Esercizi Svolti Teoria dei Segnali

Esercizi di teoria dei segnali

Laura DossiArnaldo Spalvieri

Gli autori desiderano ringraziare gli ingg. Fabio Marchisi e Raffaele Canavesiper il preziosissimo contributo alla stesura della dispensa.

i

Indice

1 Segnali deterministici e sistemi: analisi a tempo continuo e

discreto, dominio del tempo e della frequenza 11.1 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Esercizio 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Esercizio 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.3 Esercizio 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.1.4 Esercizio 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.1 Esercizio 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Esercizio 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Esercizio 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Esercizio 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.2.5 Esercizio 9 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.6 Esercizio 10 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.7 Esercizio 11 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.2.8 Esercizio 12 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.9 Esercizio 13 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.10 Esercizio 14 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.2.11 Esercizio 15 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.2.12 Esercizio 16 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.3 Segnali e sistemi a tempo continuo . . . . . . . . . . . . 201.3.1 Esercizio 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.2 Esercizio 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.3 Esercizio 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231.3.4 Esercizio 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.3.5 Esercizio 21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3.6 Esercizio 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281.3.7 Esercizio 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.3.8 Esercizio 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321.3.9 Esercizio 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

ii

1.3.10 Esercizio 26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.3.11 Esercizio 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371.3.12 Esercizio 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.3.13 Esercizio 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401.3.14 Esercizio 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.4 Campionamento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.1 Esercizio 31 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431.4.2 Esercizio 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 461.4.3 Esercizio 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.4.4 Esercizio 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.4.5 Esercizio 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.4.6 Esercizio 36 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.4.7 Esercizio 37 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561.4.8 Esercizio 38 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

1.5 Segnali e sistemi a tempo discreto . . . . . . . . . . . . . 591.5.1 Esercizio 39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.5.2 Esercizio 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 611.5.3 Esercizio 41 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 641.5.4 Esercizio 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661.5.5 Esercizio 43 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681.5.6 Esercizio 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 691.5.7 Esercizio 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.6 Vero o falso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 721.6.1 Esercizio 46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2 Segnali aleatori 742.1 Probabilita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2.1.1 Esercizio 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 752.1.2 Esercizio 48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.2 Processi parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.1 Esercizio 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 772.2.2 Esercizio 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 802.2.3 Esercizio 51 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 832.2.4 Esercizio 52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 842.2.5 Esercizio 53 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 862.2.6 Esercizio 54 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

2.3 Processi non parametrici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.1 Esercizio 55 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.3.2 Esercizio 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 892.3.3 Esercizio 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

iii

2.3.4 Esercizio 58 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 932.3.5 Esercizio 59 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952.3.6 Esercizio 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 972.3.7 Esercizio 61 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992.3.8 Esercizio 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002.3.9 Esercizio 63 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1032.3.10 Esercizio 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.3.11 Esercizio 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1082.3.12 Esercizio 66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1102.3.13 Esercizio 67 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1122.3.14 Esercizio 68 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1132.3.15 Esercizio 69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.3.16 Esercizio 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1152.3.17 Esercizio 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162.3.18 Esercizio 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.3.19 Esercizio 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1222.3.20 Esercizio 74 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3.21 Esercizio 75 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.3.22 Esercizio 76 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1252.3.23 Esercizio 77 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.4 Segnale dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.4.1 Esercizio 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.4.2 Esercizio 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.4.3 Esercizio 80 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1292.4.4 Esercizio 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.4.5 Esercizio 82 (solo testo) . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

Appendice 133

A Proprieta della Trasformata e della Serie di Fourier 133A.1 Proprieta della Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . 133A.2 Proprieta della Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

B Trasformate di Fourier 139B.1 Segnali a tempo continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139B.2 Sequenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

iv

Capitolo 1

Segnali deterministici e sistemi:analisi a tempo continuo ediscreto, dominio del tempo edella frequenza

1

1.1 Serie di Fourier

1.1.1 Esercizio 1

Sia dato x(t) = xT1(t) + xT2(t) in cui T1 e T2 rappresentano i periodi deisegnali xT1(t) e xT2(t) rispettivamente.E intuitivo convincersi del fatto che se esiste un T tale che x(t + T ) = x(t),questo T deve comprendere un numero intero di T1 e T2; inoltre il piu piccolofra i possibili T che rispettano la condizione sopra citata sara il m.c.m fra T1e T2.Si puo quindi affermare che: dato un segnale x(t) somma di due segnali perio-dici di periodo T1 e T2 esso sara periodico di periodo T con T = m.c.m(T1, T2)se tale m.c.m esiste (in questo casi i periodi sono tra loro commensurabili).Se non esiste il m.c.m(T1, T2) allora il segnale x(t) non e periodico (e i periodisi dicono incommensurabili).

Si presentano qui di seguito tre esercizi a sostegno dell’affermazione fatta.

1) Somma di segnali periodici di periodo uno multiplo dell’altro

Datox(t) = xT1(t) + xT2(t) = sen(2πt) + cos(4πt+ φ)

sia f1 e T1 frequenza e periodo di xT1 ed f2 e T2 frequenza e periodo dixT2 allora:

T1 = 1s, f1 = 1Hz;

T2 = 0.5s, f2 = 2Hz.

In questo caso, dove una frequenza e multipla dell’altra, risulta:

T = m.c.m(T1, T2) = max(T1, T2) = 1s,

f =1

T= min(f1, f2).

Ricordando che sen(2πt) = cos(2πt − π/2) risulta immediato scriverex(t) in serie di Fourier in forma polare:

x(t) = 21

2cos(2πt− π

2) + 2

1

2cos(4πt+ φ),

in cui A1 = A2 = 1/2 e θ1 = −π/2, θ2 = φ.Nel grafico di figura 1 sono riportati in ascissa il tempo t e in ordinatarispettivamente xT1(t), xT2(t), xT (t).

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−1

−0.5

0

0.5

1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2−2

−1

0

1

2

2) Somma di segnali periodici con periodi commensurabili

Dato

x(t) = xT1 + xT2 = −cos(π

3t)

+ sen(π

7t− π

8

)

,

risultaT1 = 6s, f1 = 1/6Hz, T2 = 14s, f2 = 1/14Hz.

Sia T = m.c.m(T1, T2), T esiste se e solo se esistonom,n ∈ Z+ : mT1 = nT2.In questo caso

T = m.c.m.(6, 14) = (3 · 2, 7 · 2) = 42,

che e il periodo di x(t), inoltre f = 1/T = 1/42.E facile trovare lo sviluppo in forma polare di x(t)

x(t) = −cos(2π16t) + sen(2π

1

14t− π

8)

= +21

2cos(2π7

1

42t+ π) + 2

1

2cos(2π3

1

42t− 5

8π),

quindi i coefficienti AK dello sviluppo in serie sono

{AK} = {0, 0, 0,1

2, 0, 0, 0,

1

2, 0, 0 · · ·} k = 0, 1, 2, · · ·

3

Nel grafico di figura 2 sono riportati in ascissa il tempo t e in ordinatarispettivamente xT1(t), xT2(t), xT (t).

0 10 20 30 40 50 60 70 80−1

−0.5

0

0.5

1

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−0.5

0

0.5

0 10 20 30 40 50 60 70 80

−1

0

1

3) Somma di segnali periodici con periodi non commensurabili

Consideriamo il seguente segnale

x(t) = xT1 + xT2 = sen(t) + cos(

2πt+π

4

)

,

risulta :

T1 = 2π, f1 =1

2πHz, T2 = 1, f2 = 1Hz .

Non esiste nessun m,n ∈ Z+ : mT1 = nT2 perche non puo essere

n

m=T1T2

= 2π;

se ne deduce che x(t) non e periodico e percio la scomposizione in serie

di Fourier non esiste. Per avere comunque una rappresentazione infrequenza del segnale x(t) si deve utilizzare la trasformata di Fourier,

4

che supera i limiti imposti dalla serie. In particolare una delle proprietadella trasformazione di Fourier e la linearita:

F [x(t)] = F [xT1 ] + F [xT2 ]

quindi ricordando che

F [sen(t)] =1

2jδ(

f − 1

2π

)

− 1

2jδ(

f +1

2π

)

= −j2δ(

f − 1

2π

)

+j

2δ(

f +1

2π

)

,

e che

F [cos(2πt+ π

4)] =

1

2δ(f − 1)e+jπ/4 +

1

2δ(f + 1)e−jπ/4 ,

si ottiene

X(f) = X1(f) +X2(f) =

= −j2δ(

f − 1

2π

)

+j

2δ(

f +1

2π

)

+

+1

2δ(f − 1)e+jπ/4 +

1

2δ(f + 1)e−jπ/4 .

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1−0.5

0

0.5

f[Hz]

Im[X(f)]

−1 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.1

0.2

0.3

0.4Re[X(f)]

5

1.1.2 Esercizio 2

Dato il segnale periodico

x(t) =3A

4sin(πBt)− A

4sin(3πBt),

determinarne il periodo e la densita spettrale di potenza. Rappresentaregraficamente lo spettro di Fourier e la densita spettrale di potenza, indican-do chiaramente le variabili poste su ascissa e ordinata ed i valori da esseassunti nei punti ritenuti di interesse. Determinare inoltre la potenza del-la fondamentale e della terza armonica ed il rapporto tra le due potenze in dB.

Soluzione

Il periodo e 2/B (inverso della frequenza fondamentale). La densitaspettrale di potenza e

Sx(f) =(3A

8

)2 (

δ(

f − B

2

)

+ δ(

f +B

2

))

+

(A

8

)2 (

δ(

f − 3B

2

)

+ δ(

f +3B

2

))

.

La potenza della fondamentale e 9A2/32, quella della terza armonica e A2/32,il loro rapporto e ≈ 9.54 dB. Lo spettro di Fourier e formato dalla sola parteimmaginaria ed e illustrato nel disegno allegato.

Im{X(f)}

f-B/2

A/8

-3A/8

-A/8

3A/8

-3B/2 B/2

3B/2

6

1.1.3 Esercizio 3

Calcolare la serie di Fourier di

x(t) = sen2(2πf0t+ φ),

la sua potenza in continua e la potenza associata alla armonica fondamentale.

Soluzione

Cominciamo notando che, come e evidente dalla figura, il segnale non e

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2−1

−0.5

0

0.5

1

t[s]

sen(

.)

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

t[s]

sen2 (.

)

periodico di periodo T0 = 1/f01 ma x(t + T ) = x(t) ∀t, con T = T0/2 ed

f = 2f0. Possiamo poi riscrivere x(t) cosı (sviluppo in forma polare):

x(t) =1

2− 1

2cos(2π2f0t+ 2φ) =

=1

2+

1

2cos(2πft+ π + 2φ).

E immediato ora calcolare la potenza in continua P0 = 1/4 e la potenza as-sociata alla prima armonica P1 = 1/8.

Si propongono di seguito gli sviluppi in serie, rispettivamente in formacomplessa e rettangolare, del segnale x(t):

x(t) =1

2+

1

4ej(π+2φ)ej2πft +

1

4e−j(π+2φ)e−j2πft ,

1Che e il periodo di sen(2πf0t+ φ) non elevato al quadrato

7

da cui

X0 =1

2,

X1 =1

4ej(π+2φ),

X−1 =1

4e−j(π+2φ),

e

x(t) =1

2− 1

2(cos(2πft)cos(2φ)− sen(2πft)sen(2φ)),

da cui

a0 =1

2,

a1 = −1

4cos(2φ),

b1 = −1

4sen(2φ).

8

1.1.4 Esercizio 4

Si consideri il segnale

x(t) = Acos2(2πf0t)sin(6πf0t+ π/4) .

Determinare lo sviluppo in serie di Fourier del segnale e rappresentare grafi-camente lo spettro di Fourier. Determinare inoltre la densita spettrale dipotenza, la potenza della fondamentale, ed il rapporto in dB tra la potenzadella fondamentale e della terza armonica.

Soluzione

Con semplici manipolazioni si riscrive:

x(t) =A

2(1 + cos(4πf0t))cos

(

6πf0t−π

4

)

.

Si ha:

Y (f) = F[A

2(1 + cos(4πf0t))

]

=A

2(δ(f) +

1

2δ(f − 2f0) +

1

2δ(f + 2f0)).

Applicando la formula della modulazione si ottiene:

X(f) =1

2(Y (f − 3f0)e

−jπ/4 + Y (f + 3f0)ejπ/4).

Lo spettro di Fourier e dunque composto da una parte reale ed una parteimmaginaria:

R{X(f)} =√2

4(Y (f − 3f0) + Y (f + 3f0)),

I{X(f)} =√2

4(−Y (f − 3f0) + Y (f + 3f0)),

La densita spettrale di potenza e:

Sx(f) =A2

16

(1

4δ(f + 5f0) + δ(f + 3f0) +

1

4δ(f + f0) +

+1

4δ(f − f0) + δ(f − 3f0) +

1

4δ(f − 5f0)

)

.

La fondamentale e la sinusoide a frequenza f0, la terza armonica quella afrequenza 3f0. La potenza della fondamentale e A2/32, quella della terzaarmonica e A2/8. Il rapporto tra le potenze della fondamentale e della terzaarmonica e 1/4, cioe −6 dB.

9

f

A/4 A/4

A/2

-2f 2f0 0

f-f f-3f 3f-5f 5f0 0 0 0 0 0

2A/16

2A/8

2A/162A/16

2A/8

2A/16

-5f 0 -3f 0 -f 0

f0 3f0 5f0

2A/162A/16

2A/8

2A/16 2A/16

2A/8

Im{X(f)}

Re{X(f)}

Y(f)

f

10

1.2 Trasformata di Fourier

1.2.1 Esercizio 5

Sia dato il segnale

x(t) = 8

(

sen(4πt)

4πt

)2

= 8sinc2(4t)

e il segnale

c(t) =∞∑

k=−∞

rect

(

t− kTτ

)

,

treno di impulsi rettangolari di durata τ , ripetuti con passo T .Determinare la trasformata di Fourier del segnale

y(t) = x(t)c(t)

e del segnalez(t) = x(t)[c(t)− 1/2] ,

con τ = 0.05 sec e T = 0.1 sec.E possibile ricostruire il segnale x(t) dal segnale y(t)? Se si, come?

Soluzione

La trasformata di Fourier di x(t) e:

X(f) = 2

[

1− |f |4

]

rect

(

f

8

)

,

la trasformata del segnale treno di rettangoli e data, applicando la relazionedi campionamento in frequenza, da

C(f) = F [c(t)]

=1

TF[

rect(t

τ

)]∑

i

δ(

f − i

T

)

=τ

T

∞∑

i=−∞

sinc(iτ

T

)

δ(

f − i

T

)

.

Applicando la proprieta di moltiplicazione nel tempo, la trasformata di y(t)vale

Y (f) = X(f)⊗ C(f)

11

=τ

T

∑

i

sinc(iτ

T

)

X(

f − i

T

)

=1

2

∑

i

sinc(i

2

)

X(

f − i

0.1

)

.

Il segnale x(t) si puo ricostruire perfettamente filtrando y(t) con un filtropassabasso ideale con guadagno 2 e frequenza di taglio compresa tra 4Hz e6Hz, poiche’ le repliche in frequenza non si sovrappongono.Infine la trasformata di z(t) vale:

Z(f) = X(f)⊗ [C(f)− 1

2δ(f)] = Y (f)− 1

2X(f) ,

che e uguale a Y (f) a cui viene tolta la replica centrata in f = 0, cioe

Z(f) =1

2

∑

i6=0

X(

f − i

0.1

)

sinc(i

2

)

.

12

1.2.2 Esercizio 6

Data la trasformata di z(t) = sgn(t),

Z(f) = F [sgn(t)] = 1

jπf,

e definita la funzione x(t) come

x(t) = s(t)⊗ 1

πt⊗ 1

πt,

ove ⊗ indica la convoluzione,dimostrare che, per ogni funzione s(t), vale l’uguaglianza

x(t) = −s(t),

a meno di una eventuale componente continua.

sgn(t)

t

1

-1

Soluzione

Utilizzando la proprieta di dualita della trasformata,

Z(f) = F [z(t)] 7→ z(−f) = F [Z(t)],

applicata alla coppia

z(t) = sgn(t)⇐⇒ Z(f) =1

jπf,

si ottiene

F [ 1

jπt] = sgn(−f) = −sgn(f),

13

da cui

F[1

πt

]

= −jsgn(f).

Applicando ora la proprieta’ di convoluzione nel tempo della trasformata, siricava

X(f) = F [s(t)⊗ 1

jπt⊗ 1

jπt] = F [s(t)](−jsgn(f))2 = −S(f),

cioex(t) = −s(t).

Se s(t) ha componente continua non nulla, cioe se S(0) 6= 0, allora x(t)risulta con componente continua nulla, poiche la funzione sgn(f) vale zeronell’origine.

14

1.2.3 Esercizio 7

Si considerino le convoluzioni

p(t) = g(t)⊗ v(t)

eu(t) = g(t)⊗ v(−t).

Che condizione deve essere soddisfatta da g(t) affinche sia u(t) = p(−t)?

Soluzione

Esiste una soluzione banale dell’esercizio: infatti, se vale

p(t) = g(t)⊗ v(t),

allora vale anchep(−t) = g(−t)⊗ v(−t),

(

p(−t) =∫

g(τ)v(−t− τ)dτ = [α = t+ τ ] =∫

g(α− t)v(−α)dα = g(−t)⊗ v(−t))

da cui risulta che la condizione richiesta e’

g(t) = g(−t),

cioe’ g(t) deve essere pari.

Si puo’ arrivare allo stesso risultato ragionando nel dominio delle frequenze:applicando la proprieta di riflessione

F [v(−t)] = V (−f),

le ipotesi sonoP (f) = G(f)V (f),

U(f) = G(f)V (−f).Affinche sia

P (−f) = U(f),

deve essere G(f) = G(−f), cioe’ si ritrova la condizione

g(t) = g(−t).

15

1.2.4 Esercizio 8

Si consideri il segnale periodico

x(t) =∞∑

i=−∞

(−1)iAsinc2(2Bt− 2i+ 1).

Determinare lo sviluppo in serie di Fourier.

Soluzione

Il segnale puo essere visto come somma di due segnali periodici, il primocostruito sulle i pari, il secondo sulle i dispari. Ognuno dei due ha periodo2/B, quindi la loro somma ha periodo 2/B. Lo sviluppo in serie si ottiene dalcampionamento in frequenza con passo B/2. Si applica pertanto la formula:

x(t) =∞∑

i=−∞

y(

t− 2i

B

)

= F−1

B

2

∞∑

i=−∞

Y(iB

2

)

δ(

f − iB

2

)

,

con

y(t) = Asinc2(

2B(

t+1

2B

))

− Asinc2(

2B(

t− 1

2B

))

,

Y (f) = F [y(t)] = A

2B

(

1− |f |2B

)

rect

(

f

4B

)

(ejπfB − e− jπf

B ),

ove si sono usate le tavole delle trasformate notevoli per il sinc2(·) e si e usatoanche il teorema del ritardo. Utilizzando questa formula nel campionamentoin frequenza si ottiene:

X(f) =jA

2

∞∑

i=−∞

(

1− |i|4

)

rect(i

8

)

sin(iπ

2

)

δ(

f − iB

2

)

.

Antitrasformando si ottiene lo sviluppo in serie cercato:

x(t) = −3A

4sin(πBt) +

A

4sin(3πBt).

16

1.2.5 Esercizio 9 (solo testo)

Dato il segnale

x(t) = At rect(t

T),

si costruisca il segnale periodico

y(t) = A+∑

i

(−1)ix(t− iT ).

Disegnare il segnale y(t). Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fouri-er e la densita’ spettrale di potenza di y(t). Disegnare lo spettro di Fourierdi y(t). Determinare inoltre la potenza della continua e della fondamentale,ed il rapporto tra le due potenze in dB.


Dato il segnale

x(t) = rect(t

T),


y(t) = A+B∑

i

x(t− i2T − T/2).

Disegnare il segnale y(t). Disegnare lo spettro di Fourier di y(t) e la sua den-sita’ spettrale di potenza. In ogni disegno si indichino chiaramente ascissa,ordinata, ed i valori ritenuti di interesse.



x(t) = A+∞∑

i=−∞

(−1)iArect(t− i2Tτ

).

Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fourier e la densita’ spettraledi potenza di x(t). Determinare inoltre la potenza della continua e dellafondamentale. Per i valori τ = 2T e A = 1, calcolare il rapporto tra le duepotenze in dB.

17



y(t) =∑

i

(−1)irect(t− iTT

) +∑

i

(−1)irect(3t− iTT

).

Disegnare il segnale. Determinare il periodo. Determinare la potenza delleprime due armoniche non nulle ed il rapporto tra le potenze in dB.


Dato il segnale

x(t) = rect(t

T),


y(t) = cos(πt

T) +

∑

i

(−1)ix(t− iT ).

Disegnare il segnale y(t). Disegnare lo spettro di Fourier di y(t) e la sua den-sita’ spettrale di potenza. In ogni disegno si indichino chiaramente ascissa,ordinata, ed i valori ritenuti di interesse. Determinare la potenza del segnalealla seconda cifra decimale.



y(t) =∑

i

(−1)irect(t− iTT

)−∑

i

rect(3t− i6T

T).

Disegnare il segnale. Determinare il periodo. Determinare la potenza dellacontinua e della fondamentale ed il rapporto tra la potenza della continua edella fondamentale in dB.

18



y(t) = A−∑

i

(−1)ix1(t− iT ) +∑

i

x2(t− iT ),

ove x1(t) e x2(t) sono noti ed hanno trasformate di Fourier X1(f) ed X2(f).Determinare l’ espansione in serie di Fourier di y(t) in funzione di A, X1(f)e X2(f). Determinare la potenza della continua e della fondamentale.



x(t) = A+∞∑

i=−∞

(−1)iArect(t− i2Tτ

).

Determinare il periodo, lo sviluppo in serie di Fourier e la densita’ spettraledi potenza di x(t). Determinare inoltre la potenza della continua e dellafondamentale, ed il rapporto tra le due potenze in dB per τ = 2T e A = 1.

19

1.3 Segnali e sistemi a tempo continuo

1.3.1 Esercizio 17

Sono disponibili i seguenti risultati di prove in regime sinusoidale di unsistema lineare invariante nel tempo:ingresso: x(t) = cos(2πft),uscita: y(t) = cos(2πft+ α(f)),dove α(f) e la funzione rappresentata in figura.

α( )f

f

−π

π

1000

2000

3000

Determinare la risposta impulsiva del sistema.

Soluzione

In generale data la risposta in frequenza H(f) di un sistema linearetempo-invariante, la risposta del sistema all’ingresso sinusoidale

x(t) = cos(2πft)

valey(t) = |H(f)|cos(2πft+ 6 H(f)).

In questo esercizio risulta:

6 H(f) = α(f) = − πf

1000,

|H(f)| = 1,

20

cioe la risposta in frequenza del sistema vale:

H(f) = e−jπf1000 .

Essendo la risposta all’impulso h(t) la antitrasformata di Fourier di H(f),applicando la proprieta di ritardo nel tempo si ottiene:

h(t) = δ(

t− 1

2000

)

.

21

1.3.2 Esercizio 18

Con riferimento alla figura, il sistema e lineare tempo-invariante? Puo esseredescritto mediante una funzione di trasferimento?

cos(2 f t)π 0

s(t) u(t)=s(t)cos(2 f t)π 0

Soluzione

Presi due segnali qualunque s1(t) e s2(t), a cui corrispondono le usciteu1(t) e u2(t), al segnale

z(t) = s1(t) + s2(t)

corrisponde il segnale

zu(t) = (s1(t) + s2(t))cos(2πf0t) = u1(t) + u2(t).

Il sistema e quindi lineare.Il sistema non e tuttavia tempo-invariante, infatti all’ingresso

z(t) = s(t− T ),

non corrisponde l’uscita

zu(t) = u(t− T ) = s(t− T )cos(2πf0(t− T )),

ma l’uscita

zu(t) = z(t)cos(2πf0t) = s(t− T )cos(2πf0t)

.Non e quindi possibile definire una funzione di trasferimento.

22

1.3.3 Esercizio 19

Con riferimento alla figura, in cui e

s(t) = sen(2πf0t)

e

H(f) = e−

√jff0 ,

determinare u(t).

s(t) u(t)

H(f)

Soluzione

L’uscita del sistema risulta

u(t) = |H(f0)|sen(2πf0t+ 6 H(f0)) .

In particolare:

H(f0) = e−√ejπ2

= e−ejπ4

= e−(cos(π/4)+j·sen(π/4))

= e−√

22 · e−j

√2

2 .

Quindi il modulo e:

|H(f0)| = e−√

22 = 0.49,

mentre la fase risulta:

6 H(f0) = −√2

2= −0.707.

Dunque :u(t) = 0.49sin(2πf0t− 0.707) .

Nella figura a pagina seguente e mostrata la sinusoide in ingresso e quella inuscita, che risulta evidentemente sfasata.

23

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.5

0

0.5

t [sec]

s(t)

−3 −2 −1 0 1 2 3

−0.4

−0.2

0

0.2

0.4

t [sec]

u(t)

per f0=1/π

per f0=1/π

24

1.3.4 Esercizio 20

In un sistema lineare tempo invariante, dato in ingresso il segnale

x(t) = Asen(2πf0t),

corrisponde l’uscitay(t) = Af0cos(2πf0t),

per qualsiasi A ed f0. Determinare la risposta allo scalino del sistema.Calcolare l’energia del segnale in uscita al sistema quando l’ingresso vale

x2(t) =sen(4πt)

2πt.

Soluzione

x(t) = Asen(2πf0t),

y(t) = Af0cos(2πf0t) = A|H(f0)|sen(2πf0t+ 6 H(f0))

per qualsiasi A ed f0.H(f0) = f0e

j π2

per qualsiasi f0, quindi la risposta in frequenza del sistema e :

H(f) = jf,

che corrisponde ad un derivatore. Se

x1(t) = sca(t)←→ 1

j2πf+

1

2δ(f) = X1(f),

Y1(f) = X1(f) ·H(f) =1

2π←→ 1

2πδ(t) = y1(t),

che e la risposta allo scalino cercata. 2

Dato

x2(t) =sen(4πt)

2πt= 2sinc(4t)←→ 1

2rect

(

f

4

)

= X2(f).

2Oppure

y(t) = 12π

ddtx(t);

x1(t) = sca(t) =∫ t

−∞δ(τ)dτ ;

y1(t) =12π

ddtx1(t) =

12π δ(t);

25

Per il calcolo dell’energia di y2(t):

Ey2(t) =∫ +∞

−∞|Y2(f)|2 df

=∫ +∞

−∞|X2(f)H(f)|2 df

=∫ +∞

−∞

1

4rect

(

f

4

)

|f |2df

=1

2

∫ 2

0f 2df =

4

3.

26

1.3.5 Esercizio 21

Con riferimento alla figura, in cui e

x(t) = sca(t),

h(t) = te−αtsca(t)

e

H(f) =1

(α + 2πf)2,

determinare il valore a cui tende y(t) quando t tende all’infinito.

x(t) y(t)

H(f)

Soluzione

Applicando la relazione ingresso-uscita nel tempo dei sistemi lineari stazionari:

y(t) = h(t)⊗ sca(t)=

∫ ∞

−∞h(τ)sca(t− τ)dτ

=∫ t

−∞h(τ)dτ,

si nota che la risposta allo scalino e l’integrale della risposta all’impulso.Il valore A a cui tende y(t) per t tendente all’infinito si ricava applicando laproprieta dei valori nell’origine:

y(t)t→∞ =∫ t→∞

−∞h(τ)dτ

=∫ ∞

−∞h(τ)dτ

= H(0) =1

α2.

27

1.3.6 Esercizio 22

Con riferimento alla figura, si calcoli l’energia Ey di y(t).

1-2j πfτ1+2jπfτ

x(t) y(t)

x(t)

t

-T T

A

Soluzione

Applicando il teorema di Parseval, si ottiene:

Ey =∫

|Y (f)|2df

=∫

|X(f)|2|H(f)|2df ;

la risposta in ampiezza del filtro e unitaria (il filtro e uno sfasatore puro),infatti:

|H(f)|2 = H(f)H∗(f)

=(1− 2jπfτ)(1 + 2jπfτ)

(1 + 2jπfτ)(1− 2jπfτ)= 1.

28

Dunque il filtro non modifica l’energia del segnale in ingresso:

Ey =∫

|X(f)|2df= Ex

=∫ ∞

−∞x2(t)dt

=2

3A2T .

La figura sottostante (nella quale si e supposto τ = 1) mostra come evolvela fase del filtro che passa da π a −π.

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f [Hz]

Fas

e di

H(f

)

29

1.3.7 Esercizio 23

Con riferimento alla figura, si determini la componente continua di u(t).

cos(2π 0f t)

2+e-j2 πft0

u(t)1

Soluzione

Il segnale s(t) all’uscita del filtro con risposta in frequenza

H(f) =1

2 + e−j2πft0

vale:s(t) = |H(f0)|cos(2πf0t+ 6 H(f0)) ,

quindi il segnale u(t) all’uscita del sistema vale:

u(t) = s(t)cos(2πf0t) = |H(f0)|cos(2πf0t)cos(2πf0t+ 6 H(f0))

=1

2|H(f0)|[cos(4πf0t+ 6 H(f0)) + cos( 6 H(f0))]

=1

2|H(f0)|cos( 6 H(f0)) +

1

2|H(f0)|cos(4πf0t+ 6 H(f0)) .

La componente continua A0 di u(t) vale dunque:

A0 =1

2|H(f0)|cos( 6 H(f0)) =

1

2Re[H(f0)] ,

dove:

Re[H(f0)] =Re[

2 + ej2πf0t0]

(2 + e−j2πf0t0) · (2 + ej2πf0t0)=

=2 + cos(2πf0t0)

|2 + e−j2πf0t0|2=

2 + cos(2πf0t0)

5 + 4cos(2πf0t0).

La figura mostra rispettivamente modulo e fase del filtro H(f) per t0 = 1;come si puo vedere H(f) risulta essere periodico.

30

-3 -2 -1 0 1 2 30.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f [Hz]

Mod

ulo

di H

(f)

-3 -2 -1 0 1 2 3-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

f [Hz]

Fas

e di

H(f

)

31

1.3.8 Esercizio 24

Con riferimento alla figura e dato H(f) = j2πfe−j2πf , determinare u(t).

s(t)

1/4 1-1/4-1/2 1/2-1

H(f)s(t) u(t)

1

-1

t

Soluzione

Il filtro H(f) puo essere scomposto cosı:

j2 fπu(t)=s’(t-1)s’(t)s(t)

e-j2 fπ

Risulta cioe essere la cascata di un derivatore con un ritardatore. Lasoluzione cercata e allora semplicemente s(t) derivato e quindi ritardato,come mostrato in figura alla pagina seguente.

32

1/2−1/2

1/2−1/2

t

t

t

s’(t)

u(t)

s(t)

1/2−1/2

1

-1

4

−4

4

−4

33

1.3.9 Esercizio 25

Dato lo schema in figura

a(t)

v(t) y(t)z(t)H(f)

determinare la trasformata di Fourier del segnale y(t) nell’ipotesi che sia

a(t) = 2cos(2π(f0 +∆f)t) ;

con l’ingressoz(t) = Ax(t)cos(2πf0t), f0 = 100KHz

e H(f) filtro ideale passabasso con B = 3KHz cosı specificato

H(f) =

{

1 per |f | < B0 per |f | ≥ B .

Si assuma

x(t) =3∑

k=1

kcos(2πkfmt) , fm = 500Hz

e si analizzi sia il caso ∆f = 0 sia il caso ∆f = 100Hz . Calcolare la potenzadi y(t) nei due casi.

Soluzione

Sez(t) = Ax(t)cos(2πf0t),

Z(f) = F [z(t)],X(f) = F [x(t)],

allora applicando la proprieta della modulazione si ottiene:

Z(f) =A

2[X(f − f0) +X(f + f0)] , f0 = 100KHz.

34

Sev(t) = z(t)2cos(2π(f0 +∆f)t)

eV (f) = F [v(t)],

applicando ancora la proprieta della modulazione si ottiene:

V (f) = Z(f − f0 −∆f) + Z(f + f0 +∆f)

=A

2[X(f − 2f0 −∆f) +X(f −∆f) +

X(f +∆f) +X(f + 2f0 +∆f)];

X(f) =1

2

3∑

l=1

l[δ(f − lfm) + δ(f + lfm)] , fmax = 1500Hz, fm = 500Hz ;

1)∆f = 0

V (f) = AX(f) +A

2[X(f − 200000) +X(f + 200000)];

Y (f) = V (f)H(f) = AX(f)←→ y(t) = Ax(t).

La potenza di y(t) e:

Py = A2Px =A2

2(1 + 4 + 9) = 7A2.

2)∆f = 0.1KHz

V (f) =A

2[X(f − 100) +X(f + 100) +X(f − 200100) +X(f + 200100)];

Y (f) = V (f)H(f) =A

2[X(f−100)+X(f+100)]←→ y(t) = Ax(t)cos(200πt).

La potenza di y(t) vale

Py =A2

2Px =

A2

2(1 + 4 + 9) = 3.5A2.

35

1.3.10 Esercizio 26

Si consideri il segnale x(t) = Acos(2πf0t). Il segnale x(t) transita attraversoun filtro la cui funzione di trasferimento e H(f) = (α + j2πf)−1, α > 0. Ilsegnale all’ uscita del filtro ha la forma y(t) = Bcos(2πf0t+φ). Determinare:

1) i valori di B e φ;

2) la potenza Ps della sinusoide all’ uscita del filtro.

Soluzione

La funzione di trasferimento del filtro in modulo e fase e:

|H(f)| =1√

α2 + 4π2f 2

arg(H(f)) = −arctg(

2πf

α

)

.

Si ha pertanto:

B = A|H(f0)|, φ = arg(H(f0)), Ps = B2/2.

In figura sono mostrati modulo e fase del filtro (N.B: la scala delle ordinatedel grafico del modulo e logaritmica).

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 10010

−3

10−2

10−1

100

f [Hz]

mod

ulo

di H

(f)

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100−2

−1

0

1

2

f [Hz]

fase

di H

(f)

per α=1

per α=1

36

1.3.11 Esercizio 27


x(t) = (1 + Acos(2πf0t))cos(2πf1t), f1 = 10f0.

1) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t).Il segnale x(t) e passato attraverso un circuito che lo eleva al quadrato ed epoi filtrato da un passa-basso ideale avente banda pari a 5f0. Detto y(t) ilsegnale all’ uscita del passa-basso, determinare:2) Il segnale y(t),3) Il valore di A che rende la potenza della seconda armonica contenuta iny(t) inferiore di 6 dB rispetto alla potenza della fondamentale.

Soluzione

Sviluppando il prodotto si ottiene:

x(t) = cos(2πf1t) +A

2(cos(2π(f1 − f0)t) + cos(2π(f1 + f0)t)),

che e lo sviluppo cercato (quesito 1).Eseguendo la convoluzione di X(f) con se stesso si ottiene la trasformatadi Fourier di x2(t). Di tale convoluzione interessa la sola parte relativa allefrequenze comprese tra −5f0 e 5f0, in quanto le rimanenti sono oscurate dalpassa-basso. Per via grafica si ottiene facilmente:

Y (f) =

(

1

2+A2

4

)

δ(f) +A

2(δ(f − f0) + δ(f + f0)) +

+A2

8(δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)),

antitrasformando si ottiene (quesito 2):

y(t) =1

2+A2

4+ Acos(2πf0t) +

A2

4cos(4πf0t).

La potenza della fondamentale eA2/2, quella della seconda armonica eA4/32.Affinche il rapporto tra l’ una e l’ altra sia pari a 4 (6 dB), deve essere A = ±2(quesito 3).

37

1.3.12 Esercizio 28

Con riferimento alla figura e dato

u(t) =∫ t

t−Ts(τ)dτ,

determinare la risposta in frequenza del sistema.

s(t) u(t)

H(f)

Soluzione

La risposta all’impulso viene determinata ponendo s(t) = δ(t) :

h(t) =

{

1 per 0 ≤ t ≤ T0 altrove.

Ovvero:

h(t) = rect

(

t− T/2T

)

,

la cui trasformata (rappresentata nella figura alla pagina seguente) e :

H(f) = T · sinc(fT )e−j2πf T2= T · sinc(fT )e−jπfT .

In figura si riporta l’andamento del modulo e della fase di H(f) per T = 10s.

38

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.50

0.2

0.4

0.6

0.8

1|H(f)|

f [Hz]

−0.5 −0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4fase(H(f))

f [Hz]

39

1.3.13 Esercizio 29


y(t) =∞∑

k=−∞

x(t− kT ),

con

x(t) = e−t/T rect(t− T/2T

).

Si determini il periodo del segnale, lo sviluppo in serie di Fourier, la potenzadella continua, della fondamentale, ed il loro rapporto in dB. Il segnale y(t)e’ filtrato attraverso un passa-basso ideale di banda 1.5/T . Rappresentaregraficamente lo spettro di Fourier del segnale all’ uscita del passa-basso.

Soluzione

Il periodo e T .Per definizione, il k-esimo coefficiente complesso della serie e’

Yk =1

T

∫ T

0y(t)e−j2πkt/Tdt =

1

T

∫ T

0e−t/T e−j2πkt/Tdt =

1− e−11 + j2kπ

.

Lo sviluppo e’ dunque

y(t) =∞∑

k=−∞

Ykej2kπt/T .

La potenza della continua e

P0 = |Y0|2 = (1− e−1)2,

quella della fondamentale e

P1 = 2|Y1|2 = 2(1− e−1)21 + 4π2

,

il loro rapporto in dB e

10log10P0P1≈ 13 dB.

Lo spettro di Fourier del segnale z(t) all’uscita del passa-basso e costituitodalla continua e dalla fondamentale. Nel fare il grafico occorre fare attenzionenel separare parte reale e parte immaginaria della fondamentale.

40

Re{Z(f)}

f

f

-1/T 1/T

-1/T

1/T

1-e 1-e

(1-e )

(1-e )

1+4π 1+4π

π2

π2

1+ 4π

4π1+ 2

2

−1

−1 −1

1-e

Im{Z(f)}

−1

2 2

−1

41

1.3.14 Esercizio 30


y(t) =∞∑

k=−∞

Ykej2kπt/T .

Il segnale viene elevato al quadrato e poi filtrato attraverso un passa-bassoideale di banda 1.5/T . Determinare la potenza del segnale x(t) all’uscita delpassa-basso in funzione dei coefficienti complessi Yk.

Soluzione

Postoz(t) = y2(t),

si haZ(f) = Y (f)⊗ Y (f).

Il segnale z(t) sara periodico di periodo T , o di un suo sottomultiplo, pertanto

Z(f) =∞∑

k=−∞

Zkδ(f − kf0), f0 =1

T.

Dalla convoluzione si ottiene

Zk =∞∑

i=−∞

YiYk−i.

All’uscita del passa-basso si ha

X(f) =1∑

k=−1

Zkδ(f − kf0);

La potenza di x(t) e data da

Px = |Z0|2 + |Z−1|2 + |Z1|2

=

∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=−∞

YiY−i

∣∣∣∣∣∣

2

+ 2

∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=−∞

YiY−1−i

∣∣∣∣∣∣

2

=

∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=−∞

|Yi|2∣∣∣∣∣∣

2

+ 2

∣∣∣∣∣∣

∞∑

i=−∞

YiYi+1

∣∣∣∣∣∣

2

42

1.4 Campionamento

1.4.1 Esercizio 31

Dato il sistema LTI con risposta in frequenza

H(f) =

{

sen2(

πf T2

)

per |f | ≤ 2/T

0 altrove,

determinare l’uscita y(t) del sistema quando l’ingresso x(t) e il segnale pe-riodico mostrato in figura.Determinare la trasformata di Fourier tempo discreta Y (F ) della sequenzay[n] ottenuta campionando il segnale y(t) con passo Tc = 2T/3 (F = fTc).La sequenza y[n] e periodica? Se lo e, indicarne il periodo.

1

T/2T

x(t)

t

Soluzione

Il segnale periodico in ingresso e

x(t) =∑

n

rect

(

t− nTT/2

)

=∑

k

Xke−j2πkf0t,

dove

f0 =1

TXk =

1

T

T

2sinc

(

kf0T

2

)

=1

2sinc

(

k

2

)

.

La sua trasformata e

X(f) =∑

k

Xkδ

(

f − k

T

)

.

Inoltre:

Y1(f) = X(f)H(f)

= X(f)sin2(

2πfT

4

)

rect

(

f

4/T

)

= X1δ(

f − 1

T

)

+X−1δ(

f +1

T

)

;

43

X1 = X−1;

Y1(f)←→ y(t) = 2X1cos(

2πt

T

)

=2

πcos

(

2πt

T

)

;

y[nTc]←→ Y (f) =1

Tc

∑

k

Y1

(

f − k

Tc

)

;

Y (F ) = Y(

f =F

Tc

)

(1)

=1

Tc

∑

k

Y1

(

(F − k)Tc

)

=X1Tc

[∑

k

δ

(

(F − k)Tc

− 1

T

)

+∑

k

δ

(

(F − k)Tc

+1

T

)]

.

Ponendo T = 3Tc2

otteniamo

Y (F ) =X1Tc

[∑

k

δ

(

(F − k − 2/3)

Tc

)

+∑

k

δ

(

(F − k + 2/3)

Tc

)]

(2) = X1

[∑

k

δ(F − k − 2/3) +∑

k

δ(F − k + 2/3)

]

.

Nell’intervallo base F = (−1/2, 1/2] ci sono due impulsi centrati in F =1/3 e F = −1/3 di area X1 = 1/π.

In generale, dato un segnale y(t) di periodo T0, il segnale campionato y[n]con passo Tc e periodico di periodo N0 se e solo se y[n] = y[n−N0].Questa condizione e verificata se

N0Tc =MT0,

cioe se dopo N0Tc secondi il segnale continuo y(t) ha compiuto un numerointero di periodi T0.La condizione necessaria e sufficiente per la periodicita’ del segnale campiona-to e, dunque, che il rapporto Tc/T0 sia un numero razionale Tc/T0 = M/N0,e, in questo caso, il periodo del segnale campionato coincide con il denomi-natore della frazione N0.Nel nostro caso numerico

Tc/T0 = 2/3,

dunque y[n] e’ periodico con periodo N0 = 3.

1F = fTc2δ(af) = δ(f)

|a| ; l’operazione di scalatura nel tempo agisce cioe modificando l’area

dell’impulso, per analogia con i segnali a durata finita.

44

Y(f)

1Τπ c

12T

12T

-

13- 1

3

12

12

-

23- 2

3

1π

Intervallo base

F

f

Y(F)

T1-

T1

1−1

45

1.4.2 Esercizio 32

Un segnale x(t) reale di banda B subisce in parallelo due campionamenticon lo stesso periodo di campionamento T = 1/B, sfasati tra loro di mezzoperiodo. I segnali campionati xc1 e xc2 vengono filtrati con un filtro H(f)passa basso ideale di banda B e poi sommati.Si determini l’uscita y(t) di un tal sistema.N.B: s1(t) =

∑∞k=−∞ δ(t− kT ) , s2(t) =

∑∞k=−∞ δ(t− kT − T/2).

X

X

+

xc1(t)

xc2(t)

H(f)

H(f)

y(t)x(t)

s

s (t)

(t)1

2

x1

x2

(t)

(t)

Soluzione

In frequenza:Xc1(f) = X(f)⊗ S1(f),Xc2(f) = X(f)⊗ S2(f).

Con

S1(f) = B∞∑

k=−∞

δ(f − kB)

e

46

S2(f) = B∞∑

k=−∞

δ(f − kB)e−j2πf1

2B

= B∞∑

k=−∞

δ(f − kB)e−jπk

= B

∞∑

kpari=−∞

δ(f − kB)−∞∑

kdispari=−∞

δ(f − kB)

.

Inoltre:Xc1(f) = B

∑

k

X(f − kB)

eXc2(f) = B

∑

kpari

X(f − kB)−B∑

kdispari

X(f − kB);

quindi:X1(f) = BX(f)

eX2(f) = BX(f).

Infine:Y (f) = X1(f) +X2(f) = 2BX(f),

cioey(t) = 2Bx(t).

Nel tempo:

H(f)←→ h(t) = 2Bsen(πt2B)

πt2B;

quindi:

y(t) = x(t)s1(t)⊗ h(t) + x(t)s2(t)⊗ h(t)= x(t)[s1(t) + s2(t)]⊗ h(t),

ove e:

s(t) = s1(t) + s2(t) =∞∑

k=−∞

δ

(

t− k

2B

)

,

treno di impulsi di periodo 1/2B. Dunque x(t) viene campionato con fre-quenza di campionamento 2B, due volte la banda del segnale (e soddisfatto ilteorema del campionamento) e poi filtrato con un filtro passa-basso di bandaB (e guadagno unitario):

y(t) = 2Bx(t).

47

1.4.3 Esercizio 33


x(t) =∞∑

i=−∞

Asinc2(

2B(

t− i

B

))

.

Determinare il periodo e lo sviluppo in serie di Fourier di x(t). Determinareinoltre la potenza della continua, della fondamentale ed il rapporto tra le duepotenze in dB.Il segnale x(t) viene campionato a frequenza 3B/2, poi convertito in ana-logico e filtrato. La cascata formata dal convertitore digitale/analogico e dalfiltro si comporta come un passa-basso ideale con frequenza di taglio pari a3B/4. Determinare il segnale presente dopo l’ interpolatore.

Soluzione

Il periodo di x(t) e 1/B. Lo sviluppo in serie si ottiene dal campionamentoin frequenza con passo B. Si applica pertanto la formula:

∞∑

i=−∞

y(

t− i

B

)

= F−1[B∞∑

i=−∞

Y (iB)δ(f − iB)],

con

Y (f) = F [Asinc2(2Bt)] = A

2B

(

1− |f |2B

)

rect

(

f

4B

)

.

Sono presenti i soli termini a frequenza 0 e B:

x(t) =A

2+A

2cos(2πBt).

Dal precedente sviluppo si ha immediatamente:

Sx(f) =(A

2

)2

δ(f) +(A

4

)2

(δ(f −B) + δ(f +B)) .

La potenza della continua e A2/4, quella della fondamentale invece A2/8,il rapporto tra le due e 3 dB. Nel campionare si crea aliasing, in partico-lare appare una cosinusoide a frequenza B/2 di ampiezza A/2 (si ometteuna costante dovuta al campionamento, che viene recuperata nella succes-siva elaborazione). La conversione ed il successivo filtraggio oscurano tuttoeccetto la continua e la detta cosinusoide. Il segnale ricostruito e pertanto

xr(t) =A

2+A

2cos(πBt).

48

1.4.4 Esercizio 34

Si consideri il segnale:

x(t) = Acos3(2πf0t+ φ).

1) Determinare lo sviluppo in serie di Fourier di x(t).2) Determinare la minima frequenza di campionamento necessaria per potersperare di ricostruire il segnale dai suoi campioni.Si consideri il campionamento ad una frequenza fc superiore a quella minimaappena determinata e si immagini di ricostruire il segnale tramite un con-vertitore digitale-analogico che, quando riceve in ingresso l’ impulso unitariodiscreto, presenta all’ uscita la forma d’ onda p(t) = e−αtu(t), α > 0. Ilsegnale convertito viene filtrato tramite un filtro la cui funzione di trasferi-mento e H(f).3) Determinare quali condizioni devono essere soddisfatte da H(f) per averela perfetta ricostruzione del segnale x(t).

Soluzione

Eseguendo il cubo si ottiene:

x(t) =3A

4cos(2πf0t+ φ) +

A

4cos(6πf0t+ 3φ),

che e lo sviluppo richiesto al punto 1.La frequenza minima di campionamento e pari al doppio della massima fre-quenza contenuta in x(t), cioe (quesito 2):

fc > 6f0.

Dalle tavole delle trasformate, la funzione di trasferimento del convertitoree:

P (f) = (α + j2πf)−1.

Le condizioni su H(f) sono:

H(±f0) = P−1(±f0),per riprodurre la sinusoide a frequenza f0,

H(±3f0) = P−1(±3f0),

49

per riprodurre la sinusoide a frequenza 3f0,

H(f) = 0, f = Kfc ± f0, f = Kfc ± 3f0, K 6= 0,

per oscurare le sinusoidi relative agli intervalli diversi da quello fondamentale.Qualsiasi H(f) per le altre frequenze, dove il segnale X(f) e nullo.

50

1.4.5 Esercizio 35

Si consideri la sequenza x[n] ottenuta dal campionamento a frequenza 2B di

x(t) =3A

4sen(πBt)− A

4sen(3πBt).

Si indichi l’intervallo fondamentale e si rappresenti graficamente lo spettrodi Fourier del segnale campionato in detto intervallo.Si consideri ora la sequenza y[n] ottenuta dal sovracampionamento di x[n] diun fattore 2 e si rappresenti di nuovo lo spettro di Fourier di y[n] nell’inter-vallo fondamentale.Si converta ora y[n] in analogico, considerando un filtro di ricostruzione chemantiene il valore del campione fino all’arrivo del campione successivo, se-guito da un passa basso ideale di banda 2B. Si determini il segnale all’uscitadel passabasso.

Soluzione

Lo spettro di Fourier X(f) del segnale analogico x(t) e il seguente:

f3B/2-B/2

B/2-3B/2

X(f)Im{ }

-3A/8

A/8

-A/8

3A/8

Lo spettro X(f) della sequenza x[n] ottenuta dal campionamento di x(t)e mostrato nella figura a pagina seguente.

L’intervallo fondamentale va da −B a B ed e presente la sola parteimmaginaria dello spettro di Fourier, che e costituito da due impulsi:

X(f) = jAB[

−δ(

f − B

2

)

+ δ(

f +B

2

)]

, −B ≤ f ≤ B.

51

X(f)

f

Intervallo fondamentale

-B/2

B/2-3B/2

3B/2

5B/2

-5B/2

-jBA

jBA

-2B 2B-4B 4B


Y(f)

f

B/2

-B/2

Sovracampionando, l’intervallo fondamentale raddoppia e raddoppiano purele ampiezze:

Y (f) = j2AB[

−δ(

f − B

2

)

+ δ(

f +B

2

)]

, −2B ≤ f ≤ 2B.

La risposta all’impulso del filtro di ricostruzione e

p(t) = rect(

4B(

t− 1

8B

))

,

ove si e tenuto conto di un ritardo di 1/8B. La sua trasformata e

P (f) =1

4Bsinc

(

f

4B

)

e−jπf4B .

Il passa-basso lascia passare solo la sinusoide a frequenza B/2, attenuata eritardata dal mantenitore:

xr(t) = Asinc(1

8

)

sin(

πB(

t− 1

8B

))

.

52

1.4.6 Esercizio 36

Il segnale

x(t) = A∞∑

i=−∞

(−1)irect(t− iT − T/2T

)

viene filtrato attraverso un passa basso ideale di banda 3/T . Indicare ilperiodo e rappresentare graficamente lo spettro di Fourier del segnale y(t)all’ uscita del passa basso. Il segnale all’ uscita del passa basso e’ campi-onato a frequenza 5/T . Indicare l’ intervallo fondamentale, e rappresentaregraficamente lo spettro di Fourier del segnale campionato su tre intervallifondamentali. La sequenza viene poi sovracampionata di un fattore due econvertita in analogico, e la cascata del convertitore e del successivo passabasso e’ modellata come un passa basso ideale di banda 4/T . Rappresentaregraficamente lo spettro di Fourier del segnale analogico all’ uscita del passa-basso.

0 T 2T

A

t

x(t)

Soluzione

Il segnale x(t) e’ una onda quadra dispari, di periodo T0 = 2T ed e

53

mostrata in figura. Il k-esimo coefficiente dello sviluppo in serie e dato da

Xk = 0, k pari, Xk =2A

jπk, k dispari.

Il passa basso oscura tutte le componenti a frequenza maggiore di 6f0, f0 =1/T0, lasciando le rimanenti componenti inalterate. Lo spettro di Fourier all’uscita del passa basso e’ composto dunque dalla sola parte immaginaria, edalle sole sinusoidi a frequenza f0, 3f0, 5f0 come mostrato in figura.Nel campionamento a frequenza 5/T = 10f0 si ha aliasing, in particolore lasinusoide a frequenza 5f0 viene cancellata. Dunque nell’ intervallo fonda-mentale, da −5f0 a 5f0, compaiono le sole sinusoidi a frequenza f0 e 3f0, chevengono replicate negli intervalli successivi a passo 10f0. Il sovracampiona-mento cancella le repliche intorno a 10f0, 30f0, etc. Quindi nella successi-va conversione le sinusoidi non oscurate dal passa basso sono solo quelle afrequenza f0 e 3f0, che passano inalterate.

54

Im[Y ]k

3f

-f

f

-3f 0 0

0 0

f

-f-3f

f 3f

0 0

00-10f 0 10f0

Im[X ]k

f

f 3f 5f 7f

-7f -5f -3f0 0 0 0

0 0 0 0

-2A/3-2A/5

-2A/

2A/

2A/32A/5π

π

π

π

π π

kIm[X ]

f

-5f 5f0 0-15f 0 15f0

f


55

1.4.7 Esercizio 37

Si consideri la sequenza costituita dai campioni

x[k] = x(kTc + τ)

ottenuti dal campionamento a passo Tc = 1/2f0 della sinusoide

x(t) = sin(2πf0t+ φ).

Si disegni lo spettro di Fourier della sequenza.

Soluzione

Sex(t) = sin(2πf0t+ φ),

allora

x[k] = sin(2πf0kTc+2πf0τ+φ) = sin(2πf0kTc+β) = cos(2πf0kTc+β−π/2),

con β = 2πf0τ + φ.La trasformata di x[k], X(f), si ottiene ripetendo in frequenza, con passofc = 2f0, la trasformata X(f) della cosinusoide con frequenza f0 e fase(β − π/2),

X(f) =1

2ej(β−π/2)δ(f − f0) +

1

2e−j(β−π/2)δ(f + f0).

Gli impulsi contenuti nelle repliche degli spettri si combinano vettorialmentenelle frequenze f0 + 2nf0, e la trasformata X(f) (vedi figura nella paginasuccessiva) risulta

X(f) = fc∑

n

X(f − nfc) = 2f0∑

n

sin(β)δ(f − f0 − n2f0).

Analogamente, nella frequenza normalizzata,

X(F ) =∑

n

sin(β)δ(F − 1/2− n).

56

fo 3fo −fo −3fo

2fo sin β

f

57


Il segnale

y(t) = cos(3πf0t

2)− 1

4cos(

5πf0t

2)

e’ campionato a frequenza 2f0. Determinare lo spettro di Fourier del segnalecampionato e disegnarlo.

58

1.5 Segnali e sistemi a tempo discreto

1.5.1 Esercizio 39

Dato il segnale periodico

s(t) =1

2+

2∑

k=−2

|k|e−jπ k5 t,

il segnale discreto s[n] e ottenuto campionando idealmente s(t) con passoTc = T/5, detto T il periodo fondamentale di s(t).Determinare la trasformata di Fourier S(f) del segnale continuo s(t) e latrasformata di Fourier S(F ) del segnale discreto s[n].Il segnale s[n] e periodico? Se si, determinare il periodo.Determinare il segnale y[n] ottenuto filtrando s[n] con un filtro discreto H(F )con caratteristica di ampiezza triangolare tra F = −0.25 e F = 0.25 ecaratteristica di fase lineare:

H(F ) =

{ (

1− |F |0.25

)

e−j2πF per |F | ≤ 0.25

0 altrove.

Soluzione

Il segnale s(t) e gia scritto in serie di Fourier (forma esponenziale), perciola sua trasformata di Fourier e la somma di 5 impulsi centrati in

f = 0Hz, f = ±0.1Hz, f = ±0.2Hz

con ampiezza rispettivamente 0.5, 1 e 2. Il periodo fondamentale di s(t) eT = 10sec.La trasformata di Fourier S(F ), periodica di periodo unitario, nell’intervallobase [0, 1) e simmetrica rispetto a F = 1/2, perche e la trasformata di segnalereale e pari , ed e costituita da 5 impulsi in

F = 0, F = 0.2, F = 0.4, F = 0.6, F = 0.8,

con ampiezza rispettivamente 0.5, 1, 2, 2, 1. 3

Il segnales[n] = 0.5 + 2cos[2π0.2n] + 4cos[2π0.4n]

3Ricorda: nella conversione della frequenza f [cicli/secondo] a quella normalizzata F =fTc[cicli/campione] per la proprieta δ( F

Tc) = Tcδ(F ), le ampiezze di eventuali impulsi

ideali vengono moltiplicate per Tc

59

e periodico di periodo N = 5, infatti s[n] = s[n−N ].Si ha infine

y[n] = 0.5H(0) + |H(0.2)| · 2 · cos[2π0.2n+ 6 H(0.2)]

= 0.5 + 0.4cos[2π0.2(n− 1)],

in cui risulta |H(0.2)| = 0.2 e 6 H(0.2) = −0.4π.

60

1.5.2 Esercizio 40

Con riferimento allo schema in figura,

y[n]A/D H(F)

cos(0.8 n)π

x[n]ax (t) v[n]

dato il segnale reale analogico passabanda

xa(t) = sa(t)cos(1600πt),

dove sa ha trasformata di Fourier

Sa(f) = cos(

2πf

400

)

rect( f

200

)

,

determinare la trasformata di FourierX(F ) del segnale discreto x[n] ottenutocampionando xa(t) con passo di campionamento Tc = 0.5ms e la trasformatadi Fourier V (F ) del segnale v[n] = x[n]cos(0.8πn).Se, nell’intervallo fondamentale, e

H(F ) =

{

2 per |F | ≤ 0.050 per |F | > 0.05 ,

mostrare che la trasformata di Fourier Y (F ) del segnale y[n] in uscita al filtroe uguale a S(F ), trasformata di Fourier del segnale discreto s[n], ottenutocampionando con passo Tc il segnale analogico sa(t).Calcolare l’energia di s[n].

Soluzione

Per la proprieta di modulazione si ottiene:

Xa(f) =1

2Sa(f − 800) +

1

2Sa(f + 800)

=1

2

[

cos

(

2πf − 800

400

)

rect

(

f − 800

200

)

+

+ cos

(

2πf + 800

400

)

rect

(

f + 800

200

)]

.

61

La trasformata di Fourier del segnale campionato vale:

X(f) = fc+∞∑

k=−∞

Xa(f − kfc) periodico di periodo fc =1

0.5ms= 2000Hz.

La trasformata di Fourier della sequenza x[n], nella variabile normalizzataF , vale:

X(F ) = fc+∞∑

k=−∞

Xa((F − k)fc) che per −0.5 ≤ F ≤ 0.5 1 vale :

=fc2cos

(

2πF − 0.4

0.2

)

rect(F − 0.4

0.1

)

+

+fc2cos

(

2πF + 0.4

0.2

)

rect(F + 0.4

0.1

)

.

Per calcolare la trasformata di v[n] si applica la proprieta della modulazionee si ottiene:

V (F ) =1

2(X(F − 0.4) +X(F + 0.4)) che nell’intervallo fondamentale

=fc2cos

(

2πF

0.2

)

rect( F

0.1

)

+fc4cos

(

2πF + 0.2

0.2

)

rect(F + 0.2

0.1

)

+

+fc4cos

(

2πF − 0.2

0.2

)

rect(F − 0.2

0.1

)

;

La trasformata di Fourier del segnale y[n] vale:

Y (F ) = V (F )H(F ) che nell’intervallo fondamentale

= fccos(2πF

0.2)rect

(

2πF

0.1

)

.

La trasformata di Fourier del segnale campionato sa(nTc) vale

S(f) = fc∞∑

k=−∞

Sa(f − kfc).

La trasformata di Fourier della sequenza s[n] vale:

S(F ) = fc∞∑

k=−∞

Sa((F − k)fc)

= fc∞∑

k=∞

cos(F − k

0.2

)

rect(F − k

0.1

)

= Y (F ).

1che e l’intervallo fondamentale

62

Percio s[n] = y[n].L’energia del segnale s[n] e

Es[n] =∞∑

k=∞

|s[k]|2

=∫ 0.5

−0.5|S(F )|2dF

=fc2

20.1

= 200000.

63

1.5.3 Esercizio 41

Determinare la trasformata discreta di Fourier su N punti (N −DFT ) dellasequenza

x[n] =[

cos(

2πn

N

)]2

rectN [n]

con

rectN [n] =

{

1 per 0 ≤ n ≤ N − 10 altrove

Soluzione

Dall’interpretazione della DFT come finestratura della serie di Fourierdella sequenza ripetuta :

x[n]→ xp[n] =∞∑

l=−∞

x[n− lN ] = y[n].

Calcolando la DFT di y[n] ottengo Y k che poi finestrata con un rettangolodi N campioni (contati mettendo il primo campione nell’origine 4) da la DFTcercata. Nel nostro caso:

x[n] =[

cos(

2πn

N

)]2

rectN [n]

=1

2rectN [n] +

1

2cos

(

2π2

Nn)

rectN [n]

= x1 + x2;

x1[n]←→ X1k = [N/2, 0, 0, · · · , 0︸︷︷︸

da 0 a N − 1

];

x2[n]←→ X2k = [0, 0, N/4, , 0, 0, · · · , N/4, 0];sommando i due termini si ottiene

Xk = X1k +X2k = [N/2, 0, N/4, 0, 0, · · · , N/4, 0].

Un modo alternativo per calcolare la DFT e applicare la definizione escrivere la funzione coseno in forma esponenziale 5 :

Xk =N−1∑

n=0

x(n)e−j2πkNn =

N−1∑

n=0

1

2e−j2π

kNn +

N−1∑

n=0

1

4e−j2π

k−2N

n +N−1∑

n=0

1

4e−j2π

k+2N

n ;

4si ricorda che il rettangolo discreto NON e centrato nell’origine ma e causale5cos2(2πn/N) = 1/2 + 1/2 e

j4πn/N+e−j4πn/N

2

64

Considerando che

N−1∑

n=0

e−j2πkNn =

N per k = 0,±N,±2N,±3N · · ·1−e

−j2π kNN

1−e−j2π k

N

= 0 per k 6= 0,±N,±2N,±3N · · ·

si ricava per 0 ≤ k ≤ N − 1:

Xk =

N/2 per k = 0 (la prima sommatoria)N/4 per k = 2 (la seconda sommatoria)N/4 per k = (−2)mod(N), cioe k = N − 2 (la terza sommatoria).

In figura e mostrato il segnale di partenza e la sua DFT calcolati perN = 50 campioni.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

n

x(n)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−5

0

5

10

15

20

25

k

Xk

N=50

N=50

65

1.5.4 Esercizio 42

Dato il segnale discreto

x[n] = 8 ·sen

(πn4

)

πn,

calcolare l’energia del segnale modulato

y[n] = x[n]cos(παn)

al variare del parametro α.Il sistema e lineare? E tempo-invariante? Si puo caratterizzare con unarisposta all’impulso? Se si, quale?

Soluzione

Si ricorda che la trasformata di Fourier di una segnale discreto e periodicanelle frequenze di periodo uno; i calcoli si svolgeranno quindi limitatamenteall’intervallo −1/2 ≤ F ≤ 1/2.

Per il teorema di Parseval l’energia di y[n] si puo calcolare come:

Ey[n] =∫ 1/2

−1/2|Y (F )|2dF .

Tenendo conto del fatto che

X(F ) = 8 · rect(

F

1/4

)

,

risulta per la proprieta di modulazione:

Y (F ) = X(F )⊗ 1

2

[

δ(

F − α

2

)

+ δ(

F +α

2

)]

=1

2

[

X(

F − α

2

)

+X(

F +α

2

)]

.

Il segnale y[n] e reale e pari quindi Y (F ) e reale e pari: si puo limitarel’analisi all’intervallo di frequenze 0 ≤ F ≤ 1/2, che corrisponde all’interval-lo 0 ≤ α/2 ≤ 1/2, cioe 0 ≤ α ≤ 1. Per qualsiasi valore di α fuori da questointervallo valgono i risultati trovati per α modulo 1.

Per α = 0 y[n] = x[n], Ey[n] = Ex[n] = 64 · 14= 16.

66

Per 0 ≤ α/2 ≤ 1/8 e 3/8 ≤ α/2 ≤ 1/2 c’e sovrapposizione parziale nelledue repliche dello spettro centrate in +α/2 e −α/2 :

Ey[n] = 2[(1/8− α/2)64 + 16α] = 16− 32α;

per 1/8 ≤ α/2 ≤ 3/8 le due repliche non si sovrappongono:

Ey[n] = 8 = Ex[n]/2.

Il sistema e lineare infatti:

(x1[n] + x2[n]) · cos(παn) = x1[n]cos(παn) = x2[n]cos(παn),

ma tempo variante per α 6= ±1,±2, · · · infatti:

se x[n]→ y[n], x[n−m]→ x[n−m]cos(παn) 6= x[n−m]cos(πα(n−m)).

Un sistema lineare ma tempo variante non e caratterizzabile da una rispostaall’impulso.

Per α = ±1,±2, · · ·, cos(παn) = 1, percio y[n] = x[n], il sistema linearetempo invariante e descritto dalla risposta all’impulso banale h[n] = δ[n].

α /2 α /2

1/81/8

α

F

Y(F)

4

-

128

-α

67

1.5.5 Esercizio 43

Sia z[n] = x[n] · y[n], ove x[n] e y[n] sono due sequenze limitate di lunghezza4, di cui si conoscono le rispettive FFT di ordine 4:

Xk = [1, 0,−1, 0],

Y k = [0, 0, 0,j

2].

Determinare Zk e z[n].

Soluzione

E possibile calcolarlo cosı:

x[n] · y[n] 4−dft←→ Zk =3∑

l=0

X l · Y (k−l)modulo 4.

E possibile calcolare la convoluzione circolare eseguendo le seguenti opera-zioni:

• calcolare la convoluzione lineare, di lunghezza 7, delle due sequenze Xk

e Y k;

• replicare il risultato con periodo 4;

• finestrare la sequenza periodica ottenuta tra k = 0 e k = 3.

Il risultato e

Zk = [0,−j2, 0,

j

2].

Per calcolare z[n] applichiamo la definizione di antitrasformata:

z[n] =3∑

0

Zkej2π k

4n

=j

2

(

−ej π2 n + j

2ej

3π2n)

=ej

π2n − ej 3π

2n

2j

=[

sen(

2π1

4n)]

n=0,1,2,3,

da cui si ottienez[n] = [0, 1, 0,−1].

68

1.5.6 Esercizio 44

Un sistema discreto lineare tempo-invariante stabile, con ingresso x[n] euscita y[n], e caratterizzato dalla seguente equazione alle differenze:

y[n] =1

2y[n− 1] + x[n]− 2x[n− 1].

Determinare la funzione di trasferimento H(z) e la risposta all’impulso h[n]del sistema.

La sequenza h[n] e a fase minima? Se non lo e determinare la corrispon-dente sequenza a fase minima.

Soluzione

Passando alla trasformata zeta:

Y (z) =1

2Y (z)z−1 +X(z)− 2X(z)z−1,

quindi

H(z) =Y (z)

X(z)=

1− 2z−1

1− 12z−1

= (1− 2z−1) · 1

1− 12z−1

.

Antitrasformando otteniamo:

h[n] =(

δ[n]− 2δ[n− 1])

⊗((

1

2

)n

sca(n))

=(1

2

)n

sca(n)− 2(1

2

)n−1

sca(n− 1);

N.B.: la risposta all’impulso h[n] risulta causale perche il sistema e stabile ela funzione di trasferimento H(z) presenta un polo interno al cerchio unitario.La sequenza h[n] non e a fase minima, perche lo zero e esterno al cerchio diraggio unitario ( e il sistema e causale). La sequenza corrispondente a faseminima hmp[n] si ottiene spostando lo zero in posizione reciproca complessaconiugata:

Hmp = (1− 1

2z−1) · 1

1− 12z−1

= 1

che ha come antitrasformata:

hmp[n] = δ[n].

69

1.5.7 Esercizio 45

In un sistema discreto lineare tempo-invariante il segnale in ingresso x[n] contrasformata di Fourier tempo-discreta

X(F ) = sen(2πF )

viene trasformato nel segnale y[n] con trasformata di Fourier tempo-discreta

Y (F ) = |sen(2πF )|.

a) Determinare la risposta in frequenza H(F ), la risposta all’impulso h[n] el’energia del sistema.b) Determinare il segnale x[n] ed i valori y[0], y[1] e y[2].

Soluzione

Possiamo scrivere:

H(F ) =Y (F )

X(F )

= 2∞∑

k=−∞

rect

(

F − 0.25− k0.5

)

− 1;

antitrasformando

h[n] = sinc(n

2

)

ej2πn4 − δ[n]

= sinc(n

2

)

ejπ2n − δ[n].

L’energia del sistema si ricava utilizzando l’uguaglianza di Parseval:

En =∫ 1

0|H(F )|2dF = 1.

X(F ) = sen(2πF )←→ x[n] =j

2δ[n− 1]− j

2δ[n+ 1]

(questa relazione si ricava dalla proprieta di dualita applicata alla coppiatrasformata-antitrasformata).

sen(2πf0t)←→j

2δ(f − f0)−

j

2δ(f − f0).

70

Il segnale

y[n] =∞∑

m=−∞

x[m]h[n−m]

= x[1]h[n− 1] + x[−1]h[n+ 1]

=j

2h[n− 1]− j

2h[n+ 1]

negli istanti n = 0, n = 1, n = 2 vale

y[0] =j

2(−j)sinc

(

−1

2

)

− j

2jsinc

(

−1

2

)

= sinc(1

2

)

=2

π;

y[1] = 0;

y[2] =j

2jsinc

(1

2

)

− j

2(−j)sinc

(3

2

)

= −1

2sinc

(1

2

)

− 1

2sinc

(3

2

)

= − 1

π+

1

3π= − 2

3π.

71

1.6 Vero o falso

1.6.1 Esercizio 46

Date le seguenti affermazioni stabilire se sono vere o false, giustificando larisposta:

• Un segnale periodico reale e pari e rappresentabile come somma di solefunzioni coseno akcos(2πfkt).

• Date due sequenze x1 e x2 di lunghezza n1 = 10 ed n2 = 12, la loroconvoluzione circolare ottenuta utilizzando la FFT (e FFT inversa) su16 punti coincide con la convoluzione lineare.

• Il sistema lineare tempo-invariante stabile con funzione di trasferimento

H(z) =2

1− 2z−1

ha risposta all’impulso causale e il suo sistema inverso e a fase minima.

Soluzione

• Vero: se T e il periodo del segnale periodico x(t), allora (serie diFourier)

x(t) =∞∑

k=−∞

cke−j2π k

Tt;

se inoltre x(t) e reale e pari, allora i ck sono reali e pari (cioe ck = c−k):

x(t) = c0 +−1∑

k=−∞

cke−j2π k

Tt +

∞∑

k=1

cke−j2π k

Tt

=∞∑

k=1

ckej2π k

Tt +

∞∑

k=1

cke−j2π k

Tt

= c0 +∞∑

k=1

2ckcos

(

2πk

Tt

)

=∞∑

k=0

akcos(2πfkt) con a0 = c0 ; ak = 2ck , k 6= 0 ; fk = k/T.

• Falso: la convoluzione circolare di due sequenze x1 (di lunghezza n1)e x2 (di lunghezza n2) coincide con la convoluzione lineare solo se siutilizza l’FFT ( e l’ FFT inversa) su almeno n1+ n2− 1 campioni. Inquesto caso n1 + n2 − 1 = 21 > 16.

72

• Falso: Il sistema ha uno zero in z = 0 e un polo in z = 2. Percheil sistema sia stabile, la regione di convergenza dovrebbe contenere lacirconferenza unitaria: poiche il polo e esterno alla circonferenza lasequenza antitrasformata convergente, che corrisponde alla regione diconvergenza |z| < 2, sara anticausale (h[n] = −2nsca[−n − 1]). Ilsistema inverso ha un polo in z = 0 e uno zero in z = 2: il sistema none a fase minima perche lo zero e esterno al cerchio unitario (la rispostaall’impulso vale hinv[n] = 1/2δ[n]− δ[n− 1]).

73

Capitolo 2

Segnali aleatori

74

2.1 Probabilita

2.1.1 Esercizio 47

Si consideri la coppia di variabili aleatorie (a1, a2), ognuna delle quali assumei valori 0, A con probabilita P (0) = 1/4, P (A) = 3/4. Il coefficiente di cor-relazione tra le due vale 0.5. Si determini la probabilita congiunta.

Soluzione

Il valor medio delle due variabili e η1 = η2 = 3A/4, il valore quadraticomedio e 3A2/4, e la varianza di ognuna risulta pari a 3A2/16, il coefficientedi correlazione e

ρ =E{(a1 − η1)(a2 − η2)}

σ1σ2= 0.5.

Si ricava facilmente

E{a1a2} =21A2

32.

Applicando la definizione di valore atteso si ottiene

E{a1, a2} =∑

a1∈{0,A}

∑

a2∈{0,A}

a1a2P1,2(a1, a2) = A2P1,2(A,A),

cioe P1,2(A,A) = 21/32. Saturando rispetto ad a2 si ha

P1,2(A, 0) + P1,2(A,A) = P1(A) =3

4,

dalla quale si ricava P1,2(A, 0) = 3/32. Con procedimento simile si ricavaP1,2(0, A) = 3/32 ed imponendo ancora

P1,2(0, A) + P1,2(0, 0) =1

4

(oppure imponendo che la congiunta sommi ad 1), si ottiene

P1,2(0, 0) =5

32.

75

2.1.2 Esercizio 48

Le variabili aleatorie a e b sono Gaussiane a media unitaria e varianza uni-taria, ed hanno coefficiente di correlazione 0.5. Determinare la densita’ diprobabilita’ di c = a+ b.

Soluzione

La somma di variabili Gaussiane e’ Gaussiana, dobbiamo dunque deter-minare valor medio e varianza di c. Per il valor medio si ha:

E{c} = E{a+ b} = E{a}+ E{b} = 2.

Per la varianza si ha :σ2c = E{c2} − E2{c}.

Il secondo termine e’ gia’ stato determinato, per il primo si ha:

E{c2} = E{(a+ b)2} = E{a2}+ E{b2}+ E{2ab}.

Dai dati si ottiene facilmente:

E{a2} = E{b2} = 2,

E{ab} = 1.5,

che sostituite nella precedente danno

E{c2} = 7.

Si ottiene pertantoσ2c = 3.

76

2.2 Processi parametrici

2.2.1 Esercizio 49

E dato il processo aleatorio

X(t) = Acos(2πf0t)−Bsin(2πf0t)

ove A e B sono due variabili aleatorie indipendenti Gaussiane a valor medionullo e varianza σ2A = σ2B = σ2 = 4. Questo processo e l’ingresso dei dueSLS in figura aventi le risposte in frequenza indicate. Ricavare la densita diprobabilita del primo ordine fY (y; t) del processo Y (t) nei due casi.

2f

f /2

0

0

Y(t)

Y(t)

X(t)

X(t)

H (f)

H (f)1

2

f

f

1

1

Soluzione

1) Per ogni realizzazione xr(t), scelto A e B, e possibile calcolarne latrasformata di Fourier in quanto xr(t) e periodico.

xr(t)←→ Xr(f) =A

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]−

Bj

2[δ(f + f0)− δ(f − f0)]

Yr(f) = Xr(f)H1(f) = 0.

Poiche vale per ogni realizzazione il processo in uscita risulta essere identi-camente nullo:

Y (t) = 0.

2) Per ogni realizzazione xr(t) in ingresso, il processo in uscita vale

77

yr(t) =1

2xr(t)

in quanto H2(f0) = 1/2. In uscita abbiamo dunque

Y (t) =1

2X(t),

e dunquefY (Y ) = 2fX(2Y ).

In particolare il processo Y (t) ha densita’ di probabilita’ con la stessa formadella della densita’ di X(t), con valor medio ηY = 2 ηX , e varianza σ2Y =σ2X/4.Dato il processo

X(t) = X1(t) +X2(t),

conX1(t) = Acos(2πf0t); X2(t) = −Bsin(2πf0t),

e

f(A) =1√2πσ

e−A2

2σ2 ,

f(B) =1√2πσ

e−B2

2σ2 ,

poiche X1 e X2 sono Gaussiani indipendenti (A e B sono indipendenti), X(t)e un processo Gaussiano con media ηX pari alla somma delle medie e varianzaσ2X pari alla somma delle varianze.In particolare

f(X1) = f(Acos(2πf0t)) =1

cos(2πf0t)

1√2πσ

e− A2

2σ2cos2(2πf0t) ,

Gaussiana con media ηX1 nulla e varianza σ2X1= σ2cos2(2πf0t).

f(X2) = f(−Bsin(2πf0t)) =1

sin(2πf0t)

1√2πσ

e− B2

2σ2cos2(2πf0t) ,

Gaussiana con media ηX2 nulla e varianza σ2X2= σ2sin2(2πf0t).

La densita’ di probabilita’ di X(t) vale dunque

f(X = X1 +X2) =1√

2πσXe−

(X−ηX )2

2σ2X ,

78

conηX = ηX1 + ηX2 = 0,

σ2X = σ2X1+ σ2X2

= σ2(cos2(2πf0t) + sin2(2πf0t))

= 4,

e la densita’ di proabilita’ di Y (t) = 12X(t) varra’

f(Y ) =1√2πσY

e−

(Y−ηY )2

2σ2Y ,

con media nulla e varianza

σ2Y =1

4σ2X = 1.

79

2.2.2 Esercizio 50

Dato un processo casuale stazionario X(t) = A + cos(2πt + φ) dove A e φvariano da realizzazione a realizzazione, con distribuzione uniforme negli in-tervalli 1 ≤ A ≤ 3 e −π ≤ φ ≤ π:a) rappresentare graficamente due realizzazioni diverse del processo per duecoppie di valori (A1, φ1) e (A2, φ2) scelte fra i valori possibili. Determinare lecorrispondenti medie temporali e le funzioni di autocorrelazione temporali.Il processo e ergodico?b) Determinare il valor medio (d’insieme) e la densita spettrale di potenzadel processo.c) Determinare la potenza del processo Y (t) ottenuto filtrando il processoX(t) con un filtro con risposta in frequenza H(f) = 1

(1+j2πf).

(Si ricorda che: cos(a)cos(b) = 12cos(a+ b) + 1

2cos(a− b))

Soluzione

a) Una qualsiasi realizzazione del processo e rappresentabile come la som-ma di una costante A e di una funzione coseno con periodo T = 1 sec e faseiniziale φ.Le due realizzazioni X1 e X2 mostrate in figura sono state ottenute con ivalori seguenti:

X1 : A1 = 2, φ1 = π/2; X2 : A2 = 1, φ2 = 0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 51

1.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

t [s]

x1(t

)

80

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2

t [s]

x2(t

)

Fissato A1 e φ1:

< X1(t) > = limα→∞

1

α

∫ α/2

−α/2X1(t)dt

(1) =1

T

∫ T/2

−T/2X1(t)dt

= A1.

< X1(t)X1(t− τ) > =1

T

∫ T

0(A1 + cos(2π(t− τ) + φ1))(A1 + cos(2πt+ φ1))dt

(2) = A21 +1

T

∫ T

0cos(2π(t− τ) + φ1)cos(2πt+ φ1)dt

= A21 +1

2T

∫ T

0cos(2πτ)dt+

1

2T

∫ T

0cos(2π(2t− τ) + φ1)dt

= A21 +1

2cos(2πτ).

Il processo non e ergodico perche le medie temporali e le funzioni diautocorrelazione temporali variano da realizzazione a realizzazione.b)

EX{X(t)} = EA,φ {A+ cos(2πt+ φ)}1poiche il processo X(t) e periodico di periodo T2poiche

∫ T

0A1cos(2πt+ φ1)dt =

∫ T

0A1cos(2π(t− τ) + φ1)dt = 0

81

= E{A}+∫ π

−π

1

2πcos(2πt+ φ)dφ

= E{A} = 2.

RX(τ) = EX{X(t)X(t− τ)}= EA,φ{(A+ cos(2πt+ φ))(A+ cos(2π(t− τ) + φ))}

(3) = EA{A2}+ Eφ{cos(2πt+ φ)cos(2π(t− τ) + φ)}

= E{A2}+ Eφ

{1

2cos(2πτ) +

1

2cos(2π(2t− τ) + 2φ)

}

=∫ 3

1

1

2A2dA+

1

2cos(2πτ)

=13

3+

1

2cos(2πτ).

Poiche SX(f) e la trasformata di Fourier di RX(τ), dalla precedente ottenia-mo

SX(f) =13

3δ(f) +

1

4δ(f − 1) +

1

4δ(f + 1).

c) La densita spettrale del processo Y (t) e data da

SY (f) = SX(f)|H(f)|2

= SX(f)1

1 + 4π2f 2.

La potenza del processo Y (t) si ottiene integrando la sua densita spettraledi potenza:

PY =∫ ∞

−∞SY (f)df

=13

3+

1

2

1

(1 + 4π2).

3poiche EA,φ{Acos(2π(t+ τ) + φ)} = EA{A}Eφ{cos(2πt+ φ)} = 0

82

2.2.3 Esercizio 51

E assegnato un segnale determinato periodico p(t) di periodo T0. Dire se ilprocesso aleatorio X(t) = p(t − Θ), con Θ ∈ U(−T0/2, T0/2), e ergodico insenso lato.

Soluzione

Il processo e stazionario ed ergodico nel valor medio, infatti

E{X(t)} = EΘ{p(t−Θ)}

=1

T0

∫ T02

−T02

p(t−Θ)dΘ

(1) =1

T0

∫ t+T02

t−T02

p(s)ds

=1

T0

∫ T02

−T02

p(s)ds

= < X(t) >

Il processo e stazionario ed ergodico nell’autocorrelazione:

RX(t, t− τ) = EΘ{p(t−Θ)p(t−Θ− τ)}

=1

2π

∫ T0

0p(t−Θ)p(t− τ −Θ)dΘ

(2) =1

2π

∫ t+T0

tp(s)p(s− τ)ds

= Rp(τ).

Fissato un valore Θi, cioe fissata una realizzazione, la sua funzione di auto-correlazione temporale non dipende da Θi:

< xΘi(t)xΘi(t− τ) >=1

T0

∫

T0

p(t−Θi)p(t−Θi − τ)dt = Rp(τ).

In particolareRX(τ) =< X(t)X(t− τ) >,

il processo dunque e stazionario ed ergodico in senso lato.

1Effettuando un cambiamento di variabile:s = t−Θ, ds = −dΘ, gli estremi diventano t+ T0/2 e t− T0/2, li invertiamo e cambiamodi segno.

2Effettuando un cambiamento di variabile: s = t−Θ.

83

2.2.4 Esercizio 52

Il processo casuale stazionario X(t) e costituito dalle realizzazioni

X(t) = Acos(2πf0t+ ϕ),

dove ϕ e una variabile casuale distribuita uniformemente nell’intervallo [−π, π],che varia da realizzazione a realizzazione.Calcolare il valor medio e la funzione di autocorrelazione temporali.Verificare che il processo sia ergodico nel valor medio e nella funzione di au-tocorrelazione e determinare la densita spettrale di potenza.{Si ricorda: cos(a)cos(b) = 1

2(cos(a+ b) + cos(a− b))}.

Soluzione

Ogni realizzazione del processo

X(t) = Acos(2πf0t+ ϕ),

con

f(ϕ) =1

2πrect

(ϕ

2π

)

,

e rappresentata da un segnale periodico cosinusoidale con periodo T0 = 1/f0(e fase casuale ϕ).

Valor medio temporale = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2X(t)dt

(1) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2x(t)dt = 0, ∀ϕ.

Autocorrelazione temporale =1

T0

∫ T0/2

−T0/2x(t)x(t− τ)dt

=A2

T0

∫ T0/2

−T0/2cos(2πf0t+ ϕ) ·

· cos(2πf0(t− τ) + ϕ)dt

=A2

2T0

∫ T0/2

−T0/2cos(2πf02t− 2πf0τ + ϕ)dt+

+a2

2T0

∫ T0/2

−T0/2cos(2πf0τ)dt

=A2

2cos(2πf0τ), ∀ϕ.

1poiche il processo X(t) e periodico di periodo T0 = 1/f0.

84

Poiche valor medio ed autocorrelazione temporale sono uguali per tuttele realizzazioni il processo e ergodico nel valor medio e nella funzione di au-tocorrelazione.

Per determinare la densita spettrale di potenza del processo, calcoliamo lafunzione di autocorrelazione di insieme. Essa, poiche il processo e ergodico,coincide con quella temporale gia calcolata, infatti

RX(t, t− τ) = EX{X(t)X(t− τ)}= Eϕ{A2cos(2πf0t+ ϕ)cos(2πf0(t− τ) + ϕ)}

=A2

2Eϕ{cos(2πf02t− 2πf0τ + ϕ)}+ A2

2Eϕ{cos(2πf0τ)}

=A2

2

∫ π

−πcos(2πf02t− 2πf0τ + ϕ)

1

2πdϕ+

+A2

2

∫ π

−πcos(2πf0τ)

1

2πdϕ

=A2

2cos(2πf0τ), ∀t.

Dalla precedente espressione si ricava la densita spettrale di potenza:

SX(f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)] ,

ovvero tutta la potenza del processo e concentrata alla frequenza f0.

S (f)

f-f

x

f

A /42

0 0

85


Si consideri il processo casuale

Y (t) = cos(3πf0t

2+ φ)− 1

4cos(

5πf0t

2+ ψ),

con φ e ψ variabili aleatorie indipendenti ed uniformemente distribuite in(0, 2π]. Determinare la densita’ spettrale di potenza del processo. Il processoe’ campionato a frequenza 2f0. Determinare la densita’ spettrale di potenzadel processo campionato e disegnarla.


Si consideri il processo parametrico

X(t) = (A+B)0.5,

ove A e B sono variabili aleatorie correlate con coefficiente di correlazioneρ, entrambe uniformemente distribuite nell’ intervallo (0, α). Determinare lapotenza e la densita’ spettrale di potenza di X(t).

86

2.3 Processi non parametrici

2.3.1 Esercizio 55

Il processo SSL N(t) in figura e Gaussiano e ha densita spettrale di poten-za SN(f) = N0/2. Determinare la probabilita che la variabile aleatoria Xassuma un valore maggiore di quello della variabile Y . Calcolare inoltre lacorrelazione tra le variabili X e Y .

N(t)

X

Yt=T

t=T

T

TT/2

1

t

h (t)

h (t)

t

T/2

3

2

1

Soluzione

Siano X(t) e Y (t) le uscite dei filtri h1(t) e h2(t) rispettivamente; poicheN(t) e un processo Gaussiano a valor medio nullo, anche X(t) e Y (t) sonoprocessi Gaussiani a valor medio nullo. Quindi X(T ) e Y (T ) sono variabiliGaussiane.Definiamo inoltre

Z(T ) = X(T )− Y (T );

Z(T ) e Gaussiana a valor medio nullo, quindi

P (X > Y ) = P (Z > 0) =1

2.

Calcoliamo ora la correlazione rXY tra X e Y :

rXY = E{XY } = RXY (0),

87

dove si definisceRXY (τ) = E{X(t)Y (t− τ)}.

Nel nostro caso, calcoliamo

RXY (τ) = E{∫

αN(α) h1(t− α)dα

∫

βN(β)h2(t− τ − β)dβ} =

=∫

α

∫

βRN(α− β)h1(t− α) h2(t− τ − β) dα dβ =

= [s = α− β] =∫

sRN(s)

∫

αh1(t− α)h2(t− α− τ + s) ds dα =

=∫

sRN(s)Rh1h2(τ − s) ds = RN(τ)⊗Rh1h2(τ) =

N02Rh1h2(τ).

Poiche Rh1h2(0) = 0 le variabili X e Y sono incorrelate.

88

2.3.2 Esercizio 56

Dato il processo casuale X(t) stazionario con valor medio nullo, potenza 10e densita spettrale di potenza triangolare nella banda −5Hz < f < 5Hz,determinare Tc in modo che i campioni X(nTc), ottenuti campionando X(t)con passo Tc, risultino incorrelati.Il segnale X(t) entra in un filtro ideale passa-basso con guadagno A e fre-quenza di taglio f0=2.5Hz. Calcolare il valore quadratico medio del segnalein uscita.

Soluzione

La densita spettrale di potenza del processo casuale X(t) ha l’andamentomostrato in figura

S x

-5 5 f [Hz]

B

E{X(t)} = ηX = 0;

E{(X(t)− ηx)2} = E{X(t)2} = 10.

Inoltre

E{X(t)2} =∫ +∞

−∞SX(f)df

=∫ +∞

−∞B

(

1− |f |5

)

rect

(

f

10

)

df

= 5B,

da cui si ricava che B = 2.La densita spettrale di potenza ha la seguente espressione

SX(f) = 2

(

1− |f |5

)

rect

(

f

10

)

;

89

facendone la trasformata di Fourier otteniamo :

RX(τ) = 10sinc2(5τ).

L’autocovarianza del processo campionatoX[n] = X(nTc) e uguale all’autoco-varianza CX(τ) del processo continuo X(t) campionata

CX[n](m) = CX(τ = mTc).

Il processo campionato X[n] = X(nTc) risulta incorrelato se l’autocovarianzae impulsiva, cioe se CX[n](m) = Aδ(m), per un A qualsiasi.

CX(τ) = RX(τ)− (ηX)2 = RX(τ).

PoicheRX(0) = 10,

RX

(

τ =k

5

)

= 0 per k = ±1,±2,±3, ...

si ricavaCX[n](m) = 10δ[m]

per un qualsiasi Tc multiplo di 1/5 sec.Sia ora Y (t) l’uscita del filtro passa basso con risposta inpulsiva h(t) quandoin ingresso entra il segnale X(t). Il valore quadratico medio dell’uscita e datoda

E{Y 2(t)} =∫ +∞

−∞SY (f)df,

doveSY (f) = SX(f)|H(f)|2.

Sostituendo otteniamo

E{Y 2(t)} =∫ +∞

−∞SY (f)df

= A2∫ 2.5

−2.5SX(f)df

= 7.5A2.

90

2.3.3 Esercizio 57

Dato lo schema in figura,

H(f) CampionatoreX(t)=s(t)+D(t) Y(t) Y(kT)

in ingresso si sommano una componente deterministica s(t) e un rumorebianco D(t) (stazionario e a valor medio nullo) con densita spettrale bilateraN0/2.Determinare la covarianza CX(t1, t2) del segnale in ingresso X(t).Ipotizzando nota la risposta in frequenza H(f), determinare la covarianzaCY (i, k) dei campioni Y (iT ) e Y (kT ).

Soluzione

X(t) = s(t) +D(t),

dove s(t) e un segnale deterministico (reale) e D(t) e un processo casuale(reale) con

RD(τ) =N02δ(τ), E{D(t)} = 0.

Dunqueηx = E{s(t) +D(t)} = E{s(t)}+ E{D(t)} = s(t)

CX(t1, t2) = E{(s(t1) +D(t1)− E{s(t1) +D(t1)})(s(t2) ++D(t2)− E{s(t2) +D(t2)})}

= E{(s(t2) +D(t2)− s(t2))(s(t1) +D(t1)− s(t1))}= RD(t1, t2)

=N02δ(t2 − t1);

CX(t1, t2) = CX(τ = t2 − t1) =N02δ(τ).

Il processo in uscita al sistema lineare tempo-invariante Y (t) = su(t)+Du(t)e dato dalla somma di una componente deterministica su(t) e di una compo-nente casuale Du(t).In particolare

H(f) = F [h(t)];

91

su(t) = s(t)⊗ h(t);RDu

(τ) = RD(τ)⊗ h(τ)⊗ h(−τ);E{Du(t)} = H(0)E{D(t)} = 0;

Percio, analogamente al calcolo per la covarianza di CX(t1, t2),

ηy = E{su(t) +Du(t)} = E{su(t)}+ E{Du(t)} = su(t);

CY (t1, t2) = E{(su(t1) +Du(t1)− E{su(t1) +Du(t1)})(su(t2) ++Du(t2)− E{su(t2) +Du(t2)})};

CY (t1, t2) = RDu(t1, t2) = RDu

(τ = t2 − t1) =N02h(τ)⊗ h(−τ);

La covarianza tra due campioni Y (iT ) e Y (kT ), all’uscita del campionatore,e uguale alla covarianza CY (τ) del segnale Y (t) campionata con lo stessopasso di campionamento T :

CY (i, k) = CY ((k − i)T ).

92

2.3.4 Esercizio 58


X(t) = Acos(2πf0t) +W (t),

oveW (t) e rumore Gaussiano bianco con densita spettrale di potenza bilaterapari a N0/2. Il segnale X(t) transita attraverso un filtro la cui funzione ditrasferimento e

H(f) = (α + j2πf)−1, α > 0.

Il segnale all’ uscita del filtro ha la forma

Y (t) = Bcos(2πf0t+ φ) +D(t).

Determinare:1) La potenza di D(t),2) Il valore di α che massimizza il rapporto tra la potenza della sinusoide ela potenza del rumore all’uscita del filtro,3) La densita di probabilita di D(t),4) L’autocorrelazione di D(t),5) La densita di probabilita congiunta di D(t) e D(t+ τ).

Soluzione

Il modulo della funzione di trasferimento del filtro e:

|H(f)| = (α2 + 4π2f 2)−12 ,

ed e mostrato nella figura alla pagina seguente dove si e supposto α=1.La potenza di D(t) e:

PD =N02

∫ ∞

−∞|H(f)|2df

= Rh(0)N02,

ove Rh(τ) e la funzione di autocorrelazione della risposta all’impulso del filtro.Essa si trova dalle tavole come antitrasformata di |H(f)|2:

Rh(τ) =e−α|τ |

2α.

Si ha pertanto (quesito 1)

PD =N04α.

93

-3 -2 -1 0 1 2 30

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f

|H(f

)|

Il rapporto PS/PD e:

ρ =2αA2

N0(α2 + 4π2f 20 ).

Derivando rispetto ad α e ponendo la derivata a zero si ottiene (quesito 2):

α = 2πf0.

Lo studio della derivata seconda e semplice e mostra che la radice trovata eun massimo.Il rumore in uscita dal filtro e ancora Gaussiano, a valor medio nullo e vari-anza pari alla PD gia trovata.L’autocorrelazione del rumore e

RD(τ) =N02Rh(τ),

e la densita congiunta cercata e Gaussiana bidimensionale, a valori medi nullie matrice di covarianza con elementi sulla diagonale pari a PD e con gli altridue elementi pari all’autocorrelazione del rumore valutata in τ :

CD(τ) =

[

RD(0) RD(τ)RD(τ) RD(0)

]

94

2.3.5 Esercizio 59

Si consideri un processo Gaussiano bianco con densita spettrale di potenzaN0/2 bilatera. Il processo e filtrato attraverso un filtro la cui funzione ditrasferimento e:

G(f) =

√√√√A

2B

(

1− |f |2B

)

rect

(

f

4B

)

.

Detto Y (t) il processo all’uscita del filtro, determinare la banda a 3dB diY (t), l’autocorrelazione di Y (t), la densita congiunta di Y (t) e Y (t+ 1

2B).

Si consideri poi il segnale

Z(t) = Y (t) + 0.5Y(

t+1

2B

)

e si determini la densita di probabilita, la densita spettrale di potenza e lapotenza di Z(t).

Soluzione

La densita spettrale di Y (t) e:

SY (f) =N02|G(f)|2

=AN04B

(

1− |f |2B

)

rect

(

f

4B

)

.

La banda a 3 dB e

S(0) = 2S(B3dB) =⇒ B3dB = B.

L’autocorrelazione si ottiene antitrasformando SY (f):

RY (τ) =AN02

sinc2(2Bτ).

I campioni a distanza t = 1/2B sono incorrelati(in quanto sinc(1) = 0)ed essendo Gaussiani sono anche indipendenti. La congiunta e pari dunqueal prodotto delle marginali, ognuna delle quali e Gaussiana a valor medionullo e varianza pari all’autocorrelazione in τ = 0, cioe σ2Y = AN0/2. Lavariabile Z(t) e somma di variabili Gaussiane incorrelate, la sua densita saraancora Gaussiana, a valor medio nullo, con varianza pari alla somma dellevarianze, cioe σ2Z = 5σ2Y /4. Lo spettro di densita di potenza di Z(t) si ottiene

95

considerando il filtraggio di Y (t) attraverso un filtro con risposta all’impulsoh(t) = δ(t) + 0.5δ(t+ 1

2B). Si ha:

|H(f)|2 = 5

4+ cos

(

πf

B

)

;

SZ(f) = SY (f)|H(f)|2.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f/B

Sy(

f) n

orm

aliz

zata

La potenza di Z(t) e gia stata calcolata ed e pari a σ2Z .

96

2.3.6 Esercizio 60

Un processo casuale X(t) = S +W (t) e dato dalla somma del rumore W (t)Gaussiano bianco (stazionario a valor medio nullo) con densita spettrale dipotenza bilatera N0/2, e della variabile casuale discreta S, che assume valore0 o 1 con uguale probabilita e che varia da realizzazione a realizzazione.Il segnale X(t) entra in un filtro passabasso ideale H(f) con frequenza ditaglio 2 Hz (H(f) = 2rect (f/4)).Caratterizzare il processo stazionario Y (t) all’uscita del filtro, determinan-done la densita di probabilita, il valor medio e la funzione di autocorrelazione(S e W (t) sono indipendenti).

Soluzione

All’uscita del filtro abbiamo

Y (t) = A+D(t),

ove A e il valore di S all’uscita del filtro e D(t) e il rumore filtrato.

E{D(t)} = 0;

SD(f) = 4N02rect

(

f

4

)

;

PD = σ2D = E{D2} =∫

SD(f)df = 8N0;

f(D) =1√

2π8N0e

D2

16N0 ;

A = SH(0) = 2S;

f(A) =1

2δ(A) +

1

2δ(A− 2).

La densita di probabilita del processo Y (t) e data da

f(Y ) = f(A+D)

= f(A)⊗ f(D)

=1

2

1√2π8N0

eD2

16N0 +1

2

1√2π8N0

e(D−2)2

16N0 .

La densita di probabilita di Y (t) dunque e data dalla somma di due gaus-siane, centrate in 0 e in 2, con ampiezza 1/2 e varianza σ2 = 8N0.

E{Y (t)} = E{X(t)}H(0) = 1;

97

E{Y (t)Y (t+ τ)} = E{(A+D(t))(A+D(t+ τ))}(1) = E{A2}+ E{D(t)D(t+ τ)}

= 0(1

2) + 4(

1

2) + F−1

[

SD(f) = 2N0rect

(

f

4

)]

= 2 + 8N0sinc(4τ).

1A e D(t) sono indipendenti, inoltre E{D(t)} = 0, quindi il valor medio dei prodottiincrociati e nullo.

98

2.3.7 Esercizio 61

Il processo casuale stazionario X(t) e noto statisticamente.Determinare la fuzione di autocorrelazione e la densita spettrale di potenzadel processo casuale

Y (t) = X(t)−X(t− t0).Se il processo X(t) e Gaussiano con valor medio ηX e densita spettrale dipotenza

SX(f) = rect

(

f

4

)

+ η2Xδ(f),

determinare la densita di probabilita del processo Y (t), con t0 = 0.25 sec.

Soluzione

RY (τ) = E{Y (t)Y (t− τ)}= E{(X(t)−X(t− t0))(X(t− τ)−X(t− t0 − τ))}= E{X(t)X(t− τ)}+ E{X(t− t0)X(t− t0 − τ)}+− E{X(t− t0)X(t− τ)} − E{X(t)X(t− t0 − τ)}

= 2RX(τ)−RX(τ + t0)−RX(τ − t0).Poiche SY (f) = F [RY (τ)] abbiamo che

SY (f) = 2SX(f)− SX(f)(ej2πt0f + e−j2πf0f )

= 2SX(f)(1− cos(2πt0f)).Se X(t) e Gaussiano, anche Y (t) ha densita di probabilita Gaussiana, poichela trasformazione e lineare.Il processo e stazionario ed il valor medio e

ηY (t) = E{Y (t)}= E{X(t)} − E{X(t− t0)} = 0.

La varianza e

σ2Y = E{(Y (t)− ηY )2}= E{Y 2} − η2Y=

∫ 2

−22(1− cos(2π0.25f))df = 8.

f(Y ) =1

√

2πσ2Ye− Y 2

2σ2Y .

99

2.3.8 Esercizio 62

Una tensione costante v0 viene disturbata da rumore bianco additivo D(t)avente densita spettrale di potenza SN(f) = ζ. Per reiettare tale disturbo siusano i due sistemi in cascata mostrati in figura in cui B = 1/2T .Determinare i valori dei coefficienti a, b e c che minimizzano l’errore quadrati-co medio

ε = E{[Y (t)− v0]2}tra l’uscita Y (t) e il valore costante v0.

T T

Σ

−Β Β

1H(f)

f

a b c

Y(t)

v0 Z(t)

D(t)

Soluzione

Sia Z(t) = v0 +N(t) l’uscita del filtro H(f), con

E{N(t)} = 0, SN(f) = rect

(

f

2B

)

ζ, σ2N = E{N(t)2} = 2Bζ.

L’uscita del sistema e

Y (t) = az(t) + bz(t− T ) + cz(t− 2T )

= (a+ b+ c)v0 + aN(t) + bN(t− T ) + cN(t− 2T );

L’autocorrelazione RN(τ) si ottiene antitrasformando SN(f)

RN(τ) = 2Bζsinc(τ2B), RN(τ) = E{N(t)N(t− τ)}.

Considerando che

• E{N(t)N(t− T )} = RN(T ) = 0,

• E{N(t)N(t− 2T )} = RN(2T ) = 0,

100

• E{n(t)} = 0,

l’errore quadratico medio ε risulta

ε = E{[Y (t)− v0]2}= E{Y (t)}2 + E{v20} − 2E{Y (t)v0}= (a+ b+ c)2v20 + (a2 + b2 + c2)σ2N +

v20 − 2(a+ b+ c)v20= (a+ b+ c− 1)2v20 + (a2 + b2 + c2)σ2N .

L’errore quadratico medio e una forma convessa e quindi il suo minimo sitrova imponendo

∂ε

∂a= 0,

∂ε

∂b= 0,

∂ε

∂c= 0.

Dalle tre equazioni precedenti otteniamo il seguente sistema lineare di 3equazioni in 3 incognite:

2(a+ b+ c− 1)v20 + 2aσ2N = 02(a+ b+ c− 1)v20 + 2bσ2N = 02(a+ b+ c− 1)v20 + 2cσ2N = 0

(1 +σ2N

v20)a+ b+ c = 1

a+ (1 +σ2N

v20)b+ c = 1

a+ b+ (1 +σ2N

v20)c = 1

I valori di a, b e c che minimizzano l’errore quadratico medio sono

a = b = c =v20

3v20 + σ2N=

1

3 +σ2N

v20

.

Ricaviamo il valore dell’errore quadratico medio minimo:

εmin =

3

3 +σ2N

v20

− 1

2

v20 + 3σ2N

(3 +σ2N

v20)2

=(σ2N

v20)v20 + 3σ2N

(3 +σ2N

v20)2

=σ2N(

σ2N

v20+ 3)

(3 +σ2N

v20)2

=σ2N

3 +σ2N

v20

.

101

Se non avessimo usato il filtro

a = b = c = 0 ⇒ ε = E{[z(t)− v20]} = E{N(t)2} = σ2N .

102

2.3.9 Esercizio 63

Nello schema in figura il processo aleatorio N(t) e Gaussiano con densitaspettrale di potenza SN(f) = N0/2.Campionando agli istanti tk = 2kT (k = 1, 2, ..., n) il processo X(t) in usci-ta al filtro H(f) (di banda B = 1/T ) si ottiene un sistema di n variabilialeatorie Xk ≡ X(2kT ). Determinare la densita di probabilita congiuntafX(x1, x2, ..., xn) di tale sistema.

-B B f

1H(f)

+

-

N(t) W(t) X(t) XK

tK

T

Soluzione

W (t) = N(t− T )−N(t);

RW (τ) = E{W (t)W (t− τ)}= E{[N(t− T )−N(t)][N(t− T − τ)−N(t− τ)]}= E{N(t− T )N(t− T − τ)}+ E{N(t)N(t− τ)} −−E{N(t)N(t− T − τ)} − E{N(t− T )N(t− τ)}

= 2RN(τ)−RN(τ − T )−RN(τ + T )

= N0δ(τ)−N02(δ(τ − T )− δ(τ + T )).

RX(τ) = RW (τ)⊗Rh(τ).

Rh(τ) = F−1[|H(f)|2] = 2

Tsinc

(2τ

T

)

.

RX(τ) = N02

Tsinc

(2τ

T

)

− N0Tsinc

(

2(τ − T )T

)

− N0Tsinc

(

2(τ + T )

T

)

.

X(tk = 2kT ) = Xk,

fXk= gauss

(

0, σ2X = RX(0) =2N0T

)

=1

√

2πσ2Xe−

X2k

2σ2X .

103

Sia [X1, ...Xn] il vettore delle variabili congiuntamente Gaussiane. PoicheRX(2kT ) = 0 le variabili Xk sono tra loro incorrelate ed essendo Gaussianesono anche indipendenti, ognuna con valor medio nullo e varianza σ2X =RX(0) = N02/T , da cui

f(X1...Xn) = f(X1)f(xX2)...f(Xn) =1

√

(2π)nσ2nXe−

∑X2i

2σ2X

104

2.3.10 Esercizio 64

Nello schema in figura il processo N(t) e Gaussiano con densita spettrale dipotenza SN(f) = ζ. Dire se il processo in uscita X(t) e Gaussiano e determi-narne la funzione valor medio ηX(t) e la funzione di autocorrelazione RX(t, τ).

cardinaleInterpolatoreN(t) W(t) Wk

-1/2T 1/2T

1

H(f)

kTf

X(t)

Soluzione

La densita spettrale di potenza di W (t) e data da

SW (f) = SN(f)|H(f)|2 = ζrect

(

f

T

)

.

La funzione di autocorrelazione del processo W (t) vale dunque

RW (τ) =ζ

Tsinc

(τ

T

)

.

Il processo W (t) e a valor medio nullo, allora

CW (τ) = RW (τ),

e all’uscita del campionatore

Ci,j = CW (iT, jT ) = RW ((i− j)T ) = ζ

Tδ(i− j),

cioe le variabili Wk, congiuntamente gaussiane, sono incorrelate e quindianche indipendenti con η = 0 e σ2 = RW (0) = ζ/T .Il processo X(t), per un generico impulso interpolatore p(t),

X(t) =∑

k

Wkp(t− kT ), ηX = 0,

e una combinazione lineare di variabili Gaussiane a valor medio nullo,dunque e a sua volta Gaussiano a valor medio nullo.

105

La funzione di autocorrelazione si calcola nel modo seguente

RX(t, τ) = E

{∑

k

Wkp(t− kT )∑

s

Wsp(t− τ − sT )}

(1) = E{W 2k }∑

k

p(t− kT )p(t− τ − kT ).

Se poniamoy(t, τ) = p(t)p(t− τ),

possiamo riscrivere la funzione di autocorrelazione come

RX(t, τ) =ζ

T

∑

k

y(t− kT, τ),

da cui risulta che, per un generico impulso interpolatore p(t), la funzione diautocorrelazione RX(t, τ) e’ periodica nella variabile t, con periodo T .

Nel caso particolare dell’interpolatore cardinale, con

p(t) = sinc(t

T

)

,

verifichiamo che il processo X(t) e’ stazionario nell’autocorrelazione (es-sendo gaussiano e stazionario nell’autocorrelazione, il processo risultera sta-zionario in senso stretto).

Infatti, detta Y (f) = Y (f, τ) la trasformata di Fourier di

y(t) = sinc(t

T

)

sinc(t− τT

)

,

Y (f) = T 2rect(fT )⊗ (rect(fT )e−j2πfτ ).

La trasformata Y (f) risulta nulla, nella variabile f, per valori della frequenzaesterni all’intervallo −1/T < f < −1/T , e, applicando la formula di Poisson,otteniamo

∑

k

y(t− kT ) = 1

T

∑

s

Y (s/T )ej2πst/T =1

TY (0).

La funzione di autocorrelazione in questo caso, dunque, non dipende dat, ma solo da τ , e il processo X(t) risulta stazionario.In particolare, calcolando il valore di Y (0),

Y (0) = T 2∫

rect(φT ) rect(−φT ) ej2πφτdφ = Tsinc(τ

T),

1Le variabili sono incorrelate, E{WkWs} 6= 0 se e solo se k = s.

106

si ricava l’espressione dell’autocorrelazione

RX(t, τ) = ζ sinc(τ

T

)

.

107

2.3.11 Esercizio 65

Si consideri il sistema in figura nel quale il processo Gaussiano di ingressoX(t) e caratterizzato dalla funzione di autocorrelazione (B=1/T)

RX(τ) = N0Bsinc(Bτ).

Ricavare la densita di probabilita del primo ordine fY (y; t) del processoaleatorio d’uscita Y (t) nei due casi seguenti :a) H(f) = 1;b) H(f)=rect(f/B).

+ Y(t)H(f)

T

X(t)

Soluzione

RX(τ) = N0Bsinc(Bτ)F⇐⇒ SX(f) = N0rect(

f

B).

a) H(f) = 1.La funzione di trasferimento dell’intero sistema e data da

Ht(f) = 1− e−j2πfT

= e−j2πfT2 (ej2πf

T2 − e−j2πf T2 )

= e−j2πfT2 2jsen

(

2πfT

2

)

.

La densita spettrale di potenza del processo Y (t) e data da

SY (f) = SX(f)|Ht(f)|2

= N04rect

(

f

B

)

sen2(

2πfT

2

)

.

108

σ2y = N0

∫ 12T

− 12T

4sen2(2πfT

2)df = 2N0B.

X(t) Gaussiana, E{x} = 0⇐⇒ Y (t) Gaussiana, E{y} = 0, σ2Y = 2N0B.

La densita di probabilita cercata e dunque data da

fY =1√2πσY

e− Y 2

2σ2Y .

b) H(f) = rect(f/B).

X (t)X(t)OUT

-B/2 B/2

H(f)1

S (f)X X OUT

S (f)

La densita spettrale di potenza del processo Xout in uscita dal filtro e lastessa del processo X(t) in ingresso, cioe

SXout(f) = SX(f),

dunque, come nel punto precedente,

SY (f) = SX |H(f)|2

ottenendo lo stesso risultato per la densita di probabilita di Y (t).

109

2.3.12 Esercizio 66

Premessa: Due processi X(t) e Y (t) si dicono indipendenti se qualunque

insieme di variabili aleatorie estratte da X(t) e indipendente da qualunque

insieme di variabili aleatorie estratte da Y (t).

Sono dati due processi stazionari in senso lato e indipendenti X(t) e Y (t)con funzione di autocorrelazione RX(τ) = RY (τ) = σ2sinc2(Bτ). Costruitoil processo

Z(t) = X(t)cos(2πBt)− Y (t)sin(2πBt)

dimostrare che Z(t) e stazionario in senso lato. Determinare e rappresentarepoi la densita spettrale di potenza SZ(f) di Z(t).

Soluzione

I valori medi di X(t) e di Y (t) sono nulli in quanto le funzioni di auto-correlazione tendono a zero, da cui deriva

E{Z(t)} = E{X(t)}cos(2πBt)− E{Y (t)}sin(2πBt) = 0.

Per la funzione di autocorrelazione:

RZ(t, t− τ) = E{Z(t)Z(t− τ)}= E{[X(t)cos(2πBt)− Y (t)sin(2πBt)] ·· [X(t− τ)cos(2πB(t− τ))− Y (t− τ)sin(2πB(t− τ))]}.

I termini che contengono E{X(t)}, E{Y (t)}, E{X(t − τ)}, E{Y (t − τ)} siannullano. Inoltre E{X(·)Y (·)} = E{X(·)}E{Y (·)} per ipotesi. Quindi

RZ(t, t− τ) = EX,Y {X(t)X(t− τ)cos(2πBt)cos(2πB(t− τ))}++ E{Y (t)Y (t− τ)sin(2πBt)sin(2πB(t− τ))}

(1) = RX(τ)[1

2cos(2πBτ) +

1

2cos(2πB(2t− τ))

]

+

+RY (τ)[1

2cos(2πBτ)− 1

2cos(2πB(2t− τ))

]

(2) = RX(τ)cos(2πBτ).

1Ricordando checos(α)cos(β) = 1

2 [cos(α+ β) + cos(α− β)];sin(α)sin(β) = 1

2 [cos(α− β)− cos(α+ β)].2Poiche RX(τ) = RY (τ)

110

La densita spettrale di potenza del processo Z(t) si ottiene attraversola trasformata di Fourier della funzione di autocorrelazione RZ(τ), dallaproprieta di modulazione

SZ(f) =1

2[SX(f −B) + SX(f +B)],

dove

SX(f) = F(RX(τ)) =σ2

B

(

1− |f |B

)

rect

(

f

2B

)

.

-B

-B

B

B

S (f)

S (f)

f

f

σ2

Β

X

Z

σ 2

Β2

111

2.3.13 Esercizio 67

Sia S(t) un processo casuale stazionario.Il processo

Y (t) = S(t)cos(2πf0t)

con f0 6= 0 e stazionario?

Soluzione

Il processo non e stazionario, infatti

E{Y (t)} = E{S(t)}cos(2πf0t).

Il valor medio di Y (t) dipende dal tempo e quindi il processo non puo esserestazionario se E{S(t)} 6= 0.

Nota: se E{S(t)} = 0 il valor medio di Y (t) si annulla; si possono alloraconsiderare la varianza o la densita di probabilita per giungere alla stessaconclusione:

E{Y (t)} = 0.

E{Y (t)2} = E{S(t)2cos2(2πf0t)}

= E{1

2S(t)2(1 + cos(4πf0t))

}

=1

2E{S(t)2}+ E{S(t)2}cos(4πf0t).

112

2.3.14 Esercizio 68

E possibile che un processo casuale stazionario abbia la funzione di autocor-relazione indicata in figura?

T-T

A

R(t)

t

(si consiglia di esaminare la densita spettrale di potenza).

Soluzione

La densita spettrale di potenza di questo processo dovrebbe essere quellariportata in figura.

-1/2T 1/2T\ /

f

2AT

Poiche pero S(f) non puo essere negativa, non possono esistere processicasuali con funzione di autocorrelazione rettangolare.

113

2.3.15 Esercizio 69

Dati due processi casuali stazionari indipendenti X(t) e Y (t), si consideri ilprocesso Z(t) = X(t) + Y (t).Se ne determini la densita spettrale di potenza SZ(f).

Soluzione

La funzione di autocorrelazione del processo Z(t) e data da

RZ(τ) = E{Z(t)Z(t− τ)}= E{[X(t) + Y (t)][X(t− τ) + Y (t− τ)]}= E{X(t)X(t− τ)}+ E{X(t− τ)Y (t)}+ E{Y (t− τ)X(t)}+

+E{Y (t− τ)X(t)}= RX(τ) +RY (τ) + 2ηXηY .

Si ha quindiSZ(f) = SX(f) + SY (f) + 2ηXηY δ(f).

Ovvero: a frequenza diversa da zero i processi si sommano in potenza. Se iprocessi hanno valor medio diverso da zero, i valori medi, invece, si sommanoin tensione: infatti, la potenza della componente continua, cioe’ l’area del-l’impulso nell’origine, che compare nella densita’ spettrale di potenza Sz(f),vale

(ηX + ηY )2 = η2X + η2Y + 2ηXηY .

114

2.3.16 Esercizio 70

Il processo casuale stazionario X(t) abbia densita spettrale di potenza SX(f).Determinare la densita spettrale di potenza del processo

Y (t) = X(t− t0).

Soluzione

Dall’espressione dell’autocorrelazione

RY (t, t− τ) = E{Y (t)Y (t− τ)}= E{X(t− t0)X(t− t0 − τ)}= RX(t− t0, t− t0 − τ)= RX(τ)

si ottieneSY (f) = SX(f).

D’altra parte, basta osservare che le realizzazioni del processo Y (t) sonoidentiche a quelle del processo X(t) traslate di t0 per cui, dalla stazionarietadi X(t), segue che i due processi sono descritti dalle stesse funzioni di densitadi probabilita.

115

2.3.17 Esercizio 71

Si consideri un processo Gaussiano di densita spettrale di potenza N0/2 tra−B e B, e 0 altrove. Il processo viene campionato a frequenza fc = 3B/2.Determinare intervallo fondamentale, potenza e densita spettrale di potenzadella sequenza campionata. I campioni vengono poi sovracampionati di unfattore 2, e convertiti in analogico tramite un convertitore ed un passa basso,la cui cascata e modellata come un interpolatore cardinale di banda 3B/2.Determinare la densita spettrale di potenza del segnale analogico.

Soluzione

L’ intervallo fondamentale e (−3B/4, 3B/4). Poiche il processo e stazio-nario, la potenza del segnale campionato e uguale a quella del segnale noncampionato, cioe:

P = N0B.

L’ autocorrelazione di un segnale casuale campionato e ottenuta dal campi-onamento dell’ autocorrelazione del segnale casuale tempo-continuo.L’ autocorrelazione del segnale tempo-continuo e:

R(τ) = N0Bsinc(2τB).

Dunque i suoi campioni presi a frequenza 3B/2 si ottengono ponendo τ = k2/3B:

R(k) = N0Bsinc

(

4k

3

)

.

Trasformando la sequenza secondo la formula

X(f) =∞∑

−∞

x[n]e−j2πnfT = F [x[n]],

nell’ intervallo fondamentale si ottiene

S(f) =

{3BN0

40 ≤ |f | < B/2

3BN0

2B/2 ≤ |f | < 3B/4.

E comunque piu semplice ed intuitivo ottenere lo stesso risultato sommandodirettamente le trasformate S(f) di R(τ) replicate a passo 3B/2 e moltipli-cate per 3B/2 secondo la formula (5.4.7) del libro di testo. Resta inteso che,quando si dovesse calcolare la potenza come integrale della densita spettraledi potenza, bisogna ricordarsi di dividere per l’ intervallo fondamentale

Pz = Rz(0) =2

3B

∫ 3B/4

−3B/4Sz(f)df = N0B.

116

Ovviamente, nulla cambia se si usano con attenzione le frequenze norma-lizzate. Infatti, trasformando ancora la sequenza secondo la formula (5.2.5)del libro di testo, nell’ intervallo fondamentale (−0.5, 0.5) delle frequenzenormalizzate F (3B/4 7→ 1/2, B/2 7→ 1/3), si ottiene

S(f) =

{3BN0

40 ≤ |f | < 1/3

3BN0

21/3 ≤ |f | < 1/2.

Naturalmente per la potenza bisogna integrare come di seguito riportato

Pz = Rz(0) =∫ 1/2

−1/2Sz(F )dF = N0B.

Il sovracampionamento raddoppia il numero di campioni dell’ autocorre-lazione tramite interpolazione cardinale. Nel dominio delle frequenze, questocorrisponde a cancellare le repliche dispari e raddoppiare le ampiezze dellatrasformata, cioe della densita spettrale di potenza. Detta S ′(f) la den-sita spettrale di potenza del segnale sovracampionato, nel nuovo intervallofondamentale (−3B/2, 3B/2) si ha:

S′(f) =

{3BN0

20 ≤ |f | < B/2

3BN0 B/2 ≤ |f | < 3B/4.

Si osservi che, poiche raddoppia l’ intervallo fondamentale, la potenza delsegnale sovracampionato e uguale a quella del segnale non sovracampionato.Il passa basso successivo, cascata del convertitore e del filtro di ricostruzione,puo essere visto come un convertitore ideale che trasforma la sequenza nume-rica in un segnale tempo-continuo costituito da δ di Dirac, seguito da un passabasso ideale. All’ uscita del convertitore ideale il segnale tempo-continuo hala forma

x′(t) =∞∑

i=−∞

x′[k]δ(t− iTc + t0),

ove Tc = 1/3B, t0 e una variabile aleatoria uniformemente distribuita in(−Tc/2, Tc/2), che tiene conto di una inevitabile incertezza presente sull’istante iniziale della sequenza, e x′(k) sono i campioni del segnale sovracam-pionato. L’ autocorrelazione del segnale x′(t) si ottiene mediando su t0 esulle x′[k]. Il risultato e

R′(τ) =1

Tc

∞∑

i=−∞

R′(i)δ(τ − iTc),

ove R′(i) sono i campioni dell’ autocorrelazione del segnale sovracampionato.Trasformando si ottiene

S ′(f) = 3BS ′(f).

117

La risposta all’impulso dell’interpolatore cardinale e

h(t) = sinc(3Bt).

La risposta in frequenza e

H(f) =1

3Brect

(

f

3B

)

,

|H(f)|2 = 1

9B2rect

(

f

3B

)

.

La densita spettrale di potenza del segnale all’ uscita del passa-basso epertanto

S ′′(f) = S ′(f)|H(f)|2 =

N0

20 ≤ |f | < B/2

N0 B/2 ≤ |f | < 3B/40 altrove.

La situzione e illustrata in figura. Si osservi che lo stesso risultato puo es-sere ottenuto in maniera piu semplice, anche se formalmente meno corretta,ignorando tutti i fattori di scala dovuti al campionamento, al sovracampiona-mento, e alla successiva conversione digitale-analogico. E infatti sufficientesommare le repliche della densita spettrale di potenza del segnale tempo-continuo, cancellare le repliche dispari, e poi modellare la conversione comeun passa-basso ideale avente guadagno in continua unitario.

S(f)

f

N /20

B-B

118

S(f)

3BN /40

B-B B/2 3B/2-3B/2 f-3B 3B-B/2

S(f)

3BN /40

3BN /20

3BN /40

3BN /20

f-3B/2 B 3B3B/2B/2-3B -B -B/2

3B/4 -3B/4

S(F)

F-1/2 1/2


S’(f)

f-3B 3B-3B/4 3B/4

3BN /2

3BN

0

0

-3B/2 3B/2

-3B/4 3B/4

N /2

N0

0

f

S’’(f)

119

2.3.18 Esercizio 72

Si consideri una sequenza di variabili aleatorie {ak} ognuna delle quali e’ di-stribuita uniformemente nell’ intervallo (−0.5, 0.5). L’ indice di correlazionetra ak e ak+i e’ 0.5 per i = 1, mentre e’ nullo per i 6= 1. Determinare lapotenza della sequenza e la densita’ spettrale di potenza.Si consideri ora la sequenza {bk = ak + m}, in cui le ak sono descritte alpunto precedente ed m e’ una variabile aleatoria uniformemente distribuitain (0, 1) ed indipendente dalla sequenza {ak}. La sequenza cosı ottenuta e’ergodica? Si determini la densita’ spettrale di potenza della sequenza {bk}.

Soluzione

La potenza della sequenza e’ semplicemente

Pa =∫ 0.5

−0.5x2dx =

1

12.

L’ autocorrelazione della sequenza ha due valori non nulli. Quello in 0 e’

Ra(0) =1

12,

quello in 1 si ricava imponendo

ρ =Ra(1)

σ1σ2= 0.5.

Si ha

σ21 = σ22 =1

12,

da cui si ottiene

Ra(1) =1

24.

La densita’ spettrale di potenza e’ pertanto

Sa(f) =1

12+

1

12cos(2πf).

Il valor medio temporale della sequenza {bk} e’ m: poiche il valor medio tem-porale m dipende da realizzazione a realizzazione, essendo m una variabilecasuale, il processo non e ergodico.Ogni realizzazione della sequenza {bk} si ottiene sommando alla realizzazione

120

della sequenza {ak} un valore costante m. Il processo discreto parametricom ha potenza

E{m2} =∫ 1

0x2dx =

1

3.

Poiche’ m e’ indipendente da {ak}, la densita’ spettrale di potenza di {bk}si ottiene dalla somma delle due densita’ spettrali di potenza (entrambeperiodiche):

Sb(f) =∞∑

j=−∞

1

3δ(f − j) + Sa(f).

121

2.3.19 Esercizio 73

Si consideri il processo X(t) = Ag(t− t0) +W (t), ove W (t) e’ rumore Gaus-siano bianco con densita’ spettrale di potenzaN0/2, edA e g(t) sono assegnatie rappresentano un segnale utile. Il processo e’ filtrato attraverso un filtrola cui risposta all’ impulso e’ g(−t), e poi e’ campionato all’ istante t = t0.Si determini il rapporto segnale-rumore relativo al detto campione. Si deter-mini di nuovo il rapporto segnale rumore quando A e’ variabile aleatoria avalor medio nullo e varianza σ2.

Soluzione.Campionando la convoluzione, per la parte utile del segnale si ottiene (vedifigura)

u(t0) =∫ ∞

−∞Ag2(τ − t0)dτ = AEg,

ove Eg e’ l’ energia di g(t), pertanto la potenza della parte utile e’

Pu = A2E2g .

La potenza del rumore all’ uscita del filtro e, dunque, al campionatore e’

Pn =1

2N0Eg.

Il rapporto segnale rumore e’ dunque

SNR =2A2Eg

N0.

Quando A e’ variabile aleatoria, la potenza del segnale utile e’

Pu = σ2E2g ,

mentre la potenza del rumore e’ invariata. Pertanto

SNR =2σ2Eg

N0.

122

t0

t0

t

h(-t)=g(t)

h(-t+to)=g(t-to)

t

Ag(t- to)

tt0

2

τ τ

Ag (t-to)

0u(t )= Ag ( -t )d

0

2

123


Si consideri un processo Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenzaN0/2 bilatera. Il processo e’ filtrato attraverso un filtro la cui funzione ditrasferimento e’:

G(f) = sinc(fT ).

Detto y(t) il processo all’ uscita del filtro, determinare la banda a 3.9 dB diy(t), l’ autocorrelazione di y(t), la densita’ congiunta di y(t) e y(t+ 2T ).


Si consideri un processo Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenzaN0/2 bilatera. Il processo e’ filtrato attraverso un filtro la cui funzione ditrasferimento e’ G(f) = rect(fT ) ed e’ poi campionato a frequenza fc =

34T.

Determinare l’ intervallo fondamentale e la densita’ spettrale di potenza del-la sequenza campionata, e disegnarla in un intervallo fondamentale. Deter-minare inoltre la densita’ di probabilita’ congiunta dei campioni k-esimo e(k + 1)-esimo.

124


Si consideri la sequenza casuale {ak}, dove le ak sono variabili aleatorie in-dipendenti e identicamente distribuite. La distribuzione e’ Gaussiana a valormedio 1 e varianza 1. La sequenza casuale viene filtrata attraverso un filtroFIR la cui funzione di trasferimento e’

H(z) = 1 + 0.5z−1.

Determinare la densita’ di probabilita’ dei campioni all’ uscita del filtro. De-terminare la densita’ spettrale di potenza della sequenza all’ uscita del filtro.


Si consideri la sequenza casuale {ak}, dove le ak sono variabili aleatorie in-dipendenti ognuna con distribuzione uniforme nell’ intervallo [−2, 2). Lasequenza casuale viene filtrata attraverso un filtro FIR la cui funzione ditrasferimento e’

H(z) = 1 + 0.5z−1.

Disegnare la densita’ di probabilita’ dei campioni all’ uscita del filtro indican-do chiaramente ascissa e ordinata, e determinarne la varianza. Determinarela densita’ spettrale di potenza della sequenza all’ uscita del filtro.

125

2.4 Segnale dati

2.4.1 Esercizio 78

Si consideri il processo

X(t) =∑

i

aig(t− iT + t0),

essendo l’ autocorrelazione Ra[k] dei dati e g(t) note, ed essendo t0 variabilealeatoria uniformemente distribuita in (−T/2, T/2]. Si determini la potenzae la densita’ spettrale di potenza del processo.

Soluzione

Dalla definizione di funzione di autocorrelazione, mediando sulla sequenzacasuale ai e sulla variabile t0, e sfruttando l’ipotesi di stazionarieta’ dellasequenza ai, si ottiene

Rx(τ) =1

T

∑

k

Ra[k] Rg(τ − kT ),

dove Rg(τ) e’ l’autocorrelazione del segnale deterministico g(t).

Infatti

Rx(τ) = E{∑

j

ajg(t− jT − t0)∑

s

asg(t− τ − sT − t0)}

=∑

j

∑

k

E{ajaj−k}Et0{g(t− jT − t0)g(t− τ − jT + kT − t0)}

=∑

k

Ra[k]∑

j

1

T

∫ T2

−T2

g(t− jT − t0)g(t− jT − t0 − τ + kT )dt0

=∑

k

Ra[k]1

T

∫ ∞

−∞g(α)g(α− τ + kT )dα

=1

T

∑

k

Ra[k] Rg(τ − kT ).

La densita’ spettrale di potenza si calcola come Sx(f) = F [Rx(τ)]

Sx(f) =1

T

∑

k

Ra[k]F [Rg(τ−kT )] =1

T

∑

k

Ra[k]F [Rg(τ)]e−j2πfkT =

1

TSa(f) Sg(f),

con Sa(f) densita’ spettrale di potenza di {ai}, e Sg(f) = |G(f)|2 densita’spettrale di energia di g(t).

126

La potenza di x(t) vale

E[x2(t)] =∫

Sx(f) df = Rx(0) =1

T

∑

k

Ra[k] Rg(−kT ).

127

2.4.2 Esercizio 79


X(t) =+∞∑

i=−∞

aisinc(t− iT + t0

τ

)

,

ove ai sono variabili aleatorie i.i.d., ognuna delle quali assume con egualeprobabilita i valori −A, 0, A, e t0 e una variabile aleatoria uniformementedistribuita nell’intervallo (−T/2, T/2).Determinare lo spettro di densita di potenza di X(t) e la potenza.

Soluzione

L’autocorrelazione diX(t) si trova mediando sui dati ai e su t0. Si ottiene:

RX(τ) =1

TE{a2i }Rg(τ),

ove Rg(τ) e l’autocorrelazione dell’impulso elementare g(t) = sinc(t/τ).Lo spettro di densita di potenza si ottiene trasformando la precedente espres-sione:

SX(f) =1

TE{a2i }|G(f)|2,

ove G(f) e la trasformata dell’impulso elementare, cioe:

G(f) = F[

sinc(t

τ

)]

= τrect(fτ).

Poiche E{a2i } = 2A2

3, si ottiene

SX(f) =2A2τ 2

3Trect(fτ).

La potenza si ottiene integrando la precedente espressione:

PX =2A2τ

3T.

128

2.4.3 Esercizio 80


x(t) =∞∑

i=−∞

aisinc(t− iT − t0

T

)

,

ove t0 e’ variabile aleatoria uniformemente distribuita in (−T/2, T/2], ed{ai} e’ una sequenza di variabili aleatorie Gaussiane, indipendenti ed identi-camente distribuite, a valor medio nullo e varianza σ2a. Determinare il valormedio, la potenza e la densita’ spettrale di potenza di x(t).Si consideri poi il segnale

y(t) = x(t) + w(t),

ove w(t) e’ rumore Gaussiano bianco con densita’ spettrale di potenza bila-tera N0/2. Il segnale y(t) viene filtrato attraverso un passa-basso ideale dibanda 1/2T , e campionato agli istanti kT + t0. Detti zk i campioni all’ uscitadel campionatore, si determini la densita’ di probabilita’ congiunta di zk ezk+1, ed il rapporto tra la potenza del segnale e quella del rumore presentinella sequenza {zk}.

Soluzione

Mediando su t0 e sulle ai si ottiene l’ autocorrelazione del segnale x(t):

Rx(τ) =σ2aTRg(τ),

ove Rg(τ) e’ l’ autocorrelazione dell’ impulso elementare g(t) = sinc(t/T ).Trasformando si ha la densita’ spettrale di potenza

Sx(f) =σ2aT|G(f)|2,

con

G(f) = F[

sinc(t

T

)]

= Trect(fT ).

Poiche’ non e’ presente la riga spettrale a frequenza zero, il valor medio di x(t)e’ nullo. Integrando Sx(f), oppure prendendo Rx(0), si ottiene la potenza:

Px = σ2a.

129

All’ uscita del campionatore, il segnale ha la forma

zk = uk + nk,

ove uk e’ la componente di segnale, ed nk quella di rumore. Il segnale x(t)passa inalterato dal passa basso, e viene poi letto agli istanti kT + t0. In taliistanti, si ha:

uk = ak.

Pertanto la potenza della componente di segnale e’

Pu = σ2a.

Il rumore all’ uscita del passa basso ha densita’ spettrale di potenza

Sn(f) =N02rect(fT ).

Poiche’ il processo e’ stazionario, la potenza del segnale campionato e’ ugualea quella del segnale tempo continuo. Integrando la precedente densita’ spet-trale di potenza si ottiene

Pn =N02T

.

Pertanto il rapporto segnale rumore e’

SNR =PuPn

=2Tσ2aN0

.

Poiche sia il segnale che il rumore sono Gaussiani, bianchi, a media nulla, etra loro indipendenti, la loro somma zk e’ ancora Gaussiana bianca a medianulla, con varianza pari a Pu + Pn.La densita di probabilita congiunta di zk e zk+1 e una Gaussiana bidimen-sionale con vettore dei valori medi nulli a matrice di covarianza diagonale.La varianza su ognuna delle dimensioni vale Pn + Pu.

130

2.4.4 Esercizio 81


x(t) =∞∑

i=−∞

aiδ(t− iT − t0),

dove t0 e una variabile aleatoria uniformemente distribuita in (−T/2, T/2],ed {ai} e una sequenza di variabili aleatorie che assumono i valori 0, A conprobabilita P (0) = 1/4, P (A) = 3/4. Inoltre le ai sono correlate con coeffi-ciente di correlazione ρi,j = 0.5 per j = i+ 1, e ρi,j = 0 per j > i+ 1.Determinare la densita spettrale di potenza di x(t).

Soluzione

Mediando su t0 si ottiene l’autocorrelazione di x(t) nella forma

Rx(τ) =1

T

∞∑

j=−∞

E{aiai+j}δ(τ + jT ).

Il valor medio di ciascuna delle variabili aleatorie ai e 3A/4, il valore quadrati-co medio e 3A2/4 e la varianza di ognuna risulta pari a 3A2/16.Osservando che ρi,j = ρj,i, per i valori attesi si ha

E{aiai} =3A2

4.

E{aiai+1} = E{aiai−1} =21A2

32,

E{aiai+j} = E{aiai−j} =9A2

16, j 6= 0, 1.

Inserendo questi risultati nell’autocorrelazione si ottiene

Rx(τ) =9A2

16T

∞∑

j=−∞

δ(τ + jT ) +3A2

16Tδ(τ) +

3A2

32T(δ(τ − T ) + δ(τ + T )).

Trasformando si ha

Sx(f) =9A2

16T 2

∞∑

j=−∞

δ(

f − j

T

)

+3A2

16T+

3A2

16Tcos

(

2πf

T

)

.

131


Si consideri il segnale dati

x(t) =∞∑

i=−∞

(ai + ai−1)sinc(t− iT + t0

τ0),

ove ai sono variabili aleatorie i.i.d., ognuna delle quali assume con egualeprobabilita’ i valori −A, A, e t0 e’ una variabile aleatoria uniformementedistribuita nell’ intervallo (−T/2, T/2]. Determinare lo spettro di densita’ dipotenza di x(t) e la potenza.

132

Appendice A

Proprieta della Trasformata edella Serie di Fourier

A.1 Proprieta della Trasformata di Fourier

x(t) =∫ ∞

−∞X(f)ej2πftdf X(f) =

∫ ∞

−∞x(t)e−j2πftdt

x[n] = x(nT ) = T∫

1/TX(f)ej2πnfTdf X(f) =

∞∑

n=−∞

x[n]e−j2πfnT

• Dualita (segnali a tempo continuo)

x(t)←→ X(f)⇒ X(t)←→ x(−f)

• Linearita

a1x1(t) + a2x2(t)←→ a1X1(f) + a2X2(f)

a1x1[n] + a2x2[n]←→ a1X1(f) + a2X2(f)

• Riflessione dell’asse dei tempi

x(−t)←→ X(−f)

x[−n]←→ X(−f)

• Coniugazione

x∗(t)←→ X∗(−f) x∗(−t)←→ X∗(f)

x∗[n]←→ X∗(−f) x∗[−n]←→ X

∗(f)

133

• Cambiamento di scala

x(at)←→ 1

|a|X(

f

a

)

xZP [n]←→ X(f)

xD[n] = x[nM ]←→ 1

M

M−1∑

k=0

X

(

f − k

MT

)

N.B: D=Decimated, ZP=ZeroPadding.

• Traslazione nel dominio del tempo

x(t− t0)←→ X(f)e−j2πft0

x[n− k]←→ X(f)e−j2πfkT

• Traslazione nel dominio della frequenza

x(t)ej2πf0t ←→ X(f − f0)

x[n]ej2πf0nT ←→ X(f − f0)

• Modulazione

2x(t)cos(2πf0t+ ϕ0)←→ X(f − f0)ejϕ0 +X(f + f0)e−jϕ0

2x[n]cos(2πf0nT + ϕ0)←→ X(f − f0)ejϕ0 +X(f + f0)e−jϕ0

• Convoluzione nel dominio del tempo

x(t)⊗ y(t)←→ X(f)Y (f)

x[n]⊗ y[n]←→ X(f)Y (f)

• Convoluzione nel dominio della frequenza

x(t)y(t)←→ X(f)⊗ Y (f)

x[n]y[n]←→ X(f)⊗ Y (f) = T∫

1/TX(ν)Y (f − ν)dν

• Derivazione nel dominio del tempo

dkx(t)

dtk←→ (j2πf)kX(f)

∇kx[n]←→ (1− e−j2πfT )kX(f)

134

• Derivazione nel dominio della frequenza

tkx(t)←→(j

2π

)k dkX(f)

dfk

nkx[n]←→(

j

2πT

)k dkX(f)

dfk

• Integrazione e somma∫ t

−∞x(τ)dτ ←→ X(f)

j2πf+

1

2X(0)δ(f)

n∑

k=−∞

x[k]←→ X(f)

1− e−j2πfT +1

2X(0)δ(f)

• Periodicizzazione nel tempo (campionamento in frequenza)

∞∑

n=−∞

x(t− nT0)←→1

T0

∞∑

k=−∞

X

(

k

T0

)

δ

(

f − k

T0

)

∞∑

m=−∞

x[n−mN0]←→1

N0

∞∑

k−∞

X

(

k

N0T

)

δ

(

f − k

N0T

)

• Campionamento nel tempo (periodicizzazione in frequenza)

∞∑

n=−∞

x(nT )δ(t− nT )←→ 1

T

∞∑

k=−∞

X

(

f − k

T

)

∞∑

m=−∞

x[mM ]δ[n−mM ]←→ 1

M

M−1∑

k=0

X

(

f − k

MT

)

• Valore nell’origine

X(0) =∫ ∞

−∞x(t)dt x(0) =

∫ ∞

−∞X(f)df

X(0) =∞∑

n=−∞

x[n] x[0] = T∫

1/TX(f)df

• Uguaglianza di Parseval∫ ∞

−∞x(t)y∗(t)dt =

∫ ∞

−∞X(f)Y ∗(f)df

∞∑

n=−∞

x[n]y∗[n] = T∫

1/TX(f)Y

∗(f)df

135

• Formule di Poisson

∞∑

n=−∞

x(t− nT0) =∞∑

k=−∞

1

T0X

(

k

T0

)

ej 2πktT0

∞∑

n=−∞

x(nT )e−j2πnfT =∞∑

k=−∞

1

TX

(

f − k

T

)

∞∑

m=−∞

x[n−mN0] =N0−1∑

k=0

1

N0X

(

k

N0T

)

ej 2πknN0

∞∑

m=−∞

x[mN ]e−j2πmNfT =N−1∑

k=0

1

NX

(

f − k

NT

)

A.2 Proprieta della Serie di Fourier

x(t) =∞∑

n=−∞

z(t− nT0)

x(t) =∞∑

k=−∞

Xkej 2πktT0 Xk =

1

T0

∫

T0

x(t)e−j 2πkt

T0 dt

=1

T0

∫ ∞

−∞z(t)e

−j 2πktT0 dt

x[n] =∞∑

m=−∞

z[n−mN0]

x[n] =N0−1∑

k=0

Xkej 2πknN0 Xk =

1

N0

N0−1∑

n=0

x[n]e−j 2πkn

N0

=1

N0

∞∑

n=−∞

z[n]e− j2πkn

N0

• Dualita (segnali a tempo discreto)

x[n]←→ Xk X[n]←→ 1

N0x−k

• Linearitaa1x1(t) + a2x2(t)←→ a1X1k + a2X2k

a1x1[n] + a2x2[n]←→ a1X1k + a2X2k

136

• Riflessione dell’asse dei tempi

x(−t)←→ X−k

x[−n]←→ X−k

• Coniugazione

x∗(t)←→ X∗−k x∗(−t)←→ X∗

k

x∗[n]←→ X∗

−k x∗[−n]←→ X∗

k

• Traslazione nel dominio del tempo

x(t− t0)←→ Xke−j

2πkt0T0

x[n−m]←→ Xke−j 2πkm

N0

• Traslazione nel dominio della frequenza

x(t)ej 2πmt

T0 ←→ Xk−m

x[n]ej 2πmn

N0 ←→ Xk−m

• Convoluzione nel dominio del tempo

x(t)⊗ y(t) = 1

T0

∫

T0

x(τ)y(t− τ)dτ ←→ XkYk

x[n]⊗ y[n] = 1

N0

N0−1∑

m=0

x[m]y[n−m]←→ XkY k

• Convoluzione nel dominio della frequenza

x(t)y(t)←→ Xk ⊗ Yk =∞∑

m=−∞

XmYk−m

x[n]y[n]←→ N0Xk ⊗ Y k =N0−1∑

m=0

XmY k−m

• Derivazione nel dominio del tempo

dmx(t)

dtm←→

(

j2πk

T0

)m

Xk

∇mx[n]←→(

j2πk

N0

)m

Xk

137

• Valori nell’origine

x(0) =∞∑

k=−∞

Xk X0 =1

T0

∫

T0

x(t)dt =1

T0

∫ ∞

−∞z(t)dt

x[0] =N0−1∑

k=0

Xk X0 =1

N0

N0−1∑

n=0

x[n] =1

N0

∞∑

n=−∞

z[n]

• Uguaglianza di Parseval

1

T0

∫

T0

x(t)y∗(t)dt =∞∑

k=−∞

XkY∗k

1

N0

N0−1∑

n=0

x[n]y∗[n] =N0−1∑

k=0

XkY∗

k

138

Appendice B

Trasformate di Fourier

B.1 Segnali a tempo continuo

• Impulso esponenziale unilatero

e−αtu(t);α > 0←→ 1

α + j2πf

tn−1

(n− 1)!e−αtu(t);α > 0←→ 1

(α+ j2πf)n

• Impulso elementare bilatero

e−α|t| ←→ 2α

α2 + (2πf)2

• Impulso rettangolare

Arect(t

T

)

=

A se |t| < 12T

0 se |t| > 12T

A/2 se |t| = 12T←→ ATsinc(fT )

• Impulso triangolare

AΛ(t

T

)

=

{

A[

1− |t|T

]

se |t| < T

0 se |t| ≥ T←→ ATsinc2(fT )

• Impulso bifase

Arect(t

2T

)

sign(t)←→ −2jATsinc(fT )sin(πfT )

139

• Impulso sinc

Asinc(2Bt)←→ A

2Brect

(

f

2B

)

• Impulso RF

Arect(t

T

)

cos(2πfct)←→1

2ATsinc[(f − fc)T ] +

1

2ATsinc[(f + fc)T ]

• Impulso cosinusoidale

Arect(t

T

)

cos(

πt

T

)

←→ 1

2ATsinc

(

fT − 1

2

)

+1

2ATsinc

(

fT +1

2

)

Arect(t

T

)

cos(

πt

T

)

←→ 2AT

π

cos(πfT )

1− (2fT )2

• Impulso coseno rialzato o finestra di Hanning

1

2A[

1 + cos(

2πt

T

)]

rect(t

T

)

←→ AT

2

sinc(fT )

1− (fT )2

1

2A[

1 + cos(

2πt

T

)]

←→ 1

2ATsinc(fT ) +

+1

4ATsinc(fT − 1) +

+1

4ATsinc(fT + 1)

• Finestra di Hamming

A[

0.54 + 0.46cos(

2πt

T

)]

rect(t

T

)

←→ 0.54ATsinc(fT ) +

+ 0.23ATsinc(fT − 1) +

+ 0.23ATsinc(fT + 1)

• Impulso idealeδ(t)←→ 1

• Segnale costanteA←→ Aδ(f)

140

• Gradino unitario

u(t) =

1 se t > 00 se t < 0

1/2 se t = 0←→ 1

2δ(f) +

1

j2πf

• Funzione segno

sign(t) =

1 se t > 0−1 se t < 00 se t = 0

←→ 2

j2πf

sign(t)←→ 1

jπf

• Segnale Gaussiano

e−t22σ2 ←→

√2πσe−2σ

2π2f2

• Treno campionatore ideale di periodo unitario

∞∑

k=−∞

δ(t− k)←→∞∑

m=−∞

δ(f −m)

• Treno campionatore ideale di periodo T

∞∑

k=−∞

δ(t− kT )←→ 1

T

∞∑

m=−∞

δ(

f − m

T

)

• FasoreAej2πf0t ←→ Aδ(f − f0)

• Segnale sinusoidale

Acos(2πfct)←→1

2Aδ(f − fc) +

1

2Aδ(f + fc)

B.2 Sequenze

• Sequenza esponenziale unilatera

anTu[n]←→ 1

1− ae−j2πfT

141

• Sequenza esponenziale bilatera

a|n|T ←→ 1− a21− 2acos(2πfT ) + a2

• Impulso rettangolare discreto

x[n] = u[n]− u[n−N ]←→ e−j(N−1)fT

[

sen(NπfT )

sen(πfT )

]

• Finestra di Hanning

wHN [n] =1

2

[

1− cos(

2πn

L

)]

RL[n] ←→1

2DL(f) +

−1

4DL

(

f − 1

LT

)

+

−1

4DL

(

f +1

LT

)

doveRN [n] = u[n]− u[n−N ]

DN(f) = F [RN [n]] = e−j(N−1)fT

[

sen(NπfT )

sen(πfT )

]

• Finestra di Hamming

wHM [n] =[

0.54− 0.46cos(

2πn

L

)]

RL[n] ←→ 0.54DL(f) +

−0.23DL

(

f − 1

LT

)

+

−0.23DL

(

f +1

LT

)

• Finestra di Bartlett (triangolare)

B2N [n] =[

1− |n−N |N

]

R2N [n]←→sen2(πNTF )

Nsen2(πfT )e−j2πNfT

• Impulso idealeδ[n]←→ 1

• Gradino unitario

u[n]←→ 1

2T

∞∑

k=−∞

δ

(

f − k

T

)

+1

1− e−j2πfT

142

• Treno campionatore ideale di periodo unitario

∞∑

m=−∞

δ[n−m]←→ 1

T

∞∑

k=−∞

δ

(

f − k

T

)

• Treno campionatore di periodo N

∞∑

m=−∞

δ[n−mN ]←→ 1

NT

∞∑

k=−∞

δ

(

f − k

NT

)

• Fasore

Aej2πf0nT ←→ A

T

∞∑

k=−∞

δ

(

f − f0 −k

T

)

• Sinusoide

2Acos(2πf0nT )←→A

T

∞∑

k=−∞

δ

(

f − f0 −k

T

)

+A

T

∞∑

k=−∞

δ

(

f + f0 −k

T

)

• Sequenza sinc[n]

2Bsinc(nT2B)←→ 1

T

∞∑

k=−∞

rect

(

f − kT

2B

)

• Sequenza sinc2[n]

2Bsinc2(nT2B)←→ 1

T

∞∑

k=−∞

Λ

(

f − kT

2B

)

143

Esercizi Svolti Teoria dei Segnali

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