27 1 LOGARITMO 9 27 1 il logaritmo è una operazione...

IIS BONA – MOSSO – prof . Barberis Paola

Prof.Barberis Paola – agg 2013 1/4

LOGARITMO il logaritmo è una operazione inversa della potenza ( l’altra è la radice ! )

quella che mi fa trovare un esponente sapendo base e risultato:

“quale esponente dato alla base 2 mi fa trovare 8 ?”

Il risultato è 3 e si chiama logaritmo in base 2 di 8 e si scrive: log2 8 = 3

definizione: Si chiama loga b , l’esponente x da dare ad a per ottenere b e si scrive: bx

alog= a>0,a≠1 e b>0

a si chiama BASE, deve essere positiva e diversa da 1 altrimenti l’operazione non ha significato. Nella calcolatrice scientifica ho due basi: Base e=2.7182 corricpondente ai logaritmi neperiani , tasto ln e la base =10 corrispndente ai logaritmi decimali o di Briggs, tasto log

un logaritmo in base qualunque , si calcola cambiando base con le formula: logab =

log(b)

log(a) opp log

ab =

ln(b)

ln(a)

Applicando la definizione, calcola mentalmente i seguenti logaritmi log2 16 x=4 perchè 2 elevato a 4 fa 16 [ verifica: con calcolatrice devi fare log(16) / log(2) ] log10 10000 x=5 perchè 10 elevato a 5 fa 10000 [ verifica con calcolatrice: log(10000) / log(10) ] log3 9 x=2 perchè 3 elevato a 2 fa 9 [ verifica con calcolatrice: log(9) / log(3) ] log5 125 x=3 perchè 5 elevato a 3 fa 125 [ verifica con calcolatrice: log(125) / log(5) ] log10 0,1 x=-1 perchè 10 elevato a -1 fa 1/10 cioè 0,1 [ verifica con calcolatrice: log(0,1) / log(10) ]

log21

32 x=-5 perchè 2 elevato a -5 fa 1/32 [ verifica con calcolatrice: log(1/32)) / log(2) ]

Applicando la definizione, calcola i seguenti logaritmi svolgendo i calcoli 1) 27log9 cerca l’esponente x tale che 279 =

x Riscrivo come potenze di tre: 32 3)3( =x

3233 =

x la base è la stessa quindi confrontando gli esponenti si ha 2x = 3 da cui x=3/2

2) 27

1log9 cerca l’esponente x tale che

27

19 =x da cui: 32 3)3( !

=x 2x = -3 da cui x =-3/2



3) 8

27log

9

4 cerca l’esponente x tale che 8

27

9

4=!

"#

$%&

x

. Riscriviamo: 32

2

3

3

2!"#

$%&

=!!"

#$$%

&!"#

$%&

x

Poiché 1

3

2

2

3!

"#$

%&'

= si ha:32

3

2

3

2!

"#$

%&'

="#$

%&'

x

quindi 2x = -3 da cui x =-3/2

4) 243log9

1 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 53

9

1=!

"#

$%&

x

, quindi 5

2

33

1=!

!"

#$$%

&!"#

$%&

x

Poiché !"#

$%&

='

3

131 si ha :

52

3

1

3

1!

"#$

%&'

="#$

%&'

x

quindi 2x = -5 da cui x =-5/2

5) 24log2 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 242 =x

Riscrivendo come potenze di 2 si ha: 2

1

2222 !=

x quindi 2

5

22 =x da cui x = 5/2

6) 273log3 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 2733 =

x

Riscrivendo come potenze di 3 si ha: ( )21

3333 !=

x quindi 2

31

33+

=x da cui x = 5/2

7) 22log2

1 vuol dire: cerca l’esponente x tale che 222

1=!

"#

$%&

x

quindi 2

1

222 !="x da cui x = -3/2

8) 37 49log vuol dire: cerca l’esponente x tale che ( )3

1

277 =

x quindi 3

2

77 =x da cui x = 2/3

Determina l’argomento del logaritmo, dato il valore del logaritmo e della base.

9) 2

1log 4.0 =x Dalla definizione di logaritmo:

5

2

10

44.0 2

1

===x

10) 2

1log 09.0 !=x Si ha:

3

10

9

100

100

909.0

2

1

2

1

2

1

=!"#

$%&

=!"#

$%&

==

''

x

11) 3log4

3 !=x Si ha: 27

64

3

4

4

333

=!"#

$%&

=!"#

$%&

=

'

x

12) 4log2

=x Si ha: ( ) 422 2

44

===x

13) 3

2log

2=x Si ha: ( ) 33

1

3

2

2

1

3

2

2222 ====!

x

14) 2

1log

3!=x Si ha: ( )

4

4

1

4

12

1

2

1

2

1

3

1

3

1333 ===!!

"

#$$%

&==

''

'x

Determina la base x dei seguenti logaritmi, dato il valore del logaritmo e l’argomento 15) 7128log =

x Si ha: 128

7=x ma 1282

7= quindi x = 2

16) 29

16log !=

x Si ha:

9

162=

!x ma

9

16

3

42

=!"#

$%& e

9

16

4

32

=!"#

$%&

'

quindi x = 3 / 4

17) 5243log !=x

Si ha: 2435=

!x ma 2433

5= quindi x = 3-1= 1/3

18) 233log =x

Si ha: 332=x quindi ( ) 44 34

32

1

2

32

1

2

11

2

1

27333333 ===!!"

#$$%

&=!!

"

#$$%

&==

+

x



PROPRIETA’ DEI LOGARITMI

log A + log B = log(AiB) la somma di logaritmi è il logaritmo del PRODOTTO degli argomenti

log A ! log B = log(A

B) la diff di logaritmi è il logaritmo del QUOZIENTE degli argomenti

n log A = log(A)n un fattore esterno n si porta all’interno come ESPONENTE dell’argomento

1

nlog A = log A

1

n = log An

il fattore 1/n si porta all’interno come RADICE ennesima dell’argomento

Altre due formule che trovano applicazione negli esercizi:

FORMULA DEL CAMBIAMENTO DI BASE loga b =log

Nb

logNa

REGOLA PER RISCRIVERE UN NUMERO COME LOGARITMO N = logaaN

Esempi: Applicando le proprietà dei logaritmi, trasforma in un unico logaritmo ( base sottintesa 10)

log x +1( ) + log(x + 2) = applico I proprietà = log (x +1)i(x + 2)[ ] = log x2+ 3x + 2!" #$

log 2x ! 8( ) ! log(x ! 2) = applico II proprietà = log2x ! 8

x ! 3

"

#$%

&'

log x( ) + log(x + 4) ! log(x + 7) = applico I e II proprietà = logx(x + 4)

x + 7

"

#$%

&'= log

x2+ 4x

x + 7

"

#$

%

&'

log x + 3( ) ! log(x) ! log(x + 6) = applico II proprietà = logx + 3

x(x + 6)

"

#$

%

&' = log

x + 3

x2+ 6x

"

#$%

&'

2 log x ! 4( ) ! 3log(x) = prima porto dentro i fattorie sterni = log x ! 4( )

2 ! log(x)3

= poi applico II proprietà = logx ! 4( )

2

(x)3

"

#$

%

&' = log

x2 ! 8x +16

x3

"#$

%&'

2 log x + 3( ) + log 5 ! 2 log(x !1) = prima porto dentro i fattorie sterni = log x + 3( )2+ log 5 ! log(x !1)3

= poi applico II proprietà = logx + 3( )

2i5

(x !1)3"

#$

%

&' = log

5x2 ! 30x + 45x3 ! 3x2 + 3x !1

"#$

%&'

3log x( ) ! 2 ! log(x +1) = porto dentro il fattore e trasformo il numero 2 in log10

= log x( )3 ! log102 ! log(x +1)

= poi applico II proprietà = logx32

100(x +1)

"#$

%&'= log

x32

100x +100

"#$

%&'



APPROFONDIMENTO : ESERCIZI SVOLTI DI MAGGIOR DIFFICOLTA’ Applicando le proprietà dei logaritmi, trasforma in un unico logaritmo

19) 2 log x + 2y( ) + log(x + y) !1

2log x prima porto all’interno i fattori esterni ( III e IV PR)

= ( ) ( ) 2

12

loglog2log xyxyx !+++ poi applico le prime due proprietà

( ) ( )( ) ( )

x

yxyxxyxyx

++=+!+=

22 2

log:2log

20) !"#

$%&

+'+ cba log2

15log

2

1)log3(log2 prima applico dentro le tonde III e IV PR

2(log a + logb3 ) !1

2(log 5 + log c ) applico nelle parentesi I e II PR

= 2 log(a2b3 ) !1

2log(5 c ) applico nuovamente III e IV PR nei due log

= log(a2b3 )2 ! log( 5 c ) e poi la II PR fra i due log =log(a2b3 )2

log( 5 c )

Calcola il valore delle espressioni, applicando le prorpietà in senso inverso 21) ( )28log2 !

= log2 8 + log2 2 = log2 23( )1

2 + log2 2

1

2 = log2 2

3

2 + log2 2

1

2 =3

2log2 2 +

1

2log2 2 =

3

2+1

2=4

2= 2

22) 327log3 = 12log3 27 3 =

1

2(log3 27 + log 3) =

1

2(log3 27 +

1

2log 3) =

1

2(3+

1

2!1) =

1

2!7

2=7

4

23) 324

22log

! Si ha : log2 2 !2

1

2 ! 4"1

3 = log2 2 !2

1

2 ! 22( )"1

3 = log2 21+1

2"2

3 = log2 2

6+3"4

6 =5

6

24) 3

5

55

525log

! Si ha

15

28

15

53305log

5

55log 3

1

5

12

5

3

1

5

1

2

5 =!+

=="

=!+

25) 5

2

3

1010

1010log !!

"

#$$%

& '

= log1010

1

2 !101

3

102

"

#

$$

%

&

''

5

= log10 10

1

2 !101

3 !10(2"

#$%

&'

5

= log10 10

1

2+1

3(2"

#$%

&'

5

= log10 10

3+2(126

!5= log10 10

(35

6 = (35

6

Un altro modo: !"#

$%&

++='

=!!"

#$$%

& '210

310102

3

10

5

2

3

1010

1log10log10log5

10

1010log5

10

1010log

6

35

6

122352

3

1

2

1510log10log10log5 2

103

1

102

1

10 !=!+

="#$

%&' !+="

"#

$%%&

'++=

!

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