1

PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE O

INTEGRALE INDEFINITO

1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE

2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE

3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI

4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE INDEFINITO

5. ALCUNI IMPORTANTI METODI DI INTEGRAZIONE

a. Integrazione per sostituzione

b. metodo “per parti”

c. Integrazione delle funzioni razionali fratte

2

1. DEFINIZIONE DI PRIMITIVA DI UNA FUNZIONE

Definizione: data una funzione f(x), definita in un intervallo I R, diciamo che una funzione F(x) definita pure in I, è primitiva della funzione f(x) sull'intervallo I, se F(x) è derivabile in I, con F'(x) = f(x) , x I e si scrive:

Si legge: integrale indefinito della f(x) in dx ; f(x) è la funzione integranda e dx è il differenziale della variabile indipendente x.

xFdxxf

: teoremaseguente dal spiegato vieneconcetto importante Questo

cxFdxxf

:scrive si e infinite ammette ne allora primitiva, una ammette funzione una se che Osserva

Rc x2

1D anche :N.B

x2

1D perchè dx

x2

1

Rc x4

1D anche :N.B x

4

1D perchè

4

1dxx

:esempioPer

343443

cxxx

xcxx

3

c. costante qualunque una F(x) alla oaggiungend tutteottengono si che infinite, ammette ne allora

F(x), funzione la primitiva come I intervalloun in ammette funzione una se che segue teoremaDal

c. G(x)-F(x) e , I x costante è H(x) I xe x 0xfxfxGxFxHxx

)H(x)H(x

che talex;x xpuntoun almeno Lagrange di teoremailper

; G(x)-F(x)H(x) funzione la e xcon x I, xe xmoconsideria :oneDimostrazi

2 1000'

0'

0'

12

12

210

2121

2. L'INSIEME INFINITO DELLE PRIMITIVE

Teorema : se F(x) e G(x) sono due primitive di f(x) sull'intervallo I, allora esiste una costante c R tale che F(x) = G(x) + c x ( F(x) - G(x) = c ).

Teorema: una funzione f(x) continua nell'intervallo I, ammette primitiva in tale intervallo.

4

22

22

22

22

x

0x

11

22

1

1D perchè dx

1

1 10.

x1

1D perchè dx

x1

1 .9

1cos

1D perchè 1dx

cos

1 .8

cosD perchè cosxdx .7

cosD perchè cossenxdx .6

dxe

logD perchè 1-Racon logdxa .5

1ln:0

11ln:0

lD perchè ldxx

1 4.

1

1D perchè 1con

1

1dxx .3

2

1D perchè

2

1xdx .2

1D perchè 1dx dx .1

xcarctgxcarctgx

x

carcsenxcarcsenx

xtgx

ctgxctgxdxxtgx

xcsenxcsenx

senxcxcx

ceeparticolarin

aceacea

xcxDx

xxcxDx

cxncxn

xcxRcx

xcxcx

cxcx

x

xa

xa

x

3. INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI E FONDAMENTALI

5

4. PROPRIETA' DI LINEARITA' DELL'INTEGRALE DEFINITO

... infatti cx10

77elog327cx

173

111elog327dxx11dx327dxx11327

35x2xc3xx2

5x

3

2D infatti c3xx

2

5x

3

2dx3xdx5dxx2dx35x2x

3x20cosxcx2

320senxD infatti cx

2

320senxxdx3cosxdx20dx3x20cosx

5x cx2

5D infatti cx

2

15xdx55xdx

:Esempi

funzioni.n ad estende si teoremail Ovviamente

c.v.d. xβgxαfdxxgβDdxxfαDdxxgβdxxfαD

anche ma , xβgxαfdxxβgxαfD

xfdxxfD che osservare basta onedimostrazi laper : oneDimostrazi

dxxgβdxxfαdxxβgxαf

:ha si R β α, allora , I intervallonell' primitive ammettono che funzioni due g(x) e f(x) siano :Teorema

7 103

x1

7

3

3x7

3x7 3x

2232322

22

22

6

5.a INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

1° CASO

cxF xdφ xφfdxxφ xφf : sintetico metodo

cxFctFdttfdxxdt

xtdxxφ xφf

dxxdt

xt:nesostituzio seguente la con procede si xφ xφf tipo del è integranda funzione la Se

.dx xf xdf :f(x) funzione una di aledifferenzi di edefinizion la Ricordare

'

'

'

'

'

'

ccosxlncosxdcosx

1dx

cosx

senxtgxdx

ccosxlnctlndtt

1

senxdxdt

cosxtdx

cosx

senxtgxdx :es.

cxfln ctlndtt

1dxxf

xf

1 2.

cxsen4

1senxdxsencosxdxxsen

cxsen4

1ct

4

1dtt

cosxdxdt

senxtcosxdxxsen:es.

-1)(α c xf1α

1 ct

1α

1dttdxxf xf 1.

sintetico metodo il applica si o indicata nesostituzio la sempre effettua si :notevoli Esempi

'

433

4433

1α1αα'α

7

c senx2

1xdcosx

2

1dxcosxx

c senx2

1csent

2

1costdt

2

1

2xdxdt

xtdxcosxx:es.

cxf-cosc-cost sentdtdxxf xfsen 4.

2222

22

2

'

c2exde2dxx

e

c2ec2edte2

x2

1dt

xtdx

x

e:es.

celogacelogadtadxfa 3.

xxx

xttx

axf

att'xf

dx

x

ctg3x3

73xd

3xcos

1

3

7dx

3xcos

7

ctg3x3

7ctgt

3

7dt

tcos

1

3

7

3dxdt

3xtdx

3xcos

7 :es.

cxftgctgtdttcos

1dxxf

xfcos

1 5.

22

22

2'

2

cxsenarctgxsend xsen1

1dx

xsen1

cosx

csenxarctgcarctgtdtt1

1

cosxdxdt

senxtdx

xsen1

cosx:es.

cxfarctgcarctgtdtt1

1dxxf

xf1

1 8.

cxln5arccosxlndxln-1

15dx

xln-1x

5-

cxln5arccosc5arccostdtt-1

15

dxx

1dt

lnxtdx

xln-1x

5- :es.

cxfarcsencarcsentdtt-1

1dxxf

xf-1

1 7.

c1-2x2cotg1-2xd1-2xsen

1

2

4dx

1-2xsen

4

c1-2x-2cotgc2cotgtdttsen

1

2

4

2dxdt

1-2xtdx

1-2xsen

4 :es.

cxfcotgccotgtdttsen

1dxxf

xfsen

1 6.

2222

22

2'

2

22

22

22

2

'

2

22

22

2'

2

9

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

2° CASO

cttdtttdt

t

tt

c

dtt

dtdtt

tdt

t

ttdt

t

tt

x12x13

22

3

212

12

2tdtdttφdx

1tφxx1tdx

x1

x .3

carcsenecarcsentdtt

1

t1

t

dtt

1dttφdx

lnttφxetdx

e1

e 2.

xarctgx2carctgtt2

1

12

1

112

122

12tdtdttφdx

tφxxtdx

x1

x 1.

:Esempi

dt tφdx

tφxxφt :nesostituzio lacon procede si quindi

I,x 0xφcon e derivabile e,invertibil xφ interna funzione una integranda funzione nella Individuo

3322

'1

21

x

2'1

1x

2x

x

22

2

2

2

2'1

21

'1

1

'

10

21

t

1

2t

1

5

1xf

5

2B1;2B

2

A5

2A B;A

21

t2t

2B2A

tBA

2

1

21

t

B

2t

A

2

1

21

t2t2

1

23t2t

1xf *

2-2x

tg

12x

2tgln

2-t

12tln

2-t

12tln

5

1

c12tln2tln5

1dt

12t

12dt

2t

1

5

1*dt

23t2t

1

2

55

2

ccc

dttt

dtt

t

t

t

t 464

2

1

2

1

14

1

23

1

dtt1

2dx 2arctgt; x;

2

xtgt

2x

tg1

2x

tg1cosx ;

2x

tg1

2x

2tgsenx

dx4cosx3senx

1 .4

22

2

2

22

2

2

2

11

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE

3° CASO

cxxcttdtt

dtdtt

tdt

t

t

tdtdx

xttx

cxxt

Esempi

1ln21ln21

12

1

112

12

2x1

dx 2.

0.costcon quindi , ;-con t arcsenx, tdi dominio il anche è che , 1;1D :NB

1arsenx2

1sen-1sentt

2

1

costsentt2

1csen2t

2

1t

2

1dtcos2t dt

2

1dt

2

cos2t1dtt cosNB

costdtcostcostdttsen1costdtdttφdx

arcsenxtsenttφxdxx1 1.

:

dttφdx

tφx :nesostituzio lacon procede si quindi I,t 0tφcon e

derivabile e,invertibil tφ funzione opportunaun' integranda funzione della denteindipenden e variabilalla oSostituisc

2

2π

2π

f

22

2

2'

2

''

12

5.b INTEGRAZIONE PER PARTI

dx xgxfxgxfdx xgxf

dx xgxfdx xgxfDdx xgxf ha si integrando quindi

xgxfxgxfDxgxf xgxfxgxfxgxfD : oneDimostrazi

dx xgxfxgxfdx xgxf

finito fattore del derivata xg ; derivato fattore del primitivaxf

finito fattore xg ; derivato fattorexf

I.in derivabili e continue funzioni due g(x) e f(x)con , " xgxf " tipodel è

integranda funzione la quando applica si parti"per " neintegraziodell' metodo Il

''

''

''''

''

'

'

'

cxx 1ln dx xlnxdxx

1xxlnxdxlnxxxlnxdxlnx xdxlnx .1

. ... senx, , a dirette funzioni le derivato fattore come econsiderar conviene mentre , ...arcsenx x,log come

inverse funzioni le finito fattore econsiderar conviene solito di " xf x" tipodel integrande funzioni lePer N.B.

: Esempi

''

xa

n

13

cc

dxex

dxexdxex

x

xx

cosxsenxe 2

1 dx cosxe ecosxesenx dx cosxe2

cui da , cosecosxesenx dx cosxe quindi

cosecosxesenxcosecosxesenx dxesenxesenx dx cosxe 5.

cxx9

1lnxxx

3

1 dx1x

3

1lnxxx

3

1 dx

x

1xx

3

1lnxxx

3

1 dx lnx1x 4.

c22xxec2e2xeexdxexe2 e xdxe2xexdxex 3.

cx1ln2

1ct1ln

2

1dt

t1

1

2

1

2xdxdt

xtdx

x1

x A

cx1ln2

1arctgxx dx

x1

xarctgxx dx arctgxxdxarctgx 2.

xxxxx

xxx

xxxx

ff

x

fd

x

fdff

x

332333

fffd

2

2xxxx2xxx2xx2

fd

x

ff

2

22

2

2

(A)

2fffd

'

14

5.c INTEGRAZIONE DELLE FUNZIONI RAZIONALI FRATTE

2x

1

1x

1-xf

1

1

1B-2A-

0BA

2x1x

2

2x

B

1x

A

2x1x

1xf ;2x1x23x x#

1

2ln2ln1ln

2x

1

1x

1-#

23x

1 :es.

cxxBlnxxAlna

1dx

x-x

Bdx

x-x

A

a

1 *

xx

B

x-x

Aa1

xxx-x

1a1xf xxx-xacbxax 0Δ a.

:casi 3 presentano si *dx cbxax

1 .2

c32xln2

1dx

32x

1:es. ln

1dx

bax

1 1.

2

2

2121

212121

2

2

B

A

BAxBA

cx

xcxxdxdx

x

cbaxa

15

.aimmaginari parte della coeff. 4

7n ; reale parte

4

1m

4

7i

4

1inmz

4

7i

4

1

4

711-

4

711-

4

71-

4

811-z 0;1x2x:es.

inmxinmxa zxzxa cbxax

:così scompone si c"bxax" trinomioil quindi , z complessi numeri dei

aimmaginari parte in"" e reale parte detta m""con ,in mz coniugati complessi

numeri due i sono 0cbxax equazionedell' soluzioni le contesto in tale

; i1- anche o 1,i che taleI, i aimmaginari unitàl' dointroducen

, IRC C;R C complessi numeri dei insiemenell' ragionare deve si 0Δ c.

c32x2

1c

2t

1dt

t

1

2

1

2dxdt

32xtdx

32x

1dx

912x-4x

1:es.

kdcxc

1k

ct

1dt

t

1

c

1

cdxdt

dcxtdx

dcx

1 *

dcx

1xf dcxcbxax 0Δ b.

1,2

1,2

1,2

2

212

21,2

2

2

222

22

222

16

c7

14xarctg

7

2

4741

xarctg

72

4

4

7n

4

1m

dx1x2x

1 :es.

cn

mxarctg

an

1carctgt

an

1dx

1t

1

an

n

dn

1dt

n

mxt

dx

1n

mx

1

an

1 *

1n

mxan

1xf 1

n

mxan

nmxainmxinmxainmxinmxacbxax

: modo seguente nel iamo trasformla e xf integranda funzione alla Torniamo

2

2222

22

22

222

x

17

144x

44841

4484

132x

44α3β4

1α

3β4α

28αβ4α x8αβ48xα32x 48x14x4xD *

c12x

2c

t

2dtt2dt

t

1

2

4

dx2dt

12xt dx

1-2x

4 (B)

c14x4xln4

1clnt

4

1dt

t

1

4

1

dx48xdt

14x4xt (A)

c12x

214x4xln

4

1

dx14x4x

4 dx

14x4x

48x

4

1dx

14x4x

448x41

*dx14x4x

32x :es.

αbdβ

2a

cα

βαb2aαadcx βb2axαdcx b2axcbxaxD *

cdxcbxax

βcbxaxαln

dxcbxax

βdx

cbxax

b2axαdx

cbxax

βb2axα* dx

cbxax

dcx 3.

2

2

222

22

2

(B)

2

(A)

222

2

22

2222

x

xxfx

18

2

12

1

12

0

2

2

2

2

22

1

2xx

1 #

2ln2

1ln

2

1

2

1

2

11

2

1

22

1

2

1#

2xx

1 B

ln2

12ln

2

33ln2ln

2

172xxln8

2xx

117

2xx

228

2xx

17228

2xx

116x

17β ; 1β2α

8α ; 162α β2α x2α116x β22xα116x 22x2xxD A

ln2

12ln

2

338

3

1

2xx

116x82xx

2xx

116x82xxxfdx

2x

1x4x :es.

cbxaxcbxax

k...dxcxxf *

cbxax * 2ncon dx

cbxax

k...dxcx 4.

2

2

2

B

2222

2

23

A

22

22

2

24

22

1-nn

22

1-nn

B

A

A

BA

xx

AxBA

xx

BxAAx

x

B

x

A

xx

cxxx

dxx

dxxx

dx

cxxxx

dxdxx

dxx

dx

cxxxxx

dxdxx

xRxQ

dxxR

dxxQ