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MATEMATICA SCOMPOSIZIONE E FRAZIONE ALGEBRICHE

© GSCATULLO

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Scomposizione e frazioni algebriche Scomposizione in Fattori

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di un prodotto di polinomi di grado

inferiore.

𝑎2 è di secondo grado.

𝑎 è di primo (1) grado.

Scomporre in fattori significa dunque rendere il polinomio al grado minore.

Quando un polinomio si può scomporre esso è detto polinomio riducibile, quando non è possibile

scomporlo esso è detto polinomio irriducibile.

Raccoglimento a fattor comune

Se in tutti i termini di un polinomio è contenuto uno stesso fattore è possibile scomporlo utilizzando la

proprietà distributiva, tale procedimento prende nome di raccoglimento a fattor comune.

Il fattore 𝑎 è comune a tutti quanti i monomi del polinomio, egli svolge il ruolo di moltiplicare in tutti i

monomi. Dunque egli è il divisore più alto comune a tutti i monomi (MCD). Raccogliendo a fattor comune è

possibile moltiplicare l’MCD per il polinomio privato del fattore comune.

Dunque:

4𝑎

𝑎+

2𝑎2

𝑎+

7𝑎𝑏

𝑎

Che diventa

𝑎(4 + 2𝑎 + 7𝑏)

È possibile raccogliere a fattor comune utilizzando come fattore anche un binomio o un polinomio purché

sia comune.

ⓔ 5(𝑥 + 2) − 𝑥2(𝑥 + 2) = (𝑥 + 2)(5 − 𝑥2)

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5(𝑥 + 2) − 𝑥2(𝑥 + 2)

Se si è in difficoltà a visualizzare il calcolo si immagini (x+2) come un monomio a.

5𝑎 − 𝑥2𝑎 = 𝑎(5 − 𝑥2)

Dunque si riconverta il monomio a nel binomio (x+2).

(𝑥 + 2)(5 − 𝑥2)

Nel raccoglimento parziale prima si raccolgono i fattori comuni a parti del polinomio, quindi si procede con

il raccoglimento a fattor comune.

Scomposizione mediante i Prodotti notevoli

Differenza di due quadrati

ⓔ 𝒂𝟐 − 𝒃𝟐 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏)

ⓔ 16 − 9 = (4 + 3)(4 − 3)

Quadrato di un binomio

ⓔ 𝒂𝟐 + 𝟐𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = (𝑎 + 𝑏)2

ⓔ 16 + 24 + 9 = (4 + 3)2

Quadrato del Trinomio

ⓔ 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2

ⓔ 9𝑏2 + 4𝑎2 − 8𝑎 + 12𝑏 + 4 − 12𝑎𝑏 = (3𝑏 − 2𝑎 + 2)3

Si individuano prima i possibili quadrati:

9𝑏2 è il quadrato di 3b; 4𝑎2è il quadrato di 2𝑎; 4 è il quadrato di 2. Verifichiamo che gli altri termini

possano essere i tre doppi prodotti esaminandone i valori assoluti: 8𝑎 = 2(2 ∗ 2𝑎); 12𝑏 = 2(3𝑏 ∗ 2);

12𝑎𝑏 = 2(3𝑏 ∗ 2𝑎). Se il segno dei doppi prodotti è negativo ciò significa che i suoi fattori sono discordi,

nell’altro caso concordi. Si studino quindi i segni. −8𝑎 segni discordi; +12𝑏 concordi;−12𝑎𝑏 discordiQuindi

si ottengono due possibilità, equivalenti:

= (3𝑏 − 2𝑎 + 2)3; (−3𝑏 + 3𝑎 − 2)3

Cubo di un binomio

ⓔ 𝑎3 + 3𝑎2𝑏 + 3𝑎𝑏2 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)3

Differenza di cubi

ⓔ 𝑎3 − 𝑏3 = (𝑎 − 𝑏)(𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2)

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Somma di cubi

ⓔ 𝑎3 + 𝑏3 = (𝑎 + 𝑏)(𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2)

Trinomio caratteristico

ⓔ 𝑥2 + (𝑎 + 𝑏)𝑥 + 𝑎𝑏 = (𝑥 + 𝑎)(𝑥 + 𝑏)

Ruffini

Dato un polinomio P(x)= 2𝑥3 + 3𝑥2 − 17𝑥 − 30 procediamo alla ricerca di numeri che annullano il

polinomio, ovvero che se sostituiti ad x diano come risultato finale 0. Tali numeri sono da cercare tra i

divisori del termine noto (30):

±1; ±2; ±3; ±5; ±6; ±10; ±15; ±30

E le rispettive frazioni:

±1

2; ±

3

2; ±

5

2; …

Dunque verifichiamo per quale di essi il polinomio si annulla:

P(+1)= 2(1)3 + 3(1)2 − 17(1) − 30 = -42 ≠ 0

P(-1)= 2(−1)3 + 3(−1)2 − 17(−1) − 30 = -12≠ 0

P(+2)= 2(2)3 + 3(2)2 − 17(2) − 30 = -36 ≠ 0

P(-2)= 𝟐(−𝟐)𝟑 + 𝟑(−𝟐)𝟐 − 𝟏𝟕(−𝟐) − 𝟑𝟎 = 0

Dunque il polinomio è divisibile secondo Ruffini per x-(-2) ovvero per x+2.

Il polinomio è divisibile per x+2. Disponiamo quindi i coefficienti sulla tabella. Eseguiamo quindi il calcolo

con il metodo di Ruffini

Otteniamo dunque il risultato:

(𝑥 + 2)(2𝑥2 − 𝑥 − 15)

Ancora scomponibile con Ruffini sino ad ottenere:

(𝑥 + 2)(𝑥 − 3)(2𝑥 + 5)

Le Frazioni Algebriche

Dati i polinomi 𝐴 e 𝐵, con 𝐵 diverso dal polinomio nullo (≠ 0), la frazione 𝐴

𝐵 è detta frazione algebrica.

Una frazione algebrica perde significato quando il denominatore diventa nullo.

ⓔ 𝑥−3

𝑥−2 è nulla per x = 2

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Condizioni di Esistenza

Se ne ricava che una frazione algebrica perde significato per tutti e soli quei valori delle lettere che

annullano il denominatore. Tutte le diseguaglianze (≠) che le frazioni devono verificare affinché il

denominatore non sia nullo (≠0) si chiamano condizioni di esistenza.

ⓔ 𝑥−3

𝑥−2 C.E.: x ≠ 2

Il ragionamento è semplice:

Scriviamo la disuguaglianza in forma di disequazione

𝑥 − 2 ≠ 0

«Spostiamo» tutti i termini che non sono l’incognita (x) dall’altra parte del disuguale (≠), come fosse

un’equazione. (Per spostare un termine si aggiunge l’opposto da un lato e dall’altro).

𝑥 − 2 + 2 ≠ 0 + 2

Eseguiamo i calcoli.

𝑥 ≠ 2

Semplificare le frazioni

Nella risoluzione della frazione algebrica un ruolo fondamentale svolge la semplificazione: essa può

avvenire solo fra fattori, e dunque dopo aver eseguito le scomposizioni e determinato le condizioni di

esistenza.

𝑥2−6𝑥+9

𝑥2−2𝑥−3=

(x−3)2

(x−3)(x+1)=

x−3

x+1 C.E.: x≠3 e x≠-1

Addizione e sottrazione

Nel caso in cui siano presenti più frazioni e addizionate fra loro si prosegue nelle scomposizioni. Effettuate

queste si trova l’MCD dei denominatori e, scritte le condizioni di esistenza, si prosegue come se fosse una

sola grande frazione.

ⓔ −𝑥

4−𝑥+

7

𝑥2−𝑥−12+

1

𝑥+3

1. Scomponiamo

ⓔ −𝑥

−(𝑥−4)+

7

(𝑥+3)(𝑥−4)+

1

𝑥+3 C.E. ???

2. Stabiliamo le C.E.

ⓔ −𝑥

4−𝑥+

7

(𝑥+3)(𝑥−4)+

1

𝑥+3 C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4

3. Troviamo l’MCD

ⓔ 𝑥(𝑥+3)+7+𝑥−4

(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4

4. Eseguiamo il calcolo al numeratore

ⓔ 𝑥2+3𝑥+3 +𝑥

(𝑥+3)(𝑥−4) =

𝑥2+4𝑥+3

(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4

5. Scomponiamo il trinomio caratteristico al numeratore

6

ⓔ (𝑥+3)(𝑥+1)

(𝑥+3)(𝑥−4) C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4

6. Semplifichiamo

ⓔ (𝑥+3)(𝑥+1)

(𝑥+3)(𝑥−4) =

𝑥+1

𝑥−4 C.E. x ≠ -3 e x ≠ 4

Moltiplicazione

Come per le normali frazioni anche in quelle algebriche è possibile, nella moltiplicazione, la semplificazione

a croce (si eliminano i numeratori ed i denominatori uguali).

ⓔ 𝑥2−4𝑥−5

𝑥2−25∗

𝑥

2𝑥+2∗

𝑥+5

(𝑥−5)𝑥

1. Scomponiamo e raccogliamo

ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)

(𝑥−5)(𝑥+5)∗

𝑥

2(𝑥+1)∗

𝑥+5

(𝑥−5)𝑥 C.E. ???

2. Stabiliamo le C.E.

ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)

(𝑥−5)(𝑥+5)∗

𝑥

2(𝑥+1)∗

𝑥+5

(𝑥−5)𝑥 C.E. x ≠ -1 e x ≠ 0 e x ≠ ±5

3. Semplifichiamo a croce

ⓔ (𝑥−5)(𝑥+1)

(𝑥−5)(𝑥+5)∗

𝑥

2(𝑥+1)∗

𝑥+5

(𝑥−5)𝑥=

1

2(x−5)

Divisione

Per eseguire le divisioni fra frazioni è sufficiente, dopo aver risolto ogni parte, moltiplicare per il reciproco

del divisore (secondo termine della divisione). Si tenga presente che, poiché la frazione del divisore andrà

«ribaltata», le C.E. andranno scritte anche per il numeratore.

ⓔ 𝑥3+2𝑥2

3𝑥+3:

𝑥+2

𝑥2−1

1. Scomponiamo e raccogliamo

ⓔ 𝑥2(𝑥+2)

3(𝑥+1):

𝑥+2

(𝑥+1)(𝑥−1) C.E. ???

2. Stabiliamo le C.E.

ⓔ 𝑥2(𝑥+2)

3(𝑥+1):

𝑥+2

(𝑥+1)(𝑥−1) C.E. x ≠ ± 1 e x ≠ -2

3. Eseguiamo la divisione, ovvero moltiplichiamo per il reciproco.

ⓔ 𝑥2(𝑥+2)

3(𝑥+1)∗

(𝑥+1)(𝑥−1)

𝑥+2=

𝑥2(𝑥−1)

3 C.E. x ≠ ± 1 e x ≠ -2

Realizzato il 07/11/2014 da Paolo Franchi, rivisto il 08/09/2015 per Sapere Aude!

AMDG