Appunti di analisi matematica: Integrale Definito

Il concetto d’integrale nasce per risolvere due classi di problemi:

Integrale Definito

Integrale Indefinito

• Calcolo delle aree di fig. delimitate da curve• Calcolo di volumi• Calcolo del lavoro di una forza• Calcolo dello spazio percorso …..

• Problema inverso del calcolo della derivata: nota la derivata di una funzione calcolare la funzione stessa. • Applicato ad esempio alle equazioni differenziali

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Integrale Definito - Calcolo delle Aree

Area del TrapezoideVogliamo calcolare l’area della figura mistilinea determinata dal diagramma di una funzione y = f(x) definita e continua nell’intervallo [a, b]

b x

y

C

BA

a

D

Possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli inscritti

Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base:

x

y

C

BA

ba

D

Quindi:

s = (mi × h)

È l’area del plurirettangolo inscritto

mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo inscritto

h

mi

h = (b – a)/n

mi = al minimo della funzione in ognuno degli intervalli e altezza

Per determinare l’area S del plurirettangolo circoscritto:

x

y

C

BA

ba

D

Quindi

S = (Mi × h)

È l’area del plurirettangolo circoscritto

Analogamente possiamo determinare l’area approssimandola con dei rettangoli circoscritti

Dividendo in n parti l’intervallo [a, b], avremo n rettangoli di base h = (b – a)/n e altezza Mi = al massimo della funzione in ognuno degli intervalli

Mi × h è l’area dello i-esimo rettangolo circoscritto

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L’area A del trapezoide sarà sempre compresa tra s e S

A s = areaRett.inscritti S = areaRett.circoscritti

x

y

C

BA

ba

D

Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione di S sarà sempre più precisa.

Considerando un numero di rettangolini via via crescente avremo due successioni di aree:

plurirettangoli inscritti s1, s2, … sn, …

plurirettangoli circoscritti S1, S2, …Sn,…

che convergono all’area del trapezoide ABCD

Teorema. Se y = f(x) è continua e positiva in [a, b], allora le successioni delle aree s1, s2, … sn … e S1, S2, …Sn,…

convergono allo stesso limite S uguale all’area del trapezoide ABCD

ASls nn

nn

imlim

Integrale Definito1.Data la funzione y=f(x) definita e continua in [a, b], 2.Dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti3.Indichiamo con mi = min f(x) e con Mi = max f(x) nell’intervallino i-esimo di ampiezza h (*)

Bx

y

C

A

ba

D

mi

Mi

i

Possiamo quindi giungere al concetto d’integrale definito

h

sn =AreaPluriRettinscr. = mih

Sn =AreaPluriRettcirco. = Mih

ARettcirco. = Mih

ARettinscr. = mih

(*) mi ed Mi esistono sicuramente per il teorema di Weierstrass

Allora, indicando con f(xi ) il valore della funzione in un punto qualsiasi xi dell’intervallo i-esimo:

Bx

y

C

A

ba

D

mi

Mi

xi

f(xi )

Si ha:

9

Ahxfi

in

)(lim

Bx

y

C

A

ba

D

m

i

M

i

xi

f(xi)

Per il teorema del confronto avremo che anche :

Moltiplicando per h avremo che:

Poiché per quanto visto AhMhmi

in

ii

n

limlim

Data la funzione y=f(x) continua in [a, b], si dice Integrale definito di f(x) relativo all’intervallo [a, b] il limite

AhxfhMhmi

in

ii

ni

in

)(limlimlim

b

a

dxxf )(e si indica con

Allora, possiamo dare la seguente definizione:

Proprietà dell’integrale

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

dxxgdxxfdxxgxf

dxxfkdxxkf

)()()()(

)()(

L’integrale è un operatore lineare:

Integrale Definito - Proprietà

Teorema della Media

Se y = f(x) è una funzione continua nell’intervallo chiuso e limitato [a, b] allora esiste almeno un punto c(a, b) tale che:

Cioè esiste sempre un rettangolo di base AB e altezza uguale a f(c) avente la stessa area del rettangoloide.

)()()( cfabdxxfb

a

x

y

C

BA

ba

D

f(c)

c

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Funzione Primitiva

Il calcolo dell’integrale come limite delle somme indicate, ancorchè possibile può essere (e nella maggior parte dei casi lo è) estremamente complesso e per nulla conveniente, occorre allora trovare un altro sistema per calcolarlo.

Per calcolare quest’area ci serviamo di una particolare funzione detta funzione Integrale:

Sia y = f(x) funzione continua nell’intervallo [a, b], consideriamo un punto x variabile (a, b)

Al variare di x l’integrale

è un’area compresa tra a e x e quindi variabile al variare di x, cioè è una funzione di x che indicheremo con F(x) e chiameremo funzione integrale

x

a

dttf )(

b x

y

C

BA

a

D

f(x)

x

x

a

dttfxF )()(

Teorema di Torricelli- BarrowSe y = f(x) è continua in [a, b] allora la funzione integrale

è derivabile e risulta: F’(x) = f(x);

cioè F(x) è una primitiva di f(x), cioè della funzione integrale calcolata nell’estremo superiore.

In particolare

Se x = a se x = b

x

a

dttfxF )()(

b

a

a

a

dttfbFdttfaF )()()()( 0

La funzione integrale è caratterizzata dal seguente teorema fondamentale che ci fornirà il metodo per il calcolo dell’area:

Dim

L’incremento di F(x) (area del rettangoloide di base x, x+h) è:

b x

y

C

BAa

D

x + h

hx

a

x

a

dttfhxF

dttfxF

)()(

)()(

x

Consideriamo l’intervallino [x, x+h]: avremo

x

a

hx

a

dttfdttfxFhxFF )()()()(

semplificando

hx

x

x

a

hx

x

x

a

x

a

hx

a

dttfdttfdttfdttfdttfdttfF )()()()()()(

hcfdttfFhx

x

)()(

)()()(

cfh

xFhxF

h

F

)()()()(

)(' limlimlim000

xfcfh

xFhxF

h

FxF

hhh

Per il teorema della media esiste c nell’intervallo [x , x+h] tale che:

Dividendo i termini per h:

e, passando al limite per h 0,

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)()(' xfxF Cioè la derivata di F(x) = f(x)

)()(lim0

xfcfh

Non dimentichiamo che x < c < x+h per cui se h 0 c x

Perché è proprio

?

)()()()(

)(' limlimlim000

xfcfh

xFhxF

h

FxF

hhh

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Se F(x) è una primitiva di f(x) allora anche G(x) = F(x) + c c R è una primitiva di f(x)

e quindise F(x) e G(x) sono primitive di f(x) allora

G(x) - F(x) = c

Ricordiamo che una funzione ammette infinite primitive che differiscono per una costante reale e costituiscono una famiglia di infinite curve ottenibili per traslazione secondo l’asse y.

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Integrale Definito - Proprietà

Calcolo dell’Integrale DefinitoFormula di Newton-Leibniz

cxGdttfx

a

)()(

Finalmente possiamo calcolare l’integrale definito

rapezoide tareadttfb

a

)(

Considerando la funzione integrale avremo:

e per x = a 0 caGdttfa

a

)()(

Da cui c = G(a) )()()()( aGxGcxGdttfx

a

e per x = b bab

a

xGaGbGdttf )()()()(

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Integrale Definito - Proprietà

Teorema fondamentale del calcolo integrale

L’integrale definito di una funzione continua y=f(x), calcolato nell’intervallo [a, b], è uguale alla differenza tra i valori che una qualunque primitiva di f(x) assume agli estremi superiore e inferiore dell’intervallo d’integrazione.

)()()()( aGbGxGdttf ba

b

a