Analisi Limite

8/19/2019 Analisi Limite

1/44

1

CAPITOLO 2: ANALISI LIMITE DI SISTEMI DI TRAVI

2.1 Introduzione L’analisi limite o calcolo a rottura consente di valutare direttamente la capacità portante ultima di

una struttura, ovvero di valutare direttamente lo stato limite ultimo di una struttura , che, come visto

nel capitolo precedente, rappresenta l’ultimo stadio dell’analisi incrementale elasto-perfettamente-

plastica (EPP) ovvero il collasso plastico.

Peraltro come osservato in precedenza il moltiplicatore di collasso dei carichi non dipende da

eventuali stati di coazione o cedimenti vincolari né dalla rigidezza degli elementi strutturali e

fornisce quindi una valutazione molto più affidabile e sintetica del grado di sicurezza di una

struttura di quella che può fornire una analisi in campo elastico.

Le principali caratteristiche che presenta una analisi limite sono sinteticamente delineate nel

seguito.Vantaggi:

- Il valore del moltiplicatore dei carichi al collasso risulta indipendente dalla storia di

carico e dalla presenza di cedimenti , autotensioni e stati di coazione.

-

Il risultato è immediatamente interpretabile ed è sostanzialmente indipendente dai

parametri numerici da cui dipende la procedura di calcolo.

- E’ possibile analizzare strutture anche significative senza l’ausilio a codici di calcolo.

Svantaggi:

- E’ di limitata applicabilità e devono essere verificate seguenti ipotesi principali:

piccoli spostamenti

duttilità illimitata

plasticità perfetta

leggi di flusso di tipo associato.- Non è in genere disponibile in molti codici di calcolo.

-

Quando è applicata a strutture non metalliche, ad esempio a strutture in muratura come

ad esempio previsto dalla OPCM 3274 sulle costruzioni in zona sismica, va applicata

con opportuni controlli sull’entità delle deformazioni e degli spostamenti all’atto del

collasso

Scopo di questo capitolo è mostrare come il calcolo a rottura possa essere applicato a tutte le

tipologie strutturali esistenti monodimensionali in presenza di uno stato di sollecitazione generico.

Nell’ ultimo paragrafo si presenta l’estensione del concetto di cerniera plastica al caso delle

sollecitazioni composte. Ci si limita per brevità a studiare l’interazione fra sforzo normale emomento flettente rimandando alla letteratura tecnica la presentazione degli altri casi di

sollecitazione. In questo contesto si introducono i concetti di dominio di ammissibilità e di flusso

plastico diretto secondo la normale esterna al dominio stesso indispensabili per comprendere il

contenuto del capitolo successivo.


2/44

2

2.2 Meccanismi di collasso e potenza dissipata

Il collasso plastico è associato alla formazione di un numero di cerniere sufficiente a trasformare la

struttura ( o una sua parte ) in un meccanismo con un grado di libertà ( o di labilità).

EquilibrioAll’atto del collasso ( o collasso incipiente) i carichi e gli sforzi interni (N,M,T) sono in equilibrio,

di modo che le equazioni di equilibrio globale dell’intera struttura e quelle locali sono verificate. Se

si considera una generica struttura soggetta a un sistema di forze esterne q z0, qy0 e di coppie c0, Fig.

2.1, pertanto risulta:

0c z

dNq 0

dz+ µ =

oc y

dTq 0

dz+ µ = c 0

dMc T

dz+ µ =

ove µc indica il moltiplicatore di collasso o limite dei carichi.µ

0M0M

c

M0

M0

P0

00M M--

M0

θ θ

θ2

θ /2vc

Meccanismo di collasso

1

dMc z

dz

= ;dT

0

dz

= ;dN

0

dz

= .

Equilibrio Compatibilità

Fig. 2.1

Compatibilità

A collasso l’atto di moto è caratterizzato dalla velocità ( )cv z e nel caso in figura si ha:

c cv = z= 2f zθ 0 z 2≤ ≤

( ) ( )c c cv =f - z - 2 =2 -z f θ 2 z≤ ≤

essendo la velocità in mezzeria ( )c cf =v 2 = 2θ

Teorema della potenza virtuale (PLV)

Il PLV dimostrato nel corso di Scienza delle Costruzioni, con riferimento a mezzi continui

caratterizzati da equazioni costitutive qualunque purché il campo di sollecitazioni sia equilibrato e

quello degli spostamenti e deformazioni sia cinematicamente ammissibile o compatibile, comporta

l’eguaglianza fra la potenza dissipata esterna (Lve) e quella interna ( Lvi).

Indicando conc c c

ε , χ , γ rispettivamente le velocità della deformazione assiale, della curvatura e

dello scorrimento da taglio associate all’atto di moto si può scrivere:

• ( )ve c 0 c 0 c vi intL P v dz P v L N M T dz+D⎡ ⎤

= µ + = = ε + χ + γ⎢ ⎥⎣ ⎦

∑∫ ∫ c c cS S


3/44

3

• ve ext 0 extL W Wc= = µ Ove Lve indica la potenza esterna, ossia il lavoro per unità di tempo compiuto dai carichi per levelocità dei loro punti di applicazione.

• ( ) N M T dz = 0ε + χ + γ∫ c c cS

Poiché il meccanismo di collasso è un meccanismo “rigido” e, dunque, le travi non si deformano, il

primo termine della potenza interna è nullo.

• intD 0> potenza dissipata o dissipazione

Si osservi che la dissipazione può avvenire nelle aste ed allora vale 0 N ∆ o nelle cerniere ove vale

0M θ . Più precisamente, con riferimento al secondo caso, il momento nella cerniera vale M0 se

>0θ , -M0 se 0 e cµ >0 ne consegue che affinché un cinematismo sia ammissibile anche la potenza

esterna , spesso nel seguito indicata con 0extW , deve risultare positiva.

Postulato della Dissipazione massima (o di Hill)

Sia Ns (Ms) uno stato plasticamente ammissibile in ogni sezione, ossia che verifichi la condizione

( )s s 0 Ν = Ν Νφ ≤ ( )( )s s 0M = M Mφ ≤ per ogni ascissa z allora risulta:

( )s p s p 0 p p N N N D∆ ≤ ∆ ≤ ∆ = ∆

,

( )s p s p 0 p pM M M Dθ ≤ θ ≤ θ = θ

ove p∆ e pθ vengono definite velocità di deformazione plastica generalizzate. Pertanto le azioni

interne N e M che inducono incrementi effettivi di deformazione plastica rendono massimi i

prodotti s p N ∆ e s pM θ fra tutti gli stati di sollecitazione plasticamente ammissibili Ns e Ms:

( ) ( ) p 0 p s pD N max N ,∆ = ∆ = ∆ s N ∈E

( ) ( ) p 0 p s pD M max Mθ = θ = θ , sM ∈E

Ove

[ ]0 0 N N ,E = - o [ ]( )0 0M , M−E = rappresenta l’insieme degli stati plasticamente ammissibili. Questo risultato è noto come Postulato

della Dissipazione massima ed è stato introdotto da R. Hill nel 1950; nel caso di mezzi continui il

risultato, come verrà discusso in seguito, vale se e solo se la funzione di snervamento è convessa e

la legge di flusso associata.

Si introducono le seguenti definizioni:

• Stato staticamente ammissibile è ogni stato plasticamente ammissibile che è ancheequilibrato, ovvero è in equilibrio con i carichi di riferimento moltiplicati da un assegnato

moltiplicatore dei carichi. Il moltiplicatore µs per cui ciò accade è detto moltiplicatore staticamenteammissibile.


4/44

4

• Meccanismo cinematicamente ammissibile o sufficiente è ogni potenziale meccanismo dicollasso per cui la potenza esterna risulti positiva. Il corrispondente moltiplicatore dei carichi µk èdetto moltiplicatore cinematicamente ammissibile o sufficiente ed è dato dalla relazione

fondamentale

{ } { } { } { }( )T T k

k k 0 pk int, k 0 pk 0 k, ext

D

D N o D MW

int,

int,µ = = ∆ = ∆

Ove la potenza interna k Dint, ed esterna 0 k, extW >0 è valutata con riferimento al potenziale

meccanismo di collasso.

2.3 Teoremi fondamentali del calcolo a rottura

Teorema : Ogni moltiplicatore staticamente ammissibile è minore od al più uguale ad qualunquemoltiplicatore cinematicamente ammissibile.

s k.µ ≤ µ La dimostrazione di questo teorema si basa sul postulato della massima dissipazione.

Si consideri un insieme di azioni interne {Ns} ({Ms}) plasticamente ammissibile, tale che

{ } { } { } { } { } { }( )0 s 0 0 s 0 N N N M M M− ≤ ≤ − ≤ ≤ Per il postulato citato con riferimento ad un meccanismo cinematicamente ammissibile

{ } { }( ) pk pk ∆ θ :

{ } { } ( )T

s pk int pk N D∆ ≤ ∆ { } { } ( )( )T

s pk int pk M D .θ ≤ ∆

Ricordando la definizione data di moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk risulta:

( )int pk k 0k, estD W .∆ = µ Il PLV applicato facendo lavorare uno di sforzo staticamente ammissibile per un potenziale

meccanismo di collasso fornisce:

{ } { } ( )T

vi s pk S 0k, est int pk k 0k, estL = N =µ W D ∆ =µ W∆ ≤

{ } { } ( )T

vi s pk S 0k, est int pk k 0k, estL = M =µ W D =µ Wθ ≤ θ

Di conseguenza essendo la potenza esterna sempre positiva si ha:

s k.µ ≤ µ


5/44

5

Esempio n.1

1

2

3

- µ P

0s

+

-

- M 0

M 0

M s3M s1

s2M

µ P0k

θk3

k2θ

θk1v

k

(a)

(b)

(c)

0Pµ

Fig. 2.2

In Fig.2.2b è rappresentato uno stato staticamente ammissibile (equilibrato e tale che

s 0M M≤ )

In Fig.2.2c un potenziale meccanismo di collasso

3

int,k h 0 kh

1

D M= θ∑ ok,ext 0 k W P v=

k int,k 0k,extD W / µ =

1) Il postulato della dissipazione massima comporta:

nella singola cerniera h

( )sh kh 0 kh khM M Dθ ≤ θ = θ nella struttura

sh kh 0 kh int,k M M Dθ ≤ θ =∑ ∑ 3 3

h h

1 1

2) Per ogni stato cinematicamente ammissibile risulta:3

k 0k,ext int,k h sh khW D M1

µ = ≥ θ∑ 3) Il PLV, facendo lavorare le forze del sistema (b) per le velocità del sistema (c), si scrive:

3

ve s 0 k s 0k, ext vi h sh kh k 0k, ext s k

1

L P v W L M W= µ = µ = = θ ≤ µ ⇒ µ ≤ µ∑

Per definizione lo stato di collasso incipiente è sia staticamente che cinematicamente

ammissibile

s c k µ ≤ µ ≤ µ .

Il moltiplicatore di collasso è quindi l’elemento di separazione tra i due insiemi di moltiplicatori.Si possono pertanto enunciare i teoremi seguenti:


6/44

6

Teorema statico del calcolo a rottura (lower bound theorem)

Il moltiplicatore di collasso è il più grande fra quelli staticamente ammissibili

µ c = max { µ s }

Teorema cinematico del calcolo a rottura ( upper bound theorem)

Il moltiplicatore di collasso è il più piccolo fra quelli cinematicamente ammissibiliµ c = min { µ k }

Il teorema statico può essere enunciato anche nel modo seguente:

La struttura non perviene al collasso sotto un sistema di carichi in corrispondenza del quale esista

un insieme di azioni interne in equilibrio con i carichi ed all’interno del dominio di ammissibilità.

Il teorema cinematico può essere enunciato anche nel modo seguente: La struttura certamente collassa sotto un sistema di carichi a cui è associata una potenza esterna

più grande della potenza dissipata in corrispondenza ad un potenziale meccanismo di collasso.

Si osservi infine che il moltiplicatore di collasso è unico mentre non sono necessariamente tali né ilmeccanismo di collasso né la distribuzione delle azioni interne al collasso.

Esempio n.2: Trave soggetta a carichi concentrati

Si consideri la trave un volta iperstatica in Fig.2.3, che si assume dotata di un momento limitesuperiore ed inferiore costante e pari a M0.

αµ P µP

Fig.2.3

• Per applicare il teorema cinematico si considerano i potenziali meccanismi di collasso. Le sezioni potenzialmente sede di cerniere plastiche si trovano in corrispondenza dei

carichi concentrati e dei vincoli. Tuttavia una cerniera plastica sull’appoggio

corrisponde ad un meccanismo che coinvolge solo il tratto a mensola.

Meccanismo n.1 ( di tipo locale).

αµ P1

θµ

1Pθ

Fig.2.4


7/44

7

01, extW P= θ ,int,1 0

int,1 0 1

01,ext

D MD M

W P= θ ⇒ µ = =

Meccanismo n.2 (di tipo globale)

Si considera il meccanismo ad un grado di libertà in Fig.2.5 ove le cerniere plastiche sono poste

all’incastro e sotto il carico; l’intera struttura risulta labile, con grado di labilità =1 .

θ

θ θ

θ2

Pµ α2

Pµ2

Fig.2.5

( )02, extW P P 1 P= α ⋅θ − θ = α − θ ,( )

0int, 2 0 2

3MD 3M

-1 P= θ ⇒ µ =

α

Al crescere del parametro α cambia la condizione di carico ed il meccanismo di collasso cambiacome è illustrato in Fig.2.6 .

α1 2 3

µ/µ1

1

4 5 6

Mech.(1)

µ1

Mech.(2)

Fig.2.6

{ }

( )

0

1 20

M 4

Pmin

3M 4

1 P

,

⎧ α ≤⎪⎪µ µ = ⎨

⎪ α ≥α −⎪⎩

.

Il meccanismo di collasso per α =5 è illustrato in Fig.2.7 .


8/44

8

Se 5α = 03 M

min4 P

⇒ µ =

cµ5 P = 15 M /40

P=3M /4µc 0

Fig.2.7

• Per applicare il teorema statico si considerano distribuzioni di momento staticamenteammissibili. Il diagramma del momento per essere equilibrato deve essere lineare a tratti ed i

valori massimi in modulo sono necessariamente posti in corrispondenza dei punti di applicazionedei carichi e dei vincoli.

µ P µ PA

B

C5

P5µ P µX

(a)

(b)

Fig.2.8

La struttura è una volta iperstatica ed il diagramma del momento è determinabile a meno di una

incognita ; in Fig.2.8a si assume α=5 mentre in Fig.2.8b si assume come incognita iperstatica X ilmomento all’incastro.

Attraverso le equazioni di equilibrio è possibile determinare le reazioni vincolari del sistema a meno

dell’incognita indeterminata X:

A

C

V =2µP+ X 2

V =4µP-X 2

.

E’ possibile inoltre scrivere il diagramma del momento come somma del diagramma M° della

struttura isostatica principale e di quello dovuto alle Xi incognite iperstatiche; vedi Fig.2.9.( ) ( ) ( )0 *i iM z =M z +X M z

+2 µ P l

-X −- X / 2

- X P l2 µ -X /2 P l− µ 0M =

+

− P lµ

Fig.2.9


9/44

9

In tal modo, nel caso in esame, è immediato imporre l’ammissibilità plastica:

Sez. A -0

-X M≤

Sez. B -0

2µPl-X 2 M≤

Sez. C -0

-µP M≤

Soluzione staticamente ammissibile n.1 (0

M=M in C)

s1 0µ P =M

s1 0M P⇒ µ =

Il tratto A-B è ancora staticamente indeterminato; se ulteriormente si pone0

M=M in B la seconda

relazione fornisce0 0

2M - X 2 M≤ . Di conseguenza0

X>M e questa particolare soluzione non è

plasticamente ammissibile.


M=M in A e C)

0

s2 0 0 00s2

X=MX 3

2 P = M M MM2 2=

P

⎧⎪

⇒ µ − ⇒ ≠⎨µ⎪⎩

condizione plasticamente non ammissibile.


M=M in A e B)

00 0

s3 0 s3

s3 0

X=MM M3

2 P = M =X2 4 P2 P - M

2

⎧⎪

⇒ µ − ⇒ µ⎨µ =⎪⎩

⇒ Moltiplicatore di collasso 0c s3M3

4 Pµ = µ =

Esempio n.3: Trave soggetta ad un carico uniformemente distribuito

Si consideri la trave una volta iperstatica in Fig.2.10, che si assume dotata di un momento limite

superiore ed inferiore costante e pari a 0M .

µq0

Fig.2.10

• Per applicare il teorema cinematico si considerano i potenziali meccanismi di collasso.In questo caso tuttavia la posizione della cerniera plastica in campata non è nota a priori ed in Fig.

2.11 si considera un potenziale meccanismo ove essa è posta in *z=z


10/44

10

θ

0q

+

s

θsz z'dθ

θd

θs θdz

z*

z'

-z*

Fig.2.11

Con riferimento alla Fig.2.11 è possibile scrivere la compatibilità del meccanismo e la relativa potenza esterna.

( )s dz* -z*θ = θ , d sz*

-z*

θ = θ

, d s s

-z*

θ + θ = θ

; ( ) sv z z= θ ; ( ) dv z' z'= θ .

( ) ( )z* -z z* -z*

0k,ext 0 0 0 s 0 d

0 0 0 0

W q v z dz+ q v z' dz' = q zdz + q z'dz'= θ θ =∫ ∫ ∫ ∫

( ) ( ) ( )s

0 0 d 0 s

-z* -2z*z*q z* q -z* q

2 2 2

θ= ⋅ + ⋅θ = θ

La potenza interna viene scritta considerando le 2 cerniere poste all’incastro e in *z=z , Fig.2.12. Il

PLV consente di determinare un moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk , mentre il valorez* viene determinato applicando il teorema cinematico.

z*2

q ( -z*)0

z*/2sθ θd

q z*

0

Fig.2.12

( )k,int 0 s s d 0 s2 -z*

D M M

-z*

⎛ ⎞= θ + θ + θ = θ⎜ ⎟⎝ ⎠

( ) ( )( ) ( )

0k

0

2 2 - z* Mz*

- 2z* - z* q⇒ µ =

; ( )*c k min z⇒ µ = µ ( )z 0* ,∈ :

( ) 0 0c k 2 20 0

M Mmin 6 + 4 2 11.6568

q qµ = µ = ≈

.

La posizione della cerniera in campata che determina l’effettivo meccanismo di collasso risulta:

( )z 2- 2 0.5857* = ≈


11/44

11

Per applicare il teorema statico si considerano distribuzioni di momento staticamente ammissibili.

La struttura è una volta iperstatica ed il diagramma del momento è determinabile a meno di unaincognita il momento di incastro X, Fig.2.13.

qµ 0

X

z

+

−X

µq0

M

M0

1

(a)

(b)

Fig.2.13

Le espressioni analitiche dei due Diagrammi M° e M* sono:

( )2

0 00

q zM z z - q

2 2

µ= µ

, ( ) ( )1M z x 1 z= − .

L’ammissibilità plastica richiede che il momento sia ovunque minore (o uguale) al momento limite.

( ) ( ) ( )0 0qM z X 1 z - z z M2

µ= − − + ≤

Imponendo0

M =M all’incastro ed in campata, in virtù del teorema statico si ottiene:

Sezione allo stato limite (1) z = 0 ( ) 0 0M 0 = -X = -M X = M⇒

Sezione allo stato limite in campata (2)

( ) ( ) ( )00 0qz

max M z max M 1 z z M z* M2

⎧ ⎫⎛ ⎞= − − + µ − = =⎨ ⎬⎜ ⎟⎝ ⎠⎩ ⎭

( ) ( )

2

0 0z*= 2- 2 = 6 + 4 2 M q⇒ ⇒ µ

2.3.1 Valutazione approssimata del moltiplicatore di collasso.

I teoremi dell’analisi limite forniscono uno strumento efficace per una valutazione molto rapida delmoltiplicatore di collasso. Questo metodo detto della delimitazione bilaterale ( o di Greenberg e

Prager ) è basato sulle seguenti disuguaglianze:

s c k µ ≤ µ ≤ µ

E’ di fatto possibile ottenere una stima per eccesso µk del moltiplicatore di collasso µc conriferimento ad un generico meccanismo potenziale di collasso. Se si determina una qualunque


12/44

12

distribuzione di azioni interne in equilibrio con i carichi, ad esempio ponendo M uguale al momento

limite nelle cerniere, essa risulterà non ammissibile. (Se la distribuzione risultasse anche plasticamente ammissibile ovviamente si sarebbe ottenuto il moltiplicatore di collasso). E’ allora

sufficiente diminuire proporzionalmente il moltiplicatore dei carichi fino ad ottenere un

moltiplicatore µs staticamente ammissibile.

La differenza fra i due moltiplicatori cinematico e statico∆µ = µk - µs consente di valutare la qualità della stima approssimata fatta.Si riconsideri l’ esempio della trave soggetta ad un carico uniformemente distribuito. In Fig.2.14

le cerniere plastiche vengono introdotte all’incastro ed in mezzeria; in tal modo si considera un

meccanismo di potenziale collasso diverso da quello effettivo.

• Potenziale meccanismo di collasso ( semplificato)-Teorema cinematico

2θ

θµ q

2

/2 /2

0

Fig.2.14

Il moltiplicatore cinematicamente ammissibile può essere valutato applicando il PLV.

2

00k,ext 0 qW 2 q

2 4 4

⎛ ⎞θ⎛ ⎞= ⋅ θ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

; 0 0k,int 0 k c2 2

0 0

12M MD 3M 11.6568q q= θ ⇒ µ = > µ ≈

1- Soluzione staticamente ammissibile - Teorema statico

Con riferimento alla Fig.2.15 è immediato valutare il momento in C e porlo pari ad M0

2 0 0C 0 0 2

0

M 12MM q 8 M

2 q= µ − = ⇒ µ =

Il momento massimo tuttavia non si ha in mezzeria e risulta, Fig.2.16:0max M=25 24 M

qµ0

A

+

−M

BC

0

µq0

2/8

(a)

(b)

(c)

Fig.2.15


13/44

13

M

max M= M(

0

0M

7/12

7/12 ) =25/24 M 0

Fig.2.16

Per ottenere una soluzione staticamente ammissibile è necessario ridurre ovunque di un fattore

25/24 il diagramma del momento, Fig.2.17.

0 0s c2 2

0 0

24 24 12M M11.52 11.6568

25 25 q q⇒ µ = µ = ⋅ ≅ < µ ≅

M 0

0M

7/12

24/25

Fig.2.17

2- Stima della qualità della delimitazione ottenuta Se non è noto il valore del moltiplicatore di collasso le seguenti disuguaglianze consentono di

valutare se l’errore che si è commesso considerando la cerniera plastica in mezzeria non è elevato.

0 0c c k 2 2

0 0

M 12M11.52

q qµ = < µ < µ =

2.4 Analisi limite di un portale

Si consideri il portale, tre volte iperstatico, di Fig.2.18 che si assume dotato di un momento limitesuperiore ed inferiore costante e pari a M0.

Si assuma inoltre che lo sforzo normale (ed il taglio) non influenzino la condizione di ammissibilità

plastica delle cerniere.

A B

Fµ

C E DµF/2

Fig.2.18


14/44

14

Teorema cinematico

Si considerano i possibili cinematismi ipotizzando la collocazione delle cerniere plastiche nellesezioni di applicazione dei carichi concentrati, nei vincoli e nei nodi.

Meccanismo n.1 (locale o di trave). Il meccanismo che coinvolge tre sole cerniere è di tipo locale.

θ

θθF

/2F/2

θ2

01,extW F 2= θ ,0

1,int 0

8MD 4M

F1

= θ ⇒ µ =

Meccanismo n.2( o di parete). Il meccanismo coinvolge 4 cerniere ed è di tipo globale.

F/2

θ

θ

θ

F

θ

θ

02,extW F 2= θ , 2,int 0 2 0D 4M F 8M F= θ ⇒ µ =

Meccanismo n.3 (o composto).

F/2

θ

θ

θF

θ

2θ

θ /2θ


15/44

15

03,ext

F FW + F

2 2= θ θ = θ , 03,int 0

6MD 6M

F3

= θ ⇒ µ =

.

Un cinematismo come quello illustrato in Fig.2.19 non rappresenta un potenziale meccanismo

perché i carichi esterni non esplicano una potenza esterna positiva.

F/2

θ

θ

F

θ /2

Fig.2.19

04,extW F 2 -F 2 0= θ θ =

Per il teorema cinematico { } 01 2 3 36M

minF

, ,µ µ µ = µ =

, ossia il meccanismo di collasso è il terzo.

θ

6M /

θ

0

3M /0

Teorema statico.

Nel caso in esame non è necessario determinare il più grande dei moltiplicatori ammissibilivalutando l’ammissibilità dello stato tensionale

( ) ( ) ( )0 *i i 0M z =M z +X M z M i=1..3≤

E’ sufficiente verificare che lo stato tensionale riportato in Fig.2.20, che corrisponde al meccanismosopra determinato, sia staticamente ammissibile.


16/44

16

0M0 M

6M /0

0M

M0

3M /0

M0 M0

V =A 2M /0

M /H =A

0

2M /H =B

0

4M /V =B 0

C

E

D

A B

)

)

A B 0

A 0 A 0

A B 0

0 B 0

0 0B 0

Eq.ni di equilibrio Eq.ni ausiliarie

V +V - 6M =0E V 2-M +H -M =0

-H -H +3M =0D M -H +M =0

6M 3MV +2M =0

2

⎧⎪

⎧⎪ ⎪⎨ ⎨

⎪⎪ ⎩⎪ − −⎩

E’ possibile determinare le reazioni vincolari e conseguentemente le caratteristiche di sollecitazione

del sistema.

A 0V 2M= B 0V 4 M=

A 0H M=

B 0H 2 M=

−

−

M0

0M

M0

M0

+−

+

Fig.2.20

Stato staticamente ammissibile { }k s c 0min 6M F⇒ µ = µ = µ = .

Dominio limite nello spazio delle forze applicate

Si consideri il portale dell’esempio precedente, Fig.2.21, e si suppongano variare in maniera

indipendente le due forze F1 e F2 applicate.


17/44

17

A B

F

C E D

F2

1

Fig.2.21

Nella figura seguente, Fig.2.22, si considerano tutti i possibili meccanismi.

2F

1

F11

2F

1

F11

Meccanismo (1) 1 0F 8M< , 2F∀ {v1=1; v2=0}

Meccanismo (2) 1 0F 8M> − , 2F∀ {v1=-1;v2=0}

F23

2

4

F

Meccanismo (3) 2 0F 4M< , 1F∀ {v1=0; v2=1}

Meccanismo (4) 2 0F 4M> − , 1F∀ {v1=0; v2=-1}


18/44

18

F1

5

5F

2

6

F1

6

2F

Meccanismo (5) 1 2 0F 2 F 6M+ − {v1=-1/2; v2=-1}

F17

7

F2

8

F1

8

2F

Meccanismo (7)2 1 0

-F F 2 6M+

{v1=-1; v2=1/2}

Fig. 2.22

Si consideri il meccanismo n.1 in Fig.2.21; il collasso non dipende dal valore F 2 della forza

orizzontale ( infatti la potenza esterna ad essa associata è nulla ), mentre il carico di collasso, o forza

verticale massima che la struttura può sostenere, risulta F11= 8M0 /l . Nel piano F1-F2 il collasso

relativo a questo meccanismo è rappresentato, Fig.2.23, dalla retta verticale (1)-(1). Al meccanismo

(di trave) n.2 è ovviamente associata la retta simmetrica rispetto all’origine O. Se invece si

considera il meccanismo di parete ( meccanismo 3), il collasso non dipende dal valore della forzaverticale , mentre la forza orizzontale massima sostenibile risulta F2

3= 4M0/l. Nel piano F1-F2 il

collasso relativo a questo meccanismo è rappresentato dalla retta orizzontale (3)-(3). Infine se si

considera il meccanismo n.5 ( meccanismo composto) applicando il PLV si trova la seguente

relazione fra i due carichi F15/2 + F2

5 =6M0/l rappresentata nella figura dalla retta (5)-(5).

Il dominio limite dei carichi è dunque, nel caso in esame, rappresentato dall’ottagono in Fig.2.23 e

tutti i punti interni ad esso rappresentano stati di carico ammissibili che la struttura è in grado di

sostenere. Il dominio limite nello spazio dei carichi rappresenta la generalizzazione in termini di

carichi della condizione di snervamento che viene assegnata in termini di sollecitazioni.

Si può dimostrare che il dominio limite risulta sempre una figura convessa,chiusa e limitata.

Le forze esterne vengono adimensionalizzate rispetto0 0

F = M .


19/44

19

C4

5

6

6 8-2-4-6

-2

-3

-4

-5

-6

B

n =

E

10 12

2

1

-12 -10 -8

(2)

(5) (8)

(1)

(3)

(4)(4)

(8)

(6)

(3)

(5)

(7)

(2)

(7) (6)

(1)

3

n =5

{011/ 5{12√

1

v1

2v F /F02

1

O

2 4

F /F0

2

3 A

Fig.2.23

Meccanismo di collasso nel p.to C - Vertice

1 2 0F F 4F= =

{ }T

0 04F 4F=f

Meccanismo (3) +(5)

(θ+F

θ

1

2

3

3 θ)5 p2v

v = p1 θ5/2

3

θ5

θ5

θ3θ

5

θ+

Fig.2.24

( )5 3 5

p 3 5 3 5

3 5

2 0 11 5+

1 2 55

⎧ ⎫θ ⎛ ⎞⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪= = θ θ = λ + λ⎜ ⎟⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟θ + θ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

u n n

k,ext 2 3 1 2 5W F F F2

⎡ ⎤= θ + + θ⎢ ⎥⎣ ⎦

; int 0 3 0 5D 4M 6M= θ + θ


20/44

20

2.5 Analisi a collasso in presenza di carichi permanenti e corollari dei teoremi

dell’analisi limite

La normativa Italiana per le costruzioni e gli Eurocodici distinguono i carichi in permanenti, e.g. il

peso proprio, che non variano nel tempo e non dipendono da un eventuale moltiplicatore dei carichi

e i carichi accidentali applicati dall’esterno alla struttura , eventualmente variabili nel tempo,rispetto a cui occorre valutare la sicurezza rispetto allo stato limite ultimo di collasso plastico.

La riformulazione dei teoremi dell’analisi limite non presenta difficoltà e viene di seguito

brevemente discussa.

Teorema statico.

Per brevità ci si riferisce solo a sistemi di travi ove l’unica sollecitazione che induce

plasticizzazione è il momento flettente ed il moltiplicatore di collasso è il più grande fra i

moltiplicatori che verificano l’equilibrio e l’ammissibilità plastica nelle sezioni critiche di ascissa z.

( ) 0M z M≤

Come visto nei paragrafi precedenti conviene scrivere il momento nel modo seguente:

( ) ( ) ( )0 *i i 0 ipM z =M z +X M z M i=1..N≤ Il momento M°(z) dovuto ai carichi applicati alla struttura principale può allora essere scritto

sovrapponendo gli effetti nel modo seguente:

M°(z) = M° p(z) + µs M°a(z)Ove M° p(z) è il momento flettente dovuto ai carichi permanenti ed è costante, mentre M°a(z) è il

momento flettente dovuto ai carichi utili o accidentali e dipende dal moltiplicatore µs.

Teorema cinematico

Per ogni cinematismo cinematicamente ammissibile il moltiplicatore di collasso può essere

determinato applicando il PLV e risulta:

int k

k

0 k,ext

D W

,µ =

Se i carichi q sono dati da carichi permanenti q p( non dipendenti dal moltiplicatore) ed accidentali

qa ( dipendenti da esso ) occorre scrivere la potenza esterna W’0k,ext come somma del contributo dei

due tipi di carico, il PLV può di conseguenza essere scritto nel modo seguente:

0k,ext 0k,extp k 0k,exta int,k W =W +µ W =D

Pertanto il moltiplicatore cinematicamente ammissibile µk risulta fornito dalla relazione

int, 0 ,

0 ,

k k extp

k

k exta

D W

W

−µ =

Corollari dei teoremi fondamentali dell’analisi limite

I- Se due moltiplicatori l’uno staticamente ammissibile, µs , e l’altro cinematicamenteammissibile, µk , coincidono essi definiscono il moltiplicatore di collasso µc. (Ilcorollario è diretta conseguenza della disuguaglianza fondamentale)

II- Eventuali distorsioni e/o cedimenti vincolari non modificano il valore del moltiplicatore

di collasso µc .III- Le proprietà elastiche della struttura non modificano il valore del moltiplicatore di

collasso µc.( Si è in effetti fatto riferimento ad un modello rigido-plastico per le cerniere)


21/44

21

IV- L’aggiunta ( l’eliminazione) di una qualunque porzione di materiale, supposto privo di

peso, alla struttura non può provocare una diminuzione ( un aumento) del valore del

moltiplicatore di collasso µc. (Non viene modificato il diagramma del momento M(z) al più l’aggiunta di materiale non può che far aumentare M0 in qualche sezione).

V- L’aumento ( la riduzione) in una qualunque sezione della tensione σ0 di snervamento del

materiale non può fare diminuire (aumentare) il valore del moltiplicatore di collasso µc.

Alcuni commenti

Nel primo paragrafo si sono riportate le ipotesi sotto cui è possibile applicare il calcolo a rottura.

In particolare si è asserito che :

• Il materiale deve possedere duttilità illimitata

Questo requisito, come discusso nel capitolo precedente, è indispensabile per poter adottare il

modello di cerniera plastica. Questa schematizzazione è accettabile per travi in acciaio od in c.a.

debolmente armate, certamente non strutture in vetro od in cls. non armato.

Si osserva, inoltre, che si è trascurata l’influenza dello sforzo di taglio sulla ammissibilità plastica

delle sezioni. Ciò è accettabile per travi normalmente dimensionate ma porta ad una

sopravalutazione del moltiplicatore di collasso. Peraltro ovviamente non è possibile trascurare il

taglio ai fini dell’equilibrio

Nel caso delle strutture intelaiate, ad esempio il portale in precedenza studiato, è necessario tenere

conto dell’influenza dello sforzo normale. In seguito si vedrà come si possa tener conto della

presenza dello sforzo normale introducendo la seguente condizione di ammissibilità:

( )2

0 0

M N N,M + -1 0

M N

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪φ = ≤⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭.

Solo se lo sforzo normale N è molto minore del valore limite N0 è possibile trascurarne ilcontributo. Nei pilastri in c.a. la presenza di uno sforzo normale elevato riduce la duttilità della

struttura, per questo motivo la recente OPCM 3274 sulle costruzioni in zona sismica prescrive di

progettare la struttura in modo che le cerniere si verifichino nelle travi (i.e. sottodimensionandole)

e non nei pilastri (gerarchia delle resistenze).

• La struttura deve presentare spostamenti “piccoli”Per poter applicare la sovrapposizione degli effetti, come più volte fatto in questo capitolo, le

equazioni di equilibrio devono essere scritte con riferimento alla configurazione iniziale non

deformata. Questa ipotesi implica che, in questo ambito, non è possibile tener conto di fenomeni di

instabilità dell’ equilibrio.

Ciò non è, in genere, tecnicamente accettabile nelle strutture reticolari e nei telai metallici, specie senon controventati. Nel caso di strutture metalliche dotate di opportuni sistemi irrigidenti di

controvento ciò possibile solo se le colonne sono poco snelle ( snellezza λ


22/44

22

tende a comportarsi come semplicemente appoggiata ed una analisi incrementale mostra come si

possano raggiungere prima del collasso spostamenti non accettabili.

Un esempio analogo appare nel settore geotecnico e riguarda i pali trivellati la cui portanza non

viene in genere valutata a collasso perché questo avviene con cedimenti eccessivi.

2.6 La valutazione del moltiplicatore di collasso come problema di

programmazione lineare.

Si consideri la trave continua di Fig.2.25 ed ad essa si applichi il teorema statico.

Sistema staticamente determinato

Sistema (0)

Sistema (1)

31 5

µF

2

2µ F

4

/2 /2 /2 /2

x1

5µ2 F Fµ

32

x2

x 421

12

2F

3 4F

5

µ

1x

1

2 3 4 5

1 2 x2 2

3 x 4 5

=

+

+

Sistema (2)

Fig.2.25

Risolvendo i sistemi attraverso le equazioni della statica è possibile determinare le distribuzioni dei

momenti flettenti 0 1 2M , M e M , riportati in Fig.2.26, e calcolare tramite la sovrapposizione degli

effetti il momento flettente del sistema principale staticamente determinato (sistema equilibrato).


23/44

23

Sistema (0)

Sistema (1)

+Fl

µ+

42Fl

1X

+X

2

+

Sistema (2)

Fig.2.26

Distribuzione equilibrata dei momenti flettenti.in

0 j

i i i j s

j=1

M =µM + M X i=1..n∑

dove ni ed ns risultano rispettivamente il grado di iperstaticità (ni=2) ed il numero di sezioni di

controllo (ns=4).

Una distribuzione di momenti staticamente ammissibile è equilibrata e plasticamente ammissibile.

Al sistema di equazioni scritto in precedenza (nell’esempio in questione 4 equazioni) è necessario

quindi aggiungere le condizioni di ammissibilità plastica nelle sezioni di controllo.

Condizioni di ammissibilità plastica.

i 0 sM M i=1..n≤

Vengono esplicitate e riportate nella tabella seguente le relazioni sopra specificate.

Sez. di controllo Equilibrio Ammissibilità plastica

1 1 1M =X 1 0M M≤

2 2 1 2F 1 1

M =µ + X + X2 2 2

2 0M M≤

3 2 2M =X 3 0M M≤

4 2 2F 1

M =µ + X4 2

4 0M M≤

Si ricorda che mentre in presenza di carichi concentrati le sezioni ove verificare l’ammissibilità

vanno poste nelle sezioni di applicazioni dei carichi , in corrispondenza dei vincoli e nei nodi, in

presenza di carichi distribuiti la loro collocazione ha un certo grado di arbitrarietà che può portare

ad una sottostima del moltiplicatore di collasso.

Ricordando il teorema statico, se consideriamo l’intero dominio delle configurazioni staticamente

determinate, è possibile determinare il moltiplicatore di collassoc

µ come il maggiore dei

moltiplicatori staticamente ammissibilis

µ ,

{ }maxc sµ = µ .


24/44

24

Quindi la determinazione del moltiplicatore di collassoc

µ , si riduce nella soluzione di un problema

lineare di ottimizzazione, che in forma analitica risulta:

{ }

1 0

1 2 0

2 0

2 0

max

X M

F 1 1µ + X + X M

2 2 2

X M

F 1µ + X M

4 2

c

⎧⎪ µ = µ⎪

⎪ ≤⎪⎪

≤⎨⎪⎪ ≤⎪⎪

≤⎪⎩

.

Prendendo in considerazione le quattro disequazioni è possibile determinare una delimitazione

inferiore e superiore delle iperstatiche e del moltiplicatore dei carichi µ (ogni moltiplicatore che

soddisfa le quattro disequazioni risulta staticamente ammissibile,s

µ=µ ).

La prima e la terza, forniscono una limitazione delle iperstatiche1 2

X e X , come mostrato in

Fig.2.27.

Disequazioni 1 e 3.

1 0

1 0

1 0

2 0

2 0

2 0

X M (1a)X M

X -M (1b)

X M (3a)X M

X -M (3b)

≤⎧≤ ⇒ ⎨

≥⎩

≤⎧≤ ⇒ ⎨

≥⎩

.

−Μ0

AD

C B

Μ0

x

0Μ

1

2x

−Μ0

(1b) (1a)

(3a)

(3b)

Fig.2.27


25/44

25

La seconda e la quarta, forniscono invece una limitazione del moltiplicatore µ , come mostrato in

Fig.2.28.

Disequazioni 2 e 4.

1 2 0

1 2 0

1 2 0

2 0

2 0

2 0

F 1 1µ + X + X M (2a)

F 1 1 2 2 2µ + X + X M F 1 12 2 2

µ + X + X -M (2b)2 2 2

F 1µ + X M (4a)

F 1 4 2µ + X M

F 14 2µ + X -M (4b)

4 2

⎧ ≤⎪⎪≤ ⇒ ⎨⎪ ≥

⎪⎩

⎧ ≤⎪⎪≤ ⇒ ⎨

⎪ ≥⎪⎩

Essendo le relazioni tra1 2

X , X e µ lineari i valori massimi e i valori minimi del moltiplicatore dicarico si trovano sicuramente lungo la frontiera della superficie individuata dalle disequazioni 1 e 3,

vedi Fig.2.28 (il quadrato che ha come vertici i punti A,B,C,D, vedi Fig.2.27 e Fig.2.28).

Le condizioni limite dettate dalle disequazioni 2 e 4 vengono individuate dalle seguenti equazioni,che definiscono dei piani nello spazio ( )1 2X , X , µ :

0 01 2 22a 4a

0 01 2 22b 4b

2M 4MX X 2X(2a) µ = - - (4a) µ = -

F F F F F

2M 4MX X 2X(2b) µ =- - - (4b) µ =- -

F F F F F

.

I punti di massimo o di minimo del moltiplicatore di carico si trovano, non avendo intersezioni tra i

piani (2a) e (4a) nel dominio di definizione fornito dalle (1a), (3a), (1b) e (3b), nei vertici A,B,C,D.

Per avere una rappresentazione grafica indipendente dalle costanti geometriche e meccaniche del

sistema, si sono adottate la seguenti adimensionalizzazioni:

2 1

0 0 0

X XF=m, =y, =x

M M M

µ .

Fig.2.28

Come si può notare nelle figure sopra riportate il massimo moltiplicatore di carico che soddisfa tutte

le condizioni di ammissibilità plastica e che quindi risulta il moltiplicatore di collasso è:0

4Mm=4 =

F⇒ µ

.


26/44

26

Punto A ( )1 2 0X =X =M

2aµ =0 0

2b

4Mµ =-

F 04a

2Mµ =

F 04b

6Mµ =-

F

Punto B ( )1 0 2 0X =M , X =-M

02a

2Mµ =

F 0

2b

2Mµ =-

F 0

4a

6Mµ =

F 0

4b

2Mµ =-

F

Punto C ( )1 0 2 0X =-M , X =-M

02a

4Mµ =

F 2bµ =0

04a

6Mµ =

F 04b

2Mµ =-

F

Punto D ( )1 0 2 0X =M , X =M

02a

2Mµ =

F 0

2b

2Mµ =-

F 0

4a

2Mµ =

F 0

4b

6Mµ =-

F

Il moltiplicatore di carico deve risultare positivo, quindi è possibile considerare solamente l’insieme

dei moltiplicatori individuati dalla lettera (a) che ne forniscono un limite superiore, ed inoltre deve

soddisfare tutte le condizioni di ammissibilità plastica.

Punto A ( )1 2 0X =X =M

{ }2a 4amin µ ,µ = 0

Punto B ( )1 0 2 0X =M , X =-M

{ } 02a 4a2M

min µ ,µ =F

Punto C ( )1 0 2 0X =-M , X =-M

{ } 02a 4a4M

min µ ,µ =F

Punto D ( )1 0 2 0X =M , X =M

{ } 02a 4a2Mmin µ ,µ =F

Il moltiplicatore di collassoc

µ risulta il massimo tra i moltiplicatori staticamente ammissibili sopra

elencati.

0 0 0 0c

2M 4M 2M 4Mµ = max 0, , , , =

F F F F

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭


27/44

27

Trasformazione del problema di programmazione lineare in forma standard.

Le equazioni di equilibrio e le disuguaglianze che impongono l’ammissibilità possono essere poste

nella seguente forma matriciale.

0 01

0 02

1

0 03

2

0 04

0 1 0

M MM F 1 1

M MM 2 2 2X

M MM 0 0 1X

M MM F 10

4 2

⎡ ⎤

⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎧ ⎫ µ⎧ ⎫⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− ≤ = ≤⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩ ⎭

⎢ ⎥⎣ ⎦

− ≤ = ≤0 0m m B z m

( )4 1→ ×0m ( )4 1→ ×m ( )4 3→ ×B ( )3 1→ ×z

dove z risulta il vettore delle incognite che può risultare sia positivo che negativo.

Facendo ricorso a matrici partizionate, il sistema precedente assume la forma sotto riportata.

⎧ ⎡ ⎤≤ ⎧ ⎫⇒ ≤⎨ ⎨ ⎬⎢ ⎥

− ≤ − ⎩ ⎭⎣ ⎦⎩≤

00

00

0

mBz m Bz

mBz m B

B z m

( )8 3→ ×B ( )8 1→ ×0m

Il vettore z può essere decomposto nella differenza di due vettori positivi, che presentano cioè tutte

le loro componenti positive.

{ }

{ }

T+ + +

1 2 n

T- - -

1 2 n

z z ...z

z z ...z

− −

−

= − ≥ ≥

=

=

+ +

+

z z z z 0 z 0

z

z

La componete i dei vettori +z e −z viene determinata dalle seguenti relazioni:

( ) ( )+ -i i i i i i1 1

z z z 0 z z -z 02 2

= + ≥ = ≥ .

Si osservi che la prima componente del vettore z (1

z ) è il moltiplicatore dei carichi µ che risulta

positivo per definizione, ne consegue che la prima componente del vettore +z coincide con µ e

quella del vettore −z è nulla, come di seguito esplicitato.+ -

1 1z z 0= µ = Quindi le condizioni di ammissibilità plastica dei momenti flettenti nelle sezioni di controllo

diventano:

( )

( )

( )

( )

+ -

1 1

+ -

2 1 1 2 1 1

+ -

3 3

2 2 2 2

0z z

1 1 z X X z X -X

2 2z z

1 1

X X X -X2 2

+ −

+ + −

−

⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪µ

⎧ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫− ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

≥ = = + = =⎨ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪≥⎩ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭⎪ ⎪ ⎪ ⎪

+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭

0Bz Bz m

z 0 z z

z 0

.

( )3 1+ → ×z ( )3 1− → ×z


28/44

28

Si introduce una variabile slack ∆z , per trasformare la prima disequazione del sistema sopra

riportato in una equazione.+ −

++ −

−

⎧ − + =⎪

≥⎪= − + ≥ ⇒ ⎨

≥⎪⎪ ≥⎩

0

0

Bz Bz ∆z m

z 0∆z m Bz Bz 0

z 0∆z 0

( )8 1→ ×∆z

Ponendo { } = + -x z z ∆z si ottiene:

[ ] (1)

-(2)

+

−

⎧ ⎫=⎧⎪ ⎪

= ⇒⎨ ⎬ ⎨≥⎩⎪ ⎪

⎩ ⎭

0

0

zAx m

B B I z mx 0

∆z

.

( )8 14→ ×A ( )14 1→ ×x

Al variare delle componenti positive di x , quelle che soddisfano la (1) sono plasticamente

ammissibili e quindi staticamente ammissibili. Poiché il sistema (1) è di 8 equazioni ( )s2×n =8 in

14 incognite ( )( )i s2 n +1 ×2n =14 risulta ( )( )8- 6ρ +A volte indeterminato.

Poiché { }T

+ +

2 3z z= µ+z si considera Tµ = b x dove il vettore b ha dimensione ( )1 14× e presenta la

seguente forma:

{ }T

1 0 0......0=b .

Ricordando il teorema statico si ottiene: Tc smax max⎧µ = µ =

⎪=⎨

⎪ ≥⎩

0

b x

Ax m

x 0

che risulta un problema di programmazione lineare in forma standard in 14 incognite.

2.7 Cerniera plastica generalizzata

2.7.1 Dominio di ammissibilità N-MSi considera il comportamento di una trave di materiale elastico-plastico (EPP) in presenza di una

sollecitazione composta da un momento flettente M ed uno sforzo normale N, ossia uno sforzo

normale eccentrico di eccentricità e= M N .

Si assume inoltre che, come nei capitoli precedenti, valga anche in questo caso l’ipotesi di Eulero-

Bernoulli di conservazione delle sezioni piane.

In Fig.2.29 è riportata la distribuzione delle tensioni normali σ in una sezione rettangolare dilarghezza b ed altezza h.

Si assume inoltre di far crescere lo sforzo normale N senza variare l’eccentricità.

La distribuzione delle tensioni normali σ resta lineare (come descritto dalla formula di Navier),

0 N My= + σA J

σ ≤ ( si ricorda che 2el

2J bhW = =h 6

),


29/44

29

finché0

σ ≤ σ , ossia il materiale non giunge allo snervamento. Pertanto la sezione rettangolare restatutta in campo elastico finché:

max 0

el

N M

A Wσ = + ≤ σ ; min 0

el

N M

A Wσ = − ≥ −σ ,

i.e.

el

N M1.

A W0 0

± ≤σ σ

Poi come visto nel caso della flessione semplice la tensione rimane costante e pari alla tensione di

snervamento σ0.

N

σ

Stato elastico

σ0

Sezione plasticizzata

0σ

−σ0

Stato plastico

N

M

h

e

Fig.2.29

Nella situazione limite tutta la sezione è in campo plastico come rappresentato in Fig.2.30.

0σ

−σ0

d N+=

d

d

T

T

−σ0

σ0

σ0

Fig.2.30

Al fine di valutare gli stati di sollecitazione ammissibili e di rappresentarli nel piano N-M dalla

Fig.2.30 si ottiene:22 2

2 00 2

bhh h h dT b d quindi M T h d b d 1 4 ,

2 2 2 4 h

⎛ ⎞ ⎛ ⎞σ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= σ − = − − = σ − = −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

0

0inoltre risulta N 2bd .= σ Poiché lo sforzo normale limite N0 ed il momento limite M0 valgono rispettivamente:


30/44

30

0 0 N bh= σ 2

00

bhM

4

σ=

visto che0

N 2d=

N h

, per momenti positivi si ottiene:

2

0

0

NM M 1 , M > 0

N

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⇒ = − ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

Il termine entro parentesi quadra è interpretabile come il coefficiente che misura la riduzione della

resistenza flessionale dovuta allo sforzo assiale. Valori di N/N0 non troppo elevati causano

variazioni modeste (per N =0.2N0 si ottiene M =0.96M0). Questa caratteristica risulta comune a

tutte le sezioni doppiamente simmetriche anche se le espressioni sono ovviamente diverse. Per

sezioni con un solo asse di simmetria la dipendenza è più sensibile ( L. Corradi p. 27)

Procedendo in modo analogo anche per M


31/44

31

0 0

0 0

2 Nf N N f N

f f f f f 1 M

signM M M

⎧ ⎫∂⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∇ = = = ∇ ∇⎨ ⎬ ⎨ ⎬∂ ⎛ ⎞ ∇⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂⎩ ⎭ ⎝ ⎠⎩ ⎭

= n

N0

M0

o

n

u=nλ1= f λ

M

N

Fig.2.32

Si intende dimostrare che l’atto di moto generalizzato nella cerniera, che presenta una

deformazione assiale ε ed una rotazione relativa θ , { }T

,= ε θu è diretto secondo la normale al

dominio di ammissibilità plastica.

Ricordando l’ipotesi di conservazione delle sezioni piane con riferimento a Fig.2.33 si può scrivere:

d

1.

⎧ ⎫⇒ = θ⎨ ⎬

⎩ ⎭u Poiché 0

0

N h N h

N 2d N 2

1

.

⎧ ⎫⎪ ⎪

= ⇒ = θ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

u

θ0

σ

−σ0

d

h

b

Gx

y

h/2

h/2

e= θ d

Fig.2.33

Moltiplicando e dividendo le componenti del vettore u per M0 si ottiene:

( )0 0 0

0

N h

N 2MM

1M

.

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

⇒ = θ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

u


32/44

32

Poiché h=4M0/N0 dalla formula precedente si ricava:

( )0 0 0 1

0

2 N

N NM f f , M>0.

1

M

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

= θ = ∇ λ = ∇ λ = λ⎨ ⎬⎪ ⎪

⎪ ⎪⎩ ⎭

u n n

Si può pertanto affermare che il flusso plastico è diretto secondo la normale alla curva f(N,M)=0

Uguagliando la potenza dissipata in tutti i punti della sezione con la potenza espressa in termini

delle caratteristiche della sollecitazione e delle deformazioni generalizzate e ed θ si ha:

( ) ( ) ( )intD σ y e y dA σ y e y dA⎡ ⎤= = + θ =⎣ ⎦∫ ∫ A

( ) ( )2

0 0 0 0 0

2 N 1 M Nσ y dA e + σ y y dA Ne +M N M 2

N N M M N

⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥= θ = θ = + λ = + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∫ ∫ A A

ma

2

0 0

M N1

M N

⎛ ⎞+ =⎜ ⎟

⎝ ⎠ quindi

2

int

0

ND = +1

N

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ λ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

.

2.7.3 Approssimazione lineare a tratti (piecewise-linear) della funzione di snervamento

Per poter applicare algoritmi di programmazione lineare alla determinazione del moltiplicatore di

collasso è necessario trasformare la funzione f(N,M)=0, che è non lineare, in un poligono i cui lati

sono espressi da funzioni lineari di N e M. Nelle seguenti Fig.2.34 e Fig.2.35 vengono rappresentate

una approssimazione interna (poligono inscritto) che fornisce un moltiplicatore di collasso µint eduna esterna (poligono circoscritto) che fornisce un moltiplicatore di collasso µext.

Approssimazione interna

( )α α α0 0

M Nf N,M c d 1 0

M N= + − ≤

N0

M0

M

N

f (N,M)α

Fig.2.34


33/44

33

Approssimazione esterna

M

N

M

N0

0

Fig.2.35

Si può dimostrare in virtù di un corollario dei teoremi dell’analisi limite, il V, che risulta:

dove

• intµ è il moltiplicatore di collasso nel caso di approssimazione interne.

• ext

µ è il moltiplicatore di collasso nel caso di approssimazione esterne.

•

int,sµ è il moltiplicatore staticamente ammissibile valutato con riferimentoall’approssimazione interna.• ext,k µ è il moltiplicatore cinematicamente sufficiente valutato con riferimento

all’approssimazione esterna.

int,s int c ext ext,k ⇒ µ ≤ µ ≤ µ ≤ µ ≤ µ


34/44

34

Esempio n.1: Determinare il moltiplicatore di collasso o suoi minoranti della travatura

illustrata in Fig.2.36.

Fµ

1

23

4

l/2 l/2

l

Fig.2.36

La struttura riportata in Fig.2.36 è costituita da una travatura di sezione rettangolare (bxh) che

presenta il seguente dominio di resistenza nello spazio bidimensionale (N,M), una sua

rappresentazione grafica è riportata in Fig.2.37:

( )2

0 0

M Nf N,M 1 0

M N

⎛ ⎞= + − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠.

In questo esempio in uniformità con quanto fatto in precedenza non sarà considerata l’influenza del

taglio sulla resistenza ultima della struttura.

N0

M0

o

M

N

b

h

Fig.2.37


35/44

35

Vengono considerate quattro sezioni di controllo (ns=4) nei punti in cui la distribuzione del

momento flettente presenta sicuramente dei punti di massimo o minimo, la posizione di dette

sezioni è riportata in Fig.2.36.

Osservato che la struttura in esame presenta un grado di iperstaticità pari a 1 (ni=1), si considera il

sistema staticamente determinato riportato in Fig.2.38.

FµS

X 1

Fig.2.38

Risolvendo i sistemi attraverso le equazioni della statica è possibile determinare le distribuzioni dei

momenti flettenti 0 1M , M e la distribuzione degli sforzi normali 0 1 N , N riportati in Fig.2.39, e

calcolare tramite la sovrapposizione degli effetti il momento flettente del sistema principale

staticamente determinato (sistema equilibrato).

- - + +

-+

µ F

µ Fl/2

s

s

1

N0 0

M1

N1

M

Sistema (0) Sistema (1)

Fig.2.39

Distribuzione equilibrata dei momenti flettenti e degli sforzi normali.i

i

n0 j

i i i j s

j=1

n

0 ji i i j s

j=1

M =M + M X i=1..n

N =N + N X i=1..n

∑

∑


36/44

36

dove ni ed ns risultano rispettivamente il grado di iperstaticità (ni=1) ed il numero di sezioni di

controllo (ns=4).

Una distribuzione di caratteristiche di sollecitazioni staticamente ammissibili sono equilibrate e

plasticamente ammissibili.

Al sistema di equazioni scritto in precedenza (nell’esempio in questione 8 equazioni) è necessario

quindi aggiungere le condizioni di ammissibilità plastica nelle sezioni di controllo.Condizioni di ammissibilità plastica.

2

i is

0 0

M N1 0 i=1..n

M N

⎛ ⎞+ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

Vengono esplicitate e riportate nella tabella seguente le relazioni sopra specificate.

Sez. di controllo Equilibrio Ammissibilità plastica

1 s 1

FM X

2= −µ +

1

1 s 1 N F X= −µ +

2s 1

s 1

0 0

FX

F X2 1 0M N

−µ + ⎛ ⎞−µ ++ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 s 1

FM X

2= −µ +

2

2 s 1 N F X= −µ +

2s 1

s 1

0 0

FX

F X2 1 0M N

−µ + ⎛ ⎞−µ ++ − ≤⎜ ⎟

⎝ ⎠

3 s 1

FM X

2= −µ +

3

1 N 0=

s 1

0

FX

2 1 0M

−µ +− ≤

14

XM2

= 4

4 N 0=

1

0

X2 1 0

M− ≤

Ricordando il teorema statico, se consideriamo l’intero dominio delle configurazioni staticamente

determinate, è possibile determinare il moltiplicatore di collassoc

µ come il maggiore dei

moltiplicatori staticamente ammissibilis

µ ,

{ }maxc sµ = µ .

Quindi la determinazione del moltiplicatore di collasso cµ , si riduce nella soluzione di un problemanon lineare di ottimizzazione.

Dalla (4) si ricava 01

2MX ≤

. In particolare, poiché è verosimile che

4M 0> la condizione diventa

01

2MX ≤

.

Inoltre, confrontando la (1) con la (3) e considerando che nella (1) il secondo termine essendo un

quadrato è positivo, risulta che la (1) è più restrittiva della (3). Infine si prevede che il sistema

staticamente ammissibile che rende massimos

µ sia tale da avere1 2

N N 0= < e1 2

M M 0= < ; pertanto la (3) si specializza in:

( )20

s 1 s 1 02

0

MF X F- X M 02 N

µ − + µ − ≤ .

Si tratta quindi di un problema di programmazione non-lineare:


37/44

37

{ }

( )

s

20s 1 s 1 02

0

01

max

MFX F - X M 0

2 N

2MX

c

⎧⎪µ = µ⎪⎪µ − + µ − ≤⎨

⎪

⎪ ≤⎪⎩

.

La soluzione può essere trovata assumendo 01

2MX =

, che implica

4 0M M= . Pertanto, la

condizione di ammissibilità plastica nella sezione (3) diventa:2

0 0 0s s 02

0

2M M 2MFF- M 0

2 N

⎛ ⎞µ − + µ − ≤⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Considerata la sezione rettangolare, il momento ultimo plastico per pura flessione0

M può essere

espresso in funzione del carico ultimo di pura compressione0

N ,0 0

1M N h4

= , posto h = β e

06M

F= µ

(moltiplicatore di collasso del sistema con cerniere plastiche indipendenti da N,

0 N → ∞ )

si ottiene:22

2s 0 s ss2

0

2M1 13 F- 3 0 3 3 -1 3 0

N 4

µ µ ⎛ µ ⎞⎛ ⎞+ µ − ≤ ⇒ + β − ≤⎜ ⎟⎜ ⎟µ µ µ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ .

Posto sz µ=

µ, si cerca il ( )max z che si realizza con la condizione limite di eguaglianza:

( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2

12z 9 z 6 z 12 0 9 z 6 2 z 12 0+ β + β − β − = ⇒ β + −β + β − = ;quindi risolvendo in z si ottiene

( )2 21,2 2

2 2 1 2z

3

− −β ± + β=

β.

Poiché si cerca il ( )smax µ si considera la soluzione maggiore.

Perh 20 1

0.0667300 15

β = = =

si ottiene il seguente valore di z e del moltiplicatore di caricos

µ :

sz 0.9985 0.9985= ⇒ µ = µ .

L’effetto dell’interazione (N-M) è assolutamente trascurabile.

Lo stato di sollecitazione al collasso nella sezione (2)=(1) risulta

2 0

2 0

N 0.0665N

M 0.9955M

=

= −,

che soddisfa la condizione di ammissibilità plastica

( )2

0.9955 0.0665 1 0+ − ≤ .

L’esempio pone in evidenza il fatto che anche considerando cerniere plastiche generalizzate che

dipendono dall’interazione (N-M), l’effetto della forza normale è spesso trascurabile. Più

importante risulta invece l’effetto dell’interazione tra momento flettente e taglio.


38/44

38

2.8 Analisi limite di telai piani

Si consideri il telaio piano indicato in Fig.2.40 soggetto a carichi verticali ed orizzontali crescenti

monotonicamente con il moltiplicatore µ . Per semplicità si assume che tutte le travi abbianomedesimo momento plastico

0t

M e analogamente per le colonne0c

M ; il coefficiente α è definito

positivo ( 0α > ).

h

µαF

µF/6

Fig.2.40

Si escludano effetti di grandi spostamento e rotazioni e l’influenza dello sforzo normale sul

momento plastico. Il telaio risultai

n (2 3 6) 36= × × = volte iperstatica; meccanismi di collassoglobale cinematicamente sufficienti includono 37 cerniere plastiche.

Sulla base del teorema cinematico si considerano alcuni meccanismi elementari.

Si ricorda che attraverso il teorema cinematico è possibile determinare il moltiplicatore di carico

k µ , valutando la potenza dissipata interna

k D e la potenza esterna

k,extW , ed applicando la seguente

relazione:

k k

k,ext

D

Wµ =

.


39/44

39

Meccanismo n.1 (globale).

Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere alle estremità delle travi ed alla base delle

colonne, Fig.2.41.

Risulta:

( )( )

k1 0c 0t 0c 0t

k1,ext

0c 0tk1

D 3M 4 6M 3 M 8M

W F 1+2+3+4+5+6 h 21 Fh

M 8M

7 Fh

= θ + × θ = + θ= α θ = α θ

+µ =

α

.

θ

3h

µαF

θ

Fig.2.41

Meccanismo n.2 (globale).

Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere nella mezzeria ed in una estremità delle

travi ed alla base delle colonne, Fig.2.42.

Risulta:

( )

( )

k2 0c 0t 0t 0c 0t

k2,ext

0c 0t 0c 0tk2

D 3M 2 6M 2 2 6M 3 M 12M

F FhW 21 Fh 2 F 21 h 126

6 2 6 6 h

18 M 12M M 12M

Fh 126 7 Fh 1h 126 h

= θ + × θ + × θ = + θ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= α θ + θ = + α θ = + α θ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ +µ = =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ α α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟α⎝ ⎠ ⎝ ⎠

.


40/44

40

θ

3h

µαF

θ

θθ

2θ

l/2θ

Fig.2.42

Meccanismo n.3 (locale o di piano).

Il meccanismo si realizza con la formazione di cerniere alle estremità delle colonne del primo

piano, Fig.2.43, generando così un meccanismo locale.

Risulta:

k3 0c

k3,ext

0ck3

D 6M

W 6 Fh

M

Fh

= θ

= α θ

µ =α

.

Adottando le seguenti adimensionalizzazioni:

0tk k

0c 0c

MFh, M

M M

µµ = = .

le equazioni dei moltiplicatori di collasso opportunamente elaborate diventano

k1

k2

k1

1 8(1) M

7 7

1 12(2) M

1 17 7

126 h 126 h1

(3)

µ = +α α

µ = +⎛ ⎞ ⎛ ⎞α + α +⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠µ =

α

,


41/44

41

che risultano rette nel piano adimensionalizzato ( )k M − µ .

θ

µαF

Fig.2.43

Una rappresentazione grafica è riportata in Fig.2.44 e in Fig.2.45.

Si osserva che l’intercetta sull’assek

µ della retta (1) risulta sempre maggiore di quella della retta (2)infatti:

1 2

1 1A 0, ; A 0,

177

126 h

1 1 1 1 0 0

17 126 h 126 h h

7 126 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎧ ⎫= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

α ⎛ ⎞⎩ ⎭ ⎪ ⎪α +⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭

> ⇒ α + > α ⇒ > ∀ >α ⎛ ⎞

α +⎜ ⎟⎝ ⎠

.

Si determinino ora le intersezioni della retta (1) con la retta (3) (punto B1) ed l’intersezione della

retta (2) con la retta (3) (punto B2)

1 2

3 1 1 1 1 1B , ; B ,

4 2 126 h

⎧ ⎫ ⎧ ⎫= = +⎨ ⎬ ⎨ ⎬α α α⎩ ⎭ ⎩ ⎭

;

è ora possibile distinguere due casi:

1. se1

54h

<α

allora l’ascissa del punto B2 risulta minore di quella del punto B1

B2 B1

1 1 1 3 1 1M M 54

2 126 h 4 54 h h

< ⇒ + < ⇒ α > ⇒ <

α α

;

2. se1

54h

>α

allora l’ascissa del punto B2 risulta maggiore di quella del punto B1


42/44

42

B2 B1

1 1 1 3 1 1M M 54

2 126 h 4 54 h h> ⇒ + > ⇒ α < ⇒ >

α α

.

Caso 1

Nel caso 1 esiste una intersezione (punto C), nella regione k 1

M 0; 0

⎧ ⎫> ≤ µ ≤⎨ ⎬α⎩ ⎭ , tra la retta (1) e la

retta (2) che presenta le seguenti coordinate:

1 1 1 1

1 8126 h 126 hC ,1 1 1 17 7

4 1 4 163 h 63 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪α α= +⎨ ⎬

α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

.

Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato)k

µ risulta:

k2

k k1

k3

1 1

126 h 0 M 1 1

4 163 h

1 1

3126 h M1 1 4

4 163 h

3 M

4

⎧⎪ αµ ≤ ≤⎪ ⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟α⎪ ⎝ ⎠

⎪⎪⎪ αµ = µ ≤ ≤⎨

⎛ ⎞⎪ −⎜ ⎟⎪ α⎝ ⎠⎪⎪µ ≥⎪⎪

⎪⎩

.

M

3Α

k µ

3

1

Β1

Α1

2

2Β

2Α

C

Fig.2.44


43/44

43

Caso 2

Nel caso 2 non esiste una intersezione, nella regionek

1M 0; 0

⎧ ⎫> ≤ µ ≤⎨ ⎬α⎩ ⎭

, tra la retta (1) e la retta

(2), ne consegue che la retta (2) nella regione sopra specificata fornisce valori del moltiplicatore di

carico inferiori.

Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato)k µ risulta:

k2

k

k3

1 1 1 0 M

2 126 h

1 1 1 M

2 126 h

⎧µ ≤ ≤ +⎪⎪ αµ = ⎨⎪µ ≥ +⎪ α⎩

.

M

3Α

k µ

3

1

Β 1

Α1

2

2Β

2Α

Fig.2.45

Si osservi che al variare di M , quindi del rapporto tra la resistenza plastica delle travi e delle

colonne, si presentano, sia nel caso 1 che nel caso 2 delle transizioni; nel caso 1 si passa dalmeccanismo 2 al meccanismo 1 e dal meccanismo 1 al meccanismo 3, nel caso 2 si passa dal

meccanismo 2 al meccanismo 3.

Si può verificare che i moltiplicatori adimensionalizzati ( )k1 k2 k3, ,µ µ µ e quindi dei moltiplicatori

( )k1 k2 k3, ,µ µ µ sono anche staticamente ammissibili.


44/44

Esempio numerico

Si fissino i seguenti dati:

0.11

26.7 54 caso 1800

h2.67h 300

α =⇒ = < ⇒

α=

.

Risulta possibile determinare le coordinate del punto C

1 1 1 1

1 8126 h 126 hC 0.09, 2.461 1 1 17 7

4 1 4 163 h 63 h

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪α α= +⎨ ⎬

α α⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪α α⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎭

Quindi il minimo moltiplicatore cinematicamente ammissibile (adimensionalizzato)k

µ risulta:

k2

k k1

k3

0 M 0.09

3 0.09 M

4

3 M

4

⎧⎪µ ≤ ≤

⎪⎪µ = µ ≤ ≤⎨⎪⎪µ ≥⎪⎩

.

Analisi Limite

Documents

Transcript of Analisi Limite