Introdução à AstronomiaSemestre: 2015.1

Sergio Scarano Jr 22/10/2013

Horário de Atendimento do Professor

Professor: Sergio Scarano Jr Sala: 119

Horário de Atendimento***:

Segunda Terça Quarta Quinta Sexta14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 14:00-15:00 A ser

discutido

Homepage: http://www.scaranojr.com.br/

*** Os horário podem ser articulados em caso de demanda dos alunos emacordo com o professor

E-mail: scaranojr.ufs@gmail.com**

*

* Nosso canal de comunicação principal será o SIGAA, mas o material serádisponibilizado na homepage;

** Não serão respondidas dúvidas sobre a matéria por e-mail

Revisão de Matemática eComo Utilizar uma

Calculadora Científica

Sergio Scarano Jr 04/06/2013

ExponencialOperação que envolve uma variável no expoente. Também está

associadas às comuns "leis de potência" encontradas na física.

bx = a

O LogaritmoO logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência.

Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ouquando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza.

log = nb(a) bn = a

No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver simultaneamente regiões de grande contraste.

100.000

10.000

1.000

100

10

1

0

105

104

103

102

101

100

ø

a1=bn1

a2=bn2

a3=bn3

a4=bn4

a5=bn5

a6=bn6

ø

log10(a1) = n1

log10(a2) = n2

log10(a3) = n3

log10(a4) = n4

log10(a5) = n5

log10(a6) =n6

ø

5

4

3

2

1

0

ø

logn = b(a)

Inte

nsid

ade

Pixel

O LogaritmoO logaritmo é a operação que permite obter o expoente de uma potência.

Isso é extremamente útil para operar com números muito grandes ouquando se estuda variações numéricas muito grandes de uma grandeza.

bn = a

No tratamento de imagens, a função logaritmo permite ver simultaneamente regiões de grande contraste.

log = nb(a)

Relações Genéricas para os LogaritmosEscrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações

fundamentais para os logaritmos.

log =c(A·B) log

c(A) + log (B)

c

log =c(A/B) log

c(A) - log (B)

c

log =c(AB) B·log (A)

c

log =c(A)

log (A)b

log (C)b

Definições:

log (A) = log(A)10

log (A) = ln(A)e

Demonstrações das Relações Genéricas dos LogaritmosEscrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações

fundamentais para os logaritmos.

Assim: A=cm , B=cn

Multiplicando as duas expressões: A·B =cm·cn

A·B =cm + n

Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:

logc(A·B) =logc(cm + n) logc(A·B) = m + n

logc(A·B) = logc(A) + logc(B)

Chamando: logc(A) = m, logc(B) = n

logc(A·B) = logc(A) + logc(B)

Demonstrações das Relações Genéricas dos LogaritmosEscrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações

fundamentais para os logaritmos.

Assim: A=cm , B=cn

Multiplicando as duas expressões: A/B =cm/cn

A/B =cm - n

Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:

logc(A/B) =logc(cm - n) logc(A/B) = m - n

logc(A/B) = logc(A) - logc(B)

Chamando: logc(A) = m, logc(B) = n

logc(A/B) = logc(A) - logc(B)

Demonstrações das Relações Genéricas dos LogaritmosEscrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações

fundamentais para os logaritmos.

Assim: A=cm

Elevando os dois lados por B: AB = (cm)B = c (m·B)

Extraindo o logaritmo na base c dos dois lados:

logc(AB) = logc(c(m·B)) logc(AB) = m·B

logc(AB) = B·logc(A)

Chamando: logc(A) = m

logc(AB) = B·logc(A)

Demonstrações das Relações Genéricas dos LogaritmosEscrevendo de forma algébrica, temos as seguintes relações

fundamentais para os logaritmos.

logc(A) =logb(A)logb(C)

Chamando: logc(A) = m . Assim: A=Cm

Extraindo o logaritmo na base b dos dois lados:

logb(A) = logb(Cm) logb(A) =m· logb(C)Substituindo m na expressão: logb(A) =logc(A)·logb(C)

logc(A) =logb(A)logb(C)

Usando a Calculadora para LogaritmosEsse procedimento é possível com calculadoras científicas.

1-) Digite

2-) Digite

3-) Digite

Note que a calculadora só tem opções paralogaritmo decimal e logaritmo na base e. Paraoutras bases é necessário calcular a mudança debase.

log = n10

(1)

Razão e Proporção em Termos IntuitivosSer proporcional significa que qualquer alteração de um objeto em uma

direção tem que ser seguida por uma alteração com o mesmo fatormultiplicativo em todas as outras direções.

Quem está na foto?

Aumentando a foto 50 vezessó na vertical

Aumentando a fot 50 vezes só na horizontal

Quem está na foto?

Quem está na foto?

Aumentando a foto 20 vezes na

horizontal

Aumentando a foto 20 vezes

na vertical

Razão e Proporção em Termos Matemáticos

Chamamos de razão de uma grandeza A para outra grandeza B da mesmaespécie ao número que exprime a medida de A quando se toma B comounidade. Isso se resume no popular “quantas vezes B cabe em A”.

B

A

B B B

ABrazão =

Razão e Proporção em Termos Matemáticos

Chamamos de proporção a igualdade entre duas razões.

b

a

b b

d

d

d

c

ab

razãohoriz =

cd

razãovert =

Sendo a razão horizontal igual a razão vertical:

ab

cd=

Proporções e Regra de Três em Exemplos

Resolva os seguintes exemplos para grandezas diretamente proporcionais:

1-) Ao corrigir as provas de uma turma um professor pode usar 2 minutos porquestão. Se a prova é composta por 12 questões, quantos minutos seránecessário para o professor corrigir a prova de um aluno?

2-) Sabendo que esse professor tem 120 alunos, qual o tempo total necessáriopara o professor corrigir todas as provas?

3-) Para fazer uma correção mais detalhada das questões, o professor poderágastar 5 minutos por questão. Nessa condição, quanto tempo o professorlevará para corrigir todas as provas?

Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações.

Lembre: as frações tem que ser iguais!

Proporções e Regra de Três em Exemplos

Resolva os seguintes exemplos para grandezas inversamenteproporcionais:

1-) Um avião, voando a uma velocidade de 300 km/h faz o percurso entre duascidades em 2h. Se aumentar a velocidade para 400 km/h, qual será o temponecessário para fazer o mesmo percurso?

Dica: Identifique se a grandeza cresce ou decresce com a outra, e depois monte as frações considerando as mesmas grandezas, colocando a maior no numerador e a menor no denominador (ou o inverso) para ambas as frações.

Lembre: as frações tem que ser iguais!

O Princípio da Resolução de Equações

Resolver equações é análogo a encontrar o equilíbrio em uma balança. Tudoo que eu faço de um lado eu posso fazer do outro:

x

x x 5 5x 5

5

Generalizando o Conceito de ÁreaCompreendendo o conceito de Área e Perímetro para um quadrilátero pode-

se generalizar o raciocínio para qualquer polígono.

b

bb

b

h

a

baA

Retângulo:

2bA

Quadrado:

hbA

Trapézio:

hb

Triângulo:

2hbA

Teorema de PitágorasSe a relação vale para um triângulo de lados 3, 4 e 5, ela vale para qualquer

triângulo semelhante (ou seja, de lados proporcionais).

a2 = b2 + c2

a = hipotenusa

b = cateto

c = cateto

E Para uma Círcunferência?Para um polígono o perímetro é dado pela soma dos lados. Uma

circunferência é o limite de um polígono regular com muitos lados.

RD 2

DC

RC 2

......1415,3?

Usando na CalculadoraEsse procedimento é possível com calculadoras científicas.

1-) Digite

2-) Digite

+

Para inserir o valor de :

Área de Um Círculo... no limite:

2RA

R

R

Medidas de ÂngulosA Lua é maior próximo do horizonte?

45 m

= 1

5 an

dare

s

0,5°

0,5°

Não!!! Comparamos a abertura angular dela com coisas próximas do horizonte que sabemos que são grandes. Aí temos impressão que ela é grande.

1. Grau ( º ) – arco que corresponde à fração 1/360 da circunferência.

2. Grado (gr) – arco que corresponde à fração 1/400 da circunferência.

3. Radiano (rad) – ângulo contido pelo arco cujo comprimento é igualao raio da circunferência que o contém.

RO. A

B

Unidades de Medida de Ângulos ou ArcosComo para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir

diferentes referências:

R 1 rad

l rad1 rad

[rad]Rl

360º 400 gr 2π rad

(÷ 2)

180º 200 gr π rad

(÷ 2) (÷ 2)

180º π rad

Como não utilizaremos o grado nas atividades deste curso, a relaçãoque nos importa é a relação simplificada abaixo:

Correspondências Entre as UnidadesComo para o caso de medidas lineares, medidas angulares podem assumir

diferentes referências:

Exemplo 1: Converta 30º para radianos:

180º π rad

30º x

18030

=πx

180 x = 30π

x = 30π180

(÷ 30)

(÷ 30)

x = rad π6

Exemplo de Conversão Entre Ângulos

Ajustando a Calculadora para Radianos, Graus ou GradosEsse procedimento é possível com calculadoras científicas.

1-) Digite até que apareça as opções:

Deg Rad Gra1 2 3

2-) Digite para graus, ou

para radianos, ou

para grados

3-) Digite o valor desejado e depois

Note que no display aparece um D (Graus), R(Radianos) ou G (Grados), conforme a medidaescolhida. A partir disso é possível fazerconversões de ângulos para a unidade do display(passo 2). Basta digitar o valor e escolher aunidade de entrada digitando:

+ e depois

Trabalhando com o Sistema SexagesimalEsse procedimento é possível com calculadoras científicas.

1-) Digite o número de graus e depois

2-) Digite o número de minutos de arco edepois

3-) Digite o número de segundos de arco edepois

4-) Digite e o número será exibido naparte do display destinada às respostas

5-) Para alternar a visualização do valor emformato sexagesimal e formato decimal,basta digitar

Triângulo Retângulo, Proporções e Funções Trigonométricas

Considerando a proporcionalidade entre triângulos retângulos pode-sedefinir grandezas que dependam apenas dos ângulos do mesmo.

cateto adjacente(cpequeno)

cateto oposto(bpequeno)

Multiplicando pelomesmo fator

Multiplicando pelomesmo fator

Multiplicandopelo mesmo

fator

cate

toop

osto

(bgrande)

cateto adjacente(cgrande)

bpequeno

cpequeno

bgrande

cgrande=

cateto opostocateto adjacente=

sen() =cateto oposto

hipotenusa

cos() =cateto adjacente

hipotenusa

sen()cos()tan() =

tan() =

Usando a Calculadora para Funções TrigonométricasEsse procedimento é possível com calculadoras científicas.

1-) Digite ou ou

2-) Digite

3-) Digite

As funções ou

ou calculam os ângulos cujo seno,

cosseno ou tangente do valor inserido nacalculadora e não o inverso dessas funções(cossecante, secante e cotangente) , respectivamente.

+ +

+

Equação de uma Reta

assim a equação da reta fica:

y = m·x + n

x

y

x0 x

y0

y

m

Sabendo que dois pontos determinam uma reta:

y -y

0

x - x0e o local onde a reta intercepta oeixo y é o coeficinte linear:

n = y0 - m·x0

onde a inclinação da reta recebe onome de coeficiente angular:

m =y - y0

x - x0

tg() = m =y - y0

x - x0 y = m·x + n

n

Noções de Uso do Software MáximaSoftware para cálculos numéricos, algébricos e plotagem de gráficos

gratuito, equivalente ao software pago Maple.

http://maxima.sourceforge.net/download.html

Volume V e Superfície S dos Polígonos e do CírculoNo geral deriva-se multiplicando mais uma dimensão à área da base. Para

os polígonos os sólido gerados são prismas e para o círculo o cilíndro.

alturaáreaVolume base

Primas, cubos, paralelepípedos

Cilindro

Altu

ran=

c

cbaV hRV 2

Altu

ran=

h

0

a b

)(2 bcacabS )(2 RhRS

R

R

h

Volume V e Superfície S de Pirâmides e ConesResolvidos rigorosamente por meio de Cálculo Integral.

alturaáreaVolume base 31

h

háreaV base 31 hRV 2

31

facesbase áreasáreaS 2222 RRhRS

Volume V e Superfície S de Uma EsferaObtido de modo análogo ao da área de um círculo.

Volume da Esfera:

334 rV

Área da Esfera:

24 RS

A Memória Especial M+Em diversas calculadoras, mesmo não científicas, é possível adicionar,

subtrair valores e recuperar a memória da tecla M+.

Para limpar valor da memória:

+ +1-) Digite

2-) Digite

Para adicionar um valor (2.3 por ex.) na memória:

+

Para subtrair o valor 0.3 da memória:

+ +

Para adicionar um valor 0.7 por ex.) na memória:+

Para consultar o valor da memória:

+

Usando Valores na MemóriaUma das vantagens de uma boa calculadora é permitir armazenar valores

de cálculos parciais em memórias.

Para limpar valor da memória:

+1-) Digite

2-) Digite e

Para inserir um valor (2.3 por ex.) na memória:

ou ou ....

+ +

Lembre que é memória do último cálculo.

Para acessar o valor na memória:

eou ....+