INTEGRALE DEFINITO -...

CALCOLODIAREE

INTEGRALE DEFINITO

AREA REGIONE FINITA DI PIANO COMPRESA:

- FRA FUNZIONE E ASSE X

- FRA DUE FUNZIONI

CalcolodiAREE:regole

2

+a b

-a b

+-

ab

c

Area = + f(x)dxa

b

! Area = ! f(x)dxa

b

"

Area = ! f(x)dxa

c

" + f (x)dxc

b

"

+-a

bc

Area = f(x)dxa

c

! " f (x)dxc

b

!

AreaCompresa = f (x)dxa

b

! " g(x)dxa

b

! = [ f (x) " g(x)]dxa

b

!

a b

y=f(x)

y=g(x)

a b

y=f(x)

y=g(x)

f(x) positiva f(x) negativa

f(x) con segno variabile

Area compresa fra due funzioni f(x) e g(x)

3

Area regione finita di piano compresa frafunzione y=f(x) e asse x

1) Calcolo le coordinate dei punti di intersezioni di f(x) con asse x

Ixy = 0

y = f (x)

!"#

$ f (x) = 0$

2) Rappresento la funzione che può essere:y = ax

2+ bx + c

a>0:concava v.altoSegno negativocome in figuraa<0:conc. v.bassoSegno positivo

y = ax3+ bx

2+ cx + d

a>0: forma come figuraa<0: forma contraria

I .D. = f (x)dxa

b

!

-

Parabola Cubica con segno variabile

3) Calcolo I.DEF fra a e b ➞ il suo valore positivo =Area1 Calcolo I.DEF fra b e c ➞ il suo valore positivo =Area2

Area =|Int.D| u2 AREA=Area1+Area2

a

Risolvo equazione: trovo a ,b ,c

ba b c

estremi integrazione

3) Calcolo I.DEF fra a e b

4

1) Calcolo intersezioni della parabola con l’asse x ( retta y=0 )

y= !x2 + 5x! 4

I x

y= 0

y= !x2 + 5x! 4" 0 = !x2 + 5x! 4" x2 ! 5x+ 4 = 0" x=5 ± 3

2x1=1 x

2= 4

#

$%

&%

2) Rappresento la parabola, dopo aver trovato il Vertice

3) Calcolo l’integrale definito della funzione fra gli estremi a=1 e b=4

A=(1;0)B=(4;0)

I .Def = (!x2 + 5x! 4) "1

4

# dx= !x3

3+ 5

x2

2! 4x

$

%&

'

()

4

1

= !64

3+80

2!16

*+,

-./! !

1

3+5

2! 4

*+,

-./

!64

3+ 40 !16 +

1

3!5

2+ 4 = !

63

3!5

2+ 28 =

!126 !15 +1686

= +27

6= +

9

2

Area =+I.Def=+9/2 u2

V =5

2;9

4

!"#

$%&

+V = !

b

2a;!(")4a

#$%

&'(

Arearegionefinitadipianocompresafraparabolaeassex

1


y= x2 ! 6x

I x

y= 0

y= x2 ! 6x" x

2 ! 6x= 0" x(x! 6) = 0" x1 = 0 x2 = 0

#$%

&%

2) Rappresento la parabola, dopo aver trovato il Vertice

3) Calcolo l’Integrale Definito della funzione fra gli estremi a=1 e b=6

ID = (x2 ! 6x) "

0

6

# dx=x3

3! 6

x2

2

$

%&

'

()

6

0

=216

3!108

*+,

-./! +0 ! 0( )=

=216 ! 324

6= !

108

3= !36

V = 3;!9( )

-

Risposta: Area = - IntegraleDefinito = - (-36) = 36 u2

A=(0;0)B=(6;0)

V = !b

2a;!(")4a

#$%

&'(

Arearegionefinitadipianocompresafray=f(x)parabolaeassex

2


y= x2 ! 4

I x

y= 0

y= x2 ! 4" x

2 ! 4 = 0" x2

= 4" x = ± 4 = ±2

#$%

&%

2) Rappresento la parabola, dopo avertrovato il Vertice

3) Calcolo l’Integrale Definito della funzione fra gli estremi a=-2 e b=+2

ID = (x2 ! 4 ) "

!2

+2

# dx=x3

3! 4x

$

%&

'

()

+2

!2

=8

3! 8

*+,

-./! !

8

3+ 8

*+,

-./=

=8

3! 8 +

8

3! 8 =

16

3!16 =

16 ! 483

= !32

3

V = 0;!4( )

-

Risposta: Area = - IntegraleDefinito = - (-32/3) = +32/3 u2

A=(-2;0)B=(+2;0)

V = !b

2a;!(")4a

#$%

&'(

Arearegionefinitadipianocompresafray=f(x)parabolaeassex

3

Areacompresafray=f(x)cubicaeassex

7

y= x3 ! 9x

2) Rappresento approssimativamente la cubica3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!

ID1 = (x3 ! 9x) "

!3

0

# dx =x4

4! 9

x2

2

$

%&

'

()!3

0

= 0[ ]!81

4!81

2

$

%&'

()=!81+162

4= +

81

4

A=(-3;0) B=(0;0) C=(+3;0)

I x

y= 0

y= x3 ! 9x" x3 ! 9x= 0" x(x2 ! 9) = 0" x1= !3 x

2= 0 x3 = +3

#

$%

&%

Risposta : Area compresa fra cubica e asse x = 81/2 u2

4

ID2 = f (x) !0

+3

" dx =x4

4# 9

x2

2

$

%&

'

()0

3

=81

4#81

2

$

%&'

()# 0[ ] =

81#162

4= #

81

4

4) Calcolo le AREE ( positive!) riferite ai due Integrali e le sommo AREA TOT= A1+A2= 81/4+81/4=81/2u2

1) Calcolo intersezioni della cubica con l’asse x ( retta y=0 )

A1=+81/4u2

A2=+81/4u2

-+


8

y = !x3+ 5x

2! 4x

2) Rappresento approssimativamente la cubicaA=(0;0) B=(+1;0) C=(+4;0)

Ix

y = 0

y = !x3 + 5x2 ! 4x" x3 ! 5x2 + 4x = 0" x(x

2 ! 5x + 4) = 0" x1 = 0 x2 = 1 x3 = +4

#

$%

&%

5


ID1 = f (x) !1

4

" dx = #x4

4+ 5

x3

3# 4

x2

2

$

%&

'

()1

4

= #256

4+320

3# 32

$

%&'

()# #

1

4+5

3# 2

$

%&'

()=

#768 +1280 # 384

12##3+ 20 # 24

12=128

12##7

12=128

12+7

12=135

12

4)Calcolo_ AREA_TOTALE = A1+ A2 =7

12+135

12=142

12=71

6u2

A1=+7/12u2

A2=+135/12u2

ATOT=+71/6u2

ID1 = f (x) !0

1

" dx = #x4

4+ 5

x3

3# 4

x2

2

$

%&

'

()0

1

= #1

4+5

3# 2

$

%&'

()# 0[ ] =

#3+ 20 + #24

12= #

7

12

+

-3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!


9

y = !x3+ x

2+ 2x

2) Rappresento approssimativamente la cubica3) Calcolo i due Integrali DEFINITINB: Gli estremi di integrazione sono le ascisse dei punti!

ID1 = f (x) !"1

0

# dx = "x4

4+x3

3+ 2

x2

2

$

%&

'

()"1

0

= 0[ ]" "1

4+"1

3+ 2

1

2

$

%&'

()== +

1

4+1

3"1 =

3+ 4 "12

12= "

5

12

A=(-1;0) B=(0;0) C=(+2;0)

Ix

y = 0

y = !x3 + x2 ! 2x" x3 ! x2 + 2x = 0" x(x

2 ! x + 2) = 0 x1= !1 x

2= 0 x

3= +2

#

$%

&%

Risposta : Area compresa fra cubica e asse x = 37/12 u2

6

4) Calcolo le AREE ( positive!) riferite ai due Integrali e le sommo AREA TOT= A1+A2= 5/12+8/3=37/12u2


A1=5/12u2

A2=+8/3u2

ID2 = f (x) !0

2

" dx = #x4

4+x3

3+ 2

x2

2

$

%&

'

()0

2

= #4 +8

3+4

1

$

%&'

()# 0[ ] == +

8

3

+-

10

Risolvo il sistema trovando le coordinatedei punti di intersezione A=(a;..) B=(b;..):

Le ascisse a e b sono estremi di integrazione

a b

y=f(x)

y=g(x)

AreaCompresa = [ f (x) ! g(x)]dxa

b

"Integrale Definito fra a e b

della f-funzioneSoprameno g-funzioneSotto

y = f (x)

y = g(x)

!"#

y=f(x) funzione“sopra”y=g(x) funzione“sotto”

A

B

AREA COMPRESA FRA DUE FUNZIONI

2) Rappresento graficamente le due funzioni (anche in modo approssimato)

3) Calcolo AREA COMPRESA fra f(x) e g(x) di estremi a e b.

Casi con RETTA e PARABOLA

1)

Sia y=f(x) > g(x) nell’intervallo [a;b]

Se a>0 la concavità èverso l’alto:Se a<0 la concavità èverso il basso:

Formule vertice

y = ax2+ bx + c y = mx + q

q= intercetta con asse ym=coefficiente angolare

Se m>0 retta crescente

Se m<0 retta decrescente

Se m=0 retta orizzontale-->y=q funzione costanteV

xv = !b

2a

yv = !"

4aoppure sostituisco_ xv

#

$%%

&%%

Da ricordare…Equazione parabola Equazione retta

12

1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay = !x

2+ 4 ; y = !x + 2

Iy= !x2 + 4

y= !x+ 2" !x2 + 4 = !x+ 2" x2 ! x! 2 = 0...." x = !1# x = 2

$%&

'&

2) Rappresento la parabola passante per A e B e conconcavità verso il basso . Vertice V= (0 ; 4 ) Rappresento la retta sapendo che passa per A e B

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2

A=(-1;+3)B= (+2; 0)

Area = ((!x2 + 4) ! (!x + 2)) " "!1

2

# dx = (!x2 + 4 + x ! 2) "!1

2

# dx =

(!x2 + x + 2) "!1

2

# dx = calcolo int egrale !x3

3+x2

2+ 2x

$

%&

'

()!1

+2

=

!8

3+4

2+ 4

*+,

-./! +

1

3+1

2! 2*

+,-./= !

8

3+ 2 + 4 !

1

3!1

2+ 2 = !

9

3+ 8 !

1

2

= !3+ 8 !1

2= 5 !

1

2=10 !12

=9

2Area = 9/2 u2

Ix = !1

y= !(!1) + 2 = +3

"#$

%x= 2

y= !2 + 2 = 0

"#$

(f sopra )-(g sotto)

conviene prima sommare…

A

B

1)Areacompresafraparabolaeretta

svolgi tutti i passaggi!

-1 2

f

g

13

1) Calcolo intersezioni fra parabola e rettay= x

2! 6x ; y= !2x

Iy= x

2 ! 6x

y= !2x" x2 ! 6x = !2x" x2 ! 4x = 0...." x = 0 # x= 4

$%&

'&

2) Rappresento la parabola di Vertice V= (3 ; -9 ) e passante per A e B ( concavità verso alto!)Rappresento la retta sapendo che passa per A e B

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=0 e b=4

Area = 32/3 u2

Ix = 0

y= !2x= 0

"#$

%x= 4

y= !2x= !8

"#$

(f_sopra) - (g_sotto)


svolgi tu tutti i passaggi

B= (+4; -8)

A=(0;0)A=(0;0)B= (+4; -8)

f

g

40

A = (!2x) ! (x2 ! 6x)"# $% &0

4

' dx = !2x ! x2 + 6x"# $% &0

4

' dx =

= !x2 + 4x"# $% &0

4

' dx = calcolo int egrale !x3

3+ 4

x2

2

"

#(

$

%)0

4

=

= !64

3+ 416

2

"

#($

%)! 0[ ] = !

64

3+ 32 = + =

!64 + 96

3=32

3

prima sommare…


14

1) Calcolo intersezioni fra parabola e retta

y= x2! 3 ; y= x! 3


A=(0;-3)B=(1;-2)

Area = ((x ! 3) ! (x2 ! 3)) "0

1

# dx = (x ! 3! x2 + 3) "0

1

# dx =

(x ! x2 ) "0

1

# dx = calcolo int egrale =x2

2!x3

3

$

%&

'

()0

1

=

1

2!1

3

*+,

-./! 0 ! 0( ) =

3! 26

=1

6Area = 1/6 u2

Ix = 0

y= 0 ! 3 = !3

"#$

%x= 1

y=1! 3 = !2

"#$

(f sopra) - (g-sotto)

prima sommare…

10

A

B

I

y= x2 ! 3

y= x! 3" x2 ! 3 = x! 3" x

2 ! x= 0" x(x!1) = 0"x= 0

x =1

#

$%

&%

2) Rappresento la parabola di Vertice=(0;-3) [ricorda che la parabola pura ha sempre V=( 0; c) ]

che passa per A e B e concavità verso l’altoRappresento la retta che passa per A e B

15

1) Calcolo intersezioni fra le parabolef : y = !x

2+ 4 g : y = x

2! 2x

3) Calcolo l’area compresa di estremi a=-1 e b=2

Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 2x)) "!1

2

# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 2x) "!1

2

# dx =

(!2x2 + 2x + 4) "!1

2

# dx = calcolo int egrale = !2x

3

3+2x

2

2+ 4x

$

%&

'

()!1

+2

=

!16

3+8

2+ 8

*+,

-./! +

2

3+1! 4*

+,-./= !

16

3+ 4 + 8 !

2

3!1+ 4 = !

18

3+15 = !6 +15 = +9

Area = 9 u2

Ix = !1

y = !(!1)2 + 4 = +5

"#$

%x = 2

y = !(2)2 + 4 = 0

"#$

(f sopra) - (g sotto)

prima sommare…

4)Areacompresafra2parabole

2-1

A

B

Iy = !x2 + 4

y = x2 ! 2x" !x2 + 4 = x2 ! 2x" 2x

2 ! 2x + 4 = 0...." x = !1# x = 2

$%&

'& f

g

A=(-1;+5)B= (+2; 0)

2) Grafico: Rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB:per grafo preciso i vertici sono Vf=(0;4) Vg=(1;-1)

16

1) Calcolo intersezioni fra le 2 paraboley = !x

2+ 2x + 4 y = x

2! 4x + 4

3) Calcolo l’area compresa fra a=0 e b=3

A=(0;4)B= (3; 1)

Area = ((!x2 + 2x + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0

3

# dx = (!x2 + 2x + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0

3

# dx =

(!2x2 + 6x) "0

3


3

3+6x

2

2

$

%&

'

()0

+3

=

!54

3+54

2

*+,

-./! 0( ) = !18 + 27 = +9 Area = 9 u2

Ix = 0

y = !(0)2 + 2(0) + 4 = +4

"#$

%x = 3

y = !(3)2 + 2(3) + 4 = 1

"#$



30

A

B

Iy = !x2 + 2x + 4

y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 2x + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x

2+ 6x = 0...." x = 0 # x = 3

$%&

'&

2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)

f

g

17

1) Calcolo intersezioni fra le parabole

y = !x2+ 4 y = x

2! 4x + 4


A=(0;+4)B= (+2; 0)

Area = ((!x2 + 4) ! (x2 ! 4x + 4)) "0

2

# dx = (!x2 + 4 ! x2 + 4x ! 4) "0

2

# dx =

(!2x2 + 4x) "0

2


3

3+4x

2

2

$

%&

'

()0

+2

=

!16

3+8

2

*+,

-./! 0( ) = !

16

3+ 4 =

!16 + 243

=8

3 Area = 8/3 u2

Ix = 0

y = !(0)2 + 4 = +4

"#$

%x = 2

y = !(2)2 + 4 = 0

"#$


prima sommare…


20

A

B

Iy = !x2 + 4

y = x2 ! 4x + 4" !x2 + 4 = x2 ! 4x + 4" 2x

2 ! 4x = 0...." x = 0 # x = 2

$%&

'& f

g2) Grafico: rappresento le parabole anche in modoapprossimato facendole passare per A e B.La funzione sopra è quella con concavità verso il basso!!!NB: i vertici sono Vf=(1;5) Vg=(2;0)

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