Lezione 13 (7 dicembre)• Polinomio di Taylor

• Integrale definito: significato geometrico

• Primitiva di una funzione

Polinomio di Taylor e approssimazioniApprossimazione di una funzione nell’intorno di un punto usando il Polinomio di Taylor:

Sia 𝑓: 𝑎, 𝑏 → 𝑅 una funzione derivabile in 𝑥0 ∈ (𝑎, 𝑏)

• Prima approssimazione:

Equazione della retta tangente 𝑦 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

⇒ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 + 𝑂(𝑥 − 𝑥0)

dove 𝑂 𝑥 − 𝑥0 è l’errore nell’approssimazione, 𝑂 𝑥 − 𝑥0 → 0 quando 𝑥 → 𝑥0

Polinomio di Taylor di ordine 1 centrato in 𝑥0:

𝑇 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′(𝑥0)(𝑥 − 𝑥0)

Polinomio di Taylor e approssimazioni

Per una maggiore precisione si aumenta il grado del polinomio di Taylor:

• Formula di Taylor di ordine 2:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!

𝑥 − 𝑥02 + 𝑂 𝑥 − 𝑥0

2

E in generale se la funzione è derivabile 𝑛 volte:

• Formula di Taylor di ordine 𝑛:

𝑓 𝑥 =

𝑘=0

𝑛𝑓(𝑘) 𝑥0

𝑘!𝑥 − 𝑥0

𝑘 + 𝑂 𝑥 − 𝑥0𝑛

ovvero:

𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥0 + 𝑓′ 𝑥0 𝑥 − 𝑥0 +𝑓′′ 𝑥02!

𝑥 − 𝑥02 +⋯

…+𝑓𝑛 𝑥0𝑛!

𝑥 − 𝑥0𝑛 + 𝑂 𝑥 − 𝑥0

𝑛

Esempio

Data la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑒2𝑥, si scrivano le formule di Taylor fino all’ordine 3

• 𝑓′ 𝑥 = 2𝑒2𝑥 𝑇 𝑥 = 1 + 2𝑥

• 𝑓′′ 𝑥 = 4𝑒2𝑥 𝑇 𝑥 = 1 + 2𝑥 + 2𝑥2

• 𝑓′′′ 𝑥 = 8𝑒2𝑥 𝑇 𝑥 = 1 + 2𝑥 + 2𝑥2 +8

6𝑥3

Esercizi

• Determinare il polinomio di Taylor di ordine 2 centrato in 𝑥0 = 1 della funzione

𝑓 𝑥 = log(𝑥 + 1).

• Determinare il polinomio di Taylor di ordine 5 centrato in 𝑥0 = 0 della funzione

𝑓 𝑥 = sin 𝑥.

• Determinare il polinomio di Taylor di ordine 6 centrato in 𝑥0 = 0 della funzione

𝑓 𝑥 = cos 𝑥.

Integrali

• Integrale definito e area con segno

• Primitiva di una funzione e integrale indefinito

• Calcolo di aree

• Metodi di integrazione: per parti e per sostituzione

Calcolare l’area di una regione piana

Sia 𝑓 𝑥 una funzione positiva e continua definita nell’intervallo [𝑎, 𝑏]. Si vuole calcolare l’area della regione piana delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle 𝑥 e dalle rette 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏

𝑎 𝑏

Calcolare l’area di una regione pianaLa somma di questi rettangoli interamente contenuti nella regione di interesse approssima per difetto la sua area

𝑨𝟓− ≤ 𝑨

La somma di questi rettangoli contenenti al loro interno la regione di interesse, approssima per eccesso la sua area

𝑨𝟓+ ≥ 𝑨

Aumentando il numero dei rettangoli l’approssimazione sarà migliore.

𝐴𝑛− ≤ 𝐴 ≤ 𝐴𝑛

+

Calcolare l’area di una regione piana• Sia 𝑓 𝑥 una funzione positiva e continua definita nell’intervallo [𝑎, 𝑏]. L’area della

regione piana delimitata dal grafico della funzione, dall’asse delle 𝑥 e dalle rette 𝑥 =𝑎 e 𝑥 = 𝑏 si ottiene come

dove 𝐴𝑛− e 𝐴𝑛

+ sono le somme di Riemann (rispettivamente somma inferiore e superiore) definite da

𝐴𝑛+ =

𝑖=1

𝑛

Δ𝑥 max𝐼𝑖

𝑓 𝐴𝑛− =

𝑖=1

𝑛

Δ𝑥 min𝐼𝑖

𝑓

Dove Δ𝑥 =𝑏−𝑎

𝑛e 𝐼1 = [𝑎, 𝑎 + Δ𝑥),

𝐼2 = [𝑎 + Δ𝑥, 𝑎 + 2Δ𝑥), … , 𝐼𝑛 = [𝑎 + (n − 1)Δ𝑥, 𝑏]

lim𝑛→∞

𝐴𝑛− = lim

𝑛→∞𝐴𝑛+ = 𝐴

Calcolare l’area di una regione piana

𝐴 = lim𝑛→∞

𝐴𝑛− = lim

𝑛→∞𝐴𝑛+

Definizione: Il valore 𝐴 si chiama integrale definito della funzione 𝑓(𝑥) nell’intervallo [𝑎, 𝑏]e si indica con

𝐴 = න

𝑎

𝑏

𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

𝑎 e 𝑏 sono detti estremo inferiore e superiore di integrazione, 𝑓 è detta funzione integranda.

Primitiva di una funzione

Definizione:

Data una funzione 𝑓(𝑥), la funzione 𝐹(𝑥) è detta primitiva di 𝑓(𝑥) se in tutti i punti del suo dominio è soddisfatta l’uguaglianza

𝐹′ 𝑥 = 𝑓 𝑥

• Teorema: Se 𝐹(𝑥) è primitiva di 𝑓(𝑥), anche 𝐹 𝑥 + 𝑐, ∀𝑐 ∈ 𝑅, è primitiva di 𝑓(𝑥).

Dimostrazione: si ha infatti (𝐹(𝑥) + 𝑐)′ = 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)

Quindi le primitive di 𝑓(𝑥) sono infinite.

Primitive di funzioni elementari

Funzione 𝒇(𝒙) Primitiva 𝑭(𝒙)

𝑥𝛼 𝑥𝛼+1

𝛼 + 1

1

𝑥

ln |𝑥|

𝑒𝑥 𝑒𝑥

cos 𝑥 sen 𝑥

sen 𝑥 −cos 𝑥

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Data una funzione 𝑓 𝑥 definita e continua nell’intervallo [𝑎, 𝑏], se 𝐹(𝑥) è una primitiva di

𝑓(𝑥), allora l’integrale definito è dato da

_________________________________________________________________________

Esempio:

න1

2

2𝑥𝑑𝑥 = ቚ𝑥21

2= 22 − 12 = 3

infatti 𝐹 𝑥 = 𝑥2 e quindi

න1

2

2𝑥𝑑𝑥 = 𝐹 2 − 𝐹(1) = 22 − 12 = 3

න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑏 − 𝐹(𝑎)

Integrale Indefinito

• Data una funzione 𝑓(𝑥) definita e continua su R, l’insieme delle primitive indicata con

prende il nome di integrale indefinito della funzione 𝑓(𝑥).

• Esercizio: Date le funzioni considerate nell’intervallo assegnato, calcolarne una primitiva, l’integrale indefinito e l’integrale definito

𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 nell’intervallo −1

2, 0

𝑔 𝑥 = 𝑥3 nell’intervallo 1, 2

𝐹 𝑥 + 𝑐 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Esempi

• Data la funzione 𝑓 𝑥 = 𝑥, si calcoli una primitiva e l’area della regione di piano racchiusa tra il grafico della funzione, l’asse delle 𝑥 e le rette di equazione 𝑥 = 0 e 𝑥 = 1.

න

0

1

𝑥𝑑𝑥 = อ𝑥2

20

1

=12

2−02

2=1

2

• Calcolare geometricamente l’area del triangolo di vertici (0,0), (1,0), (1,1) e verificare che è uguale all’area calcolata mediante l’integrale.

Integrali elementari

Per le seguenti funzioni continue, valgono le formule, dove c è una costante arbitraria

නcos 𝑥 𝑑𝑥 = sin 𝑥 + 𝑐

∫ 𝑒𝛼𝑥 𝑑𝑥 =𝑒𝛼𝑥

𝛼+ 𝑐∫ 𝑒𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝑐

∫ 𝑥−1 𝑑𝑥 = ln |𝑥| + 𝑐න𝑥𝑛 𝑑𝑥 =

𝑥𝑛+1

𝑛 + 1+ 𝑐

න1

cos2 𝑥𝑑𝑥 = tan 𝑥 + 𝑐 න

1

𝑥2 + 1𝑑𝑥 = arctan 𝑥 + 𝑐

න sin 𝑥 𝑑𝑥 = −cos 𝑥 + 𝑐

per 𝑛 ≠ −1

Proprietà degli integrali

Date due funzioni continue 𝑓 𝑥 e 𝑔 𝑥 e una costante 𝑐, si ha

• ∫ 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• ∫ 𝑐 ⋅ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐∫ 𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Le stesse proprietà valgono per gli integrali definiti, in particolare si ha

• ∫𝑎𝑏𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 = ∫𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥 + ∫𝑎

𝑏𝑔 𝑥 𝑑𝑥

• ∫𝑏

𝑎𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = −∫

𝑎

𝑏𝑓 𝑥 𝑑𝑥

Integrale definito e area con segno

Attenzione! L’integrale definito determina l’area con segno! Si considerino per esempio:

න

1

4

−𝑥 𝑑𝑥 = −15

2න

0

𝜋2

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 1 න

−𝜋2

𝜋2

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = 0න

−𝜋2

0

𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑑𝑥 = −1

−𝜋

2

𝜋

2

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 > 0.

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Calcolo di aree

𝐴1 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴1

𝑓(𝑥)

𝐴2 = න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝑔(𝑥)

𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝐴2

𝐴

𝐴 = 𝐴1 − 𝐴2 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥).

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)𝐴 = න

𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 > 0 e 𝑔 𝑥 < 0.

𝑎 𝑏

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Calcolo di aree

𝑎

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

𝑏

𝐴1

𝐴2

𝐴1 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥

𝐴2 = −න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥

𝐴 = 𝐴1 + 𝐴2 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 𝑑𝑥 − න𝑎

𝑏

𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =

= න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥) 𝑑𝑥

Calcolo di aree

Si vuole calcolare l’area racchiusa tra i grafici delle funzioni 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) e le rette orizzontali 𝑥 = 𝑎 e 𝑥 = 𝑏, con 𝑓 𝑥 > 𝑔(𝑥), 𝑓 𝑥 < 0 e 𝑔 𝑥 < 0.

𝑏𝑎𝑔 𝑥 + ℎ

𝑓 𝑥 + ℎ

𝑔(𝑥)

𝑓(𝑥)

Traslando entrambe le funzioni verso l’alto di h unità, le funzioni diventano positive e l’area può essere calcolata come

𝐴

𝐴

𝐴 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑔 𝑥 + ℎ 𝑑𝑥 = න𝑎

𝑏

𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

Esercizi

• Determinare l’area della regione di piano racchiusa tra i grafici delle funzioni

𝑓 𝑥 = 3 − 𝑥 e 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 2 − 4.

න

−2

3

(𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥 = න

−2

3

3 − 𝑥 − 𝑥 − 1 2 − 4 𝑑𝑥 =

= න

−2

3

(−𝑥2 + 𝑥 + 6)𝑑𝑥 =125

6

• Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle

funzioni 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 e 𝑔 𝑥 =𝑥2

2− 𝑥 − 2. (Soluzione:

16

3)

Metodi di integrazione

Integrazione per parti:

Dal teorema fondamentale e dalla regola di derivazione del prodotto si ha la seguente formula di integrazione per parti:

• Sia 𝐹(𝑥) una primitiva di 𝑓(𝑥) e 𝐺(𝑥) una primitiva di 𝑔(𝑥)

Esempio

∫ 𝑓 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 𝑑𝑥 = 𝐹 𝑥 ⋅ 𝐺 𝑥 − ∫ 𝐹 𝑥 ⋅ 𝑔 𝑥 𝑑𝑥

න ln 𝑥 𝑑𝑥 = න1 ⋅ (ln 𝑥 ) 𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅ ln 𝑥 ′𝑑𝑥 =

= 𝑥 ln 𝑥 − න𝑥 ⋅1

𝑥𝑑𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 − 𝑥 + 𝑐

Esempio

Calcolare

න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥

න𝑥 ⋅ cos 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − න1 ⋅ sin 𝑥 𝑑𝑥 =

= 𝑥 ⋅ sin 𝑥 − −cos 𝑥 + 𝑐 = 𝑥 ⋅ sin 𝑥 + cos 𝑥 + 𝑐

𝐺(𝑥) 𝑓(𝑥)