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CONCETTO DI LIMITE
Prof. I. Savoia Bologna, febbraio 2013 1
Aa
Si consideri la seguente funzione in un intorno del punto
x0=2 escluso dal dominio di esistenza:
: 2
62 2
x
xxxf 2 \
Alcuni valori numerici calcolati negli intorni destro e
sinistro del punto x0=2 sono riportati nella tabella
seguente e il grafico della f(x) illustrato a fianco:
x- 1 1.5 1.9 1.99 ....2
-
f(x) 5 6 6.8 6.98 ....7-
x 3 2.5 2.1 2.01 ....2+
f(x) 9 8 7.2 7.02 ....7+
1 Limite finito per x che tende a un valore finito.
Osserviamo come i valori della funzione, al tendere della x al valore x0=2 da sinistra e da destra, tendano al
valore l =7 rispettivamente per difetto (7-) e per eccesso (7+) e, inoltre, il grafico indica che l'immagine di
un intorno del valore x=2 un intorno del valore l=7: i raggi dei due intorni sono indicati con le lettere
greche, rispettivamente (delta) sull'asse X ed (epsilon) sull'asse Y.: f (]2-;2+[)=]7-; 7+[ .
Per evidenziare che nei due intorni del valore x0=2 la funzione tende al valore l=7, possiamo
rappresentarne tutti i valori in una tabella che include le differenze tra ciascuno di essi ed il valore l=7
senza considerarne il segno, ovvero riportandone i loro moduli |f(x)-7| che sono sempre pi vicini al
valore 0 con l'approssimarsi di x al valore x0=2.
x 1 1.5 1.9 1.99 ... x0=2 ... 2.01 2.1 2.5 3
f(x) 5 6 6.8 6.98 ... l=7 ... 7.02 7.2 8 9
|f(x)-7| 2 1 0.2 0.02 ... 0 ... 0.02 0.2 1 2
Eccetto che per il punto x0=2 (che di accumulazione del dominio) dove la funzione non definita (in
quanto la funzione assume un valore indeterminato 0/0), il grafico quello di una retta e ci si giustifica
scomponendo in fattori il trinomio al denominatore e semplificando la frazione:
32 2 2
232
2
62 2
xxf
x
x
xx
x
xxxf
Quindi, in ogni altro punto diverso da x0=2 i valori della funzione sono calcolabili in modo elementare,
semplicemente sostituendoli al posto della lettera x nell'espressione f (x) = 2x+3.
Possiamo ora dire, con linguaggio matematico, che il limite della funzione per x che tende al valore x0=2
uguale a 7 e ci viene scritto nel seguente modo:
7 2
xfLimx

CONCETTO DI LIMITE
Generalizziamo ora il concetto di limite, introdotto in modo intuitivo, fornendo la definizione che segue.
,
In simboli matematici, possiamo scrivere la definizione del limite l
xfLimxx
0
nella forma:
00 , I , | 0 I 0 xxxxxfx l
Pi Intuitivamente, l'interpretazione della definizione di limite consiste la scelta di un valore reale positivo
arbitrariamente piccolo, in corrispondenza del quale si trova sempre un intorno 0I x per il quale i valori
della funzione sono compresi nell'intervallo ll ; per qualunque 0xx appartenente
a tale intorno, in modo che la funzione si avvicina al valore del limite. Quanto detto si sintetizza cos:
La verifica di un limite l
xfLimxx
0 comporta il risolvere la disequazione della definizione:
lll xfxf
Esempio: verifica del limite 732 2
xLimx
. Risolviamo la disequazione 7327 x
2
2
2
2 424 x x . Abbiamo cos determinato un intorno del punto x0=2 per tutti i
valori del quale la definizione verificata e la cui ampiezza diminuisce al diminuire del valore scelto per .
Limite finito per x che tende a x0.
Si dice che la funzione xfy ha per limite il
numero reale l per x che tende a x0, e si scrive
l
xfLimxx
0
,
quando, comunque si scelga un numero reale
positivo , si pu determinare un intorno completo I(x0), tale che risulti:
lll xfxf
per ogni xI(x0), diverso eventualmente da x0 .
X
Y
l
0I x
xf
l
Scelto un numero 0
arbitrariamente piccolo, si determina un
intorno 0I x per il quale vera la disequazione:
ll xf
Al diminuire del valore di 0 si restringe
anche l'intorno 0I x per il quale si verifica la
disequazione:
ll xf

CONCETTO DI LIMITE
Aa
Aaa
AAAA
2 Limite destro e limite sinistro in un punto
I limiti destro e sinistro di una funzione sono quelli la cui definizione e il cui calcolo interessano rispettivamente gli
intorni destro e sinistro del punto x0 verso cui tende la variabile x e vengono cos scritti:
Limite destro: l
xfLimxx
0
. Limite sinistro: l
xfLimxx
0
.
In alcuni casi, come nell'esempio che segue, la funzione tale per cui i limiti destro e sinistro sono diversi ed il grafico
presenta un "salto" in corrispondenza al valore x0 .
Dobbiamo notare che per l'esistenza di un limite di una funzione in un dato punto occorre che i limiti destro e sinistro
coincidano in tale punto poich la verifica del limite deve aversi contemporaneamente negli intorni destro e sinistro:
lll
xfLimxfLimxfLimxxxxxx
0 0 0
X
Y
3
2
6 2 ,22 xxxf
2 ,33 xxxf
Esempio. Verifichiamo i limiti sinisstro e destro della
funzione definita per intervalli:
2 ,33
2 ,22
xx
xxxf
6 2
xfLimx
, 3 2
xfLimx
Verifica del limite sinistro della funzione, per x

CONCETTO DI LIMITE
3 Continuit e discontinuit in un punto
Il comportamento di una funzione in un dato punto punto x0 pu assumere forme diverse, riconoscibili anche
graficamente, in base ai valori del limite e della funzione stessa in tale punto, in modo che il punto stesso possa essere
classificato nei modi seguenti :
A) Continuit: una funzione f(x) continua in un punto 0x se il limite in tuale punto esiste e coincide con il valore
della funzione in quel punto. Una funzione f(x) continua in un punto se si verificano tre condizioni:
- esistenza di un valore finito della funzione 0xf ;
- coincidenza del limite finito con i limiti destro e sinistro: l
xfLimxfLimxfLimxxxxxx
0 0 0
;
- coincidenza tra valore della funzione e limite: 00
xfLimxfxx
.
Ad esempio, il punto 20 x di continuit per la 32 xxf si verifica facilmente il rispetto di tutte e tre le
condizioni sopra elencate, mentre lo stesso punto non lo rispetto alla funzione 2
62 2
x
xxxf poich, come
abbiamo gi visto, non rispetta la prima condizione perch la funzione non definita per x=2 .
In diversi casi le funzioni sono continue nel loro dominio naturale, come sotto specificato:
- Polinomi come ,65 ,43 , 2 xxxfxxfkxf ecc....., sono continue x ;
- radici con indice dispari come ,xxf,xxf 53 ecc...., sono continue x ;
- radici con indice pari come ,xxf,xxf 4 ecc...., sono continue x0;
- esponenziali come ,10 ,2 xx xfxf ecc...., sono continue x ; x>0 .
- logaritmi come , , 312 xlogxfxlogxf ecc...., sono continue x>0 .
B) Discontinuit di prima specie: un punto 0x discontinuit di prima specie se i valori dei limiti destro e
sinistro esistono finiti ma non coincidono e la loro differenza costituisce un "salto".
Ad esempio, come abbiamo gi visto, la funzione
2 ,33
2 ,22
xx
xxxf ammette due limiti destro e sinistro
diversi nel punto 20 x con un salto di 3 unit, per cui tale punto una discontinuit di prima specie.
-

CONCETTO DI LIMITE
Esempio di funzione che ha una discontinit di
prima specie nell'origine la cos detta funzione
segno che viene definita come rapporto tra il valore
assoluto di un numero e il numero stesso:
0 ,1
0 ,1
x
x
x
xxf
Il salto tra il limite destro e quello sinistro , in questo
caso, di due unit:
1 ,1 00
xfLimxfLimxx
X
Y
+1
-1
C) Un punto 0x detto discontinuit di seconda specie se almeno uno dei due limiti destro e
sinistro infinito oppure se il limite in tale punto non esiste.
Il concetto di lmite infinito in 0x , che qui anticipiamo , riguarda i valori tendenzialmente illimitati che una
funzione assume quanto pi i valori della x sono prossimi al valore 0x in un suo intorno.
Ad esempio, le funzioni logaritmo con basi maggiore di 1 e minore di 1 hanno entrambe un discontinuit di
seconda specie nell'origine poich il limiteo destro vale - e + rispettivamente, mentre il limite sinistro
non esiste. I grafici seguenti si riferiscono ai logaritmi nelle basi 2 e 1/2.
Da ora,

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