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COME TROVARE IL DOMINIO COME TROVARE IL DOMINIO

DI UNA FUNZIONEDI UNA FUNZIONE

Ebook con spiegazioni, esempi,

numerosi esercizi

con risoluzione commentata

Mariairene Guagnini

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Prima edizione: gennaio 2014

Sito web: www.mathematice.it

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INDICE

Schema generale condizioni di esistenza funzioni di variabile reale pag. 4

Come si trova il dominio di una funzione. Alcune indicazioni pag. 7

Esercizi di base pag 10

Risultati degli esercizi di base pag 11

Svolgimento degli esercizi di base pag 14

Esercizi pag 18

Risultati degli esercizi pag 20

Svolgimento degli esercizi pag 24


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SCHEMA GENERALE

CONDIZIONI DI ESISTENZA

FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE

indice

● funzioni polinomiale. Nessuna condizione

esempi: x3−4 x8 ; y=−4 x 4−√3 x+π ; f x =

3 x−235−1

Esistono per ogni valore reale di x.

● funzioni razionali fratte. Condizione esistenza: denominatore ≠ 0

esempio : y=2 x−32−5 x

. Condizione di esistenza: 2−5 x≠0 x≠25

● radici di indice pari. Condizione esistenza: radicando ≥ 0

esempio : f x =2 x3 . Condizione di esistenza: 2 x3≥0 x≥−32

● radici di indice dispari. Nessuna condizione

esempio : y=52 x3 . Esiste per ogni valore reale di x.

● valore assoluto. Nessuna condizione

esempio : y=∣4−x2∣ . Esiste per ogni valore reale di x.


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● esponenziali a base costante maggiore di zero. Nessuna condizione

esempio : y=2x . Esiste per ogni valore reale di x.

● esponenziali a base variabile. Condizione esistenza: base > 0

esempio : y=x−2x2−3 x . Condizione di esistenza: x−20 x2

● logaritmi a base costante positiva e diversa da 1. Condizione esistenza: argomento > 0

esempio : f x =log2 5 x3 . Condizione di esistenza: 5 x30 x−35

● logaritmi a base variabile. Condizioni di esistenza: argomento > 0 ˄ base > 0 ˄ base ≠ 1.

esempio : y=log x−2 x .

Condizioni di esistenza: {x>0x−2>0x−2≠1

→ {x>0x>2x≠3

→ 2<x<3∨x>3

● seno, coseno. Nessuna condizione

esempi : f (x )=sin(2 x+π) y=cos 3 x . Esistono per ogni valore reale di x.

● tangente (con argomento in radianti).

Condizione di esistenza: argomento≠π2+k π con k∈ℤ (cioè k=0,±1,±2,... )

esempio: tan (2 x+π3) .

Condizione di esistenza: 2 x+π3≠π

2+k π → 2 x≠π

6+k π → x≠ π

12+k π

2k∈ℤ


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● cotangente (con argomento in radianti).

Condizione di esistenza: argomento≠k π con k∈ℤ (cioè k=0,±1,±2,... )

esempio: cot(2 x+π4) .

Condizione di esistenza: 2 x+π4≠k π → 2 x≠−π

4+k π → x≠−π

8+k π

2k∈ℤ

● arcoseno, arcocoseno. Condizioni di esistenza −1≤argomento≤1 cioè {argomento≥−1argomento≤1

esempio: arcsin 3− x

Condizioni di esistenza {3−x≥−13− x≤1

→ {−x≥−4−x≤−2

→ {x≤4x≥2

→ 2≤ x≤4

● arcotangente, arcocotangente. Nessuna condizione.

esempio : y=arctan 3−x . Esiste per ogni valore reale di x.


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COME SI TROVA IL DOMINIO DI UNA FUNZIONE

ALCUNE INDICAZIONI

indice

Il dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) di una funzione f (x ) è l'insieme dei

valori x per cui esiste la funzione.

Generalmente si deve trovare il dominio di una funzione formata a partire da più funzioni base.

Esempi: y=sin x+ln x (somma di due funzioni)

y=ln(sin x) (composizione di due funzioni)

● Casi frequenti

Funzione Dominio della funzione

f (x )±g ( x) Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x)

f (x )⋅g (x ) Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x)

k⋅ f ( x) con k≠0 Dominio f (x )

f ( x)g (x)

Dominio f (x ) ∩ Dominio g ( x) ∩ { x∈ℝ: g (x )≠0 }


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● Funzioni composte.

Occorre analizzare la funzione come negli esempi seguenti.

Esempio 1. y=√ ln x

Lo schema di composizione è x →logaritmo

ln x →radice

√ ln x .

Le condizioni di esistenza sono {x>0 esistenza logaritmoln x≥0 esistenza radice

Esempio 2. y=ln (arcsin x)

Lo schema di composizione è x →arcoseno

arcsin x →logaritmo

ln(arcsin x ) .

Le condizioni di esistenza sono {−1≤ x≤1 esistenza arcosenoarcsin x>0 esistenza logaritmo

● Consigli importanti.

(1) Non modificare la funzione senza aver prima posto tutte le condizioni di esistenza.

Esempio 3: il dominio della funzione f (x )=log(x−2)+log( x+3) è D=(2 ;+∞) .

Se, prima di trovare il dominio, applico la prima proprietà dei logaritmi ottengo

f (x )=log [( x−2)( x+3)] e posso erroneamente pensare che il dominio sia

D=(−∞;−3)∪(2 ;+∞)

(2) Scrivere prima, con cura, tutte le condizioni di esistenza e solo successivamente svolgere i

calcoli relativi a tali condizioni.


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● Esempi

Esempio 5. log 3 x 2−x

La funzione data è la somma di due funzioni: il logaritmo e la radice quadrata.

{3 x>0 esistenza logaritmo2−x≥0 esistenza radice

→ {x>0−x≥−2

→ {x>0x≤2

→ 0<x≤2

NB. Attenzione agli “ = ” .

Esempio 6. f x = 3−xx2−3 x

La funzione data è il rapporto di una radice quadrata e di un polinomio

{3− x≥0 esistenza radicex2−3 x≠0 esistenza frazione

→ { x≥3x≠0∧x≠3

→ x>3

Esempio 7. f x = 3−xx−5

La funzione data è la radice quadrata di una frazione.

{3−xx−5

≥0 esistenza radice

x−5≠0 esistenza frazione→ {3≤x<5

x≠5→ 3≤ x<5

Osservazione sulla definizione di dominio

Nella ricerca del dominio occorre fare attenzione al caso in cui la funzione ha delle limitazioni

nella definizione.

Esempio 8.

E' data la funzione { f (x )=x2−4 x

1≤x<3. Il polinomio esiste sempre, ma ci sono le condizioni

aggiuntive nella definizione della funzione. Quindi il dominio è D=[1;3 ) .


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ESERCIZI DI BASE

indice

Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal

testo.

1) y=3 x2−4 risultato esercizio 1 svolgimento esercizio 1

2) y= x−2− x risultato esercizio 2 svolgimento esercizio 2

3) 2−x

√x+3risultato esercizio 3 svolgimento esercizio 3

4) y=√2−√1−x risultato esercizio 4 svolgimento esercizio 4

5) y=sin 4√ x risultato esercizio 5 svolgimento esercizio 5

6) y=sin x

cos(2 x−π4)

risultato esercizio 6 svolgimento esercizio 6

7) y= tan(x−4) risultato esercizio 7 svolgimento esercizio 7

8) y=∣sin x∣ risultato esercizio 8 svolgimento esercizio 8

9) y= √ x∣x−2∣


10) y=ln (x2−3 x ) risultato esercizio 10 svolgimento esercizio 10

11) y=cot (π x ) risultato esercizio 11 svolgimento esercizio 11

12) arccos( x2−3) risultato esercizio 12 svolgimento esercizio 12


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RISULTATI DEGLI ESERCIZI DI BASE

indice Risultato esercizio 1

La funzione y=3 x2−4 esiste per ogni valore di x∈ℝ . D=ℝ .

svolgimento esercizio 1 esercizi di base

Risultato esercizio 2

La funzione y=√ x−√2−x esiste per 0≤x≤2 . D=[0 ;2] .



La funzione 2−x

x3esiste per x>−3 . D=(−3 ;+∞ ) .



La funzione y=2−1− x esiste per −3≤x≤1 . D=[−3 ;1] .



La funzione y=sin 4 x esiste per x≥0 . D=[0 ;+∞ ) .



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La funzione y=sin x

cos(2 x−π4) esiste per x≠

38π+k π

2, k∈ℤ . ℝ∖{

38π+k π

2, k∈ℤ}



La funzione y=tan x−4 esiste per x≠4+π2+k π , k∈ℤ . ℝ∖{ 4+π

2+k π , k∈ℤ}



La funzione y=∣sin x∣ esiste per ogni valore di x∈ℝ . D=ℝ .



La funzione y= x∣x−2∣

esiste per 0≤x2∨x2 . D=[0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .



La funzione y=ln x2−3 x esiste per x0∨ x3 . D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .



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La funzione y=cot (π x ) esiste per x≠k , k∈ℤ . D=ℝ∖ℤ



La funzione arccos x2−3 esiste per −2≤ x≤−2∨2≤ x≤2 .

D=[−2 ;−√2 ]∪[ √2; 2 ] .



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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI DI BASE

indice

Svolgimento esercizio 1

La funzione y=3 x2−4 è la radice cubica di un polinomio. Il polinomio non ha condizioni di

esistenza; la radice cubica è di indice dispari e quindi non presenta condizioni di esistenza. Il

dominio (campo di esistenza / insieme di definizione) è quindi formato da tutti i numeri reali.

D=ℝ .

esercizi di base


Per la funzione y= x−2− x dobbiamo prendere in esame l'esistenza delle due radici

quadrate:

{x≥02−x≥0

→ {x≥0−x≥−2

→ {x≥0x≤2

→ 0≤x≤2 → D=[0 ;2] .

esercizi di base


Per la funzione 2− x

x3dobbiamo prendere i esame l'esistenza della radice quadrata e il fatto

che il denominatore deve essere diverso da zero:

{x+3≥0√ x+3≠0

→ {x≥−3x+3≠0

→ {x≥−3x≠−3

→ x−3 → D=(−3 ;+∞ ) .

esercizi di base


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Per la funzione y=2−1− x dobbiamo considerare l'esistenza delle due radici quadrate:

{1− x≥02−√1−x≥0

→ {−x≥−1−√1− x≥−2

→ { x≤1√1−x≤2

→ {x≤11− x≤4

→ {x≤1−x≤3

→

{x≤1x≥−3

→ −3≤x≤1 → D=[−3;1] .

esercizi di base


Per la funzione y=sin 4 x l'unica condizione che dobbiamo considerare è quella dell'esistenza

della radice (perché ha indice pari): x≥0 . D=[0 ;+∞ ) .

esercizi di base


Per la funzione y=sin x

cos(2 x−π4) l'unica condizione è quella del denominatore diverso da zero

(seno e coseno esistono perché hanno come argomento un polinomio):

cos (2 x−π4)≠0 → 2 x−π

4≠π

2+k π , k∈ℤ → 2 x≠π

4+π

2+k π , k∈ℤ →

2 x≠3π4+k π , k∈ℤ → x≠

3π8+k π

2, k∈ℤ → ℝ∖{

38π+k π

2, k∈ℤ} .

esercizi di base


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Per la funzione y=tan x−4 dobbiamo prendere in esame l'esistenza della tangente:

x−4≠π2+k π , k∈ℤ → x≠4+π

2+k π , k∈ℤ → ℝ∖{ 4+π

2+k π , k∈ℤ} .

esercizi di base


Data la funzione y=∣sin x∣ , sin x esiste per ogni x e il valore assoluto non richiede

condizioni di esistenza → la funzione in esame esiste per ogni x∈ℝ . D=ℝ .

esercizi di base


Per la funzione y= x∣x−2∣

dobbiamo considerare le condizioni dell'esistenza della radice

quadrata e e del denominatore diverso da zero:

{x≥0∣x−2∣≠0

→ {x≥0x−2≠0

→ {x≥0x≠2

→ 0≤x2∨x2 → D=[0 ;2 )∪( 2 ;+∞ ) .

esercizi di base


Per la funzione y=ln x2−3 x dobbiamo porre la condizione di esistenza de logaritmo:

x2−3 x0 → x0∨ x3 → D=(−∞ ;0 )∪( 3;+∞ ) .

esercizi di base


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Per la funzione y=cot (π x ) dobbiamo porre la condizione di esistenza della cotangente:

π x≠k π , k∈ℤ → x≠k , k∈ℤ → D=ℝ∖ℤ .

esercizi di base


Per la funzione arccos x2−3 dobbiamo porre la condizione di esistenza dell'arcocoseno:

−1≤x2−3≤1 → {x

2−3≥−1

x2−3≤1

→ {x2≥2

x2≤4

→ {x≤−√2∨x≥√2−2≤x≤2

→

−2≤ x≤−2∨2≤x≤2 → D=[−2 ;−2 ]∪[ 2 ;2 ] .

esercizi di base


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ESERCIZI

indice

Svolgere da ciascuno dei seguenti esercizi, controllando i risultati e gli svolgimenti proposti dal

testo.

13) y=arctanx3−x+3

x2risultato esercizio 13 svolgimento esercizio 13

14) y=log0.5 x

log0.5 x−1 risultato esercizio 14 svolgimento esercizio 14

15) y=x+3

2−√ x−1 risultato esercizio 15 svolgimento esercizio 15

16) y=(2− x)(1−√ x) risultato esercizio 16 svolgimento esercizio 16

17) y=log2∣3−x∣ risultato esercizio 17 svolgimento esercizio 17

18) y=ln (e2x−2ex

+1) risultato esercizio 18 svolgimento esercizio 18

19) y=ln (ln ( x)) risultato esercizio 19 svolgimento esercizio 19

20) y=ln 2 x risultato esercizio 20 svolgimento esercizio 20

21) y=log x (2−x ) risultato esercizio 21 svolgimento esercizio 21


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22) y=log x∣2−x∣ risultato esercizio 22 svolgimento esercizio 22

23) y=√ tan x risultato esercizio 23 svolgimento esercizio 23

24) y=√2−4x

4x−2x


25) y=4x−2x

√2−4xrisultato esercizio 25 svolgimento esesercizio 25

26) y= √ ln x2 ln x−5 risultato esercizio 26 svolgimento esercizio 26

27) y=√log 0.5 x

2√ log0.5 x−5 risultato esercizio 27 svolgimento esercizio 27

28) y=arcsin ( log 12

x) risultato esercizio 28 svolgimento esercizio 28

29) y=arcsin x−arccos(1−2 x2) risultato esercizio 29 svolgimento esercizio 29

30) y=ln (√ x+1−(x−1)) risultato esercizio 30 svolgimento esercizio 30

31) y=sin x

sin 2 xrisultato esercizio 31 svolgimento esercizio 31

32) y=x2−sin x

x2−cos x



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RISULTATI DEGLI ESERCIZI

indice


La funzione y=arctanx3−x+3

x2 esiste per x≠0 . D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .

svolgimento esercizio 13 esercizi


La funzione y=log0.5 x

log0.5 x−1esiste per 0<x<0.5∨x>0 . D=(0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .



La funzione y=x+3

2−√ x−1esiste 1≤x<5∨x>5 . D=[1;5 )∪( 5;+∞ ) .



La funzione y=(2− x)(1−√ x) esiste per 0≤x<2 . D=[0 ;2 ) .



La funzione y=log 2∣3−x∣ esiste per x≠3 . D=ℝ∖{ 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .



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La funzione y=ln (e2x−2ex

+1) esiste per x≠0 . D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .



La funzione y=ln (ln ( x)) esiste per x>1 . D=(1 ;+∞ ) .



La funzione y=ln 2 x esiste per x>0 . D=(0 ;+∞ ) .



La funzione y=log x (2−x ) esiste per 0<x<1∨1<x<2 . D=(0 ;1 )∪( 1; 2 ) .



La funzione y=log x∣2−x∣ esiste per 0<x<1∨1<x<2∨ x>2 .

D=(0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .



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La funzione y=√ tan x esiste per 0+k π≤ x<π2+k π , k∈ℤ .



La funzione y=√2−4x

4x−2x esiste per x<0∨0<x≤

12

. D=(−∞ ;0 )∪( 0;12

] .

esercizi


La funzione y=4x−2x

√2−4xesiste per x<

12

. D=(−∞ ;12

) .

esercizi


La funzione y= √ ln x2 ln x−5

esiste per x≥1∧x≠e52 . D=[1;e

52 )∪( e

52 ;+∞ ) .

esercizi


La funzione y=√log 0.5 x

2√ log0.5 x−5esiste per 0<x<0.5

254∨0.5

254 <x≤1 .

D=(0 ;0.5254 )∪( 0.5

254 ;1 ] . esercizi


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La funzione y=arcsin ( log 12

x) esiste per 12≤x≤2 . D=[

12

; 2] .

esercizi


La funzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) esiste per −1≤x≤1 . D=[−1 ;1 ] .

esercizi


La funzione y=ln (√ x+1−(x−1)) esiste per −1≤x<3 . D=[−1 ;3 ) .

esercizi


La funzione y=sin x

sin 2 xesiste per x≠k π

2, k∈ℤ . ℝ∖{ k π

2, k∈ℤ}

esercizi


La funzione y=x2−sin x

x2−cos x

esiste per x≠±α con α≈0.8241 .

esercizi


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SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI

indice


La funzione y=arctanx3−x+3

x2 è composta nel seguente modo:

x →frazione x3

−x+3x2 →

arcotangentearctan

x3−x+3

x2 .

L'arcotangente esiste sempre (se esiste l'argomento), quindi l'unica condizione è relativa

all'esistenza della frazione: denominatore≠0 → x2≠0 → x≠0 →

D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .

esercizi


La funzione y=log0.5 x

log0.5 x−1è costituita dal rapporto di due espressioni, in cui compare lo stesso

logaritmo. Dobbiamo quindi considerare l'esistenza di questo logaritmo e porre il denominatore

della frazione diverso da zero.

{x>0 esistenza logaritmolog0,5 x−1≠0 denominatore≠0 → {x>0

log0.5 x≠1 → {x>0log0.5 x≠ log0.5 0.5 →

{ x>0x≠0.5

→ 0<x<0.5∨x>0 → D=(0 ;0.5 )∪( 0.5 ;+∞ ) .

esercizi


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La funzione y=x+3

2−√ x−1è costituita dal rapporto di due espressioni e nel denominatore

compare una radice quadrata.

{x−1≥0 esistenza radice2−√ x−1≠0 denominatore≠0

→ { x≥1√ x−1≠2

→ { x≥1x−1≠4

→

{x≥1x≠5

→ 1≤x<5∨x>5 → D=[1;5 )∪( 5;+∞ ) .

esercizi


La funzione y=(2− x)(1−√ x) è un'esponenziale con base variabile. La base è un polinomio,

l'esponente contiene una radice quadrata.

{2− x>0 cond. base esponenzialex≥0 esistenza radice

→ {x<2x≥0

→ 0≤x<2 → D=[0 ;2 ) .

esercizi


Lo schema di composizione della funzione y=log 2∣3−x∣ è:

x →polinomio

3−x →valore assoluto

∣3−x∣ →logaritmo

log2∣3−x∣ .

Polinomio e valore assoluto di polinomio non richiedono condizioni, quindi dobbiamo porre solo

la condizione di esistenza del logaritmo:

∣3−x∣>0 → 3− x≠0 → x≠3 → D=ℝ∖{ 3}=(−∞ ;3 )∪( 3 ;+∞ ) .

esercizi


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Data la funzione y=ln (e2x−2ex

+1) , i due esponenziali esistono per ogni x, quindi dobbiamo

porre solo la condizione di esistenza del logaritmo:

e2 x−2 ex

+1>0 → (ex−1)2>0 → ex−1≠0 → ex

≠1 → ex≠e0 → x≠0 →

D=ℝ∖{ 0}=(−∞ ;0 )∪( 0;+∞ ) .

esercizi


Lo schema di composizione della funzione y=ln (ln ( x)) è :

x →logaritmo

ln x →logaritmo

ln(ln x ) .

Dobbiamo porre le condizioni di esistenza dei due logartimi

{x>0 esistenza primo logaritmoln x>0 esistenza secondo logaritmo

→ {x>0ln x>ln 1

→ {x>0x>1

→ x>1 →

D=(1 ;+∞ ) .

esercizi


Lo schema di composizione della funzione y=ln 2 x è:

x →logaritmo

ln x →quadrato

( ln x)2 .

L'unica condizione che dobbiamo porre è quella relativa all'esistenza del logaritmo ( il quadrato

esiste sempre se esiste la sua base): x>0 → D=(0 ;+∞ ) .

esercizi


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La funzione y=log x (2−x ) è un logaritmo, a base variabile, di un polinomio.

{x>0∧ x≠1 cond. base logaritmo2− x>0 cond. argomento logaritmo

→ {x>0∧ x≠1x<2

→ 0<x<1∨1<x<2 →

D=(0 ;1 )∪( 1; 2 ) .

esercizi


La funzione y=log x∣2−x∣ è un logaritmo a base variabile.

{x>0∧ x≠1 cond. base logaritmo∣2− x∣>0 cond. argomento logaritmo

→ {x>0∧ x≠12− x≠0

→ {x>0∧ x≠1x≠2

→

0<x<1∨1<x<2∨ x>2 → D=(0 ;1 )∪( 1; 2 )∪( 2;+∞ ) .

esercizi


Lo schema di composizione della funzione y=√ tan x è:

x →tangente

tan x →radice quadrata

√ tan x .

{x≠π2+k π , k∈ℤ esistenza tangente

tan x≥0 cond. esistenza radice→ {

x≠π2+k π , k∈ℤ

0+k π≤x<π2+k π , k∈ℤ

→

0+k π≤ x<π2+k π , k∈ℤ . D={ x ∣ k π≤ x<π

2+k π , k∈ℤ}

video tan(x)>=0

esercizi


http://www.mathematice.it/filmati/disequazione%20tangente.mov

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La funzione y=√2−4x

4x−2x è il rapporto di due espressioni e il numeratore presenta una radice

quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.

{2−4x≥0 esistenza radice quadrata

4 x−2x

≠0 denominatore diverso da zero→ {4

x≤2

4x≠2x → {2

2 x≤21

22x≠2x → {2 x≤1

2 x≠x→

{x≤12

x≠0→ x<0∨0<x≤

12

→ D=(−∞ ;0 )∪( 0;12

] .

esercizi

Svolgimento esesercizio 25

La funzione y=4x−2x

√2−4xè il rapporto di due espressioni e il denominatore presenta una radice

quadrata. Gli esponenziali presenti esistono per ogni x.

{2−4 x≥0 esistenza radice quadrata

2−4x≠0 condizione denominatore

→ {2−4 x≥0

2−4 x≠0

→ 2−4x>0 → 4x

<2 →

22x<21 → 2 x<1 → x<

12

→ D=(−∞ ;12

) .

esercizi


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La funzione y= √ ln x2 ln x−5

è il rapporto di due espressioni, il denominatore presenta una radice

quadrata e compare due volte ln x .

{x>0 condizione esistenza logaritmoln x≥0 condizione esistenza radice2 ln x−5≠0 condizione denominatore

→ {x>0ln x≥ln 1

ln x≠52

→ {x>0x≥1

ln x≠52

ln e→

{x>0x≥1

ln x≠ln e52

→ {x>0x≥1

x≠e52≈12.18

→ x≥1∧x≠e52 → D=[1;e

52 )∪( e

52 ;+∞ ) .

esercizi


La funzione y=√log 0.5 x

2√ log0.5 x−5è un rapporto e compare due volte √ log0.5 x .

{x>0 condizione esistenza logaritmolog0.5 x≥0 condizione esistenza radice2√ log0.5 x−5≠0 condizione denominatore

→ {x>0log0.5 x≥log0.51

√log0.5 x≠52

→

{x>0x≤1 (base minore di 1)

log0.5 x≠254

→ {x>0x≤1

log0.5 x≠254

log0.5 0.5→ {

x>0x≤1

log0.5 x≠ log0.5 0.5254

→

{x>0x≤1

x≠0.5254≈0,013

→ 0<x<0.5254∨0.5

254 <x≤1 → D=(0 ;0.5

254 )∪( 0.5

254 ;1 ] .

esercizi


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Lo schema di composizione della funzione y=arcsin ( log 12

x) è:

x →logaritmo

log 12

x →arcoseno

arcsin (log 12

x) .

{x>0 esistenza logaritmo−1≤log 1

2

x≤1 condizione arcoseno → {x>0log 1

2

x≥−1

log 12

x≤1→ {

x>0

log 12

x≥−log 12

12

log 12

x≤log 12

12

→

{x>0

log 12

x≥log 12

(12)−1

x≥12

→ {x>0

x≤(12)−1

x≥12

→ {x>0x≤2

x≥12

→12≤x≤2 → D=[

12

; 2] .

esercizi


E' data la funzione y=arcsin x−arccos(1−2 x2) .

{−1≤ x≤1 esistenza arcoseno−1≤1−2 x2

≤1 esistenza arcocoseno → {

−1≤ x≤11−2 x2

≥−11−2 x2

≤1→ {

−1≤x≤1−2 x2

≥−2−2 x2

≤0→

{−1≤x≤1

x2≤1x2≥0

→ {−1≤x≤1−1≤x≤1∀ x∈ℝ

→ −1≤x≤1 → D=[−1 ;1 ] .

esercizi


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E' data la funzione y=ln (√ x+1−(x−1)) .

{x+1≥0 esistenza radice qu.√ x+1−(x−1)>0 esistenza logaritmo

→ { x≥−1√ x+1>x−1 (*)

────────

(*) √ x+1> x−1 → {x−1<0x+1≥0

∨ {x−1≥0x+1>( x−1)2

→ { x<1x≥−1

∨ { x≥1x+1>x2

+1−2 x→

−1≤x<1 ∨ {x≥1x2−3 x<0

→ −1≤x<1 ∨ {x≥10<x<3

→ −1≤x<1 ∨ 1≤x<3 →

−1≤x<3

────────

Riprendiamo il sistema iniziale { x≥−1−1≤x<3

→ −1≤x<3 → D=[−1 ;3 ) .

esercizi


La funzione y=sin x

sin 2 xè il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo

porre è la condizione del denominatore:

sin 2 x≠0 → 2 x≠k π , k∈ℤ → x≠k π2

, k∈ℤ . D=ℝ∖{ x=k π2

, k∈ℤ}

Osservazione. Non è corretto il seguente procedimento:

y=sin x

sin 2 x→ y=

sin x2sin x cos x

→ y=1

cos x→ x≠π

2+k π , k∈ℤ , perché non si può

semplificare prima di porre le condizioni di esistenza.

esercizi


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La funzione y=x2−sin x

x2−cos x

è il rapporto di due espressioni. L'unica condizione che dobbiamo

porre è la condizione del denominatore:

x2−cos x≠0 → cos x≠x2 .

Risolviamo l'equazione associata cos x=x2 con un metodo grafico:

video metodo grafico

{y=cos xy= x2

x=α , α≃0.8241

Quindi la funzione esiste per x≠±α con α≈0.8241 .

esercizi


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