Elementi di Dinamica Sismica...

Contenuti:

Aspetti generali della dinamica delle strutture e dei terreni

Sistemi ad un grado di libertà

Spettri di risposta

Sistemi anelastici

Sistemi a più gradi di libertà

Sistemi continui

Esercitazioni

Elementi di Dinamica Sismica

Monitoraggio Strutturale: Prof. Felice Carlo Ponzo – Univ. Degli studi della Basilicata

1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreniAzione dinamica: azione variabile con il tempo che induce in una struttura con

massa non trascurabile un moto tale che le forze di inerzia (Fi = massa x

accelerazione) non possono essere trascurate rispetto alle altre forze.

Classificazione delle azioni dinamiche (in relaz. alla forma):

Periodiche:

Non

Periodiche:

1 armonica

più armoniche

impulsivi

di lunga durata

Macchina

rotante

Motori

Scoppio di

una bomba

Terremoto



1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreniClassificazione delle azioni dinamiche

(in relazione alla descrizione):

DETERMINISTICHE:

ALEATORIE:

Noto istante per istante

Il valore dell’azione

Note istante per istante

Le caratteristiche probabi-

listiche dell’azione

ANALISI

ANALISI

spostamenti

deformazioni

sollecitazioni

tensioni

deformazioni

sollecitazioni

tensioni

spostamenti



1. Aspetti generali della dinamica delle strutture e terreni

Proprietà dinamiche delle strutture:

- Meccanismo di accumulo e rilascio dell’energia di deformazione

KK

- Massa

Entità e distribuzione si assumono costanti durante l’eccitazione dinamica

MM

- Meccanismo di dissipazione dell’energia

CC



2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)

Si consideri un oscillatore elementare di massa m, rigidezza k e

coefficiente di smorzamento viscoso c.

Dato un sistema di riferimento inerziale fisso e rappresentata l’eccitazione

sismica come uno spostamento orizzontale del suolo xg(t), il sistema oscillerà

con uno spostamento relativo u(t) rispetto al terreno. Spostamento, velocità ed

accelerazione assoluti del sistema sono espressi dalle relazioni in figura.

x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = spostamento assoluto(t) = spostamento assoluto

x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = velocit(t) = velocitàà assolutaassoluta

x(t) = u(t) + xx(t) = u(t) + xgg(t) = accelerazione assoluta(t) = accelerazione assoluta

.. ....

.... .... ....




Le forze in gioco sono: (i) la forza di richiamo elastico, (ii) la

forza resistente viscosa e (iii) la forza di inerzia.

∑ = xmFi &&

Applicando la seconda legge di Newton, si ottiene l’equazione del

moto del sistema:

xmkuuc &&& =−−



2. Sistemi elastici ad un grado di libertà (1-GDL)Riscrivendo l’accelerazione assoluta come somma dell’accelerazione

relativa più l’accelerazione del terreno, e dividendo tutto per la massa,

l’equazione del moto può essere riscritta nella forma:

osmorzament di critico rapporto 2m

c

[sec] vibrazione di naturale periodo 2

T

[rad/sec] propria pulsazione m

k

=ω

=ξ

=ωπ

=

==ω

g

2 xuu2u &&&&& −−−−====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ξξξξ⋅⋅⋅⋅++++

Il periodo naturale di vibrazione ed il rapporto critico di smorzamento

sono caratteristiche dinamiche intrinseche del sistema (non dipendono

dall’azione).

Il periodo di vibrazione T rappresenta il tempo impiegato dalla

struttura (non smorzata) per compiere un’intera oscillazione.

Il rapporto critico di smorzamento ξ porta in conto le capacità

dissipative in campo elastico del sistema.



gxmukucum &&&&& ⋅−=⋅+⋅+⋅


• Per ξ > 1, la struttura disturbata dal suo stato di quiete (u(0)≠0), ritorna

nella sua configurazione iniziale senza oscillazioni.

• Per ξ < 1, il sistema, disturbato dal suo stato di quiete, oscilla con

ampiezze decrescenti, con pulsazione e periodo pari a:

)1(2

D ξ−⋅ω=ω )1(TT2

D ξ−=

Per le strutture in c.a. e muratura si assumono comunemente rapporti

critici di smorzamento intorno al 5%; per quelle in acciaio intorno al 2%.

Da ciò si ricava che, per le strutture usuali, il termine (1-ξ2) risulta molto

prossimo ad 1, per cui l’influenza dello smorzamento sui parametri

caratteristici della risposta dinamica del sistema risulta trascurabile.




La soluzione dell’equazione del moto, assumendo ω=ωD, può essere

scritta nella forma (integrale di Duhamel):

τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τω

−= τ−ξω− d)t(sene)(x1

)t(u )t(

g&&

derivando si ottiene:

)t(ud)t(cose)(x)t(u)t(

g ⋅ω⋅ξ−τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τ−= τ−ξω−&&&

ed infine:

)t(u2)t(ux2

&&& ⋅ωξ−⋅ω−=




Determinato u(t), e nota la rigidezza k del sistema, è possibile definire,

in ogni istante di tempo, una forza statica equivalente :

)t(ukFs ⋅=

che applicata staticamente alla struttura produce gli stessi effetti

(spostamenti, sollecitazioni, ecc.) calcolati risolvendo l’equazione del

moto. La forza statica equivalente Fs può anche essere calcolata come

prodotto fra la massa del sistema m ed un’accelerazione a(t)

generalmente indicata con il termine di pseudoaccelerazione:

)t(am)t(um)t(ukF2

s ⋅=⋅ω⋅=⋅=

Analogamente si può definire una pseudovelocità v(t) pari a :

)t(u)t(v ⋅ω=




Quando lo smorzamento ξ è nullo, la pseudoaccelerazione coincide con

l’accelerazione assoluta del sistema. Analogamente, quando lo

smorzamento ξ è nullo, la pseudovelocità coincide con la velocità

relativa del sistema:

)t(ud)t(cose)(x)t(u)t(

g ⋅ω⋅ξ−τ⋅∫ τ−ω⋅⋅τ−= τ−ξω−&&&

)t(u2)t(ux2

&&& ⋅ωξ−⋅ω−=

a(t)

≈v(t)




Quando lo smorzamento è abbastanza piccolo (0-20%),

l’approssimazione continua a funzionare bene se si fa riferimento ai

valori massimi della risposta(1), a patto che il periodo non sia troppo

elevato:

Confronto fra accelerazione e pseudoaccelerazione massima

(1) Nell’istante in cui si verifica il massimo spostamento si ha la massima accelerazione e velocità nulla. Nell’istante in cui si ha la massima velocità si ha spostamento circa nullo



Valutazione del fattore di smorzamento

Esistono diverse metodologie per il calcolo dei fattori di smorzamento.

- Metodo del decremento logaritmico

- Metodo dell’ampiezza di banda

Al fine di semplificare la trattazione, si farà riferimento ai metodi che si prestano alla valutazione del fattore di smorzamento associato al modo fondamentale di vibrazione di una struttura.

)(...

tpkyycym =++ ωξ ⋅⋅⋅= mc 2

Smorzamento: metodo del decremento logaritmico

È noto che un sistema dotato di smorzamento, perturbato all’istante di tempo t=0, oscilla seguendo una legge del tipo

tωξeAu(t) ⋅⋅−⋅±=

-1

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3

TD

U1

U2


Si definisce decremento logaritmico, e lo si indica con δ, il logaritmo naturale del rapporto:

Tale grandezza permette di valutare la rapidità con cui si attenua l’ampiezza dell’oscillazione di un sistema in oscillazioni libere e dotato di smorzamento

1

ln+

=n

n

U

Uδ

Ai fini pratici possiamo ipotizzare che

1

1

teAU

⋅⋅−⋅= ωξ

)(

212 DTtt

eAeAU+⋅⋅−⋅⋅− ⋅=⋅= ωξωξ

DD TTttee

U

U ⋅⋅+−⋅⋅− == ωξωξ )]([

2

1 11

DTU

U⋅⋅== ωξδ

2

1ln22 42 πδ

δπδ

ξ⋅+

=⋅

=


È importante notare che fino a valori di ξ prossimi a 0,3 la formulazione approssimata e quella esatta forniscono valori coincidenti

ξπξ

ξπδ ⋅⋅≅

−

⋅⋅= 21

2

2

0

2

4

6

8

10

12

14

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

Valore approssimato Valore esatto

δ

ξ


• Fine lezione

3. Spettri di risposta

Generalmente non è necessario calcolare Fs in ogni istante di tempo,

ma basta conoscere la massima forza agente sul sistema durante il

sisma, essendo quella che indurrà le massime sollecitazioni:

maxmaxmax

s amukF ⋅=⋅=

da cui deriva il concetto di spettro di risposta elastico.

Lo spettro di risposta elastico Se(T,ξ) è un diagramma che

fornisce il valore massimo della risposta di sistemi elastici ad 1-GL in

funzione del loro periodo proprio di vibrazione e del loro rapporto critico

di smorzamento. Generalmente come parametri di risposta si utilizzano

lo spostamento relativo, la pseudo-velocità e la pseudoaccelerazione.

Quindi, per una data eccitazione sismica, gli spettri di risposta elastici

riassumono il comportamento di tutti i sistemi elastici ad 1-GL con

periodo variabile fra 0 e ∞ e rapporto critico di smorzamento fissato.



M=cost.

K0=∞

Ki+1<Ki

Ki

……

……

……K∞=0

M=cost.

M∞=∞

Mi+1>Mi

Mi

……

……

……

M0=0

i

ii

K

M2πT ⋅⋅⋅⋅====

Ki+1<Ki

Ki

…

…

…

…

…

…

K∞=0

K=cost.

K0=∞T=∞

T=0

Figura tratta da:

“Progetto sismico di strutture nuove in c.a.

ai sensi dell’Ordinanza n. 3274”, a cura

di R. Marnetto, L. Massa e M. Vailati www.sipacam.it




Ti

Tj

Tk

sk(t)sj-max

ai-max

si-max

sk-max

aj-max

ak-max

Figura tratta da:

“Progetto sismico di strutture nuove in c.a.

ai sensi dell’Ordinanza n. 3274”, a

cura di R. Marnetto, L. Massa e M. Vailatiwww.sipacam.it




Sd/P

GD

0

0.3

0.6

0.9

1.2

1.5

0 0.5 1 1.5 2

T (sec)0

1

2

3

4

5

0 0.5 1 1.5 2

Sa/P

GA

T (sec)

2%

5%

10%

15%

20%

25%

T2 , ξ

vmax2

T3 , ξT1 , ξ

vmax1

Sd = vmax

Sv = ω Sd

Sa = ω2 Sd

vmax3




Componente E-W della registrazione di Gemona del terremoto del Friuli (1976)

(a) Storia delle

accelerazioni, velocità

e spostamenti del

terreno,

(b) Spettro di risposta

elastico delle pseudo-

accelerazioni

normalizzato rispetto

all’accelerazione di

picco del terreno,

(c) Spettro di risposta


velocità normalizzato

rispetto alla velocità di

picco del terreno,

(d) Spettro di risposta

elastico degli

spostamenti


allo spostamento

massimo del terreno.




Componente E-W della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980)

(a) Storia delle


e spostamenti del

terreno,



accelerazioni



picco del terreno,





picco del terreno,


elastico degli

spostamenti


allo spostamento





Componente vert. della registrazione di Sturno del terremoto Campano-Lucano (1980)

(a) Storia delle


e spostamenti del

terreno,



accelerazioni



picco del terreno,





picco del terreno,


elastico degli

spostamenti


allo spostamento





� per valori del periodo prossimi a zero (strutture molto rigide)

l’accelerazione massima del sistema tende a quella del terreno;

� per piccoli aumenti del periodo si ha una notevole amplificazione

della accelerazione massima. Al 5% di smorzamento, l’amplificazione

massima si attesta intorno a 2.5 nell’intervallo 0.2sec e 0.8 sec circa;

� per valori del periodo superiori a quelli predominanti del sisma

(strutture flessibili) l’accelerazione massima del sistema tende

rapidamente a zero.

Sa/P

GA

T>>T T ≈ 0




Sd/P

GD

� per strutture rigide lo spostamento relativo del sistema risulta

inferiore a quello del terreno, al limite tende a zero per periodi prossimi

a zero;

� per strutture con periodo intermedio (nel caso in esame 1-2.5 sec) lo

spostamento relativo del sistema risulta amplificato rispetto a quello del

terreno;

� per strutture molto flessibili lo spostamento relativo del sistema tende

a quello del terreno.

T>>Tc T ≈ 0




Sd/P

GD

� all’aumentare dello smorzamento la risposta massima del sistema si

riduce. L’entità di tale riduzione varia a seconda del periodo del

sistema (e delle caratteristiche del sisma).

Comunque, l’effetto tende a scomparire per T � 0 e T � ∞.

Sa/P

GA




3. Spettro di risposta

Utilizzando lo spettro di risposta elastico è possibile ricondurre lo

studio di un problema dinamico (determinazione dei massimi effetti

prodotti dal sisma su una struttura) ad un problema statico:

AeDe

2

De

max

s SmSmSkF ⋅=⋅ω⋅=⋅=

Cg

S

W

Sm

W

F AeAe

max

s ==⋅

=



4. SISTEMI ANELASTICI



4. Sistemi anelastici� Sistema elastico non smorzato (c = 0)

� Sistema anelastico non smorzato (c = 0)

Cerniera

plastica

L’energia immessa dal sisma nella struttura (area abc), attraverso il moto del terreno, viene accumulata dal sistema sottoforma di energia elastica di deformazione e di energia cinetica. Durante il moto si verifica un continuo scambio fra le due forme di energia ed il sistema continua ad oscillare, attorno alla posizione originaria, con ampiezza costante.

All’atto dell’inversione del moto (raggiungimento dello spostamento massimo), solo parte dell’energia di deformazione accumulata (area cdef) si trasforma in energia cinetica (area efg), poiché la restante parte (area cdeg) èstata dissipata, sottoforma di calore, dalla cerniera plastica. Le oscillazioni del sistema risultano smorzate ed esso ritorna rapidamente nella sua posizione di quiete.



Sotto certe ipotesi (...), oscillatore

elastico ed oscillatore anelastico,

aventi il medesimo periodo di

vibrazione iniziale, esibiscono lo

stesso spostamento massimo a

seguito del sisma (umax).

Medesime prestazioni (↔ livelli di sicurezza) sotto sisma possono

essere ottenute facendo affidamento (i) su livelli di resistenza elevati

(Fse_max), con oscillazioni in campo elastico della struttura o (ii) sulla

capacità del sistema di subire escursioni in campo plastico dissipando energia (duttilità), ammettendo in tal caso livelli di resistenza molto più

bassi (Fs_y). � Costi inferiori

4. Sistemi anelastici



geqeq xmukucum &&&&& −−−−====++++++++WsWd

Ko

umax

Keq

Keq

ceq

m

s

d

eq

eq

W2

W

km

c

⋅=

⋅ π

La risposta sismica di sistemi anelastici può essere studiata seguendo due

approcci diversi:

2. Utilizzando un modello non lineare per il legame costitutivo del materiale:

1. Considerando un sistema elastico equivalente:

FFs(u)

c

m

gs xm)u(Fucum &&&&& −−−−====++++++++

max

y

equ

Fk =

u

4. Sistemi anelastici



4. Sistemi anelastici - Spettri di risposta non lineari

gs xm

)u(Fu2u &&&&& −−−−====++++⋅⋅⋅⋅ωξωξωξωξ++++

m

k====ωωωω

ωωωω====ξξξξm2

c

Oscillatore semplice elasto-plastico soggetto ad azione sismica

EE’’ facile dimostrare che la risposta dellfacile dimostrare che la risposta dell’’oscillatore elastooscillatore elasto--plastico tende plastico tende

a coincidere con quella di un oscillatore identico ma a comportaa coincidere con quella di un oscillatore identico ma a comportamento mento

indefinitamente elastico, nellindefinitamente elastico, nell’’ipotesi di:ipotesi di:

(i) (i) sistema molto deformabilesistema molto deformabile,,

(ii) (ii) sistema molto rigidosistema molto rigido..



sistemi molto deformabili(sia elastici che elasto-plastici)

0dt

xd

dt

ud

dt

xd

dt

xd

dt

udxu0uxx

2

g

2

2

2

2

2

2

g

2

2

2

gg ≈≈≈≈++++====⇒⇒⇒⇒−−−−≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒−−−−====⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈++++====

max

g2

2max

2

2

De

2

Ae

max

s xT

4mu

T

4mSmSmF ⋅⋅⋅⋅

ππππ⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅

ππππ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

0xxudt

xd

dt

xdxx g2

g

2

2

2

g ≈≈≈≈−−−−====⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈⇒⇒⇒⇒≈≈≈≈

0F xumax

s

max

g

max →→→→→→→→

max

g

max

s

maxxmF 0u &&⋅⋅⋅⋅→→→→→→→→

sistemi molto rigidi(sia elastici che elasto-plastici)




Quanto detto finora, in aggiunta all’evidenza di numerosi studi di

carattere numerico e sperimentale, consente di correlare la risposta

(in termini di spostamento e forza massima) di un sistema elastico con

la risposta di un sistema anelastico avente lo stesso periodo iniziale

To.

Bisogna distinguere tre casi:

(1) Strutture che hanno un periodo iniziale To maggiore del periodo

dominante del sisma (0.1sec < Tav < 0.3sec per terreni rigidi, Tav >

1sec per terreni molto soffici);

(2) Strutture molto rigide, che hanno un periodo proprio iniziale To

molto prossimo a zero;

(3) Strutture che hanno un periodo proprio iniziale To nell’intorno del

periodo dominante del sisma.




(1) To > Tav il massimo spostamento raggiunto dal sistema anelastico risulta mediamente uguale a quello raggiunto dal corrispondente sistema elastico 11.

max

g

max

e

max

a xuu ≈≈≈≈≈≈≈≈

y

De

y

max

e

y

max

a

u

S

u

u

u

u====≅≅≅≅====µµµµ

AeDe

max

e

max

e,s SmSkukF ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

µµµµ⋅⋅⋅⋅

====µµµµ

≅≅≅≅⋅⋅⋅⋅==== Ae

max

e,s

yy,s

SmFukF

µµµµ============ Aey,s

max

a,s

Aa

S

m

F

m

FS

1...e l’accelerazione spettrale pari a quella del sistema elastico divisa per la duttilità. Resta quindi definito un fattore di riduzione della forza R = µ




(2) To ≈ 0 le accelerazioni massime raggiunte dai due sistemi (elastico ed anelastico) risultano all’incirca pari all’accelerazione massima del terreno11......111..

111...conviene progettare il sistema anelastico in modo che rimanga in campo elastico. Il fattore di riduzione della forza risulta quindi R = 1

max

g

max

e,s

max

a,s xmFF &&⋅⋅⋅⋅======== AeAa SS ====

y,s

max

a,s FF <<<< y,s

max

a,s FF ====

max

e

max

a uu ==== max

e

max

a uu ⋅⋅⋅⋅µµµµ====

max

e

max

ay uk

ukuk ⋅⋅⋅⋅====

µµµµ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅




(3) To < Tav sistema elastico e sistema anelastico presentano stessa energia di deformazione in corrispondenza del rispettivo spostamento massimo1...

111...Il fattore di riduzione della forza del sistema anelastico rispetto alla massima del sistema elastico risulta proporzionalealla radice quadrata della duttilità.

(((( )))) (((( ))))ymax

ey,s

max

e,s uuFF2

1−−−−⋅⋅⋅⋅−−−− (((( ))))max

e

max

ay,s uuF −−−−⋅⋅⋅⋅

12

FF

e,s

y,s−−−−µµµµ

====12

SS Ae

Aa−−−−µµµµ

====

y

max

e

y,s

max

e,s

u

u

F

F====

y

max

a

u

u====µµµµ

max

e

max

a u12

u−−−−µµµµ

µµµµ====




SAe

12R −−−−µµµµ====

µµµµ====R

1R→→→→

Forze di progetto per un sistema anelastico � Spettro elastico diviso per un

fattore di riduzione della forza (R) funzione della duttilità della struttura e

dipendente dal periodo di vibrazione iniziale del sistema.

SAa




5. SISTEMI AD PIÙ GRADI DI LIBERTA’



5. Sistemi elastici a più gradi di libertà

Le strutture tipiche dell’ingegneria civile non sono schematizzabili

come semplici oscillatori elementari ad 1-GL. Nel caso, ad esempio, di edifici multipiano, con solai rigidi nel piano, è possibile concentrare

le masse nei piani, assumendo come gradi di libertà dinamici

gli spostamenti orizzontali, secondo due direzioni ortogonali, e la

rotazione attorno all’asse verticale di ciascuna massa di piano.

Il comportamento nello spazio di un edificio di N piani è descritto da 3N gradi di libertà dinamici, che si riducono ad N se si opera nel piano.

Elemento fondamentale della dinamica dei sistemi elastici ad N-GL èla individuazione dei modi di vibrare del sistema, in numero pari al

numero di gradi di libertà del sistema.

In ciascun modo, tutte le masse oscillano con la medesima pulsazione ed in fase, mantenendo immutati i rapporti tra le ampiezze.

La risposta di una struttura elastica ad una qualsiasi forzante esterna o

perturbazione iniziale può comunque essere espressa attraverso una

combinazione lineare di modi di vibrare.



(a) Schematizzazione di un edificio a 5 piani con solai rigidi nel piano (5-GL), (b) modello a masse concentrate, (c) modi

di vibrare del sistema

Modi di vibrare � Analisi modale




• Fine lezione

Equazioni del moto per sistema non smorzato in oscillazioni libere:

Forma della soluzione (definizione di modo di vibrare):

====

nn

11

m000

0...00

00...0

000m

M

====

nn1n

n111

k......k

............

............

k......k

K

====

)t(d

...

...

)t(d

)t(U

n

1

0

0

U)0(U

U)0(U&& ====

====

0KUUM ====++++&&

Le soluzioni dell’equazione del moto diverse da quella banale Φ = 0 sono

tutte e sole quelle che soddisfano la relazione:

tie)t(U

ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ==== (((( )))) 0MK2 ====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ωωωω−−−− [[[[ ]]]]n1

T...... φφφφφφφφ====ΦΦΦΦ

0MK2 ====ωωωω−−−− Equazione di grado “n” in ω



Monitoraggio Strutturale: Prof. Felice Carlo Ponzo – Univ. degli studi della Basilicata

La soluzione del problema agli autovalori fornisce le pulsazioni dei modi

di vibrare del sistema (ωj).

Gli autovettori ad essi associati (Φj) rappresentano le forme modali del

sistema, definite a meno di una costante.

0MK2 ====ωωωω−−−− (((( )))) 1,...n j 0M-K

2T j

2

j

j

jj ========ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ωωωω→→→→ωωωωππππ

====→→→→ωωωω

E’ possibile dimostrare che gli autovettori associati a due pulsazioni

distinte (ωj ≠ ωi) risultano ortogonali rispetto alla matrice delle masse e

delle rigidezze, cioè:

0K

0M

j

T

i

j

T

i

====ΦΦΦΦΦΦΦΦ

====ΦΦΦΦΦΦΦΦ




j ≠ i

j ≠ i

Esempio 1:

struttura intelaiata a tre piani, con impalcati rigidi e pianta quadrata

Modello 2D (3-GL)

Modello 3D (9-GL)Modello 3D_dirX (3-GL)




La soluzione dell’equazione del moto di un sistema ad N-GL può

comunque essere espressa come combinazione lineare dei modi di

vibrare del sistema:

∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========

n

1iii )t(y)t(U

le funzioni del tempo yi(t) rappresentano le incognite del problema e

vengono dette coordinate principali.

Sostituendo l’espressione della soluzione nelle equazioni del moto:

0KUUM ====++++&& [[[[ ]]]] 0yKyMn

1iiiii ====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅

====&&

Premoltiplicando per Φi e sfruttando la proprietà di ortogonalità:

0yKyM ii

T

jii

T

j ====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ++++⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ &&

TT...T




T..T..ponendo quindi:

0ykym j

*

jj

*

j ====⋅⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅⋅ &&

i

T

j

*

j Mm ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ==== i

T

j

*

j Kk ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====

si ottiene:

ovvero:

0yy j

2

jj ====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++&&

essendo il quadrato della pulsazione del j-mo modo di

vibrare del sistema.

*

j

*

j

2

j mk====ωωωω




Introducendo i modi di vibrare si è trasformata l’equazione del moto da

un sistema di equazioni differenziali accoppiate ad un sistema di “n”

equazioni differenziali indipendenti (una per ogni modo), ad un solo

grado di libertà yj(t):

1,...nj 0yy j

2

jj ========⋅⋅⋅⋅ωωωω++++&&0KUUM ====++++&&

Determinate le n coordinate principali yj(t), la risposta totale del

sistema si ottiene sfruttando il principio di sovrapposizione degli effetti

:

∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========

n

1iii )t(y)t(U

Da un punto di vista operativo, ciò corrisponde a vedere la struttura

come un insieme di n sistemi ad 1-GL che concorrono, in misura

diversa, a definire la risposta totale del sistema.




I contributi dei modi di vibrare alla risposta totale del sistema non sono

tutti uguali. Generalmente, il contributo è maggiore per i modi con

periodo di vibrazione alto, diminuendo progressivamente per i modi

con periodo di vibrazione basso.

Generalmente, quindi, non è necessario portare in conto tutti quanti i

modi per determinare, con sufficiente approssimazione, la risposta

totale della struttura.

Al limite, se il primo modo risulta essere preponderante sugli altri, è

possibile approssimare il comportamento di un sistema ad N-GL con

quello di un sistema ad 1-GL, avente periodo pari a quello del primo

modo di vibrare della struttura.




In presenza di sisma:

gxRMKUUCUM &&&&& ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++++++

= storia delle accelerazioni del terreno (accelerogramma)

R = vettore di trascinamento, che fornisce i coseni direttori dei gradi di libertàrispetto alla direzione dell’azione sismica

gx&&

Problema 2D (sisma_dirX) Problema 3D (sisma_XY)

KM

c......c

............

............

c......c

C

nn1n

n111

⋅⋅⋅⋅ββββ++++⋅⋅⋅⋅αααα====

====

C = matrice di smorzamento viscoso),,,(f, 2121 ξξωωβα =




Esprimendo la soluzione dell’equazione del moto come combinazione

dei modi di vibrare del sistema(*):

gxRMKUUCUM &&&&& ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−====++++++++

∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ========

n

1iii )t(y)t(U

x2 g

2&&&&& ⋅−=⋅+⋅⋅⋅+ jjjjjjj yyy πωωξ

è possibile disaccoppiare le equazioni del moto:

Il termine πj viene detto coefficiente di partecipazione modale e misura

l’importanza di ciascun modo alla risposta totale del sistema. Il

coefficiente di partecipazione modale si esprime come:

M

RM

j

T

j

T

j

j ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ

(*) I modi di vibrare sono una caratteristica intrinseca del sistema, non dipendono dall’azione: restano quelli calcolati in oscillazioni libere




La soluzione di ciascuna delle n equazioni del moto:

x2 g

2&&&&& ⋅−=⋅+⋅⋅⋅+ jjjjjjj yyy πωωξ

si ottiene dalla soluzione dell’equazione del moto dell’oscillatore

elementare:

gj

2

jjjjj xuu2u &&&&& −−−−====⋅⋅⋅⋅ωωωω++++⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ξξξξ⋅⋅⋅⋅++++

amplificata del fattore πj:

)t(u)t(y jjj ⋅⋅⋅⋅ππππ====

Il vettore dei gradi di libertà del sistema, al j-mo modo, risulta quindi:

)t(u)t(y)t(U jjjjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====




La soluzione totale è sovrapposizione dei contributi modali:

Z~

)t(u)t(Un

1jjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ====

====

φφφφφφφφ

φφφφφφφφ

====ΦΦΦΦ

n

n

n

1

1

n

1

1

......

............

............

......

~

====

)t(y

...

...

)t(y

)t(Z

n

1

E’ possibile quindi definire “n” sistemi di forze statiche equiv.:

)t(a~

M)t(y~

M)t(y~

K)t(Z~

K)t(UK)t(F jjjj

2

jjjs ⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====spostamento

pseudoaccelerazione

con cui ricavare, tramite

analisi statica, reazioni e

sollecitazioni agenti nella

struttura al generico istante

di tempo t, per ciascun

modo di vibrare.1° modo 2° modo 3° modo 4° modo 5° modo

Distribuzione schematica delle forze statiche equivalenti associate ai diversi modi




Ad esempio, il taglio totale alla base di un edificio multipiano è pari alla

somma delle forze statiche equivalenti relative agli “n” modi:

)t(um~)t(u)M(

)MR()t(FR )t(f)t(V j

2

j

n

1jj

n

1jj

2

j

j

T

j

2

j

T

s

Tn

1i

i

sb ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑====∑∑∑∑ ⋅⋅⋅⋅ωωωω⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ

ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅∑∑∑∑ ========

============forza al piano i-mo

Il termine:

)M(

)RM(m~

j

T

j

2T

j

j ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====

ha le dimensioni di una massa ed è solitamente indicato come massa

efficace della struttura al modo j-mo, poiché può essere interpretato

come la quota parte della massa totale della struttura eccitata dal j-mo

modo di vibrare.

(*)

(*) se si sono normalizzati i modi di vibrare ( )

tot

n

1jj Mm~ ====∑∑∑∑

==== Mm~ tot

nm

1jj ⋅⋅⋅⋅αααα====∑∑∑∑

<<<<

====

tutti gli n modi solo i primi m modi

1<α 8.0min ≈α

1M jTj =⋅⋅ ΦΦ




Se non si è interessati al comportamento nel tempo del sistema, ma

solo alla risposta massima, si può utilizzare lo spettro di risposta.

Ad esempio, il vettore dei massimi spostamenti relativi ed il massimo

taglio alla base, in corrispondenza del j-mo modo, risultano:

)t(u)t(U jjjj ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅ππππ==== ),T(SU jjDejj

max

j ξξξξ⋅⋅⋅⋅ππππ⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====

)t(am~)t(V jjbj ⋅⋅⋅⋅==== ),T(Sm~V jjAej

max

bj ξξξξ⋅⋅⋅⋅====




I massimi modali sono in valore assoluto. Inoltre, essi non sono

contemporanei fra loro. Pertanto, la risposta globale del sistema non

può essere ottenuta semplicemente sommando i massimi modali

dedotti con lo spettro di risposta. Si ricorre a tecniche di combinazione

modale derivanti da analisi probabilistica:

SRSS � E = (Σi Ei2)1/2 se (Ti-Tj)/Ti > 0.1

CQC � E = (ΣiΣj ρij Ei Ej)1/2 se (Ti-Tj)/Ti ≤ 0.1

E è il valore totale della componente di risposta sismicaEi è il valore della medesima componente dovuta al modo i Ej è il valore della medesima componente dovuta al modo jρij = (8ξ2 (1 + βij) βij

3/2) / ((1 - βij2)2 + 4ξ2βij(1 + βij)

2)ξ è il coefficiente di smorzamento viscoso equivalente βij è il rapporto tra le frequenze dei modi i-j (βij = ωi/ωj).




Analisi modale con spettro di risposta di un edificio multipiano




Esempio 1: struttura intelaiata ad N

piani: influenza sui modi di vibrare

della regolarità della struttura in

pianta






della struttura di irregolarità in pianta

conseguenti ad una non coincidenza

fra centro di massa e centro di

rigidezza




1. Concetti di base di dinamica delle strutture

1.4 Sistemi elastici ad N-GL

Esempio:

Analisi di un sistema a 2-GL con spettro di risposta

1. Modello strutturale, matrici di massa e di rigidezza

m, EJt = ∞

m, EJt = ∞EJpEJp

EJpEJp

h

h

v1

v2

gv&&

====

m0

0mM

3

p

h

EJ12k

⋅=

F,v

h = 4m

m = 1 tonsec2/m

K = 900 ton/m

−−−−

−−−−====

k4k2

k2k2K

{{{{ }}}}21

T vvU ==== {{{{ }}}}11RT ====

sec 09.07.682T2 ====ππππ====

sec 24.01.262T1 ====ππππ====⇒⇒⇒⇒

{{{{ }}}}0.619 1T

1 ====ΦΦΦΦ {{{{ }}}}1 0.619T

2 −−−−====ΦΦΦΦ



Esempio:


2. Calcolo autovalori e autovettori

0k4mk6mmk4k2

k2mk2MK 222 ====⋅⋅⋅⋅++++λλλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅−−−−λλλλ⋅⋅⋅⋅====

λλλλ−−−−−−−−

−−−−λλλλ−−−−====⋅⋅⋅⋅λλλλ−−−−

)mk(236.5 ),mk(763.0)mk()53( 21 ⋅⋅⋅⋅====λλλλ⋅⋅⋅⋅====λλλλ⇒⇒⇒⇒⋅⋅⋅⋅±±±±====λλλλ

rad/sec 1.26mk87.01 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅====ωωωω

rad/sec 7.68mk29.22 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅====ωωωω

0vk2v)k763.0k2( 21 ⇒⇒⇒⇒====⋅⋅⋅⋅−−−−⋅⋅⋅⋅−−−−

( ) 0763.042 21 ⇒=⋅−+⋅− vkkvk



Esempio:


3. Normalizzazione autovettori

{ } ⇒⋅=

⋅

⋅=Φ⋅⋅Φ mmMT 383.1

619.0

1

10

01619.0111 {{{{ }}}}526.085.0T

N1 ====ΦΦΦΦ

{ } ⇒⋅=

−⋅

⋅−=Φ⋅⋅Φ mmMT 383.1

1

619.0

10

011619.022 {{{{ }}}}85.0526.0T

N2 −−−−====ΦΦΦΦ

1°modo 2°modo



Esempio:


4. Coefficienti di partecipazione modale

{{{{ }}}} 376.11

1

10

01526.085.0RMT

11 ====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ

{{{{ }}}} 323.01

1

10

0185.0526.0RMT

22 ====

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅−−−−====⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ΦΦΦΦ====ππππ

tot

2

2

2

1 M2 ⇔⇔⇔⇔====ππππ++++ππππ



Esempio:


5. Risposta massima modale

2

11A1

max

1 m/sec 12.6

89.9SU

====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ππππ====&&

2

A11 m/sec 58.8Ssec 24.0T ====⇒⇒⇒⇒====2

A22 m/sec 52.6Ssec 09.0T ====⇒⇒⇒⇒====

2

22A2

max

2 m/sec 79.1

1.1SU

−−−−

====ΦΦΦΦ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ππππ====&&

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

Periodo (sec)

Sa (

m/s

ec2)

Spettro elastico NI

(zona 1_suolo A)

PGA = 0.35g

ξ = 5%



Esempio:


6. Forze statiche equivalenti

ton 12.6

89.9vMF max

1

max

1

====⋅⋅⋅⋅==== ton 79.1

1.1vMF max

2

max

2

−−−−

====⋅⋅⋅⋅====

1°modo 2°modo

9.89

6.12 1.79

1.1

2max

2b

2max

1b

max

b )V()V(V ++++====

ton 03.16

2max

2b

2max

1b

max

b )M()M(M ++++====

tm 03.611



Esempio:


7. Effetti (sollecitazioni, reazioni, ecc.) massimi

{{{{ }}}} ton 01.61 12.6

89.911FRV max

1

Tmax

1b ====

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

{{{{ }}}} ton 69.0 79.1

1.111FRV max

2

Tmax

2b ====

−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

=

SRSS

{{{{ }}}} tm 6.103 12.6

89.948FHM max

1

Tmax

1b ====

⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

{{{{ }}}} tm 64.1 79.1

1.148FHM max

2

Tmax

2b −−−−====

−−−−⋅⋅⋅⋅====⋅⋅⋅⋅====

=

SRSS

5. SISTEMI CONTINUI



Vi sono casi in cui non è possibile individuare masse ed elasticità

concentrate in numero finito (sistemi a n GL) e occorre fare riferimento a

modelli continui.

TRAVE DEFORMABILE A TAGLIO

XX

m(X),m(X), AAss(X),(X), GG

v(x, t)v(x, t)

p(x, t)p(x, t)

Rigidezza tagliante: Ks(x) = G As(x)

Per piccoli spostamenti: γ = dv / dx = v’(x, t) da cui:

T(x) = -G As(x) v’ (x, t)

Ft = m(x) v(x,t) dxFt = m(x) v(x,t) dx

dxdx

T T+

dvdv

p(x, t) dxp(x, t) dx

x

T

∂∂

..

6. Sistemi continui



6. Sistemi continui

Per la scrittura dell’equazione del moto si impone l’equilibrio alla

traslazione verticale:

0),(),()( =+−∂∂

−− dxtxpdxtxvxmdxx

TTT

....

[ ] ),(),(')(),()( txptxvxKx

txvxm s =∂∂

−....

Nel caso di travi a sezione costante: ),(),(''),( txptxvKtxmv s =−....

Nel caso di oscillazioni libere, ponendo:

0),(''),( 2 =− txvcdxtxv s

....

m

Kc ss =

si ottiene quindi:

dove cs ha dimensioni di una velocità.


6. Sistemi continui

TRAVE DEFORMABILE A SFORZO ASSIALE

XX

m(X),m(X), A(X),A(X), EE

u(x, t)u(x, t)

n(x, t)n(x, t)

Ft = m(x) u(x,t) dxFt = m(x) u(x,t) dx

dxdx

N N +

n(x, t) dxn(x, t) dx

x

N

∂∂

..

Rigidezza estensionale: KN(x) = E As(x)

Per piccoli spostamenti: ε = du / dx = u’(x, t) da cui:

N(x) = EAs(x) u’ (x, t)

è pari allo sforzo N che

produce una deformazione

e unitaria



6. Sistemi continui

Per la scrittura dell’equazione del moto si impone l’equilibrio alla

traslazione orizzontale:

0),(),()( =+−∂∂

−− dxtxndxtxuxmdxx

NNN

....

[ ] ),(),(')(),()( txntxuxKx

txuxm N =∂∂

−....

Nel caso di travi a sezione costante: ),(),(''),( txntxuKtxmu N =−....

Nel caso di oscillazioni libere, ponendo:

0),(''),( 2 =− txucdxtxu N

....m

Kc NN =

si ottiene quindi:


6. Sistemi continui

0),(''),( 2 =− txvcdxtxv s

....

0),(''),( 2 =− txucdxtxu N

....

l’equazione del moto è formalmente identica per entrambi le condizioni:

SFORZO ASSIALE TAGLIO

La soluzione si ottiene per separazione delle variabili, ponendo:

v(x,t) = φ(x) y(t)

Da cui:

φ(x) y(t) – c2 φ’’(x) y(t) = 0....

22

)(

)(

)(

)(''ω

φφ

−==ty

ty

x

xc

.... La costante ω deve essere

necessariamente negativa

altrimenti la soluzione non è

accettabile perché divergente.



6. Sistemi continuiLa soluzione dell’equazione nelle incognite x e t viene ricondotta alla

soluzione delle seguenti due equazioni differenziali:

0)()(''2

2

=+ xc

x φω

φ

....

0)()( 2 =+ tyty ω&&

Trattandosi di equazioni differenziali lineari del secondo ordine e a

coefficienti costanti, ponendo g=ω/c, si ottengono le seguenti soluzioni:

φ(x) = A1sin(gx) + A2cos(gx)

y(t) = B1sin(ωt) + B2cos(ωt)

Condizioni al contorno:

y(0) = y0

y(0) = y0

. . )0(;)0(

21 yBy

B ==ω&

Risposta in spostamento (x) Risposta nel tempo (t)



6. Sistemi continui

Mensola deformabile a tagliox

L

Si analizza la risposta al variare di x fornita dall’equazione:


Le costanti Ai si ricavano dalle seguenti condizioni:

φ(0) = spostamento nullo all’incastro

φ’(L) = taglio nullo all’estremo libero (T(L)=-GAsφ’(L)y(t))

Il sistema ammette infinite soluzioni, cioè sono infiniti i valori di Ai che

soddisfano le assegnate condizioni al contorno



6. Sistemi continui

Mensola deformabile a taglioDalla condizione φ(0) = 0 si ottiene A2 = 0

Considerado che:

φ’(L)= g A1 cos(gL) = 0φ’(x) =g A1 cos(gx)

Se si esclude il caso banale di assenza di moto A1 = 0, la precedente

condizione è verificata, qualunque sia il valore di A1, per:

gL = ((2j -1) π/2 gj = ((2j -1) π/2L

Esistono pertanto infinite soluzioni, ottenibili al variare di j, conseguenza

del fatto che il sistema continuo possiede infiniti gradi di libertà, che

assumono la forma


−= xL

jAx jj2)12(sin)( 1

πφ

Con la costante A1j arbitraria



−= xL

jAx jj2)12(sin)( 1

πφ

6. Sistemi continui

Mensola deformabile a taglio

Fornisce le infinite forme modali

o autofunzioni possedute dal

sistema

Ricordando che gj = ωj / cs si ottengono anche i valori delle infinite

pulsazioni ωi e degli infiniti periodo di vibrare Tj:

m

K

Lj

L

cj s

js

j2)12(

2)12(

πω

πω −=→−=

s

j

j

jK

m

j

LTT

)12(

42

−=→=

ωπ



Elementi di Dinamica Sismica...

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