Esercizi svolti con i limiti - .1/13/17 1 Esercizi svolti con i limiti Limiti immediati...

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1/13/17 1

Esercizi svolti con i limiti

Limiti immediati

prerequisiti: Regole di calcolo con infinito, zero ,

funzione esponenziale e logaritmica. Intorno destro e sinistro di un numero

Limiti: principali regole di calcolo

0N= 0

N=

+ + 5 = + + 7 = =

+ + = +

+( ) +7( )= ++( ) 5( )= ( )2 = +( )3 =

e = 0+

e+ = +N 0

N0ATT

ENZION

E Quando il denominatore tende ad infinito lintera frazione tende a ZERO

Quando il denominatore tende a zero lintera frazione tende ad INFINITO

ln0+ = ln +( )= +

Funz. ESPONENZIALE con BASE a>1 o BASE=e

Funz. LOGARITMICA con BASE a>1 o BASE=e

y=ln(x)

operazioni con infinito e zero

y=ex

2

4- significa intorno sinistro di 4: valori immediatamente a sinistra

[; 3,7 ; 3,8 ; 3,9 ] consiglio di pensare a 3,9

INTORNO sinistro N- e destro N

+ di un numero N

es1: intorno di 4 devo immaginare il numero sulla retta numerica

44+ 4-

significa intorno destro di 4: [ 4,1 ; 4,2 ; 4,3.] consiglio di pensare a 4,1

devo immaginare il numero sulla retta numerica

-3-3-

significa intorno destro di -3: [ -2,9 ; -2,8 ; -2,7 .] consiglio di pensare a -2,9

significa intorno sinistro di -3: [-3,3 ; -3,2 ; -3,1 ] consiglio di pensare a -3,1

-3+ -2 -4

53

es2: intorno di -3

CALCOLO di LimitiIl calcolo di un limite si ottiene, per funzioni

continue, semplicemente sostituendo il valore a cui tende la x nella funzione f(x):

LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il risultato finito o infinito

LIMITE CON FORMA INDETERMINATA Se ottengo*: 0 / 0 +- / in tal caso devo togliere lindeterminazione con opportuni procedimenti. (*queste sono le principali forme Indeterminate)

ora svolger alcuni LIMITI IMMEDIATI > 4

limx52x2 4x

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 5 al posto della x Mi esprimo dicendo passo al limite

= 2(5)2 4(5) = 50 20 = 30limx52x2 4x = passo al limite

significato del limite: man mano che la x tende a 5 la funzione ( lordinata)

tende a 30

Esercizio svolto 1

5

Esercizio svolto 2 limx+

3 xa

calcola il seguente limite

Devo sostituire +infinito al posto della x passo al limite

significato: man mano che la x tende a + infinito la funzione ( lordinata) tende a - infinito cio diverge negativamente

limx+

3 x =

= 3 (+) = 3 =

6

Esercizio svolto 3 limx

5x2 xa

calcola il seguente limite

Devo sostituire - infinito al posto della x passo al limitelim

x5x2 x =

= 5()2 () = 5(+)+ = + + = +

significato: man mano che la x tende a -infinito ..la funzione ( lordinata) tende a + infinito cio diverge positivamente

Esercizio svolto 4

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 0 al posto della x passo al limite

Quindi: man mano che la x tende a 0

la funzione ( lordinata) tende a 0- meno cio da sinistra (dai numeri negativi )

limx0

2x2

x 3=

limx0

2x2

x 3=

= 2(0)2

0 3= 0

+

3= 0

ricorda

la REGOLA : zero

diviso un numero >

zero

Esercizio svolto 5

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire -infinito al posto della x

passo al limite

Quindi: man mano che la x tende a -infinito

la funzione ( lordinata) tende a +infinito cio diverge positivamente

limx

x2 + 72

=

limx

x2 + 72

=

= ()2 + 72

= + + 72

= +2

= +

ricorda

la REGOLA : infinito

diviso un numero>

infinito

Esercizio svolto 6limx0

4 + x7x2

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire 0 al posto della x passo al limite

Quindi: man mano che la x tende a 0

limx0

4 + x7x2

=

=4 + 07(0)2

=40+

= +

la funzione ( lordinata) tende a +infinito cio diverge positivamente

ricorda

la REGOLA : un numero

diviso zero > infinito

Il denominatore tende a O positivo !!!

Esercizio svolto 7

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire +infinito al posto della x passo al limite

Quindi: man mano che la x tende a +infinito

la funzione ( lordinata) tende a 0 pi cio da destra (dai numeri positivi )

limx+

8x 3

=

limx+

8x 3

=

= 8+ 3

= 8+

= 0+

ricorda

la REGOLA : un numero

diviso infinito > zero

11

Esercizio svolto 8

a

calcola il seguente limite

Devo sostituire +4 al posto della x

passo al limite

limx4

8 5x(x 4)2

=

= 8 5x(x 4)2

= 8 5(4)(4 4)2

= 70+

=

limx4

8 5x(x 4)2

=

Quindi: man mano che la x tende a +4 la funzione ( lordinata)

tende a - infinito cio diverge negativamente 12

a

calcola il seguente limite

inizialmente sostituisco 5 al posto della x passo al limite

limx5+

x 30x 5

limx5+

x 30x 5

=

= 5 305 5

= 150

=

scrivo infinito senza segno:

ora immagino di sostituire 5+(5,1) nella x al denominatore 5,1-5 >viene positivo >scrivero

= 150

= + - ottenendo il segno del risultato

Esercizio svolto 9 con intorni

a

calcola il seguente limite

inizialmente sostituisco 2 al posto della x passo al limite

limx2

7x +10x 2scrivo infinito senza segno:

ora immagino di sostituire 2- (1,9) nella x al denominatore 1,9-2 >viene negativo >scrivero

= +240

= - ottenendo il segno del risultato

Esercizio svolto 10 con intorni

limx2

7x +10x 2

=

= 7(2)+102 2

= 240

=

-

a

calcola il seguente limite

prima sostituisco -3 al posto della x passo al limite

limx3+

x2 + 7x + 3

scrivo infinito senza segno

ora immagino di sostituire -3+(-2,9) nella x al denominatore -2,9+3>viene negativo >scrivero

= +160

= - -

Esercizio svolto 11con intorni

limx3+

x2 + 7x + 3

=

= (3)2 + 7

3+ 3= +160

=

ottenendo il segno del risultato

a

calcola il seguente limite

passo al limite

limx

5ex

=Esercizio svolto 12 con funzione esponenziale

limx

5ex

= = +5e

=

+50+

= +

ricordo che e2,7 il numero di Nepero

a

calcola il seguente limite

passo al limite

limx+

42ex + x

=Esercizio svolto 13 con funzione esponenziale

limx+

42ex + x

= = 42e+ +

=

= 42(+)+

= 4+ +

= 4+

= 0+

a

calcola il seguente limite

passo al limite = ln(0

+ ) 3(0) =

= 0 ==

Esercizio svolto 14con funzione logaritmica

limx0+

ln(x) 3x =

limx0+

ln(x) 3x

*ricordo che ln(x) rappresenta

il logaritmo naturale in base

e2,7 (numero di Nepero)

a

calcola il seguente limite

passo al limite

Esercizio svolto 15 con funzione logaritmicalimx+

45 ln(x)

=

limx+

45 ln(x)

= =4

5 ln(+)=

= 45(+)

=

= 4+

= 0+