Analisi Matematica I , Fisica(A.A. 2006/ 2007) Preparazione Prova sritta, Ottobre 2006

* * --------------------------------------------------------------Assiomi re lativi a lle operazioni in N

Assioma 0.1. (a+ b)+ c= a + (b +c), (a.b)c = a.(b. c)

(proprieta associativa)

Assioma 0.2.

(proprieta commutativa)

Assioma 0.3.

a+ b = b +a, a.b = b. a

a+ O = a , a . l = a

(esis tenza degli elementi neutri)

A ssioma 0.4. a.(b +c)= a.b + a.c

(proroprieta distributiva)

Assiomi relativi all'ordinamento in N

Assioma 0.5. a ::::; b oppure b ::::; a (proprieta dico tomia)

Assioma 0.6. a ::::; b e b ::::; c implica a ::::; c

Assioma 0.7. Se a::::; b e b ::::; a allora a= b

Assioma 0.8. Se a ::::; b allora a+ c ::::; b +c

Assioma 0.9. Se O ::::; a e O ::::; b allora O ::::; a + b e O ::::; a.b

Assioma 0.10. (Archimede) P er ogni m E N esiste numero naturale n tale che n> rn.

Assiomi relativi alle operazioni in Z

Assioma 0.1, Assioma 0.2 , Assioma 0.3, Assioma 0.4 e

Assioma 0.11. Per ogni a esiste unico elemento indicato con - a tale che a+ (-a)= O

Assiomi relativi a lle operazioni in Ql A ssioma 0.1 , A ssioma 0.2 , Assioma 0.3 , , Assioma 0 .4, Assioma 0.13

e

Assioma 0.12. P er ogni a i O esiste 1mico elemento ind·icato con a - 1 tale che a.u - 1 = l

A ssiomi relativi a lle operazioni in lR

Assioma 0 .1 , Assioma 0.2 , Assioma 0.3 , Assioma 0.4, Axioma 0.12 r

Assioma 0.13. (Coll ljJ/efe::;za) Se A e n S0'/1() sottoinsiemi di lR tali che

( l ) u < b. 1:/o E A Vb E n , -alLora esiste c E lR che sepam A e B. cio e ·

a ::::; c::::; b. Va E A Vb E B.

2

Operazioni con numeri reali

x1n

- = xm-n.x E m?.. m::;> n E N. xn ' '

xmyrn = (x y) m , x , y E m?., m, n E N. x - n = x~' , x E m?.\ O, n E N, x 0 = l per x> O.

x m x mxn = xm+n. - = xm-nx > O. m. n E Z. V'X = y {o} x = yn per n ::;> 2 pari x ::;> O.

l xn j '

y'X = y B x = yn per n > 2 dispari x E ffi?. . xP = xm/n = vXm. x-m/n = _ l_ p = m/n E rn - ' xm/n '-',!

x y - (xy) ,x, y > O, p E Q. - - - x , y > O, p E Q. P P - P x P - (x P) yP yP

(2) lxi= { x , - x ,

se x::;> O; alt rimenti .

~=lx i, ~ =x , 2

V:;;2k =lx ix E R a ]i_ c d

ad

be

Problema O. l. Determinare il minimo, il massimo, l'fostremo inferiore e l 'estremo superiore (se esistono) degli insiemi

{x E m?. : lx2 + li < lx - 31- 1} {x E m?.: lx2 1 <lx - ~~ - 1} . Pro,blema 0.2. Determinare il minimo, il massimo, l 'estremo inferiore e l 'estremo superiore (se esistono) degli insiemi

{x E m?. : lx2 - l i < l x + 31 - 2} { ~ + sin ( (2m + l )~ ) : n , m ::;> l E N}.

Problema 0.3. Determinare il minimo , il massimo, l 'est·remo inferiore e l 'estremo super-iore (se esistono) degli insiemi

{x E m?.: 4 > Il - x li l + :r l +(l- x) 2} {

1 1 : n, Tn ::;> l E N} .

2n 2n- cos(mrr)

Problema 0.4. Trovare l 'intersezione A n B dove

A = {x E m?.: x4 + lx - 31 = sin (::r ~)}

e B = {x E m?. : lx i ::C: 2}.

Problema 0 .5 . Tro vare l·estremo super-ùJre. l"estremo inferùJTe . il massimo e il minimo di A n B do ve

and B = Z .

3

Problema 0.6. Trovare l 'es tr-emo s'uperiore, l 'estremo in.fério·re. il massimo e il minimo di A n B dove

A= {x E lR:: x 2 + lx - l i< 2}

and B =Q.

Problema O. 7. Trovare l 'estremo superiore, l 'estremo inferiore, il massimo e il minimo di A n B dove

A = {x E lR:: lx - l i + lx+ 21 :S: 2lx- 31}

and B =Q.

Problema 0.8. Trovare l 'estremo superiore, l'estremo inferiore, il massimo e il minimo di tutti ;; E lR: tale che esiste y E lR: tale che

lx + Yl + Y :S: 2.

l. FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

sin( et + (3) = sin et cos (3 + cos et sin (3,

cos(et + (3) = cosncos/3 - sinnsin/3,

sin2 et+ cos2 et = l.

sin( - et) = - sinn, cos( - et) =cosn,tan( -et) = - tanet.

sin( et+ 211') = sin et , cos( et+ 211') = cos et , t an( et + 1r) = t an et, co t( et + 1r) = co t et.

sin(1r-et) = sinet , cos(1r-et) = - cosn,sin(1r+et) = - sinet, cos(1r+n) = - coset,

sin ( ~ - et) = cos et, cos ( ~ - et) = sin et, sin ( ~ + et) = cos et, cos ( ~ + et) = - sin et,

Per O< et< 1r sinet <et

e sin et -- > COSQ.

Q -

Formule di duplicazione

sin(2et) = 2 sin et cos et , cos 2et = cos2 a- sin2 et.

Formule di bisezione

') . 2 Sll1 Q=

l- cos2et

2 cos- et=

l + cos2n 2

Formule di vVerner

. (3 sin(et +/3)+sin (et - ,8) . . . (3 - cos(n+ .B)+ cos(n -(3) s1n et cos = . sm et sm = _ _ _;__ _ ____; __ __;, __ ...,;,_ 2 2

, . '3 _ cos(o + ;3) + cos(et - /3) cos Q c os . - 2 .

Formule 0li prostaferesi

sin u + sin (3 = 2 sin ( 0

; '3

) cos ( 0

; (3 ) . cos u + cos :3 = 2 cos ( 0

; 13

) cos (et ; ,3 )

. . . ( o: - (3 ) ( a+(3 ) sm a - sm /3 = 2 sm -2-. - cos -

2-

cos a - cos (3 = - 2 sin ( a ; (3 ) sin ( a ; ·6

)

Definizione delle funzioni tan e cot ,

sm a cosa tan a= --, coto: = - .--

cosa sm a Espressione di sin , cos mediante tan, cot e viceversa

tana sino:=± ,

V l + tan2 a l

cosa = ± , V l + tan2 a

l sin o: tana=-- = ±;==~=

coto: Jl - sin2o: '

( (3) t an a + t an (3

tana+ = . l - tan a tan (3 ·

( (3) - l + cot a co t (3

cot a+ = , cot a+ cot(3

l sin a = ± r:======;;==

V l + cot2 a

coto: cosa = ± r :======;;==

V l + cot2 a

l Vl - cos2 a tan a= -- = ± .

cot a cosa ·

( (3) t an a - t an (3

tana - = . l + t an a t an (3 ·

cot(o: _ (3) = l + coto:cot(3 , - co t a + co t (3

arcsinx = a, x E [- 1, l ] {o} sino: = x a E [-7r/2,71-j2],

a rccos x = a, x E [- l , l ] {o} cos a = x a E [O, 1r],

arctanx = a , x E (- oo,oo) {o} tana= x a E [-7r/2,7r/2],

sin x= sin xo {o} x= xo + 2k7r, 1r - x 0 + 2k7r, cosx = cosx0 {o} x= ±x0 + 2k7r ,

tan x = tanxo {o} x= x 0 + k1r ,

Problema 1.1. Verificare le seguente indentita'

sin(1r - o:)= sin o: , cos(1r- a)= - cosa, tan(1r - o:) =- tana ,

sin(1r+o:) = - sino: , cos(1r+o:) =- cosa, tan(1r+o:) = tano: ,

sin(JT/2 - o:)= coso: , cos(JT/2 - o:) = sino: , tan(JT/2 - o:)= coto: .

Problema 1.2. Verificare le seguente indentita'

l cos2 a- sin2 a = cos(2o:) , sin(3o:) sin (2o:) = 2(coso:- cos3o:)

sin( o:+ (3 ) t an a + t an (3 = (3

cos Q cos

Problema 1.3. CalcolaTe cos(2n) se sin a= J2- /3/ 2.

Risp. ±/3/2.

Problema 1.4. Dimostm:re che .....

sin o . cos(o + ,1) = sin ;J ==} tan (o + r3) = 2 tan G:

sin(2o + ;3) = 5 sin (-] ==} 2 tan (o + 3) = 3 tan o: .

Problema 1.5. Semplificar·e le espressioni

a) (sin a + cosa) 2

l + sin(2a)

b)Vsin2 a (l+ cota) + cos2 a (l+ tana), (7r <a< 37f/2) .

R isp . a) l ; b) -sin a-cos a .

Problema 1.6. Dimostrare le identita '

sin6 a+ cos6 a+ 3 sin2 a cos2 a = l

2 2 (3 cos(a + (3) . cos(a- (3) l - co t a co t = - ---'---;;-'-----,;'-:----'-

sin2 a sin2 (3

sin( a- (3) sin((J - 1) sin(r- a) _..:....__...:, + + = O. cos Q cos (3 così cos (3 cos Q così

Problema l. 7. Per quali valori del parametro a valgono le relazioni

a)sin(Jr- a)= sin a,

b) sin a = \h - cos2 a ,

c) }l+ sin(2a) =sin a+ cosa .

Problema 1.8. Dimostrare che l 'identita a+ (3 + ì = Jr/2 implica

cos Q + cos (3 + cos ì = 4 cos ( ~ - ~) cos ( ~ - ~) cos ( ~ - ~) .

Problema 1.9. Trovare tutti x E lR tale che

l + cos2 x 2 > .

l + sin x

Problema 1.10. Trovare tutti x E lR tale che

Problema 1.11. Trovare tutti x E lR tale che

l sin x + cos x l < l.

Problema 1.12. Dimostrare l 'identita '

l sin 5x/2 - + cos J: + cos 2x = ( / ) 2 2 sin x 2

Problema 1.13. Dimostrare che l

z + - = 2 cosO' z

., l ( ) "1 z + - = 2 cos na Vn E ~~. zn

Problema 1.14. Trovare tutti x tali che

a) sin 5x = cos 2x .

b) sin (2:r ) + t an x = 2. l l l

c)-.- + -- + . = 5. sm A cos x sm .r cos x d) tan(7r tan x) = cot (Jrcot x ).

e) sin 17 .x + cos 1 7 x= l.

5

6

2. F UNZION I exp E log .

La funzione esponenziale f(x) = a"' dove a> O, a# l e definita per ogni x E !R . Proprieta '

a x a"'> 0, axbx = (ab) x, a0 = l , ao: +y = axay , ax-y = ­

aY Definizione : loga be' definito per a > O, a# l , e b > O.

loga b = c<::? a c = b.

Proprieta':

-x l ( x)y x ·y a = - a = a ax '

loga (b1.b2) = loga b1 + loga b2 , a > O, a# l , b1, b2 > O,

loga(bd) = dloga b, a> O, a# l , b > O, d E !R.

logA b logab= -

1-- , a , A> O, a# l , A# l,b > O.

ogA a

Problema 2.1. Risolvere le seguente equazioni

b) - ~ + logx(5J5) = (1ogx2 J5f

c) x,;x = #x.

3. NUMERI COMPLESSI

L 'equazione x 2 + l = O non puo' avere soluzioni reali dato che non ha senso (nel campo dei numeri reali) considerare ;=T. Tuttavia l'equazione scritta so­pra ha soluzione se ampliamo l'insieme dei numeri reali con l'aggiunta dell 'unita' immaginaria i = ;=T che gode della proprieta'

(3) '

Una volta introdotta l'unita' immaginaria si definisce insieme dei numeri comp­lessi

C = {z =x+ iy , x,y E R}. Se z = x+ iy con x , y E R , allora x ed y si chiamano ripettivamente parte reale

e parte immaginaria del numero complesso z e si indicano con R e z ed Im z . La somma e la moltiplicazione t ra numeri complessi segue le stesse regole della

moltiplicazione tra numeri reali , tenendo conto del fat to che per l 'unita ' immagi­naria i vale la regola (3). Quindi

x + iy +x' + iy' = (x+ x ') + i(y + y')

(x+ iy)(x' + iy') =xx:' + ixy' + ix'y + i2 yy' = (xx:' - yy') + i(xy' + x'y).

Dato z = x + iy si definisce z =x- iy

e iz l2 = x2+y2

Si puo · anche definire il rapJ)orto tra numeri complessi come segue: z z'iD

7

(notare che il secondo membro ha senso visto che la molt iplicazione dei tre numeri z, w. rzF si puo' fare seguendo la regola eli prodotto descritta sopra).

Ogni numero complesso z = x+ iy c· individuato da due numeri reali (la parte reale e la parte immaginaria). Pertanto i numeri complessi possono essere individ­uati da un punto nel piano cartesiano x -y. D'altra parte ogni punto (x , y) del piano puo ' essere individuato in coordinate polari dalla distanza del punto dall 'origine p e dall 'angolo e formato tra l'asse delle x e la semiretta passante per il punto (x.y) e l'origine.

Pertanto se (x,y) = (pcose, p sine) (osservare che e e' definito a meno eli un multiplo intero eli 21T) allora

x+ iy = p(cose + i sin e ).

Una notazione utile e' ew =cose + i sin e ,

e pertanto ogni numero complesso x + iy si puo' sempre esprimere in coordinate polari ed in forma compatta come segue:

x+ iy = peiO

dove e definito a meno di 2k1T con k E Z. Inolt re si ha che

(4)

(vedi esercizio (3.6)).

Un numero complesso z' si dice essere una radice n-esima del numero complesso z se z'n = z .

In particolare se z = pei (0+ 2k-rr ) e z ' = p' eiO' e' una radice n-esima eli z allora si ha per definizione che

dove abbiamo usato (4). In particolare si ha che le rad ici n-esime eli z = peiO sono tutti e soli i numeri

complessi del tipo p' e iO' dove p' = \fP e e' = * + ~; 1T per qualche k E Z. Esempio Calcolare J=I. Osserviamo che in base all 'interpretazione geometrica

dei numeri complessi si ha che - 1 = e i ( "+2k7r ) con k E Z e quindi t utte le radici el i - 1 sono del t ipo e iCf+krr) con k E Z.

Data la perioclicita' el i ei0 si ha che le uniche radici distinte eli - 1 possono essere indi viduate dai numeri eif e e i7r~ che possono essere scri tte in coordinate cartesiane come i e - i.

Problema 3.1. Provare che JzJ 2 = z .z per ogni numem z E C .

Problema 3.2. Dati i numeri complessi z = x+ iy e w = x' + iy' (w si suppone diverso dal numem complesso nullo) esprimere la parte reale e la parte immaginaria di~.

·w

Problema 3.3. Provare che

Jz + wJ::; J: J + ltc l ._ per ogni coppia e di nwne7'i z . w E C .

Problema 3.4. Dato il mtrnem complesso z = peiO calcolare JzJ 2

8

Problema 3.5. Dati z = peie e z' = p' e w' esprimere in coordinate polari i numeri z.z1 e ?·

Problema 3.6. Esprimere in coordinate polari il numero zn dove z = peie.

Problema 3. 7. Provare che ogni numero complesso z diverso da zero , ammette esattamente n mdici n-esime distinte.

Problema 3.8. Calcolare \l'i, \1/3 +i, .ç/3 + 3i .

Problema 3.9. Trovare tutti i numeri complessi tali che

Z71 == z .

Problema 3.10. Trovare tutti i numeri complessi tali che

Problema 3.11. Esrpimere in coor·dinate polari il numero complesso

l + cos e + i sin e.

Problema 3.12. Rappresentare gmficamnete il seguente sottoinsieme di C :

{lz- l i = lz + l i, z E C}.

Problema 3.13. Rappresentare gmficamnete ils eguente sottoinsieme di C:

{z +z = lz l2,z EC}.

4. INDUZIONE E DISUGUAGLIANZE

Problema 4.1. Per ogni natumle n 2: l e per ogni numero reale x 2: - l vale la disequazione di Bemoulli

(l+ x t 2: l+ nx.

Problema 4.2. Dimostmre l 'identitri

3 3 3 n2(n + l )2 l + 2 + · · · + n = -'----:-----''-

4

Problema 4.3. Dimostmre le seguente identitri

l l l l - + - + ··· + = 1 - - - . 1.2 2.3 n(n + l ) n+l '

l l l 1(1 l ) 1.2.3 + 2.3.4 + ··· + n(n+ l )(n+ 2) = 2 1.2 - (n +l )(n+2) ·

Problema 4.4. Dimostmre che

sin a+ sin( a+ h)+ ... + sin (cr +(n, - l )h) = sin(nh/ 2) sini a; )(n- l )h/ 2) ' sm h 2

. . . . ·( (· _ .) ) _ sin(nh/2) cos(a + (n - l )h/ 2) cosa+,cos(a + h)+ +cosa + n l h - . ( /) ·

.._ sm h 2

sin cr + sin(3cr)+ +sin(( 2n- l )a) ( ) ------,-,--,-------:-:-,...-----',---':- = tau ncr . cosct + cos(:ìa ) + · · · + cos ((2n - l )a )

Problema 4 .5. Sia a11 la successione di Fibonacci definita cosi a0 = a 1 = l ,

Dimostrare che

an+2 = ao + a1 +···+an+ l,

02n+2 = a1 + a3 + · · · + 0211+ 1,

a2n+ 1 = l + a2 + a4 + · · · + a2n,

a~ - On+lan - l = ( - 1)" +1.

Problema 4.6. Dimostrare le seguente identita:

x2n+l - l = (x - l) fi ( x2

- 2xcos c~k: l)+ l) ' k = l

x2n+l- l= (x+ l) IT (x2 + 2xcos (~) + 1) ,

k = l 2n + l

x211 + l = g ( x2- 2xcos c2k~l)7r) + l) .

Problema 4.7. Dimostrare le seguente identita:

sin(~) sin (27r) ·· · sin ((n - l)1r)

2n 2n 2n

COS (~) COS (~) ···COS (~) 2n + l 2n + l 2n + l

4.1. Disuguaglianze.

(5) '

(6)

a + b f""7 a, b > O =? -

2- 2 v ab

a + b ~2+ b2 ab>O=? -- < ---' 2 - 2

Per ogni n naturale abbiamo

(7)

Disuguaglianza Young: se a, b > O e

allora

l l - + - = 1 p q

aP b" - + - >ab. p q -

2n-l'

9

Problema 4.8 (Disuguagli anza di Cauchv -Schwarz). Prova per ind-uzione che. dati n E !;l e O i . bi E lR per i = l. 2 . .. . . n . vale la dis·uguaglia.nza

10

Sia n E f::! e siano x 1 , x 2 , ... . X 11 numeri reali positivi. Definiamo la media geo­metrica xc (GM, geometrie mean) e la media aritmetica XA (A.l\1 , arithmetic mean) come segue:

_ . X] + X2 + · · · + Xn XA = ---------------

n La media geometrica risulta sempre minore o uguale di quella arit metica, con l'uguaglianza solo se x 1 = x2 = · · · = Xn ·

Problema 4.9 (Disuguaglianza GM- AM) . Dimostra che, nelle ipotesi di cui sopra,

( )l/n<xl+x2+···+Xn

X1X2···Xn _ , n

dove si ha uguaglianza se e solo se x1 = x2 = · · · = X n .

Completa i dettagli della seguente dimostrazione per induzione. Vogliamo di­mostrare che per ogni n E f::! vale l'enunciato

P( ) _ ( )l /n< _x _l _+_x_·2 _+_ ·_·_· +_ x_n

{

x; E R+ i= l , 2, . . . , n,

n - X1X2· · · Xn _ , n

con uguaglianza se e solo se x 1 = x 2 = · · · = Xn·

Per n = l, 2 si verifica faci lmente. Per il passo induttivo, poniamo

X]+ · ·· + X A _:_ n n - ' n

A ~ Xn+l +(n - l)An+l. n , G · ( A" - 1)1 /n = Xn+l n+l ·

Per ipotesi induttiva, risulta A ~ G. Inoltre

A . = A ,+ A > (A A)l /2 > (G G)1 12 = (cn+l An- l) l /(2n) . n+l 2 - n _ n n+l n+l ,

da cui An+ l ~ G n+l · Nota che tutte le disuguaglianze (contemporaneamente) sono uguaglianze se e solo se x 1 = · · · = Xn+l·

Problema 4 .10. Provare che la seguente disuguaglianza e' valida per ogni numero naturale n ~ 2:

. l l l n[(n+ 1) 11" - l] < l + - + - + · · ·+ - < n- (n - l )n-l/(n- l )_

2 3 n

P roblema 4 .11. Siano a , b, c E R+ tali che (l +a)( l +b)( l +c) = 8. Allora abc <::: l.

Problema 4 .12 . Se a, b, c E R+ , allora si ha

(a2 b + b2c + c2a)(a2c + b2 a + c2b) ~ 9a2 b2c2

Problema 4 .13. (a) Dati due numeri reali distinti a. b ~ O e n E f::! provare che vale la disuguaglianza

" _,_ a + nb (ob ) u+ 1 < - -.

17 + l (b) Poni a= l e b = l + :cj n . ~on .r > - n diver-so da O. e dimostm che

X n ( X ) n+ l ( l+ - ) < l + _ ··_

n 77 + l Vn E N.

)

(c) Poni a.= l , b = m/(m + l ) e n= m+ l e dimostro che

( 1 ) m+1 ( l ) m + 2

l + - > 1+ --m m+ l

"'mE N.

5. LIMITI NOTEVOLI

Se On e limitata e b n _, O allora o n bn -> O.

(8)

(9)

(lO)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

Confronti:

(16)

(17)

(18)

Se

a llora

(19)

{

o n +oo q _,

se lql < l ,

se q > l

~on ha limite

se q = l ,

seq :S:- 1.

O n -> O =? COS O n ___, l ,

On ---> O =? sin On ---> O,

sin On an ---> O =? -- ___, l ,

O n

arcsin On O n ___, O =? ___, l

1 O n

(l + an)" - 1 · On ___, O =? ___, O .

O n

log 8 On a11 ___, oo =? --A- ___, O 't/A> O, VB > l.

a.,

{

o lim o,= oc n-x

no si puo dire nulla

se A < l.

se A > l.

se A= l.

11

12

Problema 5.1. Calcolare a)

b)

c)

d)

e)

lim (n+ 3ynsin n) 114- (n+ ynsin n) 114

. n ---o ::c

sin (l) lim n n~oo n(cos (*) - l) .

l. vn2 +n + l -~ llll

n~= log2 n

12 + 22 + .. . n2 li m

n ---+ oo

lim cosn" (~) . n ---+ oo n

Problema 5.2. Studiare la convergenza della successione

l l an = l + - + · · · + - - In n .

2 n

Problema 5.3.

Problema 5.4. Studiare la convergenza della successione

l l l an=- + - - + .. · + --

n n+ l n+n

Problema 5.5. Calcolare

lim ( nn (2n) !) l / n

n~= 4n(n - l ) 'n !(n + l )!

Problema 5.6. Tro vare il limite

Problema 5. 7. Calcolare

Jn3 + n - n3/ 2 li m n~= n+ 6sinn

. ( (n) n )1 /n hm (2n - l )! .

,,_= 3" - 1 (n + 3) !n!(n + 2)!

Problema 5 .8. Calcolare

sin (l ) lim 11

n- :x: n ( COS ( *) - l)

Problema 5 .9. Calcolare .....

arcsin (l) sin (l) liln 11

"

n-x ( COS ( *) - l) .

13

P roblema 5. 10. Calcolare

. (n+ l )" - n"' hm

1/-----'> 00 no: - l

al variare del parametro T"eale et.

Problema 5 .11. Calcolare

(n+ sin n) 11" (2 +sin n)n li m

n!

Problem a 5.12. Calcolare l 'estremo superiore, l 'estremo inferiore e il limite della successwne

an=n+ ~-~-3n

Problema 5 .13. Sia x 0 = l e Xn e definita per ricorrenza

Xn+l = xn+sinxn.

a)Dimostrare, che O < Xn < 7r. b) DimostraTe che X n cT"esce. c) Calco lare~te di Xn·

Altri esercizi sulle successioni

Proble ma 5.14. Trovare il limite della successione

an= yn ln( l + en)- n 312

Risposta O

Problema 5.15. Trovare il limite della successione

O.n = yn ln(l + en) - n~.

Risposta - oo.

Problema 5.16. Studiare la convergenza della successione

l l l O.n = - + . + .. . + .,------,--

n0 (n+ l )n (n+n)"

al variare del parametro Q E R

Problema 5.17. Studiare la. convergenza della successione

an = n a ( \1 n 2 + are t an n - \1 n 2 + n) per Q < l/3 .

P roblem a 5.18. Sia

_ n Il . ( (2k+ l )7r )l on a 11 - "'\"""' - + sm L 2 2 k =l

al variare del parametro a E IR.

P roble9a 5.19 . St~uliare la conve1~qenza della successione

no ~s G + /11 - vn=-1) al variare del parametro o- E IR.

14

6. SERIE Nu~ J ERJCHE

Data una successione { an}nEN ci proniamo di definire la somma infinita L :::O= l an . Associamo alla successione { a 11 } una nuova successione fatta dalle sua somme

parziali come segue: n

Sn =L ai. i=l

Allora diciamo che la serie L:;"=1 an e' convergente e converge al valore l se - oo < l < oo e' tale che

lim Sn = l. 11----+00

Nel caso in cui limn~oo Sn = oo allora diciamo che la serie e' divergente. Una serie che non sia convergente oppure divergente si d ice indeterminata. La serie L :;"= 1 an si dice a termini posit ivi se an 2: O per ogni n E N . Si puo' provare che la serie L:;"=1 a11 e' convergente se e solo se

m.

'e/E> O::Jv(E) E N tale che l L ai l <E Vn,m 2: v(E) . i=n

Problema 6.1. Provare che ogni serie a termini positivi e' convergente oppure divergente.

Problema 6.2. Studiare la ser·ie L:;"= l n(n1+l).

Problem a 6.3. Provare che l l l l - + -- + ... + - > - Vn E N . n n+ l 2n 2

Dedurne che la serie 00 l

L ; n = l

e' d~vergente.

Problema 6.4. Provare che se L :;"= l an e ' convergente, allora limn~oo an = O. M ostra re che l 'implicazione inversa e ' falsa .

Problema 6.5. Studiare la convergenza della serie L~=l x" al variar·e di x E R .

Problema 6.6. Provare che se la serie L~=l la, l e' convergente allora L:;"=l a 11

e' convergente. M ostra re che l 'implicazione inversa e ' falsa.

Problema 6.7. Studiare la natura della serie L~=l ~ -

Problem a 6.8. Studiare la convergenza della serie L~= 1 (sinn+cosn)(xn).

Problema 6.9. Sia { a 11 } una successione decrescente e posdiva (cioe' O S a17 + 1 S CL 11 .) Provare che la serie L~= l an converge se e solo se converge la serie L~= l 2ka2 , .

P roblem a 6.10. Dire per quali valor·i di a > O si ha che la serie L~=l }u risulta convergente .

P roblem a 6 .11. Studiar·e il comportamento della serie L~=l n(l n1n)u al variare rli

o. 2: o. P roblema 6.12. Studiar-e il comportamento della seTie L ,-;o=l 111\,! (si TicoTda che n'= 1. 2 . .. (n- l).n

Problema 6. 13. Studiare al variaTe di a > O ed x E R la serie I:~=l n° x n .

Problema 6 .14. StudiaTe la conveTgenza della serie I:~'}, .

Problema 6.15. Studiare la conveTgenza della serie al variare di a, b, c E R

( b )n+c L a" l + ;:;:

Problema 6.16. StudiaTe la convegrenza di

al variare di a E R.

l "' (a" + - ) L n3a

Problema 6.17. StudiaTe la conveTgenza di

L cosn2 +/ii. n

Problema 6.18. Studiare la convergenza di

2n + n3

L 3n +n2 ·

Proble ma 6.19. StudiaTe al variaTe di x E R la conveTgenza di

(sin x)n L - n- . Problema 6.20. Studiare la conveTgenza di

"' (- l )nn L l + n2 .

15