IL PROBLEMA Somma fra frazioni algebriche polinomi.pdf · Cosa significa quindi … scomporre un...
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IL PROBLEMA
Somma fra frazioni algebriche
Lezione di matematica
Prof Giovanni Ianne
Come facevi finora?Fra frazioni numeriche: Fra espressioni letterali semplici:
Es:
1 5
── − ── =
6 9
──── =
…..
Es:
1 5
── − ── =
ab b2
────b − 5a
ab2
Cosa fai?
Scomponi in fattori primi i denominatori:
6 = 2·3
9 = 32
Poi calcoliil mcm: 2·32 = 18
Quindi procedicome di consuetocon i numeratori
────3 − 10
18
Cosa fai?
Scomponi in fattori primi i denominatori:
ab = a·b
b2 = b2
Poi calcoliil mcm: a·b2 = ab2
Quindi procedicome di consuetocon i numeratori
──── =
…..
Procediamo in modo analogoanche per le frazioni algebriche
Fra frazioni algebriche:Fra frazioni numeriche:Es:
1 5
── − ── =
6 9
──── =
…..
Cosa hai fatto ?
Hai scomposto in fattoriprimi i denominatori:
6 = 2·3
9 = 32
Poi hai calcolatoil mcm: 2·32 = 18
Quindi hai proceduto come diconsueto con i numeratori
────3 − 10
18
Es:
1 5
──── − ──── =
(2x+2) (x2+x)
───?
??
Cosa faresti?
Devi scomporre in fattori primi i denominatori !!!
Potresti poi calcolare il mcm
Quindi procederesti come di consueto con i numeratori
Ma i denominatorisono polinomi!!!
Ma allora….
MA ALLORA…
IL PROBLEMA E’ CAMBIATO:
MA COME SI FA??
SI DEVONO SCOMPORRE I POLINOMI!!
Cosa significa quindi …scomporre un polinomio in fattori?
Significa scrivere il polinomio
x2 + x
Polinomio di 2° grado
Tramite il metodo di scomposizione in fattori
Forma additiva Forma moltiplicativa
come prodotto di polinomi di grado minore o uguale a quello del polinomio dato ossia:
In altri termini:
Addendo Addendo
x (x+1)
2 Polinomi di 1° grado
FattoreFattore
sommamoltiplicazione
Formula additiva Formula moltiplicativa Alcuni esempi
Forma additiva Forma moltiplicativa
2 Polinomi di 1° grado
3a (1+2b)
Addendo Addendo
somma
FattoreFattore
moltiplicazione
(a+1) (a+2)
2 Polinomi di 1° grado
Fattore Fattore
moltiplicazione
3a 6ab
Polinomio di 1° grado
+
a2 3a 2
Polinomio di 2° grado
++
AddendoAddendo Addendo
sommasomma
Polinomi Riducibili o Irriducibili ?
3a + 6ab = 3a (1+2b) (verifica:3a·1+3a·2b=3a + 6ab)
• 3a (1+2b) sono due fattori irriducibili
a2 + 3a + 2 = (a+1) (a+2) (verifica: a2+2a+a+4= a2+3a+2)
• (a+1) e (a+2) sono due fattori irriducibili
Un polinomio che si può scrivere come prodotto di polinomi ciascuno dei quali
di grado minore o al più uguale al polinomio dato
Riducibile
Un polinomio che non può essere scritto come prodotto di polinomi
Irriducibile
Ma come si fa a scomporre un
polinomio in fattori?Come ti sarai reso conto
il problema della fattorizzazione è diventato molto più complesso.Lavorando con i numeri le difficoltà insorgono quando
si trattano numeri “abbastanza grandi”,invece quando si lavora con i polinomi
si possono incontrare notevoli difficoltàanche quando consideriamo polinomi di grado “piccolo”
Perché accade questo ?Perché non esistono delle regole che consentono, in generale, di
trovare la scomposizione di un polinomio
E allora come facciamo ?
Prima di tutto: NON TI SCORAGGIARE
Vai avanti e lo scoprirai !!!!
Linee guida per la scomposizione (1)
Non esistono delle regoleben precise per la
scomposizione dei polinomiMA
Esistono, in ogni caso, dei metodi da scegliere in modo opportuno, in funzione del
polinomio
Come si fa a scegliere il metodo più opportuno ?
Ci si basa principalmente su due criteri guida
Raccogliere a fattor comune il M.C.D., se esiste e se è diverso
da 1, tra tutti termini delpolinomio Contare i termini che compongono
il polinomio
Nota Bene:L’abilità nella scelta del metodo più opportuno e
nella combinazione dei vari metodi possono essere
acquisite solo con l’esperienza e l’esercizio
Linee guida per la scomposizione (2)
Contare i termini del polinomio
2° Passo
Sono Due ?
Applica la tecnica
•Differenza di due quadrati•Somma o differenza di duecubi
Sono Tre ?
Applica la tecnica
•Sviluppo del quadrato diun binomio•Un trinomio di secondogrado
SI POI
NONO COME ?
3° Passo
Tentare con la tecnica di
Scomposizione Parziale
Tentare con il Teorema e la
Regola di Ruffini
Non sono due, né tre, né
quattro o sei
oppure
Non è possibileapplicare
nessuna delle tecniche suggerite
Applica la tecnica
•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di unbinomio
Sono Quattro?
Applica la tecnica
•Cubo di un binomio•Differenza di due quadratidi cui uno è il quadrato di unbinomio
•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi
Applica la tecnica
•Quadrato di un trinomio•Differenza dei quadratidi due binomi
Sono Sei ?
Applica la tecnica
1° Passo
Verificare se è possibile applicare il Metodo di
Raccoglimento a Fattor Comune (o Totale)
Applicare la tecnicadi Raccoglimento
Totale
Verificare se il polinomio è
ulteriormente scomponibile
Per continuare,
seleziona una tecnica