MATEMATICA CORSO AII PROVA IN ITINERE COMPITO PROVA di BUONA PASQUA

1- Stabilire (giustificando la risposta) quale delle seguenti funzionipuò avere un grafico come quello in figura:

(a) xcosx, (b) x2cosx, (c) xsinx, (d) x2sinx

SOLUZIONE: Il grafico in figura è relativo ad una funzioneevidentemente dispari (data la simmetria rispetto all’origine della curva),per cui si possono escludere le funzioni (b) e (c) che non solo non sonodispari, ma sono pari. Inoltre si osserva che il grafico in figura ha unatangente positiva nell’origine, calcolando le derivate prime in 0 dellafunzione in (a) e in (d), si ottiene derivata uguale a 1 per la funzione in(a), mentre per la funzione in (d) la derivata calcolata in 0 è uguale a 0.Possiamo quindi concludere che la funzione a cui si riferisce il grafico èla funzione (a) xcosx.

2- Determina l’espressione esplicita di una funzione f(x) definita inR/{0}, tale che f(x)<0 per x<0 ∪ 1<x<2, f(1)=f(2)=0, f(x)>0 per0<x<1∪x>2.

SOLUZIONE: Possiamo proporre, ad esempio, f(x)=[(x-1)(x-2)]/x

3- Determina per quali valori di t è vera la disequazione seguente:

5t

102-t > 2

SOLUZIONE: Poiché 10 2-t = 10 2 / 10 t, possiamo riscrivere ladisequazione come 5 t 10 t /100 > 2, vale a dire (50) t > 200 , applicandoil logaritmo, in base e, ad ambo i membri, si ottiene t ln(50) > ln(200),dunque t>ln(200)/ ln(50).

4 - Uno studio sulle volpi in una regione dell’Europa centrale hamostrato che il loro numero Nv dipende dal tempo t misurato inanni secondo la legge Nv(t)=30000 + 25000sin(2πt/11). Nella

stessa regione anche la popolazione dei conigli (principale predadelle volpi) varia secondo una funzione sinusoidale di periodo paria 11 anni, ma raggiungendo un massimo di 110000 due anni primadi quando le volpi raggiungono il loro massimo. Inoltre, lapopolazione minima dei conigli è risultata essere 10000. Trova unafunzione sinusoidale che possa rappresentare il numero Nc diconigli in funzione del tempo.

SOLUZIONE: Per i conigli avremo ampiezza A= (110000-10000)/2=50000 , valor medio y* = (110000 +10000)/2 = 60000,periodo P=11, fase F=-2, da cui la funzioneNc(t)= 60000 + 50000sin(2π (t +2)/11).

5- La velocità iniziale v di una reazione enzimatica che segue lacinetica di Michaelis-Menten è data da

v=vmaxsKm+s

dove s è la concentrazione del substrato e vmax e Km sono due parametriche caratterizzano la reazione.Nella seguente tabella sono riportati alcuni valori di v al variare di s peruna certa reaziones v1 4.12.5 6.15 9.310 12.920 17.1

Utilizzando la relazione v = vmax − Kmvs

trasforma opportunamente i dati in tabella per determinare una retta diregressione per y=v e x=v/sa) Determina pendenza ed intercetta della retta di regressione,b) calcola il coefficiente di correlazione di Pearson,c) determina una stima di Km e vmax SOLUZIONE:Per risolvere questo esercizio è sufficiente calcolare ivalori di y=v , x=v/s , xy, x2, y2 e le corrispondenti medie aritmetiche; per trovare la retta di regressione y=mx + q, si deve, infatti, calcolarem=((xy)*-x*y*)/((x2)*-(x*)2) , q=y*-mx*, (dove con * si è indicata lamedia aritmetica corrispondente). Si ottiene (i calcoli sono statiarrotondati alla seconda cifra decimale) x*=2.11, y*=9.9, (x2)*=5.72,(xy)*=16.05, da cui m=-3.78, q=17.88.b) Per controllare il coefficiente di Pearson CP, si deve calcolare

CP=((xy)*-x*y*)/sqr(((x2)*-(x*)2)(( y2)*-(y*)2)), poiché (y2)*=119.87,risulta CP=-0.91, per cui l’approssimazione di questa legge risultabuona;c) infine una stima di Km e vmax è data dalle relazioni vmax = q =17.88 Km = -m =3.78

6-La seguente funzione viene usata per adattare la relazioneconcentrazione-tempo quando si inietta un farmaco nel flusso sanguigno C(t)= k(exp(-at)-exp(-bt))Dove k, a,b sono parametri positivi.

i) Calcola C(0);ii) determina per quali valori di t si ha C(t)>0;iii) Calcola il limite di C(t) per t→+∞;iv) Supposto b>a e t≥0, determina eventuali punti di massimo o di

minimo ed eventuali punti di flesso;v) Disegna il grafico di C(t) per k=10, a=1, b=2

SOLUZIONI: i) C(0) = 0 ; ii) C(t)>0 se e solo se exp(-at) – exp(-bt)>0,possiamo riscrivere la disequazione come(exp(bt) – exp(at))/(exp(at)exp(bt)) > 0, da cui basta porreexp(bt) > exp(at), applicando il logaritmo in base e ad ambo i membri siottiene bt>at per cui se b>a, C(t) risulta positiva per t>0; se b<a C(t)risulta positiva per t<0; iii) poiché le costanti a e b sono positive entrambigli addendi tendono a 0, quindi C(t) tende a 0 per t→+∞; iv) calcoliamola derivata prima, si ha C’(t)=k(-aexp(-at) + bexp(-bt)), poniamo C’(t)=0,si deve avere bexp(-bt) = aexp(-at), applichiamo il logaritmo ad ambo imembri dell’uguaglianza si ha lnb -bt = lna –at, da cui lnb-lna=bt –at, equindi ln(b/a) = (b-a)t, da cui infine t=ln(b/a) / (b-a), lo studio del segnodi C’(t) indica che in t=ln(b/a) /(b-a) C(t) ha un punto di max relativo;Calcoliamo la derivata seconda C’’(t)= k(a2 exp(-at) – b2 exp(-bt)),poniamo C’’(t)=0 si ottiene a2 exp(-at)= b2 exp(-bt), applichiamo illogaritmo ad ambo i membri, si ha ln a2 – at= lnb2 – bt, da cui bt-at = ln b2

– ln a2 e quindi t=ln(b2/ a2) /(b-a), lo studio del segno di C’’(t) ci dice cheC’’(t)>0 per t> ln(b2/ a2) /(b-a), mentre C’’(t)<0 per 0<t< ln(b2/ a2) /(b-a),per cui C(t) ha in t= ln(b2/ a2) /(b-a) un punto di flesso e risulta concavaper t< ln(b2/ a2) /(b-a) e convessa per t> ln(b2/ a2) /(b-a);v) dallo studio condotto ai punti precedenti è facile disegnare il grafico diC(t), avremo un punto di massimo relativo (e assoluto nella semiretta t≥0)per t=ln2, un punto di flesso per t=ln4