Hynek Kovarik · 2019-09-27 · Fattorizzazione di polinomi Sia w una radice del polinomio P, di...

Numeri complessi

Hynek Kovarik

Universita di Brescia

Analisi Matematica 1

Hynek Kovarik (Universita di Brescia) I numeri complessi Analisi Matematica 1 1 / 33

Introduzione

L’introduzione dei numeri complessi e legata alla formula risolutiva

x1,2 =−b ±

√b2 − 4ac

2a(1)

per l’equazione quadratica

ax2 + bx + c = 0, a 6= 0.

Infatti, la formula (1) perde significato quando b2 − 4ac < 0, radicequadrata di un numero strettamente negativo!


Definizione

1 Chiamiamo unita immaginaria i il numero (complesso) tale che

i2 + 1 = 0.

2 Chiamiamo numero complesso z un oggetto che si scrive nella forma

z = x + iy , con a, b ∈ R.

I Il numero reale a e detto parte reale di z . Scriviamo

x = Re(z).

I Il numero reale b e detto parte immaginaria di z ; si scrive

y = Im(z).


Forma algebrica di un numero complesso

1 L’espressione z = x + iy e detta forma algebrica del numerocomplesso z . Si scrive anche z = Re z + i Im z .

2 Denotiamo con C l’insieme di numeri complessi:

C = {x + iy : x ∈ R, y ∈ R} .


Osservazioni1

Un numero z = x + iy ∈ C e reale se e solo se

Im z = 0.

2 Dati z1 = Re z1 + i Im z1 e z2 = Re z2 + i Im z2,

z1 = z2 ⇔ {Re z1 = Re z2

Im z1 = Im z2.


Identificazione fra C e R2

Ogni numero complesso z = x + iy si puo identificare con la coppia(x , y) ∈ R2: scriviamo

C ∼= R2.

Infatti:

1 C si rappresenta nel piano di Gauss: a ogni complesso z = x + iy siassocia il punto P = (x , y)

2 viceversa, a ogni P di coordinate cartesiane x ∈ R e y ∈ R, si associail numero complesso z = x + iy .


Operazioni sui numeri complessi

- somma:(x + iy) + (c + id) := (x + c) + i(y + d)

- prodotto:

(x + iy) · (c + id) := (xc − yd) + i(xd + yc).

Infatti,


- ogni z ∈ C \ {0} ha inverso rispetto al prodotto dato da

z−1 =x

x2 + y2− i

y

x2 + y2.

- le operazioni somma e prodotto godono della proprieta commutativa,associativa e vale la proprieta distributiva.

i


L’operazione di coniugio

Sia z = x + iy ∈ C. Il complesso coniugato di z e il numero complesso

z = x − i y = Re z − i Im z .

Geometricamente: e la simmetria rispetto all’asse reale.


Proprieta del coniugio

z + z = 2Re z

z − z = 2i Im z

(z1 + z2) = z1 + z2,

(z1 · z2) = z1 · z2,

z · z = (x + i y)(x − i y) = (Re z)2 + (Im z)2 ≥ 0,

z = z

z = z ⇔ z ∈ R.


Modulo

Dato un numero complesso z = x + i y , il suo modulo e il numero reale

|z | =√z · z =

√x2 + y2.

Osservazione: se z ∈ R, allora |z | coincide con il suo modulo=valoreassoluto.


Coordinate polari e forma trigonometrica di un numerocomplesso

• Il punto z ∼= P ∈ R2 puo essere rappresentato in coordinate polari

z = (ρ, θ)

con

ρ : distanza di z dall’origine O: ρ =√

x2 + y2 = |z |;

θ e l’angolo (in radianti,verso antiorario), compreso fra l’asse delle x ela retta congiungente O con z : e detto argomento di z ,

θ = argz .


Coordinate polari e forma trigonometrica di un numerocomplesso

Si hax = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

Si passa dalla forma algebrica z = x + i y alla sua forma trigonometrica

z = ρ(cos θ + i sin θ)


• Date le coordinate (ρ, θ), il numero z = x + i y risulta univocamentedeterminato dalle formule

x = ρ cos θ, y = ρ sin θ.

• Viceversa, dato z = x + i y , determino (ρ, θ):

- ρ =√x2 + y2 = |z |;

- θ e angolo che verifica

cos θ =x√

x2 + y2=

x

ρ, sin θ =

y√x2 + y2

=y

ρ.

Queste relazioni NON determinano UNIVOCAMENTE angolo θ (lefunzioni cos, sin sono periodiche di periodo 2π, quindi: se θ le verifica,anche θ + 2kπ, k ∈ Z, le verifica).


Formule di De Moivre

Dati

z1 = ρ1(cos θ1 + i sin θ1), z2 = ρ2(cos θ2 + i sin θ2) ∈ C

Si haz1 · z2 = ρ1ρ2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

Infatti,

z1 · z2 = ρ1ρ2

[cos θ1 cos θ2 − sin θ1 sin θ2

+ i (sin θ1 cos θ2 + cos θ1 sin θ2)]

= . . .


• Possiamo generalizzare formula per il prodotto a n fattori

z1 · z2 · . . . · zn= ρ1ρ2 . . . ρn

(cos(θ1 + θ2 + . . .+ θn) + i sin(θ1 + θ2 + . . .+ θn)

).

• In particolare, se tutti i fattori sono uguali:

zn = ρn [cos(nθ) + i sin(nθ)] .


Esempio

Scriviamo in forma algebrica (1 + i )7. Si ha

|1 + i | =√

2, arg(1 + i ) =π

4.

Pertanto

(1 + i )7 = (√

2)7

(cos

7

4π + i sin

7

4π

)= 8− 8i .


Esponenziale complesso

Problema

Definireez ∈ C, z ∈ C

in modo coerente con le proprieta delle potenze.

Definizione

ez = eRe z [cos(Im z) + i sin(Im z)] ∀ z ∈ C.

Quindi, se z = x + i y , allora

ez = ex(cos y + i sin y).

In questo modo e definita la funzione

exp : C→ C.


Esempi

e(3−i ) = e3 [cos(−1) + i sin(−1)] = e3(cos 1− i sin 1),

e2iπ = e0 [cos(2π) + i sin(2π)] = 1,

e iπ = e0(cos(π) + i sin(π)) = −1,

quindi

e iπ + 1 = 0

Formula di Eulero

Per ogni θ ∈ R vale

e i θ = cos θ + i sin θ


• Proprieta dell’esponenziale complesso:

ez 6= 0 ∀z ∈ C

ez1 · ez2 = ez1+z2 ∀z1, z2 ∈ C,

eze−z = 1 ∀ z ∈ C,

|ez | = eRe z ∀ z ∈ C,

e i θ = e−i θ ∀ θ ∈ R,

|e i θ| =√

cos2 θ + sin2 θ = 1 ∀ θ ∈ R


Forma esponenziale di un numero complesso

Dalla forma trigonometrica di z ∈ C:

z = ρ(cos θ + i sin θ)

e dalla formulae i θ = cos θ + i sin θ

seguez = ρe i θ forma esponenziale di z ∈ C.


La forma esponenziale e “molto comoda” per i conti, per es., sez1 = ρ1e

i θ1 e z2 = ρ2ei θ2 , allora

z1z2 = ρ1ρ2ei (θ1+θ2),

z1

z2=ρ1

ρ2e i (θ1−θ2)

(z1)n = ρn1ei nθ1 .


Esercizio:

calcolare(1 + i )6.


Radice n-esima di un numero complesso

Dato z ∈ C, chiamiamo radice n-esima (complessa) di z ogni numerow ∈ C verificante

wn = z .

Osservazione: Dato z = ρe i θ, al variare di k = 0, . . . , n − 1 ,gli n numeri complessi w0, w1, . . . , wn−1

wk = re iφk , r = n√ρ, φk =

θ + 2kπ

n

sono radici n-esime di z .

Infattiwnk =

[n√ρ e i (θ+2kπ)/n

]n= ρe i (θ+2kπ) = ρe i θ = z .


Teorema

Ogni numero complesso z ∈ C, z 6= 0, ha esattamente n radici n-esimedistinte w0, w1,. . ., wn−1.Rappresentazione grafica delle radici n-esime: Le n radici

wk = re iφk , r = n√ρ, φk =

θ + 2kπ

n

sono i vertici di un poligono regolare di n lati, inscritto nel cerchio dicentro 0 e raggio r .


Esercizio 1

Determiniamo le tre radici cubiche di −1.

Si haw3 = −1 ⇒ w3 = 1 e iπ.

Quindi

wk =3√

1 e iφk , φk =π + 2kπ

3, k = 0, 1, 2,

e

w0 =1

2(1 + i

√3), w1 = −1, w2 =

1

2(1− i

√3).


Esercizio 2

Determiniamo le sei radici seste di i .

Si haw6 = i ⇒ w6 = e i

π2 .

Quindi

wk =6√

1 e iφk , φk =π2 + 2kπ

6=

π

12+ k

π

3,

con k = 0, 1, 2, 3, 4, 5


Polinomi in campo complesso

Chiamiamo polinomio in una variabile complessa la funzioneP : C 7→ C

P(z) = anzn + an−1z

n−1 + · · ·+ a1z + a0 ∀ z ∈ C, (2)

con a0, a1, . . . , an numeri complessi assegnati, detti coefficienti delpolinomio.

Se an 6= 0, si dice che il polinomio e di grado n.

Si chiama radice di P ogni numero complesso w tale che P(w) = 0.


Principio di identita dei polinomi

Siano P e Q due polinomi: essi sono uguali se e solo se sono uguali icoefficienti delle potenze omologhe dei due.

Fattorizzazione di polinomi

Sia w una radice del polinomio P, di grado n. Allora esiste un unicopolinomio Q di grado n − 1 tale che

P(z) = (z − w)Q(z), ∀z ∈ C.


Teorema

Sia P un polinomio in C di grado n. Allora P ha esattamente n radiciw1,w2, · · · ,wn e si puo fattorizzare come prodotto

P(z) = an(z − w1)(z − w2) . . . (z − wn).


Molteplicita

Le radici possono non essere tutte distinte.Chiamiamo molteplicita di una radice wj (e la denotiamo con mj) ilnumero di radici uguali a wj .Quindi, se w1,w2, . . . ,wk sono le radici distinte di P di grado n, si ha

m1 + · · ·+ mk = n = grado(P).


Esempi

1 Consideriamoz2 + 1

Le sue radici: z1 = i , z2 = −i .

2

z5 + z3 = z3(z2 + 1) = z · z · z(z − i )(z + i ).

Radici: z1 = z2 = z3 = 0, z4 = i , z5 = −i . La radice 0 hamolteplicita 3.


Proposizione

Sia P un polinomio a coefficienti reali:

1 Se w e una radice (non reale), anche w e una radice, con la stessamolteplicita.

2 In particolare, se il grado del polinomio e dispari, vi e almeno unaradice reale.

Dimostrazione: Punto (1): Se il polinomio P ha coefficienti reali, siverifica facilmente che P(z) = P(z), per ogni z ∈ C. Se w e una radice,allora 0 = P(w) = P(w) = P(w), dunque anche w e una radice.

Punto (2): poiche le radici non reali devono viaggiare in coppia, e il totaledelle radici (contate con la loro molteplicita) deve dare il grado delpolinomio, se vi sono solo radici non reali, allora il grado e pari.


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