Appunti di Analisi Matematica IVM.K.Venkatesha Murthy e Maria Stella Gelli

Il Teorema di Gauss-Green

La nozione di integrale di una forma differenziale e di importanzafondamentale in Analisi ed in Fisica per le sue applicazioni. Inoltre,questo soggetto si rivela molto utile anche per lo studio di proprieta’topologiche - come ad esempio, la proprieta’ di un aperto di essere sem-plicemente connesso - in Geometria Differenziale. In Fisica il lavorocompiuto da un campo di forza si esprime come l’integrale curvilineodi una forma differenziale associata ad esso in una maniera naturale. Icampi conservativi corrispondono alle forme differenziali esatte mentrei campi irrotazionali corrispondono alle forme differenziali chiuse.

Il teorema di Gauss-Green nel piano stabilisce una relazione fral’integrale curvilineo su una curva chiusa con un integrale sul dominioracchiuso da una tale curva. Una conseguenza e il teorema della diver-genza, che esprime il flusso di un campo vettoriale attraverso il bordodi un dominio limitato in termine della divergenza del campo.

La nozione della divergenza di un campo ha un significato importantein fluido-dinamica. La divergenza del campo di velocita del fluido ecollegata con la legge di conservazione della massa di fluido. Per unfluido omogeneo ed incomprimibile la divergenza del campo di velocitae nulla. In problemi di fluidi di questo tipo la quantita di fluido cheattraversa una superficie avente una curva regolare come bordo dipendesoltanto dalla curva e non dalla superficie stessa. Quindi e naturalecercare di esprimere il flusso attraverso una superficie in termini dellacurva che rappresenta il bordo della superficie. Il teorema di Stokesrappresenta il risultato piu importante in questa direzione.

Il teorema di Gauss - Green puo essere considerato come una esten-sione del teorema di integrazione per parti per funzioni di una variabile.Cominciamo prima col dare alcune definizioni preliminari.

Orientazione della frontiera ∂E in R2

Supponiamo che la frontiera ∂E di un dominio limitato E in R2 siaparametrizzata da una curva regolare a tratti γ : [p, q] 3 t → γ(t) =(x(t), y(t)) ∈ R2. Si dice che la frontiera ∂E e orientata positivamenterispetto al dominio se percorrendo la curva ∂E in senso crescente delparametro il dominio resta a sinistra. Indichiamo la frontiera orientatapositivamente con +∂E. In caso contrario si dice che la frontiera eorientata negativamente e si indica con −∂E.

Possiamo ora enunciare il teorema di Gauss-Green in due variabili.Ricordiamo che si dice dominio un insieme che e la chiusura di un aperto.

1

Teorema 1. (Teorema di Gauss - Green) Sia E un dominio limitatoe connesso in R2 con frontiera ∂E data da una curva semplice, chiusa,regolare a tratti. Sia ω = g(x, y) dx+ h(x, y) dy una forma differenzialedi classe C1 sul dominio E (nel senso che esiste un intorno aperto A diE e i coefficienti f e g della forma ω sono funzioni definite e di classeC1(A)). Allora si ha la seguente identita

∫∫E

{∂h

∂x(x, y)− ∂g

∂y(x, y)

}dx dy =

∫+∂E

ω.

Dimostrazione. Dimostriamo il Teorema nel caso particolare diun dominio E normale rispetto ad uno degli assi delle coordinate.

Caso I. Supponiamo che E sia un dominio normale in R2 rispettoall’asse della variabile x: cioe l’insieme E e della forma

E = {(x, y) ∈ R2; a ≤ x ≤ b, α(x) ≤ y ≤ β(x)}

dove I = [a, b] e un intervallo sull’asse delle x e α, β : I → R sonodue funzioni di classe C1(I). (Come si richiede che la frontiera ∂E deldominio E sia regolare a tratti e necessario supporre che le funzioni αe β che definiscono il dominio normale E siano di classe C1(I).) Allorala frontiera di E orientata positivamente e una curva chiusa regolare atratti e composta da quattro archi (ciascuna e una curva regolare):

∂E = γ1 + γ2 − γ3 − γ4

dove

γ1 = {(x, y) ∈ [a, b]× R; y(x) = α(x), x ∈ [a, b]}([a, b]→ R2, x→ (x, α(x)))

γ2 = {(x, y); x(t) = b, y(t) = α(b) + t(β(b)− α(b)), t ∈ [0, 1]}([0, 1]→ R2, t→ (b, y(t)))

γ3 = {(x, y) ∈ [a, b]× R; y(x) = β(x), x ∈ [a, b]}([a, b]→ R2, x→ (x, β(x)))

γ4 = {(x, y); x(t) = a, y(t) = α(a) + t(β(a)− α(a)), t ∈ [0, 1]}([0, 1]→ R2, t→ (a, y(t)))

ossia γ1 e il grafico della funzione α, γ2 e il segmento fra α(b) e β(b)parallelo all’asse delle y, γ3 e il grafico della funzione β e γ4 e il segmentofra α(a) e β(a) parallelo all’asse delle y.

2

Cominciamo dimostrare prima di tutto che

∫∫E

{∂g

∂y(x, y)

}dx dy = −

∫+∂E

g(x, y) dx. (1)

Calcoliamo l’integrale al secondo membro. Prima di tutto osserviamoche su γ2, x(t) = b e costante e quindi dx(t)

dt= 0 da cui

∫γ2

g(x, y) dx =

∫ β(b)

α(b)

g(b, y)dx(t)

dtdt = 0

analogamente l’integrale

∫γ4

g(x, y) dx = 0. Quindi

∫+∂E

g(x, y) dx =∫γ1g(x, y) dx−

∫γ3g(x, y) dx

(gli integrali curvilinee della forma differenziale g(x, y) dx+ 0 dy)

=∫ bag(x, α(x)) dx−

∫ bag(x, β(x)) dx

(integrali di Riemann delle funzioni continue g(x, α(x)), g(x, β(x)) su I = [a, b].

D’altra parte, per il teorema sulla riduzione degli integrali doppi si ha

∫∫E

∂g

∂y(x, y) dx dy =

∫ b

a

{∫ β(x)

α(x)

∂g

∂y(x, y) dy

}dx

=

∫ b

a

{g(x, β(x))− g(x, α(x))} dx

che dimostra la tesi (1).

La dimostrazione dell’identita

∫∫E

{∂h

∂x(x, y)

}dx dy =

∫+∂E

h(x, y) dy. (2)

e piu delicata per il fatto che non possiamo utilizzare la tecnica dellaprima parte della dimostrazione. Per ogni punto (x, y) ∈ E indichiamo

3

con γx,y il segmento verticale [α(x), y] parallelo all’asse delle y,

γx,y(y′) = (x, y′) per α(x) ≤ y′ ≤ y.

Definiamo

H(x, y) =

∫γx,y

h(x, y′) dy′ =

∫ y

α(x)

h(x, y′) dy.′

Allora, per il teorema fondamentale del calcolo integrale ed il teoremadella derivazione sotto il segno di integrale, si ha

∂H

∂y(x, y) = h(x, y)

∂H

∂x(x, y) =

∫ y

α(x)

∂h

∂x(x, y′) dy′ − h(x, α(x))α′(x)

= derivata parziale rispetto ad x considerata come un parametro

H(x, β(x)) =

∫ β(x)

α(x)

h(x, y′) dy′.

Possiamo percio scrivere

d

dx[H(x, β(x)] =

∂H

∂x(x, β(x)) +

∂H

∂y(x, β(x))β′(x)

(il primo termine al secondo membro e la derivata parziale rispetto alla prima variabile

calcolato in (x, β(x))mentre il secondo termine e la derivata parziale

rispetto alla seconda variabile calcololato in (x, β(x))

=d

dx

∫ β(x)

α(x)

h(x, y′) dy′

=

∫ β(x)

α(x)

∂h

∂x(x, y′) dy′ − h(x, α(x))α′(x) + h(x, β(x))β′(x).

4

Quindi troviamo

∫+∂E

h(x, y) dy =

∫γ1∪γ2∪γ3∪γ4

h(x, y) dy

=

∫ b

a

h(x, α(x))α′(x) dx−∫ b

a

h(x, β(x))β′(x) dx

+

∫ β(b)

α(b)

h(b, y′) dy′ −∫ β(a)

α(a)

h(a, y′) dy′

= −∫ b

a

d

dx[H(x, β(x)] dx+

∫ b

a

∫ β(x)

α(x)

∂h

∂x(x, y′) dy′ dx

+

∫ β(b)

α(b)

∂H

∂y(b, y′) dy′ −

∫ β(a)

α(a)

∂H

∂y(a, y′) dy′

dove nell’ultima uguaglianza si e usato il fatto che h(a, y) =∂H

∂y(a, y) e

h(b, y) =∂H

∂y(b, y). Integrando H si ottiene

∫+∂E

h(x, y) dy = −H(b, β(b)) +H(a, α(a))

+

∫ b

a

{∫ β(x)

α(x)

∂

∂xh(x, y) dy

}dx+H(b, β(b))

−H(a, β(a)) =

∫∫E

∂h

∂x(x, y) dx dy

(Abbiamo utilizzato che, per definizione della funzione H, si ha

H(a, α(a)) =

∫ α(a)

α(a)

h(a, y′) dy′ = 0 e H(b, α(b)) =

∫ α(b)

α(b)

h(a, y′) dy′ = 0

5

)

che completa la dimostrazione di.

Caso II. Supponiamo che E sia un dominio normale rispetto all’assedellavariabile y:

E = {(x, y) ∈ R2; c ≤ y ≤ d, ϕ(y) ≤ x ≤ ψ(y)}

dove J = [c, d] e un intervallo sull’asse delle y e ϕ, ψ : J → R sono duefunzioni di classe C1(J). In questo caso la dimostrazione di

∫∫E

{∂h

∂x(x, y)

}dx dy =

∫+∂E

h(x, y) dy

∫ d

y=c

(∫ ψ(y)

x=ϕ(y)

∂h

∂xdx)

dy =

∫ d

y=c

[h(ψ(y), y)−h(ϕ(y), y)] dy =

∫+∂E

h(x, y) dy

segue dalla formula di riduzione per gli integrali doppi mentre la di-mostrazione di

∫∫E

{∂g

∂y(x, y)

}dx dy = −

∫+∂E

g(x, y) dx

e completamente analoga a quella dell’ultima parte della dimostrazioneprecedente.

Supponiamo che l’insieme E sia unione di due domini normali E1

e E2 tali che int(E1) ∩ int(E2) = ∅. Se E1 ∩ E2 6= ∅ allora essi sonodomini adiacenti e ∂E1 ∩ ∂E2 e una curva γ. Inoltre, +∂E = (+∂E1 \γ) ∪ (+∂E2 \ γ).

Per definizione,

∫∫E

{∂h

∂x− ∂g

∂y

}dx dy =

2∑j=1

∫∫Ej

{∂h

∂x− ∂g

∂y

}dx dy =

2∑j=1

∫+∂Ej

ω

=∑2

j=1

(∫∂(Ej\γj) ω +

∫+γj

ω

)=∫

+∂Eω +

∑2j=1

∫+γj

ω

6

dove abbiamo applicato il teorema di Guass-Green ad entrambi gli inte-grali doppi ed abbiamo indicato con ±γj la curva γ considerata come unsottoinsieme della frontiera ∂Ej con l’orientazione indotta da Ej. Os-serviamo che nella orientazione positiva delle frontiere dei due insiemila parte comune γ ha orientazioni opposte rispetto ai due domini, cioe+γ1 = −γ2. Quindi, si ha

∫+γ1

ω = −∫

+γ2

ω.

percio la somma degli integrali su ±γj e zero. Allora, la somma degli in-tegrali sulle frontiere dei due domini e uguale all’integrale sulla frontieradi E, che dimostra il teorema di Gauss-Green anche in questo caso.

Analogamente, il teorema di Gauss-Green si estende al caso di insiemiregolari in R2, ossia della forma E = E1∪· · ·∪Ek con Ej per j = 1, · · · , kdomini normali in R2 rispetto ad uno dei due assi coordinati e tali cheint(Ej) ∩ int(Ej′) = ∅. In molte applicazioni possiamo decomporreogni aperto limitato e connesso con frontiera una curva semplice, chiusae regolare a tratti come un insieme regolare (cioe come una unionefinita di domini normali rispetto gli assi delle coordinate e con le partiinterne disgiunte due per due) e quindi il teorema di Gauss-Green e cosıdimostrato anche per domini regolari .

Conseguenze del teorema di Gauss-Green

Ricordiamo che un aperto connesso A in R2 e semplicemente con-nesso se ogni curva semplice e chiusa γ con sostegno in A e la frontieradi un insieme connesso e limitato E interamente contenuto in A.

Proposizione 1. In un aperto semplicemente connesso A in R2 ogniforma differenziale ω = g(x, y) dx + h(x, y) dy di grado 1, di classe C1

e chiusa e esatta.

Dimostrazione. E’ sufficiente dimostrare che∫γω = 0 per ogni

curva chiusa in A. Per definizione γ e la frontiera di un insieme limitatoe connesso E ⊂ A. Per ipotesi la forma differenziale ω = g(x, y) dx +

h(x, y) dy e chiusa e quindi∂h

∂x− ∂g

∂y= 0 ossia la funzione integranda

nel teorema di Gauss-Green e nulla, da cui

∫+∂E=γ

ω = 0

7

.

Se la frontiera di un aperto limitato connesso E e una curva regolarea tratti γ : [a, b] → R2 allora ad eccezione di un numero finito di puntidel sostegno della curva il versore tangente e definito da

τ(t) = (τx(t), τy(t)) =γ′(t)

||γ′(t)||=

(x′(t), y′(t))√(x′(t)2 + y′(t)2

ed il versore normale orientato verso l’esterno del dominio E e il versoreortogonale a τ(t) dato da

ν(t) = (νx(t), νy(t)) =(y′(t),−x′(t))√(x′(t)2 + y′(t)2

.

Per una forma differenziale ω = g(x, y) dx + h(x, y) dy di classe C1 suE possiamo scrivere

∫γ

ω =

∫ b

a

[g(x(t), y(t))x′(t) + h(x(t), y(t))y′(t)] dt

=

∫ b

a

[g(x(t), y(t))x′(t) + h(x(t), y(t))y′(t)]

||γ′(t)||||γ′(t)|| dt

=

∫ b

a

[g(x(t), y(t))(−νy)(t) + h(x(t), y(t))(νx)(t)]||γ′(t)|| dt

=

∫γ

(−g(x, y)νy + h(x, y)νx) dσ.

Consideriamo un campo vettoriale F : A→ R2 di classe C1(A), dove Aun intorno aperto della chiusura E di E: F (x, y) = (F1(x, y), F2(x, y))dove Fj per j = 1, 2 sono funzioni di classe C1(A). Associamo ad Fla forma differenziale ω = −F2(x, y) dx + F1(x, y) dy (cioe, g = −F2 eh = F1. Allora il Teorema di Gauss-Green applicato a questa formadifferenziale si ottiene

∫∫E

(∂h∂x

+∂g

∂y

)dx dy =

∫+∂E

(g(x, y) dx+h(x, y) dy) =

∫+∂E

(−g(x, y)νy+h(x, y)νx) dσ

che implica

∫∫E

(∂F1

∂x+∂F2

∂y

)dx dy =

∫+∂E

(F1(x, y)νx + F2(x, y)νy) dσ

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da cui si ottiene

Teorema 2. (Teorema della divergenza in dimensione due) Sia E unaperto limitato e connesso in R2 con frontiera una curva semplice,chiusa e regolare a tratti. Se F : A → R2 e un campo vettoriale diclasse C1 su un intorno aperto A del dominio chiuso E allora si ha

∫∫E

divF dx dy =

∫+∂E

(F |ν) dσ.

Il secondo membro si chiama la circuitazione del campo vettoriale Fsu ∂E.

Proposizione 2. (Integrazione per parti) Siano ϕ e ψ due funzioni diclasse C1 in un dominio regolare E ⊂ R2. Allora

∫∫E

ϕ∂ψ

∂xdx dy =

∫+∂E

ϕψ dy −∫∫

E

∂ϕ

∂xψ dx dy,

∫ ∫E

ϕ∂ψ

∂ydx dy = −

∫+∂E

ϕψ dx−∫ ∫

E

∂ϕ

∂yψ dx dy.

Dimostrazione. Segue immediatamente applicando la formula diGauss-Green rispettivamente alle forme ϕψ dy e ϕψ dx.

Essendo la misura di Lebesgue di un insieme misurabile E l’integraledoppio su E della funzione costante 1, applicando il Teorema di Gauss-Green con ω = x dy e, rispettivamente, con ω = y dx, si ottiene laseguente

Proposizione 3. (Area di un dominio regolare) Sia E un dominio re-golare in R2 allora

mis(E) =

∫+∂E

x dy = −∫

+∂E

y dx =1

2

∫+∂E

(x dy − y dx).

Teorema di Stokes

9

Un’estensione del Teorema di Gauss-Green a superfici con bordo inR3 e noto come Teorema di Stokes. Ricordiamo che per dominio in Rn

si intende un insieme che e la chiusura di un aperto.

Una superficie regolare in R3 e definita come una coppia (K,ϕ) con Kun dominio limitato e connesso in R2 e ϕ : K−→R3 un’applicazione diclasse C1 tale che

(i) ϕ e iniettiva su int(K);

(ii) ϕ e un’applicazione di classe C1(K) ossia

ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

dove le funzioni x, y, z sono restrizioni a K di funzioni definite edi classe C1 in un intorno aperto di K in R2;

(iii) indicando con ϕu =

(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

)e ϕv =

(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)si ha

(ϕu ∧ ϕv)(u, v) 6= 0 ∈ R3 per ogni (u, v) ∈ int(K).

Introduciamo ora la nozione geometrica di una superficie regolare conbordo R3, che e una estensione di questa definizione.

Definizione 1. (Superficie regolare con bordo) Una superficie rego-lare con bordo e una coppia (K,ϕ) formata da un dominio limitato econnesso K in R2 con frontiera una curva regolare ed un’applicazioneϕ : K → R3 che soddisfano le seguenti condizioni:

(i) ϕ e iniettiva su K;

(ii) ϕ e un’applicazione di classe C1(K),

ϕ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

dove le funzioni x, y, z sono restrizioni a K di funzioni definite edi classe C1 in un intorno aperto di K in R2;

(iii) indicando con ϕu =

(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

)e ϕv =

(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)

si ha

(ϕu ∧ ϕv)(u, v) 6= 0 ∈ R3 per ogni (u, v) ∈ K.

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In analogia con la nozione di equivalenza tra superfici regolari si haanche la nozione di equivalenza di superfici con bordo:

Definizione 2. Due superfici con bordo (K,ϕ) ed (L, ψ) si dicono equiv-alenti se esiste un diffeomorfismo

• ρ : L→ K di classe C1 tale che

• ψ = ϕ ◦ ρ

• ρ applica ∂L su ∂K

.

Se (L, ψ) e una rappresentazione parametrica equivalente a (K,ϕ)allora ϕ(K) = ψ(L). Il sostegno Σ = ϕ(K) della superficie e chiamatoanche la superficie geometrica in R3.

Osserviamo che se la frontiera del dominio K e una curva regolare γ :[a, b]→ R2 allora Γ = ϕ ◦ γ : [a, b]→ R3 e ancora una curva regolare inR3.

Definizione 3. (Frontiera di una superficie regolare con bordo) Se (K,ϕ)euna superficie regolare con bordo in R3 allora si dice che la curva rego-lare ([a, b],Γ) in R3 e la frontiera della superficie. Il sostegno di questacurva Γ([a, b]) si chiama il bordo geometrico della superficie geometricaΣ ed e indicato con ∂Σ.

E chiaro che il bordo ∂Σ e indipendente dalla rappresentazione para-metrica della superficie. Ad ogni punto (x, y, z) ∈ Σ = ϕ(K) si associail versore normale ν(x, y, z) definito da

ν(x, y, z) =ϕu ∧ ϕv||ϕu ∧ ϕv||

.

Definizione 4. Si dice che una superficie (K,ϕ) oppure Σ e orientabilese e possibile trovare un’applicazione (x, y, z) ∈ Σ → ν(x, y, z) ∈ R3

come un campo vettoriale continuo. Una superficie con una scelta diorientazione si dice superficie orientata.

Una superficie regolare a tratti e un’unione finita Σ = Σ1 ∪ · · ·Σk disuperfici regolari tali che int(Σj) ∩ int(Σj′) = ∅.

Supponiamo che la frontiera ∂K = γ del dominio K sia orientata posi-tivamente rispetto al dominio allora si dice che Γ = ϕ ◦ γ definisce unaorientazione positiva del bordo ∂Σ della superficie Σ e la frontiera conl’orientazione positiva e indicata con +∂Σ.

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Teorema 3. (Teorema di Stokes) Sia Σ = ϕ(K) una superficie regolarecon bordo orientato e di classe C2 in R3. Se F = (F1, F2, F3) e uncampo vettoriale di classe C1 definito in un intorno aperto di Σ in R3

allora ∫∫Σ

(rotF |ν) dΣ =

∫+∂Σ

(F |τ) dσ.

Dimostrazione. Per definizione si ha

∫∫Σ

(rotF |ν) dΣ =

∫∫K

(rotF (ϕ(u, v))

∣∣∣ ϕu ∧ ϕv||ϕu ∧ ϕv||

)||ϕu ∧ ϕv|| du dv

=

∫∫K

(rotF (ϕ(u, v))|ϕu ∧ ϕv) du dv.

Calcoliamo esplicitamente la funzione integranda dell’ultimo membro.

rotF =

(∂F3

∂y− ∂F2

∂z,∂F1

∂z− ∂F3

∂x,∂F2

∂x− ∂F1

∂y

)

= (F3y − F2z, F1z − F3x, F2x − F1y)

ϕu ∧ ϕv = (yuzv − yvzu, zuxv − zvxu, xuyv − xvyu).Consideriamo la forma differenziale

ω = g(u, v) du+ h(u, v) dv

dove le funzioni coefficienti sono definite da

g(u, v) = F1xu + F2yu + F3zu = (F |ϕu)

h(u, v) = F1xv + F2yv + F3zv = (F |ϕv).Ricordiamo che Fj sono funzioni composte

Fj(ϕ(u, v)) = Fj(x(u, v), y(u, v), z(u, v))

Per il teorema di Gauss-Green applicato alla forma differenziale ω suldominio K si ha

∫∫K

{hu(u, v)− gv(u, v)} du dv =

∫+∂K

ω.

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Con un calcolo semplice ma lungo si vede che

hu(u, v) =∂h

∂u(u, v) = (F1uxv+F2uyv+F3uzv)xv+(F1xuv+F2yuv+F3zuv)

= (F1xxu + F1yyu + F1zzu)xv + ...+ ...+ (F1xuv + F2yuv + F3zuv)

e

gv(u, v) =∂g

∂v(u, v) = (F1vxu +F2vyu +F3vzu) + (F1xuv +F2yuv +F3zuv)

= (F1xxv + F1yyv + F1zzv)xu + ...+ ...+ (F1xuv + F2yuv + F3zuv)

Quindi si verifica facilmente che si ha

hu(u, v)− gv(u, v) = (rotF (ϕ(u, v))|ϕu ∧ ϕv)

D’altra parte,

∫∂K

ω =

∫∂K

[g(u, v) du+ h(u, v) dv]

=

∫ b

a

{g(u, v)u′(t) + h(u, v)v′(t)} dt =

∫ b

a

{F1(x, y, z)(xuut + xvvt)

+F2(x, y, z)(yuut + yvvt) + F3(x, y, z)(zuut + zvvt)} dt

=

∫ b

a

{F1x′(t) + F2y

′(t) + F3z′(t)} dt

=

∫∂Σ

{F1(x, y, z) dx+ F2(x, y, z) dy + F3(x, y, z) dz}

che dimostra la tesi.

Applicazioni del teorema di Guass-Green

La nozione di un aperto semplicemente connesso in Rn dipendedall’importante concetto di omotopia fra le curve. Sia A un apertoconnesso in Rn. Supponiamo che γj : [a, b]→ Rn per j = 1, 2 siano duecurve semplici e chiuse con sostegno contenuto in A.

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Definizione 5. Si dice che le due curve γ1 e γ2 sono omotope in A seesiste un’applicazione continua h : [a, b]× [0, 1]→ Rn tale che h(t, 0) =γ1(t), h(t, 1) = γ2(t) per ogni t ∈ [a, b] e h(a, s) = h(b, s) per ognis ∈ [0, 1].

Analoga definizione di curve omotope e valida per curve di classe Ck,k ≥ 1 richiedendo l’applicazione h non solo continua ma di classe Ck.

Possiamo considerare ogni punto di A come sostegno di una curvacostante chiusa.

Definizione 6. Un aperto connesso in Rn si dice semplicemente con-nesso se ogni curva semplice e chiusa e omotopa ad un punto.

Osservazione 1. 1. Ogni aperto convesso A in Rn e semplicementeconnesso perche se γ1 e γ2 sono due curve chiuse in A possiamo definireh(t, s) = (1− s)γ1(t) + sγ2(t).

2. Nella classe delle curve chiuse in A l’omotopia e una relazionedi equivalenza. L’insieme delle classi di equivalenza puo essere munitocon una struttura di gruppo (in generale, non abeliano), che si chiamail gruppo fondamentale di A ed e indicato con π1(A). Un aperto A sidice semplicemente connesso quando π1(A) = id.

Teorema 4. (Esattezza delle forme differenziali chiuse in un insiemeaperto semplicemente connesso in Rn per n ≥ 2). Sia A un apertosemplicemente connesso in Rn. Sia ω una forma differenziale di classeC1 su A. Allora ω e esatta in A se e solo se ω e chiusa in A.

Dimostrazione. Sia ω =∑n

j=1 ωj(x) dx una forma di classe C1 inA, ossia ωj ∈ C1(A). Sia γ : [a, b] ∈ Rn una curva semplice, chiusa, diclasse C1 e regolare in A. Sia x0 = γ(a) = γ(b) ∈ A. Per ipotesi esisteun’applicazione di omotopia di classe C1 h : [a, b] × [0, 1] → Rn taleche h(t, 0) = γ(t) e h(t, 1) = x0 per ogni t ∈ [a, b] e h(a, s) = h(b, s) =x0. Posto R = [a, b] × [0, 1], h(t, s) = (h1(t, s), . . . , hn(t, s)) ∈ A dovehj ∈ C1(R). La forma differenziale ω induce una forma differenziale digrado 1 sul rettangolo R, chiamato il pull-back o contro immagine di ωtramite l’applicazione h, definita come segue:

η = h∗ω =n∑j=1

ωj(h(t, s))

[∂hj∂t

dt+∂hj∂s

ds

]

14

(si ricordi che dhj =∂hj∂t

dt+∂hj∂s

ds); risulta

η =

[n∑j=1

ωj(h(t, s))∂hj(t, s)

∂t

]dt+

[n∑j=1

ωj(h(t, s))∂hj(t, s)

∂s

]ds

= η1(t, s) dt+ η2(t, s) ds.

I coefficienti η1 =∑

j ωj(h(t, s))∂hj(t, s)

∂te η2 =

∑j ωj(h(t, s))

∂hj(t, s)

∂s

sono di classe C1(R) e quindi la forma differenziale η e di classe C1.Inoltre, η e chiusa in R. Infatti,

∂η1(t, s)

∂s=

n∑i,j=1

∂ωj∂hi(t, s)

hi(t, s)

∂s

hj(t, s)

∂t+

n∑j=1

ωj(t, s)∂2hj(t, s)

∂t∂s

∂η2(t, s)

∂t=

n∑i,j=1

∂ωj∂hi(t, s)

hi(t, s)

∂t

hj(t, s)

∂s+

n∑j=1

ωj(t, s)∂2hj(t, s)

∂s∂t.

I secondi addendi nei membri destri di entrambe le relazioni sono evi-dentemente uguali. D’altra parte, scambiando gli indici di sommatorianel primo addendo della espressione per η2 si ottiene

∂η2(t, s)

∂t=

n∑i,j=1

∂ωi∂hj(t, s)

hj(t, s)

∂t

hi(t, s)

∂s+

n∑j=1

ωj(t, s)∂2hj(t, s)

∂s∂t

Siccome hj(t, s) ∈ C2(R) per il teorema di Schwarz i termini nel sec-ondo addendi delle due relazioni sono uguali. D’altra parte per l’ipotesi

che ω e chiusa si ha che∂ωj∂hi

=∂ωi∂hj

da cui segue

n∑i,j=1

∂ωj∂hi

hi(t, s)

∂s

hj(t, s)

∂t=

n∑i,j=1

∂ωi∂hj

hi(t, s)

∂s

hj(t, s)

∂t

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che dimostra che anche i primi addendi in entrambe le relazioni sonouguali e quindi

∂η1

∂s=∂η2

∂t

cioe, la forma differenziale η e chiusa nel rettangolo R. Per il teoremadell’esattezza di forme differenziali chiuse in un rettangolo segue cheη = h∗ω e esatta in R.

La frontiera orientata +∂R del rettangolo R e data da +∂R = σ1 +σ2−σ3 − σ4 dove

σ1 = {(t, 0); t ∈ [a, b]}, σ2 = {(b, s); s ∈ [0, 1]}σ3 = {(t, 1); t ∈ [a, b]}, σ4 = {(a, s); s ∈ [0, 1]}

e quindi

∫σ1

η =

∫ b

a

n∑j=1

ωj(h(t, 0))∂hj(t, 0)

∂tdt =

∫ b

a

n∑j=1

ωj(γ(t))∂hj(t, 0)

∂tdt =

∫γ

ω

∫σ2

η =

∫ 1

0

n∑j=1

ωj(h(b, s))∂hj(b, s)

∂sds =

∫ 1

0

n∑j=1

ωj(x0)∂x0j

∂sds = 0

∫σ3

η = −∫ b

a

n∑j=1

ωj(h(t, 1))∂hj(t, 1)

∂tdt =

∫ b

a

n∑j=1

ωj(x0)∂x0j

∂tdt = 0

∫σ4

η = −∫ 1

0

n∑j=1

ωj(h(a, s))∂hj(a, s)

∂sds =

∫ 1

0

n∑j=1

ωj(x0)∂x0j

∂sds = 0

e segue che ∫+∂R

η =

∫σ1

η =

∫γ

ω

Da questo possiamo concludere che∫γω = 0, che dimostra che la forma

ω e esatta in A.

Teorema 5. (Teorema della divergenza in R3) Sia E un dominio re-golare in R3 con la frontiera ∂E il sostegno Σ di una una superficie

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regolare a tratti e sia A un intorno aperto del dominio chiuso E. Sew : A→ R3 e un campo vettoriale di classe C1 allora si ha l’identita

∫∫∫E

(div w)(x, y, z) dx dy dz =

∫∫∂E=Σ

(w(x, y, z)|νe(x, y, z)

)dΣ

dove νe(x, y, z) indica il versore normale esterna al punto (x, y, z) dellafrontiera Σ = ∂E.

Dimostrazione - Per semplicita dell’esposizione dimostriamo il teo-rema nel caso particolare di un dominio normale rispetto a tutti i trepiani delle coordinate.

Consideriamo un dominio normale E rispetto al piano R2x,y: cioe

esiste un dominio regolare G ⊂ R2x,y e esistono due funzioni reali α, β :

G→ R di classe C1 tale che

α(x, y) ≤ β(x, y) in G e

E = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ G e α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)}

Allora dimostriamo che

∫∫∫E

∂w3(x, y, z)

∂zdx dy dz =

∫∫Σ

w3(x, y, z)(νe|e3); dove e3 = (0, 0, 1)

Per la formula della riduzione dell’integrale triplo (piu in generaledal teorema di Fubini) possiamo scrivere

∫∫∫E

∂w3(x, y, z)

∂zdx dy dz =

∫∫G

(∫ β(x,y)

α(x,y)

∂w3(x, y, z)

∂zdz)

dx dy

=

∫∫G

(w3(x, y, β(x, y))− w3(x, y, α(x, y)) dx dy

Osserviamo che la frontiera ∂E e una superficie regolare a tratti diclasse C1 e piu precisamente e l’unione di tre superfici regolari Σα, ilgrafico della funzione α = {(x, y, α(x, y)); (x, y) ∈ G}, Σβ, il graficodella funzione β = {(x, y, β(x, y)); (x, y) ∈ G}, e la superficie laterale

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Σl = {(x, y, z) ∈ R3; (x, y) ∈ ∂G; α(x, y) ≤ z ≤ β(x, y)}. Il versorenormale esterno a questi tre superfici regolari sono descritti rispettiva-mente da

νe|Σα =1√

(αx)2 + (αy)2 + 1(αx, αy,−1)

νe|Σβ =1√

(βx)2 + (βy)2 + 1(−βx,−βy,+1)

dove abbiamo scritto per brevita

αx =∂α

∂x, ecc.

mentre νe sul Σl e ortogonale all’asse di z: (νe|e3) = 0. Da questeconsiderazioni segue che

∫∫∂E

w3(x, y, z)(e3|νe

)=

∫∫G

w3(x, y, α(x, y)(−1)√

(αx)2 + (αy)2 + 1

√(αx)2 + (αy)2 + 1 dx dy

+

∫∫G

w3(x, y, β(x, y))(+1)√

(βx)2 + (βy)2 + 1

√(βx)2 + (βy)2 + 1 dx dy+

∫∂G

(∫ z=β

z=α

w3(x, y, z).0 dz)

dσ

= −∫∫

G

w3(x, y, α(x, y)) dx dy +

∫∫G

w3(x, y, β(x, y)) dx dy

Percio si ha la tesi

∫∫∫E

∂w3(x, y, z)

∂zdx dy dz =

∫∫Σ

w3(x, y, z)(νe|e3); dove e3 = (0, 0, 1)

Si dimostra in una maniera completamente analoga, utilizzando l’ipotesiche il dominio e normale rispetto ai piani R2

y,z e R2x,z, che valgono anche

le due identita

18

∫∫∫E

∂w1(x, y, z)

∂xdx dy dz =

∫∫Σ

w1(x, y, z)(νe|e1); dove e1 = (1, 0, 0)

∫∫∫E

∂w2(x, y, z)

∂ydx dy dz =

∫∫Σ

w2(x, y, z)(νe|e2); dove e2 = (0, 1, 0)

Sommando le tre identita segue la tesi del teorema.

Dato un campo vettoriale e facile calcolare la divergenza e quindi ilteorema della divergenza puo essere utilizzata per calcolare il flusso diun campo di forza attraverso una superficie regolare (o regolare a trattI)che delimita un insieme tre dimensionale.

Come conseguenza del teorema della divergenza possiamo dedurreun importante identita noto come la formula di Green, che ha moltissimiapplicazioni in diversi problemi di applicazioni come nella fisica matem-atica, nella meccanica dei fluidi, nell’ elasticita, nella teoria di potenziali,nella geometria differenziale, nella teoria delle funzioni olomorfe (ossiafunzioni analitiche complesse) di variabili complesse ecc.

Sia E un aperto limitato e connesso in R3 con la frontiera una su-perficie regolare a tratti di classe C1 e sia A un intorno aperto deldominio chiuso E. Sia V : A→ R una funzione scalare (una potenziale)di classe C2(A). V definisce un campo vettoriale di classe C1 su A:w = grad V = ∇V (il campo di forza dovuto alla potenziale V ). IlLaplaciano della funzione V e definito da

div grad V = div (∂V

∂x,∂V

∂y,∂V

∂z) =

∂2V

∂x2+∂2V

∂y2+∂2V

∂z2= ∆V = ∇2V

. Se ν(x, y, z) =(νx(x, y, z), νy(x, y, z), νz(x, y, z)

)e il versore normale

esterna alla frontiera ∂E allora la derivata normale esterna di V (laderivata direzionale) e la funzione

∂V

∂νe: ∂E → R

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definita dalla relazione

∂V

∂νe= νx(x, y, z)

∂V

∂x+ νy(x, y, z)

∂V

∂y+ νz(x, y, z)

∂V

∂z

Applicando il teorema della divergenza al campo vettoriale grad V sideduce

∫∫∫E

div (grad V ) dx dy dz =

∫∫Σ=∂E

(grad V |νe

)dΣ

cioe si ha

∫∫∫E

(∆V )(x, y, z) dx dy dz =

∫∫Σ=∂E

∂V

∂νedΣ, per V ∈ C2(A)

Supponiamo che f, g sono due funzioni scalari di classe C2(A) allora

div (fgrad g) =∂

∂x(f∂g

∂x) +

∂

∂y(f∂g

∂y) +

∂

∂z(f∂g

∂z)

= f∂2g

∂x2+∂f

∂x

∂g

∂x+f

∂2g

∂y2+∂f

∂y

∂g

∂y+f

∂2g

∂z2+∂f

∂z

∂g

∂z= f(∆g)+

(grad f |grad g

). Applicando il teorema della divergenza

∫∫∫E

div (fgrad g) dx dy dz =

∫∫Σ=∂E

(f(grad g)|νe

)dΣ

cioe si ha

∫∫∫E

{f(∆g) +(grad f |grad g

)} dx dy dz =

∫∫Σ=∂E

f{ ∂g∂νe} dΣ

che si puo anche considerare come una formula di integrazione per partidel secondo ordine

∫∫∫E

f(∆g) dx dy dz = −∫∫∫

E

(grad f |grad g

)dx dy dz+

∫∫Σ=∂E

f∂g

∂νedΣ

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Scambiando le due funzioni f e g abbiamo anche

∫∫∫E

g(∆f) dx dy dz = −∫∫∫

E

(grad g|grad f

)} dx dy dz+

∫∫Σ=∂E

g∂f

∂νedΣ

Sottraendo la prima identita dalla seconda si ottiene il seguente For-mula di Green:

∫∫∫E

{(∆f)g − f(∆g} dx dy dz =

∫∫Σ=∂E

{ ∂f∂νe

g − f ∂g∂νe} dΣ

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