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Claudio Duchi

ESERCIZI SVOLTI DI MATEMATICAQUINTO

Release: (e3fb3fd) Autore:Claudio Duchi 2018-11-17


2

Sicuramente, in questo lavoro vi sono errori e imprecisioni, per cortesia segnalatemeli.

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sabato 17 novembre 2018 15:18:43

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Indice

1 Limiti 51.1 Limite in�nito per x che tende a valore �nito . . . . . . . . . . . . 51.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Limite in�nito per x che tende ad in�nito. . . . . . . . . . . . . . 81.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5 Forma indeterminata zero su zero . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.7 Forma indeterminata in�nito su in�nito . . . . . . . . . . . . . . 141.8 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Asintoti 172.1 Asintoti verticali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.3 Asintoti orizzontali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.5 Asintoti obliqui . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.6 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.7 Esercizi di riepilogo asintoti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.8 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Derivate 493.1 Razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 513.3 Razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4 Massimi e minimi 584.1 Razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 594.3 Razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 624.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Gra�co probabile 675.1 Funzioni razionali intere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.2 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.3 Funzioni razionali fratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.4 Soluzione esercizi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

3


INDICE 4

Appendice 97

A Mezzi usati 98

Indice analitico 99



1 Limiti

1.1 Limite in�nito per x che tende a valore �nito

Esercizio 1.1.1: Calcoliamo il seguente limite limx→2+1

x− 2Soluzione a pagina 6

Esercizio 1.1.2: Calcoliamo il limite limx→−5−x− 3

x + 5Soluzione a pagina 6

Esercizio 1.1.3: Calcoliamo il limite limx→−32

(x + 3)2

Esercizio 1.1.4: Calcoliamo il limite limx→−22x

(x + 2)2

Esercizio 1.1.5: Calcoliamo il limite limx→0−

(1

x3+ x

)

5


1.2. SOLUZIONE ESERCIZI 6

1.2 Soluzione esercizi

Soluzione dell’esercizio 1.1.1 di pagina 5:Calcoliamo il seguente limite limx→2+

1

x− 2Sostituendo due al denominatore otteniamo uno diviso zero. Possiamo risolverel’esercizio in due modi. Primo metodo intuitivo, se sostituiamo all’incognita neldenominatore, valori leggermente superiori al due la di�erenza è positiva quindi

limx→2+

1

x− 2= +∞

Secondo metodo analitico. Studiamo, con una disequazione, il segno della frazione

x− 2 > 0

otteniamo il gra�co

2

Quindi la frazione è positiva per valori a destra del due. Segue che

limx→2+

1

x− 2= +∞

Soluzione dell’esercizio 1.1.2 di pagina 5:Calcoliamo il limite limx→−5−

x− 3

x + 5Sostituendo meno cinque al denominatore ot-

teniamo meno otto diviso zero. Possiamo risolvere l’esercizio in due modi. Primometodo intuitivo, sostituendo meno cinque all’incognita nel numeratore otteniamoun valore negativo. Procedendo in modo analogo al denominatore otteniamo unvalore negativo (attenzione che consideriamo valori a sinistra di meno cinque).Quindi in numeratore e il denominatore sono entrambi negativi per cui la frazionea sinistra è positiva. Segue

limx→−5−

x− 3

x + 5= +∞

Secondo metodo analitico. Studiamo, con una disequazione, il segno della frazione

x− 3 >0

x >3

x + 5 >0

x >− 5




CAPITOLO 1. LIMITI 7

−5 3

+ − +

Quindi la frazione è positiva per valori a sinistra di meno cinque. Segue che

limx→−5−

x− 3

x + 5= +∞



1.3. LIMITE INFINITO PER X CHE TENDE AD INFINITO 8

1.3 Limite in�nito per x che tende ad in�nito

Esercizio 1.3.1: Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x3 − x2 − x− 1Soluzione a pagina 9

Esercizio 1.3.2: Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x5 + x2 − x + 8





Soluzione dell’esercizio 1.3.1 di pagina 8:Calcoliamo il limite limx→+∞ 3x3 − x2 − x− 1 Per valori di x che tendono all’in�nitole varie parti del polinomio tendono a più o meno in�nito. Per ovviare a questacontraddizione procediamo come segue:

limx→+∞

3x3 − x2 − x− 1 =

= limx→+∞

x3

(3− x2

x3− x

x3− 1

x3

)= lim

x→+∞x3

(3− 1

x− 1

x2− 1

x3

)i termini all’interno della parentesi tendono a tre mentre il termine all’esternotende a più in�nito quindi

= +∞



1.5. FORMA INDETERMINATA ZERO SU ZERO 10

1.5 Forma indeterminata zero su zero

Esercizio 1.5.1: Calcoliamo il limite limx→1x2 − 1


Esercizio 1.5.2: Calcoliamo il limite limx→−22x2 + x− 6

4x2 + 9x + 2Soluzione a pagina 11

Esercizio 1.5.3: Calcoliamo il limite limx→12x2 + x− 3

x2 − xSoluzione a pagina 12

Esercizio 1.5.4: Calcoliamo il limite limx→12x2 + 5x− 6

x2 + x− 2





Soluzione dell’esercizio 1.5.1 di pagina 10:

Calcoliamo il limite limx→1x2 − 1

x− 1

limx→1

x2 − 1

x− 1=

0

0

scomponiamo il numeratore

= limx→1

(x− 1)(x + 1)

x− 1

sempli�cando

= limx→1

(x + 1)

= 2


Calcoliamo il limite limx→−22x2 + x− 6

4x2 + 9x + 2

limx→−2

2x2 + x− 6

4x2 + 9x + 2=

0

0

Per risolvere questa forma indeterminata scomponiamo il numeratore

2x2 + x− 6 =0

x1,2 =−1±

√1 + 48

4

=1± 7

4

=

x1 = −2

x2 =3

2

2x2 + x− 6 =2(x− 3

2)(x + 2)




scomponiamo il denominatore

4x2 + 9x + 2 =0

x1,2 =−9±

√81− 32

8

=−9± 7

8

=

x1 = −2

x2 = −1

4

4x2 + 9x + 2 =4(x +1

4)(x + 2)

quindi

limx→−2

2x2 + x− 6

4x2 + 9x + 2=

= limx→−2

2(x− 3

2)(x + 2)

4(x +1

4)(x + 2)

sempli�cando

= limx→−2

2(x− 3

2)

4(x +1

4)

= limx→−2

2x + 3

4x + 1

=1

7


Calcoliamo il limite limx→12x2 + x− 3

x2 − x

limx→1

2x2 + x− 3

x2 − x=

0

0




Per risolvere questa forma indeterminata scomponiamo il numeratore

2x2 + x− 3 =0

x1,2 =−1±

√1 + 24

4

=1± 5

4

=

x1 = 1

x2 = −3

2

2x2 + x− 3 =2(x +3

2)(x− 1)

scomponiamo il denominatore

x2 − x =0

x1,2 =1±√

1

2

=1± 1

2

=

{x1 = 0

x2 = 1

x2 − x =x(x− 1)

quindi

limx→1

2x2 + x− 3

x2 − x=

= limx→1

2(x +3

2)(x− 1)

x(x− 1)

sempli�cando

= limx→1

2(x +3

2)

x

= limx→1

2x + 3

x

=5



1.7. FORMA INDETERMINATA INFINITO SU INFINITO 14

1.7 Forma indeterminata in�nito su in�nito

Esercizio 1.7.1: Calcoliamo il limite limx→+∞2x− 3

1− 5xSoluzione a pagina 15

Esercizio 1.7.2: Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − 3x + 4

x2 + x− 6Soluzione a pagina 15

Esercizio 1.7.3: Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − x + 1

x4 − 3x + 4Soluzione a pagina 15

Esercizio 1.7.4: Calcoliamo il limite limx→+∞x5 − 3x + 1

2x + 1Soluzione a pagina 16





Soluzione dell’esercizio 1.7.1 di pagina 14:Calcoliamo il limite limx→+∞

2x− 3

1− 5xLimite del tipo in�nito su in�nito, procediamo

riscrivendo la frazione

limx→+∞

2x− 3

1− 5x=

= limx→+∞

x

(2− 3

x

)x

(1

x− 5

)sempli�co

= limx→+∞

2− 3

x1

x− 5

= −2

5


Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − 3x + 4

x2 + x− 6Limite del tipo in�nito su in�nito,

procediamo riscrivendo la frazione

limx→+∞

x2 − 3x + 4

x2 + x− 6=

= limx→+∞

x2

(1− 3x

x2+

4

x2

)x2

(1 +

x

x2− 6

x2

)sempli�co

= limx→+∞

1− 3

x+

4

x2

1 +1

x− 6

x2

= 1





Calcoliamo il limite limx→+∞x2 − x + 1

x4 − 3x + 4Limite del tipo in�nito su in�nito,


limx→+∞

x2 − x + 1

x4 − 3x + 4=

= limx→+∞

x2

(1− x

x2+

1

x2

)x4

(1− 3x

x4+

4

x4

)sempli�co

= limx→+∞

1− 1

x+

1

x2

x2

(1− 3

x3+

4

x4

)= 0


Calcoliamo il limite limx→+∞x5 − 3x + 1

2x + 1Limite del tipo in�nito su in�nito,


limx→+∞

x5 − 3x + 1

2x + 1=

= limx→+∞

x5

(1− 3x

x5+

1

x5

)x

(2 +

1

x

)sempli�co

= limx→+∞

x4

(1− 3

x4+

1

x5

)2 +

1

x=∞



2 Asintoti

2.1 Asintoti verticaliRisolvi i seguenti esercizi

Esercizio 2.1.1: f(x) =2x2 + 1

x− 1

Esercizio 2.1.2: y =x2 − 5x + 6

x2 − 1Soluzione a pagina 35

Esercizio 2.1.3: f(x) =x2 + 1

x2 − 4

Esercizio 2.1.4: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 5x + 2


Esercizio 2.1.5: f(x) =2x2 + x

x2 + 2x + 1

Esercizio 2.1.6: Trovare gli asintoti richiesti y =x2 + 4x + 3

x2 + 3x + 5Soluzione a pagina 39

17


2.1. ASINTOTI VERTICALI 18

Esercizio 2.1.7: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 1

x3 + x2

Soluzione a pagina 39

Esercizio 2.1.8: Trovare gli asintoti richiesti f(x) =x + 1

2x− 1



CAPITOLO 2. ASINTOTI 19



y =x2 − 5x + 6

x2 − 1Studiamo il dominio della funzione.

x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1

Quindi il dominio della funzione è x 6= ±1Calcoliamo il limite

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1+)2 − 1 >0

(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞

Calcoliamo il limite

limx→1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1−)2 − 1 <0

(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞




quindi x = 1 è un asintoto verticale. Calcoliamo il limite

limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1+)2 − 1 <0

(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0

otteniamo

limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=−∞


limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1−)2 − 1 >0

(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0

otteniamo

limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞

quindi x = −1 è un asintoto verticale.


y =3x2 + 5x + 2

x2 − 1




Calcolo il dominio

x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

0

0

Per risolvere questa forma indeterminata scompongo il numeratore

3x2 + 5x + 2 =0

x1,2 =−5±

√25− 24

6

=−5± 1

6

=

x1 = −1

x2 = −2

3

3x2 + 5x + 2 =3(x +2

3)(x + 1)

quindi

limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

= limx→−1

3(x +2

3)(x + 1)

(x− 1)(x + 1)

sempli�co

= limx→−1

3x + 2

x− 1

=1

2

Quindi x = −1 non è asintoto verticale. Utilizzando i calcoli precedenti otteniamo illimite:

limx→1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1= lim

x→1

3x + 2

x− 1




Studiamo con una disequazione il segno della funzione

y =3x + 2

x− 1≥ 0

3x + 2 ≥0

x ≥− 2

3x− 1 >0

x >1


− 23 1

+ − +

Quindi la frazione è positiva per valori a destra di uno e negativa a sinistra. Segueche

limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞

Quindi x = 1 è asintoto verticalePotevamo procedere anche come segue:Calcoliamo il limite

limx→1+

3x + 2

x− 1=

Dato che

1+ − 1 >0

3 · (1+) + 2 >0

otteniamo

limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞


limx→1−

3x + 2

x− 1=




Dato che

1− − 1 <0

3 · (1−) + 2 >0

otteniamo

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞


y =x2 + 4x + 3

x2 + 3x + 5Determiniamo il dominio ponendo il denominatore uguale a zero

x2 + 3x + 5 =0

x1,2 =−3±

√9− 20

2

L’equazione non ha soluzioni reali

La funzione non ha asintoti verticali


y =3x2 + 1

x3 + x2

x3 + x2 =0

x2(x + 1) = 0

x1,2 =0±√

0 + 0

2=0

x + 1 =0

x3 =− 1

Quindi il dominio è x 6= 0 e x 6= −1Studiamo il segno della funzione.

y =3x2 + 1

x3 + x2




Dato che è una razionale fratta studiamo il segno del numeratore

3x2 + 1 =0

x1,2 =0±√

0− 12

2


Utilizzando i risultati precedenti otteniamo il gra�co

0−1

− ++

In base a quanto detto

limx→0

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

limx→1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞

limx→1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

Otteniamo lo stesso risultato nel seguente modo:

limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(0+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0+)2(0+ + 1) >0

otteniamo

limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2=




Dato che

3(0−)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0−)2(0− + 1) >0

otteniamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

concludiamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1+)2(−1+ + 1) >0

otteniamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1−)+ + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1−)2(−1− + 1) <0

otteniamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞



2.3. ASINTOTI ORIZZONTALI 26

2.3 Asintoti orizzontalii seguenti esercizi

Esercizio 2.3.1: Trovare gli asintoti richiesti y =3x2 + 5x + 2

x2 − 1Soluzione a pagina ??

Esercizio 2.3.2: Trovare gli asintoti richiesti y =x2 + 4x + 3

x2 + 3x + 5


x3 + x2

Soluzione a pagina ??






y =x2 − 5x + 6


x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1+)2 − 1 >0

(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞


limx→1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1−)2 − 1 <0

(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞





limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1+)2 − 1 <0

(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0

otteniamo

limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=−∞


limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1−)2 − 1 >0

(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0

otteniamo

limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞



y =3x2 + 5x + 2

x2 − 1




Calcolo il dominio

x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

0

0


3x2 + 5x + 2 =0

x1,2 =−5±

√25− 24

6

=−5± 1

6

=

x1 = −1

x2 = −2

3

3x2 + 5x + 2 =3(x +2

3)(x + 1)

quindi

limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

= limx→−1

3(x +2

3)(x + 1)

(x− 1)(x + 1)

sempli�co

= limx→−1

3x + 2

x− 1

=1

2


limx→1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1= lim

x→1

3x + 2

x− 1





y =3x + 2

x− 1≥ 0

3x + 2 ≥0

x ≥− 2

3x− 1 >0

x >1


− 23 1

+ − +


limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞


limx→1+

3x + 2

x− 1=

Dato che

1+ − 1 >0

3 · (1+) + 2 >0

otteniamo

limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞


limx→1−

3x + 2

x− 1=




Dato che

1− − 1 <0

3 · (1−) + 2 >0

otteniamo

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞


y =x2 + 4x + 3


x2 + 3x + 5 =0

x1,2 =−3±

√9− 20

2




y =3x2 + 1

x3 + x2

x3 + x2 =0

x2(x + 1) = 0

x1,2 =0±√

0 + 0

2=0

x + 1 =0

x3 =− 1


y =3x2 + 1

x3 + x2





3x2 + 1 =0

x1,2 =0±√

0− 12

2



0−1

− ++


limx→0

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

limx→1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞

limx→1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞


limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(0+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0+)2(0+ + 1) >0

otteniamo

limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2=




Dato che

3(0−)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0−)2(0− + 1) >0

otteniamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

concludiamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1+)2(−1+ + 1) >0

otteniamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1−)+ + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1−)2(−1− + 1) <0

otteniamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞



2.5. ASINTOTI OBLIQUI 34

2.5 Asintoti obliquii seguenti esercizi

Esercizio 2.5.1: Trovare gli asintoti richiesti y =2x3 + x2 + 2

x2 + 1Soluzione a pagina ??

Esercizio 2.5.2: Trovare gli asintoti richiesti f(x) =2x2 + 1

x− 1


3x3 + 1Soluzione a pagina ??






y =x2 − 5x + 6


x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1+)2 − 1 >0

(1+)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞


limx→1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(1−)2 − 1 <0

(1−)2 − 5 · 1+ + 6 >0

otteniamo

limx→1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞





limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1+)2 − 1 <0

(−1+)2 − 5 · (−1+) + 6 >0

otteniamo

limx→−1+

x2 − 5x + 6

x2 − 1=−∞


limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1=

Dato che

(−1−)2 − 1 >0

(−1−)2 − 5 · (−1−) + 6 >0

otteniamo

limx→−1−

x2 − 5x + 6

x2 − 1= +∞



y =3x2 + 5x + 2

x2 − 1




Calcolo il dominio

x2 − 1 =0

x1,2 =0±√

0 + 4

2

=±2

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

0

0


3x2 + 5x + 2 =0

x1,2 =−5±

√25− 24

6

=−5± 1

6

=

x1 = −1

x2 = −2

3

3x2 + 5x + 2 =3(x +2

3)(x + 1)

quindi

limx→−1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1=

= limx→−1

3(x +2

3)(x + 1)

(x− 1)(x + 1)

sempli�co

= limx→−1

3x + 2

x− 1

=1

2


limx→1

3x2 + 5x + 2

x2 − 1= lim

x→1

3x + 2

x− 1





y =3x + 2

x− 1≥ 0

3x + 2 ≥0

x ≥− 2

3x− 1 >0

x >1


− 23 1

+ − +


limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞


limx→1+

3x + 2

x− 1=

Dato che

1+ − 1 >0

3 · (1+) + 2 >0

otteniamo

limx→1+

3x + 2

x− 1= +∞


limx→1−

3x + 2

x− 1=




Dato che

1− − 1 <0

3 · (1−) + 2 >0

otteniamo

limx→1−

3x + 2

x− 1=−∞


y =x2 + 4x + 3


x2 + 3x + 5 =0

x1,2 =−3±

√9− 20

2




y =3x2 + 1

x3 + x2

x3 + x2 =0

x2(x + 1) = 0

x1,2 =0±√

0 + 0

2=0

x + 1 =0

x3 =− 1


y =3x2 + 1

x3 + x2





3x2 + 1 =0

x1,2 =0±√

0− 12

2



0−1

− ++


limx→0

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

limx→1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞

limx→1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞


limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(0+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0+)2(0+ + 1) >0

otteniamo

limx→0+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2=




Dato che

3(0−)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(0−)2(0− + 1) >0

otteniamo

limx→0−

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

concludiamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1+)2 + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1+)2(−1+ + 1) >0

otteniamo

limx→−1+

3x2 + 1

x3 + x2= +∞

continuiamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=

Dato che

3(−1−)+ + 1 >0

x3 + x2 =x2(x + 1)

(−1−)2(−1− + 1) <0

otteniamo

limx→−1−

3x2 + 1

x3 + x2=−∞



2.7. ESERCIZI DI RIEPILOGO ASINTOTI 42

2.7 Esercizi di riepilogo asintoti

Esercizio 2.7.1: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x2 + 2x


Esercizio 2.7.2: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 2


Esercizio 2.7.3: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =1

x + 1

Esercizio 2.7.4: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 5x


Esercizio 2.7.5: Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x2 − 2x + 4

3x− 5Soluzione a pagina 47






f(x) =x2 + 2x

x− 1Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero

x− 1 = 0

x = 1. Il dominio è R− {1}. Veri�chiamo se x = 1 è un asintoto verticale.

limx→1+

x2 + 2x

x− 1=

Dato che

(1+)2 + 2 · 1+ >0

1+ − 1 >0

limx→1+

x2 + 2x

x− 1= +∞

limx→1−

x2 + 2x

x− 1=

Dato che

(1−)2 + 2 · 1− >0

1− − 1 <0

limx→1−

x2 + 2x

x− 1=−∞

Quindi x = 1 è un asintoto verticale Dato che il grado del numeratore supera di unoil grado del denominatore veri�chiamo se esiste un asintoto obliquo. Calcoliamo illimite

m = limx→+∞

x2 + 2x

x− 1· 1

x=

= limx→+∞

x2 + 2x

x2 − x

= limx→+∞

x2

(1 +

2

x

)x2

(1− 1

x

)




Dato che

x2

x2=1

limx→+∞

1

x=0

otteniamo

m =1

q = limx→+∞

[x2 + 2x

x− 1− x

]= lim

x→+∞x2 + 2x− x2 − x

x− 1

= limx→+∞

x

x− 1

= limx→+∞

x

x

(1− 1

x

)Dato che

x

x=1

limx→+∞

1

x=0

otteniamo

q =1

L’asintoto cercatoy = x + 1


f(x) =x3 + 2

x3 − 1Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero

x3 − 1 = 0

x = 1. Il dominio è R− {1}. Veri�chiamo se x = 1 è un asintoto verticale.

limx→1+

x3 + 2

x3 − 1=




Dato che

(1+)3 + 2 >0

(1+)3 − 1 >0

ottengo

limx→1+

x3 + 2

x3 − 1= +∞

Calcoliamo

limx→1−

x3 + 2

x3 − 1=

Dato che

(1−)3 + 2 >0

(1−)3 − 1 <0

ottengo

limx→1−

x2 + 2x

x− 1=−∞

Quindi x = 1 è un asintoto verticale Dato che il grado del numeratore e uguale algrado del denominatore veri�chiamo se esiste un asintoto orizzontale. Calcoliamoil limite

limx→+∞

x3 + 2

x3 − 1=

limx→+∞

x3

(1 +

2

x3

)x3

(1− 1

x3

) =

Dato chex3

x3=1

limx→+∞

1

x3=0

otteniamo

limx→+∞

x3 + 2

x3 − 1=1

L’asintoto cercatoy = 1


Trovare gli asintoti della funzione f(x) =x3 + 5x

x + 1




Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero

x + 1 = 0

x = −1. Il dominio è R− {−1}. Veri�chiamo se x = −1 è un asintoto verticale.

limx→−1+

x3 + 5x

x + 1=

Dato che

(−1+)3 + 5 · (−1+) <0

−1+1 >0

ottengo

limx→−1+

x3 + 5x

x + 1=−∞

Calcoliamo

limx→−1−

x3 + 5x

x + 1=

Dato che

(−1−)3 + 5 · (−1−) <0

−1−1 <0

ottengo

limx→−1−

x3 + 5x

x + 1= +∞

Quindi x = 1 è un asintoto verticale Veri�chiamo se esiste un asintoto orizzontale.Calcoliamo il limite

limx→+∞

x3 + 5x

x + 1=

limx→+∞

x3

(1 +

5

x2

)x

(1 +

1

x

) =




Dato che

x3

x=x2

limx→+∞

5

x2=0

limx→+∞

1

x=0

otteniamo

limx→+∞

x2 = +∞

L’asintoto non esisteVeri�chiamo che non ha asintoti obliqui. Calcoliamo il limite:

m = limx→+∞

x3 + 5x

x + 1· 1

x

= limx→+∞

x3 + 5x

x2 + x

= limx→+∞

x3

(1 +

5

x2

)x2

(1 +

1

x

)Dato che

x3

x2=x

limx→+∞

5

x2=0

limx→+∞

1

x=0

ottengo

= limx→+∞

x3 + 5x

x2 + x= +∞


f(x) =x2 − 2x + 4

3x− 5




Iniziamo da quelli verticali. Determiniamo il dominio. Dato che è una razionalefratta il dominio si ottiene ponendo il denominatore uguale a zero

3x− 5 = 0

x =5

3. Il dominio è R−{5

3}. Veri�chiamo se x =

5

3è un asintoto verticale. Studiamo

il segno della funzione

x2 − 2x + 4

3x− 5>x2 − 2x + 4 = 0

∆ =b2 − 4ac

=4− 16 < 0

Quindi il numeratore è sempre positivo

3x− 5 >0

x >5

3

Otteniamo il gra�co

53

− +

Quindi otteniamo i limiti



3 Derivate

3.1 Razionali intereRisolvi i seguenti esercizi

Esercizio 3.1.1: Calcola la derivata di y = 2x3


Esercizio 3.1.2: Calcola la derivata di y =2

x2


Esercizio 3.1.3: Calcola la derivata di y = 3x + 5Soluzione a pagina 51

Esercizio 3.1.4: Calcola la derivata di y = −x2 + 3x + 6Soluzione a pagina 52

Esercizio 3.1.5: Calcola la derivata di y = x4


Esercizio 3.1.6: Calcola la derivata di y = x4 + 3x3


Esercizio 3.1.7: Calcola la derivata di y = (x2 + 3)(x + 1)Soluzione a pagina 52

49


3.1. RAZIONALI INTERE 50

Esercizio 3.1.8: Calcola la derivata di y = (2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3x)Soluzione a pagina 53

Esercizio 3.1.9: Calcola la derivata di y = (x2 + x)(4x2 − 3x)Soluzione a pagina 53

Esercizio 3.1.10: Calcola la derivata di y = (x2 + 1)2


Esercizio 3.1.11: Calcola la derivata di y = (x2 + 32)5


Esercizio 3.1.12: Calcola la derivata di y = (1 + 5x− 3x2)20


Esercizio 3.1.13: Calcola la derivata di y = (2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)Soluzione a pagina 54



CAPITOLO 3. DERIVATE 51


Soluzione dell’esercizio 3.1.1 di pagina 49:Calcola la derivata di y = 2x3

y′ =D[2x3]

Dato che è la derivata di una potenza

=D[2x3]

=6x2

Soluzione dell’esercizio 3.1.2 di pagina 49:Calcola la derivata di y =

2

x2

y′ =D

[2

x2

]Dato che è la derivata di una potenza

=D[2x−2

]=− 4x−3

=− 41

x3

Soluzione dell’esercizio 3.1.3 di pagina 49:Calcola la derivata di y = 3x + 5.

y′ =D [3x + 5]

Dato che è la derivata di una somma

=D [3x] + D [5]

=3 + 0

=3




Soluzione dell’esercizio 3.1.4 di pagina 49:Calcola la derivata di y = −x2 + 3x + 6

y′ =D[y = −x2 + 3x + 6

]Dato che è la derivata di una somma

=D[−x2

]+ D [3x] + D [6]

=− 2x + 3 + 0

=− 2x + 3

Soluzione dell’esercizio 3.1.5 di pagina 49:Calcola la derivata di y = x4

y′ =D[x4]

=4x3

Soluzione dell’esercizio 3.1.6 di pagina 49:Calcola la derivata di y = x4 + 3x3

y′ =D[x4 + 3x3

]Dato che è la derivata di una somma

=D[x4]

+ D[3x3]

=4x3 + 9x2

Soluzione dell’esercizio 3.1.7 di pagina 49:Calcola la derivata di y = (x2 + 3)(x + 1)

y′ =D[(x2 + 3)(x + 1)

]Dato che è la derivata di un prodotto

=D[(x2 + 3)

](x + 1) + (x2 + 3)D [(x + 1)]

=2x(x + 1) + (x2 + 3)1

=2x2 + 2x + x3 + 3

=3x2 + 2x + 3




Soluzione dell’esercizio 3.1.8 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3)

y′ =D[(2x3 + x2 + 1)(2x2 + 3x)

]Dato che è la derivata di un prodotto

=D[(2x3 + x2 + 1)

](2x2 + 3x) + (2x3 + x2 + 1)D

[(2x2 + 3)

]=(3x2 + 2x)(2x2 + 3x) + (2x3 + x2 + 1)(4x + 3)

=6x4 + 9x3 + 4x3 + 6x2 + 8x4 + 3x3 + 4x3 + 3x2 + 4x + 3

=20x4 + 32x3 + 9x2 + 4x + 3

Soluzione dell’esercizio 3.1.9 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + x)(4x2 − 3x)

y′ =D[(x2 + x)(4x2 − 3x)

]=16 x3 − 21 x2 + 6 x

Soluzione dell’esercizio 3.1.10 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + 1)2

y′ =D[(x2 + 1)2

]Dato che è la derivata di funzione di funzione

=2(x2 + 1)2x

=4x(x2 + 1)

Soluzione dell’esercizio 3.1.11 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (x2 + 32)5

y′ =D[(x2 + 1)2

]




Dato che è la derivata di una potenza

=5(x2 + 32)42x

=10 x(x2 + 32

)4

Soluzione dell’esercizio 3.1.12 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (1 + 5x− 3x2)20

y′ =D[(1 + 5x− 3x2)20


=20(1 + 5x− 3x2)19(5− 6x)

=20 (−6 x + 5)(−3 x2 + 5 x + 1

)19

Soluzione dell’esercizio 3.1.13 di pagina 50:Calcola la derivata di y = (2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)

y′ =D[(2x2 + 3x + 1)(3x2 − 5x + 1)


= (4 x + 3)(3 x2 − 5 x + 1

)+ (6 x− 5)

(2 x2 + 3 x + 1

)=24 x3 − 3 x2 − 20 x− 2




3.3 Razionali fratte

Esercizio 3.3.1: Calcola la derivata di y =x2 − 4


Esercizio 3.3.2: Calcola la derivata di y =x− 4

x− 9

Esercizio 3.3.3: Calcola la derivata di y =x2 − 2x + 1


Esercizio 3.3.4: Calcola la derivata di y =3x2 − 1

(x + 2)2


Esercizio 3.3.5: Calcola la derivata di y =x + 5

(x− 3)3







Calcola la derivata di y =x2 − 4

x2 − 9

y′ =D

[x2 − 4

x2 − 9

]Dato che è la derivata di una razionale fratta

=D[(x2 − 4)

](x2 − 9)− (x2 − 4)D

[(x2 − 9)

](x2 − 9)2

=2x(x2 − 9)− 2x(x2 − 4)

(x2 − 9)2

=2x3 − 18x− 2x3 + 8x

(x2 − 9)2

=−10x

(x2 − 9)2


Calcola la derivata di y =x2 − 2x + 1

x− 3

y′ =D

[x2 − 2x + 1

x− 3


=D[(x2 − 2x + 1)

](x− 3)− (x2 − 2x + 1)D [(x− 3)]

(x− 3)2

=(2x− 2)(x− 3)− (x2 − 2x + 1)

(x− 3)2

=2x2 − 6x− 2x + 6− x2 + 2x− 1

(x− 3)2

=x2 − 6x + 5

(x− 3)2





Calcola la derivata di y =3x2 − 1

(x + 2)2

y′ =D

[3x2 − 1

(x + 2)2


=6x(x + 2)2 − 2(x + 2)(3x2 − 1)

(x + 2)4

=6x(x + 2)− 2(3x2 − 1)

(x + 2)3

=6x2 + 12x− 6x2 + 2

(x + 2)3

=2 · 6 x + 1

(x + 2)3

Soluzione dell’esercizio 3.3.5 di pagina 55:Calcola la derivata di y =

x + 5

(x− 3)3

y′ =D

[x + 5

(x− 3)3


=(x− 3)3 − 3(x− 3)2(x + 5)

(x− 3)6

=(x− 3)− 3(x + 5)

(x− 3)4

=x− 3− 3x− 15

(x− 3)4

=− 2 · x + 9

(x− 3)4



4 Massimi e minimi

4.1 Razionali intereRisolvi i seguenti esercizi

Esercizio 4.1.1: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =

x(x2 − 2

)2Soluzione a pagina 59

Esercizio 4.1.2: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 (x− 2)

2



2



2

Esercizio 4.1.5: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =6x3 + 15x2 + 12x + 5


58


CAPITOLO 4. MASSIMI E MINIMI 59


Soluzione dell’esercizio 4.1.1 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x

(x2 − 2

)2y =x (x− 2)

2

y′ =D[x (x− 2)

2]

= (x− 2)2

+ 2 x (x− 2)

Raccogliendo il fattore comune

= (x− 2) (3 x− 2)

Otteniamo due disequazioni di primo grado

x− 2 ≥0

x ≥2

3x− 2 ≥0

x ≥2

3


23 2

+ − +

Per x =2

3la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.

Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.

Soluzione dell’esercizio 4.1.2 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x2 (x− 2)

2

y =x2 (x− 2)2

y′ =D[x2 (x− 2)

2]

=2 x (x− 2)2

+ 2 x2 (x− 2)


=4 x (x− 2) (x− 1)




Otteniamo tre disequazioni di primo grado

x ≥0

x− 2 ≥0

x ≥2

x− 1 ≥0

x ≥1


0 1 2

− + − +

Per x = 0 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = 1 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.

Soluzione dell’esercizio 4.1.3 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = x3 (x− 2)

2

y =x3 (x− 2)2

y′ =D[x3 (x− 2)

2]

=3 x2 (x− 2)2

+ 2 x3 (x− 2)


=x2 (x− 2) (5 x− 6)

Otteniamo tre disequazioni

x2 ≥0

x− 2 ≥0

x ≥2

5 x− 6 ≥0

x ≥6

5





0

+ + − +

65 2

Per x = 0 la derivata è positiva nulla positiva, quindi la funzione ha un �esso. Perx =

6

5la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo. Per

x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.

Soluzione dell’esercizio 4.1.5 di pagina 58:Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y = 6x3 + 15x2 + 12x + 5Calcolo il segno della derivata prima

y =6x3 + 15x2 + 12x + 5

y′ =D[6x3 + 15x2 + 12x + 5

]=18 x2 + 30 x + 12

18 x2 + 30 x + 12 ≥0

18 x2 + 30 x + 12 =0

3 x2 + 5 x + 2 =0

x1,2 =−5±

√25− 24

6

=−5± 1

6

=

x1 =

−5− 1

6= −1

x2 =−5 + 1

6= −2

3

Otteniamo il gra�co:

−1 − 23

+ − +

Per x = −1 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = −2

3la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.



4.3. RAZIONALI FRATTE 62

4.3 Razionali fratte

Esercizio 4.3.1: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4

xSoluzione a pagina 63

Esercizio 4.3.2: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 − 9


Esercizio 4.3.3: Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4x

x2 + 6x + 5Soluzione a pagina 65






Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4

xCalcolo il segno

della derivata prima

y =x2 + 4

x

y′ =D

[x2 + 4

x

]=

2x2 − (x2 − 4)

x2

=x2 − 4

x2

=x2 − 4

x2≥ 0

Ottengo due disequazioni

x2 − 4 ≥ 0

x1,2 =±√

+16

2

=±4

2

=

x1 =

+4

2= +2

x2 =−4

2= −2

x2 > 0

Ottengo il gra�co

0

@

−2 +2

+ − − +

Per x = −2 la derivata è positiva nulla negativa, quindi la funzione ha un massimo.Per x = 2 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = 0 la derivata e la funzione non esistono e la funzione non ha un �esso.





Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 − 9

x2 − 4Calcolo il segno

della derivata prima

y =x2 − 9

x2 − 4

y′ =D

[x2 − 9

x2 − 4

]=

2 x(x2 − 4

)− 2 x

(x2 − 9

)(x2 − 4)

2

=2x3 − 8x− 2x3 + 18x

(x2 − 4)2

=10x

(x2 − 4)2> 0


(x2 − 4)2 >0

Il denominatore è sempre positivo e si annulla per

x1,2 =±√

+16

2

=±4

2

=

x1 =

+4

2= +2

x2 =−4

2= −2

Il numeratore invece

10 x ≥0

x ≥0


−2 +20

− − + +@ @

Per x = 0 la derivata è negativa nulla positiva, quindi la funzione ha un minimo.Per x = −2 e per x = +2 la derivata e la funzione non esistono e la funzione non haun �esso.





Calcolare i punti di massimo e di minimo della funzione y =x2 + 4x

x2 + 6x + 5Calcolo il

segno della derivata prima

y =x2 + 4x

x2 + 6x + 5

y′ =D

[x2 + 4x

x2 + 6x + 5

]=

(2 x + 4)(x2 + 6 x + 5

)−(x2 + 4 x

)(2 x + 6)

(x2 + 6 x + 5)2

=2x3 + 12x2 + 10x + 4x2 + 24x + 20− 2x3 − 6x2 − 8x2 − 24x

(x2 + 6 x + 5)2

=2x2 + 10x + 20

(x2 + 6 x + 5)2 > 0


(x2 + 6 x + 5

)2>0

Il denominatore è sempre positivo e si annulla per

x1,2 =−6±

√36− 20

2

=−6± 4

2

=

x1 =

−10

2= −5

x2 =−2

2= −1

Il numeratore invece

2x2 + 10x + 20 ≥0

x1,2 =−10±

√100− 160

2

=−10±

√−60

2

Delta negativo





−5 −1

@@+ + +

Per x = −5 e per x = −1 la derivata e la funzione non esistono e la funzione nonha un �esso. La derivata rimane di segno costante e la funzione non ha punti diminimo e di massimo



5 Gra�co probabile

5.1 Funzioni razionali intereRisolvi i seguenti esercizi

Esercizio 5.1.1: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = x3


Esercizio 5.1.2: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 −1)(x− 4)


Esercizio 5.1.3: Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 −1)(x2 − 4)


67




Soluzione dell’esercizio 5.1.1 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = x3

• Dominio,La funzione essendo una razionale intera è de�nita su tutto R

• Positività,La funzione è positiva per x > 0

• Asintoti,

1. Asintoti verticaliDato il dominio, non ha asintoti verticali.

2. Asintoto orizzontale Calcoliamo il limite

limx→+∞

x3 =∞

Quindi non esiste asintoto orizzontale3. Asintoto obliquo

Non esiste asintoto obliquo

• Intersezioni,

1. Asse x

{y = 0

y = x3

{y = 0

x3 = 0

{y = 0

x = 0

Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in un punto.2. asse y {

x = 0

y = x3

{x = 0

y = (0)3 = 0

• Derivata della funzione e segno della derivata,

y =x3

y′ =D[x3]

=3x2



CAPITOLO 5. GRAFICO PROBABILE 69

Studio il segno della derivata

y′ =3x2 ≥ 0

risolvo l’equazione

3x2 = 0

x1,2 =±√

0

6=0

=

{x1 = 0

x2 = 0


0

+ +

Osservando il gra�co notiamo che prima e dopo di x = 0 la derivata è positivae per x = 0 vale zero. Quindi per x = 0 la funzione ha un �esso.

• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che c’è un �esso orizzontale. Per laconcavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda

y′ =3x2

y′′ =D[3x2]

=6x

Studiamo il segno della derivata

6x ≥0

x ≥0


0

− +

Da gra�co, per valori di x < 0 la concavità è rivolta verso il basso. Per valoridi x > 0 la concavità è rivolta vero l’alto. Per x = 0 è un punto di �esso.




• Gra�co probabile,

−2. −1. 1.

−5.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

0

Soluzione dell’esercizio 5.1.2 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 − 1)(x− 4)

• Dominio, La funzione è intera quindi è de�nita su tutto R




• Positività, Studiamo il segno di f(x) = (x2 − 1)(x− 4)

(x2 − 1)(x− 4) ≥0

Risolviamo le due disequazioni

x− 4 ≥0

x ≥4

x2 − 1 ≥0

x2 − 1 =0

x1,2 =±√

4

2=

{x1 = +1

x2 = −1


−1

− + − +

1 4

Dal diagramma vediamo che la funzione è positiva per valori di x compresitra meno uno e più uno e per valori di x maggiori di quattro −1 ≤ x ≤ 1 ox ≥ 4

• Asintoti,

1. Asintoti verticaliVisto il dominio non esistono asintoti verticali.


limx→+∞

(x2 − 1)(x− 4) =

limx→+∞

(x3 − 4x2 − x + 4) =

limx→+∞

x3(1− 4x2

x3− x

x3+

4

x3) =∞ · 1 =∞



• Intersezioni,




1. Asse x{y = 0

y = (x2 − 1)(x− 4)

{y = 0

(x2 − 1)(x− 4) = 0

{y = 0

x2 − 1 = 0{y = 0

x1 = −1

{y = 0

x2 = 1

{y = 0

x− 4 = 0{y = 0

x3 = 4

Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in tre punti2. asse y

{x = 0

y = (x2 − 1)(x− 4)

{x = 0

y = (−1)(−4) = 4

Quindi la curva incontra l’asse y in un punto.

• Derivata della funzione e segno della derivata,y =(x2 − 1)(x− 4)

y′ =D[(x2 − 1)(x− 4)

]=2x(x− 4) + x2 − 1

=2x2 − 8x + x2 − 1

=3x2 − 8x− 1


y′ =3x2 − 8x− 1 ≥ 0


3x2 − 8x− 1 =0

x1,2 =8±√

64 + 12

6

=8±√

76

6

=8±√

22 · 19

6

=8± 2

√19

6=

x1 =

4 +√

19

3

x2 =4−√

19

3





4−√

193

4+√

193

+ − +

Osservando il gra�co notiamo che prima di x =4−√

19

3la derivata è positiva,

poi va a zero in�ne è negativa. Quindi per x =4−√

19

3la funzione ha un

massimo. Prima di x =4 +√

19

3la derivata è negativa, poi va a zero in�ne è

positiva. Quindi per x =4−√

19

3la funzione ha un minimo.

• Flessi e concavità,Dal segno della derivata prima vediamo che non ci sono �essi orizzontali. Perla concavità e gli altri �essi studiamo la derivata seconda

y′ =3x2 − 8x− 1

y′′ =D[3x2 − 8x− 1

]=6x− 8


6x− 8 ≥0

x ≥8

6=

4

3


43

− +

Da gra�co, per valori di x <4

3la concavità è rivolta verso il basso. Per valori

di x >4

3la concavità è rivolta vero l’alto. Per x =

4

3è un punto di �esso.





−2. 2. 4.

−10.

−8.

−6.

−4.

−2.

2.

4.

6.

0

Soluzione dell’esercizio 5.1.3 di pagina 67:Disegnare il gra�co probabile di questa funzione f(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)

• Dominio, La funzione è intera quindi è de�nita su tutto R

• Positività, Studiamo il segno di f(x) = (x2 − 1)(x2 − 4)

(x2 − 1)(x2 − 4) ≥0




Risolviamo le due disequazioni

x2 − 4 ≥0

x2 − 4 =0

x1,2 =±√

16

2=

{x1 = +2

x2 = −2

x2 − 1 ≥0

x2 − 1 =0

x1,2 =±√

4

2=

{x1 = +1

x2 = −1


−2 2−1 1

+ − + − +

Dal diagramma vediamo che la funzione è positiva quando x ≤ −2, −1 ≤ x ≤ 1e x ≥ 2.

• Asintoti,

1. Asintoti verticaliVisto il dominio non esistono asintoti verticali.


limx→+∞

(x2 − 1)(x2 − 4) =

limx→+∞

(x4 − 4x2 − x2 + 4) =

limx→+∞

(x4 − 5x2 + 4) =

limx→+∞

x4(1− 5x2

x4+

4

x4) =∞ · 1 =∞



• Intersezioni,




1. Asse x{y = 0

y = (x2 − 1)(x2 − 4)

{y = 0

(x2 − 1)(x2 − 4) = 0

{y = 0

x2 − 1 = 0{y = 0

x1 = −1

{y = 0

x2 = 1

{y = 0

x2 − 4 = 0{y = 0

x3 = −2

{y = 0

x4 = +2

Quindi abbiamo che la curva interseca l’asse x in quattro punti2. asse y {

x = 0

y = (x2 − 1)(x2 − 4)

{x = 0

y = (−1)(−4) = 4

Quindi la curva incontra l’asse y in un punto.


y =(x2 − 1)(x2 − 4)

y′ =D[(x2 − 1)(x− 4)

]=2x(x2 − 4) + 2x(x2 − 1)

=2x3 − 8x + 2x3 − 2x

=4x3 − 10x


y′ =4x3 − 10x ≥ 0


2x(2x2 − 5) =0

x1 =0

x ≥0

2x2 − 5 =0

x2,3 =±√

40

4

=± 2√

10

4=

x2 = +

√10

2

x3 = −√

10

2





0−√

102

√102

− + − +

Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −√

10

2la derivata è negativa,

poi va a zero in�ne è positiva. Quindi per x =4−√

19

3la funzione ha un

minimo. Prima di x = 0 la derivata è positiva, poi va a zero in�ne è negativa.

Quindi per x = 0 la funzione ha un massimo. Prima di x =

√10

2la derivata è

negativa, poi va a zero in�ne è positiva. Quindi per x =4−√

19

3la funzione

ha un minimo.


y′ =4x3 − 10x

y′′ =D[4x3 − 10x

]=12x2 − 10


12x2 − 10 ≥0

12x2 − 10 =0

x1,2 =±√

480

24

=± 4√

30

24

=±√

30

6

=

x2 = +

√30

6

x3 = −√

30

6


−√

3024

√30

24

+ − +




Quindi la funzione ha prima la concavità positiva, successivamente diventanegativa per tornare in�ne, positiva.


−3. −2. −1. 1. 2.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

0




5.3 Funzioni razionali fratteRisolvi i seguenti esercizi

Esercizio 5.3.1: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =2x + 1

3x− 2

Esercizio 5.3.2: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =2x + 1

3x− 1Soluzione a pagina 80

Esercizio 5.3.3: Trovare il gra�co probabile della funzione y =x2 − 1


Esercizio 5.3.4: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =4x2 + 4x + 1

x2


Esercizio 5.3.5: Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =x2 − 9






Soluzione dell’esercizio 5.3.2 di pagina 79:Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =

2x + 1

3x− 1

• Dominio,

3x− 1 =0

x =1

3

x 6=1

3

• Positività,

2x + 1

3x− 1≥0

2x + 1 ≥0

x ≥− 1

23x− 1 >0

x >1

3


− 12

13

+ − +@

• Asintoti,

1. Asintoti verticaliUtilizzando il gra�co precedente

limx→ 1

3−

2x + 1

3x− 1=−∞

limx→ 1

3+

2x + 1

3x− 1= +∞

x =1

3

è asintoto verticale




2. Asintoto orizzontale

limx→+∞

2x + 1

3x− 1=

= limx→+∞

x

(2 +

1

x

)x

(3− 1

x

)=

2

3

y =2

3

asintoto orizzontale

3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui.

• Intersezioni,

1. Asse x y =2x + 1

3x− 1y = 0

{2x + 1 = 0

y = 0

x = −1

2y = 0

2. asse y y =2x + 1

3x− 1x = 0

y =0 + 1

0− 1x = 0

{y = −1

x = 0

3. Asintoti y =

2x + 1

3x− 1

y =2

3

Non ha soluzione





y =2x + 1

3x− 1

y′ =D

[2x + 1

3x− 1

]=

2(3x− 1)− 3(2x + 1)

(3x− 1)2

=6x− 2− 6x− 3

(3x− 1)2=

−5

(3x− 1)2


y′ =−5

(3x− 1)2≥ 0

Sia il denominatore che è unquadrato, che il numeratore hanno segno costante

Ottengo il gra�co

13

− @ −

La derivata ha segno costante e non esiste per x = 13 ne massimo ne minimo


y′ =−5

(3x− 1)2

y′′ =D

[−5

(3x− 1)2

]=

30(3x− 1)

(3x− 1)4

=30

(3x− 1)3


=30

(3x− 1)3≥ 0




il numeratore è positivo

Segno denominatore

(3x− 1)3 >0

3x− 1 >0

x >1

3

Ottengo il gra�co

13

@− +

Quindi prima di un terzo la concavità è rivolta verso il basso poi verso l’alto.


−5. −4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.

−4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

3.

0


Trovare il gra�co probabile della funzione y =x2 − 1

x + 5




• Dominio,

x + 5 =0

x =− 5

x 6=− 5

• Positività,

x2 − 1

x + 5≥0

x + 5 >0

x >− 5

x2 − 1 ≥0

x2 − 1 =0

x1,2 =±√

4

2

=

{x1 = +1

x2 = −1


−1 +1−5

− + − +@

• Asintoti,


limx→−5−

x2 − 1

x + 5=−∞

limx→−5+

x2 − 1

x + 5= +∞

x =− 5


2. Asintoto orizzontaleDato che il grado del numeratore è maggiore del grado denominatorel’asintoto non esiste.




3. Asintoto obliquo

m = limx→∞

x2 − 1

x + 5

1

x

= limx→∞

x2 − 1

x2 + 5x

= limx→∞

x2

(1− 1

x2

)x2

(1 +

5x

x2

) = 1

q = limx→∞

[x2 − 1

x + 5− x]

= limx→∞

x2 − 1− x2 − 5x

x + 5

= limx→∞

−5x− 1

x + 5

= limx→∞

x

(−5− 1

x

)x

(1 +

5

x

) = −5

y =x− 5

• Intersezioni,

1. Asse xy =x2 − 1

x + 5y = 0

{x2 − 1 = 0

y = 0

{x1 = +1

y = 0

{x2 = −1

y = 0

2. asse y y =x2 − 1

x + 5x = 0

y = −1

5x = 0

3. Asintotiy =x2 − 1

x + 5y = x− 5

x2 − 1

x + 5= x− 5

y = x− 5

{x2 − 1 = x2 − 25

y = x− 5

non ha soluzione





y =x2 − 1

x + 5

y′ =D

[x2 − 1

x + 5

]=

2(x + 5)− (x2 − 1)

(x + 5)2

=x2 + 10x + 1

(x + 5)2


y′ =x2 + 10x + 1

(x + 5)2≥ 0

Dato che il denominatore è un quadrato e quindi sempre positivo, studiamosolo il segno del numeratore


x2 + 10x + 1 =0

x1,2 =−10±

√100− 4

2

=−10±

√96

2

=−10±

√24 · 6

2

=−10± 4

√6

2

=

{x1 = −5 +

√6

x2 = −5−√

6


−5−√6 −5 +

√6

+ − +

Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −5−√

5 la derivata è positiva,poi va a zero in�ne è negativa quindi per x = −5 −

√5 la funzione ha un

massimo. Per x = −5+√

5 la derivata è negativa, poi va a zero in�ne è positivaquindi per x = −5 +

√5 la funzione ha un minimo.





y′ =x2 + 10x + 1

(x + 5)2

y′′ =D

[x2 + 10x + 1

(x + 5)2

]=

(2x + 10)(x + 5)2 − 2(x2 + 10x + 1)(x + 5)

(x + 5)4

=(2x + 10)(x + 5)− 2(x2 + 10x + 1)

(x + 5)3

=2x2 + 10x + 10x + 50− 2x2 − 20x− 2

(x + 5)3

=48

(x + 5)3


=48

(x + 5)3≥ 0

il numeratore è positivo

Segno denominatore

(x + 5)3 >0

x + 5 >0

x >− 5


−5

− +@

Da gra�co, per valori minori di meno cinque la concavità è rivolta verso ilbasso. Per valori superiori la funzione ha concavità rivolta vero l’alto. Perx = −5 non abbiamo un �esso perché la funzione non esiste.





−20. −10. 10.

−30.

−20.

−10.

10.

20.

0


Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =4x2 + 4x + 1

x2

• Dominio,

x2 =0

x1,2 = 0x 6= 0




• Positività,4x2 + 4x + 1

x2≥0

4x2 + 4x + 1 ≥0

4x2 + 4x + 1 =0

x1,2 =−4±

√16− 16

8

=− 4

8

=− 1

2

x2 >0


− 12

+ + +@

0

• Asintoti,


limx→0+

4x2 + 4x + 1

x2= +∞

limx→0−

4x2 + 4x + 1

x2= +∞

x =0



limx→∞

4x2 + 4x + 1

x2=

limx→∞

x2

(4− 4x

x2+

1

x2

)x2

=4

y =4





3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui

• Intersezioni,

1. Asse xy = 0

y =4x2 + 4x + 1

x2

{y = 0

4x2 + 4x + 1 = 0

y = 0

x1 = −1

2

2. asse y Dato il dominio non esistono intersezioni con l’asse y

3. Asintotiy = −1

2

y =4x2 + 4x + 1

x2

y = −1

24x2 + 4x + 1

x2= −1

2y = −1

28x2 + 8x + 2 + x2

x2= 0

y = −1

29x2 + 8x + 2

x2= 0y = 1

x1,2 =−8±

√64− 72

18

Nessuna intersezione


y =4x2 + 4x + 1

x2

y′ =D

[4x2 + 4x + 1

x2

]=

(8x + 4)(x2)− 2x(4x2 + 4x + 1)

x4

=8x3 + 4x2 − 8x3 − 8x2 − 2x

x4

=−4x2 − 2x

x4

=−4x− 2

x3


y′ =−4x− 2

x3≥ 0

Dato che il denominatore è una potenza dispari è positivo solo per valori di xmaggiori di zero, studiamo il segno del numeratore





−4x− 2 ≥0

x ≤− 1

2


− + −

− 12 0

@

Osservando il gra�co notiamo che prima di x = −1

2la derivata è negativa, poi

va a zero in�ne è positiva. Quindi per x = −1

2la funzione ha un minimo. Per

x = 0 la derivata non esiste.


y′ =−4x− 2

x3

y′′ =D

[−4x− 2

x3

]=−4x3 + 12x3 + 6x2

x6

=8x3 + 6x2

x6

=8x + 6

x4


8x + 6

x4≥ 0

il denominatore è positivo

Segno numeratore

8x + 6 ≥0

x ≥− 3

4





− 34

+ − −

0

@

Da gra�co, per valori x 6 −3

4la concavità è rivolta verso l’alto. Per valori

superiori la funzione ha concavità rivolta vero il basso. Per x = 0 non abbiamoun �esso perché la funzione non esiste.


−10. −8. −6. −4. −2. 2. 4. 6. 8. 10.

−2.

2.

4.

6.

8.

10.

12.

0

f

g


Disegna il gra�co probabile di questa funzione f(x) =x2 − 9

x2 − 4

• Dominio,

x2 − 4 =0

x1,2 =±√

16

2=

{x1 = +2

x2 = −2

x 6= +2

x 6= −2




• Positività,

x2 − 9

x2 − 4≥0

x2 − 9 ≥0

x2 − 9 =0

x1,2 =±√

36

2

=±6

2=

{x1 = +3

x2 = −3

x2 − 4 >0

x2 − 4 =0{x1 = +2

x2 = −2


−3 −2

@

+2

@

+3

+ − + − +

• Asintoti,


limx→−2+

x2 − 9

x2 − 4= +∞

limx→−2−

x2 − 9

x2 − 4=−∞

x =− 2


limx→2+

x2 − 9

x2 − 4=−∞

limx→2−

x2 − 9

x2 − 4= +∞

x = + 2






limx→∞

x2 − 9

x2 − 4=

limx→∞

x2

(1− 9

x2

)x2

(1− 4

x2

) =1

y =1


3. Asintoto obliquoNon esistono asintoti obliqui

• Intersezioni,

1. Asse xy = 0

y =x2 − 9

x2 − 4

{y = 0

x2 − 9 = 0

{y = 0

x1 = +3

{y = 0

x1 = −3

2. asse y x = 0

y =x2 − 9

x2 − 4

x = 0

y =9

4

3. Asintoti Non ha intersezione


y =x2 − 9

x2 − 4

y′ =D

[x2 − 9

x2 − 4

]=

2x(x2 − 4)− 2x(x2 − 9)

(x2 − 4)2

=2x3 − 8x− 2x3 + 18x

(x2 − 4)2

=10x

(x2 − 4)2


y′ =10x

(x2 − 4)2≥ 0




Dato che il denominatore è una potenza pari è sempre positivo, studiamo ilsegno del numeratore


10x ≥0

x ≥0


−2

@

0 2

@− − + +

Osservando il gra�co notiamo che prima di x = 0 la derivata è negativa, poiva a zero in�ne è positiva. Quindi per x = 0 la funzione ha un minimo. Perx = ±2 la derivata non esiste.


y′ =10x

(x2 − 4)2

y′′ =D

[10x

(x2 − 4)2

]=

10(x2 − 4)2 − 40x2(x2 − 4)

(x2 − 4)4

=10(x2 − 4)(x2 − 4− 4x2)

(x2 − 4)4

=10(−4− 3x2)

(x2 − 4)3


10(−4− 3x2)

(x2 − 4)3≥ 0

Segno denominatore. Dato che è una potenza dispari studiamo il segno dellabase

(x2 − 4)3 >0

x2 − 4 >0

x2 − 4 =0

x1,2 =±√

16

2=

{x1 = +2

x2 = −2




Segno numeratore

−4− 3x2 ≥0

−4− 3x2 =0

x1,2 =±√−48

−6

Non ha soluzione


−2

@− + −

+2

@

Da gra�co, per valori di xminori di meno due la concavità è rivolta verso ilbasso. Per valori di x compresi tra meno due e due la concavità è rivolta verol’alto. Per xmaggiori di due la concavità rivolta vero il basso. Per valori ugualia più e meno due la derivata non esiste.


−6. −4. −2. 2. 4. 6.

−4.

−2.

2.

4.

0



Appendice

97


A Mezzi usati

• I mezzi usati

– pdfLATEX tramite la distribuzioneTEX Livehttp://www.tug.org/texlive

– Pacchetti usati1. Per la gra�ca il pacchetto pgf 3.0.1a, TikZ2. Per la matematica il pacchetto AMS3. Per le presentazioni Beamer

– Editor usati1. TEXstudio

http://texstudio.sourceforge.net/2. Tikzedt

http://www.tikzedt.org/index.html3. QTikZ

http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/4. GeoGebra 5

https://www.geogebra.org

• Aiuti e consigli

1. Forum del guIt Gruppo Utilizzatori Italiani di TEXhttp://www.guitex.org/home/it/forum

2. ArsTEXnica la rivista del guIt3. TEX ample.net

http://www.texample.netda cui qualche immagine è stata tratta

4. TEX StackExchangehttp://tex.stackexchange.com

• Aggiornamenti http://breviariomatematico.altervista.org

98

http://www.tug.org/texlive

http://texstudio.sourceforge.net/

http://www.tikzedt.org/index.html

http://www.hackenberger.at/blog/ktikz-editor-for-the-tikz-language/

https://www.geogebra.org

http://www.guitex.org/home/it/forum

http://www.texample.net

http://tex.stackexchange.com

http://breviariomatematico.altervista.org


Indice analitico

A

Asintotoobliquo, 68, 71, 75, 80, 84, 89, 93orizzontale, 45, 47, 68, 71, 75, 80, 84,

89, 93verticale, 22, 30, 38, 43, 45, 46, 48, 68,

71, 75, 80, 84, 89, 93

C

Concavità, 69, 73, 77, 82, 87, 89, 91, 95

D

Derivatapotenza, 51, 52potenza funzione, 54potenza negativa, 51prodotto, 52, 53

quoziente, 56, 57somma, 51, 52

F

Flesso, 61, 63, 64, 66, 69, 73, 77, 82, 87, 89,91, 95

L

Limitein�nitotende �nito, 6, 7, 22, 30, 38tende in�nito, 9

M

Massimo, 60, 61, 63, 64, 66Minimo, 60, 61, 63, 64, 66

99

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