LIMITISia y=f(x) funzione

definita in un dominio D.

Sia c ∉D

Cercare il LIMITE della funzione per x→c ( x che tende a c) significa trovare,

man mano che la x TENDE a c, l’ORDINATA

a cui SI AVVICINA la funzione.Tutorial di Paola Barberis - agg 2012

Ord =limitey

c

Esempio: nel grafico seguente trova il limite per x che tende a c=2

Per x→2- da sinistra

le ordinate tendono a l =3 dal basso

Per x→2+ da destra

le ordinate tendono a l =3 dall’alto

limx→2−

f (x) = 3−

limx→2+

f (x) = 3+⎧⎨⎪

⎩⎪

Lim sinistro

limx→2

f (x) = 3Quando limite sin = lim destro

Si scrive in forma compatta:

Lim destro

2

Ord =limite l=3

1) LIMITE FINITO l per x→c valore finito

Per x→c- le ordinate possono tendere a l

o dall’alto o dal basso(uno dei due casi)

lim f(x)= lx→c

Man mano che la x tende a c da sin e da ds

le ordinate tendono al valore finito l

c

l

x

y

Per x→c+ le ordinate possono tendere a l

o dall’alto o dal basso

In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

LIMITE sinistro LIMITE destro

CI SONO QUATTRO DEFINIZIONI DI LIMITE

2) LIMITE INFINITO per x→c valore finito

→ ←

y

x

lim f(x)= ∞ x→c

x=c è asintoto verticale

: Man mano che la x -->c [da sin e da ds ]

le ordinate tendono all’ infinito ±∞

Per x→c- le ordinate possono tendere o a +∞ (divergono positivamente) oppure a -∞ ( div negativamente)

(uno dei due casi)

Analogo ragionamento per x→c+

In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

c

LIMITE sinistro di c

LIMITE destro di c

4 grafici con limite infinito per x -->valore finito ( es: 5 )

limx→5−

f (x) = −∞

limx→5+

f (x) = +∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

Risposte:

y

x5

limx→5−

f (x) = +∞

limx→5+

f (x) = +∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

x5

limx→5−

f (x) = +∞

limx→5+

f (x) = −∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→5−

f (x) = −∞

limx→5+

f (x) = −∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

x5 x5

y y ya) b) c) d)

a) b) c) d)

3 ) LIMITE FINITO l per x che tende all’infinito lim f(x)= l x→∞

y= l asintoto orizzontale

Per x→ -∞ le ordinate possono tendere

o a l+ (dall’ alto) oppure a a l- (dal basso) Analogamente per x→ +∞ ( limite destro di infinito)

y

In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

Man mano che la x tende a ±∞

le ordinate tendono a l

-∞ → x___

←

l

+∞

LIMITE sinistro di infinito

4 grafici possibili con limite finito per x -->infinito

a) b)

→x← +∞ →x← +∞

d)2 2

→x← +∞→x←

2

+∞

c)

2

limx→−∞

f (x) = 2−

limx→+∞

f (x) = 2+

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→−∞

f (x) = 2+

limx→+∞

f (x) = 2−

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→−∞

f (x) = 2−

limx→+∞

f (x) = 2−

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→−∞

f (x) = 2+

limx→+∞

f (x) = 2+

⎧⎨⎪

⎩⎪

x

y

lim f(x)= ∞ x→∞

-∞ +∞

Man mano che la x tende a ±∞ le ordinate tendono a ±∞

Per x→ -∞ le ordinate possono tendere o a +∞ (divergono positivamente) oppure a -∞ ( div negativamente)

Analogamente per x→ +∞

← →

In figura è rappresentata una della 4 possibili situazioni

4) LIMITE INFINITO per x che tende all’infinito

LIMITE verso meno infinito

4 grafici con limite infinito per x che tende a ±∞

limx→−∞

f (x) = +∞

limx→+∞

f (x) = −∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

y

x-∞ +∞←

y

x-∞ +∞←

y

x-∞ +∞←

y

x-∞ +∞←

limx→−∞

f (x) = +∞

limx→+∞

f (x) = +∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→−∞

f (x) = −∞

limx→+∞

f (x) = +∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

limx→−∞

f (x) = −∞

limx→+∞

f (x) = −∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

funzione esponenziale con base e: Analizza i limiti agli estremi del dominio

Dominio: ∀x∈R (- ∞;+∞) Codominio COD: y>0 Gli estremi del dominio sono - ∞ ;+∞

lim ex = e-∞ =0+

x→-∞ lim ex = e+∞=+∞ x→+∞

Asintoto orizzontale (asse x): y=0

y=ex

x

y=ex

esempi

Funzione logaritmica con base e : Analizza i limiti agli estremi del dominio

Dominio D: x>0 (0;+∞) Codominio COD: ∀ y ∈ R

Gli estremi del dominio sono 0+ ;+∞

lim ln x = ln(0+ ) = -∞ x→0+

lim ln x = ln(+∞)= +∞ x→+∞

Asintoto verticale: x=0 (asse y)

y=lnx

esempi

F. Log con base maggiore di 1 F. Log con base compresa tra 0 e 1

F. esp con base maggiore di 1 F. esp con base compresa tra 0 e 1

log(0+ ) = −∞log(+∞) = +∞

⎧⎨⎩

log(0+ ) = +∞log(+∞) = −∞

⎧⎨⎩

a−∞ = 0+

a+∞ = +∞

⎧⎨⎪

⎩⎪

a−∞ = +∞

a+∞ = 0+

⎧⎨⎪

⎩⎪

Riepilogo LIMITI FUNZ ESPONENZIALE E LOGARITMICA

Limiti: principali regole di calcolo0N

= 0

∞N

= ∞

+∞ + 5 = +∞−∞ + 7 = −∞−∞ − ∞ = −∞+∞ + ∞ = +∞+∞( ) ⋅ +7( ) = +∞+∞( ) ⋅ −5( ) = −∞

base >1o_base = ee−∞ = 0+

e−∞ = +∞

ln(0+ ) = −∞ln +∞( ) = +∞

N∞

→ 0

N0→∞

ATTENZIONE Quando il denominatore tende ad infinito l’intera frazione tende a ZERO

Quando il denominatore tende a zero

l’intera frazione tende ad INFINITO

0 < base <1a−∞ = +∞

a+∞ = 0+

alog (0+ ) = +∞

alog +∞( ) = −∞

+∞ -∞ ∞ / ∞ 0 / 0 0·∞Forme indeterminate

CALCOLO di LimitiIl calcolo di un limite si ottiene, per funzioni

continue, sostituendo il valore a cui tende la x nella funzione f(x):

LIMITE IMMEDIATO Se ottengo subito il

risultato finito o infinito, il limite si

chiama IMMEDIATO

LIMITE CON FORMA INDETERMINATA

Se ottengo una di queste forme indeterminate:

+∞ -∞ ∞ / ∞ 0 / 0 In tal caso si deve“ togliere”

l’indeterminazione

Principali Forme indeterminate:come eliminarle

�

+∞−∞ Raccolgo la x di grado massimo Il risultato è +∞ oppure -∞

�

∞∞

Rapporto dei termini di grado max al Num e Den Se gradoNUM>gradoDEN ottengo limite ∞Se gradoNUM =gradoDEN ottengo limite finito l Se gradoNUM<gradoDEN ottengo 0

�

00

Devo scomporre numeratore e denominatore o con le note regole o con il metodo di Ruffini .Otterrò

un fattore che si semplifica mandando via

l’indeterminazione.Il risultato può essere finito o infinito