FORME INDETERMINATE - Altervistaartemate.altervista.org/dfile/4-limiti-f-ind.pdf · F. RAZIONALE...
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FORME INDETERMINATENel calcolo di limiti , rappresentanosoluzioni non determinate. Esse sono:
PER “TOGLIERE L’INDETERMINAZIONE”uso procedimenti che dipendono dai vari casi
TUTORIAL DELLA PROF.SSA PAOLA BARBERIS - agg. 2014
+! " !!
!
0
0
0i! 1! 0
0
!0
F. RAZIONALE INTERA: Forma Ind +∞-∞
I METODO Per eliminare l’indeterminazione: RACCOLGO la X di grado max
�
limx!+"
x31#2
x+1
x2#4
x3
$
% &
'
( )
raccolgo x3 e,dentro la parentesi,divido i monomi per x3
IMPORTANTE : dentro la parentesiDEVO SEMPLIFICAREE poi “ passo a l limite “ sostituendo
�
limx!+"
x31#2x
2
x3
+x
x3#4
x3
$
% &
'
( )
�
= (+!)3 " 1#2
+!+1
+!#4
+!$
% &
'
( ) = +!" (1# 0 + 0 # 0) = +!
Il
limx!+"
x3# 2x
2+ x # 4
sostituisco
= + " # " + " # 4 = +" # " Forma Indeterminata
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE*
limx!+"
x3# 2x
2+ x # 4= lim
x!+"
x3= (+")
3= +"
* La x con esponente più alto
Es1) F. IND. +∞-∞
I METODO : RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x5)
Ora “passo al limite” (sostituendo) e ottengo:
�
limx!"#
x5 "8 "
2x2
x5
+7
x5
$
% &
'
( ) = lim
x!"#x5 "8 "
2
x3
+7
x5
$
% &
'
( ) =
�
= (!")5# !8 ! 0 + 0( ) = !"# (!8) = +"
limx!"#
" 8x5" 2x
2+ 7
sostituisco
= + # " # + 7 = +# " #
limx!"#
" 8x5" 2x
2+ 7
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE
limx!"#
" 8x5" 2x
2+ 7 = lim
x!"#
" 8x5= "8("#)
5= "8("#) = +#
Es2) F. IND +∞-∞
�
limx!"#
2x4
+ 5x2
+ x + 3 = +# + #"# + 3 = +#"#
I METODO: RACCOLGO LA X DI GRADO MASSIMO (x4)
�
limx!"#
x42 +
5
x2
+1
x3
+3
x4
$
% &
'
( ) =
semplificodentro la parentesi.
Ora “passo al limite” esostituisco -∞ al posto della x
�
limx!"#
x42 +
5x2
x4
+x
x4
+3
x4
$
% &
'
( ) =
�
= (!")4# 2 + 0 + 0 + 0( ) = +"# 2 = +"
limx!"#
2x4+ 5x
2+ x + 3
II METODO ( VELOCE) : considero INFINITO DI ORDINE SUPERIORE
limx!"#
2x4+ 5x
2+ x + 3 = lim
x!"#
2x4= 2("#)
4= +#
∞/∞ FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
�
limx!+"
x3
+ 3x2# 2
x2# 7x # 4
="
"
Il
�
limx!+"
x3 # 1+
3x2
x3$2
x3
%
& '
(
) *
x2 # 1$
7x
x2$4
x2
%
& '
(
) *
= limx!+"
x1 # 1+
3
x$2
x3
%
& '
(
) *
1# 1$7
x$4
x2
%
& '
(
) *
=(+")1 # 1+ 0 $ 0( )
1# 1$ 0 $ 0( )= +"
REGOLA PRATICASe gradoNUM > gradoDEN il risultato è infinito ∞Se gradoNUM = gradoDEN il risultato è finito lSe gradoNUM < gradoDEN il risultato è zero 0
limx!+"
x3+ 3x
2# 2
x2# 7x # 4
! limx!+"
x3
x2= lim
x!+"
x
1= +"
I METODO:RACCOLGO
LA X DIGRADO MAX
II METODOveloce
CONSIDEROINFINITI
ORDINE SUP
Es 1: FORMA IND ∞/∞limx!+"
9x2+ 3x + 7
5x2+ 6x #1
="
"
Il
=1 ! 9 + 0 + 0( )
1 ! 5 + 0 " 0( )=9
5
PASSANDO AL LIMITELE FRAZIONI CON DEN INFINITO
TENDONO A 0�
limx!+"
x2 # 9 +
3x
x2
+7
x2
$
% &
'
( )
x2 # 5 +
6x
x2*1
x2
$
% &
'
( )
= limx!+"
1# 9 +3
x+7
x2
$
% &
'
( )
1# 5 +6
x*1
x2
$
% &
'
( )
=
I METODO:RACCOLGO
LA X DIGRADO MAX
II METODO:CONSIDERO
INFINITIORDINE SUP
limx!+"
9x2+ 3x + 7
5x2+ 6x #1
! limx!+"
9x2
5x2= lim
x!+"
9
5=9
5
GradoNUM=gradoDEN
Es 2: FORMA IND. ∞/∞limx!"#
"x3+ 4x
2+ 2
3x5" 7x + 4
=#
#
Il
limx!"#
x3 $ "1+
4x2
x3+2
x3
%&'
()*
x5 $ 3"
7x
x5+4
x5
%&'
()*
= limx!"#
1 $ "1+4
x+2
x3
%&'
()*
x2 $ 3"
7
x4+4
x5
%&'
()*
=
GRADO DEL NUMERATOREMINORE DI QUELLO DELDENOMINATORE
=1 ! "1" 0 " 0( )
("#)2! 3" 0 " 0( )
="1
+#= 0
"
I METODO:RACCOLGO LA X
DI GRADOMAGGIORE
II METODO:CONSIDERO
INFINITI ORDINESUPERIORE
limx!"#
"x3
3x5= lim
x!"#
"1
3x2=
"1
3("#)2=
"1
+#= 0
"
∞/∞ METODO VELOCE
Il
limx!"#
2x4" 5x +1
"2 + 8x! lim
x!"#
2x4
+8x=2x
3
8=2("#)
3
8= "#
limx!+"
4 # 7x3
x3+ 2x
! limx!+"
#7x3
x3
=#7
1= #7
limx!"#
6x3+ x +1
"2x5+ x " 2
! limx!"#
6x3
"2x5=
3
"x2!
3
"("#)2=
3
"(+#)= 0
"
RAPPORTO FRA INFINITI DI ORDINE SUPERIOREcioè le x di grado maggiore. Esempi:
limx!+"
+4x3+ x
2#1
#9x4+ 7
! limx!+"
+4x3
#9x4= lim
x!+"
+4
#9x=
+4
#9(+")=+4
#"= 0
#a)
b)
c)
d)
0/0 FUNZIONE RAZIONALE FRATTA
limx!3
x3" 4x
2+ 3x
x2" 9
=0
0
SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE o con le regole di scomposizione (se possibile) o con Ruffini (sempre possibile con K= valore a cui tende x )
Forma INDETERMINATA
Il
limx!3
x(x " 3)(x +1)
(x + 3)(x " 3)= lim
x!3
x(x +1)
(x + 3)=12
6= 2
Otterrò sempre un FATTORE che SI SEMPLIFICA, in questo caso (x-3),“MANDANDO VIA” L’INDETERMINAZIONE
Es 1 - FORMA IND: 0/0
�
limx!2
x3
+ 4x2
+ 4x
x2" 3x + 2
=0
0
SCOMPONGO NUMERATORE e DENOMINATORE
Forma INDETERMINATA
Il
�
limx!2
x(x " 2)2
(x " 2)(x "1)= lim
x!2
x(x " 2)
(x "1)=0
1= 0
IL FATTORE (x-2) SI SEMPLIFICAE “MANDA VIA” L’INDETERMINAZIONE
Es 2- FORMA IND: 0/0
�
limx!4
x3" 2x
2" 32
x2" 3x " 4
=0
0
SCOMPONGO con RUFFINI [ k=4 ]e poi semplifico (x-4)
Forma INDETERMINATA
Il
�
limx!4
(x " 4)(x2
+ 2x + 8)
(x " 4)(x +1)= lim
x!4
x2
+ 2x + 8
(x +1)=32
5
1 -2 0 -32K=4 4 8 +32 1 2 8 0
1 -3 -4
K=4 4 4
1 1 0
Es 3 - FORMA IND: 0/0
limx!"2
x4" x
2"12
x5+ x + 34
=0
0
SCOMPONGO con RUFFINI e poi semplifico
Forma INDETERMINATA
Il
limx!"2
(x + 2)(x3" 2x
2+ 3x " 6)
(x + 2)(x4" 2x
3+ 4x
2" 8x +17)
= "28
81
1 0 -1 0 -12K=-2 -2 +4 -6 +12 1 -2 +3 -6 0
1 0 0 0 1 +34
K=-2 -2 4 -8 +16 -34
1 -2 4 -8 +17 0