L’integrale indefinito Le primitive di una funzione

1

Diciamo che una funzione è una primitiva di un’altra funzione in un dato intervallo

se in ogni punto di F(x) f (x) I

F '(x) = f (x) I.

Per esempio:

se allora perché

se allora perché

f '(x) = cos x F(x) = sin x D sin x[ ] = cos x

f '(x) = 2x F(x) =x2 D x2⎡⎣ ⎤⎦= 2x

Le primitive di una funzioneL’integrale indefinito

L’integrale indefinito

se tutte le primitive sono

se tutte le primitive sono

Ogni funzione ha infinite primitive che differiscono tra loro per una costante; relativamente ai

precedenti esempi:f (x)

f '(x) = cos x F(x) = sin x+c

f '(x) = 2x F(x) = x 2+ c

L’insieme di tutte le primitive di una funzione si dice integrale indefinito di e si indica

con il simbolo:

f (x)dx∫

f (x) f (x)

2


con c costante reale.


ESEMPI

1) L’insieme delle primitive della funzione è:f (x) =1

2) L’insieme delle primitive della funzione è:f (x) = 3x 2

1dx = x + c∫

3x2 dx = x3 + c∫

perché

perché

D x + c[ ] =1

D x3 + c⎡⎣ ⎤⎦= 3x2

3



4

Per trovare l’integrale indefinito delle funzioni elementari dobbiamo in un certo senso invertire le

regole di derivazione. Ricordiamo le primitive di alcune tra le principali funzioni.

1dx = x + c∫

1xdx = ln x∫ + c

sin x dx = −cos x + c∫

xk dx = 1k +1

xk+1 + c se k ≠ −1∫

ex dx = ex + c∫

cos x dx = sin x + c∫



5

ESEMPI

x5 dx = 15+1

x5+1 + c = 16x6 + c∫1)

ò ò +=+=++

==+

cxxcxcxdxxdxx 3341

31

31

3

43

43

1311

2)

3)

4)

1x4dx∫ = x−4 dx∫ =

1−4+1

x−4+1 + c = −13x−3 + c = − 1

3x3+ c

2 dx∫ = 2x + c



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I metodi di integrazione

Le prime proprietà dell’integrale indefinito e il metodo di scomposizione.

n L’integrale del prodotto di una funzione per una costante è uguale al prodotto della costante perl’integrale della funzione. In simboli

k ⋅ f (x)dx = k ⋅ f (x)dx con k ∈ R∫∫

n L’integrale della somma algebrica di due o più funzioni è uguale alla somma algebrica degliintegrali delle singole funzioni. In simboli

f1(x)+ f2 (x)+.....+ fn (x)[ ]∫ dx = f1(x)dx∫ + f2 (x)∫ dx +..... + fn (x)∫ dx

Queste due proprietà ci dicono che l’integrale indefinito è un operatore lineare, cioè:

k1 f1(x)+ k2 f2 (x)+.....+ kn fn (x)[ ]∫ dx = k1 f1(x)dx∫ + k2 f2 (x)∫ dx +..... + kn fn (x)∫ dx


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Il metodo di integrazione che sfrutta le precedenti proprietà prende il nome di

metodo di scomposizione o decomposizione.

ESEMPI

1. 4x2 dx = 4 x2 dx = 4 12+1

x2+1 + c = 43x3 + c∫∫

2. (ex − sin x)dx∫ = ex dx − sin x dx = ex + cos x + c∫∫

3. x2 +1x

dx = x2

xdx∫ +

1xdx∫ = x dx + 1

xdx = 1

1+1x1+1 + ln x + c = 1

2x2 + ln x + c∫∫∫



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Dalla regola di derivazione delle funzioni composte:

D f (g(x))[ ] = f '(g(x)) ⋅ g '(x)

Ricaviamo, leggendo in senso inverso:

f '(g(x)) ⋅ g '(x)dx = f (g(x))+ c∫

Per integrare una funzione composta dobbiamo quindi avere come fattore moltiplicativo la derivata

del suo argomento.

L’integrazione delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta



9

ESEMPIO

sin3 x ⋅cos x∫ dx

è la funzione potenza il cui argomento è , la derivata di

è . Possiamo quindi applicare la regola:f '(g(x)) (sin x)3 g(x) = sin x g(x)g '(x) = cos x

sin3 x ⋅cos x∫ dx = 13+1

(sin x)3+1 + c = 14sin4 x + c

f ' g '

Infatti:

D 14sin4 x + c

⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥=14⋅ 4sin3 x ⋅cos x cioè sin3 x ⋅cos x



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ALTRI ESEMPI

1.ln2 xx

dx∫

Utilizziamo la regola di integrazione della potenza:

f (x)[ ]k ⋅ f '(x)dx∫ dove f (x) = ln x f '(x) = 1x

e

ln2 xx

dx = ln2 x∫ ⋅1xdx∫ =

13ln3 x + c

f k f '



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2.x

x4 +1∫

Dobbiamo riferirci alla regola di integrazione di

f '(x)f (x)[ ]2 +1

∫ dove f (x) = x2 f '(x) = 2xe

12

2x(x2 )2 +1

dx∫ =12arctan x2 + c

f

f '

Per avere dobbiamo moltiplicare, e quindi dividere per 2:f '(x)


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L’integrale indefinito Integrazione per parti

Integrazione per parti

Date due funzioni ! " e #(") continue con derivata continua in un intervallo[', )], si ha:

+!, " - # " ." = ! " - # " − +!(") - #, " ."

Questa formula si applica quando la funzione integranda può essere vista comeprodotto di due funzioni, una delle quali è la derivata di una funzione nota.

La funzione #(") prende il nome di fattore finito.La funzione !(") prende il nome di fattore differenziale.

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L’integrale indefinito Integrazione per parti

ESEMPIO

!" # $%&" = $% # " − ! $% # 1 &" = "$% − $% + +

,(") /′(") /(") ,(") /(") ,′(")

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L’integrale indefinito Integrazione per sostituzione

Integrazione per sostituzione

Questo metodo si usa quando, operando un cambio di variabile, si riesce ad ottenereun integrale immediato o facilmente calcolabile.

Posto ! = #(%) si sfrutta l’uguaglianza:

'( ! )! = '([# % ] , #- % )%

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ESEMPIO

Calcoliamo

! "1 + " %".

I passo: poniamo " = ( cioè " = (), con ( ≥ 0.

La funzione da integrare diventa: ,-.,/.

II passo: dobbiamo calcolare %".

Differenziamo entrambi i membri dell’uguaglianza " = ():

%" = 2( %(.

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III passo: operiamo le sostituzioni.

! "1 + " %" = ! '

1 + '( ) 2' %' = ! 2'(1 + '( %'

Calcoliamo l’integrale:

! 2'(1 + '( %' = 2! '(

1 + '( %' = 2! '( + 1 − 11 + '( %' =

= 2 ! '( + 1'( + 1 %' − ! 1

1 + '( %' = 2 !%' − arctan ' + 1 =

= 2 ' − arctan ' + 1

IV passo: operiamo la sostituzione inversa; otteniamo:

! "1 + " %" = 2 " − 2 arctan " + 1

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Sintetizziamo la procedura:

• si opera una opportuna sostituzione ! = # $• si differenziano entrambi i membri della relazione ottenendo %! = #& $ %$• si sostituisce a %! la sua espressione in funzione di $• si integra la nuova funzione in $ ottenuta• si opera infine la sostituzione inversa.

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Segnaliamo alcune sostituzioni particolari, dove ! rappresenta un numero reale:

• ∫ !# − %# &% si pone % = ! sin +

• ∫ %# ± !# &% e ∫ -./±0/ &% si pone %# ± !# = + − %

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L’integrale indefinito Integrazione delle funzioni razionali fratte

Il caso ! ≥ #

Se la frazione $(&)((&) ha il numeratore di grado maggiore o uguale di quello deldenominatore, si esegue la divisione tra polinomi:

)(*)+(*) = - * + /(*)

+(*)- * : quoziente/ * : resto

Il calcolo dell’integrale si riconduce alla determinazione della primitiva del polinomio -(*) e della frazione 1(&)2(&) con le regole viste nei casi precedenti.

Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma $(&)((&) ,dove )(*) è un polinomio di grado 3 e +(*) è un polinomio di grado 4.

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ESEMPIO

!"# + 1" + 1 &"

Eseguiamo la divisione:"# + 1 " + 1

−"# − " " − 1−" + 1+" + 1

2

Quindi:

!"# + 1" + 1 &" = ! " − 1 &" + ! 2

" + 1 &" ="#2 − " + 2 ln " + 1 + ,

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Vogliamo occuparci dell’integrazione delle funzioni che si presentano nella forma !(#)%(#) ,dove &(') è un polinomio di grado ( e )(') è un polinomio di grado *.

Integrazione delle funzioni razionali fratte

Il caso + < -

Poiché il grado del numeratore è minore di quello del denominatore diciamo che la frazione è propria.

Le procedure di integrazione sono diverse a seconda della forma che assume la frazione.

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Qualunque sia il grado del denominatore, si ha:

!"′(%)"(%) '% = ln " % + ,

Integrale in cui il numeratore è la derivata del denominatore

ESEMPIO

! 13% − 4 '% =

13!

33% − 4 '% =

13 ln 3% − 4 + ,

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ESEMPIO

! 1(2% + 7)) *% =

12!2(2% + 7),)*% = 1

2 - . /− 13 2% + 7 ,2 + 3 = − 16 2% + 7 2 + 3

Integrali della forma ∫ 6(789:); con ; > 6

! 1(=% + >)? = !(=% + >),?*% = 1

=!=(=% + >),?*% = 1=(−@ + 1) (=% + >),?9A+3

Applichiamo la regola della potenza:

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Integrali della forma ∫ "#$%&#'$(#$) con & ≠ +

I CASO: il discriminante è positivo Il denominatore si può scomporre nel prodotto di due o più fattori:

,-. + 0- + 1 = , - − -4 - − -. .In tal caso:• scriviamo la frazione come somma di altre frazioni che hanno come denominatori

i fattori della scomposizione;• integriamo ciascuna frazione ottenuta.

Il metodo di integrazione è diverso a seconda del segno del discriminante del polinomio al denominatore.

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ESEMPIO

! 13$% − 4$ + 1 )$

Scomponiamo il denominatore:

3$% − 4$ + 1 = 3 + ,$ − 13 $ − 1 = 3$ − 1 $ − 1

Cerchiamo due numeri - e . tali che sia:

13$% − 4$ + 1 =

-3$ − 1 +

.$ − 1

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Poiché

!3# − 1 +

'# − 1 =

! # − 1 + '(3# − 1)(3# − 1)(# − 1) = !# − ! + 3'# − '

(3# − 1)(# − 1) = # ! + 3' − ! − '(3# − 1)(# − 1)

affinché sussista l’uguaglianza

13#+ − 4# + 1 =

# ! + 3' − ! − '(3# − 1)(# − 1)

per il principio di identità dei polinomi dovrà essere:

-! + 3' = 0 manca il termine in x−! − ' = 1 il termine noto vale 1

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Risolvendo il sistema otteniamo:

! = −32 ∧ ' = 12

Possiamo perciò scrivere:

) 13*+ − 4* + 1 .* = ) −3/2

3* − 1 .* + ) 1/2* − 1 .* =

= −12)3

3* − 1 .* +12)

1* − 1 .*

= −12 ln 3* − 1 + 12 ln * − 1 + 2

e applicando la proprietà dei logaritmi:12 ln

* − 13* − 1 + 2

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II CASO: il discriminante è nulloIl denominatore è il quadrato di un binomio.

Se il numeratore è costante rientriamo nel caso di integrazione di una potenza.

Se il numeratore è un polinomio di primo grado, allora:

• scriviamo la frazione come somma di altre due, la prima delle quali ha aldenominatore il binomio e l’altra il quadrato del binomio;

• integriamo ciascuna frazione ottenuta.

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ESEMPIO

! 2# + 14#' − 4# + 1 )# = ! 2# + 1

(2# − 1)' )#

Cerchiamo due numeri - e . tali che sia:

2# + 1(2# − 1)' =

-2# − 1 +

.(2# − 1)'

30


Perciò:• eseguendo la somma delle due frazioni:

!2# − 1 +

'(2# − 1)* =

! 2# − 1 + '(2# − 1)* = 2!# − ! + '

(2# − 1)*• allora dovrà essere:

, 2! = 2−! + ' = 1 → .! = 1

' = 2Possiamo quindi scrivere:

/ 2# + 1(2# − 1)* 0# = / 1

2# − 1 0# + / 2(2# − 1)* =

12/

22# − 1 0# + /2(2# − 1)1*0#

Integrando otteniamo:12 ln 2# − 1 − 1

2# − 1 + 4

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III CASO: il discriminante è negativo

Caso del numeratore costante

Il metodo di integrazione consiste nel ricondursi alla forma nota:

! "′(%)[" % ])++ ,% =

1+/012/3 "(%)

++ 1 (143 + > 0)

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ESEMPIO

! 53$% − 2$ + 1 *$

Per trasformare il denominatore seguiamo il seguente procedimento:

1. raccogliamo il coefficiente del termine di grado massimo: 3 $% − %+ $ +

,+

2. aggiungiamo e togliamo all’interno della parentesi un termine opportuno in modo da ricondurci al quadrato di un binomio:

3 $% − 23 $ +

13 = 3 $% − 2

3 $ +19 −

19 +

13 = 3 $ − 1

3%+ 29

33


L’integrale diventa:53#

1

% − 13

'+ 29+%

con , % = % − ./, ,0 % = 1, 1 = '

2.

Applicando la regola di integrazione troviamo:

# 53%' − 2% + 1 +% =

53129345637

% − 1329+ 5 = 5 2

2 345637 2(3% − 1)2 + 5

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Caso in cui il numeratore è un polinomio di primo grado

In questo caso dobbiamo prima trasformare il numeratore in modo che compaia la derivata del numeratore e poi riscrivere la frazione come somma di due componenti: una in cui il numeratore è la derivata del denominatore e l’altra in cui il numeratore è costante.

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ESEMPIO

! " + 1"% + " + 1 &"

' "% + " + 1 = 2" + 1.

Moltiplichiamo e dividiamo la frazione per 2 in modo da ottenere 2":12!

2" + 2"% + " + 1 &"

Abbiamo così:12!

2" + 1 + 1"% + " + 1 &" =

12 ! 2" + 1

"% + " + 1 &" + ! 1"% + " + 1 &" =

= 12!

2" + 1"% + " + 1 &" +

12!

1"% + " + 1 &"

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Calcoliamo separatamente i due integrali omettendo per il momento la costante additiva:

12#

2$ + 1$& + $ + 1 '$ =

12 ln($

& + $ + 1)

12#

1$& + $ + 1 '$ =

12#

1$& + $ + 1

4 −14 + 1

'$ = 12#

1

$ + 12

&+ 34'$ =

= 12 0

134123415

$ + 1234

= 33 123415 3(2$ + 1)

3

In definitiva:

# $ + 1$& + $ + 1 '$ =

12 ln $

& + $ + 1 + 33 123415 3(2$ + 1)

3 + 3

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Riassumiamo in una tabella la procedura di calcolo nei tre casi visti:

L’integrale indefinito Le primitive di una funzione

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