4
)(
rr
q rE
)(
)(2
)(0)(
)(2
)(0 44),(
rr
q
rr
qr
rrE
Useremo le coordinate sferiche
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
P
)(r
r
)(r
2
d
2
d
z
x
)(
)(
ur
u
zdurr )()(
)(3)(0
)(3)(0 44
),(
rurEr
qd
r
qr z
)(
)(2
)(0)(
)(2
)(0 44),(
rr
q
rr
qr
rrE
z
r
d
rr
rrqur
3)(
)(3)(
3)(
3)(
3)(
04
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
Tuttavia valeP
)(r
r
)(r
2
d
2
d
z
x
)(
)(
ur
u cos2
drr
cos
21
r
dr
cos
23133
r
drr
cos
23cos
23 232333 d
rrd
rrrr cos3 2dr
z
r
d
rr
drqr urE
3)(
)(3)(
3)(
2
0
cos3
4),(
Se P è molto lontano (d<<r):
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
Inoltre
P
)(r
r
)(r
2
d
2
d
z
x
)(
)(
ur
u
rr
rrur
uuuE sin
r
dr
r
drqr rr cos
cos3
4),(
36
2
0
uuE dsindr
qr r cos2
4),(
30
uz
In coordinate sferiche
uuu sinrz cos
u 90
uruzInfatti
(ricordate?…siamo lontani)
Campo Elettrico prodotto da un dipolo
Se definiamo
qdp
uuE sinr
pr r cos2
4),(
30
Momento di dipolo elettrico
E dipende solo da p: se per es. raddoppiamo q e dimezziamo d, il campo non cambia
p si definisce anche come un vettore orientato lungo uz
Dipolo ancorato in un campo elettrico uniforme
Momento di torsione
fa ruotare il dipolo in senso orario fino ad allinearlo al campo
Le molecole d’acqua sono dipoli
EpFd
τ )2
(2
Il forno a microonde...Il campo esterno varia periodicamente
Esperienza di Millikan Raggi X ionizzano dell’olio minerale Una gocciolina può mantenersi sospesa quando
forza gravitazionale e campo elettrico si compensano
qEmg E
mgq Vm 3
3
4rV
Il raggio della goccia r si può determinare dalla velocità di caduta della goccia quando il campo è nullo:
grF gocciapeso3
3
4 grF ariaarchimede3
3
4 rvF oatt.viscos 6
rvgrdt
dvm 63/4 3 E condizione iniziale v(0)=0
Esperienza di Millikan Soluzione tipo fom vvv
Sostituendo nella om. (eq caratt.)
t
m
r
er
grv
63
16
3/4
tAev om
mr /6
Sostituendo nella complessiva
r
grv
63
4 3
f
Imponendo condizione iniziale forzatavA
Quindi: goccia=800 kg/m3
aria=1.29 kg/m3
=1.29 Ns/m2
Expérience de Millikan.mht
Materiali: prima classificazione Conduttori : sostanze nelle quali alcune o tutte le cariche elettriche possono muoversi liberamente sotto l'azione di forze elettriche (elettroni di conduzione nei metalli,
ioni nelle soluzioni acquose).
Isolanti (dielettrici): gli elettroni sono vincolati agli atomi (es.: vetro, ebanite).
Semiconduttori: classe di materiali intermedia tra i conduttori e gli isolanti per le loro proprietà di condurre elettricità (es. : silicio, germanio). In realtà in questi la conduzione avviene in modo piuttosto peculiare
Altri materiali Superconduttori (scoperti nel 1911; recenti scoperte
nel 1997) Nanotubi e nanofili(scoperti nel 1991)
Modalità di conduzione nei solidi Ciascun elettrone in un solido possiede una energia potenziale (livello energetico) Risultato fondamentale della meccanica quantistica è che non tutte le energie sono possibili: esse sono raggruppate
in bande le bande sono separate da regioni che indicano energie che gli elettroni non possono avere: bande proibite In un solido gli elettroni più esterni sono quelli che formano i legami: elettroni di valenza; banda di valenza La conduzione avviene se possiamo mettere in moto elettroni (energeticamente: dobbiamo disporre di elettroni in
banda di conduzione [energia cinetica])
Energia degli elettroni
Banda di conduzione
Banda di valenza
Modalità di conduzione nei solidi
Energia degli elettroni
Conduttori: “mare” di elettroni liberi
Si O Si
O
O
O
Isolanti (SiO2)
Si Si
Si
Si
Si
Si
Si
Semiconduttori
Gap piccolo: salto termico
(rottura legame)
In presenza di materiale: conduttori
Un qualunque campo elettrico interno o tangente alla superficie
produrrebbe correnti
Le cariche si spostano (correnti) e producono a loro volta un
campo, fin quando all’equilibrio non c’è nessuna forza e nessun
campo
All’equilibrio il campo elettrico interno a un conduttore e quello tangente alla superficie
DEVONO essere nulli
In presenza di materiale: Dielettrici
Nuvola elettronica in un atomo in assenza di campo Elettrico: l’atomo è neutro
In presenza di un oggetto carico, ovvero di un campo
elettrico, la nuvola si distorce e l’atomo diviene polare
Induzione elettrostatica
In presenza di materiale
- +
E
- +
EpolE
Il campo elettrico all’interno di un dielettrico sarà la sovrapposizione del campo esterno e di quello indotto
dalle cariche di polarizzazione: il dielettrico agisce quindi riducendo l’intensità del campo. Il fattore di riduzione di tale intensità è la
costante dielettrica relativa r
In presenza di materiale
rr
qquF
221
4
1
0
01
r
r
F
F
Definiamo una quantità che non dipende dal mezzo: il vettore Spostamento Elettrico o Densità di Flusso Elettrico [C/m2]
ED
rr
quD
24
Per una carica puntiforme:
Nota: questa espressione è vera se il materiale è “lineare”, cioè se la carica indotta e quindi il campo di polarizzazione è proporzionale al campo che induce la polarizzazione. Se non lineare, dipende da E
Definizione di FLUSSO in elettromagnetismo
n
E
S
EE
S
Campo Uniforme e Ortogonale ad S
n
E
S
S’
nEEEE SSS )cos('
Campo Uniforme ma NON Ortogonale ad S
Definizione di FLUSSO
M
niEi dsi
chiusa superficie
aperta superficie
S
S
ds
ds
nEE
nEE
Il flusso di un campo vettoriale così definito è una quantità scalare. Tale definizione è quella adottata da Maxwell: “In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the
quantity which passes through the surface"
Carica puntiforme: flusso attraverso una sfera
rr
quE
204
0
22
0
44
)(
qr
r
q E
Carica puntiforme: flusso attraverso una superficie chiusa arbitraria
cos4 2
0
dAr
qd E
d
Nota che dA cos() è anche la proiezione di dA su una sfera di raggio r: poniamo dA’ (del resto per una sfera centrata sulla carica tutto il campo è ortogonale….)
l’elemento di angolo solido è per definizione (in steradianti)
cos'
22 r
dA
r
dAd
04
d
qd E
dq
d E04 0
qE
Se nella regione vi sono diverse cariche, la procedura è analoga e i contributi di flusso si sommeranno linearmente: pertanto q può essere considerata la carica netta totale
Poiché l’angolo solido sotteso da una sfera è 4 steradianti
Osservazioni
La carica netta totale racchiusa richiede sia le cariche libere che quelle indotte, nel caso ci sia un materiale nel volume racchiuso dalla superficie di Gauss Non importa la posizione delle cariche (purché distinguiamo quelle interne da quelle esterne alla superficie) Il campo che compare è quello totale, cioè anche dovuto ad eventuali cariche esterne però una carica esterna non altera il flusso totale (tanto ne entra quanto ne esce) La legge di Gauss è una forma alternativa della legge di Coulomb: consente di sfruttare le simmetrie, ed è valida anche per cariche in moto
0q
dE AE Legge di Gauss
in forma Integrale
Legge di Gauss per D
Con D dobbiamo considerare solo la carica libera, visto che le cariche indotte in eventuali materiali sono contenute nella definizione di D: vediamo come
liberaD qd AD Legge di Gauss in forma
Integrale
12
Applichiamo il Th. Di Gauss per il campo elettrico ad una carica +Q circondata da un guscio dielettrico
Cariche indotte
Q 'Q'Q
Legge di Gauss per D
Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per r<=R1
Q 'Q'Q
123
Superficie di Gauss
4
Q2
001 r
QEds r
nEE
Legge di Gauss per D
Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R1<r<=R2
Q 'Q'Q
123
4
'Q'-Q2
002 r
QQEds r
nEE
Legge di Gauss per D
Calcoliamo il campo elettrico applicando Gauss per R3<=r
Q 'Q'Q
123
4
Q'Q'-Q2
003 r
QEds r
nEE
Legge di Gauss per D
Utilizzando il Teorema di Gauss per D invece
rr
QDQds r
4
2nDD
Nel Dielettrico in particolare, confrontando le due espressioni:
4
'
20r
QQEr
204
'
r
QED rr
Per mezzi lineari possiamo ipotizzare che la carica indotta Q’
sia proporzionale al campo
re Er
Q024
'
Si definisce Suscettività Elettricae
24
'
r
QDr
A cosa serve D
D legato alle sole cariche libere D/0 Campo elettrico in assenza di dielettrico Per mezzo isotropo, lineare ed omogeneo
EED
r00 )1( e
Si definisce anche vettore Polarizzazione P
EP
e 0
