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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 1/4
Limite di x sen(1/x)Materiale integrativo del
Corso integrato di
Matematica
per le scienze naturali ed applicate
Paolo Baiti, Lorenzo Freddi
Limite finito perx → x0Esempio
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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 2/4
Limite finito per x → x0
Sianof :]a, b[\{x0} → R ex0 ∈]a, b[.
Si dice chef ha limiteℓ ∈ R perx tendenteax0, e si scrive
limx→x0
f(x) = ℓ
se e solo se per ogniε > 0 esisteδ > 0tale cheℓ − ε < f(x) < ℓ + ε per ognix ∈]a, b[\{x0} tale chex0 − δ < x < x0 + δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 3/4
Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Limite finito perx → x0Esempio
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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 3/4
Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Datoε > 0
bε
b
−ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 3/4
Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Datoε > 0
esisteδ > 0
bε
b
−ε
bb
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Datoε > 0
esisteδ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ
bε
b
−ε
bb
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Datoε > 0
esisteδ > 0 tale che sex0 − δ < x < x0 + δ
alloraℓ − ε < f(x) < ℓ + ε
conℓ = 0 ex0 = 0
bε
b
−ε
bb
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Cambiandoε > 0
bε
b
−ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Cambiandoε > 0
si trova un altro corri-spondenteδ
bε
b
−ε
b b−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Cambiandoε > 0
si trova un altro corri-spondenteδcon analoghe proprietà
bε
b
−ε
b b−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !
ε
−ε
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Questo dev’essere veroper ogniε > 0 !
ε
−ε
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Questo dev’essere veroper ogniε > 0 ! ε
−ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0
ε
−ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0
si riesce a trovare unδ ε
−ε
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0
si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ
il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata
ε
−ε
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0
si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ
il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata
ε
−ε
−δ δ
Limite finito perx → x0Esempio
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Esempio
Illustriamo la definizione col seguente esempio
limx→0
x sen1
x= 0
Equivalentemente è co-me richiedere che, datoε > 0
si riesce a trovare unδtale che se−δ < x < δ
il grafico della funzio-ne stia tutto nella regionetratteggiata
ε
−ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε,
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando
Limite finito perx → x0Esempio
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Limite di x sen(1/x) - Capitolo 14: Altri limiti. Regole di calcolo - pagina 123 - p. 4/4
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione,fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando
Limite finito perx → x0Esempio
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Verifichiamo che
limx→0
x sen1
x= 0
Per definizione, fissato un qualunqueε > 0, bisognatrovare unδ > 0 tale che
x 6= 0, −δ < x < δ =⇒ −ε < x sen 1
x< ε
ovvero che0 < |x| < δ =⇒
∣
∣x sen 1
x
∣
∣ < ε
Prendendoδ = ε, se0 < |x| < δε = ε, allora∣
∣
∣x sen
1
x
∣
∣
∣= |x| ·
∣
∣
∣sen
1
x
∣
∣
∣≤ |x| · 1< ε
Ricapitolando. Quindi, per definizione